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概率论与数理统计练习题(含答案)

第一章随机事件及其概率

练习： 1. 判断正误

（1）必然事件在一次试验中一定发生，小概率事件在一次试验中一定不发生。（B ）

（2）事件的发生与否取决于它所包含的全部样本点是否同时出现。（B ）

（3）事件的对立与互不相容是等价的。（B ）（4）若()0,P A = 则A =?。（B ）

（5）()0.4,()0.5,()0.2P A P B P AB ===若则。（B ）（6）A,B,C 三个事件至少发生两个可表示为AB BC AC ??（A ）（7）考察有两个孩子的家庭孩子的性别，

{()Ω=两个男孩（，两个女孩),(一个男孩，}一个女孩)，则P

{}1

两个女孩。

（B ）

（8）若P(A)P(B)≤，则?A B 。（B ）（9）n 个事件若满足,,()()()

i j i j i j P A A P A P A ?=，则n 个事件相互

独立。（B ）

（10）只有当A B ?时，有P(B-A)=P(B)-P(A)。（A ） 2. 选择题

（1）设A, B 两事件满足P(AB)=0，则?

A. A 与B 互斥

B. AB 是不可能事件

C. AB 未必是不可能事件

D. P(A)=0 或 P(B)=0 （2）设A, B 为两事件，则P(A-B)等于(C)

A. P(A)-P(B)

B. P(A)-P(B)+P(AB)

C. P(A)-P(AB)

D. P(A)+P(B)-P(AB) （3）以A 表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件A 为(D)

A. “甲种产品滞销，乙种产品畅销”

B. “甲乙两种产品均畅销”

C. “甲种产品滞销”

D. “甲种产品滞销或乙种产品畅销”

（4）若A, B 为两随机事件，且B A ?，则下列式子正确的是(A) A. P(A ∪B)=P(A) B. P(AB)=P(A) C. P(B|A)=P(B) D. P(B-A)=P(B)-P(A) （5）设(),(),()P A B a P A b P B c ?===，则()P AB 等于(B)

A. ()a c c + B . 1a c +-

a b c +- D. (1)b c -

（6）假设事件A 和B 满足P(B|A)=1, 则(B)

A. A 是必然事件 B . (|)0P B A = C. A B ? D. A B ? （7）设0

A. 事件A, B 互不相容

B. 事件A 和B 互相

对立

C. 事件A, B 互不独立 D . 事件A, B 互相独立

8.,,.,,.D ,,.,,.,,141

9.(),(),(),(),()375

14131433.,.,.,.,37351535105

A B A AB A B B AB A B C AB A B D AB A B P B A P B A P AB P A P B A B C φφφφ≠=≠====对于任意两个事件必有（C ）

若则一定独立；若则一定独立；若则有可能独立；若则一定不独立；

已知则的值分别为：(D)

三解答题

1.(),(),(),(),(),(),().

P A p P B q P AB r P A B P AB P A B P AB === 设求下列事件的概率：

解：由德摩根律有____

()()1()1;P A B P AB P AB r ?==-=-

()()()();P AB P B AB P B P AB q r =-=-=-

()()()()(1)()1;P A B P A P B P AB p q q r r p ?=+-=-+--=+-

________

()()1[()()()]1().P AB P A B P A P B P AB p q r =?=-+-=-+-

2.甲乙两人独立地对同一目标射击一次，命中率分别是0.6和0.5，现已知目标被命中，求它是甲射击命中的概率。

解：设事件A A B 甲乙表示甲命中，表示乙命中，表示目标被命中。

()()0.6

()=0.75()()0.6+0.5-0.60.5

()=()()()()P A B P A P A B P B P A A A B A B A P B P A A P A A P A P A =

==???=?=甲甲甲甲乙甲甲甲甲乙甲乙甲乙（因为，所以），

目标被命中只要甲乙至少有一个命中即可，所以甲乙独立射击，所以。

3.设一枚深水炸弹击沉一潜艇的概率为0.6，求释放4枚深水炸弹能击沉潜艇的概率。

解：4枚深水炸弹只要有一枚射中就有击沉潜艇的可能，所以设B 表示潜艇被击沉，,1,2,3,4i A i =为第i 枚深水炸弹击沉潜艇。

_______________________

123412344

12341234()()1()1()1()()()()10.4

P B P A A A A P A A A A P A A A A P A P A P A P A =???=-???=-=-=-

4.某卫生机构的资料表明：患肺癌的人中吸烟的占90%，不患肺癌的人中吸烟的占20%。设患肺癌的人占人群的0.1%。求在吸烟的人中患肺癌的概率。

解：设A 表示吸烟，B 表示患肺癌。

已知条件为()90%,()20%,()0.1%.

()()()

()()()()()()

0.0010.9

0.0010.90.9990.2

P A B P A B P B P B P A B P AB P B A P A P B P A B P B P A B =====

+?=

?+? 5.设玻璃杯整箱出售，每箱20个，各箱含0，1，2只残次品的概率分别为0.8，0.1，0.1，一顾客欲购买一箱玻璃杯，由售货员任取一箱，经顾客开箱随机查看4只，若无残次品，则购买，否则不买，求（1）顾客购买此箱玻璃杯的概率。

（2）在顾客购买的此箱玻璃杯中，确实没有残次品的概率。

解：参考书上24页例4 第二章随机变量及其分布

练习题： 1判断正误：

（1）概率函数与密度函数是同一个概念。（B ）

（2）超几何分布在一定条件下可近似成二项分布。（A ）

（3）()P λ中的λ是一个常数，它的概率含义是均值。（A ）（3） ()()P a X b P a X b <<=≤≤。

（B ）（4）若X 的密度函数为()f x =cos x ，则0(0)cos .P X tdt π

π<<=?（B ） 2选择题

（1）若X 的概率函数为

(),0,1,2,a ....k

D P X k a k k A B C e e λλ

λλ

λ-===- 则的值为（D ）

！

（2）设在区间[],a b 上，X 的密度函数()sin f x x =，而在[],a b 之外，

()0f x =，则区间[],a b 等于：(A)

[]

3.0,.0,.,0.0,222A B C D ππππ??

