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人教中考数学知识点过关培优易错难题训练∶二次函数附详细答案

一、二次函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．（6分）（2015?牡丹江）如图，抛物线y=x2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（3，0）．请解答下列问题：

（1）求抛物线的解析式；

（2）点E（2，m）在抛物线上，抛物线的对称轴与x轴交于点H，点F是AE中点，连接FH，求线段FH的长．

注：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是x=﹣．

【答案】（1）y=-2x-3；（2）．

【解析】

试题分析：（1）把A,B两点坐标代入，求待定系数b,c，进而确定抛物线的解析式；（2）连接BE，点F是AE中点，H是AB中点，则FH为三角形ABE的中位线，求出BE的长，FH就知道了，先由抛物线解析式求出点E坐标，根据勾股定理可求BE，再根据三角形中位线定理求线段HF的长．

试题解析：（1）∵抛物线y=x2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（3，0），∴把A,B两点坐标

代入得：，解得：，∴抛物线的解析式是：y=-2x-3；（2）∵点E（2，m）在抛物线上，∴把E点坐标代入抛物线解析式y=-2x-3得：m=4﹣4﹣3=﹣3，∴E（2，﹣3），∴BE==．∵点F是AE中点，点H是抛物线的对称轴与

x轴交点，即H为AB的中点，∴FH是三角形ABE的中位线，∴FH=BE=×=．∴

线段FH的长．

考点：1．待定系数法求抛物线的解析式；2．勾股定理；3．三角形中位线定理．

2．如图，抛物线y=ax2+bx过点B（1，﹣3），对称轴是直线x=2，且抛物线与x轴的正半轴交于点A．

（1）求抛物线的解析式，并根据图象直接写出当y≤0时，自变量x的取值范围；

（2）在第二象限内的抛物线上有一点P，当PA⊥BA时，求△PAB的面积．

【答案】（1）抛物线的解析式为y=x2﹣4x，自变量x的取值范图是0≤x≤4；（2）△PAB的面积=15．

【解析】

【分析】

（1）将函数图象经过的点B坐标代入的函数的解析式中，再和对称轴方程联立求出待定系数a和b；

（2）如图，过点B作BE⊥x轴，垂足为点E，过点P作PE⊥x轴，垂足为F，设P（x，x2-4x），证明△PFA∽△AEB,求出点P的坐标，将△PAB的面积构造成长方形去掉三个三角形的面积．

【详解】

（1）由题意得，

3 2

a b

＝

，

解得

＝

，

∴抛物线的解析式为y=x2-4x，

令y=0，得x2-2x=0，解得x=0或4，

结合图象知，A的坐标为（4，0），

根据图象开口向上，则y≤0时，自变量x的取值范围是0≤x≤4；

（2）如图，过点B作BE⊥x轴，垂足为点E，过点P作PE⊥x轴，垂足为F，

设P（x，x2-4x）,

∵PA⊥BA

∴∠PAF+∠BAE=90°,

∵∠PAF+∠FPA=90°, ∴∠FPA=∠BAE 又∠PFA=∠AEB=90° ∴△PFA ∽△AEB,

∴PF AF AE BE =，即244213x x x

--=-，解得，x= ?1，x=4（舍去） ∴x 2-4x=-5

∴点P 的坐标为（-1，-5），

又∵B 点坐标为（1，-3），易得到BP 直线为y=-4x+1 所以BP 与x 轴交点为（1

，0） ∴S △PAB=115

531524

??+= 【点睛】

本题是二次函数综合题，求出函数解析式是解题的关键，特别是利用待定系数法将两条直线表达式解出，利用点的坐标求三角形的面积是关键．

3．如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD 的三个顶点B （1, 0）、C （3, 0）、D （3, 4）．以A 为顶点的抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 过点C ．动点P 从点A 出发，以每秒

个单位的速度沿线段AD 向点D 运动，运动时间为t 秒．过点P 作PE ⊥x 轴交抛物线于点M ，交AC 于点N ．

（1）直接写出点A 的坐标，并求出抛物线的解析式；（2）当t 为何值时，△ACM 的面积最大？最大值为多少？

（3）点Q 从点C 出发，以每秒1个单位的速度沿线段CD 向点D 运动，当t 为何值时，在线段PE 上存在点H ，使以C 、Q 、N 、H 为顶点的四边形为菱形？

【答案】（1）A （1，4）；y ＝－x 2＋2x ＋3；（2）当t ＝２时，△A ＭC 面积的最大值为1；（3）2085-2013

．

【解析】

（1）由矩形的性质得到点A 的坐标，由抛物线的顶点为A ，设抛物线的解析式为y ＝a （x －1）2＋4，把点C 的坐标代入即可求得a 的值；

（2）由点P 的坐标以及抛物线解析式得到点M 的坐标，由A 、C 的坐标得到直线AC 的解析式，进而得到点N 的坐标，即可用关于t 的式子表示MN ，然后根据△ACM 的面积是△AMN 和△CMN 的面积和列出用t 表示的△ACM 的面积，利用二次函数的性质即可得到当t ＝２时，△A ＭC 面积的最大值为1；

