齿轮故障的振动诊断及案例分析
齿轮故障的振动诊断及案例分析
摘要：齿轮故障通常具有相似的现象，即振动和噪声明显增加，但产生齿轮故障的原因却很难从表象作出判断。本文从振动分析的角度阐述齿轮振动的时域与频域特征，并结合实测案例进行分析。
关键词：齿轮故障；振动特征；时域；频域；案例分析
齿轮传动的常见故障有齿断裂，齿磨损，齿面疲劳（点蚀、剥落）和齿轮安装不当。
由结构和工作时受力条件决定，齿轮传动的振动信号较为复杂，故障诊断需同时进行时域与频域分析。齿轮工作过程中的故障信号频率基本表现为两部分，一为啮合频率及其谐波（高频部分）构成的载波信号；二为低频成分的幅值和相位变化所构成的调制信号。
1.啮合频率及其谐波
当轮齿进人或脱离啮合时，载荷和刚度均突然增大或减小，形成啮合冲击。齿轮啮合频率为fm=f1?Zl=f2?Z2，当齿轮出现故障时，将引起啮合频率及其各次谐波幅值的变化。
2.幅值调制和频率调制所构成的边频带
(1）幅值调制。
幅值调制相当于两个信号在时域上相乘。假定载波信号为g(t)，调制信号为e(t)，则调制后的时域总信号为
X (t) =g (t) ? e (t)
将上式转换到频域上，则为X(f)＝G(f) ?E (f).通常幅度调制的调制频率为旋转频率。
(2）频率调制。
齿轮的转速波动，若载波信号为A sin (2пfmt+φ0），调制信号为βsin2пfmt，频率调制可表示为x (t) =A sin
[2пfmt +βsin (2пf1t )＋φ0]。频率调制不仅产生围绕啮合频率fm的一族边频带，而且在相位信号中产生一个正弦波。通常频率调制的频率为分度不均匀齿轮的转频。实际上，齿轮故障中调幅与调频现象可能同时存在，因而在频谱上得到调幅与调频综合影响下形成的边频带。
3．由齿轮转频的低次谐波构成的附加脉冲
齿轮的低频故障（不平衡、不对中等）也会对齿轮振动时域波形产生影响，但不会在齿轮频率两侧产生边频带。
4．由齿轮加工误差形成的隐含成分。
该成分的振动通常由加工机床分度齿轮误差造成，它对齿轮的整体运行影响很小。
以下是一个齿轮故障的案例分析。
1．某采油平台原油外输泵（螺杆泵）传动齿轮局部断齿
(1)设备形式及参数。电机驱动直联双螺杆泵，螺杆之间以同步齿轮传动，齿轮齿数z=67;电机转速n=995r/min (16.57Hz) 。
(2)故障现象。泵的非驱动端（同步齿轮安装在此侧）振动速度值增加，图1、图2是时域波形及频谱图。
图3是图2的局部细化谱。
(3）振动特征及分析。在时域波形图中（图1)出现明显的冲击峰值，表明齿轮可能存在局部缺陷；频谱图（图2)中有齿轮啮合频率及二倍谐频，边频丰富，从图3可以看到，边频为转子工频，这说明啮合频率的振动幅值被转子工频冲击振动调制。
图2频谱图
图3二倍啮合频率局部放大图
(4）结论。齿轮局部缺陷。
齿轮箱拆检后发现齿轮局部断齿，缺陷齿共五个。
2．某浮式储油轮热介质提升泵齿轮啮合不良
(1)设备形式与参数。电机驱动直联齿轮泵，电机转速n=1 478r/min、齿轮齿数z=12。
(2)故障现象。该泵运行时发出连续尖啸，非驱动端轴承温度偏高。非驱动端轴承位置的时域和频域谱见图4、图5。
(3)振动特征及分析。时域图中有很高的冲击值，频谱图中存在较高峰值的齿轮啮合频率及二倍频，且其振动速度值高于一倍频，但边频很少且幅值较低，表明齿轮啮合频率的振动并不是由于齿轮本身缺陷造成；齿轮泵非驱动端轴承温度偏高。
图5频谱图
(4）诊断结论。由此可以判断，该齿轮泵齿轮啮合严重不良，主要原因是两齿轮轴平行度超差。
拆检后发现齿轮泵非驱动端的滑动轴承偏磨，造成两齿轮中心线不平行，导致齿轮啮合故障。更换轴瓦后，设备运行正常。
参考文献：
[1]沈庆根．化工机器故障诊断技术[M]．浙江大学出版社出版，1994.12.
齿轮故障诊断
第1章齿轮箱失效比重及失效形式 齿轮箱在机械设备中扮演着非常重要的角色，通常情况下，原动机输出的转矩和转速不能直接用于执行元件执行操作，需要进行转矩放大和降低转速，通常使用的传动设备有齿轮减速箱、带传动、链传动等，由于齿轮箱传动瞬时传动比恒定、传动效率高、工作可靠、使用寿命长、结构紧凑、适用范围从1W到数万KW等优点，所以齿轮箱传动是机械传动系统中运用最广泛的一种传动形式。 1.1 齿轮箱失效原因及比重 机械设备中的齿轮箱从装配投入使用开始，除了设备维护以外，齿轮箱都需要保持一个稳定的运行状态，长期的高负荷运转使齿轮箱的故障率非常大，在机械设备中，造成齿轮箱故障的原因及失效比重如下表所示： 由此可见，齿轮箱失效主要的原因是维护和操作不当，相邻的零件故障也会造成齿轮箱的故障，设计不合理也是严重影响齿轮箱使用的重要因素，为保障机械设备在运行中稳定可靠，除了合理设计齿轮箱外，正确选择相邻零件、合理操作维护是保障稳定运行的重要手段。当出现故障时，能够准确找出故障是对齿轮箱维护的重要前提，因此，掌握齿轮箱故障诊断技术非常重要。 1.2 齿轮箱失效零件及失效比重 在齿轮箱中，失效的主要零件及失效比重如下表所示：
