求三角函数值域及最值的常用方法+练习题

求三角函数值域及最值的常用方法

（一）一次函数型

或利用：=+

=x b x a y cos sin )sin(22?+?+x b a

化为一个角的同名三角函数形式，利用三角函数的有界性或单调性求解；

（2）2sin(3)512

y x π

=--

+，x x y cos sin =

（3）函数x x y cos 3sin +=在区间[0,]2

π

上的最小值为 1 ．

（4）函数tan(

)2

y x π

=-

(4

4

x π

π

-

≤≤

且0)x ≠的值域是 (,1][1,)-∞-?+∞

（二）二次函数型

利用二倍角公式，化为一个角的同名三角函数形式的一元二次式，利用配方法、 换元及图像法求解。

（2）函数)(2cos 2

1cos )(R x x x x f ∈-

=的最大值等于43．

（3）.当2

0π

<

x x f 2sin sin 82cos 1)(2++=的最小值为 4 ．

（4）.已知k ＜－4，则函数y ＝cos2x ＋k (cos x －1)的最小值是 1 ．

（5）.若2αβπ+=，则cos 6sin y βα=-的最大值与最小值之和为____2____．

（三）借助直线的斜率的关系，用数形结合求解

型如d

x c b

x a x f ++=

cos sin )(型。此类型最值问题可考虑如下几种解法：

①转化为c x b x a =+cos sin 再利用辅助角公式求其最值；

②利用万能公式求解；

③采用数形结合法（转化为斜率问题）求最值。 例1：求函数sin cos 2

x

y x =

-的值域。

解法1：数形结合法：求原函数的值域等价于求单位圆上的点P(cosx , sinx )与定点Q(2, 0)所确定的直线的斜率的范围。作出如图得图象，当过Q 点的直线与单位圆相切时得斜率便是函数sin cos 2

x

y x =

-得最值，由几何知识，易求得过Q 的两切线得斜率分别为3

3

-、

33。结合图形可知，此函数的值域是33

[,]33

-

。 解法2：将函数sin cos 2x y x =-变形为cos sin 2y x x y -=，∴22s i n ()1y

x y

φ+=

+由2

|2||sin()|11y x y φ+=

≤+22(2)1y y ?≤+，解得：3333y -

≤≤，故值域是33

[,]33

- 解法3：利用万能公式求解：由万能公式2

12sin t

t

x +=，221cos 1t x t -=+，代入sin cos 2x y x =-得到2

213t y t

=--则有2

320yt t y ++=知：当0t =，则0y =，满足条件；当0t ≠，由2

4120y =-≥△，3333y ?-≤≤，故所求函数的值域是33[,]33

-。 解法4：利用重要不等式求解：由万能公式2

12sin t t x +=，221cos 1t x t -=+，代入sin cos 2x y x =

-得到2

213t

y t =--当0t =时，则0y =，满足条件；当0t ≠时，

22

113(3)

y t t t t

=

=---+，如果t > 0，则2223113233(3)y t t t t ==-≥-=---+，

x Q P

y O

此时即有3

03

y -

≤<；如果t < 0，则223

1

31

()(3)2()(3)

y t t t

t

=≤

=-+---，此时有303y <≤

。综上：此函数的值域是33[,]33

-。 例2.求函数2cos (0)sin x

y x x

π-=<<的最小值．

解法1：（利用三角函数的有界性求解）原式可化为sin cos 2(0)y x x x π+=<<，得21sin()2

y x ?++=，即2

2sin()1x y

?+=+，

故

2

211y

≤+，解得3y ≥或3y ≤-（舍），所以y 的最小值为3．

解法2：(从结构出发利用斜率公式，结合图像求解)2cos (0)sin x

y x x

π-=

<<表示的是点

(0,2)A 与(sin ,cos )B x x -连线的斜率，

其中点B 在左半圆22

1(0)a b a +=<上，由图像知，当AB 与半圆相切时，y 最小，此时3AB k =，所以y 的最小值为3．

（四）换元法

代数换元法代换：x x x x y cos sin cos sin ++=

令：t t y t x x +-==+2

1

,cos sin 2则再用配方. 例题：求函数sin cos sin cos y x x x x =?++的最大值．

解：设sin cos x x t +=(22)t -≤≤，则21sin cos 2t x x -?=，则211

22

y t t =+-，

当2t =

时，y 有最大值为1

22

+．

（五）降幂法

型如)0(cos sin sin 2≠+?+=a c x x b x a y 型。此类型可利用倍角公式、降幂公式进行

降次、整理为sin 2cos 2y A x B x =+型再利用辅助角公式求出最值。

例1：求函数)24

74

(

cos sin 4sin 3cos 35)(22π

π

≤

<-+=x x x x x x f 的最值，并求取得最值时x 的值。

分析：先化简函数，化成一个角的一种函数再由正弦，余弦函数的有界性，同时应注意角度的限定范围。

解：由降幂公式和倍角公式，得

x x

x x f 2sin 22

2cos 1322cos 135)(--++= 332sin 23cos 32+-=x x 33)6

2cos(4++

=π

x

∵

2474ππ

≤

ππ≤

+

7π

=x ，()f x 无最大值。

例2. 已知函数2

π()2sin 3cos 24f x x x ??=+-

???

，ππ42x ??∈????，．

（I ）求()f x 的最大值和最小值；

（II ）若不等式()2f x m -<在ππ42x ??∈????

，上恒成立，求实数m 的取值范围．

分析：观察角，单角二次型，降次整理为sin cos a x b x +形式． 解：（Ⅰ）π()1cos 23cos 21sin 23cos 22f x x x x x ??

??=-+-=+-

???????

∵ π12sin 23x ?

?=+- ??

?．

又ππ42x ??∈????，∵，ππ2π

2633x -∴≤≤，即π212sin 233x ?

?

