高中数学讲义微专题57 放缩法证明数列不等式

微专题57 放缩法证明数列不等式

一、基础知识：

在前面的章节中，也介绍了有关数列不等式的内容，在有些数列的题目中，要根据不等式的性质通过放缩，将问题化归为我们熟悉的内容进行求解。本节通过一些例子来介绍利用放缩法证明不等式的技巧

1、放缩法证明数列不等式的理论依据——不等式的性质：

（1）传递性：若,a b b c >>，则a c >（此性质为放缩法的基础，即若要证明a c >，但无法直接证明，则可寻找一个中间量b ，使得a b >，从而将问题转化为只需证明b c >即可 ） （2）若,a b c d >>，则a c b d +>+，此性质可推广到多项求和：

若()()()121,2,,n a f a f a f n >>>L ，则:()()()1212n a a a f f f n +++>+++L L （3）若需要用到乘法，则对应性质为：若0,0a b c d >>>>，则ac bd >，此性质也可推广到多项连乘，但要求涉及的不等式两侧均为正数 注：这两条性质均要注意条件与结论的不等号方向均相同 2、放缩的技巧与方法：

（1）常见的数列求和方法和通项公式特点： ① 等差数列求和公式：12

n

n a a S n +=?，n a kn m =+（关于n 的一次函数或常值函数） ② 等比数列求和公式：()()1111

n n a q S q q -=

≠-，n n a k q =?（关于n 的指数类函数）

③ 错位相减：通项公式为“等差?等比”的形式

④ 裂项相消：通项公式可拆成两个相邻项的差，且原数列的每一项裂项之后正负能够相消，进而在求和后式子中仅剩有限项 （2）与求和相关的不等式的放缩技巧：

① 在数列中，“求和看通项”，所以在放缩的过程中通常从数列的通项公式入手

② 在放缩时要看好所证不等式中不等号的方向，这将决定对通项公式是放大还是缩小（应与所证的不等号同方向）

③ 在放缩时，对通项公式的变形要向可求和数列的通项公式靠拢，常见的是向等比数列与可裂项相消的数列进行靠拢。

④ 若放缩后求和发现放“过”了，即与所证矛盾，通常有两条道路选择：第一个方法是微调：看能否让数列中的一些项不动，其余项放缩。从而减小放缩的程度，使之符合所证不等式；

第二个方法就是推翻了原有放缩，重新进行设计，选择放缩程度更小的方式再进行尝试。 （3）放缩构造裂项相消数列与等比数列的技巧：

① 裂项相消：在放缩时，所构造的通项公式要具备“依项同构”的特点，即作差的两项可视为同一数列的相邻两项（或等距离间隔项）

② 等比数列：所面对的问题通常为“n S <常数”的形式，所构造的等比数列的公比也要满足()0,1q ∈ ，如果题目条件无法体现出放缩的目标，则可从所证不等式的常数入手，，常数可视为

1

1a q

-的形式，然后猜想构造出等比数列的首项与公比，进而得出等比数列的通项公式，再与原通项公式进行比较，看不等号的方向是否符合条件即可。例如常数12

2=1

314

-，即可猜

想该等比数列的首项为12，公比为14，即通项公式为124n

??

? ???

。

注：此方法会存在风险，所猜出的等比数列未必能达到放缩效果，所以是否选择利用等比数列进行放缩，受数列通项公式的结构影响 （4）与数列中的项相关的不等式问题：

① 此类问题往往从递推公式入手，若需要放缩也是考虑对递推公式进行变形

② 在有些关于项的不等式证明中，可向求和问题进行划归，即将递推公式放缩变形成为可“累加”或“累乘”的形式，即()1n n a a f n +-<或

()1

n n

a f n a +<（累乘时要求不等式两侧均为正数），然后通过“累加”或“累乘”达到一侧为n a ，另一侧为求和的结果，进而完成证明 3、常见的放缩变形： （1）

()()211111n n n n n <<+-，其中2,n n N ≥∈：可称21

n

为“进可攻，退可守”，可依照

所证不等式不等号的方向进行选择。 注：对于

2

1

n ，可联想到平方差公式，从而在分母添加一个常数，即可放缩为符合裂项相消特征的数列，例如：

()()22111111111211n n n n n n ??<==- ?--+-+??

，这种放缩的尺度要小于（1）中的式子。此外还可以构造放缩程度更小的，如：

()()22211411111412121221214

n n n n n n n ??<==- ?--+-+??

- （2

=

，从而有：

2

2

-=

<

<<

2,n n N *<≥∈ （3）分子分母同加常数：

()()0,0,0,0b b m b b m b a m a b m a a m a a m

++>>>>>>>>++ 此结论容易记混，通常在解题时，这种方法作为一种思考的方向，到了具体问题时不妨先构造出形式再验证不等关系。 （4）

()

()()()()()()

1

2

1

222221212122212121n

n n n n n n n n n n --=<=------- ()111

2,21

21

n n

n n N *-=-

≥∈-- 可推广为：

()

()()()()()()

1

2

1

111111n

n n n n n n n n n n k k k k k k k k k k k k --=<=------- ()111

2,2,,1

1

n n

n k k n N k k *-=-

≥≥∈-- 二、典型例题：

例1：已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若()14211n n S n a +=-+，且11a = （1）求证：数列{}n a 是等差数列，并求出{}n a 的通项公式 （2

）设n b =

，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：32

n T <

解：（1）()14211n n S n a +=-+ ()()142312n n S n a n -∴=-+≥

()()142123n n n a n a n a +∴=--- ()2n ≥

即()()1121

212121

n n n n a n n a n a a n ++++=-?

=- 1312221235

,,,23253

n n n n a n a n a a n a n a -----∴

===--L 131222123523253n n n n a a a n n a a a n n -----∴

???=???--L L 即()221

23

n a n n a -=≥ 221

3

n n a a -∴=

，由()14211n n S n a +=-+令1n =可得： 122413S a a =+?=

()212n a n n ∴=-≥ ，验证11a =符合上式

21n a n ∴=- 2n S n =

（2） 由（1）得：

()

1

21n b n n =

=

- 11b =

可知当2n ≥时，()()()11111121222121n b n n n n n n n n ??

=

<==- ?----??

12111111

1122231n n T b b b b n n ????????∴=+++<+-+-++- ? ? ???-????????

L L

113

1122

n ??=+-< ??? 不等式得证

例2：设数列{}n a 满足：111,3,n n a a a n N *

+==∈，设n S 为数列{}n b 的前n 项和，已知10b ≠，

112,n n b b S S n N *-=?∈

（1）求数列{}{},n n a b 的通项公式 （2）求证：对任意的n N *

∈且2n ≥，有

22331113

2

n n a b a b a b +++<---L

解：（1）13n n a a +=Q {}n a ∴为公比是3的等比数列

11133n n n a a --∴=?=

在{}n b 中，令1n =，1111121b b S S b -=??=

21n n b S ∴-=

1121n n b S ---= ()112222n n n n n b b b n b b --∴-=≥?=

{}n b ∴是公比为2的等比数列

11122n n n b b --∴=?=

（2）证明：

112

111

323n n n n n a b ---=<--

2233111

n n

a b a b a b +++---L

11

21113113131113323213

n n n ---??

