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外接球习题及答案

外接球习题及答案
外接球习题及答案

一、球与棱柱的组合体问题

1. (2007天津理?12)一个长方体的各顶点均在同一球的球面上,且一个顶点上的三条棱

的长分别为1,2,3,则此球的表面积为 .

2.(2006山东卷)正方体的内切球与其外接球的体积之比为 ( )

A . 1∶3

B . 1∶3

C . 1∶33

D . 1∶9

3.已知正方体外接球的体积是π3

32,那么正方体的棱长等于( ) A.22 B.332 C.324 D.334

4.(吉林省吉林市2008届上期末)设正方体的棱长为233

,则它的外接球的表面积为( ) A .π38

B .2π

C .4π

D .π3

4

5.(2007全国Ⅱ理?15)一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2 cm 的球面上。如果正四

棱柱的底面边长为1 cm ,那么该棱柱的表面积为 cm 2.

6.(2008海南、宁夏理科)一个六棱柱的底面是正六边

形,其侧棱垂直底面.已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上,且该六棱柱的体积为

98

,底面周长为3,则这个球的体积为 .

7.(2012辽宁文)已知点P,A,B,C,D 是球O 表面上的点,PA ⊥平面ABCD,四边形

ABCD 是边长为形

.若,则△OAB 的面积为______________.

二、锥体的内切球与外接球

8.(辽宁省抚顺一中2009届高三数学上学期第一次月考)

棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个 球面上,若过该球球心的一个截面如图,则图中 三角形(正四面体的截面)的面积是 .

9.(2006辽宁)如图,半径为2的半球内有一内接

P A B C D E F -,则此正六棱锥的侧面积是________.

10. (陕西理?6)一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上,其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上,则该正三棱锥的体积是( ) A .433 B .33 C . 43 D .12

3 11.(2009枣庄一模)一个几何体的三视图如右图所示,则该几何体外接球的表面积为 ( )

A .π3

B .π2

C .3

16π D .以上都不对 F

12.正三棱柱111ABC A B C -内接于半径为2的球,若22的边长为ABC ?,则正三棱柱的体积为 .

2014高三补充题:

13.已知长方体的一个顶点上的三条棱长分别是h ,8,4,且它的8个顶点都在同一个球面上,这个球面的表

面积为100π,则________=h

14.三棱锥ABC P -的四个顶点都在半径为4的球面上,且三条侧棱

两两互相垂直,则该三棱锥侧面积的最大值为__________

15.一个空间几何体的三视图如图所示,且这个空间几何体的所有顶点

都在同一个球面上,则这个球的表面积是 .

16.在三棱柱111C B A ABC -中,侧棱1AA 垂直底面,,1,30,900

0==∠=∠BC BAC ACB

且三棱柱 111C B A ABC -的体积为3,则三棱柱111C B A ABC -的外接球表面积为______

17. 在四面体ABCD 中,,5,4,6======BC AD BD AC CD AB

则四面体ABCD 的外接球表面积为______

18.四棱锥ABCD P -的底面是边长为24的正方形,侧棱长都等于54,则经过该棱锥五个顶点的球

面面积为________

19.正三角形ABC 的边长为2,将它沿高AD 翻折,使点B 与点C 间的距离为1,此时四面体ABCD

外接球表面积为______

20.已知O 的直径,4=PQ C B A ,,是球O 球面上的三点,ABC ?是正三角形,且,300=∠=∠=∠CPQ BPQ APQ 则三棱锥ABC P -的体积为() A.433 B.439 C.233 D.4

327 21.(长春第四次调研试题)已知空间4个球,它们的半径分别为2,2,3,3,,每个球都与其他三个球外切,

另有一个小球与这4个球都外切,则这个小球的半径为() A.117 B.116 C.115 D .11

4 22.(辽、哈、东北师大一联模)球O 的球面上有四点,,,,C B A S 其中C B A O ,,,四点共面,ABC ?是边长

为2的正三角形,面SAB ⊥面ABC ,则棱锥ABC S -的体积的最大值为() A. 3 B.

3

1 C.23 D.33

23. (快乐考生预测卷一)已知正方体1111D C B A ABCD -的各顶点都在同一个球面上,若四面体

11CD B A -的表面积为83, 则球的体积为_________

24.(快乐考生预测卷四)如图,一个几何体三视图的正视图和侧视图为边长

为2锐角600的菱形,则此几何体的内切球表面积为( )

A. π8

B.π4

C.π3

D.π2

25.(快乐考生预测卷五)在平行四边形ABCD 中,0=?→

→BC AB ,6222=+→→BD AB ,若将ABD ?沿BD 折成直二面角C BD A --,则三棱锥BCD A -外接球的表面积为________

26.已知矩形ABCD 的顶点都在半径为4的球O 的球面上,且,32,6==BC AB 则棱锥ABCD O -的体

积为________

27.点A,B,C,D 在同一个球的球面上,,2,2==

=AC BC AB 若四面体ABCD 体积的最大值为32,则这个球的表面积为

A.6125π

B.π8 C 425π D.16

25π

1.14π

2. C

3. D

4. C.

5.2+

6.

