超越方程与导数
利用导数、数形结合讨论二类方程根的问题
导数是高中数学的重要内容，它是研究函数、方程、不等式等的重要工具。在探求诸如
3269100x x x -+-=，22ln x x -=x -方程的根的问题时，我们利用导数这一工
具和数形结合的数学思想就可以很好的解决。此类题的一般解题步骤是：1、构造函数，并求其定义域。2、求导数，得单调区间和极值点。3、画出函数草图。4、数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与x 轴的交点情况求解。下面利用导数讨论这二类方程根的问题。
一、有关三次方程根的问题：
对32
0Ax Bx Cx D +++=的根，在特殊情况下，我们可以直接猜出一根0x ，然后转化
为()()
2
00x x ax bx c -++=，再展开，应用待定系数法即可求出,,a b c 。再对
20ax bx c ++=求根得解。如32320x x -+=；但大多数三次方程的根不易猜出，这时我
们就可以利用导数，数形结合讨论这一类方程根的情况。 例1、方程3
2
69100x x x -+-=的实根的个数是 （ ）
A 、3
B 、2
C 、1
D 、0
分析：此题是一个三次方程，不易猜根。可先构造函数，再通过求导数判断函数的单调性，
画出其草图，数形结合分析求解。 解：令()f x =3
2
6910x x x -+- 则()'f x =2
3129x x -+
∴ ()'
f
x =()()313x x -- ∴当1x <或3x >时 ()'f x >0 ()f x 为增函数
当13x <<时 ()'
f x <0 ()f x 为减函数
∴()f x 极大值=()1f =6-0<
故()f x 的极大值在x 轴的下方，如图1，即()f x 的图象与x 轴只有一个交点，原方程只有一个实根。 选C 。
例2、已知函数()3
2
3
32f x x bx b =+-在(),0-∞上是增函数，在()0,2上是减函数，若
()16f x =恰有一解，求实数b 的取值范围。
分析：此题给出函数的单调区间，求参数b 的范围。可通过对函数求导得出其单调区间，它
应包含题中给出的单调区间，初步得出b 的范围。又据()16f x =恰有一解，即函数值16对应惟一x 值。可先由单调性画出()f x 草图，然后数形结合分析求解。
解： 函数()32332f x x bx b =+-在(),0-∞上是增函数，在()0,2上是减函数
∴由()'236f x x bx =+0>得()(
,02x b ∈-∞- 0b < ， ()'236f x x bx =+0<得(0,x ∈-由题意 ()()0,20,2b ?-
∴22b ≤- 即1b ≤- ①
又()f x 在(),0-∞和()2,b -+∞上递增， 在()0,2b -上递减。如图2
∴()f x 在[]0,2b -的值域为()()2,0f b f -???? 即 332,2b b ??-??
据图2可知，若()16f x =恰有一解，只需3
216b -< 得2b >- 结合①
∴ 21b -<≤-
二、有关超越方程根的问题：
这时更不易猜根求解，但构造函数求导后，画出草图，数形结合，找到图象与x 轴的交点，则可化难为易。很快得解。
例3、证明方程2
2ln x x -=x -有惟一解。
分析：这一方程形式比较复杂，观察易知1x =是其一根，但不能说明它惟一。我们利用导
数，解题步骤基本不变，不同之处是要首先考虑函数的定义域，在定义域的范围内求解。 证明：移项得：22ln 2x x x --+=0 令 ()22ln 2f x x x x =--+ ()0x >
∴ ()'
f x 221x x =--+=
∴
()'
f x )(
)1222
x x
+=
x 0> ∴
222
x x
+0>
∴ 10>即1x >时 ，()'
f
x 0>，()f x 10<即01x <<时，()'
0f x <，()f x 为减函数。
∴ ()f x =极小值()1f 0= 如图3，此时图象与x 轴相切。与x 轴只有惟一交点 故方程2
2ln x x -
=x -有惟一解1x =。
例4、若关于x 的方程()()2
2
1ln 1x x +-+2
x x a =++在[]0,2上恰好有两个相异的实根，
求实数a 的取值范围。
分析：这一方程已知根的情况，反过来要探求参变量的范围。仍可先构造函数，再利用导数
判断其单调性，然后画出草图数形结合，根据图象与x 轴的交点情况，挖掘出隐含条件即可得解。 解：方程可化为()2
1ln 10x a x -+-+=
令()()21ln 1f x x a x =-+-+ []0,2x ∈ 则()'
21
111
x f
x x x -=-
=++ 由()'f x 0>得12x <≤，()'
0f x <得01x ≤<
x
∴()f x 在(]1,2上递增，在[)0,1上递减。
∴ 要使关于x 的方程()()2
2
1ln 1x x +-+2x x =+根，只需()f x 的图象与x 轴在[)0,1和(]1,2上各有一个交点。如图4
所以有：()()()001020
f f f ≥??
即10112ln 20212ln 30a a a -+≥??-+-
解之得：22ln 232ln 3a -<≤-
通过上面的例题分析，可以看出，对于三次方程、超越方程的根的问题（或是能转化为这二类方程根的问题），我们就可以先构造函数，运用导数这一工具，在定义域内求出其单调区间，依题意作出草图，运用数形结合的数学思想，确定函数图象与x 轴的交点情况，挖掘隐含条件求解。导数是工具、图形是核心，找根是目标。
练习
1、（本小题满分14分）已知函数.2
3)32ln()(2
x x x f -+= （I ）求f (x )在[0，1]上的极值；
（II ）若对任意0]3)(ln[|ln |],3
1,61[>+'+-∈x x f x a x 不等式成立，求实数a 的取
值范围；
（III ）若关于x 的方程b x x f +-=2)(在[0，1]上恰有两个不同的实根，求实数b 的取
值范围.