???-?? ???????????<+++==-

2,n n n

a S n N a *+

=∈ （1）求证：数列{}

2

n S 是等差数列

（2）记数列3

121112,n n n n b S T b b b ==

+++L

，证明：312n T <≤- 解：（1）()11

11

222n n n n n n n n a S S S S n a S S --+

=?-+=≥- 11

1n n n n S S S S --∴

=+- 22

11n n S S -∴-=

{}2

n S ∴为等差数列

（2）思路：先利用（1）可求出n S

的公式进而求出2n b =

，则1n b =，考虑进行放缩求和，结合不等号的方向向裂项相消的形式进行放缩。 解：令1n =代入1

2n n n

a S a +

=可得：

1111

1

21a a a a +

=?=即11S = 由{}

2

n S 为等差数列可得：()2211n S S n n =+-=

n S ∴=

2n b ∴=

1n b ∴

=

考虑先证32n T <

)12n n b =<=

<=≥

2n ∴≥

时

11131122n T b ?<

++++=+-= ?L 1n =时，113

122

T =

=-

32n T ∴≤

再证1n T >

1n b =>=

>=

11n T ?

∴>+++= ?L

综上所述：312n T <≤-

小炼有话说：本题在证明中用到一个常见的根式放缩：

=

<<=例4：已知数列{}n a 满足2

1112,21,n n a a a n N n ++??

==+∈ ???

（1）求证：数列2n a n ??

?

???

是等比数列，并求出数列{}n a 的通项公式 （2）设n n n c a =

，求证：121724

n c c c +++

2

1211212n n n

n a a a n n ++??

=+=? ???

()

1

2

2

21n n a a n n +∴

=?

+ 2n a n ??

∴????

是公比为2的等比数列 1

122221n n n a a n -??∴

=?= ???

22n n a n ∴=?

（2）思路：1

2n n

n n c a n =

=?，无法直接求和，所以考虑放缩成为可求和的通项公式（不等号：<），若要放缩为裂项相消的形式，那么需要构造出“顺序同构”的特点。观察分母中有n ，

故分子分母通乘以()1n -，再进行放缩调整为裂项相消形式。 解：()11

212

n n n n n n c a n n n -=

==?- 而

()()()()121111

12

21212n n n n

n n n n n n n n n ---+-==-?-- 所以()()()()11111

2121212

2n n n n n n n c n n n n n n n --+=

<=-≥---? ()121233445111111132424252122n n n c c c c c c n n -??

+++<+++-+-++- ? ?????-???

L L

1111117117

282424224224

n n n n =

+++-=- 0n c >Q 1121231617

2424

c c c c c c ∴<+<++=<

小炼有话说：（1）本题先确定放缩的类型，向裂项相消放缩，从而按“依序同构”的目标进行构造，在构造的过程中注意不等号的方向要与所证一致。

（2）在求和过程中需要若干项不动，其余进行放缩，从而对求和的项数会有所要求（比如本

题中3n >才会有放缩的情况），对于较少项数要进行验证。

例：已知数列{}n a 的前n 项和()31,n n S na n n n N *=--∈，且317a = （1）求1a

（2）求数列{}n a 的前n 项和n S

（3）设数列{}n b 的前n 项和n T

，且满足n b =

n T <解：（1）在()31,n n S na n n n N *=--∈中，令2,3n n ==可得：

1222112

3312266

31816a a a a a a a a a a a +=--=????

?++=-+=?? 125,11a a ∴==

（2）()31n n S na n n =-- ①

()()()111312n n S n a n n --=---- ②

① - ②可得：

()()()()()111611161n n n n n a na n a n n a n a n --=----?-=-+- ()2n ≥

16n n a a -∴=+

{}n a ∴是公差为6的等差数列 ()16161n a a n n ∴=+-=-

()()()231613132n n S na n n n n n n n n ∴=--=---=+

（3）由（2

）可得：n b =

=

3

2

n b ∴=

=<=

1223n n T b b b ?

?∴=+++<

++-??L

23=<

例6：已知数列{}n a 满足()()1111,2,412

n n n n a a a n n N a --=

=≥∈-- （1）试判断数列()11n n a ??

+-?

???

是否为等比数列，并说明理由 （2）设()21sin

2n n n b a π

-=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：对任意的4

,7

n n N T *

∈<

解：（1）()()()11

1111212112n

n n n n n

n

n n n a a a a a a a -------=?==---- ()()()()()1

111212121121n n n n n n n n a a a a ---??∴+-=?--?∴+-=-?-+???? ()11n n a ??

∴+-????

为公比是2-的等比数列 （2）思路：首先由（1）可求出{}n a 的通项公式()

()

1

1

321n n n

a -∴=

?---，对于()21sin

2

n π

-可发现n 为奇数时，()21sin

12n π

-=，n 为偶数时，()21sin

12

n π

-=-，结合{}n a 通项公

式可将其写成()()

1

21sin

12

n n π

--=-，从而求出1

132

1

n n c -=

?+，无法直接求和，所以考虑

对通项公式进行放缩，可联想到等比数列，进而11

11

321

32n n n c --=

<

?+?，求和后与所证不

等式右端常数比较后再进行调整（需前两项不动）即可。 解：

()1

1

113a +-=，由（1）可得： ()()()()111

11111232n n n n a a --??+-=+-?-=?-????

()

()

1

1

321n n n

a -∴=

?---

而()()

1

21sin

12

n n π

--=- ()()

()()

1

112111sin

2

321

321n n n n n

n n b a π

-----∴=?==

?+?---

11

11

321

32

n n n b --∴=

<

?+?

当3n ≥时，()1212231

111

323232n n n T b b b b b -=+++<++

+++

???L L 2

11112211111474147476847

12

n -????-?? ???????=++

<++=<-

因为{}n b 为正项数列 123n T T T T ∴<<<

4,7

n n N T *∴?∈<

例7：已知数列{}n a 满足：13

2

a =，且()1132,21n n n na a n n N a n *--=≥∈+- （1）求数列{}n a 的通项公式

（2）证明：对于一切正整数n ，均有122!n a a a n ???

1321

n n n na a a n --=

+-

11111

21211213333n n n n n n n n a n a n n n n a na a a a a -----+-+--∴

=?=?=+ 设n n n b a =

即121

33

n n b b -=+ ()11113n n b b -∴-=

- {}1n b ∴-为公比是1

3

的等比数列 ()1

11113n n b b -??

∴-=- ?

??

而11123

b a =

= 113n

n b ??

∴=- ???

331n n n

n n n a b ?∴==- （2）思路：所证不等式可化简为：121

23332313131

n

n ???<---L ，由于是连乘形式，所以考虑放缩为分子分母可相消的特点，观察分母的形式为(

)

31n

-，所以结合不等号方向，将分子向

该形式转化：()

133231

3133331n n n n n n ---<<---()2n ≥，再根据右边的值对左边放缩的程度进行调整即可。

证明：所证不等式为：121

2333!2!313131n

n n n ????

23332313131

n

n ???<---L 设331n n n c =- ()

()133231

23133331n n n n n n n c n ---∴=<<≥---

()()()341212231313131

331331331n n n c c c c c ----∴???

---L L ()22

3931393243

2328832883128

n n n n n ---=??

2,222816

c c c =

小炼有话说：（1）对于一侧是连乘形式的表达式，在放缩时可考虑通过分子分母相消达到化简式子的目的。与裂项相消相似按照“依序同构”的原则构造。

（2）本题中用到了分式放缩的常用方法：通过分子分母加上相同的数达到放缩目的，但要注意不等号的方向（建议验证），常用的放缩公式为：0,0b b c

a b c a a c

+>>>?

<

+（分子小与分母），0,0a a c

a b c b b c +>>>?