（3）①当点Ｈ在Ｎ点上方时，由P Ｎ＝CQ ，PN ∥CQ ，得到四边形PNCQ 为平行四边形，所以当PQ ＝CQ 时，四边形FECQ 为菱形，据此得到

，解得t 值；

②当点Ｈ在Ｎ点下方时，NH=CQ=，NQ ＝CQ 时，四边形NHCQ 为菱形，NQ 2＝CQ 2，得：

，解得t 值．

解：（1）由矩形的性质可得点A （1，4）， ∵抛物线的顶点为A ，

设抛物线的解析式为y ＝a （x －1）2＋4，代入点C （3, 0），可得a ＝－1． ∴y ＝－（x －1）2＋4＝－x 2＋2x ＋3．（2）∵P （1

t +，４），将112x t =+代入抛物线的解析式，y ＝－（x －1）2＋4＝21

44t -， ∴M （112t +

，21

t -），设直线AC 的解析式为

，

将A （１,４），C （３,０）代入，得：

，

将1

x t =+代入得，

∴N （112

t +，），

∴MN ，

∴

，

∴当t ＝２时，△A ＭC 面积的最大值为1．（3）①如图１，当点Ｈ在Ｎ点上方时， ∵Ｎ（112

t +

，），P （1

t +

，４）， ∴P Ｎ＝４—（

）＝＝CQ ，

又∵PN ∥CQ ，

∴四边形PNCQ 为平行四边形， ∴当PQ ＝CQ 时，四边形FECQ 为菱形， PQ 2＝PD 2+DQ 2 ＝，

∴

，

整理，得240800t t -+=．解得12085t =-，22085t =+（舍去）；

②如图２当点Ｈ在Ｎ点下方时，

NH=CQ=，NQ ＝CQ 时，四边形NHCQ 为菱形， NQ 2＝CQ 2，得：

．

整理，得213728000t t -+=．()()1320400t t --=．所以12013

t =

，（舍去）．

“点睛”此题主要考查二次函数的综合问题，会用顶点式求抛物线，会用两点法求直线解析式，会设点并表示三角形的面积，熟悉矩形和菱形的性质是解题的关键.

4．如图，过()A 1,0、()B 3,0作x 轴的垂线，分别交直线y 4x =-于C 、D 两点.抛物线

2y ax bx c =++经过O 、C 、D 三点．

()1求抛物线的表达式；

()2点M 为直线OD 上的一个动点，过M 作x 轴的垂线交抛物线于点N ，问是否存在这样

的点M ，使得以A 、C 、M 、N 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求此时点M 的横坐标；若不存在，请说明理由；

()3若

AOC 沿CD 方向平移(点C 在线段CD 上，且不与点D 重合)，在平移的过程中

AOC 与OBD 重叠部分的面积记为S ，试求S 的最大值．

【答案】（1）2413y x x 33=-+；（2）32或3322+或3322

-；（3）13．【解析】【分析】

（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；

（2）由题意，可知MN ∥AC ，因为以A 、C 、M 、N 为顶点的四边形为平行四边形，则有MN =AC =3．设点M 的横坐标为x ，则求出MN =|43x 2﹣4x |；解方程|4

x 2﹣4x |=3，求出x 的值，即点M 横坐标的值；

（3）设水平方向的平移距离为t （0≤t ＜2），利用平移性质求出S 的表达式：S 1

=-（t ﹣1）213+；当t =1时，s 有最大值为13

．【详解】

（1）由题意，可得C （1，3），D （3，1）．

∵抛物线过原点，∴设抛物线的解析式为：y =ax 2

+bx ，∴3931a b a b +=??+=?，解得43133a b ?=-????=??

，

∴抛物线的表达式为：y 43=-x 213

+x ．（2）存在．

设直线OD 解析式为y =kx ，将D （3，1）代入，求得k 13=，∴直线OD 解析式为y 13

=x ．设点M 的横坐标为x ，则M （x ，13x ），N （x ，43-x 2133+x ），∴MN =|y M ﹣y N |=|1

x ﹣（43-

x 2133+x ）|=|4

x 2﹣4x |．由题意，可知MN ∥AC ，因为以A 、C 、M 、N 为顶点的四边形为平行四边形，则有MN =AC =3，∴|43

x 2

﹣4x |=3．

若43x 2﹣4x =3，整理得：4x 2﹣12x ﹣9=0，解得：x =或x = 若

43x 2﹣4x =﹣3，整理得：4x 2﹣12x +9=0，解得：x 3

=，∴存在满足条件的点M ，点M 的

横坐标为：

32．（3）∵C （1，3），D （3，1），∴易得直线OC 的解析式为y =3x ，直线OD 的解析式为y 13

x ．如解答图所示，设平移中的三角形为△A 'O 'C '，点C '在线段CD 上．设O 'C '与x 轴交于点E ，与直线OD 交于点P ；设A 'C '与x 轴交于点F ，与直线OD 交于点Q ．

