2013届高考一轮复习 空间向量及其运算

2013届高考一轮复习空间向量及其运算

一、选择题

1、△ABC的顶点分别为A(1,-1,2),B(5,-6,2),C(1,3,-1),则AC边上的高BD等于( )

A.5

B.41

C.4

D.25

2、如图所示,已知四面体ABCD,E、F、G、H分别为AB、BC、CD、AC的中点,则1()

2

AB BC CD

++

化简的结果为( )

A.BF

B.EH

C.HG

D.FG

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,⊥,⊥,且3、二面角α-l-β为60,A、B是棱l上的两点,AC、BD分别在半平面α、β内AC l BD l AB=AC=a,BD=2a,则CD的长为( )

A.2a

5a

C.a

3a

=,,,若a、b、c三向量共面,则实数λ等于( )

4、已知a=(2,-1,3), b=(-1,4,-2), c(75)λ

A.62

7

B.65

7

C.64

7

D.63

7

5、如图所示,已知空间四边形的每条边和对角线长都等于a,点E、F、G分别为AB、AD、DC的中点,则2a等于( )

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A.2BA BC ?

B.2AD BD ?

C.2FG CA ?

D.2EF CB ?

6、如图,在底面ABCD 为平行四边形的四棱柱ABCD-1111A B C D 中,M 是AC 与BD 的交点,若AB =a 11A D ,=b 1A A ,=c ,则下列向量中与1B M 相等的向量是 ( )

A.12-a 12

+b +c B. 12a 12

+b + c C. 12a 12

-b + c D.12-a 12

-b + c

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7、在正方体ABCD-1111A B C D 中,给出以下向量表达式:

①111()A D A A AB --;②111()BC BB DC +-;

③1()2AD AB DD --;④1111()B D A A DD ++.

其中能够化简为向量1BD 的是 ( )

A.①②

B.②③

C.③④

D.①④

8、在四面体O-ABC 中OA ,= a OB ,=b OC ,=c ,D 为BC 的中点,E 为AD 的中点,则OE 可表示为(用a ，b,c 表示) ( ) A.12a 14+b 14

+c B. 12a 13+b 12

-c C. 13a 14+b 14

+c D. 13a 14-b 14

+c

9、空间三点的坐标为A(1,5,-2),B(2,4,1),C(p,3,q+2),若A 、B 、C 三点共线,则 ( )

A.p=-3,q=-2

B.p=-3,q=2

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C.p=3,q=-2

D.p=3,q=2

10、已知点M 在平面ABC 内,并且对空间任一点1123

O OM xOA OB OC ,=++,则x 的值为 ( ) A.16

B.13

C.12

D.0

11、已知向量a =(2,-1,3), b =(-4,2,x),若a ⊥b ,则x= ;若a ∥b ，则x= .

二、填空题

12、已知点A(1,2,1),B(-1,3,4),D(1,1,1),若2AP PB =,则|PD |的值是 .

13、在空间四边形ABCD 中AB CD BC AD ,?+?+CA ?BD = .

14、A(1,0,1),B(4,4,6),C(2,2,3),D(10,14,17)这四个点是否共面 (共面或不共面).

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三、解答题

15、如图,在平行六面体ABCD-1111A B C D 中,以顶点A 为端点的三条棱长都为1,且两两夹角为60.

(1)求1AC 的长;

(2)求1BD 与AC 的夹角的余弦值.

16、已知向量a =(1,-3,2), b =(-2,1,1),O 为原点,点A(-3,-1,4),B(-2,-2,2).

(1)求|2a +b |;

(2)在直线AB 上,是否存在一点E,使得OE ⊥b ?

以下是答案

一、选择题

1、 A

解析:设AD AC λ=,又(043)AC =,,-.

则(043)AD λλ=,,-.

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(450)AB =,-,,

∴(4453)BD λλ=-,+,-,

由0AC BD ?=, 得45λ=-, ∴912(4)55

BD =-,,, ∴|BD |=5.

2、 C

解析:1111()()22222AB BC CD AC CD AD HG HG ++=+==?=.

3、 A

解析:∵AC l BD l ⊥,⊥,

∴60AC BD ,=,且00AC BA AB BD ?=,?=, ∴CD CA AB BD =++,

∴|CD |2()CA AB BD =++

222(2)22cos1202a a a a a a =+++?=.

4、 B

5、 B

解析:可知3AD BD π,=,∴222AD BD a ?=?cos 23

a π=.

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6、 A

解析:由题意,根据向量运算的几何运算法则, 11B M B B BM =+=c 12

BD + = c 11()22AD AB +-=-a 12

+b + c .

7、A

解析:①11111()A D A A AB AD AB BD --=-=; ②1111111()BC BB DC BC DC BD +-=-=; ③111()22AD AB DD BD DD BD --=-≠; ④111111111()B D A A DD B D DD B D BD ++=+=≠. 综上,①②符合题意.

8、 A

解析: 111()222

OE OA AD OA AB AC =+=+?+ 1()4

OA OB OA OC OA =+?-+- 111244

OA OB OC =++ =12a 14+b 14

+ c.

9、 D

解析:∵A 、B 、C 三点共线,∴AB AC λ=. 而(241)(AB =,,-1,5,-2)=(1,-1,3),

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(3AC p q =,,+2)-(1,5,-2)=(p-1,-2,q+4). ∴(1,13)(12p λ-,=-,-,q+4),

∴p=3,q=2.

故选D.

10、 A

解析:由四点共面的充要条件可知:1111236x x ++=?=.

11、 103

-6 解析:∵a ⊥ b ,

∴a ? b =(213)(42)x ,-,?-,,=-8-102303x x +=?=; 若a ∥b ,而a =(2,-1,3), b =(-4,2,x),

∴ b =-2a 6x ?=-.