>

+（分子大于分母） 例8：已知函数()()2ln ,10b

f x ax x f x

=--=

（1）若函数()f x 在1x =处切线斜率为0，'

211

11n n a f n a n +?

?=-+

?-+??

，已知14a =，

求证：22n a n ≥+

（2）在（1）的条件下，求证：

121112

1115

n a a a +++<+++L 解：（1）()'

22b f

x a x x

=+

- ()()

'10

0120110f a b a a b b f =?-==???∴?????+-===????

()()2

2111211n n n a a n a n n +∴=+-+--+-+

整理后可得：()2

211n n a a n n +=--+

2

121n n n a a na +∴=-+

下面用数学归纳法证明：22n a n ≥+ 当1n =时，1422a n =≥+成立 假设()

n k k N *=∈成立，则1n k =+时

()121k k k a a a k +=-+ 22k a k ≥+Q ()()1222145212k a k k k +∴≥+?+=+>++ 1n k ∴=+时，不等式成立

,22n n N a n *∴?∈≥+

（2）()2

12121n n n n n a a na a a n +=-+=-+Q

由（1）可知22n a n ≥+ 121n n a a +∴≥+

()111111211

21

n n n n a a a a ++∴+≥+?

≤

?++ 211211111111

1212121

n n n n a a a a ---∴

≤?≤?≤≤?---+L 1211111111111122n n a a a a ????∴+++<+++?? ?++++??????

L L 1112121211152512

n n

a ??

??-?? ???????????=?<-

例9：已知数列{}n a 的各项均为正值，对n N *

?∈，()()2

12141,log 1n n n n n a a a b a +-=+=+，

且11a =

（1）求数列,n n a b 的通项公式

（2）当7k >且k N *

∈时，证明对n N *

?∈，都有

12111113

2

n n n nk b b b b ++-++++>L 成立 解：（1）()2

1141n n n a a a +-=+

()2

2221144121n n n n n a a a a a ++∴=++?=+ 由0n a >可得：

121n n a a +∴=+

()1121n n a a +∴+=+

{}1n a ∴+为公比是2的等比数列 ()111122n n n a a -∴+=+?=

21n n a ∴=- n b n =

（2）思路：所证不等式为：

11113

1212n n n nk ++++>++-L 左边含有两个变量，考虑通过消元简化所证不等式。设11111k T n n nk =+++

+-L ，则只需证明：()min 3

2

k T >，易知k T 为递增数列。所以只需证明8k =，即11131812n n n +++>+-L ，左边共7n 项，结合3

2的特

点可考虑将7n 项分为3组：111111

1212222

n n n n n n n n n +++>++==+-L L 144442444431442443个

个

22111111

22141442

n n n n n n n +++>++=+-L L 144442444431442443个

个

4411111144181882n n n n n n n +++>++=+-L L 144442444431442443

个

个

，再求和即证不等式 解：所证不等式

12111113

2

n n n nk b b b b ++-++++>L 由（1）可得： 111131212n n n nk ++++>++-L 只需证：min

1

11131212n n n nk ??++++> ?

++-??L 设111

11

k T n n nk =

++++-L 11111111

(1)111k k T T n n n k n n nk +????

∴-=+++-+++

? ?++-+-????L L

111011

nk nk nk n =

+++>++-L {}k T ∴为递增数列 8k ≥Q ()8min 111181k T T n n n ∴==

++++-L ∴只需证1113

1812

n n n +++>+-L

1111

1111118121241481n n n n n n n n n ??????+++=++++++++ ? ? ?+----??????

L L L L 而

111111

1212222n n n n n n n n n +++>++==+-L L 144442444431442443

个

个

2211111122141442

n n n n n n n +++>++=+-L L 144442444431442443个

个

4411111144181882

n n n n n n n +++>++=+-L L 144442444431442443个

个

11111131812222

n n n ∴+++>++=+-L 例10：数列{}n a 是公差不为零的等差数列，56a =，数列{}n b 满足：

11123,1n n b b b b b +==+L （1）当2n ≥时，求证：

11

1

n n n b b b +-=-

（2）当31a >且3a N *

∈时，1235,,,,,,n k k k a a a a a L L 为等比数列

① 求3a

② 当3a 取最小值时，求证：121231*********

1n n k k k b b b b a a a ??

++++>+++ ? ?---??L L 解：（1）由1121n n b b b b +=+L 可得：1121n n b b b b +-=L

()12112,n n b b b b n n N *-∴-=≥∈L

两式相除可得：

11

1

n n n b b b +-=-

（2）① 思路：本题的突破口在于n k a 既在等差数列{}n a 中，又在等比数列

1235,,,,,,n k k k a a a a a L L 中，从而在两个不同风格的数列中n k a 均能够用3a 进行表示，然后便

得到n k 与3a 的关系式，抓住3,n k a N *

∈的特点即可求出3a 的值

{}n a Q 为等差数列 533

622

a a a d --∴=

=

()()3

336332

n k n n a a a k d a k -=+-?=+-? 另一方面，1235,,,,,,n k k k a a a a a Q L L 为等比数列 533

6a q a a ∴=

= 1

13336n n n k a a q a a ++??

∴=?=? ?

??

()1

3

3336632

n n a a a k a +??-?=+-?

???

1113333333

3666121133326661

2n n n n a a a a a k a a a +++????????????---?????? ? ? ???????????????????∴=+=+=+?

---

133

6161n a a +??

??-?? ???????-Q 可视为以1为首项，3

6a 为公比的等比数列前()1n +项和 33336

66632152n n

n k a a a a ????????∴=+?+++?=+?++? ? ?????????????L L

n k N *∈Q 3366,2n

n N N a a *

????∴?∈?++?∈ ???????

L 3a N *∈Q

3a ∴能够被6整除 31a >Q 且356a a ≠= 32a ∴=或33a =

经检验：32a =或33a =均符合题意

② 思路：所证不等式两侧均为数列求和的形式，所以先观察两侧是否有能直接求和的式子，从而化简一侧的表达式，由（1）和（2）①可知，

11

1

n n n b b b +-=-，123n n k a +=?，所以对于右

侧，

111

1231

n n k a +=

-?-显然无法直接找到求和方法。而对于1n b ，虽然没有通项公式，但可

对

111n n n b b b +-=-向可求和的方式进行变形，得到()1111

211

n n n n b b b +=-≥--，从而可想到利

用裂项相消的方式进行求和，得到

12312111121

3n n

b b b b b b b ++++=-L L 。对于右侧12111111n k k k a a a +++---L 只能考虑进行放缩，针对111

1231

n n k a +=

-?-的特点可向等比数列靠拢，结合不等号方向可得：

11

111

12313

n n n k a ++=<-?-。所以1211111111163n n

k k k a a a ??

??+++<-?? ?---??????

L 。于是所证的不等式就变为只需证明

1122122333n n b b b +->-L ，即证明112123n n b b b +

b b b L 进行放缩，抓住13b =这个特点，由已知可得{}n b 为递增数列，则3n b ≥，但右侧为1

221

333

n n +=

?，无法直接放缩证明，所以要对

121n

b b b L 的放缩进行调整，计算出123,,b b b 可得

412312

3b b b <，进而431121234111212

333

n n n n b b b b b b b b -+=?

1,2,3n =有限的项，逐次验证即可。

由（1）可得：

11

1

n n n b b b +-=-

()()1111

1111

n n n n n n b b b b b b ++-=-?

