燕尾定理模型

共边定理（燕尾定理）

有一条公共边的三角形叫做共边三角形。

共边定理：设直线AB 与PQ 交于点M ，则S

PM

PAB S QM QAB

?=?

知识框架

燕尾模型

【例 1】 如图，三角形ABC 中，BD:DC=1:2，CE:EA=1:2，求:AF FB ．

O F E

D

C

B

A

【巩固】如图，三角形ABC 中，:3:4BD DC =，:5:6AE CE =，求:AF FB .

O F E

D

C

B

A

【例 2】 如图，三角形ABC 的面积是1，E 是AC 的中点，点D 在BC 上，且:1:2BD DC =，AD 与BE

交于点F ．则四边形DFEC 的面积等于 ．

F

E

D C

B

A

例题精讲

【巩固】如图，已知BD DC =，2EC AE =，三角形ABC 的面积是30，求阴影部分面积.

B

【例 3】 如图，三角形ABC 的面积是2

200c m ，E 在AC 上，点D 在BC 上，且

:3:5AE EC =,:2:3BD DC =，AD 与BE 交于点F ．则四边形DFEC 的面积等于 ．

F

E

D C

B

A

A

B

C D

E

F F

E

D

C

B

A

【巩固】如图，已知3BD DC =，2EC AE =，BE 与CD 相交于点O ,则ABC △被分成的4部分面积各占

ABC △ 面积的几分之几？

O

E D

C

B

A

【例 4】 如图所示，在ABC △中，12CP CB =，1

3

CQ CA =，BQ 与AP 相交于点X ，若ABC △的面积为

6，则ABX △的面积等于 ．

X

Q

P

A

B

C X

Q

P

A

B C

4

4

11

X

Q

P

C

B

A

【巩固】 两条线段把三角形分为三个三角形和一个四边形，如图所示， 三个三角形的面积 分别是3，7，

7，则阴影四边形的面积是多少？

【巩固】如图，三角形ABC 的面积是1，2BD DC =，2CE AE =，AD 与BE 相交于点F ，请写出这4部

分的面积各是多少?

A

B

C

D

E F

【巩固】如图，E 在AC 上，D 在BC 上，且:2:3AE EC =,:1:2BD DC =，AD 与BE 交于点F ．四边形

DFEC 的面积等于222cm ，则三角形ABC 的面积 ．

A

B

C

D

E F

【例 5】 如图所示，在ABC △中，:3:1BE EC =，D 是AE 的中点，那么:AF FC = ．

F

E D

C

B

A

【巩固】在ABC ?中，:3:2BD DC =， :3:1AE EC =，求:OB OE =？

A

B

C

D

E O

【例 6】 如图，三角形BAC 的面积是1，E 是AC 的中点，点D 在BC 上，且BD:DC=1:2，AD 与BE

平面几何常考五大模型---等积变换、鸟头、蝴蝶、相似、 燕尾

平面几何常考五大模型---（解答几何题的五大法宝） 等积变换、鸟头、蝴蝶、相似、燕尾 思路提示：在求边长之比时常转化为面积之比，求面积之比常转化为边长之比。 模型一：等积变化原理：两个三角形高相等，面积之比等于对应底边之比。 b S 1︰S 2 =a ︰b ； 模型一的拓展： 等分点结论（“鸟头定理”）:如下图，三角形AED 占三角形ABC 面积的 23×14=1 6 模型二：等积变化原理之四边形应用 S 4 S 3 s 2 s 1O D C B A 1414 23213 S S =S S S S DO OB S S +== + 模型三：梯形中比例关系（“梯形蝴蝶定理”） (1)相似图形，面积比等于对应边长比的平方S 1︰S 3=a 2︰b 2 （2）S 1︰S 3︰S 2︰S 4= a 2︰b 2 ︰ab ︰ab （3）S 2=S 4 ； （4） 141423213 S S =S S S S DO OB S S +== + :

模型四：相似三角形性质 ① a b c h A B C H === ; ②相似三角形面积之比等于对应连长之比的平方S 1︰S 2=a 2 ︰A 2 h h H c b a C B A a c b H C B 模型五：燕尾定理 F E D C B A S △ABG ：S △AGC ＝S △BGE ：S △GEC ＝BE ：EC ； S △BGA ：S △BGC ＝S △AGF ：S △GFC ＝AF ：FC ； S △AGC ：S △BCG ＝S △ADG ：S △DGB ＝AD ：DB ； 【例1】：如右图，在△ABC 中，BE=3AE ，CD=2AD ．若△ADE 的面积是1平方厘米，那么三角形ABC 的面积是多少？ 【解答】连接BD,S △ABD 和S △ AED 同高，面积比等于底边比，所以三角形ABD 的面积是4， S △ABD 和S △ABC 同高面积比等于底边比，三角形ABC 的面积是ABD 的3倍，是12. 【总结】要找准那两个三角形的高相同。