????-????????

????

（3）若(),()()X P m P X m λ~==当时最大？(A)

[]

..1

..B C D A λλλλλ

-或

三解答题

（1）已知一批产品共20个，其中有4个次品，按不放回与有放

回两种抽样方式抽取6个产品，求抽得的次品数的概率分布。解：不放回抽样，次品数(4,6,20)X H ~

6416

(),0,1,2,3,4.k k

C C P X k k C -=== 放回抽样，次品数4(6,

)20

X B ~ 6614

()()(),0,1,2,3,420.55

k k k P X k C k -===

（2）设X 的分布律是11

(1),(1),22

P X P X =-===求它的分布函数。

解：

1,()0,()0;

11,()()(1);

1,()()(1)(1)1;0,0;1(),11

21, 1.

x P X x F x x F x P X x P X x F x P X x P X P X x F x x x <-<==-≤<=≤==-=≤=≤==-+==

=-≤

（3）设连续型随机变量X 的分布函数为

0,0,()sin ,0,21,2

x F x A x x x ππ?

=≤≤??

?>??求（1）常数A 的值

（2）()6

P x π

<（3）X 的密度函数

解：由分布函数的右连续性，函数的右极限值等于函数值有

lim ()(),1sin , 1.22x F x F A A πππ

→

===所以所以

1()()()()sin 0.6

66662

P X P X F F π

πππ<

=--=-= cos ,0,()()20,.

x x f x F x π?

≤≤?

'==???其它

4设随机变量X 的概率密度函数为,12,

()0,Ax x f x ≤≤?=??

其他，求（1）常数A

（2）3

(1)2

P X -<< （3）X 的分布函数。解：由密度函数性质有

21,21,.2

x A Axdx A

A A ==-

=∴=?

2221

-1-11321

5(1)()0.233

P X f x dx dx xdx x -<<==+==

??? 分布函数为：

221

-1

1()()0;

211112()()().33

2,() 1.

x x

x F x P X x x F x P X x f t dt tdt t x x F x ∞≤=<=<<=<====-≥=??

当时，当时，当时 5.电话站为300个电话用户服务，在一小时内每一电话用户使用电话的概率等于0.01，求在一小时内恰有4个用户使用电话的概率：先用二项分布计算，再用泊松分布近似计算，并求相对误差。

解：443004

1300

(4)0.010.990.1689P x C -===，3000.013np λ==?=。 43

23(4)0.16804!

P x e -===

121

-0.53%P P R P ∣ ∣ =

第三章随机变量的数字特征

练习 1判断正误：

（1）只要是随机变量，都能计算期望和方差。（B ）

（2）期望反映的是随机变量取值的中心位置，方差反映的是随机变量取值的分散程度。（A ）

（3）方差越小，随机变量取值越集中，方差越大越分散。（A ）（4）方差的实质是随机变量函数的期望。（A ）

（5）对于任意的X,Y ，都有,()EXY EXEY D X Y DX DY =-=-成立。（B ）（6）若,EX EY =则X Y =。（B ） 2选择题

(1) 对于X 与Y ，若EXY=EXEY ，则下列结论不正确的是（A ） A. X 与Y 相互独立 B. X 与Y 必不相关

C. D(X+Y)=DX+DY

D. cov(X,Y)=0 (2) ~(,), 2.4, 1.44,X B n p EX DX ==则,n p 的值为（B ） A. 4, 0.6 B. 6, 0.4 C. 8, 0.3 D. 24, 0.1

(3) 两个独立随机变量X 和Y 的方差分别为4和2，则3X-2Y 的方差是（D ）

A. 8

B. 16

C. 28

D. 44 (4) 若EX ，DX 存在，则E(DX)，D(EX)的值分别为（C ）

A. X, X

B. DX, EX

C. DX, 0

D. EX, DX 3解答题

（1）X 与Y 相互独立，且EX=EY=1，DX=DY=1，求2

E(X-Y)。

解：

222()()()()110 2.E X Y D X Y E X Y DX DY EX EY -=-+-=++-=++=

（2）设X 与Y 独立同分布，都服从参数为λ的泊松分布，设2,2U X Y V X Y =+=-

求U 与V 的相关系数ρ。解：cov(,).U V EUV EUEV =-

22222()(2)(2)(4)4()()3().

E UV E X Y X Y E X Y DX E X DY E Y λλ=+-=-=+-+=+2(2)(2)(2)(2)3.EUEV E X Y E X Y λλλλλ=+-=+-= 22cov(,)3()33.U V EUV EUEV λλλλ=-=+-=

(2)45;(2)45.DU D X Y DX DY DV D X Y DX DY λλ=-=+==-=+=

ρ=

（3）

1,0

~(1,2),0,0

1,0X X U Y X X -

-==??>?

求EY 及DY 。

解：1(1)0(0)1(1)1(0)1(0)EY P Y P Y P Y P X P X =-?=-+?=+?==-?<+?>

12111.333

=-?

+?= 2222218

(1)(0)1(0)().39

DY EY E Y P X P X =-=-?<+?>-=

（4）假设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2，机器发生故障时全天停止工作，若一周5个工作日里无故障，可获利润10万元，发生一次故障仍可获利润5万元；发生二次故障所获利润为0元；发生三次或三次以上故障就要亏损2万元，求一周内期望利润是多少？解：设X 表示出故障的次数，Y 表示利润。

10,05,1~(5,0.2),0,22,35

X X X B Y X X =??=?