二、填空题

12、

解析:设P(x,y,z),∴(1AP x y =-,-2,z-1), (13PB x =--,-y,4-z).

由2AP PB =得点P 坐标为81(3)33

-,,, 又D(1,1,1),∴|PD

|=

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13、 0

解析:设AB =b AC ,=c AD ,=d ,

则,CD =-d c ,BD ,=-d b BC ,=-c b . 原式=()()()?-+?--?-b d c d c b c d b =0.

14、 共面

解析:(345)(122)AB AC =,,,=,,,

(91416)AD =,,,

设AD x AB y AC =+.

即(9,14,16)=(3x+y,4x+2y,5x+2y),

∴ 23x y =,??=,

? 从而A 、B 、C 、D 四点共面.

三、解答题

15、 解:设AB =a AD ,=b 1AA ,=c ,则两两夹角为60,且模均为1.

(1) 111AC AC CC AB AD AA =+=++=++a b c . ∴|1AC |2(=++a b c 2)=|a |2+|b |2+|c |2+22??+?a b+2b c a c 1361162=+???=, ∴|1AC

|=即1AC

.

111(2)BD BD DD AD AB AA =+=-+=-+b a c .

实用文档 ∴1BD AC ?=()()-+?+b a c a b =22?-+?+-?+?a b a a c b a b b c =1. |1BD |2()2=-+=,b a c

|AC |2()3=+=,a b

∴cos 1116123

BD AC

BD AC BD AC ?,===?. ∴1BD 与AC 的夹角的余弦值为

6. 16、 解:(1)2a +b =(2,-6,4)+(-2,1,1)=(0,-5,5), 故|2a +b |2220(5)552=+-+=.

(2)假设存在一点E 满足题意,即AE t =AB (0)t ≠. OE OA AE OA t =+=+AB =(-3,-1,4)+t(1,-1,-2) =(-3+t,-1-t,4-2t), 若OE ⊥b ,则OE ?b =0,

所以-2(-3+t)+(-1-t)+(4-2t)=0,解得95

t =, 因此存在点E,使得OE ⊥b ,

此时点E 的坐标为6142()555

-,-,.

空间向量与立体几何高考题汇编

1. （2009北京卷）（本小题共14分） 如图，四棱锥 P-ABCD 的底面是正方形， PD _底面ABCD , 点E 在棱PB 上. （I ）求证：平面 AEC _平面PDB ； （H ）当PD = J2AB 且E 为PB 的中点时，求 AE 与 平面PDB 所成的角的大小. 解：如图，以D 为原点建立空间直角坐标系 D-xyz , 设 AB 二 a,PD 二h, 则 A a,0,0 ,B a,a,0 ,C 0,a,0 , D 0,0,0 ,P 0,0,h , (I 「AC …a,a,0 齐=0,0,h,DB=a,a,0 , ??? AC 丄 DR AC 丄 DB ??? AC 丄平面 PDB ???平面AEC _平面PDB . （n ）当PD =?』2AB 且E 为PB 的中点时, 设ASBD=O 连接 OE 由（I ）知ACL 平面PDB 于 O, ? / AEO 为AE 与平面PDB 所的角， ?- AOE =45，即AE 与平面PDB 所成的角的大小为45 ? 2.（2009山东卷）（本小题满分 12分） P 0,0,、、2a Ji i 42 E —a, —a, — a , 匹2 2 丿 ?cos AEO EA 】EO 2 p,

解法二：(1)因为AB=4, BC=CD=2, F 是棱AB 的中点， 所以BF=BC=CF ^ BCF 为正三角形，因为ABCD 为 等腰梯形，所以/ BAC=Z ABC=60 ,取AF 的中点M, 连接。皿＞则DMLAB,所以DM L CD, 以DM 为x 轴,DC 为y 轴,DDi 为z 轴建立空间直角坐标系， ,则 D( 0,0,0 ) ,A (、.3,-1,0 ) ,F ( ... 3,1,0 ) ,C 向量为；=(x, y,则 4 ^F=0所以 ]n C 。= 0 i EE i i-丄.3 i 0=0,所以 n _ EE i ,所以直线 EEj/ 平面 FCC . 2 2 2 ) FB =(0, 2,0),设平面BFC 的法向量为n =( x, y, z)则]J i n FC =0 .厂 ,取 n=(2,0, J3),则 -、3x i y i 2 Z i —0 2 7 ,由图可知二面角 B-FC 1 -C 2 .7 7 B-FC i -C 的余弦值为+ 3. (2009全国卷H)(本小题满分12分) 如图，直三棱柱 ABC-ABG 中，AB_AC, D 、E 分别为AA ,、 B i C 的中点，DE _平面BCC i (I )证明：AB=AC (II )设二面角A-BD -C 为60°,求B i C 与平面BGD 所成的角 的大小。 (I )分析一：连结BE, ： ABC -AQG 为直三棱柱，一 B^C =90 , C (0,2,2 ) ,E (邑 2 i 2。) ,Ei ( ? 3小)， E i ,_1,1),CF =(.3-1,0),CC i =(0,0,2) D E ? A M F F C 、3,I ,2) 设平面CGF (020 ③-八。取 n=(i,§0), z = 0 yi =0 n 2 i 一、3 0 0 .3 =2, |二汀(3)2 =2,|；|「22 0 c ，3)2 -7 所以cos n, n |n||n | 为锐角，所以二面角 D i A i B i