解：（I ）23)
13)(1(33323)(+-+-=-+=
'x x x x x x f ，
令131
0)(-==='x x x f 或得（舍去）
)(,0)(,3
1
0x f x f x >'<≤∴时当单调递增；
当)(,0)(,131
x f x f x <'≤<时单调递减. ……………………………………3分 ]1,0[)(6
1
3ln )31(在为函数x f f -=∴上的极大值 ……………………………5分
（II ）由0]3)(ln[|ln |>+'+-x x f x a 得
x
x a x x a 323
ln ln 323ln
ln ++<+->或， …………① ……………………7分 设3
32ln 323ln ln )(2
x x x x x h +=+-=，
x
x
x x x g 323ln 323ln
ln )(+=++=，
依题意知]31
,61[)()(∈<>x x g a x h a 在或上恒成立，
0)32(2
)
32(33)32(3332)(2
>+=+?-+?+='x x x x x x x x g ， 03262)62(31323)(2
2>++=+?+=
'x
x x
x x x x h ， ]31
,61[)()(都在与x h x g ∴上单增，要使不等式①成立，
当且仅当.5
1
ln 31ln ),61()31(<><>a a g a h a 或即或 ………………………9分
（III ）由.022
3)32ln(2)(2
=-+-+?+-=b x x x b x x f
令x
x x x x b x x x x 329723323)(,223)32ln()(2
2+-=+-+='-+-+=??则，
当]3
7,0[)(,0)(,]37,
0[在于是时x x x ??>'∈上递增； 当]1,3
7[)(,0)(,]1,37[
在于是时x x x ??<'∈上递减 ……………………11分 而)1()3
7
(),0()37(
????>>， ]1,0[0)(2)(在即=+-=∴x b x x f ?恰有两个不同实根等价于
??
??
?
?
???
≤-+=>-+
-+=≤-=0215ln )1(067267)72ln()3
7(02ln )0(b b b ??? .3
7
267)72ln(215ln +-+<≤+
∴b ……………………………………14分 2．（本小题满分14分）
已知关于x 的方程：0122
2
3
=-+--a ax ax x 有且仅有一个实根，求实数a 的取值范围．
解：00≠=a a 时，不符合题意，所以
当 ][上有解－在1,10322)(2=--+=a x ax x f ][上有解－在1,123)12(2x a x -=-?
][上有解－在1,1231
212x
x a --=?
][上的值域。－在问题则转化为求函数1,1231
22x x y --=
1137,137≤≤
-≤≤-a
y 即利用导数易求得
12
7
3≥+-
≤a a 或
函数与导数经典例题(含答案)(训练习题)
函数与导数 1. 已知函数3 2 ()4361,f x x tx tx t x R =+-+-∈，其中t R ∈． （Ⅰ）当1t =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （Ⅱ）当0t ≠时，求()f x 的单调区间； （Ⅲ）证明：对任意的(0,),()t f x ∈+∞在区间(0,1)内均存在零点． 【解析】（19）本小题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、曲线的切线方程、 函数的零点、解不等式等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法，满分14分。 （Ⅰ）解：当1t =时，3 2 2 ()436,(0)0,()1266f x x x x f f x x x '=+-==+- (0) 6.f '=-所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为6.y x =- （Ⅱ）解：2 2 ()1266f x x tx t '=+-，令()0f x '=，解得.2 t x t x =-=或 因为0t ≠，以下分两种情况讨论： （1）若0,,2 t t t x <<-则 当变化时，(),()f x f x '的变化情况如下表： x ,2t ??-∞ ?? ? ,2t t ?? - ??? (),t -+∞ ()f x ' + - + ()f x 所以，()f x 的单调递增区间是(), ,,;()2t t f x ? ?-∞-+∞ ? ??的单调递减区间是,2t t ?? - ??? 。 （2）若0,2 t t t >-< 则，当x 变化时，(),()f x f x '的变化情况如下表： x (),t -∞ ,2t t ??- ??? ,2t ?? +∞ ??? ()f x ' + - + ()f x
函数与导数经典例题--高考压轴题(含答案)之欧阳数创编
函数与导数 时间：2021.03.02 创作：欧阳数 1. 已知函数，其中． （Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程； （Ⅱ）当时，求的单调区间； （Ⅲ）证明：对任意的在区间内均存在零点． 【解析】（19）本小题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、曲线的切线方程、函数的零点、解不等式等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法，满分14分。 （Ⅰ）解：当时， 所以曲线在点处的切线方程为 （Ⅱ）解：，令，解得 因为，以下分两种情况讨论： （1）若变化时，的变化情况如下表：
+ + 所以，的单调递增区间是的单调递减区间是。 （2）若，当变化时，的变化情况如下表： + + 所以，的单调递增区间是的单调递减区间是 （Ⅲ）证明：由（Ⅱ）可知，当时，在内的单调递减，在内单调递增，以下分两种情况讨 论： （1）当时，在（0，1）内单调递减， 所以对任意在区间（0，1）内均存在零点。（2）当时，在内单调递减，在内单调递增，若
所以内存在零点。 若 所以内存在零点。 所以，对任意在区间（0，1）内均存在零点。综上，对任意在区间（0，1）内均存在零点。 2.已知函数，． （Ⅰ）设函数F(x)＝18f(x)－x2[h(x)]2，求F(x)的单调区间与极值； （Ⅱ）设，解关于x的方程 ； （Ⅲ）设，证明：． 本小题主要考查函数导数的应用、不等式的证明、解方程等基础知识，考查数形结合、函数与方程、分类与整合等数学思想方法及推理运算、分析问题、解决问题的能力． 解：（Ⅰ）， ． 令，得（舍去）． 当时．；当时，， 故当时，为增函数；当时，为减函数． 为的极大值点，且． （Ⅱ）方法一：原方程可化为 ， 即为，且 ①当时，，则，即，
高中数学导数典型例题
高中数学导数典型例题 题型一：利用导数研究函数的单调性、极值、最值 1. 已知函数32()f x x ax bx c =+++ 过曲线()y f x =上的点(1,(1))P f 的切线方程为y=3x +1 。 （1）若函数2)(-=x x f 在处有极值，求)(x f 的表达式； （2）在（1）的条件下，求函数)(x f y =在[－3，1]上的最大值； （3）若函数)(x f y =在区间[－2，1]上单调递增，求实数b 的取值范围 2. 已知).(323 2)(23R a x ax x x f ∈--= (1)当41||≤ a 时, 求证：)x (f 在)1,1( -内是减函数; (2)若)x (f y =在)1,1( -内有且只有一个极值点, 求a 的取值范围. 题型二：利用导数解决恒成立的问题 例1：已知322()69f x x ax a x =-+（a ∈R ） ． （Ⅰ）求函数()f x 的单调递减区间； （Ⅱ）当0a >时，若对[]0,3x ?∈ 有()4f x ≤恒成立，求实数a 的取值范围．
例2：已知函数222()2()21x x f x e t e x x t =-++++，1()()2g x f x '= ． （1）证明：当t <时，()g x 在R 上是增函数； （2）对于给定的闭区间[]a b ，，试说明存在实数 k ，当t k >时，()g x 在闭区间[]a b ， 上是减函数； （3）证明： 3()2 f x ≥． 例3：已知3)(,ln )(2-+-==ax x x g x x x f （1）求函数)(x f 在)0](2,[>+t t t 上的最小值 （2）对(0,),2()()x f x g x ?∈+∞≥恒成立，求实数a 的取值范围 题型三：利用导数研究方程的根 例4：已知函数a x ax x f 313)(23-+-=. （Ｉ）讨论函数)(x f 的单调性； （Ⅱ）若曲线()f x 上两点A 、B 处的切线都与y 轴垂直，且线段AB 与x 轴有公共点，求实 数a 的取值范围.