=??-≤≤? 10(0)5(1)(2)[(3)(4)(5)]EY P X P X P X P X P X =?=+?=+-=+=++

0051143324415

5055555100.20.850.20.8(2)[0.20.80.20.80.20.8]EY C C C C C =?+?+-++

化简即可。

（5）汽车起点站分别于每小时的10分、30分和55分钟发车，若乘客不知发车的时间，在每小时的任一时刻随机到达车站，求乘客等候时间的数学期望。

解：设X 表示乘客的到达时间，则Y 表示等候时间，

10,01030,1030~[0,60],55,305570,5560

X X X X X U Y X X X X -≤≤??-<≤?

-<≤??-<≤? 10

305560010305511115(10)(30)(55)(70)10

6060606012

EY x dx x dx x dx x dx =-?

+-?+-?+-?=????第四章正态分布

练习题： 1．判断题：

（1）若2(,),X N μσ 则2

μσ，称为正态分布的两个参数，且

200.μσ≥>，（B ）

（2）正态分布的密度函数是偶函数，其图象关于y 轴对称。（B ）（3）正态分布密度函数的图象对称轴由μ决定，平坦度由2

σ决定。

（A ）

（4）

()()();P a X b b a <≤=Φ-Φ（B ）（5）若(5,1),(5,1),X N Y N - 则(0,2).X Y N + （B ） 2．选择题：

（1）若两个相互独立的随机变量X 和Y 分别服从正态分布(0,1)N 和

(1,1)N ，则（ B ）。

1.(0);.(1);221

1.(0);.(1);2

2A P X Y B P X Y C P X Y B P X Y +≤=+≤=

-≤=-≤=

（2）已知2

(,)X N μσ ，则随σ的增大，()P X μσ-<的值（ C ）。

.....A B C D 单调增加；单调减少；保持不变；

非单调变化

（3）在本门课程中，习惯上用u α表示标准正态分布的上侧α分位数，则()()u B αΦ=

.1;

.1;.2

A B C D α

αα--

无法确定。

（4）若(0,1),X N 且(),P X u αα>=则()().P X u B α>=

..2.

.12

2A B C D α

3解答题

（1）已知

(8,0.5),X N 求 (9),(7.510),(81),(90.5).

P X P X P X P X ≤≤≤-≤-<

解：

(9)(9)(

)(2)0.9772,0.5

1087.58

(7.510)(10)(7.5)()()

0.50.5

(4)(1)(1)0.8413,81

(81)()2(2)10.9544,

0.50.5

(90.5)(0.590.5)(8.59.5)9.588.(

)(0.5P X F P X F F X P X P P X P X P X -≤==Φ=Φ=--≤≤=-=Φ-Φ=Φ-Φ-≈Φ=--≤=≤=Φ-=-<=-<-<=<<-=Φ-Φ58

)10.84130.1587.0.5

-≈-=

（2）某地抽样调查考生的英语成绩（按百分制）计算，近似服从

正态分布，平均成绩为72分，96分以上的占考生总数的2.3%，求考生的英语成绩在6084 分之间的概率。

解：设X 表示考生的英语成绩，则2(72,)X N σ~，由已知有

(96)0.023,P X >=则(96)10.0230.977,P X ≤=-=

即72

9672

(

)(

)0.977,X P σ

--≤

=Φ=查正态分布表知

2,σ

=所以2.1σ=要求

607272

72(6084)()(1)(1)2(1)10.6826

1212

.12

X P X P ---<<=<<

=Φ

-Φ-=Φ-= 第五章

1. 判断正误。

（1）总体是随机变量，样本也是随机变量，并且它们的概率分布

完全相同。（A ）

（2）样本来自总体，样本与样本，样本与总体之间都是相互独立

的。（B ）

（3）统计问题的核心是由样本估计总体，样本容量越大，估计越

准确。（A ）

（4）统计量是样本的函数，但不是所有的统计量都是随机变量。

（B ）

（5）样本均值与EX 是相等的。（B ） 2. 选择题。

（1）12,n X X X 为来自总体2(,)N μσ的一个样本，μ已知，2

σ未知，

则以下是统计量的是（A ）

.()n

i i A X X =-∑

().

i i X X B σ=-∑

i X

C σ

=∑

()

i X

X D σ=-∑

（2）12,n X X X 为来自总体N （0，1）的一个样本，2

,X S 分别为

样本均值和样本方差，则以下不正确的是（ B ）

221.(0,);.

(1)1

.()

.(0,)

i i X

A nX N n

B t n S

C X n

D X N n

χ=~~-~~∑ （3）下列统计量服从2()n χ分布的是：（D ）

()(1).

()(1)1.

,().

i n

i i i X

X n S

A B X

n S

C S X X

D n σ

σμσσ===----=-∑∑∑

（4）1210,X X X 和129,X X X 是分别来自总体(1,4)N 和(2,9)N 的样

本，2212,S S 分别是它们的样本方差，则常数()a C =时，统计量

122aS S 服从(9,8)F 分布。

394..2

..2

9A B C D

（5）若2(),X n χ~则2()()E X C =

22.3.2.2.A n B n

C n n

D n n ++

（6）12,n X X X 为来自总体

(,)N μσ的一个样本，X 为样本均值，则()()P X C μσ-<

.. C.n D.A B σμ与有关；

与有关；

为一常数

（7）设22(6),(5),X Y χχ~~且,X Y 相互独立，则

5()6X

D Y

~ 11..(5,6)

..(6,5)

(5,6)

(6,5)

A B F C D F F F

（8）设

21()(1),,

X t n n Y X >=

则（C ）

22.().(1)

.(,1)

