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2000年-2013年考研数学一历年真题

2000年全国硕士研究生入学统一考试

数学(一)试卷

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)

2x x dx -?

=_____________.

(2)曲面2

222321x

y z ++=在点(1,2,2)--的法线方程为_____________.

(3)微分方程30xy y '''+=的通解为_____________.

(4)已知方程组12312

112323120x a x a x ????????????+=????????????-??????

无解,则a = _____________. (5)设两个相互独立的事件A 和B 都不发生的概率为

,A 发生B 不发生的概率与B 发生

A 不发生的概率相等,则()P A =_____________.

二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)

(1)设()f x 、()g x 是恒大于零的可导函数,且()()()()0f x g x f x g x ''-<,

则当a x b <<时,有( )

(A)

()()()()f x g b f b g x >

(B)

()()()()f x g a f a g x >

(C)

()()()()f x g x f b g b >

(D)

()()()()f x g x f a g a >

(2)设22221:(0),S x y z a z S ++=≥为S 在第一卦限中的部分,则有( )

(A)1

S xdS xdS =????

(B)1

S ydS xdS =????

(C)

S zdS xdS =????

(D)

S xyzdS xyzdS =????

(3)设级数

n u

∞

=∑收敛,则必收敛的级数为( )

(A)1

(1)n

n u

n ∞

=-∑ (B)

n u

∞

=∑

(C)

()n n n u

u ∞

-=-∑

(D)

()n

n n u

u ∞

+=+∑

(4)设n 维列向量组1,,()m m n <ααL 线性无关,则n 维列向量组1,,m ββL 线

性无关的充分必要条件为( )

(A)向量组1,,m ααL 可由向量组1,,m ββL 线性表示 (B)向量组1,,m ββL

可由向量组1,,m ααL 线性表示

(C)向量组1,,m ααL

与向量组1,,m ββL 等价

(D)矩阵1(,,)m =A

ααL 与矩阵1(,,)m =B ββL 等价

(5)设二维随机变量

(,)X Y 服从二维正态分布,则随机变量X Y

ξ=+与

X Y η=-不相关的充分必要条件为( )

(A)()()E X E Y =

(B)2

222()[()]()[()]E X E X E Y E Y -=-

2()()E X E Y =

(D)2

222()[()]()[()]E X

E X E Y E Y +=+

三、(本题满分6分)

求1

42e sin lim(

).1e

x x

→∞

四、(本题满分5分)

设(,)()x x

z f xy g y y

=+,其中f

具有二阶连续偏导数,g 具有二阶连续导数,

求2.z

x y

???

五、(本题满分6分)

计算曲线积分22

4L xdy ydx I

x y -=+?

?,其中L 是以点(1,0)为中心,R 为半径的圆

周(1),R

>取逆时针方向.

六、(本题满分7分)

设对于半空间

x >内任意的光滑有向封闭曲面

S 都有

2()()e 0,x

xf x dydz xyf x dzdx zdxdy --=??ò其中函数()f x 在(0,)+∞内具有连续的一阶导数,且

0lim ()1,x f x +

→=求()f x .

七、(本题满分6分)

求幂级数113(2)

n x n ∞

=+-∑的收敛区间,并讨论该区间端点处的收敛性.

八、(本题满分7分)

设有一半径为R 的球体0,P 是此球的表面上的一个定点,球体上任一点的密度与该点到0P 距离的平方成正比(比例常数0k

>),求球体的重心位置.

九、(本题满分6分) 设函数

()f x 在[0,]π上连续,且0

()0,()cos 0.f x dx f x xdx π

==??试证:

在(0,)π内至少存在两个不同的点12,,ξξ使

12()()0.f f ξξ==

十、(本题满分6分)

设矩阵A 的伴随矩阵*10

000100,10

100308?????

?=??

?-??

A 且11

3--=+ABA BA E ,其

中E 为4阶单位矩阵,求矩阵B .