由此可见，齿轮失效是造成齿轮箱失效的主要原因，由于制造误差、装配不当或在不适当的条件（如载荷、润滑等）下使用，齿轮常发生损伤，从而导致机械设备不能够用稳定运行，甚至发生生产安全事故。 1.3 齿轮的主要失效形式 齿轮的主要失效形式有四种：轮齿断裂、齿面磨损、齿面疲劳、齿面塑性变形。 1.31 轮齿折断 齿轮副在啮合传递运动时，主动轮的作用力和从动轮的反作用力都通过接触点分别作用在对方轮齿上，最危险的情况是接触点某一瞬间位于轮齿的齿顶部，此时轮齿如同一个悬臂梁，受载后齿根处产生的弯曲应力为最大，若因突然过载或冲击过载，很容易在齿根处产生过负荷断裂。即使不存在冲击过载的受力工况，当轮齿重复受载后，由于应力集中现象，也易产生疲劳裂纹，并逐步扩展，致使轮齿在齿根处产生疲劳断裂。 轮齿的断裂是齿轮的最严重的故障，常因此造成设备停机，在齿轮故障中，轮齿折断概率为41%。 1.32 齿面磨损 （1）粘着磨损在低速、重载、高温、齿面粗糙度差、供油不足或油粘度太低等情况下，油膜易被破坏而发生粘着磨损。润滑油的粘度高，有利于防止粘着磨损的发生。 （2）磨粒磨损与划痕含有杂质颗粒以及在开式齿轮传动中的外来砂粒或在摩擦过程中产生的金属磨屑，都可以产生磨粒磨损与划痕。 （3）腐蚀磨损由于润滑油中的一些化学物质如酸、碱或水等污染物与齿面发生化学反应造成金属的腐蚀而导致齿面损伤。 （4）烧伤烧伤是由于过载、超速或不充分的润滑引起的过分摩擦所产生的局部区域过热，这种温度升高足以引起变色和过时效，会使钢的几微米厚表面层重新淬火，出现白层。损伤的表面容易产生疲劳裂纹。 (5)齿面胶合大功率软齿面或高速重载的齿轮传动，当润滑条件不良时易产生齿面胶合（咬焊）破坏，即一齿面上的部分材料胶合到另一齿面上而在此齿面上
装备故障诊断方法
价值工程 0引言 随着武器装备复杂性不断增加，对武器装备维护和故 障诊断提出了更高的要求。近年来， 一些逐渐兴起的智能故障诊断方法，比传统方法能够更加快速，有效的诊断装备故障。 目前，人工智能技术的发展，特别是基于知识的专家系统技术在故障诊断中的应用，使得设备故障诊断技术进入了一个新的智能公发展阶段。传统的故障诊断专家系统虽然在某些领域取得了成功，但这种系统在实际应用中存在着一定的局限性，而人工神经网络技术为解决传统的专家系统中的知识获取，知识学习等问题提供了一条崭新的途径[1][2][3]。 1神经网络模型原理 人工神经网络简称神经网络（Neural Network ），具备并行性、 自学习、自组织性、容错性和联想记忆功能等信息处理特点而广泛用于故障诊断领域，它通过对故障实例及诊断经验的训练和学习，用分布在神经网络中的连接权值来表达所学习的故障诊断知识，具有对故障联想记忆、模糊匹配和相似归纳等能力。人工神经网络在故障诊断中的应用研究主要有三个方面：一是从预测角度应用神经网络作为动态预测模型进行故障预测；二是从模式识别角度应用神经网络作为分类器进行故障诊断；三是从知识处理角 度建立基于神经网络的专家系统[4][5] 。 1．1神经网络基本模型基于神经细胞的这种理论知识，在1943年McCulloch 和Pitts 提出的第一个人工神经元模型以来，人们相继提出了多种人工神经元模型，其中被人们广泛接受并普遍应用的是图1所示的模型[6]。 图1中的x 0，x 1，…，x n-1为实连续变量，是神经元的输入，θ称为阈值（也称为门限），w 0，w 1，…，w n-1是本神经元与上级神经元的连接权值。 神经元对输入信号的处理包括两个过程：第一个过程 是对输入信号求加权和，然后减去阈值变量θ， 得到神经元的净输入net ，即 net=n-1 i =0Σw i x i -θ 从上式可以看出，连接权大于0的输入对求和起着增强的作用，因而这种连接又称为兴奋连接，相反连接权小于0的连接称为抑制连接。 下一步是对净输入net 进行函数运算，得出神经元的输出y ，即y=f （net ） f 通常被称为变换函数（或特征函数），简单的变换函 数有线性函数、 阈值函数、Sigmiod 函数和双曲正切函数。根据本文的研究特点，变换函数f 取为Sigmoid 函数，即f （x ）=11+e （-x ） 1．2神经网络知识表示传统的知识表示都可以看作是知识的一种显示表示，而在ANN 中知识的表示可看作是一种隐式表示。在ANN 中知识并不像传统方法那样表示为一系列规则等形式，而是将某一问题的若干知识在同一网络中表示，表示为网络的权值分布。如下所示阈值型BP 网络表示了四条“异或”逻辑产生式规则[7]： IF x 1=0AND x 2=0THEN y=0IF x 1=0AND x 2=1THEN y=1IF x 1=1AND x 2=0THEN y=1IF x 1=1AND x 2=1THEN y=0基于这种网络知识表示结构，其BP 网络结构如图2所示。 网络通常由输入层、隐层和输出层组成。网络第一层为输入层，由信号源节点组成，传递信号到隐层；第二层为隐层，隐层节点的变换函数是中心点对称且衰减的非负线性函数；第三层为输出层，一般是简单的线性函数，对输入模式做出响应。理论上已证实，在网络隐 —————————————————————— —作者简介：李洪刚（1981-），男，河北石家庄人，硕士，控制工程专 业；郭日红（1982-），男，山西大同人，硕士，测试专业。 装备故障诊断方法研究 Analysis of Fault Diagnosis for Equipment Based on Neural Network System 李洪刚①②LI Hong-gang ；郭日红②GUO Ri-hong （①军械工程学院，石家庄050003；②中国人民解放军66440部队，石家庄050081） （①Ordnance Engineering College ，Shijiazhuang 050003，China ；②No.66440Unit of PLA ，Shijiazhuang 050081，China ） 摘要：分析了神经网络故障诊断的特点，构建了神经网络的装备故障诊断模型，克服了传统故障诊断的缺点，并用某型装备故障 的数据进行了验证，结果表明了神经网络诊断故障是一种有效的诊断方法。 