导数复习经典例题分类(含答案)
导数解答题题型分类之拓展篇（一） 编 制:王 平 审 阅：朱 成 2014-05-31 题型一：最常见的关于函数的单调区间；极值；最值；不等式恒成立； 经验1：此类问题提倡按以下三个步骤进行解决： 第一步：令0)('=x f 得到几个根；第二步：列表如下；第三步：由表可知； 经验2：不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题，常见处理方法有四种：第一 种：变更主元（即关于某字母的一次函数）；题型特征（已知谁的范围就把谁作为主元）； 第二种：分离变量求最值（请同学们参考例5）； 第三种：关于二次函数的不等式恒成立； 第四种：构造函数求最值；题型特征（)()(x g x f >恒成立 0)()()(>-=?x g x f x h 恒成立） ；参考例4； 例1.已知函数321()23 f x x bx x a =-++，2x =是)(x f 的一个极值点． （Ⅰ）求()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）若当[1, 3]x ∈时，22()3 f x a ->恒成立，求a 的取值范围． 例2.设2 2(),1 x f x x = +()52(0)g x ax a a =+->。 （1）求()f x 在[0,1]x ∈上的值域；
（2）若对于任意1[0,1]x ∈，总存在0[0,1]x ∈,使得01()()g x f x =成立,求a 的取值范围。 例3.已知函数32()f x x ax =+图象上一点(1,)P b 的切线斜率为3-， 32 6()(1)3(0)2 t g x x x t x t -=+ -++> （Ⅰ）求,a b 的值； （Ⅱ）当[1,4]x ∈-时，求()f x 的值域； （Ⅲ）当[1,4]x ∈时，不等式()()f x g x ≤恒成立，求实数t 的取值范围。 例4.已知定义在R 上的函数32()2f x ax ax b =-+）（0>a 在区间[]2,1-上的最大值是5，最小值是－11. （Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）若]1,1[-∈t 时，0(≤+'tx x f ）恒成立，求实数x 的取值范围.
函数与导数经典例题高考压轴题含答案
函数与导数经典例题-高考压轴 1. 已知函数3 2 ()4361,f x x tx tx t x R =+-+-∈，其中t R ∈． （Ⅰ）当1t =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （Ⅱ）当0t ≠时，求()f x 的单调区间； （Ⅲ）证明：对任意的(0,),()t f x ∈+∞在区间(0,1)内均存在零点． 2. 已知函数21 ()32 f x x = +，()h x = （Ⅰ）设函数F (x )＝18f (x )－x 2[h (x )]2，求F (x )的单调区间与极值； （Ⅱ）设a ∈R ，解关于x 的方程33 lg[(1)]2lg ()2lg (4)24 f x h a x h x --=---； （Ⅲ）设*n ∈N ，证明：1 ()()[(1)(2)()]6 f n h n h h h n -+++≥L ． 3. 设函数ax x x a x f +-=2 2ln )(，0>a （Ⅰ）求)(x f 的单调区间； （Ⅱ）求所有实数a ，使2 )(1e x f e ≤≤-对],1[e x ∈恒成立． 注：e 为自然对数的底数． 4. 设2 1)(ax e x f x +=，其中a 为正实数. （Ⅰ）当3 4 = a 时，求()f x 的极值点；（Ⅱ）若()f x 为R 上的单调函数，求a 的取值范围. 5. 已知a ， b 为常数，且a ≠0，函数f （x ）=-ax+b+axlnx ，f （e ）=2（e=2．71828…是自然对数 的底数）。 （I ）求实数b 的值； （II ）求函数f （x ）的单调区间； （III ）当a=1时，是否同时存在实数m 和M （m 高中数学导数及其应用是高中数学考试的必考内容，而且是这几年考试的热点跟增长点，无论是期中·期末还是会考·高考，都是高中数学的必考内容之一。因此，针对这两各部分的内容和题型总结归纳了具体的解题技巧和方法，希望能够帮助到高中的同学们有更多·更好·更快的方法解决高中数学问题。好了，下面就来讲解常用逻辑用语的经典解题技巧。 第一·认识导数概念和几何意义 1.导数概念及其几何意义 （1）了解导数概念的实际背景。 （2）理解导数的几何意义。 2．导数的运算 （1）能根据导数定义求函数的导数。 （2）能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数。 （3）能求简单的复合函数（仅限于形如的复合函数）的导数。 3．导数在研究函数中的应用 （1）了解函数单调性和导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）。 （2）了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间了函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）。 4．生活中的优化问题 会利用导数解决某些实际问题 5．定积分与微积分基本定理 （1）了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念。 （2）了解微积分基本定理的含义。 总结：先搞清楚导数概念以及几何意义，才能更好地运用其解题技巧！ 第二·导数运用和解题方法 一、利用导数研究曲线的切线 考情聚焦：1．利用导数研究曲线的切线是导数的重要应用，为近几年各省市高考命题的热点。 2．常与函数的图象、性质及解析几何知识交汇命题，多以选择、填空题或以解答题中关键一步的形式出现，属容易题。 函数与导数经典例题高考 压轴题含答案 Last revision on 21 December 2020 函数与导数经典例题-高考压轴 1. 已知函数32()4361,f x x tx tx t x R =+-+-∈，其中t R ∈． （Ⅰ）当1t =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （Ⅱ）当0t ≠时，求()f x 的单调区间； （Ⅲ）证明：对任意的(0,),()t f x ∈+∞在区间(0,1)内均存在零点． 2. 