十一、(本题满分8分)

某适应性生产线每年1月份进行熟练工与非熟练工的人数统计,然后将

熟练工支援其他生产部门,其缺额由招收新的非熟练工补齐.新、老非熟练工经过培训及实践至年终考核有

成为熟练工.设第n 年1月份统计的熟练工与非熟练工所占百分比分别为n x 和,n y 记成向量.n n x y ??

???

(1)求11n n x y ++??

???与n n x y ?? ???的关系式并写成矩阵形式:11.n n n n x x y y ++????

= ? ?????

(2)验证1241,11-????== ? ?????

ηη是A 的两个线性无关的特征向量,并求出相应的

特征值.

(3)当111212x y ??

??= ? ? ?

?? ???

时,求11.n n x y ++?? ???

十二、(本题满分8分)

某流水线上每个产品不合格的概率为

(01)p p <<,各产品合格与否相对独立,

当出现1个不合格产品时即停机检修.设开机后第1次停机时已生产了的产品个数为X

求

X 的数学期望()E X 和方差()D X .

十三、(本题满分6分)

设某种元件的使用寿命

的概率密度为

2()2e (;)0

x x f x x θθ

θθ-->?=?≤?,其中0θ>为

未知参数.又设12,,,n x x x L 是X

的一组样本观测值,求参数θ的最大似然估计值.

2001年全国硕士研究生入学统一考试

数学(一)试卷

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)设

e (sin cos )(,x y a x b x a b =+为任意常数)为某二阶常系数线性齐次微

分方程的通解,则该方程为_____________.

(2)2

22z y x r

++=,则(1,2,2)

div(grad )

r -= _____________.

(3)交换二次积分的积分次序:?

--01

),(y dx y x f dy ＝_____________.

(4)设2

4+-=A A E O ,则1(2)--A E = _____________.

(5)

()2D X =,则根据车贝晓夫不等式有估计

≤≥-}2)({X E X P

_____________.

二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)

(1)设函数)(x f 在定义域内可导,)(x f y =的图形如右图所示,则)(x f y '=的

图形为

(A)

(B)

(C)

(D)

(2)设

),(y x f 在点(0,0)的附近有定义,且1)0,0(,3)0,0(='='y x f f 则

(A)(0,0)|3dz dx dy =+ (B)曲面),(y x f z

=在(0,0,(0,0))f 处的法向量为{3,1,1} (C)曲线

(,)

z f x y y ==在(0,0,(0,0))f 处的切向量为{1,0,3}

(D)曲线

(,)

z f x y y ==在(0,0,(0,0))f 处的切向量为{3,0,1}

(3)设

0)0(=f 则)(x f 在x =0处可导?

(A)20

(1cos )

lim

h f h h →-存在

(B)

(1e )lim

h f h

→-存在

(sin )

lim

h f h h h →-存在

(D)h

h f h f h )

()2(lim

-→存在

(4)设

11114

00011110

000,111100001

1110

0???? ?

?== ? ? ?

?????

A B ,则A 与B (A)合同且相似 (B)合同但不相似 (C)不合同但相似

(D)不合同且不相似

(5)将一枚硬币重复掷n 次,以X 和Y 分别表示正面向上和反面向上的次数, 则

X 和Y 相关系数为 (A) -1

(B)0

(C)

(D)1

三、(本题满分6分)

求2arctan e e

dx ?.

四、(本题满分6分) 设

函

数

),(y x f z =在

点

(1,1)

可微,且

3)1,1(,2)1,1(,1)1,1(='='=y x f f f ,)),(,()(x x f x f x =?,求

)(=x x dx

d ?.

五、(本题满分8分)

设

()f x =

1arctan 010

x x x x

x +≠=,将

)

(x f 展开成

的幂级数,并求

∑∞

=--1241)1(n n n

的和.