六年级奥数——蝴蝶模型 燕尾定理练习题 教案

蝴蝶模型和燕尾定理练习题 1、如图，已知BD DC =，2EC AE =，三角形ABC 的面积是30，求阴影部分面积. D E F C B A D E F C B A D E F C B A 【解析】 题中条件只有三角形面积给出具体数值，其他条件给出的实际上是比例的关系，由此我们可以 初步判断这道题不应该通过面积公式求面积. 又因为阴影部分是一个不规则四边形，所以我们需要对它进行改造，那么我们需要连一条辅助线， (法一)连接CF ，因为，2EC AE =，三角形ABC 的面积是30， 所以1103ABE ABC S S ==△△，1 152 ABD ABC S S ==△△． 根据燕尾定理，12ABF CBF S AE S EC = =△△，BD DC =1ABF ACF S BD S CD ==△△, 所以1 7.54 ABF ABC S S ==△△，157.57.5BFD S =-=△， 所以阴影部分面积是30107.512.5--=． (法二)连接DE ，由题目条件可得到1 103 ABE ABC S S ==△△， 112 10223 BDE BEC ABC S S S ==?=△△△，所以 11ABE BDE S AF FD S ==△△， 111111 2.5223232DEF DEA ADC ABC S S S S =?=??=???=△△△△， 而21 1032 CDE ABC S S =??=△△．所以阴影部分的面积为12.5． 2、(2007年香港圣公会数学竞赛)如图所示，在ABC △中，12CP CB =，1 3 CQ CA =，BQ 与AP 相交于 点X ，若ABC △的面积为6，则ABX △的面积等于 ． X Q P A B C X Q P A B C 4 4 11 X Q P C B A 【解析】 方法一：连接PQ ． 由于12CP CB =，13CQ CA =，所以23ABQ ABC S S = ，11 26 BPQ BCQ ABC S S S == ． 由蝴蝶定理知，21 :::4:136 ABQ BPQ ABC ABC AX XP S S S S === ， 所以44122 6 2.455255 ABX ABP ABC ABC S S S S ==?==?= ． 方法二：连接CX 设1CPX S =△份，根据燕尾定理标出其他部分面积， 所以6(1144)4 2.4ABX S =÷+++?=△

几何图形 五大模型

直线形面积计算的五大模型 一、等积变换模型 （1） 等底等高的两个三角形面积相等； （2） 两个三角形的底相等，面积比等于他们高的比；（或者两个三角形的高相等，面积比 等于他们底的比） AB 为公共边，所以 21::ABC ABD s s h h ??= 1h 为公共的高，所以 1 2 ::BD DC s s = （3） 两个三角形面积的比等于这两个三角形底与各自对应高的乘积的比。 底和高均不同，所以 ()21 ::)(ABD CDE BD DC h s s h ??=?? 比如：两个三角形的底的比是5:3，与各自底对应的高的比是7:6， 那么他们的面积的比是（5×7）：（3×6） 二、鸟头定理（共角定理） 两个三角形中有一个角相等或者互补，这两个三角形叫做共角三角形。 共角三角形的面积比等于对应角（相等角或互补角）两条夹边的乘积之比。 BAC DAC ∠∠和互补，::DAC BAC DA AC BA AC s s ??=??所以 E :E :D A B A C D A A B A A C s s ?? ∠=??A 为公共角，所以 推理过程：连接BE ，运用等积变换模型证明。

三、蝴蝶定理模型 1．任意四边形中的比例关系（蝴蝶定理） 1 2 4 3 ::s s s s =或者1 3 4 2 s s s s ?=? 1 4 2 3 1 2 4 3 +AO:OC s s s s s s s s == =：：（）：（+） 蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。通过构造模型，一方面可以是不规则四边形的面积关系与四边形内三角形相联系；另一方面也可以得到与面积对应的对角线被分割的两段之间的比例关系。 2．梯形中比例关系（梯形蝴蝶定理） 22 13 :a b s s =： 22 1324 ::a b s s s s =：：：ab ：ab 整个梯形对应的面积份数为： 2 (a+b) 四、相似模型 相似三角形性质： （金字塔模型） （沙漏模型） 下面的比例关系适用如上两种模型： 1、 AD AE DE AF AB AC BC AG === 2、 22 ::ADE ABC s s AF AG ??= 所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形（只要其形状不改变，不论大小怎样改变，他们都是相似的），与相似三角形相关的常用的性质以及定理如下： （1） 相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于他们的相似比； （2） 相似三角形的面积比等于他们的相似比的平方。