设水平方向的平移距离为t （0≤t ＜2），则图中AF =t ，F （1+t ，0），Q （1+t ，11

+t ），C '（1+t ，3﹣t ）．

设直线O 'C '的解析式为y =3x +b ，将C '（1+t ，3﹣t ）代入得：b =﹣4t ，∴直线O 'C '的解析式为y =3x ﹣4t ，∴E （4

t ，0）．联立y =3x ﹣4t 与y 13=

x ，解得：x 32=t ，∴P （32t ，1

t ）．过点P 作PG ⊥x 轴于点G ，则PG 12=

t ，∴S =S △OFQ ﹣S △OEP 12=OF ?FQ 1

-OE ?PG 12=

（1+t ）（1133+t ）12-?43t ?1

t 16=-（t ﹣1）213

当t =1时，S 有最大值为

13，∴S 的最大值为1

．

【点睛】

本题是二次函数压轴题，综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、函数图象上点的坐标特征、平行四边形、平移变换、图形面积计算等知识点，有一定的难度．第（2）问中，解题的关键是根据平行四边形定义，得到MN =AC =3，由此列出方程求解；第（3）问中，解题的关键是求出S 的表达式，注意图形面积的计算方法．

5．在平面直角坐标系中，O 为原点，抛物线233

(0)2

y ax x a =-

≠经过点3,3)A -，对称轴为直线l ，点O 关于直线l 的对称点为点B .过点A 作直线//AC x 轴，交y 轴于点

C .

（Ⅰ）求该抛物线的解析式及对称轴；

（Ⅱ）点P 在y 轴上，当PA PB +的值最小时，求点P 的坐标；（Ⅲ）抛物线上是否存在点Q ，使得1

AOC AOQ S S ??=，若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】（Ⅰ）抛物线的解析式为21332y x x =

-;抛物线的对称轴为直线33

x =

;（Ⅱ）P 点坐标为9

(0,)4

-;（Ⅲ）存在，Q 点坐标为(33,0)或(23,15)-，理由见解析【解析】【分析】

（Ⅰ）将3,3)A -点代入二次函数的解析式，即可求出a ，再根据对称轴的公式即可求解.

（Ⅱ）先求出B 点胡坐标，要求PA PB +胡最小值，只需找到B 关于轴的对称点1B ，则直线A 1B 与y 轴的交点就是点P ，根据待定系数法求出AB 1的解析式，令y=0，即可求出P 点的坐标.

（Ⅲ）设点Q 的坐标，并求出△AOQ 面积，从而得到△AOQ 面积，根据Q 点胡不同位置

进行分类，用m 及割补法求出面积方程，即可求解. 【详解】（Ⅰ）

∵2(0)2

y ax x a =-≠

经过点3)A -，

∴23a -=?12a =，

∴

抛物线的解析式为212y x x =

，

∵21222

b x a -

=-=-

=? ∴

抛物线的对称轴为直线2

x =

. （Ⅱ）∵点(0,0)O

，对称轴为x =

， ∴点O 关于对称轴的对称点B

点坐标为. 作点B 关于轴的对称点1B

，得1(B -，设直线AB 1的解析式为y kx b =+，

把点3)A -

，点1(B -

代入得30b

?-=+??=-+??，

解得49

4k b ?=-????=-??

，

∴94y x =-.

∴

直线9

y x =-

-与y 轴的交点即为P 点. 令0x =得9y 4

=-， ∵P 点坐标为9(0,)4

（Ⅲ）

∵3)A -，//AC x 轴，

∴AC =3OC =，

∴11322AOC S OC AC ?=

?=?=

又∵13AOC AOQ S S ??=

，

∴3AOQ AOC S S ??==.

设Q 点坐标为2133(,

)22

m m m -，如图情况一，作QR CA ⊥，交CA 延长线于点R ， ∵93

AOQ AOC AQR OCRQ S S S S ???=--=

梯形， ∴()

2113311

3333322222m m m m ???+-+-??- ? ??-?2133933222m m ??-+= ? ???

，化简整理得23180m m --=，解得133m =，223m =-.

如图情况二，作QN AC ⊥，交AC 延长线于点N ，交x 轴于点M ， ∵93

AOQ AQN QMO OMNA S S S S ???=--=

梯形 ∴2211331133(3m)3()2222m m m ????+-- ? ? ? ?????

393(3)2m m --+=，

化简整理得23180m m -=，解得133m =223m =- ∴Q 点坐标为(33,0)或(23,15)-， ∴抛物线上存在点Q ，使得1

AOC AOQ S S ??=

【点睛】

主要考查了二次函数的性质，以及求两边和的最小值，面积等常见的题型，计算量较大，但难度不是很大.