+- ???≤≤，

max min ()3()2f x f x ==，∴．

（Ⅱ）()2()2()2f x m f x m f x -

，，

max ()2m f x >-∴且min ()2m f x <+，

14m <<∴，即m 的取值范围是(1

4)，． 典型应用题

例题：扇形AOB 的半径为1，中心角为60?，PQRS 是扇形的内接矩形，问P 在怎样

的位置时，矩形PQRS 的面积最大，并求出最大值．

分析：引入变量AOP x ∠=，建立目标函数．

解：连接OP ，设AOP x ∠=，则sin PS x =，cos OS x =，

3

cos sin 3

RS x x =-．

333(cos sin )sin sin(2)3366

S x x x x π∴=-

=+-， 03

x π

<<

，所以当6

x π

=

时，P 在圆弧中心位置，max 3

6

S =

． 点评：合理引进参数，利用已知条件，结合图形建立面积与参数之间的函数关系式，这是解题的关键．

（六）条件最值问题（不要忘了条件自身的约束）

例1. 已知1sin sin 3

x y +=

，求2

sin cos y x -的最大值与最小值． 分析：可化为二次函数求最值问题．

A

B O

R

S P

Q

解：（1）由已知得：1sin sin 3y x =

-，sin [1,1]y ∈-，则2

sin [,1]3x ∈-． 22111sin cos (sin )212

y x x ∴-=--，当1sin 2x =时，2sin cos y x -有最小值11

12-；

当2sin 3

x =-时，2

sin cos y x -有最小值49．

例2：已知αβαsin 2sin 2sin 322=+，求βα2

2sin sin +=y 的取值范围。

分析：用函数的思想分析问题，这是已知关于sin α，sin β的二元条件等式求二元二次函数的值域问题，应消元，把二元变一元，注意自变量的范围。

解：∵αβαsin 2sin 2sin 32

2

=+，∴ααβsin sin 2

3sin 2

2+-

= ∵1sin 02≤≤β ∴32sin 01sin sin 2

30

sin sin 2

3

22≤≤???

????

≤+-≥+-ααααα解得

∵2

1

)1(sin 21sin sin 21sin sin 2222+--=+-=+=αααβαy

∵3

2

sin 0≤≤α。

∴sin α=0时，0min =y ； 32sin =α时，94max =y ∴94

sin sin 022≤+≤βα。

例3 ：求函数x x y -+=1的最大值和最小值，并指出当x 分别为何值时取到最大值和

最小值。

解：∵定义域为0≤x ≤1，可设x x 2cos =且2

0π

θ≤

≤

θθ22sin cos 11=-=-x ，2

0π

θ≤

≤

∴)4

sin(2cos sin sin cos 22π

θθθθθ+

=+=+=

y ∵20πθ≤≤，∴4

344π

πθπ≤+≤，∴1)4sin(22≤+≤πθ即21≤≤y ∴当44ππθ=+或434ππθ=+，即θ =0或2π

θ=（此时x=1或x=0），y=1；

当2πθ+，即4πθ=时，（此时2

1

=x ），2=y ，

当x=0或x=1时，y 有最小值1；当2

1

=x 时，y 有最大值2。

评析：利用三角换元法求解此类问题时，要注意所设角的取值范围，要同原函数定义域相一致，尽量恰到好处。

【反馈演练】

1．函数))(6

cos()3sin(

2R x x x y ∈+--=π

π的最小值等于____－1_______． 2．已知函数()3sin f x x =，3()sin()2

g x x π

=-，直线m x =和它们分别交于M ，N ，则

=max MN _________．

3．当04

x π

<<时，函数22

cos ()cos sin sin x

f x x x x =-的最小值是______4 _______． 4．函数sin cos 2

x

y x =+的最大值为_______，最小值为________. 5．函数cos tan y x x =?的值域为 .

6．已知函数11

()(sin cos )|sin cos |22

f x x x x x =+--，则()f x 的值域是 .

7．已知函数()2sin (0)f x x ωω=>在区间,34ππ??

-????

上的最小值是2-，则ω的最小值等 于_________．

3

2 8．（1）已知(0,)θπ∈，函数23sin 13sin y θ

θ

=

+的最大值是_______.

（2）已知(0,)x π∈，函数2

sin sin y x x

=+

的最小值是____3___. 9．在△OAB 中，O 为坐标原点，]2

,

0(),1,(sin ),cos ,1(π

θθθ∈B A ，则当△OAB 的面积达最大

值时，=θ_____________

．

10．已知函数()2cos (sin cos )1

f x x x x x =-+∈R ，．

2π

12

3

3

33- (1,1)- 22

[,]22-

10

（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；

（Ⅱ）求函数()f x 在区间π3π84??????

，上的最小值和最大值．

解：（Ⅰ）π()2cos (sin cos )1sin 2cos 22sin 24f x x x x x x x ?

?=-+=-=- ??

?．

因此，函数()f x 的最小正周期为π．

（Ⅱ）因为π()2sin 24f x x ??=

- ???在区间π3π88??????，上为增函数，在区间3π3π84??

????，上为减函

数，又π08f ??

=

???，3π28f ??

= ???

，3π3πππ2sin 2cos 14244f ????

=-=-=- ? ?????

，

故函数()f x 在区间π3π84??????

，上的最大值为2，最小值为1-．

解法二：作函数π()2sin 24f x x ?

?=- ??

?在长度为一个周期的区间π9π84??????，上的图象如下：

间π3π84

??????

，上

由图象得函数()f x 在区

的最大值为2，最小值为3π14f ??

=-

???

． y

x

O

2

2-

π8 3π8 5π8 3π4

7π8

9π8

11．若函数)4

sin(sin )

2

sin(22cos 1)(2π

π

+

++-+=

x a x x x x f 的最大值为32+，试确定常数a

的值. 解：)4

sin(sin )

2

sin(

21cos 21)(22π

π

+

++--+=

x a x x x x f

)4sin(cos sin )4sin(sin cos 2cos 2222ππ+++=+++=x a x x x a x x x )4

sin()2()4

sin()4

sin(222π

π

π

+

+=+

++

=x a x a x

因为)(x f 的最大值为)4

sin(,32π

++x 的最大值为1，则,3222+=+a

所以,3±=a

12．已知函数2

()2sin sin 2f x x x =+．

（1）若[0,2]x π∈．求使()f x 为正值的x 的集合； （2）若关于x 的方程2

[()]()0f x f x a ++=在[0,

]4

π

内有实根，求实数a 的取值范围.

解：（1）∵()1cos2sin 2f x x x =-+12sin(2)4

x π

=+-

()012sin(2)04

f x x π

∴>?+-

>2

sin(2)42x π?->-

52224

4

4

k x k π

π

π

ππ?-

+<-

<

+ 34

k x k π

ππ?<<

+ 又[0,2].x π∈ ∴37(0,)(,)44

x ππ

π∈?

（2）当[0,

]4

x π

∈时，2,444x π

ππ??

-

∈-????

∴22sin(2)[,]322x π-∈-

则()[0,2]f x ∈，∴2

()()[0,6]f x f x +∈

∵方程2

[()]()0f x f x a ++=有实根，得)]()([2

x f x f a +-= ∴[6,0]a ∈-

【高考赏析】

（1）（本小题满分13分）

设函数2

()3cos sin f x x xcos x ωωωα=++（其中0,R ωα>∈），且()f x 的图象

在y 轴右侧的第一个最高点的横坐标为6

π。 （I ）求ω的值。 （II ）如果()f x 在区间5,36ππ??