平面向量及空间向量高考数学专题训练

平面向量及空间向量高考数学专题训练（四） 一、选择题（本大题共12小题，每小题分6，共72分） 1．设-=1(a cos α,3), (=b sin )3,α,且a ∥b ， 则锐角α为（ ） A. 6π B. 4π C. 3 π D. 125π 2．已知点)0,2(-A 、)0,3(B ，动点2),(x y x P =?满足，则点P 的轨迹是（ ） A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线 3．已知向量值是相互垂直，则与且k b a b a k b a -+-==2),2,0,1(),0,1,1(（ ） A. 1 B. 51 C. 53 D. 5 7 4．已知b a ,是非零向量且满足的夹角是与则b a b a b a b a ,)2(,)2(⊥-⊥-（ ） A. 6π B. 3 π C. 32π D. 65π 5．将函数y=sinx 的图像上各点按向量=a （2,3 π ）平移，再将所得图像上各点的横坐标 变为原来的2倍，则所得图像的解析式可以写成（ ） A.y=sin(2x+ 3π)+2 B.y=sin(2x －3 π )－2 C.y=(321π+x )－2 D.y=sin(321π-x )+2 6．若A,B 两点的坐标是A(3φcos ,3φsin ,1),B(2,cos θ2,sin θ1),||的取值范围是( ) A. [0,5] B. [1,5] C. (1,5) D. [1,25] 7．从点A(2,－1,7)沿向量)12,9,8(-=a 方向取线段长|AB|=34,则点B 的坐标为（ ） A.(-9,-7,7) B. (-9,-7,7) 或(9,7,-7) C. (18,17,-17) D. (18,17,-17)或(-18,-17,17) 8．平面直角坐标系中，O 为坐标原点， 已知两点A(3, 1)， B(-1, 3)，若点C 满足 =OB OA βα+, 其中α、β∈R 且α+β=1, 则点C 的轨迹方程为 ( ) A.01123=-+y x B.5)2()1(2 2 =-+-y x C. 02=-y x D. 052=-+y x 9．已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于m ，点E ，F 分别是BC ，AD 的中点，则?的值为 （ ） A.2 m B. 212m C. 4 1 2m D. 432m 10．O 为空间中一定点，动点P 在A,B,C 三点确定的平面内且满足)()(-?-=0,

高三数学专题复习：空间向量

一、知识梳理 【高考考情解读】 高考对本节知识的考查以解答题的形式为主：1.以多面体(特别是棱柱、棱锥或其组合体)为载体，考查空间中平行与垂直的证明、空间角(主要是线面角和二面角)的计算.2.以已知结论寻求成立的条件(或是否存在问题)的探索性问题，考查逻辑推理能力、空间想象能力以及探索能力，是近几年高考命题的新亮点，属中高档问题． 1． 直线与平面、平面与平面的平行与垂直的向量方法 设直线l 的方向向量为a ＝(a 1，b 1，c 1)．平面α，β的法向量分别为μ＝(a 2，b 2，c 2)，v ＝(a 3，b 3，c 3)(以下相同)． (1)线面平行：l ∥α?a ⊥μ?a ·μ＝0?a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2＝0. (2)线面垂直：l ⊥α?a ∥μ?a ＝k μ?a 1＝ka 2，b 1＝kb 2，c 1＝kc 2. (3)面面平行：α∥β?μ∥v ?μ＝λv ?a 2＝λa 3，b 2＝λb 3，c 2＝λc 3. (4)面面垂直：α⊥β?μ⊥v ?μ·v ＝0?a 3a 4＋b 3b 4＋c 3c 4＝0. 2． 直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角计算 设直线l ，m 的方向向量分别为a ＝(a 1，b 1，c 1)，b ＝(a 2，b 2，c 2)．平面α，β的法向量分别为μ＝(a 3，b 3，c 3)，v ＝(a 4，b 4，c 4)(以下相同)． (1)线线夹角：设l ，m 的夹角为θ(0≤θ≤π2)，则cos θ＝|a ·b ||a ||b |＝|a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2|a 21＋b 21＋c 21a 22＋b 22＋c 22 . (2)线面夹角：设直线l 与平面α的夹角为θ(0≤θ≤π2)，则sin θ＝|a ·μ||a ||μ| ＝|cos 〈a ，μ〉|. (3)面面夹角：设平面α、β的夹角为θ(0≤θ<π)，则|cos θ|＝|μ·v ||μ||v | ＝|cos 〈μ，v 〉|. 提醒 求二面角时，两法向量的夹角有可能是二面角的补角，要注意从图中分析． 3． 求空间距离 直线到平面的距离，两平行平面的距离均可转化为点到平面的距离，点P 到平面α的距 离：d ＝|PM →·n ||n | (其中n 为α的法向量，M 为α内任一点). 二、课前预习 1．平面α的法向量为m ，向量a 、b 是平面α之外的两条不同的直线的方向向量，给出三个论断：①a ⊥m ；②a ⊥b ；③m ∥b .以其中的两个论断作为条件，余下一个论断作为结论， 写出所有正确的命题______________________． 2.如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面△ABC 中，CA ＝CB ＝1， ∠BCA ＝90°，棱AA 1＝2，则cos 〈BA 1→，CB 1→〉的值为________． 3．如图所示，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC －A 1B 1C 1，

空间向量高考题.doc.docx

空间向量高考题 1. 如下图 , 在长方体 ABCD— A1 B1C1 D1中, 已知 AB=4, AD=3, AA1= 2. E、F 分别是线段AB、BC上的点 , 且 EB=FB=1. （Ⅰ）求二面角C— DE—C1的正切值 ; （Ⅱ）求直线 EC1与 FD1所成角的余弦值 . 、如图四棱锥 P—ABCD中底面 ABCD为矩 形AB AD , 侧面 PAD为等 边 2 .,,, =8,=4三角形 , 并且与底面所成二面角为60°. （Ⅰ）求四棱锥P— ABCD的体积 ;（Ⅱ）证明PA⊥BD. 4、如图，α⊥β，α ∩β＝l ，∈α，∈β，点 A 在直线 l 上的射影为 1 ，点 A B A B 在直线l 上的射影为1，已知＝，1， 1 ＝，求： B AB 2AA=1BB （Ⅰ）直线 AB分别与平面α，β所成的角的大小；（Ⅱ）二面角A1－AB－ B1的大小 .