6．如图，抛物线y＝ax2＋bx（a≠0）过A（4，0），B（1，3）两点，点C、B关于抛物线的对称轴对称，过点B作直线BH⊥x轴，交x轴于点H．

（1）求抛物线的表达式；

（2）直接写出点C的坐标，并求出△ABC的面积；

（3）点P是抛物线上一动点，且位于第四象限，是否存在这样的点P，使得△ABP的面积为△ABC面积的2倍？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；

（4）若点M在直线BH上运动，点N在x轴正半轴上运动，当以点C，M，N为顶点的三角形为等腰直角三角形时，请直接写出此时△CMN的面积．

【答案】（1）y＝－x2＋4x；（2）C（3，3），面积为3；（3）P的坐标为（5，－5）；

（4）5

或5．

【解析】

试题分析：（1）利用待定系数法进行求解即可；

（2）先求出抛物线的对称轴，利用对称性即可写出点C的坐标，利用三角形面积公式即可求面积；

（3）利用三角形的面积以及点P所处象限的特点即可求；

（4）分情况进行讨论，确定点M、N，然后三角形的面积公式即可求.

试题解析：（1）将A（4，0），B（1，3）代入到y＝ax2＋bx中，得

1640

a b

，解

得

，

∴抛物线的表达式为y＝－x2＋4x．

（2）∵抛物线的表达式为y＝－x2＋4x，∴抛物线的对称轴为直线x＝2．

又C，B关于对称轴对称，∴C（3，3）．∴BC＝2，∴S△ABC＝1

×2×3＝3．

（3）存在点P．作PQ⊥BH于点Q，设P（m，－m2＋4m）．∵S△ABP＝2S△ABC，S△ABC＝3，∴S△ABP＝6．

∵S△ABP＋S△BPQ＝S△ABH＋S梯形AHQP

∴6＋1

2×（m－1）×（3＋m2－4m）＝

×3×3＋

×（3＋m－1）（m2－4m）

整理得m2－5m＝0，解得m1＝0（舍），m2＝5，∴点P的坐标为（5，－5）．

（4）5

或5．

提示：①当以M为直角顶点，则S△CMN＝5

；

②当以N为直角顶点，S△CMN＝5；

③当以C为直角顶点时，此种情况不存在．

【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查待定系数法求解析式，三角形面积、直角三角形的判定等，能正确地根据题意确定图形，分情况进行讨论是解题的关键.

7．如图1，在矩形ABCD中，DB＝6，AD＝3，在Rt△PEF中，∠PEF＝90°，EF＝3，PF＝6，△PEF（点F和点A重合）的边EF和矩形的边AB在同一直线上．现将Rt△PEF从A以每秒1个单位的速度向射线AB方向匀速平移，当点F与点B重合时停止运动，设运动时间为t秒，解答下列问题：

（1）如图1，连接PD，填空：PE＝，∠PFD＝度，四边形PEAD的面积

是；

（2）如图2，当PF 经过点D 时，求△PEF 运动时间t 的值；

（3）在运动的过程中，设△PEF 与△ABD 重叠部分面积为S ，请直接写出S 与t 的函数关系式及相应的t 的取值范围．

【答案】（1）3009+93

；（233）见解析. 【解析】

分析：（1）根据锐角三角形函数可求出角的度数，然后根据勾股定理求出PE 的长，再根据梯形的面积公式求解.

（2）当PF 经过点D 时，PE ∥DA ，由EF=3，PF=6，可得∠EPD=∠ADF=30°，用三角函数计算可得3

（3）根据题意，分三种情况：①当0≤t 3时，3＜3时，③3≤t≤6时，根据三角形、梯形的面积的求法，求出S 与t 的函数关系式即可. 详解：（1）∵在Rt △PEF 中，∠PEF=90°，EF=3，PF=6

∴sin ∠P=

EF PF ∴∠P=30° ∵PE ∥AD

∴∠PAD=300，

根据勾股定理可得3 所以S 四边形PEAD =

12×（3+3）993 ；（2）当PF 经过点D 时，PE ∥DA ，由EF=3，PF=6，得∠EPF=∠ADF=30°，在Rt △ADF 中，由AD=3，得33 ；（3）分三种情况讨论：

①当0≤t 3 PF 交AD 于Q ，∵AF=t ，3t ，∴S=

1233

； ②3＜3时，PF 交BD 于K ，作KH ⊥AB 于H ，∵AF=t ，∴3-t ，S △ABD 93

， ∵∠FBK=∠FKB ，∴3，KH=KF×sin6009-3t

,∴S=S △ABD ﹣S △FBK

=23993,424

t t -

+- ③当3≤t≤33时，PE 与BD 交O ，PF 交BD 于K ，∵AF=t ，∴AE=t-3，BF=33-t, BE=33-t+3，OE=BE×tan300=

9-333t +，∴S=233233633

-t t --++

．点睛：此题主要考查了几何变换综合题，用到的知识点有直角三角形的性质，三角函数值，三角形的面积，图形的平移等，考查了分析推理能力，分类讨论思想，数形结合思想，要熟练掌握，比较困难.

