二次曲面的一般理论

第六章二次曲面的一般理论

教学目的：本章讨论了一般二次曲面的渐近方向、中心、切线、切平面、径面奇向、主径面与主方向等重要概念，从不同角度对二次曲面进行了分类?

研究了二次曲面的几何性质，并通过坐标变换和不变量、半不变量两种形式化二次曲面的一般方程为规范方程，对二次曲面进行了分类和判定，是二次曲面理论的推

广和扩充?

教学重难点：通过坐标变换和运用不变量、半不变量化二次曲面的一般方程为规

范方程,既是重点又是难点?

基本概念

二次曲面：在空间，由三元二次方程

2 2 2

a11x a22y - a33z 2a12xy - 2a13xz 2a23yz 2a14x 2a24y 2a34z a44= 0（1）

所表示的曲面?

虚元素:空间中，有序三复数组（x,y,z）叫做空间复点的坐标，如果三坐标全是实数，那么它对应的点是实点，否则叫做虚点

二次曲面的一些记号

F（x,y,z）二

a11x2 a22y2a33Z22a12xy 2a13xz 2a23yz 2 a14x 2a24y 2 a34z a44 F1（x, y,z）=印必a^y a^z a^

F2（x,y,z）二盹乂a23y a?3Z a?4

F3（x,y,z）三33X a23y a33Z a34

F4（x,y,z）三a^x a?4y a34Z a44

：：」（x, y,z）二印必2 a22y2 a33Z2 Za^xy Za^xz 2a23yz

:：J1（x,y, z）= aux a12y a^z

:：J2（x, y, z）= a^x *22 y a?3z

?：」3(x, y, z)三 a^x a 23y a 33Z ?：」4(x, y, z)三 a i4x

a 24y a 34Z

即有恒等式成立:F (x, y, z) = xF 1(x, y, z) yF 2(x, y, z) zF 3(x, y,z) F 4(x, y, z)

:：J

(x, y, z) = x ：：、(x, y,z)

y ：：」2

(x, y,z) z^(x,y, z)

缶 a i2 a i3 a i4 '

二次曲面F(x,y,z)的系数矩阵

A =

a i2 a 22 a 23 a 24

a

i3

a 23 a 33 a 34

014

a

24

a

34

a

44 J

2ii a i2 a i3

而由①(x, y,z)的系数矩阵为

A* =

a i2 a 22

a 23

l a i3 a 23 a 33 J

二次曲面(1)的矩阵A 的第一，第二，第三，与第四行的元素分别是F j (x,y,z),

a ii

a i2 a i3

a ii

a i2

a ii

a i3

a 22

a 23

i = aii + 822+ a 33

I 2 =

+

+

13 = a )2 a 22

a 23

a i2

a 22

a i3

a 33

a 23

a 33

a i3

a 23

a 33

§ 6.1二次曲面与直线的相关位置

2 2 2

F(x, y,z)三 a 11x a 22y a 33z 2a 12xy 2a 13xz

2a 23 yz 2a 14 x 2a 24 y 2a 34 z a 44

(1)

x = x 0 Xt

与过点(X o , y o , z o )的直线 y = y ° Yt (2)

z = Zo Zt

将⑵代入(1)得

：：」(X,Y,Z)t 2 2〔XF i (x °, y o ,z o ) YF 2(x °, y °, zj ZF 3(x °, y °,z g )t F(x o ,y °,z °) = 0 (3)

a ii

a i2

a i4

a ii

a i3

a i4

a 22 a 23

a 24

a i2

a 22 a 24

+

a i3

a 33

a 34

+ a

23

a 33

a 34

a i4

a 24

a 44

a i4

a 34

a 44

a 24

a

34 a 44

K 2

F 2(x, y,z)，F 3(x, y, z)，

F 4(x, y,z)的系数。

a

ii a

i2

a

i3

a i4

a

i2 a 22 a

23 a

24 a

i3

a 23 a 33 a 34 a i4

a

24

a

34

a

44

a

ii

a

i4

+ a 22

a 24 +

a 33 a 34 a i4

a

44

a

24 a

44

a

34

a

44

K i

现讨论直线(2)与二次曲面(1)相交的各种情况：

1. G(X,Y,Z) =0,这时方程(3)是一个关于t的二次方程，它的判别式为：

：-XF1(X o,y°,Z o) YF2(X o,y°,Z o) ZF3(X o,y o,z。)2-G(X,Y,Z)F(x o,y o,Z o)

1^ 0，有两不等实根，直线与二次曲面有两不同实交点；

2°厶=0，有两相等实根，直线与二次曲面有两相互重合实交点；

3°?「：：0,有两共轭虚根，直线与二次曲面有两共轭虚交点

2■:」(X,Y,Z) =0

1°XF1(X o,y o,Z o) ? YF2(X o,y o,Z o) ? ZF3(X o,y o,Z o) = 0 ,直线与二次曲面有唯一交

占；

八、、J

2°XF'x o, y o,Z o) ' YF2(X o, y o,Z o) ZF3(X o, y o,Z o) =0 ,但 F (x。，y o, z。)= 0 直线与二次曲面无交点

3°XF1(X o,y°,Z o) YF2(X o,y°,Z o) ZF3(X o,y°,Z o) =0,且F(X o,y o)=o，直线与二

次曲面有无穷交点，直线在二次曲面上

§ 6.2二次曲面的渐进方向与中心

1. 二次曲面的渐进方向

定义521:满足G（X,Y,Z）=O的方向X :Y : Z称为二次曲面的渐进方向，否则称为非渐进方向.

对于给定的二次曲面F（x, y,z）三a11x2 a22y2 - a33z2 2a12xy - 2a13xz

2a23 yz 2a14 x 2a24 y 2a34 z a44（1）

j x = x0Xt

和过点（X o,y o,z o）的直线y = y o Yt （2）

z = Z o - Zt

当X : Y : Z为曲面（1）的渐进方向时，直线（2）与曲面（1）总有两个交点；当X :Y:Z为曲面（1）的渐进方向时，直线（2）与（1）或者只有一个交点，或者没有交点，或者整条直线在曲面上。

2.二次曲面的中心

当X :Y:Z 为二次曲面的非渐进方向时，即当

2 2

＞（X ,Y）三anX 2a12XY 玄22丫- O

x = X o Xt

以非渐进方向为方向的直线* y = y o +Yt与二次曲面交于两个点，由这两点决

Z = Z o + Zt

定的线段叫二次曲面的弦.

定义6.2.2:若点C是二次曲面的通过它的所有弦的中点,C是二次曲面的对称中心，那么点C叫做二次曲面的中心.