Abstract:Characteristics of the neural network and expert system are analyzed.Fault diagnosis for equipment base on neural network is constructed.A weak of the traditional method of fault diagnose is overcome.And availability of the method based on neutral network system is verified by experimental results of one equipment fault. 关键词：神经网络；故障诊断；装备Key words:neural network ；fault diagnose ；equipment 中图分类号：E911文献标识码：A 文章编号：1006-4311（2012）32-0316-02 ·316·
(完整版)机械振动习题答案
机械振动测验 一、 填空题 1、 所谓振动，广义地讲，指一个物理量在它的①平均值附近不停地经过②极大 值和③极小值而往复变化。 2、 一般来说，任何具有④弹性和⑤惯性的力学系统均可能产生机械振动。 3、 XXXX 在机械振动中，把外界对振动系统的激励或作用，①激励或输入；而 系统对外界影响的反应，称为振动系统的⑦响应或输出。 4、 常见的振动问题可以分成下面几种基本课题：1、振动设计2、系统识别3、 环境预测 5、 按激励情况分类，振动分为：①自由振动和②强迫振动；按响应情况分类， 振动分为：③简谐振动、④周期振动和⑤瞬态振动。 6、 ①惯性元件、②弹性元件和③阻尼元件是离散振动系统三个最基本的元件。 7、 在系统振动过程中惯性元件储存和释放①动能，弹性元件储存和释放②势 能，阻尼元件③耗散振动能量。 8、 如果振动时系统的物理量随时间的变化为简谐函数，称此振动为①简谐振动。 9、 常用的度量振动幅值的参数有：1、峰值2、平均值3、均方值4、均方根值。 10、 系统的固有频率只与系统的①质量和②刚度有关，与系统受到的激励无 关。 二、 试证明：对数衰减率也可以用下式表示，式中n x 是经过n 个循环后的振幅。 1 ln n x x n δ=
三、 求图示振动系统的固有频率和振型。已知12m m m ==，123k k k k ===。
北京理工大学1996年研究生入学考试理论力学（含振动理论基础）试题 自己去查双（二）自由度振动 J，在平面上在弹簧k的限制下作纯滚动，如图所示，四、圆筒质量m。质量惯性矩 o 求其固有频率。
五、物块M质量为m1。滑轮A与滚子B的半径相等，可看作质量均为m2、半径均 为r的匀质圆盘。斜面和弹簧的轴线均与水平面夹角为β，弹簧的刚度系数为k。 又m1 g>m2 g sinβ , 滚子B作纯滚动。试用能量法求：（1）系统的微分方程；（2）系统的振动周期。
机械故障诊断案例分析
六、诊断实例 例1：圆筒瓦油膜振荡故障的诊断 某气体压缩机运行期间，状态一直不稳定，大部分时间振值较小，但蒸汽透平时常有短时强振发生，有时透平前后两端测点在一周内发生了20余次振动报警现象，时间长者达半小时，短者仅1min左右。图1-7是透平1＃轴承的频谱趋势，图1-8、图1-9分别是该测点振值较小时和强振时的时域波形和频谱图。经现场测试、数据分析，发现透平振动具有如下特点。 图1-7 1*轴承的测点频谱变化趋势 图1-8 测点振值较小时的波形与频谱
图1-9 测点强振时的波形和频谱 (1)正常时，机组各测点振动均以工频成分）幅值最大，同时存在着丰富的低次谐波成分，并有幅值较小但不稳定的（相当于×）成分存在，时域波形存在单边削顶现象，呈现动静件碰磨的特征。 (2)振动异常时，工频及其他低次谐波的幅值基本保持不变，但透平前后两端测点出现很大的×成分，其幅度大大超过了工频幅值，其能量占到通频能量的75%左右。 (3)分频成分随转速的改变而改变，与转速频率保持×左右的比例关系。 (4)将同一轴承两个方向的振动进行合成，得到提纯轴心轨迹。正常时，轴心轨迹稳定，强振时，轴心轨迹的重复性明显变差，说明机组在某些随机干扰因素的激励下，运行开始失稳。 (5)随着强振的发生，机组声响明显异常，有时油温也明显升高。 诊断意见：根据现场了解到，压缩机第一临界转速为3362r/min，透平的第一临界转速为8243r/min，根据上述振动特点，判断故障原因为油膜涡动。根据机组运行情况，建议降低负荷和转速，在加强监测的情况下，维持运行等待检修机会处理。 生产验证：机组一直平稳运行至当年大检修。检修中将轴瓦形式由原先的圆筒瓦更改为椭圆瓦后，以后运行一直正常。 例2：催化气压机油膜振荡 某压缩机组配置为汽轮机十齿轮箱＋压缩机，压缩机技术参数如下： 工作转速：7500r/min出口压力：轴功率：1700kW 进口流量：220m3 /min 进口压力：转子第一临界转速：2960r/min 1986年7月，气压机在运行过程中轴振动突然报警，Bently 7200系列指示仪表打满量程，轴振动值和轴承座振动值明显增大，为确保安全，决定停机检查。
大学 机械振动 课后习题和答案
试举出振动设计、系统识别和环境预测的实例。 如果把双轴汽车的质量分别离散到前、后轴上去，在考虑悬架质量和非悬架质量两个离散质量的情况下，画出前轴或后轴垂直振动的振动模型简图，并指出在这种化简情况下，汽车振动有几个自由度?