.(1,)AY n BY n C Y F n DY F n χχ~~-~~

（9）设(0,1),(0,1),X N Y N ~~则必有（C ）

2222222

2...A X Y B X Y C X Y X F Y

χχ++服从正态分布服从分布与都服从分布D.服从分布。

第六章参数估计

1. 判断题

(1）参数的点估计适用于总体分布已知但参数未知的情形。A 2参数的点估计由不用的估计法得到的估计量完全相同。B 3同一参数的矩估计量优于极大似然估计量。B 4无偏估计量的函数未必是无偏估计量。A 5同一参数的矩估计量往往不唯一。A 6同一参数的两个估计量方差越小的越有效。B 2．选择题。

（1）若1，1，1，0，1，1是来自总体(1,)B p 的观察值，则p 的矩估计量是（D ）

3215 (5)

A B C D （2）12,n X X X 是来自总体X 的一个样本，且2DX σ=，2,X S 分别是样本均值和样本方差，则必有（ D ）

....A S B S C X S D ES σσσ

=是的无偏估计量是的极大似然估计量与相互独立

（3）正态总体X 的方差2σ已知，为使总体均值的置信度为1α-的置信区间长度不大于L ，则样本容量n 应取（ D ）

44....u u u u A n B n C n D n L L L

αααασσσ

σ≥

≥

≤

≥

（4）总体X 服从(0,)θ上的均匀分布，0θ>未知，12,n X X X 是来

自总体X 的一个样本，则θ的矩估计量为：（B ）

1212..2.min{,}

.max{,}n n A X

B X

C X X X

D X X X

（5）总体X 的分布律为(),0,1,2!

x e P X x x x λ

λ-==

= ，而1，2，5，7，

8是来自X 的观察值，则λ的最大似然估计值为（ C ）

..35

A B C D

（6）123,,X X X 是来自总体X 的一个样本，2DX σ=，则以下无偏估计量中（ B ）最有效。

123

123123

123

3121

..()5553

111111..632

442

A X X X

B X X X

C X X X

D X X X ++++++++

3.解答题

（1）12,n X X X 是来自总体X 的一个样本，其中总体有密度

(),0,

(,)0,x x f x θθθθ?-<

（i ）求未知参数的矩估计量（ii ）判断矩估计量的无偏性（iii ）计算估计量的方差

解：(i)先求总体的一阶原点矩即数学期望

220

22().23

3==33

x x EX x x dx x dx x xdx EX X X X θ

θθ

θθθ

θθθθ

θ=?

-=?-?=?-?=

=???

令即，得。

（ii ）(3)3()3()33

E E X E X E X θ

θθ====?=

，

所以该估计量是无偏估计量。（iii ）估计量的方差

22()();

318

()(3)9()9.

2DX EX E X x x dx DX D D X D X n n

θθθθ

θ=-=?

--====?=? （2）设总体X 的概率密度为(1),01;

()0,x x f x θθ?+<<=??其他

其中-1θ>是未知

参数，分别用矩估计法和极大似然估计法求θ得估计量。解：矩估计法求解，先求总体期望

001

(1)(1)(1),2

21=21x EX x x dx x dx X EX X X X

θθ

θθθθθθθθθθ+++=?+=+=+?

+++-==+-?? 令即，得。

极大似然估计法：先写似然函数

()(1),01,()(1)(),

ln ()[ln(1)()]ln(1)ln()ln(1)ln 0

ln ()ln 0,1= 1.

ln n n

i i i i i n

i i i i n

i n

i i n i

i L x x L x L x x n x d L n

x d n X θ

θθθ

θθθθθθθθθθθθθ========+<<=+=+=++=++=+=+--∏∏∏∏∑∑∑ 化简求对数似然函数

求导并令导数为解得

（3）证明：在所有的无偏估计量1

(1)n n

i i i i i C X C μΛ

====∑∑其中中，样本

均值是最有效的。（此题不用掌握）证明：利用柯西-许瓦兹不等式有

222211

1()(1)1,11

,()(),

i i i i i i i i i i i n n

i i i i i C C C n C C n

DX D C X C n n X σσσ==========?

=?=>?∑∑∑∑∑∑∑∑即而所以最有效。

（4）设1DX =，根据来自总体X 的容量为100的简单随机样本，测得样本均值为5，求X 的数学期望的置信度为0.95的置信区间。解：显然此题是在已知总体X 的方差条件下求总体期望的95%置信区间。故用公式160页的

6.19

00.050.0252

=1===1.96100,

1.96 1.96

55(4.804,5.196).

1010

X X u u u n αμσμ∈+

=∈-+（,其中，，所以（,）=

概率论与数理统计考试试卷

2011 ~2012 学年第一学期《概率论与数理统计》考试试题A卷班级（学生填写）：姓名：学号：命题：审题：审批： ---------------------------------------------------　密　----------------------------　封　----------------------- ----　线　-------------------------------------------- ----- （答题不能超出密封线）使用班级（老师填写）：数学09-1,3班可以普通计算器题号一二三四五六七八九总分得分阅卷人一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在括号中）（本大题共 11 小题，每小题2分，总计 22 分） 1、设A,B为随机事件,则下列各式中不能恒成立的是(C ). A.P) B.,其中P(B)>0 C. D. 2、为一列随机事件,且,则下列叙述中错误的是(D ). A.若诸两两互斥,则 B.若诸相互独立,则 C.若诸相互独立,则 D. 3、设有个人,,并设每个人的生日在一年365天中的每一天的可能性为均等的,则此个人中至少有某两个人生日相同的概率为( A ). A. B. C. D. 4、设随机变量X服从参数为的泊松分布，且则的值为( B ）. A. B. C. D.. 解：由于X服从参数为的泊松分布，故.又故，因此 5、设随机变量X的概率密度函数为的密度函数为(B ). A. B. C. D. 解：这里，处处可导且恒有，其反函数为，直接套用教材64页的公式（5.2），得出Y的密度函数为 6、若,且X,Y相互独立,则( C ). A. B.