六、(本题满分7分) 计算

222222

()(2)(3)L

I y z dx z x dy x y dz

=-+-+-??,其中

是平面

2=++z y x 与柱面1=+y x 的交线,从Z 轴正向看去,L 为逆时针方向.

七、(本题满分7分) 设

)(x f 在(1,1)-内具有二阶连续导数且0)(≠''x f .证明:

(1)对于

)

1,0()0,1(Y -∈?x ,存在惟一的

)

1,0()(∈x θ,使

)(x f =)0(f +))((x x f x θ'成立.

(2)5.0)

(lim 0

=→x x θ.

八、(本题满分8分) 设有一高度为

t h )((为时间)的雪堆在融化过程,其侧面满足方程

)

()

(2)(22t h y x t h z +-=(设长度单位为厘米,时间单位为小时),已知体积减少的速率

与侧面积成正比(系数为0.9),问高度为130厘米的雪堆全部融化需多少时间?

九、(本题满分6分) 设12,,,s αααL

为线性方程组=AX O 的一个基础解系,

1112221223121,,,s s t t t t t t =+=+=+βααβααβααL ,

其中21,t t 为实常数,试问21,t t 满足什么条件时12,,,s βββL 也为=AX O 的一个

基础解系?

十、(本题满分8分) 已知三阶矩阵

和三维向量

,使得

2,,A A x x x

线性无关,且满足

3232=-A A A x x x .

(1)记2(,,),=P

A A x x x 求

B 使1-=A PBP .

(2)计算行列式+A E .

十一、(本题满分7分) 设某班车起点站上客人数X 服从参数为(0)λλ>的泊松分布,每位乘客在中途

下车的概率为

(01),p p <<且中途下车与否相互独立.Y 为中途下车的人数,求:

(1)在发车时有n 个乘客的条件下,中途有m 人下车的概率. (2)二维随机变量(,)X Y 的概率分布.

十二、(本题满分7分) 设

2~(,)X N μσ抽取简单随机样本122,,,(2),n X X X n ≥K

样本均值∑==n

i i X n X 2121,∑=+-+=n

i i n i X X X Y 1

2)2(,求().E Y

2002年全国硕士研究生入学统一考试

数学(一)试卷

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)

∞+e

x dx

2ln = _____________.

(2)已知2e 610y

xy x ++-=,则(0)y ''=_____________.

(3)02='+''y y y 满足初始条件1

(0)1,(0)2

y y '==

的特解是_____________. (4)

已

知

实

二

次

型

3231212

32221321444)(),,(x x x x x x x x x a x x x f +++++=经正交变换可化为标准型

216y f =,则a =_____________.

(5)设随机变量

),(~2σμN X ,且二次方程042=++X y y 无实根的概率

为0.5,则μ=_____________.

二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)

(1)考虑二元函数),(y x f 的四条性质:

①),(y x f 在点),(00y x 处连续, ②),(y x f 在点),(00y x 处的一阶偏导数连

续,

③

),(y x f 在点),(00y x 处可微, ④),(y x f 在点),(00y x 处的一阶偏导数存

在.

则有:

(A)②?③?① (B)③?②?① (C)③?④?①

(D)③?①?④

(2)设0≠n

u ,且1lim

=∞→n n u n ,则级数)11()1(1

1+++-∑n n n u u 为

(A)发散 (B)绝对收敛 (C)条件收敛

(D)收敛性不能判定.

(3)设函数)(x f 在+R 上有界且可导,则

(A)当

0)(lim =+∞

→x f x 时,必有0)(lim ='+∞

→x f x

(B)当

)

(lim x f x '+∞

→存

在时,必有0)(lim ='+∞

→x f x

→x f x 时,必有0)(lim 0='+

→x f x

(D) 当

)(lim 0x f x '+

→存在时,

必有

0)(lim 0='+

→x f x .