设有两个刚度分别为1k ，2k 的线性弹簧如图T —所示，试证明： 1)它们并联时的总刚度eq k 为：21k k k eq += 2)它们串联时的总刚度eq k 满足： 2 1111k k k eq += 解：1)对系统施加力P ，则两个弹簧的变形相同为x ，但受力不同，分别为： 1122P k x P k x =?? =? 由力的平衡有：1212()P P P k k x =+=+ 故等效刚度为：12eq P k k k x = =+ 2)对系统施加力P ，则两个弹簧的变形为： 11 22P x k P x k ?=??? ?=?? ，弹簧的总变形为：1212 11()x x x P k k =+=+ 故等效刚度为：122112 111 eq k k P k x k k k k ===++
求图所示扭转系统的总刚度。两个串联的轴的扭转刚度分别为1t k ，2t k 。 解：对系统施加扭矩T ，则两轴的转角为： 11 22t t T k T k θθ?=??? ?=?? 系统的总转角为： 1212 11 ( )t t T k k θθθ=+=+， 12111()eq t t k T k k θ==+ 故等效刚度为： 12 111 eq t t k k k =+
两只减振器的粘性阻尼系数分别为1c ，2c ，试计算总粘性阻尼系数eq c 1)在两只减振器并联时， 2)在两只减振器串联时。 解：1)对系统施加力P ，则两个减振器的速度同为x &，受力分别为： 1122 P c x P c x =?? =?&& 由力的平衡有：1212()P P P c c x =+=+& 故等效刚度为：12eq P c c c x = =+& 2)对系统施加力P ，则两个减振器的速度为： 11 22P x c P x c ? =????=?? &&，系统的总速度为：12 12 11()x x x P c c =+=+&&& 故等效刚度为：12 11 eq P c x c c = =+&
基于振动信号的齿轮故障诊断方法研究
本科生毕业设计（论文）任务书 设计（论文）题目：基于振动信号的齿轮故障诊断方法研究 学院：信息科学与技术学院专业：通信工程班级：通信0801 学生：XXX 指导教师（含职称）：XXX（副教授）专业负责人：XXX 1．设计（论文）的主要任务及目标 (1)查阅齿轮振动信号特征提取相关资料，写出文献综述，开题报告等。 (2)运用所掌握的振动信号提取方法，运用matlab仿真齿轮的原始故障信号。2．设计（论文）的基本要求和内容 (1)查阅资料，了解该领域的历史，现况，发展及问题，写出文献综述。 (2)掌握齿轮故障信号的小波分析，时频域分析，EMD分析，完成中期检查。 (3)运用matlab进行信号处理仿真，并写出毕业论文。 (4)在完成上述工作的基础上，准备毕业论文答辩。 摘要 随着科学技术的不断发展，机械设备向着高性能、高自动化、高效率和高可靠性的方向发展。齿轮箱因为具有传动比固定、传动转矩大、结构紧凑等优点，因此齿轮箱是用于改变转速和传递动力的最常用的传动部件，是机械设备的一个重要组成部分，也是最容易发生故障的一个部件。而在机械设备中，齿轮的使用频率很高，因此齿轮的故障诊断技术对机器的使用质量和使用寿命都起了非常重要的作用。本文从时域、频域，时频域和经验模式分解进行了齿轮故障诊断的方法研究。时域分析主要应用时域特征参数分析方法进行故障特征参数的提取，频域分析主要通过快速傅里叶变化，从频谱图上进行齿轮正常状态和故障状态振动信号的对比分析。时频域分析主要是通过一维三层离散小波变换，把原始信号细化为三层，每层又分为高频信号和低频信号。经验模式分解主要是在齿轮故障振动信号中的实际应用，对采集到齿轮四种状态下的振动信号通过EMD分解，提取了故障信号的特征信息，为识别故障类型提供了有效的分析手段。故障信息特征提取是齿轮故障诊断中最关键、最重要的问题之一，它直接关系到齿轮故障诊断的准确性和早期故障预报的可靠性。 关键词：齿轮；故障诊断；小波变换；经验模式分解
论述齿轮啮合频率产生的机理及齿轮故障诊断方法分析
一、论述齿轮啮合频率产生的机理及齿轮故障诊断方法 一、齿轮啮合频率的机理 由齿轮传动理论可知，渐开线齿廓齿轮在节点附近为单齿啮合，而在节线的两边为双齿啮合，啮合区的大小则由重叠系数ε决定。因此，每对轮齿在啮合过程中承受的载荷是变化的，从而引起齿轮的振动，另外，一对轮齿在啮合过程中两齿面的相对滑动速度和摩擦力均在节点处改变方向，引起齿轮的振动.这两者形成了啮合频率fz 及其谐波Nfz ，其计算式为: 60z nZ f = 式中 Z ——齿轮的齿数；n ——轴的转速，/min r 。 60z nZ Nf N =? 式中N —自然数，1，2，3，……。N=1称为基波，即啮合频率；N = 2，3，……时，称为二次，三次…谐波。 啮合频率fz 及其谐波Nfz 的频谱特点： ①初始状态，啮合颇率的幅值最高，各次谐波的幅值依次减小(图1的实线部分)； ②随着齿轮磨损的增加，渐开线齿廓逐渐受到破坏，使齿轮振动加剧，此时啮合频率及其各次谐波的幅值逐渐增大，而且各次谐波幅值的增加比啮合频率快得多(图中虚线所示)； ③磨损严重时，二次谐波幅值超过啮合频率幅值。 图1 啮合频率及其谐波 图2 严重磨损时的啮合频率及其二次谐波 由频谱图上啮合频率及其谐波幅值的增量可判断出齿轮的磨损程度。
啮合频率分析： （1）负载和啮合刚度的周期性变化 负载和啮合刚度的变化可用两点来说明：一是随着啮合点位置的变化，参加啮合的单一齿轮的刚度发生了变化，二是参加啮合的齿数在变化。如渐开线直齿轮，在节点附近是单齿啮合，在节线两侧某部位开始至齿顶、齿根区段为双齿啮合。显然，在双齿啮合时，整个齿轮的载荷由两个齿分担，故此时齿轮的啮合刚度就较大；同理单齿啮合时，载荷由一个齿承担，此时齿轮的啮合刚度较小。从一个轮齿开始进入啮合到下一个轮齿进入啮合，齿轮的负载和啮合刚度就变化一次，所以齿轮的负载和啮合刚度周期性变化的频率与齿轮旋转频率成整数倍关系。 （2）节线冲击的周期性变化 齿轮在啮合过程中，轮齿表面既有相对滚动，又有相对滑动。主动轮带动从动轮旋转时，主动轮上的啮合点从齿根移向齿顶，啮合半径逐渐增大，速度渐次增高；而从动轮上的啮合点是由齿顶移向齿根，啮合半径逐渐减小，速度渐次降低。两轮齿齿面在啮合点的速度差异就形成了主动轮和从动轮的相对滑动。在主动轮上，齿根和节点之间的啮合点速度低于从动轮上的啮合点速度，因此滑动方向向下；在节点处，因为两轮上的啮合点速度相等，相对滑动速度为零。