-????

上的最小值为3，求α的值。 （本小题13分）

313()cos 2sin 2222

3 sin 232 2,

6

3

2

1

.

2

f x x x x ωωαπωα

π

π

π

ωω=+++?

?=+++ ????+

=

=解：（I ）依题意得解之得

3

)2

57 ,0,,

36361 sin()1,23

513 (),362213 3.22x x x f x πα

πππππ

ππα

α++??

??∈-+∈??????

??-≤+≤??

--++????

-++=（II)由（I ）知,f(x)=sin(x+3又当时，故从而在上取得最小值因此，由题设知故31

2

α+=

2.(本小题满分12分) 已知函数f(x)=3sin(2x －

π6)+2sin 2(x －π

12

) (x ∈R) (Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期 ; (2)求使函数f(x)取得最大值的x 的集合.

．解:(Ⅰ) f (x )=3sin(2x －

π6)+1－cos2(x －π12

) = 2[

32sin2(x －π12)－12 cos2(x －π

12

)]+1 =2sin[2(x －

π12)－π

6]+1 = 2sin(2x －

π

3

) +1 ∴ T =2π2

=π

(Ⅱ)当f (x )取最大值时， sin(2x －

π3)=1，有 2x －π3 =2k π+π2

5π12 (k∈Z) ∴所求x的集合为{x∈R|x= kπ+

5π

12

， (k∈Z)}．

即x=kπ+

求三角函数的值域(或最值)的方法

求三角函数的值域(或最值)的方法 三角函数y＝sinx及y＝cosx是有界函数，即当自变量x在R内取一定的值时，因变量y有最大值y max＝1和最小值y min＝－1，这是三角函数y＝sinx及y＝cosx的基本性质之一，利用三角函数的这一基本性质，我们可以使一些比较复杂的三角函数求最值的问题得以简化．虽然这部分内容在教材中出现不多，但是，在我们的日常练习和历年高考试题中却频频出现，学生也往往对这样的问题颇感棘手．笔者根据日常的教学积累，对三角函数求值域或最值的方法，加以归纳总结如下． 1 配方分析法 如果所给的函数是同名不同次或可化为同名不同次及其他能够进行配方的形式，可采用此方法． 例1求函数y＝2cos2x＋5sinx－4的值域． 解原函数可化为 当sinx＝1时，y max＝1； 当sinx＝－1时，y min＝－9， ∴原函数的值域是y∈[－9，1]． 注：此种方法在求三角函数的值域或最值问题中较为常见．但在最后讨论值域时，往往容易忽略自变量(例1中以sinx为自变量)的取值范围而出现错误应该引起注意． “cosx”，再求已知函数的最值 例2求下列函数的最值，并求出相应的x值．

y＝asinx＋bcosx或可转化为此种形式的函数，其最大值和最小值分别为y max＝ 3 求反函数法 如果函数的表达式中仅含有某一个三角函数名，我们可考虑此种方法，用因变量y表示出该函数，再利用该函数的值域求对应的原函数的值域．

∴原函数的值域是 4 应用函数的有界性 上面的求反函数法实际上就是在应用函数的有界性求最值，在此只不过是为了更加突出一下． 解由原式可得 (3y－1)sinx＋(2y－2)cosx＝3－y， 则上式即为 利用函数的有界性有 ∴原函数的值域是

《与三角函数有关的最值问题》复习课教学设计

《与三角函数有关的最值问题》复习课教学设计 湖南师大第二附属中学刘海军 一.教学分析 三角函数的最值与值域问题，是历年高考重点考查的知识点之一，是对三角函数的概念、图象、性质以及诱导公式、同角三角函数间的关系、两角和与差公式的综合考查，是函数最值的一个重要组成部分.三角函数的最值与值域问题不仅与三角自身的所有基础知识密切相关，而且与前面复习过的函数、不等式、联系密切，综合性强，解法灵活，能力要求高，在复习完三角公式后，把三角函数的最值与值域作为专题复习，不仅可以帮助学生灵活运用三角公式，而且可以帮助学生掌握求最值和值域的方法，综合能力得到增强。 二.教学目标 1.知识与技能：正确理解三角函数的有关概念，掌握三角函数的基本概念、公式、图象及性质，并能综合运用这些概念，公式及性质解决实际问题. 2.过程与方法：在教学过程中，让学生学会运用数形结合思想、函数和方程的数学思想 来分析解决数学问题；培养学生的观察能力、动手能力、创新能力和归纳能力. 3.情感态度与价值观：通过例题的分析，方法的归纳，激发学生主动参与、主动探索的意识，使学生始终在动态过程中去感受知识、巩固知识、运用知识，提高45分钟的效率. 三.教学重点、难点 教学重点：求三角函数的最大、最小值. 教学难点：针对各题，会观察题中特点，正确运用相应方法求三角函数最值. 四.课型及课时安排 高三复习课，2课时：第1课时. 五.教学方法设计 综合启发教学，边教边让学生参与，学会对知识的归纳；强调教师为主导、学生为主体的互动原则，充分调动学生的积极性，发挥学生的主动性和创造性. 六.学情分析 高三学生对三角函数这部分知识比较熟悉.但学生对知识的前后联系，有效方法的选择，分析问题的内涵，综合运用知识的能力还很薄弱.学生对知识的归纳整理能力比较欠缺，所以对三角函数最值的几个基本类型需要进行归纳和整理，以便学生能够更好的掌握.

三角函数的定义域、值域和最值

三角函数的定义域、值 域和最值 -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1

三角函数的定义域、值域和最值 一 知识点精讲： 1 三角函数的定义域 （1）r y =αsin 定义域为R. （2）r x =αcos 定义域为R. （3）x y = αtan 定义域为 ? ?? ???∈+≠Z k k ,2|ππαα. （4）y x =αcot 定义域为 {}Z k k ∈≠,|παα. 2 三角函数的值域 ① )0(,sin ≠+=a b x a y 型 当0>a 时，],[b a b a y ++-∈ ； 当0