=--

1111

11n n n b b b +∴

-=-- 111111n n n b b b +∴

=--- 2n ≥ 1231111n

b b b b ∴

++++L

1233411111111111111n n b b b b b b b +??????

=

+-+-++- ? ? ?------??????

L 12111111

n b b b +=

+--- 11123,1n n b b b b b +==+Q L 1121n n b b b b +∴-=L

1231112121111111213n n n

b b b b b b b b b b b b ∴

++++=+-=-L L L 当32a =时，123n n k a +=?

11

111

12313

n n n k a ++∴

=<-?- 122311119311111

1111133313

n n

n k k k a a a +????-??

????????

?∴+++<+++=??---??-L L 11163n

??

??

=-?? ?

??

????

121111112122

4411111633333n n n n k k k a a a +??????∴+++

()1122122

3333

n n n b b b +->-≥L 即可 即证明：

11212

3

n n b b b +

由11123,1n n b b b b b +==+L 可知{}n b 为递增数列

()132n b b n ∴>=≥

由11123,1n n b b b b b +==+L 可得：2131214,113b b b b b =+==+=

4123381

341315622

b b b ∴=??=>=

4123123b b b ∴

< 3n ≥Q 时，3n b > 11

3

n b ∴< 3n ∴>时，

431121234111212

333

n n n n b b b b b b b b -+=?

当3n =时，可知

412312

3

b b b <成立 11212

3

n n b b b +∴

3n ∴≥时，()1122122

3333

n n n b b b +-

>-≥L 121231*********

1n n k k k b b b b a a a ??

∴++++>+++ ? ?---??L L 成立 当1n =时，

111114

,43117

k b a =?=- 11417b ∴>

当2n =时，1211712b b +=，12111144111753k k a a ????+=+ ? ? ?--???? 1212

1111411k k b b a a ??

∴+>+ ? ?--??

综上所述：121231*********

1n n k k k b b b b a a a ??

++++>+++ ? ?---??L L 恒成立

利用放缩法证明数列型不等式压轴题

利用放缩法证明数列型不等式压轴题 惠州市华罗庚中学 欧阳勇 摘要：纵观近几年高考数学卷，压轴题很多是数列型不等式，其中通常需要证明数列型不等式，它不但可以考查证明不等式和数列的各种方法，而且还可以综合考查其它多种数学思想方法，充分体现了能力立意的高考命题原则。处理数列型不等式最重要要的方法为放缩法。放缩法的本质是基于最初等的四则运算，利用不等式的传递性，其优点是能迅速地化繁为简，化难为易，达到事半功倍的效果；其难点是变形灵活，技巧性强，放缩尺度很难把握。对大部分学生来说，在面对这类考题时，往往无从下笔．本文以数列型不等式压轴题的证明为例，探究放缩法在其中的应用，希望能抛砖引玉，给在黑暗是摸索的学生带来一盏明灯。 关键词：放缩法、不等式、数列、数列型不等式、压轴题 主体： 一、常用的放缩法在数列型不等式证明中的应用 1、裂项放缩法：放缩法与裂项求和的结合，用放缩法构造裂项求和，用于解决和式 问题。裂项放缩法主要有两种类型： （1）先放缩通项，然后将其裂成某个数列的相邻两项的差，在求和时消去中间的项。 例1设数列{}n a 的前n 项的和1412 2333n n n S a +=-?+，1,2,3, n =。设2n n n T S =， 1,2,3, n =，证明： 1 32 n i i T =< ∑。 证明：易得12(21)(21),3 n n n S +=--1132311()2(21)(21)22121n n n n n n T ++= =-----， 11223 111 31131111 11 ()()221212212121212121 n n i i i n n i i T ++===-=-+-++ ---------∑∑ = 113113()221212 n +-<-- 点评： 此题的关键是将12(21)(21)n n n +--裂项成1 11 2121 n n +---，然后再求和，即可达到目标。 （2）先放缩通项，然后将其裂成(3)n n ≥项之和，然后再结合其余条件进行二次放缩。 例2 已知数列{}n a 和{}n b 满足112,1(1)n n n a a a a +=-=-，1n n b a =-，数列{}n b 的

求递推数列通项的特征根法与不动点法

求递推数列通项的特征根法与不动点法 一、形如21(,n n n a pa qa p q ++=+是常数）的数列 形如112221,,(,n n n a m a m a pa qa p q ++===+是常数）的二阶递推数列都可用特征根法求得通项n a ，其特征方程为2x px q =+…① 若①有二异根,αβ，则可令1212(,n n n a c c c c αβ=+是待定常数） 若①有二重根αβ=，则可令1212()(,n n a c nc c c α=+是待定常数） 再利用1122,,a m a m ==可求得12,c c ，进而求得n a ． 例1．已知数列{}n a 满足*12212,3,32()n n n a a a a a n N ++===-∈，求数列{}n a 的通项n a ． 解：其特征方程为232x x =-，解得121,2x x ==，令1212n n n a c c =?+?， 由1122122243a c c a c c =+=??=+=?，得121 12 c c =???= ??， 112n n a -∴=+． 例2．已知数列{}n a 满足*12211,2,44()n n n a a a a a n N ++===-∈，求数列{}n a 的通项n a ． 解：其特征方程为2 441x x =-，解得121 2x x ==，令()1212n n a c nc ?? =+ ??? ， 由1122121()121(2)2 4 a c c a c c ? =+?=????=+?=??，得1246c c =-??=?， 1322n n n a --∴=． 二、形如2n n n Aa B a C a D ++= +的数列 对于数列2n n n Aa B a C a D ++= +，*1,(,,,a m n N A B C D =∈是常数且0,0C AD BC ≠-≠） 其特征方程为A x B x C x D += +，变形为2()0C x D A x B +--=…②

用放缩法证明不等式的方法与技巧

用放缩法证明不等式的方法与技巧 一．常用公式 1．)1(11)1(12-<<+k k k k k 2．12 112-+<<++k k k k k 3．22k k ≥()4≥k 4．1232k k ???????≥(2≥k ) 5． ?? ????--≤！！（！k k k 1)11211（待学） 6．b a b a +≤+ （待学） 二．放缩技巧 所谓放缩的技巧：即欲证A B ≤，欲寻找一个（或多个）中间变量C ，使A C B ≤≤， 由A 到C 叫做“放”，由B 到C 叫做“缩”. 常用的放缩技巧 （1）若0,,t a t a a t a >+>-< （2） < > 11> ，n >= （3）21111111 (1)1(1)(1)1n n n n n n n n n n - =<<=->++-- （4 ）= <=<= （5）若,,a b m R + ∈，则,a a a a m b b m b b +>< + （6）21111111 112!3!!222 n n -+++???+<+++???+ （7）22211111111 11(1)()()232231n n n +++???+<+-+-+???+--（因为211(1)n n n < -） （7）1111111112321111n n n n n n n n n +++???+≤++???+=<+++++++ 或11111111123222222 n n n n n n n n n +++???+≥++???+==+++ （8 ）1+???+>???+== 三．常见题型 （一）．先求和再放缩: 1．设1111 2612 (1) n S n n = ++++ +，求证：1n S < 2．设1n b n = （n N * ∈），数列2{}n n b b +的前n 项和为n T ，求证：34n T < （二）．先放缩再求和: 3．证明不等式：111 12112123 123n ++++

高考数学数列不等式证明题放缩法十种方法技巧总结(供参考)