证∵α⊥β，α∩β=l ， AA1⊥l ， BB1⊥l ，∴AA1⊥β，BB1⊥α ， 则∠ BAB1，∠ ABA1分别是 AB与α和β所成的角 . Rt△BB1A 中， BB1=，AB=2，∴ sin∠BAB1=， ∴∠ BAB1=45°. Rt△AA1B 中， AA1=1，AB=2， ∴sin ∠ABA1=，∴∠ ABA1=30°. 故 AB与平面α，β所成的角分别是45°， 30°. ( Ⅱ) 如图，建立坐标系，则A1（ 0， 0， 0）， A（0，0， 1）， B1（0，1，0）， B （，1，0）. 在 AB上取一点 F（x，y，z），则存在 t ∈R，使得=t， 即（ x，y，z－1）=t() ，∴点 F 的坐标为 (t ，t ，1－ t). 要使，须=0，即（，t ，1－t ）·（，1，－1）=0， 2t+t－(1 －t)=0 ，解得 t=，∴点 F 的坐标为 () ∴(). 1 ）. ∴ 设 E 为 AB 的中点，则点 E 的坐标为（ 0， 又 ∴，∴∠A1FE为所求二面角的平面角.

最新平面向量及空间向量高考数学专题训练

平面向量及空间向量高考数学专题训练

平面向量及空间向量高考数学专题训练（四） 一、选择题（本大题共12小题，每小题分6，共72分） 1．设?Skip Record If...?cos?Skip Record If...?,?Skip Record If...?), ?Skip Record If...?sin?Skip Record If...?,且?Skip Record If...?∥?Skip Record If...?，则锐角 ?Skip Record If...?为（） A. ?Skip Record If...? B. ?Skip Record If...? C. ?Skip Record If...? D. ?Skip Record If...? 2．已知点?Skip Record If...?、?Skip Record If...?，动点?Skip Record If...?，则点P的轨迹是（） A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线 3．已知向量?Skip Record If...?（） A. 1 B. ?Skip Record If...? C. ?Skip Record If...? D. ?Skip Record If...? 4．已知?Skip Record If...?是非零向量且满足?Skip Record If...?（） A. ?Skip Record If...? B. ?Skip Record If...? C. ?Skip Record If...? D. ?Skip Record If...? 5．将函数y=sinx的图像上各点按向量?Skip Record If...?（?Skip Record If...?）平移，再将所得图像上各点的横坐标变为原来的2倍，则所得图像的解析式可以写成（） A.y=sin(2x+?Skip Record If...?)+2 B.y=sin(2x－?Skip Record If...?)－2 C.y=(?Skip Record If...?)－2 D.y=sin(?Skip Record If...?)+2 6．若A,B两点的坐标是A(3?Skip Record If...?,3?Skip Record If...?,1),B(2?Skip Record If...?2?Skip Record If...?1),|?Skip Record If...?|的取值范围是( ) A. [0,5] B. [1,5] C. (1,5) D. [1,25]

高考数学专题：空间向量与立体几何(含解析)

立体几何中的向量方法 1.（2012年高考（重庆理））设四面体的六条棱的长分别为 a ,且长为a 的 ,则a 的取值范围是 （ ） A ． B ． C ． D ． [解析] 以O 为原点,分别以OB 、OC 、OA 所在直线为x 、y 、z 轴, 则22cos 4 AO PO AOP R ?∴∠= =,A )0,23 ,21(),22,0,22(R R P R R 42arccos =∠∴AOP , 4 2 arccos ?=∴R P A 2. （2012年高考（陕西理））如图,在空间直角坐标系中有直三棱柱 111ABC A B C -,12CA CC CB ==,则直线1BC 与直线1AB 夹角的余弦值为 （ ） A B C D ． 35 解析:不妨设122CA CC CB ===, 11(2,2,1),(0,2,1) AB C B =-=- , 111111cos ,5 AB C B AB C B AB C B ×<>= =-,直线1BC 与直线1AB 夹角为锐角,选A. 3.（2012年高考（天津理））如图,在四棱锥P ABCD -中,PA 丄平面ABCD ,AC 丄 AD ,AB 丄BC ,0=45ABC ∠,==2PA AD ,=1AC . (Ⅰ)证明PC 丄AD ; (Ⅱ)求二面角A PC D --的正弦值; (Ⅲ)设E 为棱PA 上的点,满足异面直线BE 与CD 所成的角为0 30,求AE 的长. P

【命题意图】本小题主要考查空间两条直线的位置关系,二面角、异面直线所成的角,直线 与平面垂直等基础知识,考查用空间向量解决立体几何问题的方法,考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力. 方法一:（1）以,,AD AC AP 为,,x y z 正半轴方向，建立空间直角左边系A xyz - 则11(2,0,0),(0,1,0),(,,0),(0,0,2)22 D C B P - (0,1,2),(2,0,0)0PC AD PC AD PC AD =-=?=?⊥ （2）(0,1,2),(2,1,0)PC CD =-=-，设平面PCD 的法向量(,,)n x y z = 则0 202200n PC y z y z x y x z n CD ?=-==????????-===???? 取1(1,2,1)z n =?= (2,0,0)AD =是平面PAC 的法向量 630 cos ,sin ,66 AD n AD n AD n AD n <>= = ?<>= 得：二面角A PC D --的正弦值为 6 （3）设[0,2]AE h =∈；则(0,0,2)AE =，11 (,,),(2,1,0)2 2 BE h CD =-=- cos ,210 10BE CD BE CD h BE CD <>= ? = ?= 即10AE = 方法二:(1)证明,由PA ⊥平面ABCD ,可得PA AD ⊥,又由 ,AD AC PA AC A ⊥?=,故AD ⊥平面 PAC ,又PC ?平面 PAC ,所以PC AD ⊥. (2)解:如图,作AH PC ⊥于点H ,连接DH ,由