(4)设有三张不同平面,其方程为i i i i d z

c y b x a =++(3,2,1=i )它们所组成的

线性方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩都为2,则这三张平面可能的位置关系为

(5)设

X 和Y 是相互独立的连续型随机变量,它们的密度函数分别为

)(x f X 和

)(y f Y ,分布函数分别为)(x F X 和)(y F Y ,则

(A))(x f X ＋)(y f Y 必为密度函数 (B) )(x f X )(y f Y 必为密

度函数

(C))(x F X

＋)(y F Y 必为某一随机变量的分布函数 (D) )(x F X )(y F Y 必为

某一随机变量的分布函数.

三、(本题满分6分) 设函数

)

(x f 在

0x =的某邻域具有一阶连续导数,且0)0()0(≠'f f ,当

0→h 时,若)()0()2()(h o f h bf h af =-+,试求b a ,的值.

四、(本题满分7分)

已知两曲线

)(x f y =与2

arctan 0

e x t y dt -=?

在点(0,0)处的切线相同.求此切

线的方程,并求极限)2(lim

nf n ∞→.

五、(本题满分7分)

计

算

二

重

积

分

2max{,}

e x

y D

dxdy

??,其中

}10,10|),{(≤≤≤≤=y x y x D .

六、(本题满分8分) 设函数

)(x f 在R 上具有一阶连续导数,L 是上半平面(y >0)内的有向分段光滑

曲线,起点为(b a ,),终点为(d c ,).

记dy xy f y y

dx xy f y y I

]1)([)](1[1222-++=?,

(1)证明曲线积分I 与路径L 无关. (2)当cd ab =时,求I 的值.

七、(本题满分7分) (1)验证函数

∑

∞

==03)!

3()(n n

n x x y (

+∞

<<∞-x )满足微分方程

e x y y y '''++=. (2)求幂级数∑∞

==0

3)!3()(n n

n x x y 的和函数.

八、(本题满分7分)

设有一小山,取它的底面所在的平面为

xoy 面,其底部所占的区域为

}75|),{(22≤-+=xy y x y x D ,小

山

的

高

度

函

数

为

),(y x h xy y x +--=2275.

(1)设),(00y x M 为区域D 上一点,问),(y x h 在该点沿平面上何方向的方向导数最大?若此方向的方向导数为),(00y x g ,写出),(00y x g 的表达式.

(2)现欲利用此小山开展攀岩活动,为此需要在山脚下寻找一山坡最大的点作为攀登的起点.也就是说要在D 的边界线上找出使(1)中),(y x g 达到最大值的点.试确定攀登起点的位置.

九、(本题满分6分) 已知四阶方阵

1234(,,,)=A αααα, 1234,,,αααα均为四维列向量,其中

234,,ααα线性无关,1232=-ααα.若1234

=+++βαααα,求线性方程组

x =A β的通解.

十、(本题满分8分) 设,A B 为同阶方阵,

(1)若,A B 相似,证明,A B 的特征多项式相等. (2)举一个二阶方阵的例子说明(1)的逆命题不成立.

(3)当,A B 为实对称矩阵时,证明(1)的逆命题成立.

十一、(本题满分7分) 设维随机变量

的概率密度为

()f x =

1cos 022

0 x

x x

≤≤其它

对X 独立地重复观察4次,用Y 表示观察值大于

π的次数,求2

Y 的数学期望.

十二、(本题满分7分) 设总体

的概率分布为

P 2θ

)1(2θθ-

2θ

θ21-

其中θ(

<<)是未知参数,利用总体X的如下样本值

3,1,3,0,3,1,2,3.

求θ的矩估计和最大似然估计值.

2003年全国硕士研究生入学统一考试

数学(一)试卷

一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上)

(1))

1ln(10

(cos lim x x x +→ = .

(2)曲面

2y x z +=与平面

42=-+z y x 平行的切平面的方程

是 .

(3)设)(cos 0

ππ≤≤-=∑∞

=x nx a x

n n ,则2a = .

(4)从

2R 的基1211,01????== ? ?-????αα到基1211,12????

== ? ?????

ββ的过渡矩阵

为 .

