复变函数与积分变换_第四版_西安交大_课后答案

西安交通大学复变函数考试题及解答3

一. 填空（每题3分，共30分） 1． i 3＝ 2． 0z ＝0是函数5 1cos )(z z z f -= 的 （说出类型，如果是极点，则要说明阶数） 3. i y xy yi x x z f 322333)(--+=,则()f z '＝ 4. =]0,sin 1 [Re z z s 5. 函数sin w z =在4 z π = 处的转动角为 6. 幂级数∑∞ =0 )(cos n n z in 的收敛半径为R =____________ 7. =?dz z z 1 sin 8．设C 为包围原点在内的任一条简单正向封闭曲线，则=? dz z e C z 2 1 9．函数()1 4 -=z z z f 在复平面上的所有有限奇点处留数的和为___________ 10． =++? = 2 3||22 ) 4)(1(z z z dz 二．判断题（每题3分，共30分） 1．n z z z f =)(在0=z 解析。【 】 2．)(z f 在0z 点可微，则)(z f 在0z 解析。【 】 3．z e z f =)(是周期函数。【 】 4． 每一个幂函数在它的收敛圆周上处处收敛。【 】 5． 设级数∑∞ =0 n n c 收敛，而||0 ∑∞ =n n c 发散，则∑∞ =0 n n n z c 的收敛半径为1。【 】 6． 1 tan()z 能在圆环域)0(||0+∞<<<

西安交通大学复变函数考试题及解答1

西安交通大学考试题复变函数 (A 卷) 一、填空题（每题4分，共20分） 1 12i +=______________ 2 |z|=2 1d ()(4) z z i z = +-? 3 幂级数1 n n nz ∞ =∑的收敛半径R=______________ 4 1 R e [,]sin s z z π= ____________________ 5 函数1 z ω=将z 平面上的曲线1x =变为ω平面上的 （,z x iy u iv ω=+=+） 二、单项选择题（每题4分，共20分）. 1 设1 ()sin(1)f z z =-，则0z =是()f z 的 【 】 A ．可去奇点 B ．本性奇点 C ．极点 D ．非孤立奇点. 2 设1n > 为正整数，则 ||2 1d 1 n z z z =-? 为 【 】 A ．0 B ． 2i π C. i π D. 2n i π 3 级数1 n n z n ∞ =∑ 在||1z =上 【 】 A ．收敛 B ．发散 C ．既有收敛点也有发散点 D ．不确定 4 0 cos lim sin x z z z z z →-= - 【 】 A ．3- B. ∞ C. 0 D. 3 5 设13 2 8 ()(1)(1) z f z z z = -+， 则()f z 在复平面上所有有限奇点处的留数之和等 于 【 】 A ． 1- B. 1 C. 10 D. 0 三 (10分) 讨论函数2()f z x iy =-的可微性与解析性。 四 (10分) 设()f z 在||(1)z R R <>内解析，且(0)1f =，(0)2f '=，试计算积分 并由此得出22 cos ()2 i f e d πθ θ θ ? 之值。 五 (10分) 已知调和函数22(,)u x y x y xy =-+。求共轭调和函数(,)v x y 及解析函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+。 2 2 ||1 ()(1) d z f z z z z =+?

复变函数习题及解答

第一章 复变函数习题及解答 写出下列复数的实部、虚部；模和辐角以及辐角的主值；并分别写成代数形式，三角形式和指数形式．(其中,,R αθ为实常数) （1）1-； （2） ππ2(cos isin )33-； （3）1cos isin αα-+； （4）1i e +； （5）i sin R e θ ； （6）i + 答案 （1）实部－1；虚部 2；辐角为 4π2π,0,1,2,3k k +=±±L ；主辐角为4π 3； 原题即为代数形式；三角形式为 4π4π2(cos isin )33+；指数形式为4π i 32e ． （2）略为 5π i 3 5π5π 2[cos sin ], 233i e + （3）略为 i arctan[tan(/2)][2sin()]2c e αα （4）略为 i ;(cos1isin1)ee e + （5）略为：cos(sin )isin(sin )R R θθ+ （6）该复数取两个值 略为 i i isin ),arctan(1isin ),πarctan(1θθ θθθθθθ+=+=+ 计算下列复数 1）() 10 3 i 1+-；2）()3 1i 1+-； 答案 1）3512i 512+-；2） ()13π/42k π i 6 3 2e 0,1,2k +=； 计算下列复数 （1 （2 答案 （1 （2）(/62/3) i n e ππ+ 已知x