小学奥数之几何蝴蝶定理问题完整版

小学奥数之几何蝴蝶定 理问题 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】

C F E A D B C B E F D A 几何之蝴蝶定理 一、 基本知识点 定理1：同一三角形中，两个三角形的高相等，则面积之比 等于对应底边之比。 S 1 : S 2 = a : b 定理2：等分点结论( 鸟头定理) 如图，三角形△AED 的面积占三角形△ABC 的面积的 定理3：任意四边形中的比例关系( 蝴蝶定理) 1） S 1∶S 2 =S 4∶S 3 或 S 1×S 3 = S 2×S 4 上、下部分的面积之积等于左、右部分的面积之积 2）AO ∶OC = （S 1＋S 2）∶（S 4＋S 3） 梯形中的比例关系( 梯形蝴蝶定理) 1）S 1∶S 3 =a 2∶b 2 上、下部分的面积比等于上、下边的平方比 2）左、右部分的面积相等 3）S 1∶S 3∶S 2∶S 4 =a 2∶b 2 ∶ab ∶ab 4）S 的对应份数为（a+b ）2 定理4：相似三角形性质 1） H h C c B b A a === 2） S 1 ∶S 2 = a 2 ∶A 2 定理5：燕尾定理 S △ABE ∶ S △AEC = S △BGE ∶ S △GEC = BE ∶EC S △BGA ∶ S △BGC = S △AGF ∶ S △GFC = AF ∶FC S △ADC ∶ S △DCB = S △ADG ∶ S △DGB = AD ∶DB 二、 例题 例1、如图，AD DB =，AE EF FC ==，已知阴影部分面积为5平方厘米，ABC 的面积是多少平方厘米？ 1 2 AD AB = ，例2、有一个三角形ABC 的面积为1，如图，且 13BE BC =，1 4 CF CA =，求三角形DEF 的面积. 例3、如图，在三角形ABC 中，，D 为BC 的中点，E 为 AB 上的一点，且BE=1 3 AB,已知四边形 EDCA 的面积 是35，求三角形ABC 的面积. 例4 如图，ABCD 是直角梯形，求阴影部分的面积 和。（单位：厘米） 例5、两条对角线把梯形ABCD 分割成四个三角 形。已知

几何五大模型汇总

小学平面几何五大模型 一、 共角定理 两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形． 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．如图在ABC △中，,D E分别是, AB AC上的点如图⑴(或D在BA的延长线上，E在AC上)，则:():() S S AB AC AD AE =?? △△ 证明：由三角形面积公式S=1/2*a*b*sinC可推导出 若△ABC和△ADE中， ∠BAC=∠DAE 或∠BAC+∠DAE=180°， 则 ADE ABC S S ? ? = AE AD AC AB ? ? 二、等积模型 ①等底等高的两个三角形面积相等； ②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； 如下图 12 :: S S a b = ③夹在一组平行线之间的等积变形，如右图 ACD BCD S S= △△ ； 反之，如果 ACD BCD S S = △△ ，则可知直线AB平行于CD． ④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半； ⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比． b a S2 S1 D C B A

三、蝶形定理 1、任意四边形中的比例关系(“蝶形定理”)： ①1243::S S S S =或者1324S S S S ?=? ②()()1243::AO OC S S S S =++ 速记：上×下=左×右 蝶形定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面 可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系． 2、梯形中比例关系(“梯形蝶形定理”)： ①2213::S S a b = ②221324::::::S S S S a b ab ab =； ③S 的对应份数为()2a b +． 四、相似模型 (一)金字塔模型 (二) 沙漏模型 G F E A B C D A B C D E F G ①AD AE DE AF AB AC BC AG ===； ②22:ADE ABC S S AF AG =△△：． 相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下： ⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比； ⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方； A B C D O b a S 3 S 2 S 1S 4 S 4 S 3 S 2 S 1O D C B A

蝴蝶定理、燕尾定理——黄冈中学 周刊

燕尾定理 燕尾定理： 在三角形ABC 中，AD ，BE ，CF 相交于同一点O ，那么::ABO ACO S S BD DC ??=． O F E D C B A 梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)： A B C D O b a S 3 S 2 S 1S 4 ①2213::S S a b = ②221324::::::S S S S a b ab ab =； ③S 的对应份数为()2 a b +． 等积变形 ①等底等高的两个三角形面积相等； ②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； 如左图12::S S a b = b a S 2S 1 D C B A ③夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图ACD BCD S S =△△； 反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD ． ④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半； ⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比． 二、鸟头定理 两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形． 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比． 如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点如图 ⑴(或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上)， 则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =??△△

E D C B A E D C B A 如图，22S =，34S =，求梯形的面积． S 4 S 3 S 2 S 1 【巩固】(2006年南京智力数学冬令营)如下图，梯形ABCD 的AB 平行于CD ，对角线AC ，BD 交于O ，已知AOB △与BOC △的面积分别为25 平方厘米与35平方厘米，那么梯形ABCD 的面积是________平方厘米． 35 25O A B C D 梯形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，已知梯形上底为2，且三角形ABO 的面积等于三 角形BOC 面积的2 3 ，求三角形AOD 与三角形BOC 的面积之比． O A B C D (第十届华杯赛)如下图，四边形ABCD 中，对角线AC 和BD 交于O 点，已知1AO =，并且3 5 ABD CBD =三角形的面积三角形的面积，那么OC 的长是多少？ A B C D O 梯形的下底是上底的1.5倍，三角形OBC 的面积是2 9cm ，问三角形AOD 的面积是多少？