《概率论与数理统计》期末考试试题及解答

一、填空题（每小题3分，共15分） 1．设事件B A ,仅发生一个的概率为0.3，且5.0)()(=+B P A P ，则B A ,至少有一个不发生的概率为__________. 答案：0.3 解： 3.0)(=+B A B A P 即 )(25.0)()()()()()(3.0AB P AB P B P AB P A P B A P B A P -=-+-=+= 所以 1.0)(=AB P 9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P . 2．设随机变量X 服从泊松分布，且)2(4)1(==≤X P X P ，则==)3(X P ______. 答案： 161-e 解答： λλ λ λλ---= =+==+==≤e X P e e X P X P X P 2 )2(, )1()0()1(2 由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λλλ λλ---=+e e e 22 即 0122 =--λλ 解得 1=λ，故 16 1)3(-= =e X P 3．设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布，则随机变量2 X Y =在区间)4,0(内的概率密度为=)(y f Y _________. 答案： 04,()()0,. Y Y X y f y F y f <<'===? 其它解答：设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ，密度为()X f x 则 2 ()()())))Y X X F y P Y y P X y y y y y =≤=≤ =≤- - 因为~(0,2)X U ，所以(0X F = ，即()Y X F y F = 故

概率论与数理统计知识点总结详细

概率论与数理统计知识点总结详细 Newly compiled on November 23, 2020

《概率论与数理统计》第一章概率论的基本概念 §2．样本空间、随机事件 1．事件间的关系 B A ?则称事件B 包含事件A ，指事件A 发生必然导致事件B 发生 B }x x x { ∈∈=?或A B A 称为事件A 与事件B 的和事件，指当且仅当A ，B 中至少有一个发生时，事件B A ?发生 B }x x x { ∈∈=?且A B A 称为事件A 与事件B 的积事件，指当A ，B 同时发生时，事件B A ?发生 B }x x x { ?∈=且—A B A 称为事件A 与事件B 的差事件，指当且仅当A 发生、B 不发生时，事件B A —发生 φ=?B A ，则称事件A 与B 是互不相容的，或互斥的，指事件A 与事件B 不能同时发生，基本事件是两两互不相容的且S =?B A φ=?B A ，则称事件A 与事件B 互为逆事件，又称事件A 与事件B 互为对立事件 2．运算规则交换律A B B A A B B A ?=??=? 结合律)()( )()(C B A C B A C B A C B A ?=???=?? 分配律 )()B (C A A C B A ???=??）（徳摩根律B A B A A B A ?=??=? B — §3．频率与概率定义在相同的条件下，进行了n 次试验，在这n 次试验中，事件A 发生的次数A n 称为事件A 发生的频数，比值n n A 称为事件A 发生的频率概率：设E 是随机试验，S 是它的样本空间，对于E 的每一事件A 赋予一个实数，记为P （A ），称为事件的概率 1．概率)(A P 满足下列条件：（1）非负性：对于每一个事件A 1)(0≤≤A P （2）规范性：对于必然事件S 1)S (=P

概率论与数理统计试题库

《概率论与数理统计》试题（1）一、判断题（本题共15分，每小题3分。正确打“√”，错误打“×”） ⑴ 对任意事件A 和B ，必有P(AB)=P(A)P(B) ( ) ⑵ 设A 、B 是Ω中的随机事件,则(A ∪B )-B=A ( ) ⑶ 若X 服从参数为λ的普哇松分布，则EX=DX ( ) ⑷ 假设检验基本思想的依据是小概率事件原理（） ⑸ 样本方差2n S = n 121 )(X X n i i -∑=是母体方差DX 的无偏估计（）二、（20分）设A 、B 、C 是Ω中的随机事件，将下列事件用A 、B 、C 表示出来（1）仅A 发生，B 、C 都不发生；（2）,,A B C 中至少有两个发生；（3）,,A B C 中不多于两个发生；（4）,,A B C 中恰有两个发生；（5）,,A B C 中至多有一个发生。三、（15分）把长为a 的棒任意折成三段，求它们可以构成三角形的概率. 四、（10分）已知离散型随机变量X 的分布列为 2101 31111115651530 X P -- 求2 Y X =的分布列. 五、（10分）设随机变量X 具有密度函数|| 1()2 x f x e -= ，∞＜ x ＜∞，求X 的数学期望和方差. 六、（15分）某保险公司多年的资料表明，在索赔户中，被盗索赔户占20%，以X 表示在随机抽查100个索赔户中因被盗而向保险公司索赔的户数，求(1430)P X ≤≤. x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 Ф(x) 0.500 0.691 0.841 0.933 0.977 0.994 0.999 七、（15分）设12,,,n X X X 是来自几何分布 1 ()(1) ,1,2,,01k P X k p p k p -==-=<< ，的样本，试求未知参数p 的极大似然估计.