【解】 令 i ,(,)p q p q R =+∈，即,p q 为实数域(Real).平方得到 2 2 12()2i x p q xy +=-+，根据复数相等，所以 即实部为 ,x ± 虚部为 说明 已考虑根式函数是两个值，即为±值． 如果 ||1,z =试证明对于任何复常数,a b 有| |1 az b bz a +=+ 【证明】 因为||1,11/z zz z z =∴=∴=，所以 如果复数b a i +是实系数方程 ()011 10=++++=--n n n n a z a z a z a z P Λ的根，则b a i -一定也是该方程的根． 证 因为0a ，1a ，… ，n a 均为实数，故00a a =，11a a =，… ，n n a a =．且()() k k z z =， 故由共轭复数性质有：()() z P z P =．则由已知()0i ≡+b a P ．两端取共轭得 即()0i ≡-b a P ．故b a i -也是()0=z P 之根． 注 此题仅通过共轭的运算的简单性质及实数的共轭为其本身即得证．此结论说明实系数多项式的复零点是成对出现的．这一点在代数学中早已被大家认识．特别地，奇次实系数多项式至少有一个实零点． 证明： 2222 121212||||2(||||)z z z z z z ++-=+,并说明其几何意义． 若 (1)(1)n n i i +=-，试求n 的值. 【解】 因为 22 2244444444(1)2(cos sin )2(cos sin ) (1)2(cos sin )2(cos sin )n n n n n n n n n n n n i i i i i i ππππππππ+=+=+-=-=- 所以 44sin sin n n ππ=- 即为4sin 0n π =所以 4 ,4,(0,1,2,)n k n k k ππ===±±L 将下列复数表为sin ,cos θθ的幂的形式 （1） cos5θ； （2）sin5θ 答案 53244235 (1) cos 10cos sin 5cos sin (2) 5cos sin 10cos sin sin θθθθθ θθθθθ-+-+ 证明：如果 w 是1的n 次方根中的一个复数根，但是1≠w 即不是主根，则必有 对于复数 ,k k αβ，证明复数形式的柯西(Cauchy)不等式：

西安交通大学复变函数习题

第一章 复数与复变函数 一、 选择题 1．当i i z -+= 11时，50 75100z z z ++的值等于（ ） （A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1- 2．设复数z 满足3 )2(π = +z arc ，6 5)2(π = -z arc ，那么=z （ ） （A ）i 31+- （B ）i +-3 （C ）i 2321+- （D ）i 2 123+- 3．复数)2 (tan πθπ θ<<-=i z 的三角表示式是（ ） （A ）)]2sin()2[cos( sec θπθπ θ+++i （B ）)]2 3sin()23[cos(sec θπ θπθ+++i （C ）)]23sin()23[cos( sec θπθπθ+++-i （D ）)]2 sin()2[cos(sec θπ θπθ+++-i 4．若z 为非零复数，则2 2 z z -与z z 2的关系是（ ） （A ）z z z z 22 2 ≥- （B ）z z z z 222=- （C ）z z z z 22 2≤- （D ）不能比较大小 ５．设y x ,为实数，yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ，则动点),(y x 的轨迹是（ ） （A ）圆 （B ）椭圆 （C ）双曲线 （D ）抛物线 ６．一个向量顺时针旋转 3 π ，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为i 31-，则原向量对应的复数是（ ） （A ）2 （B ）i 31+ （C ）i -3 （D ）i +3

７．使得2 2 z z =成立的复数z 是（ ） （A ）不存在的 （B ）唯一的 （C ）纯虚数 （D ）实数 ８．设z 为复数，则方程i z z +=+2的解是（ ） （A ）i +- 43 （B ）i +43 （C ）i -43 （D ）i --4 3 ９．满足不等式 2≤+-i z i z 的所有点z 构成的集合是（ ） （A ）有界区域 （B ）无界区域 （C ）有界闭区域 （D ）无界闭区域 10．方程232= -+i z 所代表的曲线是（ ） （A ）中心为i 32-，半径为2的圆周 （B ）中心为i 32+-，半径为２的圆周 （C ）中心为i 32+-，半径为2的圆周 （D ）中心为i 32-，半径为２的圆周 11．下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（ ） （A ） 22 1 =+-z z （B ）433=--+z z （C ） )1(11<=--a az a z （D ）)0(0>=-+++c c a a z a z a z z 12．设,5,32,1)(21i z i z z z f -=+=-=，则=-)(21z z f （ ） （A ）i 44-- （B ）i 44+ （C ）i 44- （D ）i 44+- 13．0 0) Im()Im(lim 0z z z z x x --→（ ） （A ）等于i （B ）等于i - （C ）等于0 （D ）不存在 14．函数),(),()(y x iv y x u z f +=在点000iy x z +=处连续的充要条件是（ ） （A ）),(y x u 在),(00y x 处连续 （B ）),(y x v 在),(00y x 处连续 （C ）),(y x u 和),(y x v 在),(00y x 处连续（D ）),(),(y x v y x u +在),(00y x 处连续