几何五大模型一

几何五大模型 一、等积变换模型 1、等底等高的两个三角形面积相等。 2、两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比。 3、两个三角形底相等，面积比等于它的的高之比。 二、共角定理模型 两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。共角三角形的面积比等到于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比。 三、蝴蝶定理模型 （说明：任意四边形与四边形、长方形、梯形，连接对角线所成四部的比例关系是一样的。） 四、相似三角形模型 相似三角形：是形状相同，但大小不同的三角形叫相似三角形。 相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比。相似三角形的面积比等于它们相似比的平方。 五、燕尾定理模 等积变形: 等积变形是小学几何里面一个非常重要的思想，小学所以的几何题，或多或少的都会用到等积变形的思想，几何五大模型也都是依托等积变形思想变化而成的。

一半模型 平行四边形、梯形、任意四边形中的一些一半模型。 一、 模型归纳总结 1、等面积变换模型 (1)直线AB 平行于CD ，可知BCD ACD S S ??=； 反之，如果BCD ACD S S ??=，则可知直线AB 平行于CD ．如图A (2)两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； ::ABD ACD S S BD CD =△△如图 B D C B A D C B A 图A 图B (3)一半面积关系 S 4 S 3 S 2S 1 A B C D D C A 1 2 S S =阴影长方形 1324 S S S S +=+

【例1】、如图，每一个正方形四边中点的连线构成另一接小正方形，则阴影部分面积为原正方形面积的几分之几? 第8题 【例2】、如右图，过平行四边形ABCD 的一点P 作边的平行线EF 、GH ，若PBD 的面积为8平方分米，求平行四边形PHCF 的面积比平行四边形PGAE 的面积大多少平方分米？ B C G H

小学奥数之几何蝴蝶定理问题

几何之蝴蝶定理 一、 基本知识点 定理1：同一三角形中，两个三角形的高相等，则面积之比 等于对应底边之比。 S 1 : S 2 = a : b 定理2：等分点结论( 鸟头定理) 如图，三角形△AED 的面积占三角形△ABC 的面积的 20 3 4153= ? 定理3：任意四边形中的比例关系( 蝴蝶定理) 1） S 1∶S 2 =S 4∶S 3 或 S 1×S 3 = S 2×S 4 上、下部分的面积之积等于左、右部分的面积之积 2）AO ∶OC = （S 1＋S 2）∶（S 4＋S 3） 梯形中的比例关系( 梯形蝴蝶定理) 1）S 1∶S 3 =a 2∶b 2 上、下部分的面积比等于上、下边的平方比 2）左、右部分的面积相等 3）S 1∶S 3∶S 2∶S 4 =a 2∶b 2 ∶ab ∶ab 4）S 的对应份数为（a+b ）2 定理4：相似三角形性质

C B E F D A 1） H h C c B b A a === 2） S 1 ∶S 2 = a 2 ∶A 2 定理5：燕尾定理 S △ABE ∶ S △AEC = S △BGE ∶ S △GEC = BE ∶EC S △BGA ∶ S △BGC = S △AGF ∶ S △GFC = AF ∶FC S △ADC ∶ S △DCB = S △ADG ∶ S △DGB = AD ∶DB 二、 例题 例1、如图，AD DB =，AE EF FC ==，已知阴影部分面积为5平方厘米，ABC 的面积是多少平方厘米？ 例2、有一个三角形ABC 的面积为1，如图，且12AD AB =，13BE BC =，1 4 CF CA =，求三角形DEF 的面积. 例3、如图，在三角形ABC 中，，D 为BC 的中点，E 为AB 上的一点，且BE= 1 3 AB,已知四边形EDCA 的面积是35，求三角 形ABC 的面积.

a小学数学奥赛4-3-6 燕尾定理.教师版

燕尾定理： 在三角形ABC 中，AD ，BE ，CF 相交于同一点O ，那么::ABO ACO S S BD DC ??=． O F E D C B A 上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为ABO ?和ACO ?的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理．该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径. 通过一道例题证明一下燕尾定理： 如右图，D 是BC 上任意一点，请你说明：1423:::S S S S BD DC == S 3 S 1S 4S 2E D C B A 【解析】 三角形BED 与三角形CED 同高，分别以BD 、DC 为底， 所以有14::S S BD DC =；三角形ABE 与三角形EBD 同高，12::S S ED EA =；三角形ACE 与三角形 CED 同高，43::S S ED EA =，所以1423::S S S S =；综上可得1423:::S S S S BD DC ==. 【例 1】 如右图，三角形ABC 中，:4:9BD DC =，:4:3CE EA =，求:AF FB ． O F E D C B A 【考点】燕尾定理 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 根据燕尾定理得::4:912:27AOB AOC S S BD CD ===△△ ::3:412:16AOB BOC S S AE CE ===△△ （都有AOB △的面积要统一，所以找最小公倍数） 所以:27:16:AOC BOC S S AF FB ==△△ 【点评】本题关键是把AOB △的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我们用比例解题中屡见不鲜，如果 能掌握它的转化本质，我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！ 【答案】27:16 例题精讲 燕尾定理

