相互独立事件同时发生的概率

相互独立事件同时发生的概率

第（3）课时

教学目标： 知识目标

了解独立重复试验的实际背景，能利用独立重复试验的概率法则进行实际计算．

能力目标

通过相互独立事件及其概率的计算，进一步熟练概率的计算方法，提高运用数学知识解决实际问题的能力．

情感目标

结合二项分布公式与二项展开式的关系，理解事物之间相互联系的观点和运用对立统一规律分析问题的辩证方法．

教学重点和难点

独立重复试验的概念及其公式推导． (教学方法：讲练结合)

教学过程 [设置情境]

某射手射击一次，击中目标的概率是9.0，他射击4次恰好击中3次的概率是多少？ 师问：这种事件的特点是什么？你能找到计算结果的方法，并总结出规律吗？ [探索研究]

1．独立重复试验的定义

独立重复试验是在同样的条件下，重复地各次之间相互独立地进行的一种试验．在这样的试验中，每一次试验只有两种结果，即某事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中发生的概率都是一样的．比如上面问题中射手每次射击之间是独立地，每次射击只有两种结果，击中和不击中，且每次击中的概率都为9.0． 2．独立重复试验的概率计算法则

在上面的问题中：

分别记在第l 、2、3、4次射击中，这个射手击中目标为事件1A 、2A 、3A 、4A ，未击中目标为事件1A ，、2A 、3A 、4A ，那么，射击4次，去中3次共有下面四种情况：

4321A A A A ??? 4321A A A A ??? 4321A A A A ??? 4321A A A A ???

上述每一种情况，都可看成是在四个位置上取3个写上A ，另一个写上A ，所以这些情况的种数等于从4个元素中取出3个元素的组合数3

4C ，即4种．

由于各次射击是否击中相互之间没有影响．根据相互独立事件的概率乘法公式，前3次击中，第4次未击中的概率

()()()()()

43214321A P A P A P A P A A A A P ???=???

()9.019.09.09.0-???=

()

3

439.019.0--?=

同理：()()(

)

432143214321A A A A P A A A A P A A A A P ???=???=???

()

3

439.019.0--?=

因为这四种情况彼此互斥，根据互斥事件的概率加法公式，射击4次，去中了3次的概率

()()()()

4321432143214321A A A A P A A A A P A A A A P A A A A P P ???+???+???+???=

()

3

43349.019.0--??=C

29.0≈

上面的问题中，4次射击可以看成是进行4次独立重复试验．

一般地，如果在一次试验中某事件发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中，这个事件恰好发生k 次的概率为

()()

k

n k

k n n P P C k P --=1

由于上式右端恰好是下面二项展开式

()[]()()()n n n k k n k n n n

n n n P C P P C P C P C P P ++-++-+-=+--- 111111

0 的一般项，故又称为二次分布公式．

3．例题分析

例1 某气象站天气预报的准确率为80％．计算（结果保留两个有效数字）： （l ）5次预报中恰有4次准确的概率；（2）5次预报中至少有4次准确的概率． 解：5次预报相当于5次独立重复试验．

（1）()()4

54

45

58.018.04--??=C P

2.08.054??= 41.0≈

（2）()()5455P P P +=

()

()055

54

544

58.018.08.018.0-??+-??=-C C

74.0≈

例2 某城市的发电厂有5台发电机组，每台机组在一个季度里停机维修率为4

1

．已知两台以上机组停机维修，将造成城市缺电．计算：

（l ）该城市在一个季度里停电的概率； （2）该城市在一个季度里缺电的概率．

解：（l ）该城市停电必须5台机组都停电维修，所以停电的概率是

()1024

14114150

5555=

??? ??-??? ??=C P （2）当3台或4台机组停电维修时，该城市将缺电，所以缺电的概率是

()()??

? ??-??? ??+??? ??-??? ??=+4114141141434

45233555C C P P

4

3

415494110423??+??

= 1024

105=

. [演练反馈]

1．设在四次独立重复试验中，事件A 至少发生一次的概率为

81

80

，试求在一次试验中事件A 发生的概率．

（由一名学生板演后，教师讲解）

2．已知某类型的高射炮在它们控制的区域内去中具有某种速度敌机的概率为20%． （1）假定有5门这种高射炮控制某个区域，求敌机进入这个区域后被击中的概率； （2）要使敌机一旦进入这个区域后有90%以上的可能被击中，需至少布置几门这类高射炮？

（学生练习后，教师讲解）

3．某人向某个目标射击，直至击中目标为止，每次射击击中目标的概率为3

1，求在每n 次才去中目标的概率，并证明这样无限继续下去，目标迟早被击中． [参考答案]

1．解：设在一次试验中事件A 发生的概率为P ，则()

P A P -=1，

4次试验中事件A 都不发生的概率为()4

1P -，于是：

()8180114

=

--P 则 ()81

114

=-P ∴ 3

2=

P 即一次试验中事件A 发生的概率为

3

2. 2．解：（1）设敌机被各炮击中的事件分别为1A 、2A 、3A 、4A 、5A ，那么5门炮都未击中敌机的事件

54321A A A A A C ????=

因各炮射击的结果是相互独立的，所以

()()()()()()

54321A P A P A P A P A P C P ????=

()[]()[]5

5

1A P A

P -==

5

554511??

? ??=??? ??-= 因此敌机被击中的概率

()()

67.03125

2101

54115

≈=??? ??-=-=C P C P

（2）设至少需要布置n 门这类高射炮才能有90%以上的可能击中敌机，由（l ）可得：

10

91081>???

??-n

即1108-

3.103010

.0311

2lg 311≈?-≈->

n

∴ 11≥n

即至少需要布置这类高射炮11门才能有90％以上的可能击中敌机．

3．解：设第n 次才去中目标，那么前1-n 次均未击中，其概率为

1

1

323131311--??