定理6.2.1若点C（x o，y o，z。）是二次曲面的中心，其充要条件是：

F1(x o,y°, Z o)二印必。ay。a^z o a^ =o

F2(X o, y o, z o) = a^X o a23y o a23z ' a24 =o

(6.2-1)

F3(X o, y o, z o) = a)3X o a23y o a33z o ' a3^ - 0

推论坐标原点是二次曲面的中心，其充要条件是曲面的方程不含有x, y,z的一次项

F i (x, y,z)三 a ii x a^y

a^z =0

二次曲面的中心坐标，由方程组

F 2(x, y, z)三a i2x - a 23y a 23z ? a 24 = 0 (6.2-2)

F 3(x, y,z)三 a^x a ?3y

a 33Z *34 = 0

决定，方程组（6.2-2）叫做二次曲面（1）的中心方程组 解，二次曲面（i ）有惟一中心。

2° r =R =2，（6.2-2）有无数多解，这些解可用一个参数来线性表示。曲面有 无数个中心，这些中心构成一条直线。

3° r =R =i ,（6.2-2）有无数多解，这些解可用两个参数来线性表示。曲面有 无数个中心，这些中心构成一个平面。

4°r T R ，（ 6.2-2）无解，这时二次曲面（i ）无中心。

定义6.2.3:有唯一中心的二次曲面叫中心二次曲面，没有中心的二次曲面叫 无心二次曲面，有无数中心构成一条直线的二次曲面叫 线心二次曲面，有无数中 心构成一平面的二次曲面叫 面心二次曲面，二次曲面中的无心曲面、线心曲面与面 心曲面统称为非中心二次曲面.

推论 二次曲面（i ）成为中心二次曲面的充要条件为13 = 0，成为非中心

二次曲面的充要条件为13=0

所以椭球面与双曲面都是中心曲面，他们的中心方程组分别为

01

a i2 a i3

A =

a i2

a 22 a 23

，B =

a 23 a 33 /

a i2 a 22

a 23 a i3 a 23

a 33 a i4 a 24

a 34

丿

的秩 r 与R ,有:

这时方程组的系数行列式 311

a i2 a i3

a i2

a 22 a 23 a i3

a 23 a 33

椭球面 2 2

0丄

a 2

b 2

2 z_ 2

c

=1与双曲面笃

2 2

y _

b 2 一 2

务二_i 的*分别为

c

1 2

a

-0与 1 2

a

丄

b 2 0

—i —

- 0 2-2 2 a b c

根据（6.2-2）的系数矩阵A 与增光矩阵

3

a ii a i2

-0 ,方程组有惟 I 3

x

F i （x,y,z ）三$ = 0 a 与 $ F 2（x, y,z ）三占=0

b

F 3（x,y,z ）三一$ = 0 c 因此，它们的中心都是坐标原点(0, 0 , 0)

2 2

例2抛物面才古亠.

0 0

±4T 0=0 ,所以抛物面为非中心二次曲面，它的

b 2 0 0

F 3(x, y, z)=-1，中心方程组有矛盾，因此抛物面为无心二次曲面。

例3对于曲面y 2 ? Z 2 -C 2 =0

0 0 0

13=0 1 0 =0,所以他是非中心二次曲面，但由于

F i (x,y,z )三0

0 0 1

、

9=0

、、

F 2(X , y,z)三y F 3(X , y,z)三z ，所以曲面有一条中心直线」

，所给曲面为线心曲面。

N =

(曲面实际上是一个圆柱面，中心直线就是它的对称轴。

)

作业：P 2542,4,6,8

R （x,y, z ）三

p=0 a

y

? F 2（X , y,z ）三 $ =0

b

F 3（X , y,z ）三-

二次型理论起源于解析几何中的化二次曲线和二次曲面方

第八章 二次型 二次型理论起源于解析几何中的化二次曲线和二次曲面方程为标准形的问题，这一理论在数理统计、物理、力学及现代控制理论等诸多领域都有很重要的应用. 本章主要介绍二次型的基本概念,讨论化二次型为标准形及正定二次型的判定等问题. §8.1 二次型及其矩阵表示 在解析几何中,我们曾经学过二次曲线及二次曲面的分类,以平面二次曲线为例,一条二次曲线可以由一个二元二次方程给出： 2 2 0ax bxy cy dx ey f +++++= (1.1) 要区分(1.1)式是哪一种曲线(椭圆、双曲线、抛物线或其退化形式),我们通常分两步来做:首先将坐标轴旋转一个角度以消去xy 项, 再作坐标的平移以消去一次项. 这里的关键是消去 xy 项,通常的坐标变换公式为: cos sin sin cos x x y y x y θθθθ''=-??''=+? (1.2) 从线性空间与线性变换的角度看,(1.2)式表示平面上的一个线性变换.因此二次曲线分类的关键是给出一个线性变换,使(1.1)式中的二次项只含有平方项.这种情形也在空间二次曲面的分类时出现,类似的问题在数学的其它分支、物理、力学中也会遇到. 为了讨论问题的方便,只考虑二次齐次多项式. 定义8.1.1 设f 是数域P 上的n 元二次齐次多项式: 212111121211222223232222 1,111,1(,, ,)22222n n n n n n n n n n n n nn n f x x x a x a x x a x x a x a x x a x x a x a x x a x -----=++ ++++++ +++ (1.3) 称为数域P 上的n 元二次型,简称二次型. 如果数域P 为实数域R ,则称f 为实二次型; 如果数域P 为复数域C ,则称f 为复二次型; 如果二次型中只含有平方项,即 222121122(,, ,)n n n f x x x d x d x d x =+++ 称为标准形式的二次型,简称为标准形. 说明: 在这个定义中,非平方项系数用2ij a 主要是为了以后矩阵表示的方便. 例8.1.2 下列多项式都是二次型: 22 2 2 2 (,)33(,,)22343f x y x xy y f x y z x xy xz y yz z =++=+-++- 下列多项式都不是二次型:

10三维空间中二次方程与二次曲面解读

三维空间中二次方程与二次曲面 张晓青（2010073060029） 指导教师：李厚彪 【摘要】 利用正交变换可以将二次型化为标准型，在三维空间中一个二次方程对应着一种 二次曲面.在研究二次方程的几何意义时，先将二次方程进行正交变换进而研究所得到的标准型对应的几何图形，可以证明所得的几何图形是一个与原几何图形相同但位于特殊位置的图形，具有一定的对称性，为研究带来方便.这种正交变换法适用于一般情况具有探究价值，本文基于教材，进一步讨论正交变换后不同的标准型与几何图形的关系，并附有图解. 【关键词】正交表换 二次方程 二次曲面 1 引 言 教材第六章二次型与二次曲面的几何应用中告诉我们不同的标准型的参数对应17种不同的几何图形，那么它们究竟是什么样的曲面图形呢？接下来我们一一讨论. 2．正 文 如果线性变换=X CY 中的系数举矩阵C 是正交矩阵，则称这个线性变换为正交变换 对n 维实向量T 12(,,,)n a a a =α，T 12(,,,)n b b b =β，设A 为n 阶正交矩阵，作正交变 换 =X A α，=Y A β， 则 T T T T (,)(,)()()(,).=====X Y A αA βA αA βαΑA βαβαβ 即，正交变换保持向量内积不变，因为也就保持向量的长度与夹角不变.于是在正交变换下，几何图形的形状不会发生改变. 设 222 12311122233312121313 2323112233(,,)222? f x x x a x a x a x a x x a x x a x x b x b x b x c =+++++++++ （1.1） 则方程123(,,)0f x x x =在几何空间中表示一个二次曲面. 令11 121321 222331 32 33a a a a a a a a a ?? ? = ? ???A ,123x x x ?? ?= ? ???X ，123b b b ?? ?= ? ??? b 则（1.1）式可记为 T T ()f c =++X X AX b X （1.2） 下面，令T ()g =X X AX 1. 作正交变换=X CY ，其中T 123(,,)y y y =Y ，则 223'' '112233112233()f y y y b y b y b y c λλλ=++++++X （1.3）

大班科学(数学)：图形二次分类

大班科学（数学）：图形二次 分类 活动设计意图： 图形二次分类主要让幼儿和教师一起通过图形的形状不同、 颜色不同来分类进行二次分类，再让幼儿二二合作进行分类，根 据图形的形状不同、颜色不同、大小不同进行二次分类。整个活 动采用了三种方法：游戏法、语言讨论法、尝试操作法。1、游戏法：通过“分家家”游戏，达到在玩中学的目的。在游戏中发展 幼儿的思维，变被动为主动。即使知识上得到了巩固和深化，又 使幼儿的分析、比较、概括能力得到了提高。2、语言讨论法：在 数学教育中，讨论是一种常用的方法，但是，讨论的时机选在操 作的不同时间，就会对幼儿的具体操作及思维活动起不同的作用。引导幼儿先讨论用什么方法分类，操作后，再一次请幼儿讨论。 这样，通过不断的交流与讨论，加上教师的帮助归纳，使幼儿在 自己的头脑中形成二次分类的概念。3、尝试操作法：在数学教学 中必须强调让幼儿亲手操作材料。在实际的操作中探索和学习， 获得有关数学概念的感性经验。幼儿只有在“做”的过程中与材 料的相互作用的过程，才可能对某一数学概念属性或规律有所体验，才可能获得直接的经验。在最后的操作活动中，给幼儿投放 了充足丰富的操作材料，并通过商量，一个分一个记录的环节进

行互助学习，对二次分类再一次进行经验归纳。 活动目标： 1、学习按图形的两种(三种)不同特征进行二次分类。 2、培养幼儿的分析、归纳能力和操作兴趣。 活动准备： 第一次操作：颜色2种圆形、正方形图片若干个，第二次操作：颜色2种，大小不同的三角形、正方形图片每二位幼儿一份。分类图。 活动重点： 能根据图形的不同特征进行二次分类。 活动难点： 引导幼儿合作进行分类并记录。 活动过程： 活动过程 幼儿活动 设计意图 教学评价 一 、 开始部分：闯关游戏引发幼儿活动兴趣。 1、老师带领一起去图形宝宝家做客。

大班数学活动图形的二次分类教案反思

（封面） 大班数学活动图形的二次分类教案反思 授课学科： 授课年级： 授课教师： 授课时间： XX学校

设计意图： 大班幼儿的认知、操作、逻辑思维能力在不断提高，同时，他们不 仅仅满足于老师所告诉的、所传授的，他们更希望通过自己的能力加以 证实。因此，他们对操作比较感兴趣。目前，我班幼儿已经基本能单独 进行图形、事物的一级分类，但是对事物图形进行二次分类有点困难。 而数学是一门抽象性、逻辑性很强的学科。在我选择的“二次分类”这 个数学活动时，我是考虑到，老师们习惯于仅以幼儿认识事物是从具体 到抽象这一特点为依据，只强调直观性，在活动中教师常运用教具演示，并以此为基础讲解基本的数学概念，而实际上，幼儿数学概念的形成不 是通过听老师讲、看老师演示所能解决得了的，必须通过幼儿自己主动 活动的过程。“图形二次分类”主要让幼儿和教师一起通过图形的特征 进行一次分类，再进行第二次分类，等幼儿初步掌握好二次分类的方法后，我们再进行一次直接的二次分类，我希望提供给幼儿充分的操作材料，再加以引导，一步一步深入，使幼儿真正在操作过程中去发现、归 纳“图形的二次分类”的特征。 教学目标： 1、学习按图形的两种不同特征进行二次分类。 2、大胆用语言表述出图形的二个层次的不同特征，培养幼儿的分析、归纳能力和操作兴趣。 3、能按要求操作，形成良好的操作习惯。 4、引导幼儿积极与材料互动，体验数学活动的乐趣。 5、培养幼儿比较和判断的能力。

教学重点难点： 教学重点：学习按图形的两种不同特征进行二次分类。 教学难点：大胆用语言表述出图形的二个层次的不同特征，培养幼 儿的分析、归纳能力和操作兴趣。 教学准备： 幼儿操作材料人手两份，磁性板(板上画好房子、房间)、含两种特 征的图形、标记。 教学方法： 整个活动采用了三种方法：游戏法、语言讨论法、尝试操作法。 1、游戏法：通过“图形宝宝分家”的游戏，达到在玩中学的目的。在游戏中发展幼儿的思维，变被动为主动。即使知识上得到了巩固和深化，又使幼儿的分析、比较、概括能力得到了提高。 2、语言讨论法：在数学教育中，讨论是一种常用的方法，但是， 讨论的时机选在操作的不同时间，就会对幼儿的具体操作及思维活动起 不同的作用。引导幼儿先讨论用什么方法分类，操作后，再一次请幼儿 讨论。这样，通过不断的交流与讨论，加上教师的帮助归纳，使幼儿在 自己的头脑中形成二次分类的概念。 3、尝试操作法：在数学教学中必须强调让幼儿亲手操作材料。在 实际的操作中探索和学习，获得有关数学概念的感性经验。幼儿只有在“做”的过程中与材料的相互作用的过程，才可能对某一数学概念属性 或规律有所体验，才可能获得直接的经验。在最后的操作活动中，给幼 儿投放了充足丰富的操作材料，并通过商量，一个分一个记录的环节进