因此，摩擦力在节点处改变了方向，形成节线冲击。由以上分析可知，从一个轮齿开始进入啮合到下一个轮齿进入啮合，发生两次节点冲击，所以节线冲击发生的频率与齿轮旋转频率成整数倍关系。 （3）齿轮运转时，其振动频谱上都含有啮合频率及其谐波分量。随着齿轮的磨损，频谱上的啮合频率及其各次谐波都会上升，即幅值增大。但值得注意的是，啮合频率高次谐波的幅值要比基波的幅值上升得快。啮合频率是齿轮振动中比较突出的成分，它既是齿轮齿廓磨损的一个灵敏指标，同时齿面上产生点蚀、剥落等损伤也会在啮合频率及各次谐波成分上表现出来。对于一对新齿轮来说，其频谱的整个振动能量水平较低，啮合频率的基波及其第二、三次谐波幅值依次减小。对于具有中等点蚀故障的齿轮，其频谱随着点蚀的增加，整个谱的水平都随之增加，且啮合频率高次谐波幅值将超过基波。另一个特点是啮合频率的二次谐波两边的边频带愈加丰富。当齿面出现重度点蚀时，谱噪声总量急剧上升，且啮合频率的谐频延伸到七次以上。啮合频率分析也有其不足之处，它毕竟是众多齿轮振动能量的平均值，因此在局部轮齿呈现损伤时，其幅值的增长就不那么明显，只有大多数轮齿受到磨损或出现点蚀、剥落等损坏时才有明显的增量。 当齿轮发生故障时，振动信号常会发生调制现象而产生调制波(调幅波和调频波)，其载
05 机械振动 作业及参考答案 2015
一. 选择题: 【 D 】1 （基础训练2） 一劲度系数为k 的轻弹簧截成三等份，取出其中的两根，将它们并联，下面挂一质量为m 的物体，如图13-15 所示。则振动系统的频率为 ： (A) m k 32π1． (B) m k 2π1 ． (C) m k 32π1． (D) m k 62π1． 提示：劲度系数为k 的轻弹簧截成三等份，每份的劲度系数为变为3k ，取出其中2份并联，系统的劲度系数为6k . 【 C 】 2 （基础训练4） 一质点作简谐振动，周期为T ．当它由平衡位置向x 轴正方向运动时，从二分之一最大位移处到最大位移处这段路程所需要的时间为 (A) T /12． (B) T /8． (C) T /6． (D) T /4． 提示：从从二分之一最大位移处到最大位移处这段路程在旋转矢量图上，矢量转过的角位移为1 3 π，对应的时间为T/6. [ B ] 3、（基础训练8） 图中所画的是两个简谐振动的振动曲线．若这两个简谐振动可叠加，则合成的余弦振动的初相为 (A) π2 3． (B) π． (C) π2 1． (D) 0． 提示：使用谐振动的矢量图示法，合振动的初始状态为初相位为π [ D ] 4、（自测提高4）质量为m 的物体，由劲度系数为k 1和k 2的两个轻质弹簧串联后连接到固定端，在光滑水平轨道上作微小振动，则振动频率为： (A) m k k v 212+=π． (B) m k k v 2 121 +=π ． (C) 212121k mk k k v +=π ． (D) ) (21 212 1k k m k k v +=π ． 提示：两根劲度系数分别为k1和k2的两个轻质弹簧串联后，可看成一根弹簧，其弹 A/ -图13-15
机械故障诊断之齿轮故障小议
机械故障诊断之齿轮故 障小议 集团企业公司编码：（LL3698-KKI1269-TM2483-LUI12689-ITT289-
机械故障诊断之齿轮故障小议随着时代的不断发展，机械已日益成为生产过程中不可或缺的一部分。而机械的高性能化、高自动化、高效率化是现代机械的一个重要发展方向。齿轮作为传动机械设备中至关重要的部件，它不仅关乎机械的正常运转，且对整个生产过程的进度与经济效益等产生巨大影响。而齿轮发生故障又是常出现的事件，因此，加大对齿轮出现故障的原因与解决方法的研究尤显必要。本文将针对此进行粗略探讨。 现代化的不断发展让机械设备也日益朝着大型化、复杂化方向发展，其设备的构造与操作原理也愈加复杂。齿轮是机械设备中用来传递动力的重要部件，而齿轮故障又时常发生，这无疑会对机械的整体运作产生不利影响。所以，有必要对齿轮故障进行分析，并能理论联系实际，通过实际案例来寻求解决方法，从而做到故障出现时能及时解决并予以防范。 机械设备中齿轮常见故障分析 齿轮在机械设备中有个重要作用，这就是它能传递运动，而且能控制运动方向，影响运动速度。而为更好地调控齿轮运转速度，就需要齿轮减速机装置的安装。我们知道，与齿轮减速机有关的几个主要频率为轴频、齿轮的啮合频率、轴承的内外圈、滚动体、保持架的频率，它们与
“谐频”、“边频”相结合，成为对齿轮减速机故障判定的依据。同时，与齿轮减速机有密切关系的是齿轮振动，且通过齿轮振动是判断齿轮故障的一个重要方式。因此，笔者将重点针对齿轮减速与齿轮振动的有关故障开展具体探讨。 2.1齿轮振动发生故障的一个重要原因是齿轮在生产与安装中存在失误。生产齿轮是齿轮得以发挥自身作用的首要条件，而生产制作中的微小误差就能导致齿轮的啮合精度降低，从而带来齿轮的振动和噪声增大，这些问题的出现无疑会提高齿轮的故障率[2]。因而，我们的相关机械使用单位应对齿轮的生产源与齿轮安装予以极大关注。 2.2齿轮振动出现故障的另一个原因是与齿轮的工作环境适宜度有关。因不同的工作环境在空气湿度、空气质量、温度等方面都存在差异。而齿轮作为现代化机械，其对工作环境有一定要求。因齿轮在啮合过程中，齿与齿连续冲击使齿轮产生受迫振动，如果此时其工作环境存在高湿度或其他不利影响，就会对齿轮的正常振动带来不利影响。为减少此种不必要的失误，我们的机械使用单位就应提前做好齿轮工作环境的净化工作。 2.3齿轮运行过程中存在因所使用到的润滑剂质量不达标而导致齿轮故障的现象。齿轮的运转少不了润滑剂的调节，有些单位为减少经济成本投入而使用不够清洁的润滑剂，或者使用的润滑剂不足，这些情况无疑会
BIT及故障诊断