高考专题之空间向量

高考专题之空间向量 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

空间向量专题 1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。 注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。 （2）空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示。 2. 空间向量的运算。 定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。 OB OA AB a b =+=+;BA OA OB a b =-=-;()OP a R λλ=∈ 运算律：⑴加法交换律：a b b a +=+ ⑵加法结合律：)()(c b a c b a ++=++ ⑶数乘分配律：b a b a λλλ+=+)( 3. 共线向量。 （1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量 也叫做共线向量或平行向量，a 平行于b ，记作b a //。 当我们说向量a 、b 共线（或a //b ）时，表示a 、b 的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线。 （2）共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ），a //b 存在实数 λ，使a ＝λb 。 4. 共面向量 （1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。

说明：空间任意的两向量都是共面的。 （2）共面向量定理：如果两个向量,a b 不共线，p 与向量,a b 共面的条件是存在实数,x y 使p xa yb =+。 5. 空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c 不共面，那么对空间任一向量 p ，存在一个唯一的有序实数组,,x y z ，使p xa yb zc =++。 若三向量,,a b c 不共面，我们把{,,}a b c 叫做空间的一个基底，,,a b c 叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。 推论：设,,,O A B C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个有序实数,,x y z ，使OP xOA yOB zOC =++。 6. 空间向量的直角坐标系： （1）空间直角坐标系中的坐标： 在空间直角坐标系O xyz -中，对空间任一点A ，存在唯一的有序实数组 (,,)x y z ，使++=，有序实数组(,,)x y z 叫作向量A 在空间直角坐标系O xyz -中的坐标，记作(,,)A x y z ，x 叫横坐标，y 叫纵坐标，z 叫竖坐标。 （2）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，这个基底叫单位正交基底，用{,,}i j k 表示。 （3）空间向量的直角坐标运算律： ①若123(,,)a a a a =，123(,,)b b b b =，则112233(,,)a b a b a b a b +=+++，

高考数学压轴专题专题备战高考《空间向量与立体几何》全集汇编

新数学《空间向量与立体几何》高考知识点 一、选择题 1．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M ， N 分别为棱111,C D CC 的中点，以下四个结论：①直线DM 与1CC 是相交直线；②直线AM 与NB 是平行直线；③直线BN 与1MB 是异面直线；④直线AM 与1DD 是异面直线．其中正确的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【答案】C 【解析】 【分析】 根据正方体的几何特征，可通过判断每个选项中的两条直线字母表示的点是否共面；如果共面，则可能是相交或者平行；若不共面，则是异面. 【详解】 ①：1CC 与DM 是共面的，且不平行，所以必定相交，故正确； ②：若AM BN 、平行，又AD BC 、平行且,AM AD A BN BC B ?=?=，所以平面 BNC P 平面ADM ，明显不正确，故错误； ③：1BN MB 、不共面，所以是异面直线，故正确； ④：1AM DD 、不共面，所以是异面直线，故正确； 故选C. 【点睛】 异面直线的判断方法：一条直线上两点与另外一条直线上两点不共面，那么两条直线异面；反之则为共面直线，可能是平行也可能是相交. 2．已知一个几何体的三视图如图所示（正方形边长为1），则该几何体的体积为（ ）

A ． 34 B ． 78 C ． 1516 D ． 2324 【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】 由三视图可知：该几何体为正方体挖去了一个四棱锥A BCDE -， 该几何体的体积为11117 11132228 ??-??+??= ??? 故选B 点睛：思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽. 3．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，13,1AB AD AA ===,而对角线1A B 上存 在一点P ，使得1AP D P +取得最小值，则此最小值为（ ）

空间向量与立体几何高考题汇编62478

1.（2009北京卷）（本小题共14分） 如图，四棱锥P ABCD -的底面是正方形，PD ABCD ⊥底面，点E 在棱PB 上. （Ⅰ）求证：平面AEC PDB ⊥平面； （Ⅱ）当2PD AB =且E 为PB 的中点时，求AE 与 平面PDB 所成的角的大小. 解:如图，以D 为原点建立空间直角坐标系D xyz -， 设,,AB a PD h == 则()()()()(),0,0,,,0,0,,0,0,0,0,0,0,A a B a a C a D P h ， （Ⅰ）∵()()(),,0,0,0,,,,0AC a a DP h DB a a =-==u u u r u u u r u u u r ， ∴ 0,0AC DP AC DB ?=?=u u u r u u u r u u u r u u u r ， ∴AC ⊥DP ，AC ⊥DB ，∴AC ⊥平面PDB ， ∴平面AEC PDB ⊥平面. （Ⅱ）当2PD AB = 且E 为PB 的中点时，() 1120,0,2,,,22P a E a a a ?? ? ?? ?， 设AC∩BD=O，连接OE ， 由（Ⅰ）知AC ⊥平面PDB 于O ， ∴∠AEO 为AE 与平面PDB 所的角， ∵1122,,,0,0,2222EA a a a EO a ???? =--=- ? ? ? ???? ?u u u r u u u r ， ∴2 cos 2EA EO AEO EA EO ?∠== ?u u u r u u u r u u u r u u u r ， ∴45AOE ?∠=，即AE 与平面PDB 所成的角的大小为45? . 2.(2009山东卷)（本小题满分12分） 如图，在直四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为等腰梯形，AB//CD ，AB=4, BC=CD=2, AA 1=2, E 、E 1、F 分别是棱AD 、AA 1、AB 的中点。 （1） 证明：直线EE 1//平面FCC 1； （2） 求二面角B-FC 1-C 的余弦值。 E C E 1 A 1 B 1 C 1 D 1 D