二次型的几何分类及其应用

二次型的几何分类及其应用 田金慧 内容摘要：通过对二次型的基本概念与基本理论的阐述，重点讨论了二次型的五种分类：正定二次型、半正定二次型、负定二次型、半负定二次型和不定二次型，通过具体的实例给出了分类问题的几何描述。其次，分析并列举了二次型相关理论在实际中的一些应用，其中包括二次型标准型在二次曲面分类上的应用，由此得到了十七种二次曲面标准方程，并对典型方程给出了图形描述；同时包括二次型正定性用于求解多元函数极值问题的应用实例；还包括以实例展示半正定二次型用于不等式证明的步骤和方法。最后，作为二次型理论应用广泛的例证，阐述了它在统计学中关于统计距离、参数估计量的自由度求解以及量子物理中关于耦合谐振子问题的应用。 在问题的研究中，采用理论分析与实例应用相结合，充分发挥数学应用软件的优势，将二次型（实）理论的内涵形象、直观、清晰地给予展现。 关键词：二次型；几何描述；正定性；实际应用 1导言 在数学的学习和应用中，二次型的理论是十分重要的，它不仅是代数中的重要理论，更是连接代数与几何的有力桥梁。事实上，二次型的理论就起源于解析几何中二次曲线、二次曲面方程的化简问题。学习和理解二次型的理论不但可以对数学中的代数定理有深刻地理解，也可以对几何有更为形象的认识。 因此，掌握二次型理论的有关应用问题是十分必要的。 但是，在现有的教材中，都只是对二次型理论的代数性质进行了一定的介绍，

并没有对它的几何意义加以阐述；即使有一些书籍对它的几何性质稍有涉及，但也只是点到为止，并没有给出形象的表示，关于二次型可能的应用问题更是很少提及，然而在数学的很多分支以及一些其他学科中都或多或少地涉及到二次型有关理论的应用，如解析几何、统计学和量子物理等。 本文以二次型分类为切入点，以几何描述为主线，充分发挥数学软件的优势，将二次型有关理论的内涵加以展现。 当然，这里所讨论的二次型理论只是其中的基础，关于它的深入研究请参阅参考文献[1]。 2 二次型及其标准型 所谓二次型就是一个二次齐次多项式。 定义2.1 在数域F 上，含有n 个变量12,, ,n x x x 的二次齐次函数 22 212111222(,, ,)n nn n f x x x a x a x a x =++ + n n x x a x x a 11211222+++ +n n n n x x a 112--+ （1） 称为n 元二次型，简称二次型【2】。 当ij a 为复数时，),,,(21n x x x f 称为复二次型；当ij a 为实数时，),,,(21n x x x f 称为实二次型。本文仅讨论实二次型。 若取ij ji a a =，则i j ji j i ij j i ij x x a x x a x x a +=2于是（1）式可写成 12,1 (,, ,)n T n ij i j i j f x x x a x x X AX ===∑ （2） 其中，11 12121 2221 2 n n n n nn a a a a a a A a a a ?? ? ?= ? ? ???，12 n x x X x ?? ? ?= ? ? ??? ，A 为实对称矩阵，称为二次型f 的矩阵

二次型与二次曲面

第七章 二次型与二次曲面 二次型的定义 定义：n 个变量n ,x ,,x x 21的二次齐次多项式 ()ji ij n i n j j i ij n a a ,x x a ,x ,,x x Q ==∑∑==11 21 称为n 元二次型或二次形式。当系数ij a 取实数时，称为实二次型；ij a 取复数时，称为复二次型。 例：()32212 13213x x x x x ,x ,x x Q +-= 例：()233221213212x x x x x x x ,x ,x x Q ++-= ()() () ????? ???????????????????=++++++++++++===∑∑==n nn n n n n n n nn n n n n n n n n ji ij n i n j j i ij n x x x a a a a a a a a a ,x ,,x x x a x x a x x a x x a x a x x a x x a x x a x a a a ,x x a ,x ,,x x Q 21212222111211212 22112222 221221112112211111 21 令()()T ij T n A A a ,A ,x ,,x x x ===则,21 ，且二次型可表示为 ()Ax x ,x ,,x x Q T n = 21， 称A 为二次型的矩阵。

()x x x x x x x ,x ,x x Q T ??????? ? ? ?--=+-=02 302302102113322121321 例：写出下列二次型对应的矩阵，假设A 为实对称矩阵，且 r (A )=n . ()∑∑ ===n i n j j i ij n x x |A| A ,x ,,x x Q 11 21 矩阵的相合 设n n ,β,,ββ,,α, ,αα 2121是n 维线性空间V 的两组基，这两组基的过渡矩阵为P ，即 ()()P ,α, ,αα,β,,ββn n 2121= 设向量V ∈α在两组基下的坐标分别为 ()()T n T n ,y ,,y y ,y ,x ,,x x x 2121== 则有坐标变换公式（也称可逆的线性替换）： x P y Py x 1 -==或。 则 ()()() y AP P y APy Py Ax x αQ T T T T === 称同一个二次函数()αQ 在不同基下所对应的两个二次型 Ax x T 和()By y y AP P y T T T =是等价的。 定义：给定两个n 阶方阵A 和B ，如果存在可逆矩阵P ，使得B =P T AP ，则称B 与A 相合（或合同）。

常见的空间曲面与方程

常见的空间曲面与方程 常见的空间曲面有平面、柱面、锥面、旋转曲面和二次曲面。 1. 平面 空间中平面的一般方程为 0a x b y c z d +++= 其中,,a b c 均为常数，且,,a b c 不全为零。 例如，1x y z ++=（图8-6（a ）），0x =（图8-6（b ））均表示空间中的平面， z yoz 平面（x =0） y y x 图8-6（a ） 图8-6 (b) 图8-6 2. 柱面 与给定直线L 平行的动直线l 沿着某给定的曲线C 移动所得到空间曲面，称为柱面， l 为母线，C 为准线。 如图8-7所示 图8-7 图8-8

例如，222x y R +=表示空间中母线平行于z 轴，准线是xoy 平面上的圆222x y R +=的 圆柱面的方程，简称圆柱面图（8-8）。 3. 二次曲面 三元二次方程 222 1231 2 31230a x a y a z b x y b y z b z x c x c y c z d +++ ++++++= 所表示的曲面称为二次曲面，其中,,(1,2,3),i i i a b c i d =均为常数，且,,i i i a b c 不全为0. 二次曲面有以下几种标准形式，它们分别为： 球面： 图8-9 椭球面：222 2221(,,0)x y z a b c a b c ++=>图8-10 图8-9 图8-10 单叶双曲面：222 2221(,,0)x y z a b c a b c -+=>图8-11 双叶双曲面：222 2221(,,0)x y z a b c a b c +-=->图8-12 2222(0)x y z R R + += >x z