? ???=???

? ??-n n ()3,2,1=n

如此无限下去，则去中目标的概率为

1321lim =???????

???? ??-∞

→n n ∴目标迟早被击中．

[总结提炼]

独立重复试验在实际问题中是很多的，研究独立重复试验，计算在n 次独立重复试验中某事件恰好发生k 次的概率，在理论上与实践上都是十分有用的．在推导n 次独立重复试验中某事件恰好发生k 次的概率的计算公式时，概率的加、乘运算和组合知识都用到了，可以说概率知识在这里得到了复习和综合．

b6相互独立事件概率求解

本文为自本人珍藏 版权所有 仅供参考 本文为本人珍藏，有较高的使用、参考、借鉴价值！！ 本文为本人珍藏，有较高的使用、参考、借鉴价值！！ 相互独立事件概率问题求解辨析 焦景会 055350 河北隆尧一中 事件A 、B 是相互独立事件，当且仅当事件A 和B 是否发生，相互之间没有影响。如果事件A 与B 相互独立，那么A 与B 、A 与B 、A 与B 也都是相互独立的。尤其在涉及“至多”或“至少”问题时，常先求此事件的对立事件的概率，再利用公式()1()P A P A =-求出所求事件的概率。这种解法，称为逆向思考方法。下面就相互独立事件概率问题举例分析如下。 一、 反面求解相互独立事件同时发生的概率 例1、加工某零件需3道工序，设第1、2、3道工序出现次品的概率分别为0.02，0.03，0.05，假设三道工序互不影响，求加工出来的零件是次品的概率。 解：由题中“三道工序互不影响”，可判定1、2、3道工序出现次品的事件是相互独立事件，可用相互独立事件的乘法公式。 设A=“加工出来的零件是次品”，i A =“第i 道工序出现次品”，则123A A A A =??， 由于三道工序互不影响，123()()()()P A p A P A P A ∴=??=（1-0.12）（1-0.03）（1-0.05）=0.90307。所以 ()1()10.903070.09693P A P A =-=-=。 点评：两个或多个相互独立事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率积，结合“对立事件的概率和为1”，先求其对立事件的概率，然后再求原事件概率，采用这种解法可使问题变得简易。 二、用排列组合思想理解相互独立事件的概率 例2、甲乙两人各投篮3次，每次投中得分概率为0.6，0.7，求甲乙两人得分相同的概率。 解： 甲乙两人得分相同可以有；甲乙都中0、1、2、3次共四种情况。设甲投中0、1、2、3次概率分别为0123A A A A 、、、，乙投中0、1、2、3次概率分别为 0123B 、B 、B 、B ， 则 0012233()()()()P P A B P A B P A B P A B =+++ 1 1 2 2 3 3 2 2 2 2 3 33 30.40.30.60.40.70.30.60.40.70.3C C C C =?+ ???+???3 30.60.70.321+?=。 点评：全面考虑各种可能性，然后利用公式()(1)k k n k n n P k p p C -=-。 三、通过分类或分步将复杂事件分解为简单事件

随机变量条件概率与事件相互独立

2． 2．1条件概率 一、复习引入： 探究: 三张奖券中只有一张能中奖,现分别由三名同学无放回地抽取,问最后一名同学抽到中奖奖券的概率是否比前两名同学小. 若抽到中奖奖券用“Y ”表示，没有抽到用“ Y ” ，表示，那么三名同学的抽奖结果共有三种可能：Y Y Y ，Y Y Y 和 Y Y Y ．用 B 表示事件“最后一名同学抽到中奖奖券” , 则 B 仅包含一个基本事件Y Y Y ．由古典概型计算公式可 知，最后一名同学抽到中奖奖券的概率为1()3 P B = . 思考:如果已经知道第一名同学没有抽到中奖奖券，那么最后一名同学抽到奖券的概率又是多少？ 因为已知第一名同学没有抽到中奖奖券，所以可能出现的基本事件只有Y Y Y 和Y Y Y ．而“最后一名同学抽到中奖 奖券”包含的基本事件仍是Y Y Y .由古典概型计算公式可知．最后一名同学抽到中奖奖券的概率为 1 2 ，不妨记为P （B|A ) ， 其中A 表示事件“第一名同学没有抽到中奖奖券”. 已知第一名同学的抽奖结果为什么会影响最后一名同学抽到中奖奖券的概率呢？ 在这个问题中，知道第一名同学没有抽到中奖奖券，等价于知道事件 A 一定会发生，导致可能出现的基本事件必然在事件 A 中，从而影响事件 B 发生的概率，使得 P ( B|A ）≠P ( B ) . 思考:对于上面的事件A 和事件B ，P ( B|A ）与它们的概率有什么关系呢？ 用Ω表示三名同学可能抽取的结果全体，则它由三个基本事件组成，即Ω=｛Y Y Y , Y Y Y ,Y Y Y ｝ ．既然已知事件A 必然发生，那么只需在A={Y Y Y , Y Y Y}的范围内考虑问题，即只有两个基本事件Y Y Y 和Y Y Y ．在事件 A 发 生的情况下事件B 发生，等价于事件 A 和事件 B 同时发生，即 AB 发生．而事件 AB 中仅含一个基本事件Y Y Y ，因 此 (|)P B A = 12=() () n AB n A . 其中n ( A ）和 n ( AB ）分别表示事件 A 和事件 AB 所包含的基本事件个数．另一方面，根据古典概型的计算公式， ()() (),()()() n AB n A P AB P A n n = =ΩΩ 其中 n （Ω）表示Ω中包含的基本事件个数．所以， (|)P B A =()()()() ()()()() n AB n AB P AB n n A n P n Ω==ΩΩΩ. 因此，可以通过事件A 和事件AB 的概率来表示P （B| A ) . 条件概率 1.定义 设A 和B 为两个事件，P(A )>0，那么，在“A 已发生”的条件下，B 发生的条件概率（conditional probability ). (|)P B A 读作A 发生的条件下 B 发生的概率．