1. 均值不等式法 例1 设.)1(3221+++?+?=n n S n 求证.2 )1(2)1(2 +<<+n S n n n 例2 已知函数bx a x f 211 )(?+=，若54)1(=f ，且)(x f 在[0，1]上的最小值为21，求证：.2121 )()2()1(1-+ >++++n n n f f f 例3 求证),1(2 21321 N n n n C C C C n n n n n n ∈>?>++++- . 例4 已知222121n a a a +++=，222121n x x x +++=，求证：n n x a x a x a +++ 2211≤1. 2．利用有用结论 例5 求证.12)1 211()511)(311)(11(+>-++++n n 例6 已知函数 .2,,10,)1(321lg )(≥∈≤x x f x f 对任意*∈N n 且2≥n 恒成立。 例7 已知1 12111,(1).2n n n a a a n n +==+++ )(I 用数学归纳法证明2(2)n a n ≥≥； )(II 对ln(1)x x +<对0x >都成立，证明2n a e <（无理数 2.71828 e ≈） 例8 已知不等式21111[log ],,2232 n n N n n *+++>∈>。2[log ]n 表示不超过n 2log 的最大整数。设正数数列}{n a 满足：.2,),0(111≥+≤ >=--n a n na a b b a n n n 求证.3,][log 222≥+

数列综合应用(放缩法)教案资料

数列综合应用（1） ————用放缩法证明与数列和有关的不等式 一、备考要点 数列与不等式的综合问题常常出现在高考的压轴题中， 是历年高考命题的热点，这类问题能有效地考查学生 综合运用数列与不等式知识解决问题的能力．解决 这类问题常常用到放缩法，而求解途径一般有两条： 一是先求和再放缩，二是先放缩再求和． 二、典例讲解 1．先求和后放缩 例1．正数数列{}n a 的前n 项的和n S ，满足 12+=n n a S ，试求： （1）数列{}n a 的通项公式； （2）设1 1+=n n n a a b ，数列{}n b 的前n 项的和 为n B ，求证：21

③．放缩后为差比数列，再求和 例4．已知数列{}n a 满足：11=a ， )3,2,1()21(1Λ=+=+n a n a n n n ．求证： 112 13-++-≥>n n n n a a ④．放缩后为裂项相消，再求和 例5．在m （m ≥2）个不同数的排列P 1P 2…P n 中， 若1≤i ＜j ≤m 时P i ＞P j （即前面某数大于后面某数）， 则称P i 与P j 构成一个逆序. 一个排列的全部逆序的 总数称为该排列的逆序数. 记排列321)1()1(Λ-+n n n 的逆序数为a n ，如排列21的逆序数11=a ，排列321的 逆序数63=a ． （1）求a 4、a 5，并写出a n 的表达式； （2）令n n n n n a a a a b 11+++=，证明： 32221+<++

不动点(特征方程)法求数列通项

特征方程法求解递推关系中的数列通项 考虑一个简单的线性递推问题. 设已知数列}{n a 的项满足 其中,1,0≠≠c c 求这个数列的通项公式. 采用数学归纳法可以求解这一问题，然而这样做太过繁琐，而且在猜想通项公式中容易出错，本文提出一种易于被学生掌握的解法——特征方程法：针对问题中的递推关系式作出一个方程,d cx x +=称之为特征方程；借助这个特征方程的根快速求解通项公式.下面以定理形式进行阐述. 定理1.设上述递推关系式的特征方程的根为0x ，则当10a x =时，n a 为常数列，即0101,;x b a a x a a n n n +===时当， 其中}{n b 是以c 为公比的等比数列，即01111,x a b c b b n n -==-. 证明：因为,1,0≠c 由特征方程得.10c d x -=作换元,0x a b n n -= 则.)(110011 n n n n n n cb x a c c cd ca c d d ca x a b =-=--=--+=-=-- 当10a x ≠时，01≠b ，数列}{n b 是以c 为公比的等比数列，故;11-=n n c b b 当10a x =时，01=b ，}{n b 为0数列，故.N ,1∈=n a a n （证毕） 下面列举两例，说明定理1的应用. 例1．已知数列}{n a 满足：,4,N ,23 111=∈--=+a n a a n n 求.n a 解：作方程.2 3,23 10-=--=x x x 则 当41=a 时，.2112 3 ,1101= +=≠a b x a 数列}{n b 是以3 1 -为公比的等比数列.于是.N ,)3 1 (2112323,)31(211)3 1 (111 1∈-+-=+-=-=-=---n b a b b n n n n n n 例2．已知数列}{n a 满足递推关系：,N ,)32(1∈+=+n i a a n n 其中i 为虚数单位. 当1a 取何值时，数列}{n a 是常数数列？ 解：作方程,)32(i x x +=则.5 360i x +-= a 1= b a n+1=ca n +d

典型例题：用放缩法证明不等式

用放缩法证明不等式 所谓放缩法就是利用不等式的传递性，对照证题目标进行合情合理的放大和缩小的过程，在使用放缩法证题时要注意放和缩的“度”，否则就不能同向传递了，此法既可以单独用来证明不等式，也可以是其他方法证题时的一个重要步骤。下面举例谈谈运用放缩法证题的常见题型。 一. “添舍”放缩 通过对不等式的一边进行添项或减项以达到解题目的，这是常规思路。 例1. 设a ，b 为不相等的两正数，且a 3－b 3＝a 2－b 2，求证143 ＜＋＜a b 。 证明：由题设得a 2＋ab ＋b 2＝a ＋b ，于是（a ＋b ）2＞a 2＋ab ＋b 2＝a ＋b ，又a ＋b ＞0，得a ＋b ＞1，又ab ＜14（a ＋b ）2，而（a ＋b ）2＝a ＋b ＋ab ＜a ＋b ＋14（a ＋b ）2，即34（a ＋b ）2＜a ＋b ，所以 a ＋ b ＜43，故有1＜a ＋b ＜43 。 例2. 已知a 、b 、c 不全为零，求证： a a b b b b c c c ac a a b c 22222232 ++++++++++＞（） 证明：因为a ab b a b b a b a b a b 222 22 234 2 22++=+++=++（）＞（）≥，同理b bc c b c 222 +++＞，c ac a c a 222+++＞。 所以a ab b b bc c c ac a a b c 22222232 ++++++++++＞（） 二. 分式放缩 一个分式若分子变大则分式值变大，若分母变大则分式值变小，一个真分式，分子、分母同时加上同一个正数则分式值变大，利用这些性质，可达到证题目的。 例3. 已知a 、b 、c 为三角形的三边，求证：12＜＋＋＜a b c b a c c a b +++。 证明：由于a 、b 、c 为正数，所以a b c a a b c +++＞，b a c b a b c +++＞，c a b c a b c +++＞，所以