小学奥数几何五大模型燕尾模型

燕尾定理： 在三角形ABC 中，AD ，BE ，CF 相交于同一点O ， 那么， ::ABO ACO S S BD DC ??= O F E D C B A 上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为ABO ?和ACO ?的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理．该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径. 通过一道例题 证明燕尾定理： 如右图，D 是BC 上任意一点，请你说明：1423:::S S S S BD DC == S 3 S 1S 4S 2E D C B A 【解析】 三角形BED 与三角形CED 同高，分别以BD 、DC 为底，所以有14::S S BD DC =； 三角形ABE 与三角形EBD 同高，12::S S ED EA =； 三角形ACE 与三角形CED 同高，43::S S ED EA =，所以1423::S S S S =； 综上可得， 1423:::S S S S BD DC ==. 例题精讲 燕尾定理

【例 1】 （2009 年第七届希望杯五年级一试试题）如图，三角形ABC 的面积是1，E 是AC 的中点，点D 在BC 上，且:1:2BD DC =，AD 与BE 交于点F ．则四边形DFEC 的面积等于 ． F E D C B A 3332 1F E D C B A A B C D E F 【解析】 方法一：连接CF ， 根据燕尾定理，12ABF ACF S BD S DC ==△△，1ABF CBF S AE S EC ==△△, 设1BDF S =△份，则2DCF S =△份，3ABF S =△份，3AEF EFC S S ==△△份，如图所标 所以5512 12 DCEF ABC S S ==△ 方法二：连接DE ，由题目条件可得到113 3 ABD ABC S S ==△△， 1121 2233 ADE ADC ABC S S S ==?=△△△，所以11 ABD ADE S BF FE S ==△△， 1111111 22323212 DEF DEB BEC ABC S S S S =?=??=???=△△△△， 而211323CDE ABC S S =??=△△．所以则四边形DFEC 的面积等于512 ． 【巩固】如图，已知BD DC =，2EC AE =，三角形ABC 的面积是30，求阴影部分面积. 【解析】 题中条件只有三角形面积给出具体数值，其他条件给出的实际上是比例的关系， 由此我们可以初步判断这道题不应该通过面积公式求面积. 又因为阴影部分是 一个不规则四边形，所以我们需要对它进行改造，那么我们需要连一条辅助线， (法一)连接CF ，因为BD DC =，2EC AE =，三角形ABC 的面积是30， 所以1103ABE ABC S S ==△△，1152 ABD ABC S S ==△△． 根据燕尾定理， 12ABF CBF S AE S EC ==△△，1ABF ACF S BD S CD ==△△, 所以17.54 ABF ABC S S ==△△，157.57.5BFD S =-=△， 所以阴影部分面积是30107.512.5--=． (法二)连接DE ，由题目条件可得到1103 ABE ABC S S ==△△， 112 10223 BDE BEC ABC S S S ==?=△△△，所以 11ABE BDE S AF FD S ==△△，

小学奥数之蝴蝶定理

小学奥数---蝴蝶定理 一、 基本知识点 定理1：同一三角形中，两个三角形的高相等，则面积之比 等于对应底边之比。 S 1 : S 2 = a : b 定理2：等分点结论( 鸟头定理) 如图，三角形△AED 的面积占三角形△ABC 的面积的 20 34153=? 定理3：任意四边形中的比例关系( 蝴蝶定理) 1） S 1∶S 2 =S 4∶S 3 或 S 1×S 3 = S 2×S 4 上、下部分的面积之积等于左、右部分的面积之积 2）AO ∶OC = （S 1＋S 2）∶（S 4＋S 3） 梯形中的比例关系( 梯形蝴蝶定理) 1）S 1∶S 3 =a 2∶b 2 上、下部分的面积比等于上、下边的平方比 2）左、右部分的面积相等 3）S 1∶S 3∶S 2∶S 4 =a 2∶b 2 ∶ab ∶ab 4）S 的对应份数为（a+b ）2 定理4：相似三角形性质

C B E F D A 1） H h C c B b A a === 2） S 1 ∶S 2 = a 2 ∶A 2 定理5：燕尾定理 S △ABG ∶ S △AGC = S △BGE ∶ S △GEC = BE ∶EC S △BGA ∶ S △BGC = S △AGF ∶ S △GFC = AF ∶FC S △AGC ∶ S △BCG = S △ADG ∶ S △DGB = AD ∶DB 二、 例题分析 例1、如图，AD DB =，AE EF FC ==，已知阴影部分面积为5平方厘米，ABC 的面积是多少平方厘米？ 例2、有一个三角形ABC 的面积为1，如图，且12AD AB =，13BE BC =，14CF CA =，求三角形DEF 的面积. 例3、如图，在三角形ABC 中，，D 为BC 的中点， E 为AB 上的一点，且BE=13 AB,已知四边形EDCA 的面积是35，求三角形ABC 的面积.