8．如图，已知二次函数图象的顶点坐标为(1,4)A ，与坐标轴交于B 、C 、D 三点，且B 点的坐标为(1,0)-．（1）求二次函数的解析式；

（2）在二次函数图象位于x 轴上方部分有两个动点M 、N ，且点N 在点M 的左侧，过M 、N 作x 轴的垂线交x 轴于点G 、H 两点，当四边形MNHG 为矩形时，求该矩形周长的最大值；

（3）当矩形MNHG 的周长最大时，能否在二次函数图象上找到一点P ，使PNC ?的面积是矩形MNHG 面积的

？若存在，求出该点的横坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）2y x 2x 3=-++ （2）最大值为10 （3）故点P 坐标为：315(,)24或33232(24+--或332362

(,24

--+．【解析】【分析】

（1）二次函数表达式为：()2

14y a x =-+，将点B 的坐标代入上式，即可求解；（2）矩形MNHG 的周长

()()

2222222223282C MN GM x x x x x =+=-+-++=-++，即可求解；

（3）2711sin4532822PNC S PK CD PH ?==??=????9

PH HG ==，即可求解．【详解】

（1）二次函数表达式为：()2

14y a x =-+，

将点B 的坐标代入上式得：044a =+，解得：1a =-，故函数表达式为：2

23y x x =-++…①；

（2）设点M 的坐标为(

)

,23x x x -++，则点(

)

2,23N x x x --++，则222MN x x x =-+=-，223GM x x =-++，

矩形MNHG 的周长()()

22222223282C MN GM x x x x x =+=-+-++=-++，

∵20-<，故当22b

x a

=，C 有最大值，最大值为10，此时2x =，点()0,3N 与点D 重合；（3）PNC ?的面积是矩形MNHG 面积的916

，则99272316168

PNC S MN GM ?=

??=??=，连接DC ，在CD 得上下方等距离处作CD 的平行线m 、n ，过点P 作y 轴的平行线交CD 、直线n 于点H 、G ，即PH GH =，过点P 作PK CD ⊥于点K ，

将()3,0C 、()0,3D 坐标代入一次函数表达式并解得：直线CD 的表达式为：3y x =-+，

OC OD =，∴45OCD ODC PHK ∠=∠=?=∠，32CD =

设点()

,23P x x x -++，则点(),3H x x -+，

2711

sin4532822

PNC S PK CD PH ?=

=??=???? 解得：9

PH HG =

=，则2

92334

PH x x x =-+++-=，解得：32

x =

，

故点315,24P ??

?，直线n 的表达式为：93

344

y x x =-+-=-+…②，联立①②并解得：3322

x ±=

，即点'P 、''P 的坐标分别为332362,24??+-- ? ???、332362,24??

--+ ? ???；故点P 坐标为：315,24?? ???或332362,24??+-- ? ???或332362,24??--+ ? ???

．【点睛】

主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．

9．如图，已知抛物线2y ax bx c =++的顶点为()4,3A ，与y 轴相交于点()0,5B -，对称轴为直线l ，点M 是线段AB 的中点.

（1）求抛物线的表达式；

（2）写出点M 的坐标并求直线AB 的表达式；

（3）设动点P ，Q 分别在抛物线和对称轴l 上，当以A ，P ，Q ，M 为顶点的四边形是平行四边形时，求P ，Q 两点的坐标. 【答案】（1）2

1452

+-y x x ；（2）()2,1-M ，25y x =-；（3）点P 、Q 的坐标分别为()6,1或()2,1、()4,3-或()4,1．【解析】【分析】

（1）函数表达式为：()2

43y a x ==+，将点B 坐标代入上式，即可求解；（2）()4,3A 、()0,5B -，则点()2,1-M ，设直线AB 的表达式为：5y kx =-，将点

A 坐标代入上式，即可求解；

（3）分当AM 是平行四边形的一条边、AM 是平行四边形的对角线两种情况，分别求解

即可. 【详解】

解：（1）函数表达式为：()2

43y a x ==+，将点B 坐标代入上式并解得：12

a =-，故抛物线的表达式为：2

1452

+-y x x ；（2）()4,3A 、()0,5B -，则点()2,1-M ，设直线AB 的表达式为：5y kx =-，

将点A 坐标代入上式得：345k =-，解得：2k =，故直线AB 的表达式为：25y x =-；（3）设点()4,Q s 、点21,452P m m m ??-

+- ???

， ①当AM 是平行四边形的一条边时，

点A 向左平移2个单位、向下平移4个单位得到M ，同样点21,452P m m m ?