不动点法求数列通项公式

不动点法求数列通项公 式 内部编号：（YUUT-TBBY-MMUT-URRUY-UOOY-DBUYI-0128）

不动点法求数列通项公式 通常为了求出递推数列a[n+1]=(ca[n]+d)/(ea[n]+f)【c、d、e、f是不全为0的常数,c、e不同时为0】的通项,我们可以采用不动点法来解.假如数列{a[n]}满足a[n+1]=f(a[n]),我们就称x=f(x)为函数f(x)的不动点方程,其根称为函数f(x)的不动点.至于为什么用不动点法可以解得递推数列的通项,这足可以写一本书.但大致的理解可以这样认为,当n趋于无穷时,如果数列{a[n]}存在极限,a[n]和a[n+1]是没有区别的. 首先,要注意,并不是所有的递推数列都有对应的不动点方程,比如： a[n+1]=a[n]+1/a[n].其次,不动点有相异不动点和重合不动点. 下面结合不动点法求通项的各种方法看几个具体的例子吧. ◎例1：已知a[1]=2,a[n+1]=2/(a[n]+1),求通项. 【说明：这题是“相异不动点”的例子.】 先求不动点 ∵a[n+1]=2/(a[n]+1) ∴令 x=2/(x+1),解得不动点为：x=1 和 x=-2 【相异不动点】 ∴(a[n+1]-1)/(a[n+1]+2) 【使用不动点】 =(2/(a[n]+1)-1)/(2/(a[n]+1)+2) =(2-a[n]-1)/(2+2a[n]+2) =(-a[n]+1)/(2a[n]+4) =(-1/2)(a[n]-1)/(a[n]+2) ∵a[1]=2 ∴(a[1]-1)/(a[1]+2)=1/4 ∴{(a[n]-1)/(a[n]+2)}是首项为1/4,公比为-1/2的等比数列

放缩法证明不等式的基本策略

放缩法”证明不等式的基本策略 近年来在高考解答题中， 常渗透不等式证明的内容， 而不等式的证明是高中数学中的一个难点, 以考察学生逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的能力。特别值得一 提的是，高考中可以用 证明不等式的频率很高，它是思考不等关系的朴素思想和基本出发点 能体现出创造性。 放缩法”它可以和很多知识内容结合， 而且要恰到好处，目标往往要从证明的结论考察，放缩时要注意适度， 些高考试题，例谈 放缩”的基本策略，期望对读者能有所帮助。 1、添加或舍弃一些正项（或负项） 2、先放缩再求和（或先求和再放缩） 子分母均取正值的分式。如需放大，则只要把分子放大或分母缩小即可；如需缩小，则只要把分子缩小或 分母放大即可。 3、先放缩，后裂项（或先裂项再放缩） n J k 例 3、已知 a n =n ，求证：k=1 a k V 3- 它可 放缩法” ,有极大的迁移性，对它的运 用往往 对应变能力有较高的要求。 因为放缩必须有目标， 否则就不能同向传递。下面结合一 例1、已知 a n 2n 1(n N ).求证: a 1 a ^ a 2 a 3 丑(n N a n 1 ). 证明：Q 皀 a k 1 2k 1 2k 1 2(2k1 1) 1 3.2k 2k 2 1,2,..., n. a_ a 2 a 2 a 3 a n a n 1 1 （ 1 1 二（二 二 1 a_ 3 a 2 a 2 a 3 多项式的值变小。由于证 若多项式中加上一些正的值，多项式的值变大， 多项式中加上一些负的值， 明不等式的需要，有时需要舍去或添加一些项，使不等式一边放大或缩小，利用不等式的传递性，达到证 明的目的。本题在放缩时就舍去了 2k 2，从而是使和式得到化简 例2、函数f (x ) =±- 1 4x ，求证: （1）+f （ 2） +…+f (n ) 证明：由 f(n)= 羊7=1-- 1 4n 1 得 f (1) +f (2) + …+f (n ) n 2(1 4 1 1 丄 2 21 2 22 1 1 * 芦 >1 此题不等式左边不易求和 ,此时根据不等式右边特征 ,先将分子变为常数，再对分母进行放缩，从而对 左边可以进行求和.若分子, 分母如果同时存在变量时 ,要设法使其中之一变为常量，分式的放缩对于分

【高考数学】高考数列不动点法解题方法整理版

利用“不动点”法巧解高考题 由递推公式求其数列通项历来是高考的重点和热点题型，对那些已知递推关系但又难求通项的数列综合问题，充分运用函数的相关性质是解决这类问题的着手点和关键．与递推关系对应的函数的“不动点”决定着递推数列的增减情况，因此我们可以利用对函数“不动点”问题的研究结果，来简化对数列通项问题的探究。笔者在长期的教学实践中，不断总结探究反思，对那些难求通项的数列综合问题，形成利用函数不动点知识探究的规律性总结，以期对同学们解题有所帮助． 1 不动点的定义 一般的，设()f x 的定义域为D ,若存在0x D ∈，使f x x ()00=成立，则称x 0为f x ()的 不动点，或称00(,)x x 为f x ()图像的不动点。 2 求线性递推数列的通项 定理 1 设()(01)f x ax b a =+≠，，且x 0为f x ()的不动点，{}a n 满足递推关系1()n n a f a -=，2,3, n =，证明{}a x n -0是公比为a 的等比数列。证：∵x 0是f x ()的不动点，所以ax b x 00+=， 所以，所以a n -=+-=-=----x a a b x a a ax a a x n n n 0101010()()··，∴数列{}a x n -0是公比为a 的等比数列。 例1（2010上海文数21题）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且585n n S n a =--，*n N ∈ (1)证明：{}1n a -是等比数列；(2)求数列{}n S 的通项公式，并求出使得1n n S S +>成立的最小正整数n . 证：(1) 当n =1时，a 1=-14；当2n ≥时，a n =S n -S n -1=-5a n +5a n -1+1，即1651n n a a -=+(2)n ≥即 15166n n a a -= +(2)n ≥，记51 ()66f x x =+，令()f x x =，求出不动点01x =，由定理1知：15 1(1)(2)6 n n a a n --=-≥，又a 1-1= -15 ≠0，所以数列{a n -1}是等比数列。(2)解略。 3求非线性递推数列的通项 定理2 设()(00)ax b f x c ad bc cx d +=≠-≠+，，且x x 12、是f x ()的不动点，数列{}a n 满足递推关系a f a n n =-()1，2,3,n =，（ⅰ）若12x x ≠，则数列{ }a x a x n n --12是公比为a x c a x c --12的等比数列；（ⅱ）

用用放缩法证明与数列和有关的不等式

用放缩法证明与数列和有关的不等 数列与不等式的综合问题常常出现在高考的压轴题中，是历年高考命题的热点，这类问题能有效地考查学生综合运用数列与不等式知识解决问题的能力．本文介绍一类与数列和有关的不等式问题，解决这类问题常常用到放缩法，而求解途径一般有两条：一是先求和再放缩，二是先放缩再求和． 一．先求和后放缩 例1．正数数列{}n a 的前n 项的和n S ，满足12+=n n a S ，试求： （1）数列{}n a 的通项公式； （2）设11+= n n n a a b ，数列{}n b 的前n 项的和为n B ，求证：2 1 a a ，又由条

用不动点法求数列通项

定义：方程的根称为函数的不动点. 利用递推数列的不动点，可将某些递推关系所确定的数列化为等比数列或较易求通项的数列，这种方法称为不动点法. 定理1：若是的不动点，满足递推关系，则，即是公比为的等比数列. 证明：因为是的不动点 由得 所以是公比为的等比数列. 定理2：设，满足递推关系，初值条件 （1）：若有两个相异的不动点，则（这里） （2）：若只有唯一不动点，则（这里） 证明：由得，所以 （1）因为是不动点，所以，所以 令，则 （2）因为是方程的唯一解，所以 所以，所以 所以 令，则 例1：设满足，求数列的通项公式 例2：数列满足下列关系：，求数列的通项公式 定理3：设函数有两个不同的不动点,且由确定着数列,那么当且仅当时, 证明:是的两个不动点 即 于是, 方程组有唯一解