高考数学压轴专题人教版备战高考《空间向量与立体几何》经典测试题附解析

【高中数学】单元《空间向量与立体几何》知识点归纳 一、选择题 1．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实（虚）线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为（ ） A ．64 B ． 643 C ．16 D ． 163 【答案】D 【解析】 根据三视图知几何体是：三棱锥D ABC -为棱长为4的正方体一部分，直观图如图所示：B 是棱的中点，由正方体的性质得，CD ⊥平面,ABC ABC ?的面积 12442S =??=，所以该多面体的体积116 4433V =??=，故选D. 2．已知一个几何体的三视图如图所示（正方形边长为1），则该几何体的体积为（ ）

A ． 34 B ． 78 C ． 1516 D ． 2324 【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】 由三视图可知：该几何体为正方体挖去了一个四棱锥A BCDE -， 该几何体的体积为1111711132228 ??-??+??= ??? 故选B 点睛：思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽. 3．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，13,1AB AD AA ===,而对角线1A B 上存 在一点P ，使得1AP D P +取得最小值，则此最小值为（ ） A 7 B ．3 C ．3 D ．2 【答案】A 【解析】 【分析】 把面1AA B 绕1A B 旋转至面1BA M 使其与对角面11A BCD 在同一平面上，连接1MD 并求出，就

空间向量高考专题

空间向量高考专题 1.【2017课标1，理18】如图，在四棱锥P-ABCD 中，AB//CD ，且90BAP CDP ∠=∠=. （1）证明：平面PAB ⊥平面PAD ； （2）若PA =PD =AB =DC ，90APD ∠=，求二面角A -PB -C 的余弦值. 【答案】（1）见解析；（2） 以F 为坐标原点， FA 的方向为x 轴正方向， AB 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系F xyz -.

由（1 ）及已知可得2A ?? ? ??? ， 0,0,2P ? ??， 2B ?? ? ???， ,1,02C ??- ? ???. 所以22PC ?=-- ?? ， ( ) 2,0,0CB =， 222PA ?=- ? ?， ()0,1,0AB =. 设(),,n x y z =是平面PCB 的法向量，则 { n PC n CB ? =?= ，即0{ 22 x y z -+-==， 可取(0,1,n =-. 设(),,m x y z =是平面PAB 的法向量，则 0{ m PA m AB ? =?=，即0{ 220 x z y -==， 可取()1,0,1n =. 则cos ,n m n m n m ?= =， 所以二面角A PB C --的余弦值为 2.【2017山东，理17】如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD （及其内部）以AB 边所在直线为旋转轴旋转120?得到的，G 是DF 的中点. （Ⅰ）设P 是CE 上的一点，且AP BE ⊥，求CBP ∠的大小； （Ⅱ）当3AB =，2AD =，求二面角E AG C --的大小.

高考数学压轴专题上海备战高考《空间向量与立体几何》综合练习

新《空间向量与立体几何》专题解析 一、选择题 1．已知,m l 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列可以推出αβ⊥的是 （ ） A ．,,m l m l βα⊥?⊥ B ．,,m l l m αβα⊥?=? C ．//,,m l m l αβ⊥⊥ D ．,//,//l m l m αβ⊥ 【答案】D 【解析】 【分析】 A ，有可能出现α，β平行这种情况. B ，会出现平面α，β相交但不垂直的情况. C ，根据面面平行的性质定理判断. D ，根据面面垂直的判定定理判断. 【详解】 对于A ，m l ⊥，m β?，若l β⊥，则//αβ，故A 错误； 对于B ，会出现平面α，β相交但不垂直的情况，故B 错误； 对于C ，因为//m l ，m α⊥，则l α⊥，又因为l βαβ⊥?∥，故C 错误； 对于D ，l α⊥，m l m α?⊥∥，又由m βαβ?⊥∥，故D 正确. 故选：D 【点睛】 本题考查空间中的平行、垂直关系的判定，还考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题. 2．如图，棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -，O 是底面1111D C B A 的中心，则O 到平面11ABC D 的距离是（ ） A ． 12 B 2 C 2 D 3【答案】B 【解析】 【分析】

如图建立空间直角坐标系，可证明1A D ⊥平面11ABC D ，故平面11ABC D 的一个法向量 为：1DA u u u u r ，利用点到平面距离的向量公式即得解. 【详解】 如图建立空间直角坐标系，则： 1111 (,,1),(0,0,1),(1,0,0),(1,1,0),(0,1,1)22O D A B C 111(,,0)22 OD ∴=--u u u u r 由于AB ⊥平面111,ADD A AD ?平面11ADD A 1AB A D ∴⊥，又11AD A D ⊥，1AB AD I 1A D ∴⊥平面11ABC D 故平面11ABC D 的一个法向量为：1(1 ,0,1)DA =u u u u r O ∴到平面11ABC D 的距离为： 1111||224||2 OD DA d DA ?=== u u u u r u u u u r u u u u r 故选：B 【点睛】 本题考查了点到平面距离的向量表示，考查了学生空间想象，概念理解，数学运算的能力，属于中档题. 3．如图，网格纸是由边长为1的小正方形构成，若粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）