五年级奥数燕尾定理教师版

五年级奥数燕尾定理教师版 在三角形ABC 中,AD ,BE ,CF 相交于同一点O ,那么::ABO ACO S S BD DC ??=． O F E D C B A 上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段,因为ABO ?和ACO ?的形状很象燕子的尾巴,所以这个定理被称为燕尾定理．该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用,它的特殊性在于,它可以存在于任何一个三角形之中,为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径. 通过一道例题证明一下燕尾定理： 如右图,D 是BC 上任意一点,请你说明：1423:::S S S S BD DC == S 3 S 1S 4S 2E D C B A 【解析】 三角形BED 与三角形CED 同高,分别以BD 、DC 为底, 所以有14::S S BD DC =；三角形ABE 与三角形EBD 同高,12::S S ED EA =；三角 形ACE 与三角形CED 同高,43::S S ED EA =,所以1423::S S S S =；综上可得1423:::S S S S BD DC ==. 【例 1】 如右图,三角形ABC 中,:4:9BD DC =,:4:3CE EA =,求:AF FB ． O F E D C B A 【考点】燕尾定理 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 根据燕尾定理得::4:912:27AOB AOC S S BD CD ===△△ 例题精讲 燕尾定理

::3:412:16AOB BOC S S AE CE ===△△ （都有AOB △的面积要统一,所以找最小公倍数） 所以:27:16:AOC BOC S S AF FB ==△△ 【点评】本题关键是把AOB △的面积统一,这种找最小公倍数的方法,在我们用比例解题中屡 见不鲜,如果能掌握它的转化本质,我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！ 【答案】27:16 【巩固】如右图,三角形ABC 中,:3:4BD DC =,:5:6AE CE =,求:AF FB . O F E D C B A 【考点】燕尾定理 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 根据燕尾定理得::3:415:20AOB AOC S S BD CD ===△△ ::5:615:18AOB BOC S S AE CE ===△△ （都有AOB △的面积要统一,所以找最小公倍数） 所以:20:1810:9:AOC BOC S S AF FB ===△△ 【答案】10:9 【巩固】如图,:2:3BD DC =,:5:3AE CE =,则:AF BF = G F E D C B A 【考点】燕尾定理 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 根据燕尾定理有:2:310:15ABG ACG S S ==△△,:5:310:6ABG BCG S S ==△△,所以:15:65:2:ACG BCG S S AF BF ===△△ 【答案】5:2 【巩固】如右图,三角形ABC 中,:2:3BD DC =,:5:4EA CE =,求:AF FB . O F E D C B A 【考点】燕尾定理 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 根据燕尾定理得::2:310:15AOB AOC S S BD CD ===△△ ::5:410:8AOB BOC S S AE CE ===△△ （都有AOB △的面积要统一,所以找最小公倍数） 所以:15:8:AOC BOC S S AF FB ==△△ 【点评】本题关键是把AOB △的面积统一,这种找最小公倍数的方法,在我们用比例解题中屡 见不鲜,如果能掌握它的转化本质,我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！ 【答案】15:8

燕尾定理与蝴蝶三角形

例题部分 面积变换 1．如图，梯形ABCD的面积为20. 点E在BC上，三角形ADE的面积是三角形ABE的面积的2倍. BE的长为2，EC的长为5，那么，三角形DEC的面积为________________. 2．如图，E是BC上靠近C的三等分点，且ED是AD的2倍。三角形ABC的面积为36平方厘米。三角形BDE的面积是_________平方厘米. 3．如图，在四边形ABCD中，已知CD=3DF，AE=6ED，而且三角形BFC的面积为6平方厘米，四边形BEDF的面积为7平方厘米。大四边形ABCD的面积是_____________. 4．长方形ABCD的面积是40平方厘米，E、F、G、H分别为AD、AH、DH、BC的中点， 三角形EFG的面积是___________平方厘米. B C E A D A B E D F C H F G E

D E F B A C 5． 在下图中，三角形ABC 的面积是180平方厘米，D 是BC 的中点，AD 的长是AE 长的3倍， EF 的长是BF 长的3倍．那么三角形AEF 的面积是___________平方厘米. 6．下图中的四边形土地的总面积是52公顷，两条对角线把它分成了4个小三角形，其中2个小三角形的面积分别是6公顷和7公顷．那么最大的一个三角形的面积是____________公顷. 7．如图，将三角形ABC 的BA 边延长1倍到D ；CB 边延长2倍到E ，AC 边延长3倍到F ，如果三角形ABC 的面积等于1，那么三角形DEF 的面积是____________. 8．如图，已知15AE AC = ，14CD BC =，AB BF 6 1 =， 那么=的面积 三角形的面积 三角形ABC DEF ______ __ .