例3：已知数列中,,求数列的通项. 其实不动点法除了解决上面所考虑的求数列通项的几种情形,还可以解决如下问题: 例4：已知且,求数列的通项. 解: 作函数为,解方程得的不动点为 .取,作如下代换: 逐次迭代后,得: 已知曲线22:20(1,2,)n C x nx y n -+==K ．从点(1,0)P -向曲线n C 引斜率为(0) n n k k >的切线n l ，切点为(,)n n n P x y ． （１）求数列{}{}n n x y 与的通项公式； （２）证明：13521n n n x x x x x y -????<），()f x '是()f x 的 导数，设11a =，1()(12)()n n n n f a a a n f a +=-='L ，，． （1）求αβ，的值； （2）证明：对任意的正整数n ，都有n a α>； （3）记ln (12)n n n a b n a βα -==-L ，，，求数列{}n b 的前n 项和n S 13陕西文21．（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足， *11212,,2 n n n a a a a a n N ++=∈’＋2＝＝. ()I 令1n n n b a a +=-，证明：{}n b 是等比数列； (Ⅱ)求{}n a 的通项公式。 山东文20.（本小题满分12分）等比数列{n a }的前n 项和为n S ， 已知对任意的n N + ∈ ，点(,)n n S ，均在函数(0x y b r b =+>且1,,b b r ≠均为常数)的图像上.（1）求r 的值；（11）

放缩法证明数列不等式问题的方法

放缩法证明“数列+不等式”问题的两条途径 数列与不等式的综合问题常常出现在高考的压轴题中，是历年命题的热点，解决这类问题常常用到放缩法。用放缩法解决“数列+不等式”问题通常有两条途径：一是先放缩再求和，二是先求和再放缩。 1、 先放缩再求和 例1 （05年湖北理）已知不等式],[log 2 1131212n n >+++Λ其中n 为不大于2的整数，][log 2n 表示不超过n 2log 的最大整数。设数列{}n a 的各项为正且满足111),0(--+≤>=n n n a n na a b b a )4,3,2(Λ=n ，证明：] [log 222n b b a n +<，Λ5,4,3=n 分析：由条件11--+≤ n n n a n na a 得：n a a n n 1111+≥- n a a n n 1111≥-∴- )2(≥n 1111 21-≥---n a a n n (2) 11112≥-a a 以上各式两边分别相加得： 2 1111111++-+≥-Λn n a a n 2 111111++-++≥∴Λn n b a n ][log 2 112n b +> )3(≥n =b n b 2][log 22+ ∴ ][log 222n b b a n +< )3(≥n 本题由题设条件直接进行放缩，然后求和，命题即得以证明。 例2 （04全国三）已知数列}{n a 的前n 项和n S 满足：n n n a S )1(2-+=， 1≥n

（1）写出数列}{n a 的前三项1a ，2a ，3a ； （2）求数列}{n a 的通项公式； （3）证明：对任意的整数4>m ，有8 711154<+++m a a a Λ 分析：⑴由递推公式易求：a 1=1,a 2=0,a 3=2； ⑵由已知得：1112(1)2(1)n n n n n n n a S S a a ---=-=+----（n>1） 化简得：1122(1)n n n a a --=+- 2)1(2)1(11---=---n n n n a a ,]32) 1([232)1(11+--=+---n n n n a a 故数列{32)1(+-n n a }是以3 21+-a 为首项, 公比为2-的等比数列. 故1)2)(31(32)1(---=+-n n n a ∴22[2(1)]3 n n n a -=-- ∴数列{n a }的通项公式为：22[2(1)]3 n n n a -=--. ⑶观察要证的不等式，左边很复杂，先要设法对左边的项进行适当的放缩，使之能够求和。而左边=232451113111[]221212(1) m m m a a a -+++=+++-+--L L ，如果我们把上式中的分母中的1±去掉，就可利用等比数列的前n 项公式求和，由于-1与1交错出现，容易想到将式中两项两项地合并起来一起进行放缩，尝试知：32322121121121+>++-， 43432121121121+<-++，因此，可将1 212-保留，再将后面的项两两组合后放缩，即可求和。这里需要对m 进行分类讨论，（1）当m 为偶数)4(>m 时， m a a a 11154+++Λ)11()11(11654m m a a a a a +++++=-Λ )2 12121(2321243-++++< m Λ )2 11(4123214--?+=m 8321+<87=

不动点法求数列的通项(讲座)

不动点法求数列的通项 惠来县第一中学 方文湃 自从实施新课程标准，使用新教材以来，高考题中出现了数列的解答题的次数好象不少。如2007年普通高考广东数学理科卷压轴题第21题 、2011年普通高等学校招生全国统一考试数学广东卷理科第20题 ，这两道题都是已知数列的递推式，求它的的通项公式，并且求法都与“不动点”有关。 记函数f(x)的定义域为D ，若存在λ∈D ，使λ＝f(λ)成立，则称（λ，λ）为坐标的点为函数f(x)图象上的不动点。以此类推，在数列{a n }中，a n+1=f(a n ) (n ∈N +)，若存在λ满足方程λ＝f(λ)，称λ为不动点方程λ＝f(λ)的根。下面介绍的一些数列，可先求生成函数（递推式）的不动点，通过换元后，化为等差、等比数列，再求这些数列的通项，这一方法，我们不妨称为不动点法。 一、递推式为a n+1=aa n +b(a ≠0,a ≠1,a,b 均为常数)型的数列 由递推式a n+1=aa n +b 总可变形为 a n+1－λ=a （a n －λ） …………………………（１） （１） 式中的λ与系数a, b 存在怎样的关系呢？ 由（１）得a n+1=aa n ＋λ－a λ ∴b=λ－a λ即λ＝a λ+b …………………………（２） 关于λ的方程（２）刚好是递推式a n+1=aa n +b 中的a n ，a n+1都换成λ得到的不动点方程。 令b n =a n －λ代入（１）得b n+1=ab n 一般来说，可先求等比数列{b n }的通项，再求数列{a n }的通项。 例１：在数列{a n }中，已知a 1=1,a n+1=1－21 a n (n ∈N +),求lim ∞ →n a n 。 解：令x=1－ 21x 得x=32 a n+1－32=1－21a n －32=－21 (a n －3 2) 令b n =a n －32，则b n+1=－2 1 b n ∴数列{b n }成首项为b 1=a 1－32=1－32=31，公比为q ＝－2 1 的等比数列，于 是有

不等式放缩法

利用放缩法证明数列型不等式 一、常用的放缩法在数列型不等式证明中的应用 1、裂项放缩法：放缩法与裂项求和的结合，用放缩法构造裂项求和，用于解决和式 问题。裂项放缩法主要有两种类型： （1）先放缩通项，然后将其裂成某个数列的相邻两项的差，在求和时消去中间的项。 例1设数列{}n a 的前n 项的和1412 2333n n n S a +=-?+，1,2,3, n =。设2n n n T S =， 1,2,3, n =，证明： 1 32 n i i T =< ∑。 点评： 关键是将12(21)(21) n n n +--裂项成111 2121n n +---，然后再求和，即可达到目标。

（2）先放缩通项，然后将其裂成(3)n n ≥项之和，然后再结合其余条件进行二次放缩。 例2 已知数列{}n a 和{}n b 满足112,1(1)n n n a a a a +=-=-，1n n b a =-，数列{}n b 的前n 和为n S ，2n n n T S S =-； （I ）求证：1n n T T +>； （II ）求证：当2n ≥时，2n S 711 12 n +≥。 点评：此题（II ）充分利用（I ）的结论，n T 递增，将2n S 裂成 1122 112222n n n n S S S S S S S ----+-+ +-+的和，从而找到了解题的突破口。

