江苏省启东中学2017-2018学年度第二学期第二次月考
高一数学试题
一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分.请把答案直接填写在答题纸相应位置上. 1.若,1,k b -三个数成等差数列,则直线y kx b =+必定经过点 。
2.在△ABC 中,角,A B 均为锐角,且,sin cos B A >则△ABC 的形状是 . 3. 12+与12-,两数的等比中项是 。
4.设,x y 都是正数, 且19
1x y
+=,则x y +的最小值为________.
5.已知实数x y ,满足2203x y x y y +≥??
-≤??≤≤?
,,,则2z x y =-的最大值是 .
6.在△ABC 中,若,3))((bc a c b c b a =-+++则A = 。
7. 点(,3)P a 到直线4310x y -+=的距离等于4,且在不等式230x y +-<表示的平面区域内,则点P 的坐标是 .
8.若不等式2
01x ax a ≤-+≤有唯一解,则a 的取值为 。
9. 在锐角△ABC 中,若2,3a b ==,则边长c 的取值范围是_________。
10. 已知三角形的三边构成等比数列,它们的公比为q ,则q 的取值范围是 。
11. 设实数,x y 满足2210x xy +-=,则x y +的取值范围是___________。
12. 已知数列{}n a 满足134n n a a ++=,且19a =,其前n 项之和为S n ,则满足不等式16125
n S n --<的最小自然数n 是 .
13.以下四个命题中, 正确命题的个数是 .
①不共面的四点中,其中任意三点不共线;
②若点A ,B ,C ,D 共面,点A , B ,C ,E 共面,则点A ,B ,C ,D ,E 共面; ③若直线a ,b 共面,直线a ,c 共面,则直线b ,c 共面; ④依次首尾相接的四条线段必共面.
14. 已知等差数列{}n a 首项为a ,公差为b ,等比数列{}n b 首项为b ,公比为a ,其中,a b 都是大于1的正整数,且1123,a b b a <<,对于任意的*n N ∈,总存在*m N ∈,使得3m n a b +=成立,则n a = .
二、解答题:本大题共6小题,共90分.请在答题纸指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程
或演算步骤.
15.在平面直角坐标系中,已知平行四边形ABCD 的三个顶点坐标:(0,0),(3,3),(4,0)A B C . ⑴.求边CD 所在直线的方程;
⑵.证明平行四边形ABCD 为矩形,并求其面积.
16.设锐角三角形ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,2sin a b A =. (Ⅰ)求B 的大小;
(Ⅱ)若33a =,5c =,求b .
17.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项的和,已知7S =7,15S =75,n T 为数列{||n
S n
}的前n 项的和,求n T
18.如图,在直四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中,DB=BC ,DB ⊥AC ,点M 是棱BB 1上一点. (1)求证:B 1D 1∥平面A 1BD ; (2)求证:MD ⊥AC ;
19.已知数列}{n a 满足212+++=n n n a a a ),3,2,1( =n ,它的前n 项和为n S ,且53=a ,366=S . (Ⅰ)求n a ;
(Ⅱ)已知等比数列}{n b 满足a b b +=+121,4
354a a b b +=+)1(-≠a ,设数列}{n n b a ?的前n 项
和为n T ,求n T .
20.设数列{}n a 满足:11a =,且当n N *∈时,32
11(1)1n n n n a a a a +++-+=
(Ⅰ)比较n a 与1n a +的大小,并证明你的结论;
(Ⅱ)若2211(1)n n n n
a b a a +=-,其中*∈N n ,证明:1
0 2.n
k
k b
=<<∑
(注:
121
n
k
n k b
b b b ==+++∑)
江苏省启东中学2017-2018学年度第二学期高一第二次月考试卷
答案
1. (1,2)-
2. 钝角三角形
3. 1±
4. 16 5. 7 6. 060
7. (3,3)- 8. 2 9. (5,13) 10.
