《含参量积分的分析性质及其应用》

《含参量积分的分析性质及其应用》

含参量积分的分析性质及其应用

班级：11数学与应用数学一班成绩：日期：xx年11月5日

含参量积分的分析性质及其应用

1.含参量正常积分的分析性质及应用

1.1含参量正常积分的连续性

定理1若二元函数f（x，y）在矩形区域r。[a，b]。[c，d]上连续，则函数

。。x。=。f（x，y）dy在[a，b]上连续.

cd例1设f（x，y）。sgn（x。y）（这个函数在x=y时不连续），试证由含量积分f（y）。。10f（x，y）dx所确定的函数在（。。，。。）上连续.

解因为0。x。1，所以当y0，则sgn（x-y）=1，即f（x，y）=1.-1，xy

则f（y）。。（。1）dx。。dx。1。2y.

0yy11，y1时，f（x，y）=-1，则f（y）。。（。1）dx。。1，即f（x）=1-2y，0。y1又因lim。1。f（0），limf（y）。。1。f（1）.f（y）在y=0与y=1处均连续，因而f（y）

y。0y。1在（。。，。。）上连续.

例2求下列极限。（1）lim。。0。1。1x。adx;（2）lim。x2cos。xdx.

。。00222解（1）因为二元函数x2。。2在矩形域r=[-1，1]。[-1.1]

上连续，则由

连续性定理得。1。1x2。a2dx在[-1，1]上连续.则

1。。0。1lim。x2。a2dx。。limx2。a2dx。。xdx。

。1。。0。111，]上连续，由连续22222。。822性定理得，函数。xcosaxdx在[。，]上连续.则lim。xcosaxdx。。x2dx。.

00。。00223（2）因为二元函数x2cosax在矩形域r。[0，2]。[。。。例3研究函数f（x）。。正的连续函数.

10yf（x）dx的连续性，其中f（x）在闭区间[0，1]上是

x2。y2解对任意y0。0，取。。0，使y0。。。0，于是被积函数

yf（x）在22x。yr。[0，1]。[y0。。，y0。。]上连续，根据含参量正常积分的连续性定理，则f（y）在区间[y0。。，y0。。]上连续，由y0的任意性知，f（y）在（0，。。）上连续.又因

f（。y）。。1yf（x）。yf（x）dx。。。0x2。y2dx，则f（y）在（。。，0）上连续.当y=0处0x2。y21f（y0）。0.由于f（x）为[0，1]上的正值连续函数，则存在最小值m>0.

f（y）。。11myf（x）my1limf（y）。。。0，但，从而dx。。dx。marctan2222。。0y。04yx。yx。y0f（y）在y=0处不连续，所以f（y）在（。。，。。）。（0，。。）上连续，在y=0处不连续.

定理2设二元函数f（x，y）在区域g={（x，y）|c（x）。y。d（x），a。x。b}上连续，其中c（x），d（x）为[a，b]上的连续函数，则函数f（x，y）=。上连续.

1。。d（x）c（x）f（x，y）dy在[a，b]

lim例4求。。0。。dx22.1。x。。dx1。，1。。，.由于都是。和x的连续函数，22。1。x2。。21。x。。1dx。。由定理2知i（。）在。。0处连续，所以limi（。）。i（0）。。.

01。x2。。04解记i（。）。1。。例5证明函数f（y）。。e。（x。y）dx在（。。，。。）上连续.

0。。2证明对。y。（。。，。。），令x-y=t，可推得

f（y）。。e。（x。y）dx。。e。tdt。。e。tdt。。e。tdt。。e。tdt。00。y0。y。。2。。202。。202。

对于含多量正常积分。e。tdt，由连续性定理可得。e。tdt在（。。，。。）上连续，则

。y。y0202f（y）。。e。（x。y）dx在（。。，。。）上连续.

21.2含参量正常积分的可微性

定理3若函数f。x，y。与其偏导数上连续，则。。x。=。dc。f。x，y。都在矩形区域r=[a，b]x[c，d]。xd。ddf（x，y）dy.f（x，y）dy 在[a，b]上可微，且。f（x，y）dy。。ccdx。x定理4设f。x，y。，fx。x，y。在r=[a，b]x[p，q]上连续，c。x。，d。x。为定义在[a，b]上其值含于[p，q]內的可微函数，则函数f。x。=。且f'（x）。。d（x）c（x）d（x）c（x）f（x，y）dy在[a，b]上可微，

fx（x，y）dy。f（x，d（x））d'（x）。f（x，c（x））c'（x）.

定理5若函数f。x，y。及fx。x，y。都在[a，b;c，d]上连续，同时在[c，d]上

a'（y）及b'（y）皆存在，并且a≤a（y）≤b，a≤b（y）≤b（c

≤y≤d），则

f'（y）。b（y）db（y）''f（x，y）dx。f（x，y）dx。f[b（y），y]b （y）。f[a（y），y]a（y）.y。a（y）dy。a（y）证明考虑函数f（y）在[c，d]上任何一点处得导数，由于

f（y）。。b（y0）a（y0）f（x，y）dx。。b（y）b（yo）f（x，y）dx。。a（y）a（y0）f（x，y）dx。f1（y）。f2（y）。f3（y）.

现在分别考虑fi（y）（i。1，2，3）在点y0处得导数.由定理5可得

f1'（y0）。。由于f2（y0）。0，所以

b（y0）a（y0）fy（x，y0）dx.

f2';（y0）。limy。yob（y）f（x，y）f2（y）。f2（yo）f（y）。lim2。lim。dx.

b（y）y。yy。y000y。y0y。y0y。y0应用积分中值定理f2'（y0）。limb（y）。b（y0）。f（。，y）.这里。在b（y）和b（y0）之间.

y。y0y。y0再注意到f。x，y。的连续性及b（y）的可微性，于是得到

f2'（y0）。b'（y0）f[b（y0），y0].

同样可以证明

f3'（y0）。a'（y0）f[a（y0），y0]

于是定理得证.

sinyxdx，求f'（y）.

yx解应用定理5有

y2例6设f（y）。。f（y）。。'y2ysiny3siny2cosyxdx。2y。2。1。

yyy2ysinyx。y2siny3siny2。。yy3siny3。2siny2。.

y例7设f（x）在x。0的某个邻域u上连续，验证当x。u时，函数

n。1x1（x。t）f（t）dt（1）。（x）。。0（n。1）。的n阶导数存在，且。（n）（x）。f（x）.

解由于（1）中被积函数f（x，t）。（x。t）n。1f（t）及其偏导数fx（x，t）在u上连续，于是由定理4可得

。'（x）。x11n。2n。1（n。1）（x。t）f（t）dt。（x。x）f（x）。0（n。1）。（n。1）。x1（x。t）n。2f（t）dt.。。（n。2）。0同理。''（x）。x11n。3n。1（n。2）（x。t）dt。（x。x）f（x）。0（n。2）。（n。1）。x1（x。t）n。3f（t）dt.。。（n。3）。0如此继续下去，求得k阶导数为

。（k）（x）。x1n。k。1（x。t）f（t）dt.

（n。k。1）。。0特别当k。n。1时有

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