二次曲面的一般理论

第六章 二次曲面的一般理论 教学目的 : 本章讨论了一般二次曲面的渐近方向、中心、切线、切平面、径面 奇向、主径面与主方向等重要概念 ,从不同角度对二次曲面进行了分类 . 研究了二次曲面的几何性质 , 并通过坐标变换和不变量、半不变量两种形式 化二次曲面的一般方程为规范方程 , 对二次曲面进行了分类和判定 , 是二次曲面理 论的推广和扩充 . 教学重难点 : 通过坐标变换和运用不变量、半不变量化二次曲面的一般方程为 规范方程 , 既是重点又是难点 . 基本概念 二次曲面 : 在空间 , 由三元二次方程 2 2 2 a 11x a 22 y a 33z 2a 12 xy 2a 13 xz 2a 23 yz 2a 14 x 2a 24 y 2a 34z a 44 0 (1) 所表示的曲面 . 虚元素 :空间中，有序三复数组 (x,y,z) 叫做空间复点的坐标，如果三坐标全是 实数，那么它对应的点是 实点 ，否则叫做 虚点 二次曲面的一些记号 F(x,y,z) F 1(x,y,z) a 11x a 12y a 13z a 14 F 2(x,y,z) a 12x a 23y a 23z a 24 F 3( x, y, z) a 13x a 23y a 33z a 34 F 4 (x,y,z) a 14x a 24y a 34z a 44 2 2 2 (x, y,z) a 11x 2 a 22 y 2 a 33z 2 2a 12 xy 2a 13 xz 2a 23 yz 1 (x,y,z) a 11x a 12 y a 13z 2 (x,y,z) a 12 x a 22 y a 23z 2 a 11 x 22 a 22 y a 33 z 2a 12 xy 2a 13 xz 2a 23 yz 2a 14 x 2a 24 y 2a 34 z a 44

二次曲面的一般理论

第六章 二次曲面的一般理论 教学目的: 本章讨论了一般二次曲面的渐近方向、中心、切线、切平面、径面奇向、主径面与主方向等重要概念,从不同角度对二次曲面进行了分类. 研究了二次曲面的几何性质,并通过坐标变换和不变量、半不变量两种形式,化二次曲面的一般方程为规范方程,对二次曲面进行了分类和判定,是二次曲面理论的推广和扩充. 教学重难点: 通过坐标变换和运用不变量、半不变量化二次曲面的一般方程为规范方程,既是重点又是难点. 基本概念 二次曲面: 在空间,由三元二次方程 022222244342414231312233222211=+++++++++a z a y a x a yz a xz a xy a z a y a x a （1） 所表示的曲面. 虚元素:空间中，有序三复数组),,(z y x 叫做空间复点的坐标，如果三坐标全是实数，那么它对应的点是实点，否则叫做虚点 二次曲面的一些记号 ≡ ),,(z y x F 44 342414231312233222211222222a z a y a x a yz a xz a xy a z a y a x a +++++++++ 141312111),,(a z a y a x a z y x F +++≡ 242323122),,(a z a y a x a z y x F +++≡ 343323133),,(a z a y a x a z y x F +++≡ 443424144),,(a z a y a x a z y x F +++≡ yz a xz a xy a z a y a x a z y x 231312233222211222),,(+++++≡Φ z a y a x a z y x 1312111),,(++≡Φ z a y a x a z y x 2322122),,(++≡Φ

幼儿园大班数学：图形的二次分类

幼儿园大班数学：图形的二次分类 幼儿园大班数学：图形的二次分类 一、设计意图：大班幼儿的认知、操作、逻辑思维能力在不断提高，同时，他们不仅仅满足于老师所告诉的、所传授的，他们更希望通过自己的能力加以证实。因此，他们对操作比较感兴趣。目前，我班幼儿已经基本能单独进行图形、事物的一级分类，但是对事物图形进行二次分类有点困难。而数学是一门抽象性、逻辑性很强的学科。在我选择的&ldqu;二次分类&rdqu;这个数学活动时，我是考虑到，老师们习惯于仅以幼儿认识事物是从具体到抽象这一特点为依据，只强调直观性，在活动中教师常运用教具演示，并以此为基础讲解基本的数学概念，而实际上，幼儿数学概念的形成不是通过听老师讲、看老师演示所能解决得了的，必须通过幼儿自己主动活动的过程。&ldqu;图形二次分类&rdqu;主要让幼儿和教师一起通过图形的特征进行一次分类，再进行第二次分类，等幼儿初步掌握好二次分类的方法后，我们再进行一次直接的二次分类，我希望提供给幼儿充分的操作材

料，再加以引导，一步一步深入，使幼儿真正在操作过程中去发现、归纳&ldqu;图形的二次分类&rdqu;的特征。 二、教学目标： 1、学习按图形的两种不同特征进行二次分类。 2、大胆用语言表述出图形的二个层次的不同特征，培养幼儿的分析、归纳能力和操作兴趣。 3、能按要求操作，形成良好的操作习惯。

活动重点：学习按图形的两种不同特征进行二次分类。 活动难点：大胆用语言表述出图形的二个层次的不同特征，培养幼儿的分析、归纳能力和操作兴趣。 三、教学准备： 幼儿操作材料人手两份，磁性板（板上画好房子、房间）、含两种特征的图形、标记。 四、教学方法

图形的二次分类

大班数学“二次分类”说课稿 南勋幼儿园宋敏 一、教材分析 人是一个能动的个体，学习是学习者主动建构的过程。社会的发展也强烈需要发展幼儿的主动性和创造性。而数学是一门抽象性、逻辑性很强的学科。在我选择的“二次分类”这个数学活动时，我是考虑到，老师们习惯于仅以幼儿认识事物是从具体到抽象这一特点为依据，只强调直观性，在活动中教师常运用教具演示，并以此为基础讲解基本的数学概念，而实际上，幼儿数学概念的形成不是通过听老师讲、看老师演示所能解决得了的，必须通过幼儿自己主动活动的过程。“图形的二次分类”我希望提供给幼儿充分的操作材料，再加以引导，一步一步深入，使幼儿真正在操作过程中去发现、归纳“图形的二次分类”的特征。 二、幼儿情况分析 大班幼儿的认知、操作、逻辑思维能力在不断提高；同时，他们不仅仅满足于老师所告诉的、所传授的，他们更希望通过自己的能力加以证实。因此，他们对操作比较感兴趣。目前，我班幼儿已经基本能单独进行图形、事物的一级分类，但是不能对事物图形进行二次分类。而且由于幼儿各方面的发展还不成熟，他们的对某一事物也许明白，却无法从具体转化为自己内在抽象的概念，所以通过活动我希望他们能把自己对事物的外部特征的认识转为内在的、有规律的思考。 二、目标确定 新《纲要》指出：科学教育的价值趋向不再是注重静态知识的传递，而是注重儿童的情感态度和儿童探究解决问题的能力。幼儿是教育活动的积极参与者而非被动接受者，活动内容必须与幼儿兴趣、需要、及接受能力相吻合，引导幼儿向最近目标发展区发展。在接触中发现，大班的孩子喜欢探索，喜欢尝试，对于动动，做做，非常感兴趣，于是我启发他们在操作后进行交流和讨论，积累经验，引导他们发现“图形二次分类”的规律特征。因此，根据《纲要》中数学领域的目标以及本班幼儿的实际情况，我将本次活动的目标定位于： 1、通过活动使幼儿能从生活、游戏中感受事物的关系，并体验到发现的乐趣 2、通过幼儿的操作、探索，培养幼儿发现、观察比较、归纳事物特征的逻辑思维能力； 3、引导幼儿说出图形两个层次的特征，体验包含关系，学习二次分类。 这三个目标中蕴涵了数学能力的培养、主动探索的经验获得和对事物归纳总