相互独立事件的概率

第79课 相互独立事件的概率 ●考试目标 主词填空 1.如果事件A (或B )是否发生的对事件B (或A )发生的概率没有影响，那么这样的事件叫做相互独 立事件.相互独立事件A 和B 同时发生，记作A ·B,其概率由相互独立事件概率的乘法公式： P (A ·Ｂ)＝Ｐ（Ａ）·Ｐ（Ｂ）． 2.“互斥”事件A 与B ，要记住其判别的依据是A ∩Ｂ=；而“相互独立”事件A 与B ，是指它们中的任何一个发生与否对另一个事件发生的概率没有“影响”. 3.如果在1次试验中，某事件发生的概率为P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次 的概率. P n (k )=k n k k n P P C --)1(． ● 题型示例 点津归纳 【例1】 甲、乙两人各进行一次射击，如果两人击中目标的概率是0.8.计算： (1)两人都击中目标的概率； (2)其中恰有1人击中目标的概率； (3)至少有1人击中目标的概率. 【解前点津】 “两人都击中目标”是事件A ·B ；“恰有1人击中目标”是A ·A B 或·B ；“至少有1人击中目标”是A ·B 或A ·A B 或·B . 【规范解答】 我们来记“甲射击一次击中目标”为事件A ，“乙射击一次击中目标”为事件B . (1)显然，“两人各射击一次，都击中目标”就是事件A ·B ，又由于事件A 与B 相互独立. ∴ P (A ·B )=P (A )·P (B )=0.8×0.8=0.64. (2)“两个各射击一次，恰好有一人击中目标”包括两种情况：一种是甲击中乙未击中(即A ·B )，另一种是甲未击中乙击中(即A ·B )，根据题意这两种情况在各射击一次时不可能同时发生，即事件A ·A B 与·B 是互斥的，所以所求概率为： P =)()()()()()(B P A P B P A P B A P B A P ?+?=?+? =0.8×(1-0.8)+(1-0.8)×0.8=0.16+0.16=0.32. (3) “两人各射击一次，至少有一人击中目标”的概率为： P =P (A ·Ｂ)+［P (A ·A P B ()+·Ｂ)］=0.64+0.32=0.96. 【解后归纳】 本题考查应用相互独立事件同时发生的概率的有关知识的正确应用. 【例2】如图，电路由电池A 、B 、C 并联组成.电池A 、B 、C 损坏的概率分别是0.3、0.2、0.2，求电路断电的概率. 【解前点津】 可规定A =“电池A 损坏”，B =“电池B 损坏”，C =“电池C 损坏”.这样，就有事

相互独立事件同时发生的概率典型例题

典型例题 例1 掷三颗骰子，试求： （1）没有一颗骰子出现1点或6点的概率； （2）恰好有一颗骰子出现1点或6点的概率． 分析：我们把三颗骰子出现1点或6点分别记为事件，由已知，是相互独立事件．问题（1）没有1颗骰子出现1点或6点相当于，问题（2）恰有一颗骰子出现1点或6点可分为三类：，三个事件为互斥事件．问题（1）可以用相互独立事件的概率公式求解，问题（2）可以用互斥事件的概率公式求解． 解：记“第1颗骰子出现1点或6点”为事件，由已知是相互独立事件，且． （1）没有1颗骰子出现1点或6点，也就是事件全不发生，即事件，所以所求概率为： ． （2）恰好有1颗骰子出现1点或6点，即发生不发生不发生或 不发生发生不发生或不发生不发生发生，用符号表示为事件 ，所求概率为：

说明：再加上问题：至少有1颗骰子出现1点或6点的概率是多少我们逆向思考，其对立事件为“没有一颗骰子出现1点或6点，即问题（1）中的事件， 所求概率为，在日常生活中，经常遇到几个独立事件，要求出至少有一个发生的概率，比如例1中的至少有1个人译出密码的概率，再比如：有两门高射炮，每一门炮击中飞机的概率都是，求同时发射一发炮弹，击中飞机的概率是多少把两门炮弹击中飞机分别记为事件A与B，击中飞机即 A与B至少有1个发生，所求概率为 ． 例2 某工厂的产品要同时经过两名检验员检验合格方能出厂，但在检验时也可能出现差错，将合格产品不能通过检验或将不合格产品通过检验，对于两名检验员，合格品不能通过检验的概率分别为，不合格产品通过检验的概率分别为，两名检验员的工作独立．求：（1）一件合格品不能出厂的概率，（2）一件不合格产品能出厂的概率． 分析：记“一件合格品通过两名检验员检验”分别记为事件和事件，问题（1）一件合格品不能出厂相当于一件合格品至少不能通过一个检验员检验，逆向考虑，其对立事件为合格品通过两名检验，即发生，而的概率可以用相互独立事件的概率公式求解．我们把“一件不合格品通过两名检验员检验”分别记为事件和事件，则问题（2）一件不合格品能出厂相当于一件不合格品同时通过两名检验员检验，即事件发生，其概率可用相互独立事件概率公式求解． 解：（1）记“一件合格品通过第i名检验员检验”为事件，“一件合格品不能通过检验出厂”的对立事件为“一件合格品同时通过两名检验员检验”，即事件发生．