高考专题之空间向量

空间向量专题 1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。 注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。 （2）空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示。 2. 空间向量的运算。 定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。 OB OA AB a b =+=+;BA OA OB a b =-=-;()OP a R λλ=∈ 运算律：⑴加法交换律：a b b a +=+ ⑵加法结合律：)()(c b a c b a ++=++ ⑶数乘分配律：b a b a λλλ+=+)( 3. 共线向量。 （1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线 向量或平行向量，a 平行于b ，记作b a //。 当我们说向量a 、b 共线（或a //b ）时，表示a 、b 的有向线段所在的直线可能是同 一直线，也可能是平行直线。 （2）共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ），a //b 存在实数λ，使a ＝λb 。 4. 共面向量 （1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。 说明：空间任意的两向量都是共面的。 （2）共面向量定理：如果两个向量,a b 不共线，p 与向量,a b 共面的条件是存在实数 ,x y 使p xa yb =+。 5. 空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组,,x y z ，使p xa yb zc =++。 若三向量,,a b c 不共面，我们把{,,}a b c 叫做空间的一个基底，,,a b c 叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。 推论：设,,,O A B C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个有序实数 ,,x y z ，使OP xOA yOB zOC =++。 6. 空间向量的直角坐标系： （1）空间直角坐标系中的坐标： 在空间直角坐标系O xyz -中，对空间任一点A ，存在唯一的有序实数组(,,)x y z ，使 ++=，有序实数组(,,)x y z 叫作向量A 在空间直角坐标系O xyz -中的坐标，

(完整word版)高三数学空间向量专题复习附答案

一、利用向量处理平行与垂直问题 例1、 在直三棱柱111C B A ABC -中，090=∠ACB , 030=∠BAC ,M A A BC ,6,11==是1CC 得中点。求证：AM B A ⊥1 练习：棱长为a 的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，在棱DD 1上是否存在点P 使B 1D ⊥面P AC ？ 例2 如图，已知矩形ABCD 和矩形ADEF 所在平面互相垂直，点N M ,分别在对角线AE BD ,上，且AE AN BD BM 3 1,31==,求证：//MN 平面CDE 练习1、在正方体1111D C B A ABCD -中,E,F 分别是BB 1,,CD 中点，求证：D 1F ⊥平面ADE

2、如图，在底面是菱形的四棱锥P —ABCD 中, ?=∠60ABC ， ,2,a PD PB a AC PA ====点E 在PD 上,且PE :ED = 2: 1.在棱PC 上是否存在一点 F, 使BF ∥平面AEC?证明你的结论. 二、利用空间向量求空间的角的问题 例1 在正方体1111D C B A ABCD -中,E 1，F 1分别在A 1B 1,,C 1D 1上，且E 1B 1=4 1A 1B 1，D 1F 1=4 1D 1C 1，求BE 1与DF 1所成的角的大小。 例2 在正方体1111D C B A ABCD -中, F 分别是BC 的中点，点E 在D 1C 1上,且 = 11E D 41 D 1C 1,试求直线 E 1 F 与平面D 1AC 例3 在正方体1111D C B A ABCD -中,求二面角1C BD A --的大小。

考点26 空间向量求空间角——2021年高考数学专题复习讲义

考点26 空间向量求空间角 【思维导图】 【常见考法】 考法一 线线角 1．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1CC 上一点且12CE EC =，则异面直线AE 与1A B 所成角的余弦值为（ ） A ．44 B C ．44 D ．11 2．如图，直三棱柱ABC A B C '''-的侧棱长为3，AB BC ⊥，3AB BC ==，点E ，F 分别是棱AB ，BC 上的动点，且AE BF =，当三棱锥B EBF '-的体积取得最大值时，则异面直线A F '与AC 所成的角为（ ）

A ．2π B ．3π C ．4π D ．6 π 3．三棱柱111ABC A B C -中，底面边长和侧棱长都相等，1160BAA CAA ?∠=∠=，则异面直线1AB 与1 BC 所成角的余弦值为（ ） A ．3 B ．6 C ．4 D 4．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，PG ⊥平面ABCD ，垂足为G ，G 在AD 上，且14,,,23 PG AG GD BG GC GB GC ==⊥==，E 是BC 的中点． （1）求异面直线GE 与PC 所成角的余弦值；

（2）若F 点是棱PC 上一点，且DF GC ⊥，求 PF FC 的值． 考法二 线面角 1．如图所示，四边形ABCD 与BDEF 均为菱形，FA FC =，且DAB DBF 60∠∠==． ()1求证：AC ⊥平面BDEF ； ()2求直线AD 与平面ABF 所成角的正弦值．

2．在直角三角形ABC 中，90,3,C AC BC M ∠=?==、N 分别在线段AC 、AB 上，//,2MN BC AM MC = .沿着MN 将AMN 折至如图，使A C '=. （1）若P 是线段A C '的中点，试在线段NB 上确定点Q 的位置，使//PQ 面A MN '； （2）在（1）条件下，求CQ 与平面A MN '所成角的正弦值.

平面向量与空间向量知识点及理科高考试题

平面向量与空间向量知识点及理科高考试题 一、考试内容要求： (一)、平面向量： （1）平面向量的实际背景及基本概念：①了解向量的实际背景。②理解平面向量的概念，理解两个向量的相等含义。③理解向量的几何表示. （2）向量的线性运算：①掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义. ②掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义. ③了解向量线性运算的性质及其几何意义. （3）平面向量的基本定理及坐标表示：①了解平面向量的基本定理及其意义。 ②掌握平面向量的正交分解及其坐标表示. ③会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.④理解用坐标表示的平面向量共线的条件. （4）平面向量的数量积：①理解平面向量数量积的含义及其物理意义.②了解平面向量的数量积与向量投影的关系. ③掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算. ④能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系. （5）向量的应用：①会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.②会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题. (二)、(1)空间向量及其运算：①了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示。②掌握空间向量的线性运算及其坐标表示。③掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直。 （2）空间向量的应用：①理解直线的方向向量与平面的法向量。②能用向量

语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系。③能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）。④能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角计算问题，了解向量方法在研究立体几何问题中的应用。 二、知识要点归纳： (一)、平面向量 §2.1.1、向量的物理背景与概念 1、了解四种常见向量：力、位移、速度、加速度. 2、既有大小又有方向 的量叫做向量. §2.1.2、向量的几何表示 1、带有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度. 2、向量AB的大小，也就是向量AB的长度（或称模），记作AB；长度为零的向 量叫做零向量；长度等于1个单位的向量叫做单位向量. 3、方向相同或相反的非零向量叫做平行向量（或共线向量）.规定：零向量与 任意向量平行. §2.1.3、相等向量与共线向量 1、长度相等且方向相同的向量叫做相等向量. §2.2.1、向量加法运算及其几何意义 1、三角形加法法则和平行四边形加法法则.