ATE,BIT及故障诊断的关系 飞速发展的信息技术使装备故障诊断技术得到大幅度提升，已经从过去的各自为战的诊断技术和设备，发展成综合测试与诊断系统。特别是嵌入式诊断技术已经从过去的机内测试（BIT）和状态监控进一步向涵盖整个装备的预测与健康管理（PHM）技术方向发展，使装备自身可以具备预测和健康管理（PHM）能力，这在很大程度上为减少外部保障设备、缩小后勤保障规模创造了条件。 “自主式保障”（国外称“自主式后勤”）可以定义为，一种能自己管理其相关的军事器材、设施和人员的采购、维修和运输的军事实体或系统。它是指装备所具有的自动诊断其维修需求并将这些需求通知地面以便维修人员及时采取保障措施的能力。自主式保障（Autonomic Logistics，自主式后勤）是F-35联合攻击机（JSF）项目首先提出的一种创新性保障方案、旨在借助现代信息技术等高新技术，将保障要素综合起来形成一种无缝的后勤保障系统，使飞机能以最低的费用达到规定的战备完好性，从而实现其经济可承受的全球持续保障构想。自主式保障系统类似于人体的自主式神经系统，是一种主动自主反应的保障系统，其优势突出表现在以下几方面： 1、故障通报及时，提高了保障的针对性和保障效率、降低了保障的成本。自主式保障系统能将大多数关键故障在机上实时检测和隔离出来，而且能预测即将发生的故障和部件的剩余使用寿命，能自动进行备件的订购和跟踪，自行制定任务计划和航程计划，维修人员还可以提前演练技术等，保证了根据装备的实际需要实现“即时”保
障，大幅度降低保障成本。 2、故障诊断准确，自动化程度高。传统保障系统中的测试能力（如BIT、PMA和ATE）只能给出不太准确的故障指示，大部分的故障诊断分析工作还需要由维修人员来完成，常常导致不正确的维修活动。而自主式保障系统依靠PHM系统的综合报告自动作出决策，大部分诊断工作已自动完成，航线维修技师仅需完成最后的部件拆卸、更换等简单的维修工作，从而最大程度地减少了不正确的维修活动。 3、提高了后勤保障的快速反应能力和保障系统灵活性，更好地满足全球作战的需要。自主式保障与传统保障的显著区别是启动时机不同。传统保障系统要等到飞机着陆后，才开始启动，为下次任务订购所需的零备件、工具和设备，指派适当的维修人员进行维修和保养。而按照自主式保障方案，当飞机在空中飞行时，机上的PHM系统就可将检测到的飞机故障自动报告给地面的后勤保障系统，通知它准备好相应的备件、维修人员和保障设备等待飞机，在飞机着陆前就为下次任务做好准备。 4、技术的通用性好，可以在其他武器装备的保障系统中推广应用。自主式保障旨在开发一种一体化的后勤保障环境，该环境具有的特征及其所包含的技术对于各种武器装备具有广泛的适用性，可以在其他武器装备的保障系统中加以推广应用。
机械振动习题及答案
机械振动 一、选择题 1. 下列4种运动（忽略阻力）中哪一种是简谐运动 （ C ） ()A 小球在地面上作完全弹性的上下运动 ()B 细线悬挂一小球在竖直平面上做大角度的来回摆动 ()C 浮在水里的一均匀矩形木块，把它部分按入水中，然后松开，使木块上下浮动 ()D 浮在水里的一均匀球形木块，把它部分按入水中，然后松开，使木块上下浮动 解析：A 小球不是做往复运动，故A 不是简谐振动。B 做大角度的来回摆动显然错误。D 由于球形是非线性形体，故D 错误。 2．如图1所示，以向右为正方向，用向左的力压缩一弹簧，然后松手任其振动。若从松手时开始计时，则该弹簧振子的初相位应为 图 一 （ D ） ()0A ()2 πB
()2 π-C ()πD 解析： 3.一质量为m 的物体挂在劲度系数为k 的轻质弹簧下面，其振动周期为T 。若将此轻质弹簧分割成3等份，将一质量为2m 的物体挂在分割后的一根弹簧上，则此弹簧振子的周期为 （ B ） ()63T A ()36T B ()T C 2 ()T D 6 解析：有题可知：分割后的弹簧的劲度系数变为k 3，且分割后的物体质量变为m 2。故由公式k m T π2=，可得此弹簧振子的周期为3 6T 4．两相同的轻质弹簧各系一物体（质量分别为21,m m ）做简谐运动（振 幅分别为21,A A ）,问下列哪一种情况两振动周期不同 （ B ） ()21m m A =，21A A =,一个在光滑水平面上振动，另一个在竖直方向上 振动 ()B 212m m =，212A A =,两个都在光滑的水平面上作水平振动 ()C 21m m =，212A A =，两个都在光滑的水平面上作水平振动 ()D 21m m =，21A A =，一个在地球上作竖直振动，另一个在月球上作 竖直振动
齿轮故障诊断方法综述
齿轮故障诊断方法综述 摘要齿轮就是机械设备中常用得部件,而齿轮传动也就是机械传动中最常见得方式之一。在许多情况下,齿轮故障又就是导致设备失效得主要原因。因此对齿轮进行故障诊断具有非常重要得意义。介绍了故障得特点与几种诊断方法,并比较了基于粒子群优化得小波神经网络,基于相关分析与小波变换,基于小波包与BP神经网络与基于小波分析等故障诊断方法得优缺点,并提出了齿轮故障诊断得难点与发展方向。 关键字齿轮故障诊断诊断方法分析比较发展
目录 第一章齿轮故障诊断发展及故障特点 (1) 1、1 齿轮故障诊断得发展 (1) 1、 2齿轮故障形式与震动特征 (1) 第二章齿轮传动故障诊断得方法 (2) 2、 1高阶谱分析 (2) 2、1、1参数化双谱估计得原理 (3) 2、1、2试验装置与信号获取 (3) 2、1、3 故障诊断 (4) 2、1、4 应用双谱分析识别齿轮故障 (4) 2、2基于边频分析得齿轮故障诊断 (6) 2、2、1分析原理 (6) 2、2、2铣床振动测试 (6) 2、2、3 边频带分析 (7) 2、2、4 故障诊断 (8) 2、 3时域分析 (10) 2、3、1 时域指标 (10) 2、3、2非线性时间分析 (10)
第一章齿轮故障诊断发展及故障特点 1、1 齿轮故障诊断得发展 齿轮故障诊断始于七十年代初,早期得齿轮故障诊断仅限于在旋转式机械上测量一些简单得振动参数,用一些简单得方法进行诊断。这些简单得参数与诊断方法对齿轮故障诊断反应灵敏度较低,根本无法准确判断发生故障得部位。七十年代末到八十年代中期,旋转式机械中齿轮故障诊断得频域法发展很快,其中R、B、Randall与James1、Taylor等人做好了许多有益得工作,积累了不少故障诊断得成功实例,出现了一些较好得频域分析方法,对齿轮磨损与齿根断裂等故障诊断较为成功。进入九十年代以后,神经网络、模糊推理与网络技术得发展与融合使得齿轮系统故障诊断进入了蓬勃发展得时期。 我国学者在齿轮故障诊断研究方面也做了大量工作。1986年,屈梁生、何正嘉在《机械故障诊断学》中分析了齿轮故障得时频域特点。1988年,颜玉玲、赵淳生对滚动轴承得振动监测及故障诊断进行了分析。1997年,郑州工业大学韩捷等在“齿轮故障得振动频谱机理研究”中对齿轮得故障机理做了探讨。西安交通大学张西宁等在“齿轮状态监测与识别方法得研究”中提出了一种新方法即基于一致度分析。 1、 2齿轮故障形式与震动特征 通常齿轮在运转时,由于制造不良或操作维护不善会产生各种形式得故障。故障形式又随齿轮材料、热处理、运转状态等因素得不同而不同,常见得齿轮故障形式有齿面磨损、齿面胶合与擦伤、齿面接触疲劳与弯曲疲劳与断齿。 在齿轮运转状态下,伴随着内部故障得发生与发展,必然会产生振动上得异常。实践证明,振动分析就是齿轮故障检测中最有效得方法。若齿轮副主轮转速为n1,齿数为z1,频率为f1;从轮转速为n2,齿数为z2,频率为f2,则齿轮啮合频率fC 为:fC=Nf1z1=Nf2z2=Nn160z1=Nn260z2(1) 式中:N=1, 2, 3,…。齿轮处于正常或异常状态下,啮合频率振动成分及其倍频总就是存在得,但两种状态下得振动水平有差异。如果仅仅依靠对齿轮振动信号得啮合频率及其倍频成分得差异来识别齿轮得故障就是不够得,因故障对振动