二次型理论起源于解析几何中的化二次曲线和二次曲面方.

第八章二次型 二次型理论起源于解析几何中的化二次曲线和二次曲面方程为标准形的问题，这一理论 在数理统计、物理、力学及现代控制理论等诸多领域都有很重要的应用?本章主要介绍二次 型的基本概念，讨论化二次型为标准形及正定二次型的判定等问题 § 8.1二次型及其矩阵表示 在解析几何中，我们曾经学过二次曲线及二次曲面的分类，以平面二次曲线为例，一条二次曲线可以由一个二元二次方程给出： 2 2 ax bxy cy dx ey f 0 (1.1) 要区分(1.1)式是哪一种曲线(椭圆、双曲线、抛物线或其退化形式),我们通常分两步来做：首先将坐标轴旋转一个角度以消去xy项，再作坐标的平移以消去一次项.这里的关键是消去 xy项，通常的坐标变换公式为： x x cos y sin (1.2) y x sin y cos 从线性空间与线性变换的角度看，(1.2)式表示平面上的一个线性变换.因此二次曲线分类的关 键是给出一个线性变换，使(1.1)式中的二次项只含有平方项.这种情形也在空间二次曲面的分类时出现，类似的问题在数学的其它分支、物理、力学中也会遇到.为了讨论问题的方便，只 考虑二次齐次多项式. 定义8.1.1设f是数域P上的n元二次齐次多项式： 2 f (X1,X2 ,L ,X n) 印必242X1X2 L 2a1n X1X n 2 a22X2 2a23X2X3 L 2a2n X2X n (1.3) 1 2 2 2 L a n 1,n 1 x n 1 2a n 1,n x n 1 x n a nn x n 称为数域P上的n元二次型，简称二次型.如果数域P为实数域R,则称f为实二次型；如果 数域P为复数域C,则称f为复二次型；如果二次型中只含有平方项，即 2 2 2 f(X1,X2丄，X n) d j X1 d2X2 L d n X n 称为标准形式的二次型，简称为标准形. 说明：在这个定义中，非平方项系数用2a j主要是为了以后矩阵表示的方便 例8.1.2下列多项式都是二次型： 2 2 f (x, y) x 3xy 3y f (x, y,z) 2x22xy 3xz y24yz ，3z2 F列多项式都不是二次型

大班数学图形的二次分类教案反思

大班数学图形的二次分类教案反思 大班数学图形的二次分类教案反思主要包含了活动目标，活动过程，活动反思等内容，幼儿利用层级分类板将三角形、圆形、方形、菱形等若干图形进行二级次分类，观察分类板、看是否标记尝试把图形二次分类，适合幼儿园老师们上大班数学活动课，快来看看图形的二次分类教案吧。 活动目标： 1、幼儿利用层级分类板将三角形、圆形、方形、菱形等若干图形进行二级次分类。 2、观察分类板、看是否标记尝试把图形二次分类。 3、在“闯关游戏”中充分体验分类的快乐。 4、引发幼儿学习图形的兴趣。 5、引导幼儿积极与材料互动，体验数学活动的乐趣。 活动过程： 一、出示图形宝宝，引入主题。“今天除了客人老师，还有谁来到了我们班？是什么图形宝宝？图形宝宝来干什么呢？” 二、在闯关游戏中把图形二次分类。 1、闯关开始：请观看唐老鸭设计的路线图，这个路线图应该怎么走？幼儿尝试操作。 2、幼儿操作，看标记把图形进行第一次分类，并请幼儿讲述操作结果。 3、继续闯关： （1）小组讨论路线图； （2）请个别幼儿介绍操作方法；

（3）幼儿操作，教师巡导； （4）幼儿的操作结果展示在黑板上，一起验证。 三、闯关成功。 请幼儿讲讲在这次闯关游戏中的感觉？ 活动反思： 兴趣能促使幼儿对数学学习产生积极的情感体验，引领幼儿积极思考．在实践中，我的体会是：从幼儿的学习特点和认知规律出发．让孩子们在生动有趣的游戏情境中快乐的学习数学。 在数学《图形的二次分类》教学中，我根据教学内容的特点和幼儿的实际情况，准备了充分的操作材料，让幼儿在多种形式的教学活动中，加深了对二次分类的认识，大班幼儿学习按物体两个以上特征或特性进行分类，按某一特征的肯定与否定进行分类，学习层级分类和多角度分类，我选择了其中的一个点按某一特征的肯定与否定进行分类，重点是观察分类板、看是否标记尝试把图形二次分类。 学习内容和幼儿的生活背景越接近，幼儿自觉接纳知识的程度就越高。从幼儿熟悉的颜色、形状入手，容易让幼儿感受到数学就在身边。整个活动始终注意从生活中取材，无论是形状分类、颜色分类，还是开阔的练习，都赋予有趣的生活情境。让幼儿充分感受到数学知识来源于生活。 提供丰富的操作的材料，为每个幼儿都能运用多种感官、多种方式进行探索提供活动的条件。幼儿只有通过动手操作、摆弄，才能逐步体验抽象的分类概念。在本次分类教学中，我是这样安排操作程序的：活动一开始就让幼儿先复习和观察比较图形的颜色、形状，在动手操作中去发现问题，以保证其有较充足的操作