概率论与数理统计期末考试试题及解答

概率论与数理统计期末考试试题及解答 Prepared on 24 November 2020

一、填空题（每小题3分，共15分） 1．设事件B A ,仅发生一个的概率为，且5.0)()(=+B P A P ，则B A ,至少有一个不发生的概率为__________. 答案：解：即所以 9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P . 2．设随机变量X 服从泊松分布，且)2(4)1(==≤X P X P ，则 ==)3(X P ______. 答案：解答：由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λλλλλ---=+e e e 22 即 0122=--λλ 解得 1=λ，故 3．设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布，则随机变量2X Y =在区间) 4,0(内的概率密度为=)(y f Y _________. 答案：解答：设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ，密度为()X f x 则因为~(0,2)X U ，所以(0X F = ，即()Y X F y F = 故另解在(0,2)上函数2y x = 严格单调，反函数为()h y =所以 4．设随机变量Y X ,相互独立，且均服从参数为λ的指数分布，2)1(-=>e X P ，则=λ_________，}1),{min(≤Y X P =_________. 答案：2λ=，-4{min(,)1}1e P X Y ≤=- 解答： 2(1)1(1)P X P X e e λ-->=-≤==，故 2λ= 41e -=-. 5．设总体X 的概率密度为 ?????<<+=其它, 0, 10,)1()(x x x f θ θ 1->θ. n X X X ,,,21 是来自X 的样本，则未知参数θ的极大似然估计量为_________. 答案：解答：似然函数为解似然方程得θ的极大似然估计为

概率论与数理统计模拟试题

模拟试题A 一.单项选择题（每小题3分，共9分） 1. 打靶3 发，事件表示“击中i发”，i = 0，1，2，3。那么事件表示( )。 ( A ) 全部击中；( B ) 至少有一发击中； ( C ) 必然击中；( D ) 击中3 发 2.设离散型随机变量x 的分布律为则常数 A 应为 ( )。 ( A ) ；( B ) ；(C) ；(D) 3.设随机变量，服从二项分布B ( n，p )，其中0 < p < 1 ，n = 1，2,…，那么，对于任一实数x，有等于( )。 ( A ) ; ( B ) ; ( C ) ; ( D ) 二、填空题（每小题3分，共12分） 1.设A , B为两个随机事件，且P(B)>0，则由乘法公式知P(AB) =__________ 2.设且有 ,,则 =___________。 3.某柜台有4个服务员，他们是否需用台秤是相互独立的，在1小时内每人需用台秤的概率为，则4人中至多1人需用台秤的概率为：__________________。 4.从1，2，…，10共十个数字中任取一个，然后放回，先后取出5个数字，则所得5个数字全不相同的事件的概率等于___________。三、（10分）已知，求证四、（10分）5个零件中有一个次品，从中一个个取出进行检查，检查后不放回。直到查到次品时为止，用x表示检查次数，求的分布函数：五、（11分）设某地区成年居民中肥胖者占10% ,不胖不瘦者占82% ,瘦者占8% ,又知肥胖者患高血压的概率为20%,不胖不瘦者患高血压病的概率为10% ,瘦者患高血压病的概率为

5%, 试求： ( 1 ) 该地区居民患高血压病的概率; ( 2 ) 若知某人患高血压, 则他属于肥胖者的概率有多大？六、（10分）从两家公司购得同一种元件，两公司元件的失效时间分别是随机变量和，其概率密度分别是：如果与相互独立，写出的联合概率密度，并求下列事件的概率: ( 1 ) 到时刻两家的元件都失效(记为A)， ( 2 ) 到时刻两家的元件都未失效(记为B)， ( 3 ) 在时刻至少有一家元件还在工作(记为D)。七、（7分）证明：事件在一次试验中发生次数x的方差一定不超过。八、（10分）设和是相互独立的随机变量，其概率密度分别为又知随机变量 , 试求w的分布律及其分布函数。九、（11分）某厂生产的某种产品，由以往经验知其强力标准差为 7.5 kg且强力服从正态分布，改用新原料后，从新产品中抽取25 件作强力试验，算得，问新产品的强力标准差是否有显著变化？( 分别取和0.01，已知，）十、（11分）在考查硝酸钠的可溶性程度时，对一系列不同的温度观察它在100ml 的水中溶解的硝酸钠的重量，得观察结果如下：

概率论与数理统计教程习题(第二章随机变量及其分布)(1)答案

概率论与数理统计练习题系专业班姓名学号第六章随机变量数字特征一．填空题 1. 若随机变量X 的概率函数为 1 .03.03.01.02.04 3211p X -，则 =≤)2(X P ；=>)3(X P ；=>=)04(X X P . 2. 若随机变量X 服从泊松分布)3(P ，则=≥)2(X P 8006.0413 ≈--e . 3. 若随机变量X 的概率函数为).4,3,2,1(,2)(=?==-k c k X P k 则=c 15 16 . 4．设A ,B 为两个随机事件，且A 与B 相互独立，P (A )=，P (B )=,则()P AB =____________.（） 5．设事件A 、B 互不相容，已知()0.4=P A ，()0.5=P B ，则()=P AB 6．盒中有4个棋子，其中2个白子，2个黑子，今有1人随机地从盒中取出2个棋子，则这2个棋子颜色相同的概率为____________.（ 13 ） 7．设随机变量X 服从[0,1]上的均匀分布，则()E X ＝____________.（ 12 ） 8．设随机变量X 服从参数为3的泊松分布，则概率密度函数为 __. （k 3 3(=,0,1,2k! P X k e k -==L ）） 9．某种电器使用寿命X （单位：小时）服从参数为1 40000 λ=的指数分布，则此种电器的平均使用寿命为____________小时.（40000） 10在3男生2女生中任取3人，用X 表示取到女生人数，则X 的概率函数为 11.若随机变量X 的概率密度为)(,1)(2 +∞<<-∞+= x x a x f ，则=a π1 ；=>)0(X P ；==)0(X P 0 . 12.若随机变量)1,1(~-U X ，则X 的概率密度为 1 (1,1) ()2 x f x ?∈-? =???其它