独立事件积的概率

4.2 独立事件积的概率 五、教学过程设计 (一)、复习回顾1.事件和 2.事件积------设A 、B 为两个随机事件,把“事件A 与事件B 同时出现”叫做事件A 与事件B 的积.记作A ∩B 或AB. (二)、讲授新课 1、有关概念、公式 概念引入 请同学们观察下面这样两个随机事件:将一枚均匀的硬币接连旋转两次,设A 表示第一次旋转停下后出现图朝上,B 表示第二次旋转停下后出现图朝上.不论第一次旋转停下后出现图朝上还是字朝上对第二次旋转停下后出现图朝上的概率没有影响. 上述现象说明事件A 是否出现对事件B 出现的概率没有影响.同样事件B 是否出现对事件A 出现的概率也没有影响. 概念---互相独立事件 如果事件A 出现和事件Ｂ出现,相互之间没有影响,那么称事件Ａ和事件Ｂ互相独立. 注1. 对立事件指事件Ａ和A 满足⑴A ∪A =Ω⑵A ∩A =φ; 注２.互不相容事件或互斥事件是指不可能同时出现的两个事件; 注3.如果事件A 和事件Ｂ互相独立. A 与Ｂ、Ａ与B 、A 与B 也是互相独立. 概率乘法公式 一般地,如果事件Ａ和事件Ｂ是互相独立事件, 那么 P(AB)=P(A)·P(B) 也就是说, 互相独立的随机事件的积的概率等于各个事件概率的乘积.这个公式叫做互相独立随机事件的概率乘法公式. 更一般地,如果n 21A ,,A ,A ?中每个事件与余下的任意几个事件的积(事件)互相独立,那么称n 21A ,,A ,A ?互相独立.如果n 21A ,,A ,A ?互相独立, 那么 P(n 21A A A ?)=)A (P )A (P )A (P n 21? 2、例题精析 (1)产品检验事件的概率问题(p.67) 例1 如果100件产品有５件次品,那么返回抽取２件产品都是次品的概率是多少？ 解:设事件Ｅ表示“第一次抽取是次品”,事件F 表示“第二次抽取是次品”, “事件Ｅ出现”与“事件F 出现”互相没有影响,即事件Ｅ与事件F 是互相独立事件. 据题意,.1005)F (P ,1005)E (P == 依据互相独立随机事件的概率乘法公式,可得:

相互独立事件与概率的乘法公式

相互独立事件与概率的乘法公式 说课人：董新森 工作单位：东平县职业中专 时间：2007年5月22日

“相互独立事件与概率的乘法公式”说课稿 一、教材分析 1、教材所处的地位和作用 本节课是概率的第三个计算公式，是在学习了互斥事件和概率的加法公式后而引入的，是对概率计算公式的进一步研究，同时又为下一步学习独立重复试验概率的计算奠定了知识和方法基础。 2、教学目标 （1）能正确区分互斥事件和相互独立事件，会用乘法公式解决简单问题。 （2）在归纳总结乘法公式过程中，进一步提高由特殊推测一般的合情推理能力。 （3）通过教师指导下的学生探索归纳活动，激发学生学习的兴趣，使学生经历数学思维过程，获得成功的体验。 3、教学重点与难点 教学重点：概率的乘法公式的应用 教学难点：区分互斥事件和相互独立事件 二、教学和学法 本节课采用启发探究式教学，由浅入深,由特殊到一般地提出问题,鼓励学生采用观察分析、归纳、总结的学习方法，让学生经历数学知识的应用过程。

三、教学过程设计 1、从数学问题引入探究主题 若事件A=｛甲同学的生日是5月份｝，B=｛乙同学的生日是5月份｝，则A∩B=｛甲和乙的生日都是5月份｝ 问题：（1）说出事件A和事件B是否为互斥事件，为什么？ （引出相互独立事件的概念） （2）试计算P（A）、P（B）、P（A∩B）。 （3）试分析P（A）、P（B）、P（A∩B）三者之间关系。 （4）试举出几个相互独立事件的例子。 2、发现规律 从以上事例中引导学生观察、分析、归纳 P（A∩B）=P（A）×P（B） 一般地说，如果事件A1，A2，…A n相互独立，那么这几个事件

2019-2020年高考数学复习 第88课时 第十章 排列、组合和概率-相互独立事件的概率名师精品教案

2019-2020年高考数学复习第88课时第十章排列、组合和概率-相互独 立事件的概率名师精品教案 课题：相互独立事件的概率 一．复习目标： 1．了解相互独立事件的意义，会求相互独立事件同时发生的概率； 2．会计算事件在次独立重复试验中恰好发生次的概率． 二．知识要点： 1．相互独立事件的概念：． 2．是相互独立事件，则． 3．次试验中某事件发生的概率是，则次独立重复试验中恰好发生次的概率是．三．课前预习： 1．下列各对事件 （1）运动员甲射击一次，“射中环”与“射中环”， （2）甲、乙二运动员各射击一次，“甲射中环”与“乙射中环”， （3）甲、乙二运动员各射击一次，“甲、乙都射中目标”与，“甲、乙都没有射中目标”，（4）甲、乙二运动员各射击一次，“至少有一人射中目标”与，“甲射中目标但乙没有射中目标”，是互斥事件的有（1），（3）．相互独立事件的有（2）． 2．某射手射击一次，击中目标的概率是，他连续射击次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响，有下列结论： ①他第次击中目标的概率是；②他恰好击中目标次的概率是； ③他至少击中目标次的概率是，其中正确结论的序号①③． 3．件产品中有件次品，从中连续取两次，（1）取后不放回，（2）取后放回，则两次都取合格品的概率分别是、． 4．三个互相认识的人乘同一列火车，火车有节车厢，则至少两人上了同一车厢的概率是（） 5．口袋里装有大小相同的黑、白两色的手套，黑色手套只，白色手套只，现从中随机地取出两只手套，如果两只是同色手套则甲获胜，两只手套颜色不同则乙获胜，则甲、乙获胜的机会是（） 甲多乙多一样多不确定 四．例题分析： 例1．某地区有个工厂，由于电力紧缺，规定每个工厂在一周内必须选择某一天停电（选哪一天是等可能的），假定工厂之间的选择互不影响． （1）求个工厂均选择星期日停电的概率；（2）求至少有两个工厂选择同一天停电的概率．解：设个工厂均选择星期日停电的事件为． 则． （2）设个工厂选择停电的时间各不相同的事件为． 则，