已知函数21()3 2 f x x =+，()h x =． （Ⅰ）设函数F (x )＝18f (x )－x 2[h (x )]2，求F (x )的单调区间与极值； （Ⅱ）设a ∈R ，解关于x 的方程33lg[(1)]2lg ()2lg (4)2 4 f x h a x h x --=---； （Ⅲ）设*n ∈N ，证明：1()()[(1)(2)()]6 f n h n h h h n -+++≥ ． 3. 设函数ax x x a x f +-=22ln )(，0>a （Ⅰ）求)(x f 的单调区间； （Ⅱ）求所有实数a ，使2)(1e x f e ≤≤-对],1[e x ∈恒成立． 注：e 为自然对数的底数． 4. 设2 1)(ax e x f x +=，其中a 为正实数. （Ⅰ）当3 4 =a 时，求()f x 的极值点；（Ⅱ）若()f x 为R 上的单调函数，求a 的取值范围. 5. 已知a ，b 为常数，且a ≠0，函数f （x ）=-ax+b+axlnx ，f （e ）=2（e=2．71828…是 自然对数的底数）。 （I ）求实数b 的值； （II ）求函数f （x ）的单调区间； （III ）当a=1时，是否同时存在实数m 和M （m 考点十一： 导数与函数的单调性 【考纲要求】 （1）了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）. （2）了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间上函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）. 【命题规律】 利用导数研究函数的单调性是高考的热点问题，常常会考查利用导数研究含参函数的单调性，极值. 预计2017年的高考将会在大题中考查利用导数研究函数单调性的问题，命题形式会更加灵活、新颖． 【典型高考试题变式】 （一）原函数与其导函数的图像问题 例1.【2017浙江高考】函数() y f x =的导函数 () y f x '=的图像如图所示，则函数 () y f x =的图像可能 是（ ）. y x O 【变式1】【改编例题中条件，通过原函数的性质判断导函数的图像】【2018河北内丘中学8月月考（理）】设函数 () f x 的导函数为 () f x '，若 () f x 为偶函数，且在 ()0,1上存在极大值，则()f x '的图象可能为 （ ） A. B. C. D. 【变式2】【改编例题中条件，给定解析式，判断其导函数的图像】【2017陕西渭南市二质检】函数 ()2sin 20142x f x x =++，则()'f x 的大致图象是 （ ） A. B. C. D. （二）用导数求不含参数的单调区间 例2.【2017全国2卷（文）】设函数()()21e x f x x =-. （1）讨论 () f x 的单调性. 【变式1】【改编函数条件，函数中含分式】【2016全国2卷（理）】（1）讨论函数 2()e 2x x f x x -= +的单调性， 并证明当0x >时，(2)e 20;x x x -++> （三）用导数求含参函数的单调区间 例3.【2017全国1卷（理）】已知函数()()2e 2e x x f x a a x =+--. （1）讨论 () f x 的单调性； 【变式1】【例题中函数变为求导函数的“主导”函数为二次函数型】【2017全国3卷（文）改编】已知函数 ()()2ln 21f x x ax a x =+++． （1）讨论 () f x 的单调性； 【变式2】【例题中函数变为求导函数的“主导”函数为类二次函数型】【2016全国1卷（文）改编】已知函数 2()(2)e (1)x f x x a x =-+-. （Ⅰ）讨论()f x 的单调性； 【变式3】【例题中函数变为求导函数的“主导”函数为指对数型函数】【2015天津卷（理）改编】已知函数 ()n ,n f x x x x R =-∈，其中*n ,n 2N ∈≥. （Ⅰ）讨论()f x 的单调性； 【变式4】【例题中函数变为求导函数的“主导”函数需要二次求导型】【2016北京卷（理）】设函数 ()e a x f x x bx -=+，曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为(e 1)4y x =-+. （Ⅰ）求a ，b 的值； （Ⅱ）求()f x 的单调区间. 习题课 一、基础过关 1．函数f(x)＝e x(sin x＋cos x)在区间上的值域为________． 2．函数y＝f(x)的图象如下图所示，则导函数y＝f′(x)的图象可能是________．(填序号) 3．使y＝sin x＋ax在R上是增函数的a的取值范围为__________． 4．已知函数f(x)＝(m－2)x2＋(m2－4)x＋m是偶函数，函数g(x)＝－x3＋2x2＋mx＋5在(－∞，＋∞)内单调递减，则实数m等于________．5．若函数y＝x3＋x2＋m在[－2,1]上的最大值为，则m＝________. 6．已知a>0，函数f(x)＝x3－ax在[1，＋∞)上单调递增，则a的最大值为________． 二、能力提升 7．如果函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c(a、b、c∈R)在R上不单调，那 么a、b、c的关系为________． 8．已知函数f(x)＝x3＋x，对任意的m∈[－2,2]，f(mx－2)＋f(x)<0恒成立，则x的取值范围为________． 9．已知函数f(x)＝x3－ax2＋3x＋6，若x＝3是f(x)的一个极值点，求f(x)在[0，a]上的最值． 10．设函数f(x)＝x＋ax2＋b ln x，曲线y＝f(x)过P(1,0)，且在P点处的切线斜率为2. (1)求a，b的值； (2)证明：f(x)≤2x－2. 三、探究与拓展 11．已知a∈R，函数f(x)＝(－x2＋ax)e x(x∈R)． (1)当a＝2时，求函数f(x)的单调区间； (2)若函数f(x)在(－1,1)上单调递增，求a的取值范围． 导数及其应用 【考纲说明】 1、了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度，加速度，光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念。 2、熟记八个基本导数公式；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则，了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数。 3、理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)；会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值。 