三角函数最大值问题

三角函数最值问题类型归纳 三角函数的最值问题是三角函数基础知识的综合应用，近几年的高考题中经常出现。其出现的形式，或者是在小题中单纯地考察三角函数的值域问题；或者是隐含在解答题中，作为解决解答题所用的知识点之一；或者在解决某一问题时，应用三角函数有界性会使问题更易于解决（比如参数方程）。题目给出的三角关系式往往比较复杂，进行化简后，再进行归纳，主要有以下几种类型。掌握这几种类型后，几乎所有的三角函数最值问题都可以解决。 1．y=asinx+bcosx型的函数 特点是含有正余弦函数，并且是一次式。解决此类问题的指导思想是把正、余弦函数转化为 只有一种三角函数。应用课本中现成的公式即可：y=sin(x+φ)，其中tanφ=。 例1．当-≤x≤时，函数f(x)=sinx+cosx的（ D ） A、最大值是1，最小值是-1 B、最大值是1，最小值是- C、最大值是2，最小值是-2 D、最大值是2，最小值是-1 分析：解析式可化为f(x)=2sin(x+)，再根据x的范围来解即可。 2．y=asin2x+bsinxcosx+cos2x型的函数 特点是含有sinx, cosx的二次式，处理方式是降幂，再化为型1的形式来解。 例2．求y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x的最小值，并求出y取最小值时的x的集合。 解：y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x =(sin2x+cos2x)+sin2x+2cos2x =1+sin2x+1+cos2x =2+sin(2x+) 当sin(2x+)=-1时，y取最小值2-，此时x的集合{x|x=kπ-π, k∈Z}。 3．y=asin2x+bcosx+c型的函数 特点是含有sinx, cosx，并且其中一个是二次，处理方式是应用sin2x+cos2x=1,使函数式只含有一种三角函数，再应用换元法，转化成二次函数来求解。 例3．求函数y=cos2x-2asinx-a（a为常数）的最大值M。

三角函数最值问题解法归纳

三角函数最值问题—解题9法 三角函数是重要的数学运算工具，三角函数最值问题是三角函数中的基本内容，也是高中数学中经常 涉及的问题。这部分内容是一个难点，它对三角函数的恒等变形能力及综合应用要求较高。解决这一类问 题的基本途径，同求解其他函数最值一样，一方面应充分利用三角函数自身的特殊性（如有界性等），另 一方面还要注意将求解三角函数最值问题转化为求一些我们所熟知的函数（二次函数等）最值问题。下面 就介绍几种常见的求三角函数最值的方法： 一配方法 若函数表达式中只含有正弦函数或余弦函数，切它们次数是2时，一般就需要通过配方或换元将给定 的函数化归为二次函数的最值问题来处理。 例1函数的最小值为（）. A． 2 B . 0 C . D . 6 [分析]本题可通过公式将函数表达式化为，因含有cosx 的二次式，可换元，令cosx=t，则配方，得, 当t=1时,即cosx=1时，,选B. 例2 求函数y=5sinx+cos2x的最值 [分析]：观察三角函数名和角，其中一个为正弦，一个为余弦，角分别是单角和倍角，所以先化简，使三角函数的名和角达到统一。 二引入辅助角法 例3已知函数当函数y取得最大值时，求自变量x的集合。 [分析] 此类问题为的三角函数求最值问题，它可通过降次化简整理为型求解。 解：

三利用三角函数的有界性 在三角函数中，正弦函数与余弦函数具有一个最基本也是最重要的特征——有界性，利用正弦函数与余弦函数的有界性是求解三角函数最值的最基本方法。 例4求函数的值域 [分析] 此为型的三角函数求最值问题，分子、分母的三角函数同名、同角，这类三角函数一般先化为部分分式，再利用三角函数的有界性去解。或者也可先用反解法，再用三角函数的有界性去解。 解法一：原函数变形为，可直接得到：或 解法一：原函数变形为或 例5已知函数，求函数f(x)的最小正周期和最大值。 [分析] 在本题的函数表达式中，既含有正弦函数，又有余弦函数，并且含有它们的二次式，故需设法通过降次化二次为一次式，再化为只含有正弦函数或余弦函数的表达式。 解： f(x)的最小正周期为，最大值为。 四引入参数法（换元法） 对于表达式中同时含有sinx+cosx，与sinxcosx的函数，运用关系式 一般都可采用换元法转化为t的二次函数去求最值，但必须要注意换元后新变量的取值范围。 例6 求函数y=sinx+cosx+sinxcosx的最大值。 [分析]解：令sinx+cosx=t，则 ，其中

求三角函数值域及最值的常用方法+练习题

求三角函数值域及最值的常用方法 （一）一次函数型 或利用：=+ =x b x a y cos sin )sin(22?+?+x b a 化为一个角的同名三角函数形式，利用三角函数的有界性或单调性求解； （2）2sin(3)512 y x π =-- +，x x y cos sin = （3）函数x x y cos 3sin +=在区间[0,]2 π 上的最小值为 1 ． （4）函数tan( )2 y x π =- (4 4 x π π - ≤≤ 且0)x ≠的值域是 (,1][1,)-∞-?+∞ （二）二次函数型 利用二倍角公式，化为一个角的同名三角函数形式的一元二次式，利用配方法、 换元及图像法求解。 （2）函数)(2cos 2 1 cos )(R x x x x f ∈- =的最大值等于43． （3）.当2 0π <

（三）借助直线的斜率的关系，用数形结合求解 型如d x c b x a x f ++= cos sin )(型。此类型最值问题可考虑如下几种解法： ①转化为c x b x a =+cos sin 再利用辅助角公式求其最值； ②利用万能公式求解； ③采用数形结合法（转化为斜率问题）求最值。 例1：求函数sin cos 2 x y x = -的值域。 解法1：数形结合法：求原函数的值域等价于求单位圆上的点P(cosx , sinx )与定点Q(2, 0)所确定的直线的斜率的范围。作出如图得图象，当过Q 点的直线与单位圆相切时得斜率便是函数sin cos 2 x y x = -得最值，由几何知识，易求得过Q 的两切线得斜率分别为3 3 -、 33。结合图形可知，此函数的值域是33 [,]33 - 。 解法2：将函数sin cos 2x y x =-变形为cos sin 2y x x y -=，∴22s i n ()1y x y φ+= +由2 |2||sin()|11y x y φ+= ≤+22(2)1y y ?≤+，解得：3333 y - ≤≤，故值域是33 [,]33- 解法3：利用万能公式求解：由万能公式2 12sin t t x +=，221cos 1t x t -=+，代入sin cos 2x y x =-得到2 213t y t =--则有2 320yt t y ++=知：当0t =，则0y =，满足条件；当0t ≠，由2 4120y =-≥△，3333 y ?-≤≤，故所求函数的值域是33[,]33-。 解法4：利用重要不等式求解：由万能公式2 12sin t t x +=，221cos 1t x t -=+，代入sin cos 2x y x = -得到2 213t y t =--当0t =时，则0y =，满足条件；当0t ≠时， 22 113(3) y t t t t = =---+，如果t > 0，则2223113233(3)y t t t t ==-≥-=---+， x Q P y O