西交大复变函数考查课习题及答案

西安交通大学现代远程教育考试卷及答案 课 程：复变函数（A ） 专业班号 考试日期 年 月 日 姓 名 学号 期中 期末 一、单项选择题（每题2分，共20分） 1、若函数()z f 在区域D 内解析，则函数()z f 在区域D 内（ ） A ．在有限个点可导 B ．存在任意阶导数 C ．在无穷多个点可导 D ．存在有限个点不可导 2、设()f z 在01z <<内解析且()0lim 1z zf z →=，那么 ()()Re ,0s f z =（ ） A ．2i π B ．2i π- C ．1 D ．-1 3、函数()()()411 ++=z z z z f ，在以0=z 为中心的圆环内的洛朗展式有m 个，则m=（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 4、下列命题正确的是（ ） A ．i i 2< B ．零的辐角是零 C ．仅存在一个数z,使得z z -=1 D ．iz z i =1 5、函数()z z f arctan =在0=z 处的泰勒展式为（ ） A ．()∑∞ =+-02121n n n n z （z <1） B ．()∑∞=+-01 221n n n n z （z <1） C ．()∑∞=++-012121n n n n z （z <1） D ．()∑∞=-0221n n n n z （z <1） 6、在下列函数中，()0Re 0==z f s z 的是（ ）

A ．()21z e z f z -= B ．()z z z z f 1sin -= C ．()z z z z f cos sin += D ．()z e z f z 111--= 7、设a i ≠，C ：i z -=1，则()=-?dz i a z z C 2cos （ ） A ．0 B ． 2i e π C ．2ie π D ．icosi 8、下列函数是解析函数的为（ ） A ．xyi y x 222-- B ．xyi x +2 C ．)2()1(222x x y i y x +-+- D ．33iy x + 9、下列命题中，不正确的是（ ） A ．如果无穷远点∞是()f z 的可去奇点，那么()() Re ,0s f z ∞= B ．若()f z 在区域D 内任一点0z 的邻域内展开成泰勒级数，则()f z 在D 内解析 C ．幂级数的和函数在收敛圆内是解析函数 D ．函数22e i e i ω-=+将带形域()0Im z π<<映射为单位圆1ω< 10、函数()()() 2222f z x y x i xy y =--+-在（ ）处可导。 A ．全平面 B ．2x = C ．2y = D ．处处不可导 二、判断题（每题2分，共30分；正确：√；错误：×） 1、对任意的z ，() ()2Ln z 2Ln z =.（ ） 2、在柯西积分公式中，如果D a ?，即a 在D 之外，其它条件不变，则积分()=-?dz a z z f i C π210，()D z ∈.（ ） 3、区域()0Im z ＞是无界的单连通的闭区域。（ ）

西安交通大学复变函数与积分变换试卷与答案2007-2008第一学期A卷

224 z z ++ 幂级数 1n n n = ∑ 2 Re[(1)sin s z- 6 ()(1)( z i z +- ? 为确定的自然数, 则积分 D.0 ，则下列公式不正确的是 () ω

2 d 1 z+

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一、填空题（每题4分，共20分） 1. 45((21)arctan )3ln i k π+++ 2. 0 3. e 4. 5 6 5. 00()()2 F F ωωωω++- 二、单项选择题（每题4分，共20分）. 1. D 2. C 3. A 4. C 5. A 三 (1) 解: 设C: ,02i z e θ θπ=≤≤, 1cos 1sin z i θθ-=-+(1分)故 |1|2|sin |2 z θ -=(2 分) 故 202sin (cos sin )2 I i i d π θ θθθ=+?(6 分)83 i π=-(7分) (2) 解: (a) 若1r <, 此时圆周内只有一个奇点10z =,(1分) 且 1 23411111....23!4!z e z z z z =+++++246810 2 11....1z z z z z z =-+-+-++(3分) 故1z -对应的系数:111111...3!5!7!9!11! - +-+-+ =sin1故 2sin1I i π=…(5分) (b) 若1r >, 此时圆周内有三个奇点: 1230,.z z i z i ===-(6分)此时 1 122 2sin12Re [,]2Re [,]11z z e e I i i s i i s i z z πππ=++-++=2sin1i i i e e πππ-++(8分) 四 解: (1) ()212(2)(1)f z z z = --+(1分)=2 2 1121 ()121(1) 2z z z ---+(2分) =2200121()()()22n n n n z z z ∞∞==---∑∑=122100(1)22 n n n n n n z z +∞ ∞++==--∑∑(4分) (2) ()111 ()(2)f z i z z i z i = ---+-