【知识梳理】 函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ?，那么函数y 相应地有增量y ?=f （x 0+x ?）－f （x 0），比值x y ??叫做函数y=f （x ）在x 0到x 0+x ?之间的平均变化率，即 x y ??=x x f x x f ?-?+)()(00。如果当0→?x 时，x y ??有极限，我们就说函数y=f(x)在点x 0处可 导，并把这个极限叫做f （x ）在点x 0处的导数，记作f’（x 0）或y’|0x x =。 即f （x 0）=0lim →?x x y ??=0lim →?x x x f x x f ?-?+)()(00。 说明： （1）函数f （x ）在点x 0处可导，是指0→?x 时，x y ??有极限。如果x y ??不存在极限，就说 函数在点x 0处不可导，或说无导数。 （2）x ?是自变量x 在x 0处的改变量，0≠?x 时，而y ?是函数值的改变量，可以是零。 由导数的定义可知，求函数y=f （x ）在点x 0处的导数的步骤： （1）求函数的增量y ?=f （x 0+x ?）－f （x 0）； （2）求平均变化率x y ??=x x f x x f ?-?+) ()(00； （3）取极限，得导数f’(x 0)=x y x ??→?0lim 。 二、导数的几何意义 函数y=f （x ）在点x 0处的导数的几何意义是曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率。也就是说，曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率是f’（x 0）。相应地，切线方程为y －y 0=f/（x 0）（x －x 0）。 三、几种常见函数的导数 ①0;C '=②()1;n n x nx -'=③(sin )cos x x '=;④(cos )sin x x '=-; ⑤();x x e e '=⑥()ln x x a a a '=;⑦ ()1ln x x '= ;⑧()1 l g log a a o x e x '=. 四、两个函数的和、差、积的求导法则 法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)， 即：( .)' ''v u v u ±=± 法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以 第二个函数的导数，即： .)(' ''uv v u uv += 若C 为常数,则' ''''0)(Cu Cu Cu u C Cu =+=+=.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数： .)(' 'Cu Cu = 法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积， 再除以分母的平方：??? ??v u ‘=2 ' 'v uv v u -（v ≠0）。 函数与导数 1. 已知函数32()4361,f x x tx tx t x R =+-+-∈，其中t R ∈． （Ⅰ）当1t =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （Ⅱ）当0t ≠时，求()f x 的单调区间； （Ⅲ）证明：对任意的(0,),()t f x ∈+∞在区间(0,1)内均存在零点． 【解析】（19）本小题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、曲线的切线方程、 函数的零点、解不等式等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法，满分14分。 （Ⅰ）解：当1t =时，322 ()436,(0)0,()1266f x x x x f f x x x '=+-==+- (0) 6.f '=-所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为6.y x =- （Ⅱ）解：22 ()1266f x x tx t '=+-，令()0f x '=，解得.2 t x t x =-= 或 因为0t ≠，以下分两种情况讨论： （1）若0,,t t t x <<-则 当变化时，(),()f x f x '的变化情况如下表： 所以，()f x 的单调递增区间是(),,,;()2t t f x ? ?-∞-+∞ ???的单调递减区间是,2t t ??- ??? 。 （2）若0,t t t >-< 则，当x 变化时，(),()f x f x '的变化情况如下表： 所以，()f x 的单调递增区间是(),,,;()2t t f x ??-∞-+∞ ???的单调递减区间是,.2t t ??- ??? （Ⅲ）证明：由（Ⅱ）可知，当0t >时，()f x 在0,2t ?? ???内的单调递减，在,2t ?? +∞ ??? 内单调递增，以下分两种情况讨论： （1）当1,22 t t ≥≥即时，()f x 在（0，1）内单调递减， 2(0)10,(1)643644230.f t f t t =->=-++≤-?+?+< 所以对任意[2,),()t f x ∈+∞在区间（0，1）内均存在零点。 （2）当01,022t t < <<<即时，()f x 在0,2t ?? ???内单调递减，在,12t ?? ??? 内单调递增，若33177(0,1],10.244t f t t t ?? ∈=-+-≤-< ??? 2(1)643643230.f t t t t t =-++≥-++=-+> 所以(),12t f x ?? ???在内存在零点。 若()3377(1,2),110.24 4 t t f t t t ??∈=-+-<-+< ??? (0)10f t =-> 所以()0,2t f x ?? ??? 在内存在零点。 所以，对任意(0,2),()t f x ∈在区间（0，1）内均存在零点。 综上，对任意(0,),()t f x ∈+∞在区间（0，1）内均存在零点。 2. 已知函数21 ()32 f x x = +，()h x = （Ⅰ）设函数F (x )＝18f (x )－x 2[h (x )]2，求F (x )的单调区间与极值； （Ⅱ）设a ∈R ，解关于x 的方程33 lg[(1)]2lg ()2lg (4)24 f x h a x h x --=---； （Ⅲ）设*n ∈N ，证明：1 ()()[(1)(2)()]6 f n h n h h h n -+++≥． 