导数定义及公式

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7.若f(x)=,则F (x)=

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& 若f(x)= ，则F (x) =

10.=

12.=

13. y = fYuY,u = g(x) f JU!| y=f ( g ( x )); sin 2x =

##导数：一般地，函数y=f ( x )在x=x°处的瞬时变化率是

，称函数y=f (x )在X=X Q处的导数，记作：f1 (x)或y'|x = x0

o 即f(x o)

##函数y=f ( x )在点处的导数的7Z何戟，就是曲线y=f ( x )在点P()处的切线斜率，也就是说曲线y=f ( x)在点P ()处的切

线斜率(x o ) o相应地，过p点的切线方程为：

y-f (x0 ) =f1 (x0)( x-x0)

##导函数：如果函数y=f ( x )在开区间(a , b )内每一点都可导，就说函数彳(x )在开区间(a, b )内可导。若函数f ( x )在开区间

(a , b )内可导，则f ( x )在(a, b)内每一点的导数构成一个新函数，把这一新函数叫做f (x)在开区间(a , b )内的导函数(简称导数)记作F ( x )或y |或乂

即 F ( x )

一.函数的单调性

—般地，与其导函数的正负有如下关系：在某个区间(a , b), 如果° (x) ,那么函数y=f ( x )在这个区间内单调递增;如果

F (x)

1.如果F (x) ，则f ( x )严格增函数;如果F ( x )

，则f ( X )严格减函数。

2.如果在(a, b)内恒有F (x)，那么f(x)在(a, b )内是常数。

3.fl (x) 是f (x)在此区间上为增函数的充分而不必要条

件。

求函数单调区间的步骤：

1?确定y=f ( x )的定义域;

2?求导数F ( x ),求出F ( x )的根；

3?函数的无定义点和“ (x )的根将f (x)的定义域分成若干区间，列表考查这若干区间内F ( x )的符号，进而确定f ( x )的单调区间。

注意：A?如果一个函数具有相同单调性的区间不止一个，哪个这些单调区间不能用"U"连接，只能用逗号或〃和"字隔开。

B?求函数单调区间时易忽视函数的定义域。应优先考虑函数的定义域。

二.函数的极值:

1 ?定义,设函数f ( X )在点X。附近有定义，如果对X。附近的所有点，都有f ( x ),则称fYX°Y是函数f(X)的一个极大值；如果对氐附近的所有点，都有f ( X ),则称fYX°Y是函数f ( X )的一个极小值。极大值点、极小值点统称极值点，极大值和极小值统称极值。

2 ?判断fYX°Y是极大值或极小值的方法：

第一步，确定函数的定义域，求导数尺(X)；

第二步，求方程F ( X )的根；

第三步，检查F ( X )在F ( X )的根左右两侧的值的符号;

1 ?如果〃左正右负"，那么f ( X )在这个根处取到极大值;

2 ?如果〃左负右正"，那么f ( x )在这个根处取到极小值;

3?如果左右不改变符号，即都为正或都为负，则f ( x )在这个根处无极值。

在此步聚中，最好利用方程F ( X )的根，顺次将函数的定义区间分成若干个开区间，并列表，依表格内容得出结论。

※函数在极值点的导数为0■但导数为0的点不_定是极值点?如函数f(x) =0 ■点x=0就不是极值点，但厂(0);

※函数的极大值不一定大于极小值;

※在给定的一个区间上, 数可能有若干个极值点,也

可能不存在极值点。