《复变函数》(西安交大)习题解答--第5章习题

第五章习题 1．下列函数有些什么奇点？如果是极点，指出它的级： 1） 211)(+z z ； 2）3 z z sin ； 3）1123+--z z z ； 4）z z )ln(1+； 5）))((z e z z π++112； 6）1 1 -z e ； 7）) (112-z e z 解 1） 211)(+z z =2 21 )()(i z i z z +-，所以0=z 为一级极点，i z ±=为二级极点． 2）显然0=z 是 3 z z sin 的奇点，又在0=z 的去心邻域内的洛朗展开式为 3 z z sin = -+-!!531 22z z z ，+∞<<||z 0 所以0=z 为二级极点． 3） 11 2 3+--z z z = 2111 ) )((-+z z 所以1-=z 为一级极点，2=z 为二级极点． 4）显然0=z 是 z z ) ln(1+的孤立奇点． 又 110 =+→z z z ) ln(lim ， 所以0=z 为可去奇点． 5）令0112 =++))((z e z π，解之得),,,()( 21012±±=+=k i k z k ， 因为),,,()( 21012±±=+=k i k z k 是z e z z ) )((π++112的零点，所以 ),,,()( 21012±±=+=k i k z k 是 ) )((z e z z π++112的极点，又 10 0112≠' ? ? ????++=k z z z z e z ))((π，),,,( 321±±=k 所以),,,()( 32112±±=+=k i k z k 为z e z z ) )((π++112的一级零点，从而为

免费在线作业答案西安交通大学15年7月课程考试《复变函数》作业考核试题答案-最新

西安交通大学15年7月课程考试《复变函数》作业考核试题答案-最新 最新在线作业试卷及满分答案 西安交通大学 15 年 7 月课程考试《复变函数》作业考核试题答案 最新在线作业试卷及满分答案 最新在线作业试卷及满分答案 最新在线作业试卷及满分答案 最新在线作业试卷及满分答案 最新在线作业试卷及满分答案 最新在线作业试卷及满分答案 把分母拆成(z+1)(z-1)。首先 C 的表达式你已经化简了，这很明显就是绕“1”这个点的一个正向圆周对不对？因此-1 不在圆周里，唯一的奇点是 z=1。由留数定理，2(pi)i lim[z->1]sin(什么x1/4)/(z+1)=答案。你图片少截了一块不过我猜唯一可能是sin((pi)z/4) 习题一答案；1．求下列复数的实部、虚部、模、幅角主值及共轭复；i1；（2）；(i?1)(i?2)3?2i；13i821；（3）?（4）?i?4i?i；i1?i；13?2i；解：（1）z?，?；3?2i1332；因此：Rez?,Imz??，；1313232z?argz??arctan,z?； 31313ii?3?i；??（2）z?，；(i?1)(i?2)1?3i 习题一答案 最新在线作业试卷及满分答案 最新在线作业试卷及满分答案 1．求下列复数的实部、虚部、模、幅角主值及共轭复数： i1 （2） (i?1)(i?2)3?2i 13i821 （3）? （4）?i?4i?i i1?i 13?2i 解：（1）z?， ? 3?2i1332 因此：Rez?, Imz??， 1313232z? argz??arctan, z??i 31313ii?3?i ??（2）z?， (i?1)(i?2)1?3i10 31 因此，Rez??, Imz?，1010 131z? argz???arctan, z???i 3101013i3?3i3?5i （3）z??， ??i?? i1?i22 35 最新在线作业试卷及满分答案 最新在线作业试卷及满分答案 因此，Rez?, Imz??， 3253?5iz? argz??arctan, z? 232 821 （4）z??i?4i?i??1?4i?i??1?3i （1）因此，Rez??1, Imz?3， z?argz???arctan3, z??1?3i 2．将下列复数化为三角表达式和指数表达式：（1）i （2 ）?1?（4）r(cos?解：（1）i （3）r(sin??icos?) ?isin?) （5）1?cos??isin? (0???2?) ?cos ? 2 ?isin ? 2 ? 2 ?e 1 i