1515
22
q -++<< 11. (][)+∞-∞-,11, 12. 7 13.1个 14. 53n -
15.解:⑴. ,A B 两点的斜率33AB k =
,//CD AB ,∴3
3
CD AB k k ==, 又因直线过点(4,0)C ,∴CD 所在直线的方程为:3
0(4)3
y x -=
-,即340x y --=. ⑵. ,B C 两点的斜率3BC k =-,1AB BC k k ?=-,∴AB BC ⊥,平行四边形ABCD 为矩形,可求
||23,||2AB BC ==,故矩形ABCD 的面积||||43ABCD S AB BC =?=
16.解:(Ⅰ)由2sin a b A =,根据正弦定理得:sin 2sin sin A B A =,所以1
sin 2
B =. 由AB
C ?为锐角三角形,得6
B π
=
.
(Ⅱ)由余弦定理,得2222cos 2725457b a c ac B =+-=+-=,所以7b =.
17.设数列{}n a 的公差为d ,则11721715105
75a d a d +=??
+=?,解之得:121a d =-??=?,所以(5)
2n n n S -=;设
52n n S n b n -==,则{}n b 是等差数列,设49'221n n b b b S n n -=+++= 。令5
02
n n b -=≥,解得:
5n ≥,所以1234,,,b b b b 小于0,50b =,6n ≥时,0n b >;所以
当5n ≤时,4
9||||||2
21n n b b b T n n -=+++= ;
当6n ≥时,||||||||||6521n n b b b b b T ++++++=
4
409)''(')(2556521+-=
-+-=++++++-=n n S S S b b b b b n n
所以2
2
954
94064
n n n n T n n n ?-≤??=?-+?≥??
18..(1)证明 由直四棱柱,得BB 1∥DD 1,
又∵BB 1=DD 1,∴四边形BB 1D 1D 是平行四边形,∴B 1D 1∥BD. 而BD ?平面A 1BD ,B 1D 1?平面A 1BD ,∴B 1D 1∥平面A 1BD. (2)证明 ∵BB 1⊥平面ABCD ,AC ?平面ABCD ,∴BB 1⊥AC.
∵BD ⊥AC ,且BD ∩BB 1=B , ∴AC ⊥平面BB 1D. 而MD ?平面BB 1D , ∴MD ⊥AC. 19.(Ⅰ)由212+++=n n n a a a 得n n n n a a a a -=-+++112,
则数列}{n a 是等差数列. ???=+=+∴.36156,521
1d a d a ????==.2,
11d a 因此,12-=n a n .
(Ⅱ)设等比数列}{n b 的公比为q ,
由???+=++=+)
1()1(1)1(3
311a a q q b a
q b 得11=b ,a q =且0a ≠. 则11
1--==n n n a q
b b ,1)12(--=n n n a n b a . 132)12(7531--+++++=n n a n a a a T ………………①
当1≠a 时,n
n a n a a a a aT )12(753432-+++++= ………… ② 由①-②得n n n a n a
a a a T a )12(22221)1(1
32--+++++=-- n n a n a
a )12(11)
1(2-----=,
所以,a a n a a T n
n n --+---=1)12(1)
1()1(22
. 当1=a 时,2
n T n =.
20.解:(Ⅰ)由于3211(1)1n
n
n n a a a a +++-+=,则3212
1
1n n n n
a a a a +++=+, ∴2322122213()11240111n n
n
n
n n n n n n n
a a a a a a a a a a a +-+
++-+-=-==>+++,∴1n n a a +> (Ⅱ)由于2211(1)n n n n
a b a a +=-,由(Ⅰ)1n n a a +>>0,则2211n n a a +<,22110n n a a +->, 而1110n n
a a a +>>=>,则0n
b >,∴121
0.n
k n k b b b b ==++
+>∑
又222
1111122221111
()()2()1(1)n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a b a a a a a a a a +++++++++-+--=-==< ∴11
2()n n n n n a a b a a ++-<,1112()n n n b a a +<-
11223
1
1111
11
2[(
)()(
)]n
k k n n b a a a a a a =+∴<-+-++-∑ ∴
12111
112(
)n
k n k n b b b b a a =+=++
+<-∑,而1n n a a +>,且11a =,故10n a +> ∴112
n
k k b a =<∑,因此12n k k b =<∑,从而1
0 2.n
k k b =<<∑