(5)设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为

(,)f x y =

60x 01

x y ≤≤≤其它

,则=≤+}1{Y X P .

(6)已知一批零件的长度

X (单位:cm)服从正态分布)1,(μN ,从中随机地抽取16

个零件,得到长度的平均值为40 (cm),则μ的置信度为0.95的置信区间是 .

(注:标准正态分布函数值.)95.0)645.1(,975.0)

96.1(=Φ=Φ

二、选择题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (1)设函数

()f x 在),(+∞-∞内连续,其导函数的图形如图所示,则()f x 有

(A)一个极小值点和两个极大值点 (B)两个极小值点和一个极大值点 (C)两个极小值点和两个极大值点 (D)三个极小值点和一个极大值点

(2)设

}

{},{},{n n n c b a 均为非负数列,且

0lim =∞

→n n a ,1lim =∞

→n n b ,∞=∞

→n n c lim ,则必有

(A)n n b a <对任意n 成立

(B)n n c b <对任意n 成立

(C)极限n n n c a ∞

→lim 不存在

(D)极限n n n c b ∞

→lim 不存在

(3)已知函数

(,)

f x y 在点

(0,0)

的某个邻域内连续,且

1)(),(lim

220

,0=+-→→y x xy

y x f y x ,则

(A)点(0,0)不是(,)f x y 的极值点

(B)点(0,0)是

(,)f x y 的极大值点

(C)点(0,0)是(,)f x y 的极小值点

(D)根据所给条件无法判断点(0,0)是否为(,)f x y 的极值点

(4)设向量组I:12,,,r αααL 可由向量组II:12,,,s βββL 线性表示,则

(A)当s r <时,向量组II 必线性相关 (B)当s r >时,向量组II 必线性相关

(C)当s r <时,向量组I 必线性相关

(D)当s r

>时,向量组

I 必

线性相关

(5)设有齐次线性方程组0x =A 和0x =B ,其中,A B 均为n m ?矩阵,现有

个命题:

① 若0x

=A 的解均是0x =B 的解,则秩()≥A 秩()B

② 若秩()≥A 秩()B ,则0x =A 的解均是0x =B 的解

③ 若0x

=A 与0x =B 同解,则秩()=A 秩()B

④ 若秩()=A 秩()B , 则0x =A 与0x =B 同解

以上命题中正确的是 (A)①②

(B)①③

(C)②④

(D)③④

(6)设随机变量2

1),1)((~X Y n n t X =

>,则

(A)2~()Y n χ

(B)2~(1)Y

n χ-

(C)~(,1)Y F n

(D)~(1,)Y F n

三、(本题满分10分) 过坐标原点作曲线

ln y x =的切线,该切线与曲线ln y x =及x 轴围成平面图

形D .

(1)求D 的面积

A .

(2)求D 绕直线e x =旋转一周所得旋转体的体积V

四、(本题满分12分) 将函数x x

x f 2121arctan

)(+-=展开成x 的幂级数,并求级数∑∞

=+-0

12)1(n n n 的和.

五、(本题满分10分)

已知平面区域}0,0),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ,L 为D 的正向边界.试证:

(1)

sin sin sin sin e

e e e y

x y x L

x dy y dx x dy y dx ---=

-??

蜒.

(2)sin sin 2e e 2.y x L

x dy y dx π--≥??

六、(本题满分10分)

某建筑工程打地基时,需用汽锤将桩打进土层.汽锤每次击打,都将克服土层对桩的阻力而作功.设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比(比例系数为

.0k k >).汽锤第一次击打将桩打进地下a m.根据设计方案,要求汽锤每次击打桩时所

作的功与前一次击打时所作的功之比为常数(01)r r

<<.问 (1)汽锤击打桩3次后,可将桩打进地下多深? (2)若击打次数不限,汽锤至多能将桩打进地下多深? (注:m 表示长度单位米.)