已知三角函数值求角知识讲解

【学习目标】 1、掌握已知三角函数值求角的解题步骤； 2、要求学生初步（了解）理解反正弦，反余弦，反正切函数的意义，会由已知角的正弦值、余弦值、正切值求出[]π2,0范围内的角，并能用反正弦，反余弦，反正切的符号表示角或角的集合 【要点梳理】 要点一：反正弦，反余弦，反正切函数的定义 （1）一般地，对于正弦函数sin y x =，如果已知函数值[](1,1)y y ∈-，那么在,22ππ?? -???? 上有唯一的x 值 和它对应，记为arcsin x y =（其中11,22y x ππ-≤≤-≤≤）．即arcsin y （||1y ≤）表示,22ππ?? -???? 上正弦等于y 的那个角． （2）在区间[]0,π上符合条件cos (11)x y y =-≤≤的角x ，记为arccos x y =． （3）一般地，如果tan ()x y y R =∈，且,22x ππ??∈- ???，那么对每一个正切值y ，在开区间,22ππ?? - ??? 内， 有且只有一个角x ，使tan x y =．符合上述条件的角x ，记为arctan ,(,)22 x y x ππ =∈-． 要点二：已知正弦值、余弦值和正切值，求角 已知角x 的一个三角函数值求角x ，所得的角不一定只有一个，角的个数要根据角的取值范围来确定，这个范围应该在题目中给定，如果在这个范围内有已知三角函数值的角不止一个，解法可以分为以下几步： 第一步，决定角可能是第几象限角. 第二步，如果函数值为正数，则先求出对应的锐角1x ；如果函数值为负数，则先求出与其绝对值对应的锐角1x . 第三步，如果函数值为负数，则可根据x 可能是第几象限角，得出(0，2π)内对应的角；如果它是第二象限角，那么可表示为－1x ＋π；如果它是第三或第四象限角，那么可表示为1x ＋π或－1x ＋2π. 第四步，如果要求(0，2π)以外对应的角，则可利用终边相同的角有相同的三角函数值这一规律写出结果. 【典型例题】 类型一：已知正弦值、余弦值，求角 例1．已知sin x =，（1）x ∈[]0,2π，（2）x R ∈，求角x . 【思路点拨】因为所给的正弦值是负数，所以先求出其绝对值对应的锐角，然后在求出其他象限的角． 【解析】 （1）由sin x =知x 的正弦值是个负值，所以x 是第三象限或第四象限的角．因为sin 4π=，所以第三象限的那个角是544π ππ+ = ，第四象限的角是7244 ππ π-=． （2）在R 上符合条件的角是所有与 54 π终边相同的角和所有与74π 终边相同的角．因此x 的取值集合为

三角函数专题：三角函数的值域

高考复习专题 三角函数的值域与最值 一、基础知识 1、形如()sin y A x ω?=+解析式的求解：详见“函数()sin y A x ω?=+解析式的求解”一节，本节只列出所需用到的三角公式 （1）降幂公式：2 21cos21cos2cos ,sin 22 αα αα+-= = （2）2sin cos sin2ααα= （3）两角和差的正余弦公式 ()sin sin cos sin cos αβαββα+=+ ()sin sin cos sin cos αβαββα-=- ()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=- ()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+ （4）合角公式：()sin cos a b ααα?+=+，其中tan b a ?= 2、常见三角函数的值域类型： （1）形如()sin y A x ω?=+的值域：使用换元法，设t x ω?=+，根据x 的范围确定t 的范围，然后再利用三角函数图像或单位圆求出x ω?+的三角函数值，进而得到值域 例：求()2sin 2,,444f x x x πππ?? ??=- ∈- ???? ??? 的值域 解：设24 t x π =- 当,44x ππ?? ∈- ???? 时，32,444t x πππ??=-∈-???? sin 22t ?∴∈-??? () f x ?∴∈? （2）形如()sin y f x =的形式，即()y f t =与sin t x =的复合函数：通常先将解析式化简为同角同三角函数名的形式，然后将此三角函数视为一个整体，通过换元解析式转变为熟悉的 函数，再求出值域即可 例：求()2 2sin cos 2,,63f x x x x ππ?? =-+∈- ???? 的值域 解：()() 2 2 sin 1sin 2sin sin 1f x x x x x =--+=++

利用三角函数求解最值问题

利用三角函数求解最值问题 一、教学目标 1、知识技能目标：以圆的内接矩形的最大面积的求法作为引例，使学生逐步探究在半 圆，四分之一圆的内接矩形相关最值问题，学会用三角函数求得内接矩形面 积的最大值，能够总结求解最值问题基本思路。 2、过程方法目标：在恰当引进自变量、建立函数关系式的过程中，不断加强图形，文 字，符号这三种数学语言的联系，培养学生讲实际问题抽象为数学问题的化 归能力。同时增强学生数形结合、分类讨论的数学思想，逐步提高学生应用 意识和创新意识。 个问题的解决，培养学生积极主动的探索精神；通过加强学生的环保意识，增强学生的社会责任感 4、教材分析： （1）教材的知识结构：本节课是一节复习课，是以三角函数中的三角公式、三角函数 的图象、三角函数的性质为必要基础。属于人教版高中《数学》第 四册（必修B）第一、三章内容。 （2）教材的地位和作用：三角函数作为一种基本的初等函数，教材中主要介绍了各种 三角公式及三角函数的图象与性质，对三角函数的具体应用涉及 较少。而新课程标准提倡在学生生活经验的基础上，教师尽可能 多地提供各种机会让他们体验数学与日常生活及其他学科的联 系，感受数学的应用价值。本课为此联系生活实际提出问题，设 计层层探究，促使学生出于证明或求解需要而思考引进自变量的 特点，通过对常量和变量的分析，让学生体会三角函数的优势所 在。 （3）对知识的处理：本节课在设计上以“创设情景、揭示矛盾（提出数学问题）—— 自主探索、展开讨论（形成数学概念）——反思总结、归纳提升（获 得数学结论）——巩固深化、学以致用（运用数学知识）”为教学 模式。本课从教材中的一道习题出发，以最常见、最熟悉的例子— 锯木料为切入点，对教学内容层层分析挖掘，促使学生思考探究， 给学生提供了观察、操作、表达等机会。同时帮助学生对所学内容 进行加工处理，使之条理化，系统化便于存储记忆，并通过解题运 用不断加深对知识本质的认识。培养了学生勇于探索、深入研究的 优秀学习品质。 (4)教学过程与方法：在教学中要注意学生的数学学习思维形成和深化过程，培养学生探 究学习、合作学习的习惯。让学生充分体会由特殊到一般的认识规律， 培养学生学会观察、分析、发现、判断、归纳证明等研究问题的方法。 5、学情与学法指导 学情分析：一方面从知识水平上看，学生刚学完三角函数的相关内容，对这一知识体系的综合运用能力没有达到一定高度，但已经具备一定的观察能力，分析能力 和解题能力；另一方面师生之间比较熟悉，课堂沟通不成问题，在进度上可 适当加快，但结构设计要符合学生的认知结构，要注重对学生观察，归纳能