+- ???

向左平移2个单位、向下平移4个单位得到()4,Q s ，即：24m -=，2

14542

m m s -

+--=，解得：6m =，3s =-，

故点P 、Q 的坐标分别为()6,1、()4,3-； ②当AM 是平行四边形的对角线时，由中点定理得：424m +=+，2

131452

m m s -=-+-+，解得：2m =，1s =，

故点P 、Q 的坐标分别为()2,1、()4,1；

故点P 、Q 的坐标分别为()6,1，()4,3-或()2,1、()4,3-，()2,1或()4,1．【点睛】

本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、平行四边形性质、图象的面积计算等，其中（3），要主要分类求解，避免遗漏.

10．如图，二次函数245y x x =-++图象的顶点为D ，对称轴是直线l ，一次函数

y x =

+的图象与x 轴交于点A ，且与直线DA 关于l 的对称直线交于点B ．

（1）点D 的坐标是 ______；

（2）直线l 与直线AB 交于点C ，N 是线段DC 上一点（不与点D 、C 重合），点N 的纵坐标为n ．过点N 作直线与线段DA 、DB 分别交于点P ，Q ，使得DPQ ?与DAB ?相似．

①当27

n =时，求DP 的长； ②若对于每一个确定的n 的值，有且只有一个DPQ ?与DAB ?相似，请直接写出n 的取

值范围 ______．

【答案】（1）()2,9；（2）①95DP =②92155

n <<. 【解析】【分析】

（1）直接用顶点坐标公式求即可；（2）由对称轴可知点C （2，

5），A （-52，0），点A 关于对称轴对称的点（132

，0），借助AD 的直线解析式求得B （5，3）；①当n=275时，N （2，27

），可求DA=

，DN=185，CD=365，当PQ ∥AB 时，△DPQ ∽△DAB ，5；当PQ 与AB 不

平行时，5②当PQ ∥AB ，DB=DP 时，5DN=245，所以N （2，21

），则有且只有一个△DPQ 与△DAB 相似时，95＜n ＜

. 【详解】

（1）顶点为()2,9D ；故答案为()2,9；（2）对称轴2x =，

(2,)5

C ∴，

由已知可求5(,0)2

A -，

点A 关于2x =对称点为13

(

,0)2

，则AD 关于2x =对称的直线为213y x =-+，

(5,3)B ∴，

①当275n =

时，27(2,)5

N ，

DA ∴=

，182DN =，365CD = 当PQ AB ∥时，PDQ

DAB ??，

DAC DPN ??，

DP DN DA DC

∴=，

DP ∴=

当PQ 与AB 不平行时，DPQ

DBA ??，

DNQ

DCA ∴??，

DP DN

DB DC

∴

=，

DP ∴=

综上所述DP = ②当PQ AB ∥，DB DP =时，

DB =

DP DN

DA DC

∴

=， 245

DN ∴=， 21(2,

N ∴， ∴有且只有一个DPQ ?与DAB ?相似时，

92155

n <<；故答案为

921

n <<；【点睛】

本题考查二次函数的图象及性质，三角形的相似；熟练掌握二次函数的性质，三角形相似的判定与性质是解题的关键．

中考数学(二次函数提高练习题)压轴题训练及答案

一、二次函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．如图：在平面直角坐标系中，直线l ：y=13x ﹣4 3 与x 轴交于点A ，经过点A 的抛物线 y=ax 2﹣3x+c 的对称轴是x=3 2 ．（1）求抛物线的解析式；（2）平移直线l 经过原点O ，得到直线m ，点P 是直线m 上任意一点，PB ⊥x 轴于点B ，PC ⊥y 轴于点C ，若点E 在线段OB 上，点F 在线段OC 的延长线上，连接PE ，PF ，且PE=3PF ．求证：PE ⊥PF ；（3）若（2）中的点P 坐标为（6，2），点E 是x 轴上的点，点F 是y 轴上的点，当PE ⊥PF 时，抛物线上是否存在点Q ，使四边形PEQF 是矩形？如果存在，请求出点Q 的坐标，如果不存在，请说明理由．【答案】（1）抛物线的解析式为y=x 2﹣3x ﹣4；（2）证明见解析；（3）点Q 的坐标为（﹣2，6）或（2，﹣6）．【解析】【分析】（1）先求得点A 的坐标，然后依据抛物线过点A ，对称轴是x=3 2 列出关于a 、c 的方程组求解即可；（2）设P （3a ，a ），则PC=3a ，PB=a ，然后再证明∠FPC=∠EPB ，最后通过等量代换进行证明即可；（3）设E （a ，0），然后用含a 的式子表示BE 的长，从而可得到CF 的长，于是可得到点F 的坐标，然后依据中点坐标公式可得到 22x x x x Q P F E ++=，22 y y y y Q P F E ++=，从而可求得点Q 的坐标（用含a 的式子表示），最后，将点Q 的坐标代入抛物线的解析式求得a 的值即可．【详解】