七、(本题满分12分) 设函数

()y y x =在)

,(+∞-∞内具有二阶导数,且

)

(,0y x x y =≠'是

()y y x =的反函数.

(1)试将

()x x y =所满足的微分方程

0))(sin (3

2=++dy dx x y dy

x d 变换为()y y x =满足的微分方程.

(2)求变换后的微分方程满足初始条件2

)0(,0)0(=

'=y y 的解.

八、(本题满分12分) 设函数

()f x 连续且恒大于零,

?????

+++=

Ω)

)

(222)()()(t D t d y x

f dv

z y x f t F σ

-+=

t D dx

x f d y x f t G 1

)

(22)()()(σ

其中}),,{()

(2222t z y x z y x t ≤++=Ω,}.),{()(222t y x y x t D ≤+=

(1)讨论()F t 在区间),0(+∞内的单调性. (2)证明当0t >时,).(2

)(t G t F π

九、(本题满分10分)

设矩阵322232223????=??????A ,010101001??

??=??????

P ,1*

-=B P A P ,求2+B E 的特征

值与特征向量,其中*

A 为A 的伴随矩阵,E 为3阶单位矩阵.

十、(本题满分8分)

已知平面上三条不同直线的方程分别为

:1l 032=++c by ax ,

:2l 032=++a cy bx , :3l 032=++b ay cx .

试证这三条直线交于一点的充分必要条件为.0=++c

b a

十一、(本题满分10分)

已知甲、乙两箱中装有同种产品,其中甲箱中装有3件合格品和3件次品,乙箱中仅装有3件合格品. 从甲箱中任取3件产品放入乙箱后,求:

(1)乙箱中次品件数的数学期望.

(2)从乙箱中任取一件产品是次品的概率.

十二、(本题满分8分) 设总体

的概率密度为

()f x =

2()2e 0

x θ-- 0x x θ

>≤ 其中0>θ

是未知参数.

从总体

中抽取简单随机样本

n X X X ,,,21Λ,记

).,,,min(?21n

X X X Λ=θ (1)求总体

X 的分布函数()F x .

(2)求统计量θ?的分布函数)(?x F θ

. (3)如果用θ

?作为θ的估计量,讨论它是否具有无偏性.

2004年全国硕士研究生入学统一考试

数学(一)试卷

一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上) (1)曲线

ln y x =上与直线1=+y x 垂直的切线方程为__________ .

(2)已知(e )e x x f x -'=,且(1)0f =,则()f x =__________ .

(3)设

为正向圆周

22=+y x 在第一象限中的部分,则曲线积分

?-L

ydx xdy 2的值为__________.

(4)欧拉方程)0(0242

>=++x y dx dy

x dx y d x

的通解为__________ . (5)设矩阵210120001??

??=??

????

A ,矩阵

B 满足**2=+ABA BA E ,其中*

A 为A 的伴随矩阵,E 是单位矩阵,则

=__________ .

(6)设随机变量X 服从参数为λ的指数分布,则}{DX X P >= __________ .

二、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)

(7)

把

→0x 时

的无穷小量

dt t dt t dt t x

x x

???===0

sin ,tan ,cos 2γβα,使排在后面的是前一个的高

阶无穷小,则正确的排列次序是

(A)γβα,,

(B)βγα,, (C)γαβ,,

(D)αγβ,,

(8)设函数

()f x 连续,且,0)0(>'f 则存在0>δ,使得

(A)()f x 在(0,)δ内单调增加

(B)

()

f x 在

)0,(δ-内单

调减少

(C)对任意的),0(δ∈x 有()(0)f x f >

(D)对任意的

)