高数下册常用常见知识点

高等数学下册常用常见知识点 第八章 空间解析几何与向量代数 （一） 向量及其线性运算 1、 向量，向量相等，单位向量，零向量，向量平行、共线、共面； 2、 线性运算：加减法、数乘； 3、 空间直角坐标系：坐标轴、坐标面、卦限，向量的坐标分解式； 4、 利用坐标做向量的运算：设),,(z y x a a a a = ，),,(z y x b b b b = ， 则 ),,(z z y y x x b a b a b a b a ±±±=± , ),,(z y x a a a a λλλλ= ； 5、 ； 6、 7、 向量的模、方向角、投影： 1） 向量的模： 2 22z y x r ++= ； 2） 两点间的距离公式： 2 12212212)()()(z z y y x x B A -+-+-= 3） 方向角：非零向量与三个坐标轴的正向的夹角γβα,, 4） 方向余弦：r z r y r x ===γβαcos ,cos ,cos 1cos cos cos 222=++γβα 5） 投影：?cos Pr a a j u =，其中?为向量a 与u 的夹角。 | （二） （三） 数量积，向量积 1、 数量积：θcos b a b a =? 1）2 a a a =? 2）?⊥b a 0=?b a z z y y x x b a b a b a b a ++=? 2、 向量积：b a c ?=

大小：θsin b a ，方向：c b a ,,符合右手规则 1）0 =?a a 2）b a //? =?b a z y x z y x b b b a a a k j i b a =? 运算律：反交换律 b a a b ?-=? （四） 曲面及其方程 1、 ] 2、 曲面方程的概念： ),,(:=z y x f S 3、 旋转曲面：（旋转后方程如何写） yoz 面上曲线0),(:=z y f C ， 绕y 轴旋转一周： 0),(22=+±z x y f 绕 z 轴旋转一周： 0),(22=+±z y x f 4、 柱面：（特点） 0),(=y x F 表示母线平行于z 轴，准线为?????==0 0),(z y x F 的柱面 5、 @ 6、 二次曲面（会画简图） 1） 椭圆锥面：2 2222z b y a x =+ 2） 椭球面：122 2222=++c z b y a x

二次曲面的分类

二次曲面的分类 在空间直角坐标系下，二次曲面的一般方程可以写成 222111222333121213132323141242343442222220a x a x a x a x x a x x a x x a x a x a x a +++++++++=即 ()1112 1311232122232141242343443132 333,,2220a a a x x x x a a a x a x a x a x a a a a x ???? ???++++= ??? ??????? ， 其中，ij ji a a =. 记123x X x x ?? ?= ? ???，那么实二次型()1112131123123212223231 32333(,,),,a a a x x x x x x x a a a x a a a x ???? ???Φ= ??? ???????的矩阵为111213212223313233a a a A a a a a a a ?? ?= ? ???，通过正交线性替换X TY =，其中123y Y y y ?? ?= ? ??? ，有 122221122333(,,)''(')'x y z X AX Y T AT Y Y Y y y y λλλλλλ?? ?Φ====++ ? ?? ?， 其中123,,λλλ是实对称矩阵A 的全部特征值，它们与正交矩阵T 无关，由矩阵A 唯一确定. 这样，在上述正交线性替换X TY =下（即所谓的转轴变换），原二次曲面的方程变成了 222112233141242343442220y y y b y b y b y a λλλ++++++=. 最后，再通过适当的平移变换消去一次项，二次曲面的一般方程可以化成下列十七种标准形之一，并且它们分别表示十七种曲面： （一）假设123,,λλλ都非零，即0A ≠，那么二次曲面的方程再通过适当的平移变换消去 一次项后可以变为2221122330z z z d λλλ+++=的形式。进而得到： 1. 椭圆面 2223122221z z z a b c ++=； 2. 虚椭圆面 2223122221z z z a b c ++=-；

大班数学《图形的二次分类》教案和教学反思.

大班数学《图形的二次分类》教案和教学反思 2018-01-15 活动目标： 1、幼儿利用层级分类板将三角形、圆形、方形、菱形等若干图形进行二级次分类。 2、观察分类板、看是否标记尝试把图形二次分类。 3、在“闯关游戏”中充分体验分类的快乐。 活动过程： 一、出示图形宝宝，引入主题。“今天除了客人老师，还有谁来到了我们班？是什么图形宝宝？图形宝宝来干什么呢？” 二、在闯关游戏中把图形二次分类。 1、闯关开始：请观看唐老鸭设计的路线图，这个路线图应该怎么走？幼儿尝试操作。2、幼儿操作，看标记把图形进行第一次分类，并请幼儿讲述操作结果。3、继续闯关：（1）小组讨论路线图；（2）请个别幼儿介绍操作方法；（3）幼儿操作，教师巡导；（4）幼儿的操作结果展示在黑板上，一起验证。三、闯关成功。请幼儿讲讲在这次闯关游戏中的感觉？ 反思： 兴趣能促使幼儿对数学学习产生积极的情感体验，引领幼儿积极思考．在实践中，我的体会是：从幼儿的学习特点和认知规律出发．让孩子们在生动有趣的游戏情境中快乐的学习数学。 在数学《图形的二次分类》教学中，我根据教学内容的特点和幼儿的实际情况，准备了充分的操作材料，让幼儿在多种形式的教学活动中，加深了对二次分类的认识，大班幼儿学习按物体两个以上特征或特性进行分类，按某一特征的肯定与否定进行分类，学习层级分类和多角度分类，我选择了其中的一个点按某一特征的肯定与否定进行分类，重点是观察分类板、看是否标记尝试把图形二次分类。 学习内容和幼儿的生活背景越接近，幼儿自觉接纳知识的程度就越高。从幼儿熟悉的颜色、形状入手，容易让幼儿感受到数学就在身边。整个活动始终注意从生活中取材，无论是形状分类、颜色分类，还是开阔的练习，都赋予有趣的生活情境。让幼儿充分感受到数学知识来源于生活。 提供丰富的操作的材料，为每个幼儿都能运用多种感官、多种方式进行探索提供活动的条件。幼儿只有通过动手操作、摆弄，才能逐步体验抽象的分类概念。在本次分类教学中，我是这样安排操作程序的：活动一开始就让幼儿先复习和观察比较图形的颜色、形状，在动手操作中去发现问题，以保证其有较