独立事件积的概率

4.2 独立事件积的概率 事件Ａ和事件Ｂ的和 2. 事件Ａ和事件Ｂ的积 3.互不相容事件或互斥事件 4.概率加法公式 互相独立事件----如果事件A 出现和事件Ｂ出现,相互之间没有影响,那么称事件Ａ和事件Ｂ互相独立. 相独立随机事件的概率乘法公式. （1）一般地,如果事件Ａ和事件Ｂ是互相独立事件, 那么P(AB)=P(A)·P(B) （2）推广：如果n 21A ,,A ,A ?中每个事件与余下的任意几个事件的积(事件)互相独立,那么称n 21A ,,A ,A ?互相独立. 如果n 21A ,,A ,A ?互相独立, 那么P(n 21A A A ?)=)A (P )A (P )A (P n 21? 产品检验事件的概率问题 例1、如果100件产品有５件次品,那么返回抽取２件产品都是次品的概率是多少？ 扑克牌抽取事件的概率问题 例2、从一副52张的扑克牌中随机抽取2张牌,求下列事件的概率: （Ⅰ）在放回抽取的情况下,两张牌都是K ； （Ⅱ）在不放回抽取的情况下,两张牌都是K 。 帕斯卡和费马的友人的一个猜测 例3、试证明：将一颗骰子接连抛掷４次至少出现一次６点的可能性大于将两颗 骰子接连抛掷2４次至少出现一次双６点的可能性。

机床维护事件的概率 例4、一名工人维护甲乙丙３台独立的机床,在一小时内,甲乙和丙需要维护的概 率分别为0.9、0.8、0,85,求一小时内下列事件的概率 (Ⅰ)没有一台机床需要维护； (Ⅱ)至少有一台机床不需要护。 频率问题 例5、在射击训练中,小强射中9环及以上频率为0.20,射中7环或8环的频率为0.40,射中3环至6环的频率为0.10,计算小强射击成绩在7环及以上频率和射击成绩3环以下的频率。 例6、已知甲射手射中目标的频率为80%,乙射手射中目标的频率为70%,如果甲乙两人的射击相互独立,那么甲乙两射手同时瞄准一个目标射击,目标被射中的频率是多少？ 1、甲以10发8中，乙以10发6中，丙以10发7中的命中率打靶，3人各射击一次，求3 人中只有一人命中的概率。 2、甲乙两人下象棋，每下三盘，甲平均能胜两盘，若两个人下五盘棋，求甲至少胜三盘的概率。

高中数学第一册(上)相互独立事件的概率

高三数学第一轮复习讲义（74） 2005.1.8 相互独立事件的概率 一．复习目标： 1．了解相互独立事件的意义，会求相互独立事件同时发生的概率； 2．会计算事件在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率． 二．知识要点： 1．相互独立事件的概念： ． 2．,A B 是相互独立事件，则()P A B ?= ． 3．1次试验中某事件发生的概率是P ，则n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率是 ． 三．课前预习： 1．下列各对事件 （1）运动员甲射击一次，“射中9环”与“射中8环”， （2）甲、乙二运动员各射击一次， “甲射中10环”与“乙射中9环”， （3）甲、乙二运动员各射击一次， “甲、乙都射中目标”与，“甲、乙都没有射中目标”， （4）甲、乙二运动员各射击一次， “至少有一人射中目标”与，“甲射中目标但乙没有射中目标”，是互斥事件的有 （1），（3） ．相互独立事件的有 （2） ． 2．某射手射击一次，击中目标的概率是0.9，他连续射击4次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响，有下列结论： ①他第3次击中目标的概率是0.9；②他恰好击中目标3次的概率是30.90.1?； ③他至少击中目标1次的概率是410.1-，其中正确结论的序号 ①③ ． 3．100件产品中有5件次品，从中连续取两次，（1）取后不放回，（2）取后放回，则两次都取合格品的概率分别是 893990 、 361400 ． 4．三个互相认识的人乘同一列火车，火车有10节车厢，则至少两人上了同一车厢的概率是 （ ） ()A 29200 ()B 725 ()C 7125 ()D 718 5．口袋里装有大小相同的黑、白两色的手套，黑色手套15只，白色手套10只，现从中随机地取出两只手 套，如果两只是同色手套则甲获胜，两只手套颜色不同则乙获胜，则甲、乙获胜的机会是 （ ） ()A 甲多 ()B 乙多 ()C 一样多 ()D 不确定 四．例题分析： 例1．某地区有5个工厂，由于电力紧缺，规定每个工厂在一周内必须选择某一天停电（选哪一天是等可能的），假定工厂之间的选择互不影响． （1）求5个工厂均选择星期日停电的概率；（2）求至少有两个工厂选择同一天停电的概率． 解：设5个工厂均选择星期日停电的事件为A ． 则511()716807 P A ==． （2）设5个工厂选择停电的时间各不相同的事件为B ． 则575360()72401 A P B ==， 至少有两个工厂选择同一天停电的事件为B ，3602041()1()124012401 P B P B =-=-=． 小结：5个工厂均选择星期日停电可看作5个相互独立事件． 例2．某厂生产的A 产品按每盒10件进行包装，每盒产品均需检验合格后方可出厂．质检办法规定：从每