0,(δ-∈x 有

()(0)f x f >

(9)设

∑∞

n n

为正项级数,下列结论中正确的是

(A)若n n na ∞

→lim

=0,则级数∑∞

n n

a 收敛

(B)若存在非零常数λ,使得λ=∞

→n n na lim

,则级数∑∞

n n

a 发散

(C)若级数

∑∞

=1n n

a 收敛,则0lim

2=∞

→n n a n

(D)若级数

∑∞

n n

发散, 则存在非零常数λ,使得λ=∞

→n n na lim

(10)设()f x 为连续函数,??=t

dx x f dy t F 1

)()(,则)2(F '等于

(A)2(2)f

(B)

(2)f

(C)(2)f -

(D) 0

(11)设A 是3阶方阵,将A 的第1列与第2列交换得B ,再把B 的第2列加到第3列得C ,则满足=AQ C 的可逆矩阵Q 为

(A)??????????101001010

(B)????

?????100101010

(C)????

??????110001010

(D)????

?????100001110 (12)设,A B 为满足=AB O 的任意两个非零矩阵,则必有 (A)A 的列向量组线性相关,B 的行向量组线性相关

(B)A 的列向量组线性相关,B 的列向量组线性相关 (C)A 的行向量组线性相关,B 的行向量组线性相关

(D)A 的行向量组线性相关,B 的列向量组线性相关 (13)设随机变量

X 服从正态分布(0,1),N 对给定的)10(<<α

α,数α

u 满足

αα=>}{u X P ,若α=<}{x X P ,则x 等于

(A)2

αu

(B)2

1α-u

(D)

α-1u

(14)设随机变量

)1(,,,21>n X X X n Λ独立同分布,且其方差为.02>σ 令

∑==n

i i

X n Y 1

1,则

(A)2

1Cov(,)

X Y n

σ=

(B)21Cov(,)

X Y σ=

2)(σn

n Y X D +=

(D)2

11)(σn

n Y X D +=-

三、解答题(本题共9小题,满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) (15)(本题满分12分) 设2

e e a b <<<,证明2

ln ln ()e b a b a ->

-. (16)(本题满分11分)

某种飞机在机场降落时,为了减少滑行距离,在触地的瞬间,飞机尾部张开减速伞,以增大阻力,使飞机迅速减速并停下.

现有一质量为9000kg 的飞机,着陆时的水平速度为700km/h 经测试,减速伞打开后,飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为).100.66?=k 问从着陆点算

起,飞机滑行的最长距离是多少?

(注:kg 表示千克,km/h 表示千米/小时) (17)(本题满分12分) 计算曲面积分

,)1(322233dxdy z dzdx y dydz x I ??∑

-++=其中∑

是曲面

)0(122≥--=z y x z 的上侧.

(18)(本题满分11分) 设有方程10n

nx +-=,其中n 为正整数.证明此方程存在惟一正实根n x ,并证

明当1α

>时,级数1

n x α

∞

=∑收敛.

(19)(本题满分12分) 设

(,)z z x y =是由2226102180x xy y yz z -+--+=确定的函数,求

(,)z z x y =的极值点和极值.

(20)(本题满分9分) 设有齐次线性方程组

121212(1)0,2(2)20,(2),()0,

n n n a x x x x a x x n nx nx n a x ++++=??++++=?≥?

?++++=?L L L L L L L L L

试问a 取何值时,该方程组有非零解,并求出其通解.

(21)(本题满分9分)

设矩阵12314315a -????=--??????

A 的特征方程有一个二重根,求a 的值,并讨论A 是否可相似对角化.

(22)(本题满分9分) 设

,A B 为随机事件,且111

(),(|),(|)432

P A P B A P A B ===,令

;,,0,1不发生发生A A X ??

?= .

,0,1不发生发生B B Y ???= 求:(1)二维随机变量(,)X Y 的概率分布. (2)

和Y 的相关系数.XY ρ

(23)(本题满分9分) 设总体

的分布函数为

,1,

0,11),(≤>?????

-=x x x x F ββ

其中未知参数n X X X ,,,,121Λ>β

为来自总体X

的简单随机样本,

求:(1)β的矩估计量.

(2)β的最大似然估计量.

2000年-2013年考研数学一历年真题

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