小学数学知识图形五大模型

一、等积变换模型 ⑴等底等高的两个三角形面积相等； 其它常见的面积相等的情况 ⑵两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比。 如上图12::S S a b = ⑶夹在一组平行线之间的等积变形，如下图ACD BCD S S =△△； 反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD 。 ⑷正方形的面积等于对角线长度平方的一半； ⑸三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半； 五大模型

二、鸟头定理（共角定理）模型 两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比。 如图，在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点(如图1)或在的延长线上，在上(如图2)，则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =??△△ 图1 图2 三、蝴蝶定理模型 任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)： ①1243::S S S S =或者1324S S S S ?=?②()()1243::AO OC S S S S =++ 蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。 梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”) ①2213::S S a b = ②221324::::::S S S S a b ab ab =； ③梯形的对应份数为()2 a b +。

燕尾定理与蝴蝶三角形S

燕尾定理与蝴蝶定理 一、同高三角形，鸟头定理和燕尾定理： （1）同高三角形面积的比等于底的比； 如右图中： S △ABD : S △ACD = BD : CD 推论1：平行线间同底的三角形面积相等。如图： S △ABC = S △ADB = S △AEB （因为它们同底等高） 推论2：长方形中以一条边为底，顶点在对边的三角形的面积是此长方形面积的一半。 如图：S △ABC = S △BEC = S △BFC = S △BDC = 1 2 S ABDC （因为每个三角形的面积相当于是长乘宽除2） 推论3：梯形中的蝴蝶三角形——梯形中由对角线分成的左 A B C D A B

右两个三角形面积相等。 如图： BOC AOD S S ??=（蝴蝶三角形） （因为ADC BDC S S ??=，这两个三角形同时减去DOC S ?就得到了BOC AOD S S ??=） 推论4：鸟头定理——如右图所示则有： ADE ABC S AD AE S AB AC ???=? 证明：连结BE ，则有： ADE ABE S AD S AB ??=，ABE ABC S AE S AC ??= 两个式子相乘得到： ADE ABE ABE ABC S S AD AE S S AB AC ?????=? 即： ADE ABC S AD AE S AB AC ???=? A B C D E

F B D C E 推论5：燕尾定理： 如右两图所示，均有： ABE ACE S BD S CD ??= （因为左右两边所有对应的三角形的面积比都等于BD CD ） 二、正方形面积等于对角线的平方除以2 .如图： S ABDC = 12S AEFC =1 2 AC 2 （很明显，大正方形面积是小正方形的两倍，因为大正方形有4个直角三角形，而小的只有2个） 三、平行线分线段成比例： “金字塔”和“沙漏”， 如右两图所示：如果AB 与CD 平行， 那么： CD AB OD OB OC OA == OA OB AC BD = 2 2 2 AOB COD S OA OB AB S OC OD CD ???????? === ? ? ??????? A B C D E A B C D E O C D A B O A B

几何五大模型汇总

小学平面几何五大模型 一、共角定理 两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形． 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比． 如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点如图 ⑴(或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上)，则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =??△△ 证明：由三角形面积公式S=1/2*a*b*sinC 可推导出 若△ABC 和△ADE 中， ∠BAC=∠DAE 或∠BAC+∠DAE=180°， 则ADE ABC S S ??=AE AD AC AB ?? 二、等积模型 ①等底等高的两个三角形面积相等； ②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； 如下图12::S S a b = ③夹在一组平行线之间的等积变形，如右图ACD BCD S S =△△； 反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD ．

④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半； ⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比． 三、蝶形定理 1、任意四边形中的比例关系(“蝶形定理”)： ①1243::S S S S =或者1324S S S S ?=? ②()()1243::AO OC S S S S =++ 速记：上×下=左×右 蝶形定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系． 2、梯形中比例关系(“梯形蝶形定理”)： ①2213::S S a b = ②221324::::::S S S S a b ab ab =； ③S 的对应份数为()2 a b +． 四、相似模型

燕尾定理与蝴蝶三角形_直线型知识点(1)(2)

第二讲 燕尾定理与蝴蝶定理 基础知识 之前我们学了一些直线型的皮毛，今天，让我们系统的学习直线型吧！ 下面是同学们在做题时常用的几条定理或结论。 一、同高三角形，鸟头定理和燕尾定理： （1）同高三角形面积的比等于底的比； 如右图中： S △ABD : S △ACD = BD : CD 推论1：平行线间同底的三角形面积相等。如图： S △ABC = S △ADB = S △AEB （因为它们同底等高） 推论2：长方形中以一条边为底，顶点在对边的三角形的面积是此长方 形面积的一半。如图： S △ABC = S △BEC = S △BFC = S △BDC = 12 S A BDC （因为每个三角形的面积相当于是长乘宽除2） 推论3：梯形中的蝴蝶三角形——梯形中由对角线分成的左右两个三角形面积相等。 如图： BOC AOD S S ??=（蝴蝶三角形） （因为AD C BD C S S ??=，这两个三角形同时减去D O C S ?就得到了BOC AOD S S ??=） 推论4：鸟头定理——如右图所示则有： A B C D A A B