相互独立事件概率求解

相互独立事件概率问题求解辨析 事件A 、B 是相互独立事件，当且仅当事件A 和B 是否发生，相互之间没有影响。如果事件A 与B 相互独立，那么A 与B 、A 与B 、A 与B 也都是相互独立的。尤其在涉及“至多”或“至少”问题时，常先求此事件的对立事件的概率，再利用公式()1()P A P A =-求出所求事件的概率。这种解法，称为逆向思考方法。下面就相互独立事件概率问题举例分析如下。 一、 反面求解相互独立事件同时发生的概率 例1、加工某零件需3道工序，设第1、2、3道工序出现次品的概率分别为0.02，0.03，0.05，假设三道工序互不影响，求加工出来的零件是次品的概率。 解：由题中“三道工序互不影响”，可判定1、2、3道工序出现次品的事件是相互独立事件，可用相互独立事件的乘法公式。 设A=“加工出来的零件是次品”，i A =“第i 道工序出现次品”，则123A A A A =??， 由于三道工序互不影响，123()()()()P A p A P A P A ∴=??=（1-0.12）（1-0.03）（1-0.05）=0.90307。所以 ()1()10.903070.09693P A P A =-=-=。 点评：两个或多个相互独立事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率积，结合“对立事件的概率和为1”，先求其对立事件的概率，然后再求原事件概率，采用这种解法可使问题变得简易。 二、用排列组合思想理解相互独立事件的概率 例2、甲乙两人各投篮3次，每次投中得分概率为0.6，0.7，求甲乙两人得分相同的概率。 解： 甲乙两人得分相同可以有；甲乙都中0、1、2、3次共四种情况。设甲投中0、1、2、3次概率分别为0123A A A A 、、、，乙投中0、1、2、3次概率分别为 0123B 、B 、B 、B ， 则 0012233()()()()P P A B P AB P A B P A B =+++ 1122 33222233330.40.30.60.40.70.30.60.40.70.3 C C C C =?+???+???330.60.70.321+?=。 点评：全面考虑各种可能性，然后利用公式()(1)k k n k n n P k p p C -= -。 三、通过分类或分步将复杂事件分解为简单事件 例3、某辆汽车载有8名学生从学校回家，途中共有甲、乙、丙三个停车点。如果某停车点无人下车，那么该车在这个点就不停车，假设每个学生在每个停车点下车的可能性都相等。求 （1）停车次数不少于2的概率；（2）恰好停2次的概率。

独立事件的概率(一)

相互独立事件同时发生的概率 【教学目的】 1．了解相互独立事件的意义，会用相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率； 2.掌握相互独立事件同时发生的概率乘法公式； 3．通过对概率知识的学习，了解偶然性寓于必然性之中的辨证唯物主义思想； 【教学重点】 用相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率； 【教学难点】 互斥事件与相互独立事件的区别；相互独立事件的判断； 【教学用具】 投影仪、多媒体电脑等。 【教学方法】 引导法——引导学生逐步认识相互独立事件及其同时发生的概率。 【教学过程】 [设置情境] （1）一个坛子里有6个白球，3个黑球，l 个红球，设摸到一个球是白球的事件为A ，摸到一个球是黑球的事件为B ，问A 与B 是互斥事件呢，还是对立事件？ （2）甲坛子里有3个白球，2个黑球；乙坛子里有2个白球，2个黑球．设从甲坛子里摸出一个球，得到白球叫做事件A ，从乙坛子里摸出一个球，得到白球叫做事件B ．问A 与B 是互斥事件呢？还是对立事件？还是其他什么关系？ （3）在问题（2）中，若记事件A 与事件B 同时发生为B A ?，那么()B A P ?与()A P 及()B P 有什么关系呢？它们之间有着某种必然的规律吗？ [探索研究] 1．独立事件的定义 我们把“从甲坛子里摸出1个球，得到白球”叫做事件A ，把“从乙坛子里摸出1个球，得到白球”叫做事件B ．很明显，从一个坛子里摸出的是白球还是黑球，对从另一个坛子里摸出白球的概率没有影响．这就是说，事件A （或B ）是否发生对事件B （或A ）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件． 事件间的“互斥”与“相互独立”是两个不同的概念，两个事件互斥是指这两个

沪教版高中数学高三下册第十七章17.1古典概型-独立事件积的概率教案

独立事件积的概率教学设计 一、指导思想与理论依据 “独立事件积的概率”是上海高考的理科考察内容，由于概率问题与人们的实际生活有着紧密的联系，对指导人们从事社会生产、生活具有十分重要的意义，诸如自动控制、通讯技术、军事、气象、卫生医疗、地质、经济等领域的应用非常普遍；通过对这一知识点的学习运用，使学生了解偶然性寓于必然之中的辩证唯物主义思想，学习和体会数学的奇异美和应用美.所以概率这个章节也比较容易渗透德育目标进去。 概率所研究的对象具有抽象和不确定性等特点，学生很难用已获得的解决确定性数学问题的思维方法，去求得“活”的概率问题的解，教师必须引导学生从中获得问题情境性的情境体验和感悟。根据课程标准的要求，结合教材实际，我将从背景分析、目标定位、教法学法、教学设想、教学评价等五个方面对本节课的教学设计进行说明． 二、背景分析 1、教材的地位与作用 相对于传统的代数、几何而言，概率论形成较晚，而独立事件积的概率在概率的基础上更进一步，其定义方式新颖独特，具有不确定性，这是理解概率的难点所在．因此，我认为这节课学生要会判断几个事件是否独立，会计算独立事件积的概率，并用它解决一些生活实际问题。 2、学生情况分析 <1>学生已经具备的基础和能力 学生在高中阶段已经学习了概率初步，对事件的分类和古典概率的计算有一定的认识，有阅读、观察的基础，具备一定的合作交流，自主探究能力。 <2>学生欠缺之处 他们不知道如何利用概率去解决实际问题，不会自己构造模型，这是教学中的一大难点，大部分学生不具备很强的归纳能力。 <3>心理特点 学生都来自贫困家庭，勤学善问，深思好学，但不善于表现自我，需要鼓励，且自主探索的能力欠缺。 3、重点、难点 一堂渗透德育思想的数学课应是一个以学生为主体，教师和学生共同探求新知，并让学生领悟内在德育的过程。学习不是由教师把知识简单地传递给学生，而是由学生自己建构知识的过程。根据以上分析及这节课的内容特点，我将教学重点定为：正确理解独立事件积的概率公式，并学会计算相应问题。 难点定为：通过解决实际问题，归纳总结，发现规律，真正做到在探索中学习，在探索中提高。 三、学法与教学用具： 1、引导学生对身边的事件加以注意、分析，总结。指导学生建立简单可操作的模型，让学生发现随机事件的某一结果发生的规律性； 2、教学用具：计算机及多媒体教学． 四、教学目标设计 1、知识与技能目标 （1）理解独立事件的定义，掌握独立事件同时发生的概率乘法公式。 （2）能应用公式计算一些独立事件同时发生的概率，进一步理解偶然性与