2、迭乘放缩法：放缩法与迭乘法的结合，用放缩法构造迭乘形式，相乘时消去中间项。用于解决积式问题。 例3 已知数列{}n a 的首项为13,a =点()1,+n n a a 在直线)(03*N n y x ∈=-上。 若 3 *3log 2(),n n c a n N =-∈证明对任意的* n ∈N ，不等 式 12111 (1)(1+)(1+)n c c c +??>恒成立． 点评：此题是证明积式大于根式，由于左边没有根式，右边是三次根式，立方后比较更容易处理。33 131(1+ )()32 n n c n -=-可以看成是三个假分式的乘积，保持其中一项不变，另两项假分数分子分母同时加1，加2，则积变小，3313133131 ()323231332 n n n n n n n n n n --++>??=----，而通项式为31 { }32 n n +-的数列在迭乘时刚好相消，从而达到目标。

利用放缩法证明数列型不等式

利用放缩法证明数列型不等式 教学目标： 知识与技能：利用裂项求和，等比数列求和，二项式定理结合放缩法证明常规数列型不等式； 过程与方法：通过本节的学习，掌握利用放缩法证明常规数列型不等式； 情感、态度与价值观：通过实例探究放缩法解决数列型不等式的过程，体会知识间的相互联系的观点，提高思维能力. 教学重、难点： 1．掌握证明数列型不等式的四种放缩技巧。 2．体会用放缩法证明不等式时放大或缩小的“度”。 教学过程： 一、高考背景： 压轴题很多是数列型不等式，其中通常需要证明数列型不等式，它不但可以考查证明不等式和数列的各种方法，而且还可以综合考查其它多种数学思想方法，充分体现了能力立意的高考命题原则。而处理数列型不等式最重要要的方法为放缩法。但近几年的广东高考对数列的考查难度有所降低，对放缩法的要求上回归到常规题型中。 二、常见放缩方法： 1.裂项放缩 {}{}. 1:n ,)1(1.1<+= n n n n n S S a n n a a 求证，项和为的前且的通项公式为已知数列例 小结:可求和先求和，先裂项后放缩。

{}{}. 2:n ,1.12<=n n n n n S S a n a a 求证，项和为的前且的通项公式为已知数列变式 小结:不能求和先放缩，后裂项求和，再放缩。 4 7)2013(2< n S 上，同广东变式？ 小结:放大不宜过大，缩小不宜过小，把握放缩的“度”。 2．等比放缩 例2【2012广东】设数列{}n a 的前n 项和为n S ，{} n n n a a 231n -=的通项公式为 证明：对一切正整数n ，有2 3< n S 小结:先放缩构造成等比数列，再求和，最后二次放缩实现目标转化。

不动点法求数列通项公式

不动点法求数列通项公式 This model paper was revised by the Standardization Office on December 10, 2020

不动点法求数列通项公式 通常为了求出递推数列a[n+1]=(ca[n]+d)/(ea[n]+f)【c、d、e、f是不全为0的常数,c、e不同时为0】的通项,我们可以采用不动点法来解.假如数列{a[n]}满足a[n+1]=f(a[n]),我们就称x=f(x)为函数f(x)的不动点方程,其根称为函数f(x)的不动点.至于为什么用不动点法可以解得递推数列的通项,这足可以写一本书.但大致的理解可以这样认为,当n趋于无穷时,如果数列{a[n]}存在极限,a[n]和a[n+1]是没有区别的. 首先,要注意,并不是所有的递推数列都有对应的不动点方程,比如：a[n+1]=a[n]+1/a[n].其次,不动点有相异不动点和重合不动点. 下面结合不动点法求通项的各种方法看几个具体的例子吧. ◎例1：已知a[1]=2,a[n+1]=2/(a[n]+1),求通项. 【说明：这题是“相异不动点”的例子.】 先求不动点 ∵a[n+1]=2/(a[n]+1) ∴令 x=2/(x+1),解得不动点为：x=1 和 x=-2 【相异不动点】 ∴(a[n+1]-1)/(a[n+1]+2) 【使用不动点】 =(2/(a[n]+1)-1)/(2/(a[n]+1)+2) =(2-a[n]-1)/(2+2a[n]+2) =(-a[n]+1)/(2a[n]+4) =(-1/2)(a[n]-1)/(a[n]+2) ∵a[1]=2 ∴(a[1]-1)/(a[1]+2)=1/4 ∴{(a[n]-1)/(a[n]+2)}是首项为1/4,公比为-1/2的等比数列

放缩法证明不等式

不等式的证明 本文主要介绍用放缩法证明不等式的技巧。 一、项的添加与删除。 【例1】已知4,≥∈n N n ，求证：2 ) 2)(1(2++> n n n 。 证明：)12 )1(1()...1(2121++-++≥+++++=-n n n n C C C C n n n n n n n 22324322++> ++=n n n n =2 ) 2)(1(++n n 。 [练习1] 若N n x ∈>,0且1>n ，求证：nx x n +>+1)1(。 二、利用分数的性质进行放缩。 【例2】若a , b , c , d ∈R + ，求证：21<+++++++++++< c a d d b d c c a c b b d b a a 证：记m = c a d d b d c c a c b b d b a a +++ ++++++++ ∵a , b , c , d ∈R + ∴1=+++++++++++++++> c b a d d b a d c c a c b a b d c b a a m 2=+++++++< c d d d c c b a b b a a m ∴1 < m < 2 即原式成立 【例3】求证：21 31211111232222<++++<+-n n 证：∵ n n n n n 1 11)1(112 --=-< ∴2121113121211113121112 222<-=+-++-+-+<++++n n n n ∵1 11)1(112+- =+>n n n n n ∴ 11 23)111()3121(113121112 222+- =+-++-+>++++n n n n 。 【例4】[1992年“三南”高考试题]求证：n n 21...31211<+ +++ 。

放缩法证明数列不等式经典例题

放缩法证明数列不等式 主要放缩技能： 1.211111111(1)(n 1)1n n n n n n n n -=<<=-++-- 2221144112()141(21)(21)21214 n n n n n n n <===--+--+- ==>= ==<= =<= == =< = = 5. 121122211(21)(21)(22)(21)(21)2121 n n n n n n n n n n ---<==-------- 6. 111 22(1)11(1)2(1)22(1)2n n n n n n n n n n n n n +++++-==-+?+??+?

例1.设函数2*2()1x x n y n N x -+=∈+的最小值为n a ，最大值为n b ， 且n c =（1）求n c ；（2）证明： 4444123111174n c c c c ++++ < 例2.证明：1611780<+ ++< 例3.已知正项数列{}n a 的前n 项的和为n s ，且12n n n a s a + =，*n N ∈； （1）求证：数列{} 2n s 是等差数列； （2）解关于数列n 的不等式：11()48n n n a s s n ++?+>- （3）记312311112,n n n n b s T b b b b = = ++++，证明：312n T <<

例4. 已知数列{}n a 满足：n a n ?????? 是公差为1的等差数列，且121n n n a a n ++=+； （1） 求n a ；（2 12n na +++< 例5.在数列{}n a 中，已知1112,2n n n n a a a a a ++==-； （1）求n a ；（2）证明：112233(1)(1)(1)(1)3n n a a a a a a a a -+-+-++-< 例6. 数列{}n a 满足：11122,1()22 n n n n n a a a n a ++==++； （1）设2n n n b a =，求n b ；（2）记11(1)n n c n n a +=+，求证：12351162 n c c c c ≤++++<