中考数学复习专题二次函数知识点归纳

二次函数知识点归纳一、二次函数概念 1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： o o 结论：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。总结： 2. 2y ax c =+的性质：结论：上加下减。 a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质 0a > 向上 ()00， y 轴 0x >时，y 随x 的增大而增大；0x <时，y 随x 的增大而减小；0x =时，y 有最小值0． 0a < 向下 ()00， y 轴 0x >时，y 随x 的增大而减小；0x <时，y 随x 的增大而增大；0x =时，y 有最大值0．

总结： 3. ()2 y a x h =-的性质：结论：左加右减。总结： 4. ()2 y a x h k =-+的性质：总结： a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质 0a > 向上 ()0c ， y 轴 0x >时，y 随x 的增大而增大；0x <时，y 随x 的增大而减小；0x =时，y 有最小值c ． 0a < 向下 ()0c ， y 轴 0x >时，y 随x 的增大而减小；0x <时，y 随x 的增大而增大；0x =时，y 有最大值c ． a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质 0a > 向上 ()0h ， X=h x h >时，y 随x 的增大而增大；x h <时，y 随x 的增大而减小；x h =时，y 有最小值0． 0a < 向下 ()0h ， X=h x h >时，y 随x 的增大而减小；x h <时，y 随x 的增大而增大；x h =时，y 有最大值0． a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质

新人教版初中数学中考几何知识点大全

初中中考数学几何知识点大全直线：没有端点，没有长度射线：一个端点，另一端无限延长，没有长度线段：两个端点，有长度一、图形的认知 1、余角；补角：邻补角：二、平行线知识点 1、对顶角性质：对顶角相等。注意：对顶角的判断 2、垂线、垂足。过一点有 _____ 条直线与已知直线垂直 3、垂线段；垂线段长度==点到直线的距离 4、过直线外一点只有一条直线与已知直线平行 5、直线的两种关系：平行与相交（垂直是相交的一种特殊情况） 6、如果a // b, a // c,贝U b // c 7、同位角、错角、同旁角的定义。注意从文字角度去解读。 8、两直线平行====同位角相等、错角相等、同旁角互补三、命题、定理 1、真命题；假命题。 4、定理：经过推理证实的，这样得到的真命题叫做定理。四、平移 1、平移性质：平移之后的图形与原图形相比，对应边相等，对应角相等五、平面直角坐标系知识点 1、平面直角坐标系： 2、象限：坐标轴上的点不属于任何象限横坐标上的点坐标：（x, 0）纵坐标上的点坐标：（0, y） 3、距离问题：点（x, y）距x轴的距离为y的绝对值，距y轴的距离为x的绝对值坐标轴上两点间距离：点A （x1 , 0）点B （x2, 0）,则AB距离为x1-x2的绝对值点A （0, y1 ）点B （0, y2）,则AB距离为y1-y2的绝对值 4、角平分线：x=y x+y=0 5、若直线I与x轴平行，则直线I上的点纵坐标值相等若直线I与y轴平行，则直线I上的点横坐标值相等 .z

6、对称问题: 7、距离问题（选讲）：坐标系上点（x, y）距原点距离为坐标系中任意两点（x1 , y1）, （x2 , y2）之间距离为 8、中点坐标（选讲）：点A （x1 , 0）点B （x2 , 0）,贝U AB中点坐标为六、与三角形有关的线段 1、三角形分类：不等边；等腰；等边三角形 2、三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。依据：两点之间，线段最短 3、三角形的高：4三角形的中线：三角形的中线将三角形分为面积相等的两部分注：两个三角形周长之差为x，则存在两种可能：即可能是第一个△周长大，也有可能是第一个△周长小 4、三角形的角平分线：七、与三角形有关的角 1、三角形角和定理：三角形三个角的和等于180度。由此可推出：三角形最多只有一个直角或者钝角，最少有两个锐角 2、三角形的外角： 3、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个角的和 4、三角形的外角和为360度 5、等腰三角形两个底角相等 6、A+B=C或者A-B=C等相似形式，均可推出三角形为直角△ 7、A+BC等相似形式，均可推出三角形为钝角△ 八、多边形及其角和 1角：外角：对角线：、正多边形：多边形的角和（n-2）*180 2、多边形的外角和：360度 3、从n边形的一个顶点出发，可以引n-3条对角线，它们将n边形分成n-2个厶 4、从n边形的一个顶点出发，可以引n-3条对角线，n边形共有对角线n* （n-3 ）/2 九、镶嵌 1、平面图形能作“平面镶嵌”的必备条件，是图形拼合后同一个顶点的若干个角的和恰好等于360 °。用同一种正多边形镶嵌，只要正多边形角的度数整除360°,这种正多边形就能作平面镶嵌。 2、两种正多边形镶嵌，若第一个正多边形的角为M第二种正多边形的角为N,则 xM+yN=360 必须有正整数解通常对方程两边同时除以一个M N、360的最大公约数再通过列举法去判断此方程是否有正整数解。如有，则可以镶嵌。同时，可以根据正整数解的对数，判定有几种镶嵌方案。