高中数学第一册(上)互斥事件,相互独立事件的概率 复习资料

互斥事件，相互独立事件的概率 复习资料 一．复习目标：理解互斥事件，相互独立事件的概念，能求互斥事件有一个发生的概率、 相互独立事件同时发生的概率、独立重复试验的概率． 二．知识结构： 1．事件的和： 设,A B 是两个事件，那么A B +表示这样一个事件：在同一试验下，A 或B 中至少有一个 发生就表示它发生.它可以进一步推广，12n A A A +++表示这样一个事件，在同一试验中， 12,,,n A A A 中至少有一个发生就表示它发生. 2．互斥事件与彼此互斥： 不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件，其中必有一个发生的两个互斥事件叫对立事件. 一般地，如果事件12,,,n A A A 中任何两个都是互斥事件，那么说事件12,,,n A A A 彼此互斥. 3．互斥事件有一个发生的概率： 如果事件,A B 互斥，那么事件A B +发生的概率，等于事件,A B 分别发生的概率的和 即 ()()()P A B P A P B +=+ . 如果事件12,,,n A A A 彼此互斥，那么事件12n A A A +++发生的概率，等于这n 个事件分别发生的概率的和.即 122()()()()n n P A A A P A P A P A ++ +=+++. 对立事件,A A 的和事件A A +是必然事件.即 ()()()1P A P A P A A +=+=. 4．相互独立事件 事件A (或B )是否发生对事件B (或A )发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立 事件. 设,A B 是两个事件，那么A B ?表示这样一个事件，它的发生表示A 与B 同时发生. 5．相互独立事件发生的概率 两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积. ()()()P A B P A P B ?=?. 公式进一步推广：即122()()()()n n P A A A P A P A P A ?? ?=. 即：如果事件12,,,n A A A 相互独立， 那么这n 个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积. 说明：①事件A 与B (不一定互斥)中至少有一个发生的概率可按下式计算： ()()()()P A B P A P B P A B +=+-?. ②事件间的“互斥”与“相互独立”是两个不同的概念，两事件互斥是指两个事件不可能同时 发生，两事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一事件发生的概率 没有影响. 6．独立重复试验. 独立重复试验，是在同样的条件下重复地，各次之间相互独立地进行的一种试验.在这种试验中，每一次试验只有两种结果，即某种事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中发生的概率都是一样的. 一般地，如果在一次试验中某件发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概 率为()(1)k k n k n n P k C P P -=-，()(1) k k n k n n P k C P P -=-可以看成二项式 [(1)]n P P -+的展开式中的第1k +项. 三．基础训练： 1．下列正确的说法是 （ ） ()A 互斥事件是独立事件； ()B 独立事件是互斥事件； ()C 两个非不可能事件不能同时互斥与独立； ()D 若事件A 与B 互斥，则A 与B 独立. 2．10张奖券中含有3张中奖券，每人购买1张，则前3个购买者中恰有1人中奖的概率是（ ）

理科拓展 专题4 4.2.1 独立事件积的概率(含答案)

【课堂例题】 例1.连续投掷一均匀硬币两次,定义三事件如下: 事件:A第一次出现正面,事件:B第二次出现正面,事件:C至少出现一次正面. 判断A与B及A与C是否相互独立. 例2.连续投掷一公正骰子两次,求第一次不出现6点且第二次出现5点的概率. 课堂练习 1.,A B是独立事件且 12 (),(), 23 P A P B ==则()? P A B= 2.投掷一公正骰子两次,判断事件,A B是否独立? (1)A:第一次投出1点,B:两次点数之和为7; (2)A:两次点数最大数为2,B:两次点数最小为2. 3.甲、乙两人打靶命中率分别为0.7与0.6，两人同时打一靶，但彼此互不影响，若每人一发，求靶面恰中一发的概率.