AD E ABC S AD AE S AB AC ???= ? 证明：连结BE ，则有： A D E ABE S AD S AB ??=， ABE ABC S AE S AC ??= 两个式子相乘得到： A D E A B E A B E A B C S S AD AE S S AB AC ?? ???= ? 即：AD E ABC S AD AE S AB AC ???= ? 推论5：燕尾定理： 如右两图所示，均有： ABE AC E S BD S C D ??= （因为左右两边所有对应的三角形的面积比都等于B D C D ） 二、正方形面积等于对角线的平方除以2.如图： S A BDC = 12 S A EFC = 12 AC 2 为大正方形有4个直角三角形，而小的只有三、平行线分线段成比例： A B C D E A B C D E

几何五大模型之五(燕尾定理)精编版

燕尾定理 燕尾定理： 在三角形ABC 中，AD ，BE ，CF 相交于同一点O ， 那么， ::ABO ACO S S BD DC ??= O F E D C B A 上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为ABO ?和ACO ?的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理．该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径. 通过一道例题 如右图，D 是BC 上任意一点，请你说明：1423:::S S S S BD DC == S 3 S 1S 4S 2E D C B A 【解析】 三角形BED 与三角形CED 同高，分别以BD 、DC 为底，所以有14::S S BD DC =； 三角形ABE 与三角形EBD 同高，12::S S ED EA =； 三角形ACE 与三角形CED 同高，43::S S ED EA =，所以1423::S S S S =； 综上可得， 1423:::S S S S BD DC ==. 例题精讲

【例 1】 （2009年第七届希望杯五年级一试试题）如图，三角形ABC 的面积是1，E 是AC 的中点，点D 在 BC 上，且:1:2BD DC =，AD 与BE 交于点F ．则四边形DFEC 的面积等于 ． F E D C B A 【巩固】如图，已知BD DC =，2EC AE =，三角形ABC 的面积是30，求阴影部分面积 . 【巩固】如图，三角形ABC 的面积是2200cm ，E 在AC 上，点D 在BC 上，且:3:5AE EC =,:2:3BD DC =， AD 与BE 交于点F ．则四边形DFEC 的面积等于 ． F E D C B A 【巩固】如图，已知3BD DC =，2EC AE =，BE 与CD 相交于点O ,则ABC △被分成的4部分面积各占ABC △ 面积的几分之几？ O E D C B A 【巩固】(2007年香港圣公会数学竞赛)如图所示，在ABC △中，12CP CB =，1 3 CQ CA =，BQ 与AP 相交于 点X ，若ABC △的面积为6，则ABX △的面积等于 ． X Q P A B C 【巩固】如图，三角形ABC 的面积是1，2BD DC =，2CE AE =，AD 与BE 相交于点F ，请写出这4部分 的面积各是多少?

五年级下册数学竞赛试题- 14讲 图形-五大模型 全国通用(含答案)

图形-五大模型（一） 【名师解析】 一、等积变换模型 1、等底等高的两个三角形面积相等。 2、两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比。 3、两个三角形底相等，面积比等于它的的高之比。 二、共角定理模型（共角定理） 两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。 共角三角形的面积比等到于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比。如： 依次称之为A 字型鸟头、X 字型鸟头、歪脖型鸟头、直脖型鸟头。 如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点如图(或D 、E 分别在BA 、CA 延长线上。 则有： ADE ABC S AD AE AD AE S AB AC AB AC ?=?= ?△△ 三、蝴蝶定理模型（风筝模型） （说明：任意四边形与四边形、长方形、梯形，连接对角线所成四部的比例关系是一样的。） 四、相似三角形模型（沙漏模型） 五、燕尾定理模型 【例题精讲】 例1、三角形ABC 中，BD 是DC 的2倍，AE 是EC 的3倍。三角形DEC 的面积为3平方厘米，求三角形 ABC 的面积是多少平方厘米？ E A D C B 练习、在下图中，已知CF=2DF ，DE=EA ，△BCF 的面积为2，四边形BFDE 的面积为4，求△ABE 的面积。 F E D C B A 例2、(1)在下图中，2AB BD AC CE ==，，如果2 9ADE S cm D =，求ABC S D ？

E D C B A 练习、如图在ABC △中，D 在BA 的延长线上，E 在AC 上，且:5:2AB AD =，:3:2AE EC =， 12ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积． D E A B C 例3、正方形ABCD 边长为6 厘米，BC CF AC AE 3 13 1= =，．三角形DEF 的面积为多少平方厘 米？ B D 练习、如图，1ABC S =△，5BC BD =，4AC EC =，DG GS SE ==，AF FG =．求FGS S ． S G F E D C B A 例4、一个长方形，被两条直线分成四个长方形，其中三个的面积是20亩、25亩和30亩．问另一个 长方形的面积是多少亩？