高中数学学案：三角函数的最值问题

高中数学学案：三角函数的最值问题 1. 会通过三角恒等变形、利用三角函数的有界性、结合三角函数的图象,求三角函数的最值和值域． 2. 掌握求三角函数最值的常见方法,能运用三角函数最值解决一些实际问题. 1. 阅读：必修4第24～33页、第103～116页、第119～122页． 2. 解悟：①正弦、余弦、正切函数的图象和性质是什么？②三角函数y ＝A sin (ωx ＋φ)(A>0,ω>0)的最值及对应条件；③两角和与差的正弦、余弦、正切公式是什么？辅助角公式是否熟练？④二倍角公式是什么？由倍角公式得到的降幂扩角公式是什么？必修4第123页练习第4题怎么解？ 3. 践习：在教材空白处,完成必修4第131页复习题第9、10、16题. 基础诊断 1. 函数f(x)＝sin x,x ∈? ????π6，2π3的值域为? ?? ??12，1__． 2. 函数f(x)＝sin x －cos ? ?? ??x ＋π6的值域为3]__． 解析：因为f(x)＝sin x －cos (x ＋π6)＝sin x －32cos x ＋12sin x ＝32sin x －32cos x ＝3sin (x －π6), 所以函数f(x)＝sin x －cos (x ＋π6)的值域为[－3,3]． 3. 若函数f(x)＝(1＋3tan x)cos x,0≤x<π2,则f(x)的最大值为__2__． 解析：f(x)＝(1＋3tan x)cos x ＝cos x ＋3sin x ＝2sin ? ????x ＋π6.因为0≤x<π2,所以π6≤x ＋π6<2π3,所以sin ? ????x ＋π6∈???? ??12，1, 所以当sin ? ?? ??x ＋π6＝1时,f(x)有最大值2. 4. 函数y ＝2sin 2x －3sin 2x 范例导航 考向? 形如y ＝a sin 2x ＋b cos x ＋c 的三角函数的最值

三角函数的值域

三角函数值域问题的一些常见类型和解题方法。 一． 基本型： 或 cos y a x b =+ 解决策略：利用sinx 和cosx 的有界性,即sin 1x ≤和cos 1x ≤ 三、形如22 sin sin cos cos y a x b x x x =++ 型的函数 解决策略：通过降幂再转化为sin()y A x ω?=+ 来求解 例3.求 22 sin 2sin cos 3cos y x x x x =++ 的值域 解： 2 12sin cos 2cos y x x x =++ sin 2cos 22)24 x x x π=++=++ 1sin(2)14 x π -≤+≤ 所以所求函数的值域为2?? 四、反比例型：形如 sin sin a x b y c x d +=+ 或cos cos a x b y c x d +=+ 解决策略：用反表示法，再利用有界性或数形结合。 例4、求函数1sin 2cos x y x -= -的值域 方法一 解：由1sin 2cos x y x -= - 得 2cos 1sin y y x x -=- 解：x R ∈ 2sin(3y x π =+ ） []sin()113x π∴+∈- ，∴函数的值域为分析：引入辅助角，再利用正弦函数的有界性 sin y a x b =+1≤分析：利用 sinx 的有界性 1sin 1x -≤≤ 解：　12sin 13x ∴-≤+≤　 [] 2sin 113y x ∴ =+-　函数的值域为，2sin 1y x =+例1.求　值域。 sin cos y a x b x c =++), tan b x c a ??=++= y 其中二、形如 引入辅助角转化为基本型 解决策略： 例2、求函数 sin y x x =+[]22-，

专项复习16三角函数的值域与最值

高三数学理科复习十六——三角函数的值域与最值 一、【知识复习与自学质疑】 1.求下列函数的最大值、最小值 （1）2sin cos ;3 y x x = （2）y = （3）212sin 1;2y x ??=-++ ??? （4）2515sin 416y x ??=-+ ?? ? 2.（1）若4x π≤ ，则()2cos sin f x x x =+的最小值是_________ （2）若 2x π ≤，则()sin f x x x =的值域是 3.（1）函数2cos sin x y x -= ()0x π<<的最小值是 （2）函数2cos 12cos 1x y x +=-的值域是 二、【例题精讲】 例1、已知1sin sin 3x y += ，求2sin cos y x -的最大值与最小值. 例2、求函数sin cos sin cos y x x x x =++的最大值. 例3、已知函数()22cos sin sin cos 3f x x x x x x π? ?=+-+ ??? ，求函数()f x 的最大值、最小值以及取得最值时的x 的值。

【矫正反馈】 1.(1)已知()0,θπ∈，函数23sin 13sin y θθ =+的最大值是___________________________ (2)已知()0,x π∈，函数2sin sin y x x =+的最小值是_____________________ （3）函数()223sin ,sin y x x k k Z x π= +≠∈的值域是____________________________ 2.设，当0,2x π??∈????时，()f x 的最大值为4，则a =_____________ 3.函数()2sin cos 36y x x x R ππ????=--+∈ ? ?????的最小值等于____________________ 4.函数sin 2sin x y x =+的值域为 ；函数sin cos 2 x y x =+的值域为 5.函数sin 2sin y x x =-的值域是_________________ 6.若()22cos 2cos 22sin 136f x x x x ππ????=-+ -++ ? ?????，则()f x 的最大值为_________ 7.函数()()sin 2cos 2y x x =--的最大值、最小值分别是_____________________________ 【迁移应用】 8.已知函数()22sin 23sin cos f x a x a x x a b =-++的定义域是,2ππ?????? ，值域是[]2,5，求,a b 的值. 9．求函数()24sin cos2f x a x x =--的最大值和最小值.（a R ∈）