【知识再现】 1.设,A B 是同一样本空间中的两事件，若 ，则称,A B 为相互独立的事件. 2.若,A B 是相互独立的事件，,A B 分别为,A B 的对立事件，则 ， ， 都是相互独立的事件. 【基础训练】 1.已知事件,A B 相互独立，且11(),()34 P A P AB = =，则()P B = . 2.已知事件,A B 相互独立，且11(),()34 P A P B ==，则()P AB = . 3.同一样本空间S 下的必然事件S 与任一事件A 都互相独立吗？说明理由. . 4.下列,A B 为独立事件的是 (写出所有正确选项的序号). ①投掷公正骰子一次，A:投出点数为3，B:投出点数为2； ②投掷公正骰子两次，A:第一次投出点数为3，B:第二次投出点数为5； ③从一副52张牌中，随机不放回地依次抽取2张，A:第一张抽中7，B:第二张抽中7； ④从一副52张牌中，随机有放回地依次抽取2张，A:第一张抽中红桃，B:第二张抽中黑桃. 5.设A 与B 为独立事件且42(),()53 P A B P A ==,求()P B . 6.投掷一公正骰子一次,定义三事件如下:{1,2,3},{1,4,5},{1,2,3,4}A B C ===. 试判断:(1),A C 是否为独立事件?(2),B C 是否为独立事件? 7.投掷一公正骰子两次,求第一次点数不是3且第二次点数不是6的概率.

互斥事件,相互独立事件的概率复习讲义

互斥事件，相互独立事件的概率复习讲义 一．复习目标：理解互斥事件，相互独立事件的概念，能求互斥事件有一个发生的概率、 相互独立事件同时发生的概率、独立重复试验的概率． 二．知识结构： 1．事件的和： 设,A B 是两个事件，那么A B +表示这样一个事件：在同一试验下，A 或B 中至少有一个发生就表示它发生.它可以进一步推广，12n A A A +++表示这样一个事件，在同一试验中，12,,,n A A A 中至少有一个发生就表示它发生. 2．互斥事件与彼此互斥： 不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件，其中必有一个发生的两个互斥事件叫对立事件. 一般地，如果事件12,,,n A A A 中任何两个都是互斥事件，那么说事件12,,,n A A A 彼此互斥. 3．互斥事件有一个发生的概率： 如果事件,A B 互斥，那么事件A B +发生的概率，等于事件,A B 分别发生的概率的和 即 ()()()P A B P A P B +=+ . 如果事件12,,,n A A A 彼此互斥，那么事件12n A A A +++发生的概率，等于这n 个事 件分别发生的概率的和.即 122()()()()n n P A A A P A P A P A +++=+++. 对立事件,A A 的和事件A A +是必然事件.即 ()()()1P A P A P A A +=+=. 4．相互独立事件 事件A (或B )是否发生对事件B (或A )发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件. 设,A B 是两个事件，那么A B ?表示这样一个事件，它的发生表示A 与B 同时发生. 5．相互独立事件发生的概率 两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积. ()()()P A B P A P B ?=?. 公式进一步推广：即122()()()()n n P A A A P A P A P A ?? ?=. 即：如果事件12,, ,n A A A 相互独立，那么这n 个事件同时发生的概率，等于每个事件 发生的概率的积.

高二数学独立事件积的概率

4.2独立事件积的概率 上海市育才中学包志旻 一、教学内容分析 本小节的重点是独立事件积的概率计算问题．在现实世界中的具体事例引出相互独立事件的定义时，要注意抓住关键词“互相没有影响”，准确理解其概念，区分互不相容事件、相互对立与相互独立事件. 本小节的难点是能根据独立事件积的概率解决有关产品次品率、扑克牌、骰子、电路、射击等现实生活事件的概率计算问题. 二、教学目标设计 1.理解独立事件积的概率； 2.会区分独立事件、互斥事件、对立事件；事件和与事件积; 3.理解概率乘积公式，会用独立事件积的概率解决有关产品次品率、扑克牌、骰子、电路、射击等事件的概率问题； 4.初步形成观察、思考、分析、处理事件积的概率实际应用问题的能力. 三、教学重点及难点 1.理解独立事件积的概率; 2.会用独立事件积的概率解决有关事件的概率问题. 四、教学流程设计

五、教学过程设计 (一)、复习回顾 1.事件和 2.事件积------设A 、B 为两个随机事件,把“事件A 与事件B 同时出现”叫做事件A 与事件B 的积.记作A ∩B 或AB. (二)、讲授新课 1、有关概念、公式 概念引入 请同学们观察下面这样两个随机事件:将一枚均匀的硬币接连旋转两次,设A 表示第一次旋转停下后出现图朝上,B 表示第二次旋转停下后出现图朝上.不论第一次旋转停下后出现图朝上还是字朝上对第二次旋转停下后出现图朝上的概率没有影响. 上述现象说明事件A 是否出现对事件B 出现的概率没有影响.同样事件B 是否出现对事件A 出现的概率也没有影响 .

概念---互相独立事件 如果事件A 出现和事件Ｂ出现,相互之间没有影响,那么称事件Ａ和事件Ｂ互相独立. 注1. 对立事件指事件Ａ和A 满足⑴A ∪A =Ω⑵A ∩A =φ; 注２.互不相容事件或互斥事件是指不可能同时出现的两个事件; 注3.如果事件A 和事件Ｂ互相独立. A 与Ｂ、Ａ与B 、A 与B 也是互相独立. 概率乘法公式 一般地,如果事件Ａ和事件Ｂ是互相独立事件, 那么 P(AB)=P(A)·P(B) 也就是说, 互相独立的随机事件的积的概率等于各个事件概率的乘积.这个公式叫做互相独立随机事件的概率乘法公式. 更一般地,如果n 21A ,,A ,A ?中每个事件与余下的任意几个事件的 积(事件)互相独立,那么称n 21A ,,A ,A ?互相独立. 如果n 21A ,,A ,A ?互相独立, 那么 P(n 21A A A ?)=)A (P )A (P )A (P n 21? 2、例题精析 (1)产品检验事件的概率问题(p.67) 例1 如果100件产品有５件次品,那么返回抽取２件产品都是次品的概率是多少？ 解:设事件Ｅ表示“第一次抽取是次品”,事件F 表示“第二次抽