概率论与数理统计题库及答案

概率论与数理统计题库及答案一、单选题 1. 在下列数组中，（）中的数组可以作为离散型随机变量的概率分布． (A) 51,41,31,21 (B) 81,81,41,21 (C) 2 1,21,21,21- (D) 16 1, 8 1, 4 1, 2 1 2. 下列数组中，（）中的数组可以作为离散型随机变量的概率分布． (A) 4 1414121 (B) 161814121 (C) 16 3 16 14 12 1 (D) 8 18 34 12 1- 3. 设连续型随机变量X 的密度函数 ???<<=, ,0, 10,2)(其他x x x f 则下列等式成立的是（）． (A) X P (≥1)1=- (B) 21)21(==X P (C) 2 1)21(= < X P (D) 2 1)21(= > X P 4. 若 )(x f 与)(x F 分别为连续型随机变量X 的密度函数与分布函数，则等式（）成立． (A) X a P <(≤?∞ +∞-=x x F b d )() (B) X a P <(≤? = b a x x F b d )() (C) X a P <(≤? = b a x x f b d )() (D) X a P <(≤? ∞+∞ -= x x f b d )() 5. 设 )(x f 和)(x F 分别是随机变量X 的分布密度函数和分布函数，则对任意b a <，有 X a P <(≤=)b （）． (A) ? b a x x F d )( (B) ? b a x x f d )( (C) ) ()(a f b f - (D) )()(b F a F - 6. 下列函数中能够作为连续型随机变量的密度函数的是（）．

概率论与数理统计必考大题解题索引

概率论与数理统计必考大题解题索引编制：王健审核：题型一：古典概型：全概率公式和贝叶斯公式的应用。【相关公式】全概率公式： ()()()()()() n 1122S P()=|()||()() (|)() =()(|)()(|). i n n E S A E B A P A B P B P A B P B P A B P B P AB P B A P A P A P A B P B P A B P B +++= =+12设实验的样本空间为，为的事件，B ，B ，……，B 为的划分，且>0,则有： P ?…其中有：。特别地：当n 2时，有：贝叶斯公式： ()()i 1 00(1,2,,),()(|)() (|)()(|)() =()(|)() (|)()(|)()(|)() i i i i n i i j E S A E A P B i n P B A P A B P B P B A P A P A B P B P AB P A B P B P B A P A P A B P B P A B P B =>>===== +∑12n 设实验的样本空间为。为的事件,B ，B ，……，B 为S 的一个划分，且P ，……则有：特别地：当n 2时，有：【相关例题】 1.三家工厂生产同一批产品，各工厂的产量分别占总产量的40%、25%、35%，其产品的不合格率依次为0.05、0.04、和0.02。现从出厂的产品中任取一件，求：（1）恰好取到不合格品的概率；（2）若已知取到的是不合格品，它是第二家工厂生产的概率。解：设事件表示：“取到的产品是不合格品”；事件i A 表示：“取到的产品是第i 家工厂生产的”（i =123，，）。则Ω== 3 1i i A ，且P A i ()>0，321A A A 、、两两互不相容，由全概率公式得（1）∑=?=3 1 )|()()(i i i A A P A P A P 1000/37100 210035100410025100510040=?+?+?=

概率论与数理统计试题库及答案(考试必做)

<概率论>试题A 一、填空题 1．设 A 、B 、C 是三个随机事件。试用 A 、B 、C 分别表示事件 1）A 、B 、C 至少有一个发生 2）A 、B 、C 中恰有一个发生 3）A 、B 、C 不多于一个发生 2．设 A 、B 为随机事件， P (A)=0.5，P(B)=0.6，P(B A)=0.8。则P(B )A U ＝ 3．若事件A 和事件B 相互独立, P()=,A αP(B)=0.3，P(A B)=0.7,U 则α= 4. 将C,C,E,E,I,N,S 等7个字母随机的排成一行，那末恰好排成英文单词SCIENCE 的概率为 5. 甲、乙两人独立的对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和 0.5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为 6.设离散型随机变量X 分布律为{}5(1/2)(1,2,)k P X k A k ===???则A=______________ 7. 已知随机变量X 的密度为()f x =? ? ?<<+其它,010,x b ax ,且{1/2}5/8P x >=,则a =________ b =________ 8. 设X ～2(2,)N σ,且{24}0.3P x <<=,则{0}P x <= _________ 9. 一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率

为8081 ，则该射手的命中率为_________ 10.若随机变量ξ在（1，6）上服从均匀分布，则方程x 2+ξx+1=0有实根的概率是 11.设3{0,0}7P X Y ≥≥=，4{0}{0}7 P X P Y ≥=≥=，则{max{,}0}P X Y ≥= 12.用（,X Y ）的联合分布函数F （x,y ）表示P{a b,c}X Y ≤≤<= 13.用（,X Y ）的联合分布函数F （x,y ）表示P{X a,b}Y <<= 14.设平面区域D 由y = x , y = 0 和 x = 2 所围成，二维随机变量(x,y)在区域D 上服从均匀分布，则（x,y ）关于X 的边缘概率密度在x = 1 处的值为。 15.已知)4.0,2(~2-N X ，则2(3)E X +＝ 16.设)2,1(~),6.0,10(~N Y N X ，且X 与Y 相互独立，则(3)D X Y -= 17.设X 的概率密度为2 ()x f x -=，则()D X ＝ 18.设随机变量X 1，X 2，X 3相互独立，其中X 1在[0，6]上服从均匀分布，X 2服从正态分布N （0，22），X 3服从参数为λ=3的泊松分布，记Y=X 1－2X 2+3X 3，则D （Y ）= 19.设()()25,36,0.4xy D X D Y ρ===，则()D X Y += 20.设12,,,,n X X X ??????是独立同分布的随机变量序列,且均值为μ,方差为2σ,那么当n 充分大时,近似有X ～或 X ～。特别是，当同为正态分布时，对于任意的n ，都精确有 X ～或～ . 21.设12,,,,n X X X ??????是独立同分布的随机变量序列,且i EX μ=，

概率论与数理统计期末考试题及答案

创作编号： GB8878185555334563BT9125XW 创作者：凤呜大王* 模拟试题一一、填空题（每空3分，共45分） 1、已知P(A) = 0.92, P(B) = 0.93, P(B|A ) = 0.85, 则P(A|B ) = 。 P( A ∪B) = 。 3、一间宿舍内住有6个同学，求他们之中恰好有4个人的生日在同一个月份的概率：；没有任何人的生日在同一个月份的概率； 4、已知随机变量X 的密度函数为：, ()1/4, 020,2 x Ae x x x x ??