本小题主要考查函数导数的应用、不等式的证明、解方程等基础知识，考查数形结合、函数与方程、分类与整合等数学思想方法及推理运算、分析问题、解决问题的能力． 解：（Ⅰ）223()18()[()]129(0)F x f x x h x x x x =-=-++≥， 2()312F x x '∴=-+． 函数与导数二轮复习建议 金陵中学 朱骏 函数是高中数学的核心内容，因而在历年的江苏高考中，函数一直是考查的重点和热点．高考既注重单独考查函数的基础知识，也会突出考查函数与其它知识的综合应用；既考查具体函数的图象与性质，也考查函数思想方法的应用． 下表列出的是《考试说明》对函数部分具体考查要求及2019年~2019年四年江苏高考 基本题型一：函数性质的研究 例1（2019年江西理改）若f (x )＝ 1 log(2x ＋1) ，则f (x )的定义域为____________． ' 【解析】由???2x ＋1＞0log(2x ＋1)＞0 ，解得?????x ＞－1 2x ＜0 ，故－12＜x ＜0，答案为（－1 2，0）． 说明：以函数定义域为载体，考查对数函数的图象与性质． 例2（2019年江苏）设函数f (x )＝x (e x ＋a e －x )（x ∈R ）是偶函数，则实数a ＝_______． 【解析】 由g (x )＝e x ＋a e －x 为奇函数，得g (0)＝0，解得a =－1；也可以由奇函数的定义解得． 说明：1．函数奇偶性的定义中应关注两点：①定义域关于数0对称是函数具有奇偶性的必要条件；②f (0)＝0是定义域包含0的函数f (x )是奇函数的必要条件．2．利用特殊与一般的关系解题是一种非常重要的方法． 变式：若函数f (x )＝k －2x 1＋k ·2 x （k 为常数）在定义域上为奇函数，则k 的值是_______． 答案：±1． > 例3 设a (0＜a ＜1)是给定的常数，f (x )是R 上的奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数，若f (1 2 )＝0，f (log a t )＞0，则t 的取值范围是________． 【解析】 因为f (x )是R 上的奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数，故f (x )在区间(－∞，0)上也是增函数．画出函数f (x )的草图． 由图得－12＜log a t ＜0或log a t ＞12，解得t (0，a ) ∪(1，a a )． 说明：1．单调性是函数的局部性质，奇偶性是函数的整体 性质，单调性和奇偶性常常结合到一起考查． 2．函数图象是函数性质的直观载体，“以形辅数”是数形结合思想的重要体现． 例4（2019年江苏卷）已知函数f (x )＝???x 2 ＋1，x ≥0，1， x <0，则满足不等式f (1－x 2 )＞f (2x ) 的x 的范围是 ． ￥ 【解析】画出函数f (x )的图象，根据单调性，得???1－x 2 ＞2x ， 1－x 2 ＞0． ，解得 x ∈(－1，2－1)． 说明：1．函数单调性是比较大小和解不等式的重要依据，如果把式f (1－x 2 )＞f (2x )具体化，需要分类，情形比较复杂，本题对能力要求较高．2．分段函数是高考常考的内容之一，解决相关问题时，应注意数形结合、分类讨论思想的运用． 变式：设偶函数f (x )＝log a |x －b |在(－∞，0)上单调递增，则f (a ＋1)与f (b ＋2)的大小关系为________________________． 答案：f (a ＋1)＞f (b ＋2)． 例5（2019年江苏）设a 为实数，函数f (x )＝2x 2 ＋(x －a )|x －a |．（1）若f (0)≥1，求a 的取值范围；（2）求f (x )的最小值；@ （3）设函数h (x )＝f (x )，x ∈(a , +∞)，直接写出．．．． (不需给出演算步骤)不等式h (x )≥1的解集． 高中数学导数经典题型解题技巧（运用方法） 高中数学导数及其应用是高中数学考试的必考内容，而且是这几年考试的热点跟增长点，无论是期中·期末还是会考·高考，都是高中数学的必考内容之一。因此，针对这两各部分的内容和题型总结归纳了具体的解题技巧和方法，希望能够帮助到高中的同学们有更多·更好·更快的方法解决高中数学问题。好了，下面就来讲解常用逻辑用语的经典解题技巧。 第一·认识导数概念和几何意义 1.导数概念及其几何意义 （1）了解导数概念的实际背景。 （2）理解导数的几何意义。 2．导数的运算 （1）能根据导数定义求函数的导数。 （2）能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数。 （3）能求简单的复合函数（仅限于形如的复合函数）的导数。 3．导数在研究函数中的应用 （1）了解函数单调性和导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）。 （2）了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间了函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）。 4．生活中的优化问题 会利用导数解决某些实际问题 5．定积分与微积分基本定理 （1）了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念。 （2）了解微积分基本定理的含义。 总结：先搞清楚导数概念以及几何意义，才能更好地运用其解题技巧！ 第二·导数运用和解题方法 一、利用导数研究曲线的切线 考情聚焦：1．利用导数研究曲线的切线是导数的重要应用，为近几年各省市高考命题的热点。 2．常与函数的图象、性质及解析几何知识交汇命题，多以选择、填空题或以解答题中关键一步的形式出现，属容易题。 解题技巧：1．导数的几何意义 函数在处的导数的几何意义是：曲线在点处的切线的斜率（瞬时速度就是位移函数对时间的导数）。 2．求曲线切线方程的步骤： （1）求出函数在点的导数，即曲线在点处切线的斜率； （2）在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为。 注：①当曲线在点处的切线平行于轴（此时导数不存在）时，由切线定义可知，切线方程为； ②当切点坐标未知时，应首先设出切点坐标，再求解。 例1：（2010 ·海南高考·理科T3）曲线在点处的切线方程为（）（A）（B）（C）（D） 【命题立意】本题主要考查导数的几何意义，以及熟练运用导数的运算法则进行求解. 