已知三角函数值求角知识讲解

已知三角函数值求角 【学习目标】 1、掌握已知三角函数值求角的解题步骤； 2、要求学生初步（了解）理解反正弦，反余弦，反正切函数的意义，会由已知角的正弦值、余弦值、正切值求出[]π2,0范围内的角，并能用反正弦，反余弦，反正切的符号表示角或角的集合 【要点梳理】 要点一：反正弦，反余弦，反正切函数的定义 （1）一般地，对于正弦函数sin y x =，如果已知函数值[](1,1)y y ∈-，那么在,22ππ?? -???? 上有唯一的x 值 和它对应，记为arcsin x y =（其中11,22y x ππ-≤≤-≤≤）．即arcsin y （||1y ≤）表示,22ππ?? -???? 上正弦等于y 的那个角． （2）在区间[]0,π上符合条件cos (11)x y y =-≤≤的角x ，记为arccos x y =． （3）一般地，如果tan ()x y y R =∈，且,22x ππ??∈- ???，那么对每一个正切值y ，在开区间,22ππ?? - ??? 内， 有且只有一个角x ，使tan x y =．符合上述条件的角x ，记为arctan ,(,)22 x y x ππ =∈-． 要点二：已知正弦值、余弦值和正切值，求角 已知角x 的一个三角函数值求角x ，所得的角不一定只有一个，角的个数要根据角的取值范围来确定，这个范围应该在题目中给定，如果在这个范围内有已知三角函数值的角不止一个，解法可以分为以下几步： 第一步，决定角可能是第几象限角. 第二步，如果函数值为正数，则先求出对应的锐角1x ；如果函数值为负数，则先求出与其绝对值对应的锐角1x . 第三步，如果函数值为负数，则可根据x 可能是第几象限角，得出(0，2π)内对应的角；如果它是第二象限角，那么可表示为－1x ＋π；如果它是第三或第四象限角，那么可表示为1x ＋π或－1x ＋2π. 第四步，如果要求(0，2π)以外对应的角，则可利用终边相同的角有相同的三角函数值这一规律写出结果. 【典型例题】 类型一：已知正弦值、余弦值，求角 例1．已知sin 2 x =- ，（1）x ∈[]0,2π，（2）x R ∈，求角x . 【思路点拨】因为所给的正弦值是负数，所以先求出其绝对值对应的锐角，然后在求出其他象限的角． 【解析】 （1）由sin 2x =- 知x 的正弦值是个负值，所以x 是第三象限或第四象限的角．因为sin 42 π=，所以第三象限的那个角是544π ππ+ = ，第四象限的角是7244 ππ π-=． （2）在R 上符合条件的角是所有与 54 π终边相同的角和所有与74π 终边相同的角．因此x 的取值集合为

三角函数解三角形中的最值问题

1.已知ABC ?中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，且 222 3sin 3sin 2sin sin 3sin ,B C B C A a +-==AB AC ? 的最大值. 2. 在ABC ?中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，向量(1,cos ),(cos 21,2)m A n A λλ==--- ，已知//m n （1）若2λ=，求角A 的大小； （2）若b c +=，求λ的取值范围. 3. 设ABC ?的内角所对的边分别为,,a b c ，且1cos 2 a C c b += （1）求角A 的大小； （2）若1a =，求ABC ?周长的取值范围. 4. 已知ABC ?是半径为R 的圆的内接?且222(sin sin ))sin R A C b B -=- （1）求角C ； （2）求ABC ?面积的最大值. 5. 已知向量(2,1),(sin ,cos())2 A m n B C =-=+ ，角,,A B C 分别为ABC ?的三边,,a b c 所对的角， （1）当m n ? 取得最大值时，求角A 的大小； （2）在（1）的条件下，当a =22b c +的取值范围. 6．已知(2cos ,1)a x x =+ ，(,cos )b y x = 且//a b （1）将y 表示成x 的函数()f x ，并求()f x 的最小正周期； （2）记()f x 的最大值为,,,M a b c 分别为ABC ?的三个内角A B C 、、对应的边长，若(),2A f M =且2a =，求bc 的最大值. 7. 在锐角ABC ?中，,,a b c 分别为内角,,A B C 的对边，设2B A =，求b a 的取值范围.

高中数学-三角函数图像及性质与值域及最值

高中数学总复习-三角函数 第5课 三角函数的图像和性质(一) 【考点导读】 1. 能画出正弦函数，余弦函数，正切函数的图像，借助图像理解正弦函数，余弦 函数在［0,2 ］，正切函数在(一,一)上的性质； 2 2 2. 了解函数y Asin( x )的实际意义，能画出y A si n( x )的图像； 3. 了解函数的周期性，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型. 【基础练习】 动的最小正周期T _____L_；初相 —- 2. 三角方程2sin(_ - x)=1的解集为 4. 要得到函数y sinx 的图象，只需将函数 y cos x ______ - ____ 个单位. 【范例解析】 例 1.已知函数 f (x) 2sin x(sin x cosx). (I) 用五点法画出函数在区间 ——上的图象，长度 为一个周期； 2’ 2 (H)说明f(x) 2s in x(si nx cosx)的图像可由y si nx 的图像经过怎样变换而 1. 已知简谐运动 f(x) 2sin (3X )( 2)的图象经过点(0，1)，则该简谐运 3.函数 y Asin( x )( 0, 尹R)的部分图象如图所示，则函数表达为 y 4si n( x ) 8 4 的图象向右平移

分析：化为Asin( x )形式.得到?

列表，取点，描图: x 335 88888 y11逅1 1 V21 故函数y f(x)在区间［-，2］上的图象是: (U)解法一：把y sinx图像上所有点向右平移—个单位，得到y sin(x ) 4 4 1 的图像，再把y sin(x -)的图像上所有点的横坐标缩短为原来的丄(纵坐标不 4 2 变)，得到y si n(2x —)的图像，然后把y sin(2x —)的图像上所有点纵坐标 4 4 伸长到原来的倍(横坐标不变)，得到y 2 sin(2x -)的图像，再将 4 y . 2 sin(2x )的图像上所有点向上平移1个单位，即得到 4 y 1 - 2 sin(2x -)的图像. 1 解法二：把y sinx图像上所有点的横坐标缩短为原来的-(纵坐标不变)，得 2 到y sin 2x的图像，再把y sin 2x图像上所有点向右平移—个单位，得到 8 解：(I)由f(x)2sin2x 2sin xcosx 1 cos2x sin 2x 2(sin 2x cos — 4 cos2xs in ) 4 2sin(2x 4 ).