齿轮故障诊断方法综述
齿轮故障诊断方法综述 摘要齿轮是机械设备中常用的部件,而齿轮传动也是机械传动中最常见的方式之一。在许多情况下,齿轮故障又是导致设备失效的主要原因。因此对齿轮进行故障诊断具有非常重要的意义。介绍了故障的特点和几种诊断方法，并比较了基于粒子群优化的小波神经网络,基于相关分析与小波变换,基于小波包和BP神经网络和基于小波分析等故障诊断方法的优缺点，并提出了齿轮故障诊断的难点和发展方向。 关键字齿轮故障诊断诊断方法分析比较发展
目录 第一章齿轮故障诊断发展及故障特点..................... 错误!未定义书签。齿轮故障诊断的发展................................... 错误!未定义书签。 1. 2齿轮故障形式与震动特征 ........................... 错误!未定义书签。第二章齿轮传动故障诊断的方法......................... 错误!未定义书签。 2. 1高阶谱分析........................................ 错误!未定义书签。 参数化双谱估计的原理 .............................. 错误!未定义书签。 试验装置与信号获取 ................................ 错误!未定义书签。 故障诊断 ......................................... 错误!未定义书签。 应用双谱分析识别齿轮故障 ........................ 错误!未定义书签。基于边频分析的齿轮故障诊断............................ 错误!未定义书签。 分析原理 .......................................... 错误!未定义书签。 铣床振动测试 ...................................... 错误!未定义书签。 边频带分析 ...................................... 错误!未定义书签。 故障诊断 ........................................ 错误!未定义书签。 2. 3时域分析.......................................... 错误!未定义书签。
机械故障诊断之齿轮故障分析
机械故障诊断—齿轮故障诊断及分析 [摘要]本文介绍了齿轮的几种典型故障的特征及诊断方法。在齿轮故障诊断过程中，应用振动诊断方法可以解决齿轮的绝大部分问题。 引言 随着科学技术的不断进步，机械设备向着高性能、高效率、高柔性化和高可靠性的方向发展。齿轮由于具有传动比固定、传动转矩大、结构紧凑等优点，是改变转速和传递动力的最常用的传动部件，是传动机械设备的一个重要组成部分，也是易于故障发生的一个部件，其运行状态对整机的工作性能会有很大的影响。 在机械设备运转过程中，齿轮传动系统通过主、从动齿轮的相互啮合传递运动和能量，这个过程将产生一定形式的机械振动。而诸如磨损、点蚀、制造误差、装配误差等齿轮和齿轮传动系统的各种缺陷和故障必然引起机械振动状态发生变化。因此，在齿轮传动系统的所测振动信号中，包含有它的健康状态信息或故障与无故障信息，我们通过监测和分析振动信号自然就可以诊断齿轮和齿轮传动系统的故障。 一、关于齿轮工作过程中引起振动的振源 在齿轮的传动啮合过程中，影响齿轮产生振动的原因很多，有大周期的误差也有小周期的误差。产生大周期振动的因素主要是齿轮加工过程中的运动偏心和几何偏心以及安装中的对中不良；产生小周期振动的因素主要有齿轮加工中的主轴回转误差，啮合刚度的变化，齿轮啮入、啮出冲击，以及在运行过程中产生的断齿、齿根疲劳裂纹、齿面磨损、点蚀剥落、严重胶合等等。其中啮合刚度的周期性变化是齿轮系统振动的重要激振源之一。它的周期性变化主要由以下两个原因所致：一是随着啮合点位臵的变化，参加啮合的单一齿轮的刚度发生了变化；二是参加啮合的齿数在变化。 如图1所示，在啮合开始时(A点)，主动轮齿1在齿根处啮合，弹性变形较小；被动齿轮2在齿顶处啮合，弹性变形大，而在啮合终止时(D点)，情况则相 反。设齿副I的啮合刚度为k 1，齿副П的啮合刚度为k 2 ，则总的啮合刚度为k=k 1 +k 2 。 由图1可以看出总的啮合刚度随着从单啮合区到双啮合区而作周期性的变化。 图1 直齿轮啮合刚度变化图
武器系统分析作业
武器系统分析与设计 结课论文 学院：机电学院 专业：兵器科学与技术 年级：硕士一年级 姓名： 学号：
武器系统分析作业 课程总结 通过对《武器系统分析与设计》这门课的学习，使我对武器系统从规划阶段、方案阶段、研制阶段、生产阶段、安装阶段、运行阶段及更新阶段有了更进一步的认识，在对某一新型武器装备系统概念分析时，主要应包括以下几步：第一步：分析系统的任务剖片；第二步:确定系统的任务剖面：第三步：描述系统的特征：第四步：建立系统的概念模型。通过以上对任务剖面的分析后，将进行系统的功能分析，系统功能分析是武器装备发展型号论证过程中的重要一步，它将规定武器装备型号系统的功能基线及使用要求，是武器装备概念研究中进行系统生成不可缺少的一环。它主要的目的是根据该武器装备系统的作战使命和总体功能的要求进一步做功能上的分解，直至明确型号系统的各个功能单元以及它们之间的相互关系，以确保型号系统及其各构成要素的基本使用功能和与基本使用功能相对应的性能要求，为该型号系统的结构分析和作战使用性能指标体系分析等提供依据。接着通过对系统的结构进行分析来了解各组件之间的逻辑关系及结构层次，为研究系统的结构提供依据，简化后期通过如故障诊断、可靠性分析对系统结构进行优化与维修。