【思路点拨】先求出导函数，解出斜率，然后根据点斜式求出切线方 函数与导数专题复习 【知识网络】 集合 映射 概念 元素、集合之间的关系 运算：交、并、补 数轴、Venn 图、函数图象 性质 确定性、互异性、无序性 定义 表示 解析法 列表法 三要素 图象法 定义域 对应关系 值域 性质 奇偶性 周期性 对称性 单调性 定义域关于原点对称，在x ＝0处有定义的奇函数→f (0)＝0 1、函数在某个区间递增(或减)与单调区间是某个区间的含义不同； 2、证明单调性：作差（商）、导数法； 3、复合函数的单调性 最值 二次函数、基本不等式、打钩（耐克）函数、三角函数有界性、数形结合、导数. 幂函数 对数函数 三角函数 基本初等函数 抽象函数 复合函数 赋值法、典型的函数 函数与方程 二分法、图象法、二次及三次方程根的分布 零点 函数的应用 建立函数模型 使解析式有意义 导数 函数 基本初等函数的导数 导数的概念 导数的运算法则 导数的应用 表示方法 换元法求解析式 分段函数 几何意义、物理意义 单调性 导数的正负与单调性的关系 生活中的优化问题 定积分与微积分 定积分与图形的计算 注意应用函数的单调性求值域 周期为T 的奇函数→f (T )＝f (T 2)＝f (0)＝0 复合函数的单调性：同增异减 三次函数的性质、图象与应用 一次、二次函数、反比例函数 指数函数 图象、性质 和应用 平移变换 对称变换 翻折变换 伸缩变换 图象及其变换 最值 极值 第1课时 客观题中的函数常见题型 【典例分析】 题型一、函数的解析式 例1．（2010年高考陕西卷理科5）已知函数?????≥+<+=1 ,1 ,12)(2x ax x x x f x ，若((0))f f =4a ， 则实数a =（ ） （A ） 12 （B ）4 5 (C) 2 (D ) 9 题型二、函数的定义域与值域 例2．(2009年江西卷)函数2 34 y x x = --+的定义域为（ ） A ．(4,1)-- B ．(4,1)- C ．(1,1)- D ．(1,1]- 例3．（2008年江西卷）若函数()y f x =的值域是1,32?????? ，则函数()()1 ()F x f x f x =+ 的值域是（ ） A ．[21，3] B ．[2，310] C ．[25，310] D ．[3，3 10] 整理:求函数值域的方法: (1) 观察法:观察函数特点 (2) 图像法:一元二次函数, 对勾函数, 指数函数, 对数函数, 三角函数 (3) 分离常数 (4) 换元法 函数与导数（理科数学） 1、对于R 上的可导函数()f x ，若满足/(1)()0x f x -≥，则必有（C ） A ．(0)(2)2(1)f f f +< B ．(0)(2)2(1)f f f +≤ C ．(0)(2)2(1)f f f +≥ D ．(0)(2)2(1)f f f +> 2、()f x 是定义在(0,)+∞上的非负可导函数，且满足/ ()()0xf x f x -≤对任意正数,a b .若a b <则必有( C ) A.()()af a f b ≤ B.()()bf b f a ≤ C.()()af b bf a ≤ D.()()bf a af b ≤ 3、()f x 是定义在(0,)+∞上的非负可导函数，且满足/()()0xf x f x +≤对任意正数,a b .若a b <则必有( C ) A 、()()af a f b ≤ B 、()()bf b f a ≤ C 、()()af b bf a ≤ D 、()()bf a af b ≤ 4、记{}???>≤=q p q q p p q p 当当.,,min ．若函数? ?? ? ??+=x x x f 2 41log ,log 3min )(， 则函数)(x f 的解析式_______________.2)( 导数典型例题 导数作为考试内容的考查力度逐年增大.考点涉及到了导数的所有内容，如导数的定义，导数的几何意义、物理意义，用导数研究函数的单调性，求函数的最（极）值等等，考查的题型有客观题（选择题、填空题）、主观题（解答题）、考查的形式具有综合性和多样性的特点.并且，导数与传统内容如二次函数、二次方程、三角函数、不等式等的综合考查成为新的热点. 一、与导数概念有关的问题 【例1】函数f (x )=x (x -1) (x -2)…(x -100)在x=0处的导数值为 .1002 C ！ 解法一 f ＇(0)=x f x f x ?-?+→?) 0()0(lim = x x x x x ?--?-?-??→?0 )100()2)(1(lim 0 =lim 0 →?x (Δx -1)(Δx -2)…(Δx -100)=（-1）（-2）…（-100）=100！ ∴选D. 解法二 设f (x )=a 101x 101+ a 100x 100+…+ a 1x +a 0，则f ＇(0)= a 1，而a 1=（-1）（-2）…（-100）=100！. ∴选D. 点评 解法一是应用导数的定义直接求解，函数在某点的导数就是函数在这点平均变化率的极限.解法二是根据导数的四则运算求导法则使问题获解. 【例2】 已知函数f (x )=n n n k k n n n n x c n x c k x c x c c 11212210 ++++++ ，n ∈N *，则 ， x x f x f x ??--?+→?) 2()22(lim 0 = . 解 ∵ x x f x f x ??--?+→?) 2()22(lim 0 =2x f x f x ?-?+→?2) 2()22(lim + []x f x f x ?--?-+→?-) 2()(2lim 0 =2f ＇(2)+ f ＇(2)=3 f ＇(2)， 又∵f ＇(x )=1 1 2 1 --+++++n n n k k n n n x c x c x c c ， ∴f ＇(2)= 21（2n n n k n k n n c c c c 222221+++++ ）=21[(1+2)n -1]= 2 1(3n -1). 点评 导数定义中的“增量Δx ”有多种形式，可以为正也可以为负，如 x m x f x m x f x ?--?-→?-)()(000 lim ，且其定义形式可以是 x m x f x m x f x ?--?-→?) ()(000 lim ，也可以是 00 )()(lim x x x f x f x --→?（令Δx =x -x 0得到），本题是导数的定义与多项式函数求导及二项式定理有关 知识的综合题，连接交汇、自然，背景新颖. 【例3】 如圆的半径以2 cm/s 的等速度增加，则圆半径R =10 cm 时，圆面积增加的速度是 . 高中数学导数经典题型解题技巧（运用方法）高中数学导数及其应用是高中数学考试的必考内容，而且是这几 年考试的热点跟增长点，无论是期中·期末还是会考·高考，都是高 中数学的必考内容之一。