二次曲面的一般理论

第六章二次曲面的一般理论 教学目的：本章讨论了一般二次曲面的渐近方向、中心、切线、切平面、径面奇向、主径面与主方向等重要概念，从不同角度对二次曲面进行了分类? 研究了二次曲面的几何性质，并通过坐标变换和不变量、半不变量两种形式化二次曲面的一般方程为规范方程，对二次曲面进行了分类和判定，是二次曲面理论的推 广和扩充? 教学重难点：通过坐标变换和运用不变量、半不变量化二次曲面的一般方程为规 范方程,既是重点又是难点? 基本概念 二次曲面：在空间，由三元二次方程 2 2 2 a11x a22y - a33z 2a12xy - 2a13xz 2a23yz 2a14x 2a24y 2a34z a44= 0（1） 所表示的曲面? 虚元素:空间中，有序三复数组（x,y,z）叫做空间复点的坐标，如果三坐标全是实数，那么它对应的点是实点，否则叫做虚点 二次曲面的一些记号 F（x,y,z）二 a11x2 a22y2a33Z22a12xy 2a13xz 2a23yz 2 a14x 2a24y 2 a34z a44 F1（x, y,z）=印必a^y a^z a^ F2（x,y,z）二盹乂a23y a?3Z a?4 F3（x,y,z）三33X a23y a33Z a34 F4（x,y,z）三a^x a?4y a34Z a44 ：：」（x, y,z）二印必2 a22y2 a33Z2 Za^xy Za^xz 2a23yz :：J1（x,y, z）= aux a12y a^z :：J2（x, y, z）= a^x *22 y a?3z

?：」3(x, y, z)三 a^x a 23y a 33Z ?：」4(x, y, z)三 a i4x a 24y a 34Z 即有恒等式成立:F (x, y, z) = xF 1(x, y, z) yF 2(x, y, z) zF 3(x, y,z) F 4(x, y, z) :：J (x, y, z) = x ：：、(x, y,z) y ：：」2 (x, y,z) z^(x,y, z) 缶 a i2 a i3 a i4 ' 二次曲面F(x,y,z)的系数矩阵 A = a i2 a 22 a 23 a 24 a i3 a 23 a 33 a 34 014 a 24 a 34 a 44 J 2ii a i2 a i3 而由①(x, y,z)的系数矩阵为 A* = a i2 a 22 a 23 l a i3 a 23 a 33 J 二次曲面(1)的矩阵A 的第一，第二，第三，与第四行的元素分别是F j (x,y,z), a ii a i2 a i3 a ii a i2 a ii a i3 a 22 a 23 i = aii + 822+ a 33 I 2 = + + 13 = a )2 a 22 a 23 a i2 a 22 a i3 a 33 a 23 a 33 a i3 a 23 a 33 § 6.1二次曲面与直线的相关位置 2 2 2 F(x, y,z)三 a 11x a 22y a 33z 2a 12xy 2a 13xz 2a 23 yz 2a 14 x 2a 24 y 2a 34 z a 44 (1) x = x 0 Xt 与过点(X o , y o , z o )的直线 y = y ° Yt (2) z = Zo Zt 将⑵代入(1)得 ：：」(X,Y,Z)t 2 2〔XF i (x °, y o ,z o ) YF 2(x °, y °, zj ZF 3(x °, y °,z g )t F(x o ,y °,z °) = 0 (3) a ii a i2 a i4 a ii a i3 a i4 a 22 a 23 a 24 a i2 a 22 a 24 + a i3 a 33 a 34 + a 23 a 33 a 34 a i4 a 24 a 44 a i4 a 34 a 44 a 24 a 34 a 44 K 2 F 2(x, y,z)，F 3(x, y, z)， F 4(x, y,z)的系数。 a ii a i2 a i3 a i4 a i2 a 22 a 23 a 24 a i3 a 23 a 33 a 34 a i4 a 24 a 34 a 44 a ii a i4 + a 22 a 24 + a 33 a 34 a i4 a 44 a 24 a 44 a 34 a 44 K i

幼儿园图形的二次分类教案

教学资料参考范本幼儿园图形的二次分类教案 撰写人：__________________ 部门：__________________ 时间：__________________

一、设计意图:大班幼儿的认知、操作、逻辑思维能力在不断提高,同时,他们不仅仅满足于老师所告诉的、所传授的,他们更希望通过自 己的能力加以证实。因此,他们对操作比较感兴趣。目前,我班幼儿已 经基本能单独进行图形、事物的一级分类,但是对事物图形进行二次分类有点困难。而数学是一门抽象性、逻辑性很强的学科。在我选择的“二次分类”这个数学活动时,我是考虑到,老师们习惯于仅以幼儿认 识事物是从具体到抽象这一特点为依据,只强调直观性,在活动中教师 常运用教具演示,并以此为基础讲解基本的数学概念,而实际上,幼儿数学概念的形成不是通过听老师讲、看老师演示所能解决得了的,必须通过幼儿自己主动活动的过程。“图形二次分类”主要让幼儿和教师一 起通过图形的特征进行一次分类,再进行第二次分类,等幼儿初步掌握 好二次分类的方法后,我们再进行一次直接的二次分类,我希望提供给 幼儿充分的操作材料,再加以引导,一步一步深入,使幼儿真正在操作过程中去发现、归纳“幼儿园图形的二次分类教案”的特征。 二、教学目标: 1、学习按图形的两种不同特征进行二次分类。 2、大胆用语言表述出图形的二个层次的不同特征,培养幼儿的分析、归纳能力和操作兴趣。 3、能按要求操作,形成良好的操作习惯。 活动重点:学习按图形的两种不同特征进行二次分类。 活动难点:大胆用语言表述出图形的二个层次的不同特征,培养幼 儿的分析、归纳能力和操作兴趣。

三、教学准备: 幼儿操作材料人手两份,磁性板(板上画好房子、房间)、含两种特 征的图形、标记。 四、教学方法 整个活动采用了三种方法:游戏法、语言讨论法、尝试操作法。 1、游戏法:通过“图形宝宝分家”的游戏,达到在玩中学的目的。 在游戏中发展幼儿的思维,变被动为主动。即使知识上得到了巩固和深化,又使幼儿的分析、比较、概括能力得到了提高。 2、语言讨论法:在数学教育中,讨论是一种常用的方法,但是,讨论 的时机选在操作的不同时间,就会对幼儿的具体操作及思维活动起不同 的作用。引导幼儿先讨论用什么方法分类,操作后,再一次请幼儿讨论。这样,通过不断的交流与讨论,加上教师的帮助归纳,使幼儿在自己的头 脑中形成二次分类的概念。 3、尝试操作法:在数学教学中必须强调让幼儿亲手操作材料。在 实际的操作中探索和学习,获得有关数学概念的感性经验。幼儿只有在“做”的过程中与材料的相互作用的过程,才可能对某一数学概念属性 或规律有所体验,才可能获得直接的经验。在最后的操作活动中,给幼 儿投放了充足丰富的操作材料,并通过商量,一个分一个记录的环节进 行互助学习,对二次分类再一次进行经验归纳。 五、教学过程: (一)、活动导入: 师:今天,“图形之家”来了一些新朋友,你们看一看,新朋友是谁? 生:圆形宝宝、三角形宝宝。