高考数学压轴专题新备战高考《空间向量与立体几何》解析

《空间向量与立体几何》知识点汇总 一、选择题 1．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实（虚）线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为（ ） A ．64 B ． 643 C ．16 D ． 163 【答案】D 【解析】 根据三视图知几何体是：三棱锥D ABC -为棱长为4的正方体一部分，直观图如图所示：B 是棱的中点，由正方体的性质得，CD ⊥平面,ABC ABC ?的面积 12442S =??=，所以该多面体的体积116 4433V =??=，故选D. 2．已知四面体P ABC -的外接球的球心O 在AB 上，且PO ⊥平面ABC ， 23AC AB =，若四面体P ABC -的体积为 3 2 ，求球的表面积( ) A ．8π B ．12π C ．83π D ．3π 【答案】B 【解析】 【分析】 依据题意作出图形，设四面体P ABC -的外接球的半径为R ，由题可得：AB 为球的直径，即可求得：2AB R =，3AC R = ， BC R =，利用四面体P ABC -的体积为 32 列

方程即可求得3R =，再利用球的面积公式计算得解。 【详解】 依据题意作出图形如下： 设四面体P ABC -的外接球的半径为R ， 因为球心O 在AB 上，所以AB 为球的直径， 所以2AB R =，且AC BC ⊥ 由23AC =可得：3AC R = ， BC R = 所以四面体P ABC -的体积为111333322 ABC V S PO R R R ?=?=???= 解得：3R = 所以球的表面积2412S R ππ== 故选：B 【点睛】 本题主要考查了锥体体积公式及方程思想，还考查了球的表面积公式及计算能力，考查了空间思维能力，属于中档题。 3．《乌鸦喝水》是《伊索寓言》中一个寓言故事，通过讲述已知乌鸦喝水的故事，告诉人们遇到困难要运用智慧，认真思考才能让问题迎刃而解的道理，如图2所示，乌鸦想喝水，发现有一个锥形瓶，上面部分是圆柱体，下面部分是圆台，瓶口直径为3厘米，瓶底直径为9厘米，瓶口距瓶颈为233 32 厘米，现将13 鸦才能喝到水，则乌鸦共需要投入的石子数量至少是（ ）

十年高考真题分类汇编(2010-2019) 数学 专题20 空间向量

十年高考真题分类汇编（2010—2019）数学 专题20空间向量 1.(2014·全国2·理T11)直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,∠BCA=90°,M ,N 分别是A 1B 1,A 1C 1的中点,BC=CA=CC 1,则BM 与AN 所成角的余弦值为( ) A.1 10 B.2 5 C.√30 10 D.√2 2 【答案】C 【解析】如图,以点C 1为坐标原点,C 1B 1,C 1A 1,C 1C 所在的直线分别为x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角坐标系, 不妨设BC=CA=CC 1=1,可知点 A (0,1,1),N (0,12,0), B (1,0,1),M (12,1 2,0). ∴AN ?????? =(0,-1,-1),BM ?????? =(-1,1 ,-1). ∴cos = AN ??????? ·BM ??????? |AN ??????? ||BM ??????? | =√30 10. 根据AN ?????? 与BM ?????? 的夹角及AN 与BM 所成角的关系可知,BM 与AN 所成角的余弦值为√30. 2.(2013·北京·文T8)如图,在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,P 为对角线BD 1的三等分点,P 到各顶点的距离的不同取值有( ) A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 【答案】B 【解析】设正方体的棱长为a.建立空间直角坐标系,如图所示. 则D (0,0,0),D 1(0,0,a ),C 1(0,a ,a ),C (0,a ,0),B (a ,a ,0),B 1(a ,a ,a ),A (a ,0,0),

高考数学压轴专题新备战高考《空间向量与立体几何》难题汇编附答案解析

【高中数学】《空间向量与立体几何》知识点汇总 一、选择题 1．如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中： ①BM 与ED 平行 ②CN 与BE 是异面直线 ③CN 与BM 成60?角 ④DM 与BN 是异面直线 以上四个命题中，正确命题的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【答案】B 【解析】 【分析】 把平面展开图还原原几何体，再由棱柱的结构特征及异面直线定义、异面直线所成角逐一核对四个命题得答案． 【详解】 把平面展开图还原原几何体如图： 由正方体的性质可知，BM 与ED 异面且垂直，故①错误； CN 与BE 平行，故②错误； 连接BE ，则BE CN P ，EBM ∠为CN 与BM 所成角，连接EM ，可知BEM ?为正三角形，则60EBM ∠=?，故③正确； 由异面直线的定义可知，DM 与BN 是异面直线，故④正确． ∴正确命题的个数是2个． 故选：B ． 【点睛】 本题考查棱柱的结构特征，考查异面直线定义及异面直线所成角，是中档题．

2．如图所示是一个组合几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ） A ． 163π B ．643 C ． 1664 3π+ D ．1664π+ 【答案】C 【解析】由三视图可知，该几何体是有一个四棱锥与一个圆锥的四分之一组成，其中四棱锥的底面是边长为4 的正方形，高为4 ，圆锥的底面半径为4 ，高为4，该几何体的体积为， 22111664 4444333 V ππ+= ??+???= ， 故选C. 3．已知一个几何体的三视图如图所示（正方形边长为1），则该几何体的体积为（ ） A ． 34 B ． 78 C ． 1516 D ． 2324 【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】 由三视图可知：该几何体为正方体挖去了一个四棱锥A BCDE -，