2020中考数学重要知识点总汇

第1页，共24页第2页，共24页学校___________ 班级___________ 姓名___________ 学号___________ …………☉…不…☉…要…☉…在…☉…密…☉…封…☉…线…☉…内…☉…作…☉…答……………… 中考数学复习重要知识点总汇知识点一；实数的分为两类：有理数和无理数 1，有理数的表现形式有：整数、分数、有限小数、无限循环小数四种。 2，无理数的表现形式有： π 、无限不循环的小数、开方开不尽所得的数。（如：33 060sin ）知识点二；绝对值：（1）若?? ? ??≤-≥=)0) 0(a a a a a 则（则 (2)0≥a 知识点三；倒数：没有倒数。，的倒数是 0)0(1 ≠a a a 知识点四；平方根：,)0a a a a ，算术平方根是的平方根是（±≥ 注意：4的平方根是（），算术平方根是（），立方根是（）知识点五；幂的运算： )0(10≠=a a 负整数指数幂：)0()1(1≠== -a a a a n n n 同底数幂乘法：n m n m a a a ??+，幂的乘方：m n n m mn a a a )()(?? 积的乘方;m m m ab b a )(? 知识点六：乘法公式： 22))(b a b a b a -?-+（因式分解的步骤：首先提取公因式，然后考虑用公式。十字相乘试一试，最后是个乘积式。知识点六：二次根式运算：a a =2 )0()(2≥=a a a 知识点七;特殊三角函数值： sin300=21=cos600 sin600=cos300= 2 3 sin450=cos4502 2= tan300= 3 3 tan6003= )0(-≠÷?a a a a n m n m 2222)b ab a b a +±?±（

二次函数提高难题练习及答案二

5. （ 2014?珠海，第22题9分）如图，矩形OABC的顶点A（2，0）、C（0，2）．将矩形OABC绕点O逆时针旋转30°．得矩形OEFG，线段GE、FO相交于点H，平行于y轴的直线MN分别交线段GF、GH、GO和x轴于点M、P、N、D，连结MH．（1）若抛物线l：y=ax2+bx+c经过G、O、E三点，则它的解析式为：y=x2﹣x；（2）如果四边形OHMN为平行四边形，求点D的坐标；（3）在（1）（2）的条件下，直线MN与抛物线l交于点R，动点Q在抛物线l上且在R、E 两点之间（不含点R、E）运动，设△PQH的面积为s，当时，确定点Q的横坐标的取值范围．

12．（2014?舟山，第24题12分）如图，在平面直角坐标系中，A是抛物线y=x2上的一个动点，且点A在第一象限内．AE⊥y轴于点E，点B坐标为（0，2），直线AB交x轴于点C，点D与点C关于y轴对称，直线DE与AB相交于点F，连结BD．设线段AE的长为m，△BED 的面积为S．（1）当m=时，求S的值．（2）求S关于m（m≠2）的函数解析式．（3）①若S=时，求的值； ②当m＞2时，设=k，猜想k与m的数量关系并证明．

13.（2014年广东汕尾，第25题10分）如图，已知抛物线y=x2﹣x﹣3与x轴的交点为 A、D（A在D的右侧），与y轴的交点为C．（1）直接写出A、D、C三点的坐标；（2）若点M在抛物线上，使得△MAD的面积与△CAD的面积相等，求点M的坐标；（3）设点C关于抛物线对称轴的对称点为B，在抛物线上是否存在点P，使得以A、B、C、P四点为顶点的四边形为梯形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 16.（2014?武汉，第25题12分）如图，已知直线AB：y=kx+2k+4与抛物线y=x2交于A，B两点．（1）直线AB总经过一个定点C，请直接出点C坐标；（2）当k=﹣时，在直线AB下方的抛物线上求点P，使△ABP的面积等于5；（3）若在抛物线上存在定点D使∠ADB=90°，求点D到直线AB的最大距离．

二次函数知识点总结及典型题目

二次函数知识点总结及典型题目一.定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数. 二次函数的图象是抛物线，所以也叫抛物线y=ax2+bx+c ；抛物线关于对称轴对称且以对称轴为界，一半图象上坡，另一半图象下坡；其中c 叫二次函数在y 轴上的截距, 即二次函数图象必过（0，c ）点. 二.二次函数2ax y =的性质（1）抛物线2ax y =的顶点是坐标原点，对称轴是y 轴. （2）函数2ax y =的图像与a 的符号关系. ①当0>a 时?抛物线开口向上?顶点为其最低点； ②当0