8、设总体~(0,)0X U θθ>为未知参数，12,,,n X X X 为其样本， 1 1n i i X X n ==∑为样本均值，则θ的矩估计量为：。 9、设样本129,, ,X X X 来自正态总体(,1.44)N a ，计算得样本观察值10x =，求参数a 的置信度为95%的置信区间：；二、计算题（35分） 1、 (12分)设连续型随机变量X 的密度函数为： 1, 02()2 0, x x x ??≤≤?=???其它求：1）{|21|2}P X -<；2）2 Y X =的密度函数()Y y ?；3）(21)E X -； 2、(12分)设随机变量(X,Y)的密度函数为 1/4, ||,02,(,)0, y x x x y ?<<??

概率论与数理统计复习题--带答案

;第一章一、填空题 1.若事件A?B且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则P(A －B)=（0.3 ）。 2.甲、乙各自同时向一敌机炮击，已知甲击中敌机的概率为0.7，乙击中敌机的概率为0.8．求敌机被击中的概率为（0.94 ）。 3.设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ，Ｃ中不少于二个发生可表示为（AB AC BC ++）。 4.三台机器相互独立运转，设第一，第二，第三台机器不发生故障的概率依次为0.9，0.8，0.7，则这三台机器中至少有一台发生故障的概率为（0.496 ）。 5.某人进行射击，每次命中的概率为０.6 独立射击４次，则击中二次的概率为（ 0.3456 ）。 6.设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ与Ｃ都不发生可表示为（ABC）。 7.设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ，Ｃ中不多于一个发生可表示为（AB AC BC I I）； 8.若事件A与事件B相互独立，且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则P(A|B)=（0.5 ）；

9.甲、乙各自同时向一敌机炮击，已知甲击中敌机的概率为0.6，乙击中敌机的概率为0.5．求敌机被击中的概率为（0.8 ）； 10.若事件A与事件B互不相容，且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则P(B A-)=（0.5 ） 11.三台机器相互独立运转，设第一，第二，第三台机器不发生故障的概率依次为0.8，0.8，0.7，则这三台机器中最多有一台发生故障的概率为（0.864 ）。 12.若事件A?B且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(B A)=（0.3 ）; 13.若事件A与事件B互不相容，且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则P(B A)=（0.5 ） 14.Ａ、Ｂ为两互斥事件，则A B= U（S ）15.Ａ、Ｂ、Ｃ表示三个事件，则Ａ、Ｂ、Ｃ恰有一个发生可表示为（ABC ABC ABC ++） 16.若()0.4 P AB A B= U P AB=0.1则(|) P B=，() P A=，()0.2 （ 0.2 ） 17.Ａ、Ｂ为两互斥事件，则AB=（S ） 18.保险箱的号码锁定若由四位数字组成，则一次）。就能打开保险箱的概率为（1 10000

概率论与数理统计试卷及答案

概率论与数理统计答案一．1．（D ）、2.（D ）、3.（A ）、4.（C ）、5.（C ）二．1．0.85、2. n =5、3. 2 ()E ξ=29、4. 0.94、5. 3/4 三．把4个球随机放入5个盒子中共有54=625种等可能结果--------------3分（1）A={4个球全在一个盒子里}共有5种等可能结果,故 P (A )=5/625=1/125------------------------------------------------------5 分 (2) 5个盒子中选一个放两个球，再选两个各放一球有 302415=C C 种方法----------------------------------------------------7 分 4个球中取2个放在一个盒子里，其他2个各放在一个盒子里有12种方法因此，B={恰有一个盒子有2个球}共有4×3=360种等可能结果.故 125 72625360)(== B P --------------------------------------------------10分四．解：（1） ?? ∞∞-==+=3 04ln 1,4ln 1)(A A dx x A dx x f ---------------------3分（2）? ==+=<10 212ln 1)1(A dx x A P ξ-------------------------------6分（3）3 300()()[ln(1)]1Ax E xf x dx dx A x x x ξ∞-∞= ==-++?? 13(3ln 4)1ln 4ln 4 =-=-------------------------------------10分五．解：（1）ξ的边缘分布为 ??? ? ??29.032.039.02 1 0--------------------------------2分 η的边缘分布为 ??? ? ??28.034.023.015.05 4 2 1---------------------------4分因)1()0(05.0)1,0(==≠===ηξηξP P P ,故ξ与η不相互独立-------5分（2）ξη?的分布列为

概率论与数理统计试题与答案

概率论与数理统计试题与答案 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】

概率论与数理统计试题与答案(2012-2013-1) 概率统计模拟题一一、填空题（本题满分18分，每题3分） 1、设,3.0)(,7.0)(=-=B A P A P 则)(AB P = 。 2、设随机变量p)B(3,~Y p),B(2,~X ，若9 5 )1(= ≥X p ，则=≥)1(Y p 。 3、设X 与Y 相互独立，1,2==DY DX ，则=+-)543(Y X D 。 4、设随机变量X 的方差为2，则根据契比雪夫不等式有≤≥}2EX -X {P 。 5、设)X ,,X ,(X n 21 为来自总体)10(2 χ的样本，则统计量∑==n 1 i i X Y 服从分布。 6、设正态总体),(2σμN ，2σ未知，则μ的置信度为α-1的置信区间的长度 =L 。（按下侧分位数）二、选择题（本题满分15分，每题3分） 1、若A 与自身独立，则（） (A)0)(=A P ； (B) 1)(=A P ；(C) 1)(0<