知识讲解_已知三角函数值求角

已知三角函数值求角 【学习目标】 1、掌握已知三角函数值求角的解题步骤； 2、要求学生初步（了解）理解反正弦，反余弦，反正切函数的意义，会由已知角的正弦值、余弦值、正切值求出[]π2,0范围内的角，并能用反正弦，反余弦，反正切的符号表示角或角的集合 【要点梳理】 要点一：反正弦，反余弦，反正切函数的定义 （1）一般地，对于正弦函数sin y x =，如果已知函数值[](1,1)y y ∈-，那么在,22ππ?? -???? 上有唯一的x 值 和它对应，记为arcsin x y =（其中11,22y x ππ-≤≤-≤≤）．即arcsin y （||1y ≤）表示,22ππ?? -???? 上正弦等于y 的那个角． （2）在区间[]0,π上符合条件cos (11)x y y =-≤≤的角x ，记为arccos x y =． （3）一般地，如果tan ()x y y R =∈，且,22x ππ??∈- ???，那么对每一个正切值y ，在开区间,22ππ?? - ??? 内， 有且只有一个角x ，使tan x y =．符合上述条件的角x ，记为arctan ,(,)22 x y x ππ =∈-． 要点二：已知正弦值、余弦值和正切值，求角 已知角x 的一个三角函数值求角x ，所得的角不一定只有一个，角的个数要根据角的取值范围来确定，这个范围应该在题目中给定，如果在这个范围内有已知三角函数值的角不止一个，解法可以分为以下几步： 第一步，决定角可能是第几象限角. 第二步，如果函数值为正数，则先求出对应的锐角1x ；如果函数值为负数，则先求出与其绝对值对应的锐角1x . 第三步，如果函数值为负数，则可根据x 可能是第几象限角，得出(0，2π)内对应的角；如果它是第二象限角，那么可表示为－1x ＋π；如果它是第三或第四象限角，那么可表示为1x ＋π或－1x ＋2π. 第四步，如果要求(0，2π)以外对应的角，则可利用终边相同的角有相同的三角函数值这一规律写出结果. 【典型例题】 类型一：已知正弦值、余弦值，求角 例1．已知sin 2 x =- ，（1）x ∈[]0,2π，（2）x R ∈，求角x . 【思路点拨】因为所给的正弦值是负数，所以先求出其绝对值对应的锐角，然后在求出其他象限的角． 【解析】 （1）由sin 2 x =- 知x 的正弦值是个负值，所以x 是第三象限或第四象限的角．因为sin 42π=，所 以第三象限的那个角是544π ππ+ = ，第四象限的角是7244 ππ π-=．

(完整版)三角函数值域习题

三角函数定义域问题 1.函数 ()2sin 1f x x =-的定义域为（ ） A 5,66ππ??-??? ? B 52,2()66k k k Z ππππ??++∈???? C )(62,62Z k k k ∈??????+-ππππ D )(322,32Z k k k ∈????? ?++ππππ 2.函数y ＝ 2＋log 12 x ＋tan x 的定义域_________； 三角函数值域问题 1、已知函数y=a －bsinx （b ＞0）的最大值是5，最小值是1，则a= ，b= __ 2、函数y ＝2sin ? ????2x ＋π3－1，x ∈? ?????0，π3的值域为________ 3、当7,66x ππ??∈????时，函数23sin 2cos y x x =--的最小值是_______，最大值是________ 4.已知函数()sin()6f x x π=+，其中,3x a π??∈-????，若()f x 的值域是1,12??-???? ，则cos α的取值范围是（ ） A ．1[,1)2 B ．11,2??-???? C ．10,2?????? D ．1,02??-???? 5、求函数y ＝sin x +cos x ＋sin x cos x ，x ∈[0，π]的值域。 6.设0a >，对于函数()sin (0)sin x a f x x x π+=<<，下列结论正确的是( ) A ．有最大值无最小值 B ．有最小值无最大值 C ．有最大值且有最小值 D ．无最值 7、函数3 cos 3cos )(+-=x x x f 的最大值为_______。 8、函数sin 2sin y x x =-的值域为 9、设函数253sin cos ,0,822y x a x a x π??=++-∈???? 的最大值为１，求实数a 的值。

三角函数的定义域、值域和最值

三角函数的定义域、值域和最值 一 知识点精讲： 1 三角函数的定义域 （1）r y = αsin 定义域为R. （2）r x = αcos 定义域为R. （3）x y = αtan 定义域为 ? ?? ? ??∈+≠ Z k k ,2|ππ αα. （4）y x = αcot 定义域为{}Z k k ∈≠,|παα. 2 三角函数的值域 ① )0(,sin ≠+=a b x a y 型 当0>a 时，],[b a b a y ++-∈ ； 当0

已知三角函数值求角教案1

已知三角函数值求角教案1 教学目标 1．使学生掌握已知三角函数值求角(给值求角)的方法和步骤． 2．通过启发学生总结给值求角的步骤，培养学生归纳、类比、总结的能力． 3．培养学生严谨的科学态度，促进良好个性品质发展． 教学重点与难点 重点是给值求角的基本方法．难点在于归纳给值求角的基本步骤． 教学过程设计 一、复习引入 师：我们学习了5组诱导公式，如何概括这5组公式？ 生：k·360°＋α(k∈Z)，－α，180°±α，360°－α的三角函数值等于α的同一三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号． 师：那么k·360°＋α，……这些角从“形”这一角度看，与α又有什么关系呢？ (这应在诱导公式那一节有所渗透，或曾经留给同学思考过．) 生：角k·360°＋α(k∈Z)的终边与α角的终边相同，180°－α的终边与α的终边关于y轴成轴对称图形，180°＋α的终边与α的终边关于原点成中心对称图形，360°－α和－α终边相同，与α的终边关于x轴成轴对称图形． 师：α是什么样角？ 生：使三角函数有意义的任意角． 师：如果把α看作是锐角，那么k·360°＋α(k∈Z)，180°±α，360°－α各是第几象限角？它们的三角函数值与α的同一三角函数值有什么联系？

生：k·360°＋α(k∈Z)是第一象限角，180°－α是第二象限角，180°＋α是第三象限角，360°－α是第四象限角．这些角的三角函数与α的同一三角函数值相等或互为相反数． (如图1，帮助学生形象思维与记忆．) 师：利用这幅图，记忆诱导公式的符号是不是变得直观了？！那么诱导公式又有什么功能呢？ 生：把任意角的三角函数转化为0°～90°间角的三角函数，然后就可以查表求值了． 师：这些任意角的终边和某个锐角α0的终边有刚才所说的对称关系，那么同一三角函数值之间有没有关系？ 生：有关系，那些角的三角函数值要么等于α0的同一三角函数值，要么等于这个值的相反数，相等还是相反由这些角所在象限决定． 师：可以这样说，这些角的三角函数值的绝对值等于α0的同一三角函数值．每个角α都可通过一个锐角α0求得这个角的三角函数值(当值存在时)，这个值由α唯一确定．那么反过来，知道某个角α的某个三角函数值，要反求α，这个α怎么求？是否唯一？这与我们本节课要研究的知识有关． 二、讲授新课 (板书)已知三角函数值求角． 师：我们先来研究给正弦值求角． (板书) 例1 求满足下列条件的角α的取值集合．