之后，在系统功能及结构初步确定之后的论证环节后得出系统评价体系的系统的性能及指标，我们通过分析性能后将性能进一步转化为系统的战术技术要求，指标体系分析是在系统性能分析的基础上，通过分析、综合和权衡确定性能的指标体系和性能度量参数，通过这些性能和指标，对系统的分析与合理性评估提供了依据。最后分析系统的效能和费用，一个武器系统的效能决定这个武器能否在规定时间、特定条件下完成一定任务，因此我们必须在开始时就对武器系统的效能有一个很准确和系统的评价与测定，通常可以通过以下几步来确定、分析系统效能：第一步：确定系统效能参数；第二步：分析系统可用性；第三步：分析系统可靠性；第四步：分析系统的能力；第五步：评估系统效能。通过以上几步可以对系统的效能有一个大致的分析，了解。但是对一个系统来说，光有好的效能及可靠性等也不一定完美，如果它的研发、生产及维修费高的惊人，那么它也将难以投入使用，所以对武器的效费比分析也将变得特别重要，通常我们会通过以下五步来分析：第一步：确定系统寿命周期费用的构成；第二步：建
机械振动学习题解答大全
机械振动习题解答（四）·连续系统的振动 连续系统振动的公式小结： 1 自由振动分析 杆的拉压、轴的扭转、弦的弯曲振动微分方程 22 222y y c t x ??=?? (1) 此式为一维波动方程。式中，对杆，y 为轴向变形，c =；对轴，y 为扭转 角，c ；对弦，y 为弯曲挠度，c 令(,)()i t y x t Y x e ω=，Y (x )为振型函数，代入式(1)得 20, /Y k Y k c ω''+== (2) 式(2)的解为 12()cos sin Y x C kx C kx =+ (3) 将式(3)代入边界条件，可得频率方程，并由此求出各阶固有频率ωn ，及对应 的振型函数Y n (x )。可能的边界条件有 /00, 0/0p EA y x Y Y GI y x ??=??? ?'=?=????=???? 对杆，轴向力固定端自由端对轴，扭矩 (4) 类似地，梁的弯曲振动微分方程 24240y y A EI t x ρ??+=?? (5) 振型函数满足 (4)4420, A Y k Y k EI ρω-== (6) 式(6)的解为 1234()cos sin cosh sinh Y x C kx C kx C kx C kx =+++ (7) 梁的弯曲挠度y (x , t )，转角/y x θ=??，弯矩22/M EI y x =??，剪力 33//Q M x EI y x =??=??。所以梁的可能的边界条件有 000Y Y Y Y Y Y ''''''''======固定端，简支端，自由端 (8) 2 受迫振动 杆、轴、弦的受迫振动微分方程分别为 222222222222(,) (,), (,) p p u u A EA f x t t x J GI f x t J I t x y y T f x t t x ρθθ ρρ??=+????=+=????=+??杆：轴：弦： (9) 下面以弦为例。令1 (,)()()n n n y x t Y x t ?∞==∑，其中振型函数Y n (x )满足式(2)和式(3)。代入式(9)得 1 1 (,)n n n n n n Y T Y f x t ρ??∞ ∞ ==''-=∑∑ (10) 考虑到式(2)，式(10)可改写为 21 1 (,)n n n n n n n Y T k Y f x t ρ??∞ ∞ ==+=∑∑ (11) 对式(11)两边乘以Y m ，再对x 沿长度积分，并利用振型函数的正交性，得 2220 (,)l l l n n n n n n Y dx Tk Y dx Y f x t dx ρ??+=???
机械振动总结复习习题及解答
欢迎阅读 1、某测量低频振动用的测振仪（倒置摆）如下图所示。试根据能量原理推导系统静平衡稳定条件。若已知整个系统的转动惯量23010725.1m kg I ??=-，弹簧刚度m N k /5.24=，小球质量 kg m 0856.0=，直角折杆的一边cm l 4=。另一边cm b 5=。试求固有频率。 k b l θθ I 0m 解：弹性势能 2 )(2 1θb k U k =, 重力势能 )cos (θl l mg U g --= 总势能 m g l m g l kb U U U g k -+=+=θθcos 2 122 代入0==i x x dx dU 可得 可求得0=θ满足上式。 再根据公式02 2>=i x x dx U d 判别0=θ位置是否稳定及其条件： 即满足mgl kb >2条件时，振动系统方可在0=θ位置附近作微幅振动。 系统的动能为 22 10θ?=I T 代入0)(=+dt U T d 可得
由0=θ为稳定位置，则在微振动时0sin ≈θ，可得线性振动方程为： 固有频率 代入已知数据，可得 2、用能量法解此题：一个质量为均匀半圆柱体在水平面上做无滑动的往复滚动，如上图所示，设圆柱体半径为R ，重心在c 点,oc=r,，物体对重心的回转体半径为L ，试导出运动微分方程。 解：如图所示，在任意角度θ（t ）时，重心c 的升高量为 ?=r （1－cos θ）=2rsin 22θ 取重心c 的最低位置为势能零点，并进行线性化处理，则柱体势能为 V=mg ?=2mg r sin 22θ ≈ 21mgr 2θ （a ） I b =I c +m bc 2=m(L 2+bc 2) （b ） bc 2=r 2+R 2-2rRcos θ(t) （c ） 而柱体的动能为 T=21 I b ? θ2 把（b ）式，（c ）式两式代入，并线性化有 T=21 m[L 2＋（R －r ）2]? θ2 （d ） 根据能量守恒定理，有 21 m[L 2＋（R －r ）2]? θ2＋21mgr 2θ=E=const 对上式求导并化简，得运动微分方程为 [L 2＋（R －r ）2]? ?θ＋gr θ=0 （e ） 3、一质量为m 、转动惯量为I 的圆柱体作自由纯滚动，圆心受到一弹簧k 约束，如图所示，求系统的固有频率。 解：取圆柱体的转角θ为坐标，逆时针为正，静平衡位置时0θ=，则当m 有θ转角时，系统有： 由()0T d E U +=可知： 解得 22/()n kr I mr ω=+（rad/s ） 4、图中，半径为r 的圆柱在半径为R 的槽内作无滑滚动，试写出系统作微小振动时的微分方程 解 1）建立广义坐标。设槽圆心O 与圆柱轴线O 1的连线偏离平衡位置的转角为广义坐标，逆时针方向为正。