因此，针对这两各部分的内容和题型总结归 纳了具体的解题技巧和方法，希望能够帮助到高中的同学们有更多·更好·更快的方法解决高中数学问题。好了，下面就来讲解常用 逻辑用语的经典解题技巧。 第一·认识导数概念和几何意义 1.导数概念及其几何意义 （1）了解导数概念的实际背景。 （2）理解导数的几何意义。 2．导数的运算 （1）能根据导数定义求函数 的导数。 （2）能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数。 （3）能求简单的复合函数（仅限于形如的复合函数）的导数。 3．导数在研究函数中的应用 （1）了解函数单调性和导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）。 （2）了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间了函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）。 4．生活中的优化问题 会利用导数解决某些实际问题 5．定积分与微积分基本定理 （1）了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念。 （2）了解微积分基本定理的含义。 总结：先搞清楚导数概念以及几何意义，才能更好地运用其解题技巧！ 231 (),,,,,y C C y x y x y x y y x ======为常数()f ax b + 第二·导数运用和解题方法 一、利用导数研究曲线的切线 考情聚焦：1．利用导数研究曲线的切线是导数的重要应用，为近几年各省市高考命题的热点。 2．常与函数的图象、性质及解析几何知识交汇命题，多以选择、填空题或以解答题中关键一步的形式出现，属容易题。 解题技巧：1．导数的几何意义 函数在处的导数的几何意义是：曲线在点 处的切线的斜率（瞬时速度就是位移函数对时间的导 数）。 ()y f x =()y f x =0x ()f x '()y f x =00(,())P x f x ()s t t 导数解答题题型分类 题型一：最常见的关于函数的单调区间；极值；最值；不等式恒成立； 经验1此类问题提倡按以下三个步骤进行解决： 第一步：令f'(x) 0得到几个根；第二步：列表如下；第三步：由表可知； 经验2:不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题，常见处理方法有四种：第一种：变更主元 (即关于某字母的一次函数)；题型特征(已知谁的范围就把谁作为主元)；第二种：分离变量求最值(请同学们参考例5)；第三种：关于二次函数的不等式恒成立；第四种：构造函数求最值；题型特征(f(x) g(x)恒成立h(x) f(x) g(x) 0恒成立)；参考例4; 例1.已知函数f (x) 1x3bx22x a，x 2是f (x)的一个极值点. (I)求f(x)的单调递增区间； (U)若当x [1, 3]时，f(x) a2 2恒成立，求a的取值范围. 3 例2.设f(x)2x2 ,g(x) ax 5 2a(a 0)。x 1 (1) 求f(x)在x [0,1]上的值域； (2) 若对于任意x i [0,1]，总存在x o [0,1],使得g(x o) f(x i)成立，求a的取值范围 例3.已知函数f(x) x3 ax2图象上一点P(1,b)的切线斜率为3， 3 t 6 2 g(x) x3 x2 (t 1)x 3 (t 0) 2 (I)求a,b的值；(U)当x [ 1,4]时，求f (x)的值域； (川)当x [1,4]时，不等式f(x) g(x)恒成立，求实数t的取值范围 —11. (I)求函数f (x)的解析式； (U)若t ［ 1,1］时，f (x ) tx 0恒成立，求实数x 的取值范围. x 3 2 10 例5.已知函数f(x)务图象上斜率为3的两条切线间的距离为 仝巴，函数 a 5 (、-、3bx 2 g(x) f(x) — 3. a (1) 若函数g(x)在x 1处有极值，求g(x)的解析式； (2) 若函数g(x)在区间［1,1］上为增函数，且b 2 mb 4 g(x)在区间［1,1］上都成立，求实数 m 的取值范围. 题型二：已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围及函数与 x 轴即方程根的个数问题； 经验1:已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围的常用方法有三种： 第一种：转化为恒成立问题即f '(x) 0或f '(x) 0在给定区间上恒成立，然后转为不等式恒成立 问题；用分离变量时要特别注意是否需分类讨论(看是否在 0的同侧)，如果是同侧则不必分类 讨论；若在0的两侧，则必须分类讨论，要注意两边同处以一个负数时不等号的方向要改变！有 时分离变量解不出来，则必须用另外的方法； 第二种：利用子区间(即子集思想)；首先求出函数的单调增或减区间，然后让所给区间是求的 增或减区间的子集；参考08年高考题； 第三种方法：利用二次方程根的分布，着重考虑端点函数值与0的关系和对称轴相对区间的位置； 可参考第二次市统考试卷； 特别说明：做题时一定要看清楚“在(a,b )上是减函数”与“函数的单调减区间是(a,b ) ”，要 弄清楚两句话的区别； 经验2:函数与x 轴即方程根的个数问题解题步骤 第一步：画出两个图像即“穿线图”(即解导数不等式)和“趋势图”即三次函数的大致趋势 “是 先增后减再增”还是“先减后增再减”； 第二步：由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式 (组)；主要看极大值和极小值与0的关系； 第三步：解不等式(组)即可； 例6?已知函数f (x) 1 x 3 (k 1) X , g(x) 1 kx ，且f (x)在区间(2,)上为增函数. 3 2 3 (1) 求实数k 的取值范围； 例4.已知定义在R 上的函数f(x) 3 2 、, ax 2ax b( a 0)在区间 2,1上的最大值是5,最小值是高中数学导数经典题型解题技巧(运用方法)
函数与导数经典例题高考压轴题含答案
考点11 导数与函数的单调性-2018版典型高考数学试题解读与变式(原卷版)
《导数及其应用》经典例题
导数知识点总结经典例题及解析近年高考题带答案
函数与导数经典例题高考压轴题(含答案)关于
函数与导数二轮复习建议
高中数学导数经典题型解题技巧
函数与导数专题复习()
高三函数与导数专题(含答案)经典
导数典型例题(含答案)
高中数学导数经典题型解题技巧(运用方法)
导数复习经典例题分类(一)