3

4π7. 3根3

8.

9.

10. B

11. C

12. 8

13.

5 2

14. 32

15. 16pi

16. 16pi

17. 2

77π

18. 100

19. 3

13π

20. B

21. B

22. D

23. π3

4

24. C

25. 6pi

26. 3

8 27. C

2021届高考数学专题:立体几何之内切球和外接球(答案不全)

高考数学中的内切球和外接球问题 一、直接法(公式法) 1、求正方体的外接球的有关问题 例1若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为______________ . 例2 一个正方体的各顶点均在同一球的球面上,若该正方体的表面积为,则该球的体积为 ______________. 2、求长方体的外接球的有关问题 例3 一个长方体的各顶点均在同一球面上,且一个顶点上的三条棱长分别为 ,则此球的表面积 为 . 例4、已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4,体积为16,则这个球的表面积为( ). A.π16 B. π20 C. π24 D.π32 3.求多面体的外接球的有关问题 例5. 一个六棱柱的底面是正六边形,其侧棱垂直于底面,已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上,且该六棱柱的体积为 8 9,底面周长为3,则这个球的体积为 . 241,2,3

二、构造法(补形法) 1、构造正方体 例6 若三棱锥的三条侧棱两两垂直,且侧棱长均为3,则其外接球的表面积是_______________. 例 7 一个四面体的所有棱长都为2,四个顶点在同一球面上,则此球的表面积为( ) A. π3 B. π4 C. π33 D. π6 例8 在等腰梯形ABCD 中,AB=2DC=2,∠DAB=60°,E 为AB 的中点,将△ADE 与△BEC 分布沿ED 、FC 向上折起,使A 、B 重合于点P ,则三棱锥P-DCE 的外接球的体积为( ). A. π2734 B.π26 C. π86 D. π24 6 例9 已知球O 的面上四点A 、B 、C 、D ,DA ⊥平面ABC ,AB ⊥BC ,DA=AB=BC=3,则球O 的体积等于 . 2、构造长方体 例10.已知点A 、B 、C 、D 在同一个球面上,AB ⊥平面BCD ,BC ⊥DC ,若AB=6,AC=

高中数学 立体几何 4.高考数学中的内切球和外接球问题

高考数学中的内切球和外接球问题 一、 有关外接球的问题 一、直接法(公式法) 1、求正方体的外接球的有关问题 例1若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为______________ . 例2一个正方体的各顶点均在同一球的球面上,若该正方体的表面积为24,则该球的体积为______________. 2、求长方体的外接球的有关问题 例3一个长方体的各顶点均在同一球面上,且一个顶点上的三条棱长分别为1,2,3,则此球的表面积为 . 例4已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4,体积为16,则这个球的表面积为( ). A. 16π B. 20π C. 24π D. 32π 3.求多面体的外接球的有关问题 例5一个六棱柱的底面是正六边形,其侧棱垂直于底面,已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上,且该六棱柱的体积为8 9 ,底面周长为3,则这个球的体积为 . 解 设正六棱柱的底面边长为x ,高为h ,则有 ??????==h x x 24368 936 ?? ???= =213 x h

∴正六棱柱的底面圆的半径21=r ,球心到底面的距离2 3 =d .∴外接球的半径22d r R +=. 体积:3 3 4R V π= . 小结 本题是运用公式222d r R +=求球的半径的,该公式是求球的半径的常用公式. 二、构造法(补形法) 1、构造正方体 例5 若三棱锥的三条侧棱两两垂直,且侧棱长均为3,则其外接球的表面积是_______________. 例3 若三棱锥的三个侧面两两垂直,且侧棱长均为3,则其外接球的表面积是 . 故其外接球的表面积ππ942==r S . 小结:一般地,若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直,且其长度分别为c b a ,,,则就可以将这个三棱锥补成一个长方体,于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R ,则有2222c b a R ++=. 出现“墙角”结构利用补形知识,联系长方体。 【原理】:长方体中从一个顶点出发的三条棱长分别为c b a ,,,则体对角线长为222c b a l ++=,几何体的外接球直径为R 2体对角线长l 即2 2 22c b a R ++=

内切球和外接球例题

内切球和外接球例题 This manuscript was revised on November 28, 2020

高考数学中的内切球和外接球问 题 一、直接法(公式法) 1、求正方体的外接球的有关问题 例1若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为 ______________ .27π. 例2 一个正方体的各顶点均在同一球的球面上,若该正方体的表面积为 24,则该球的体积为 ______________. . 2、求长方体的外接球的有关问题 例3 (2007年天津高考题)一个长方体的各顶点均在同一球面上,且一个 顶点上的三条棱长分别为1,2,3,则此球 的表面积为 .14π. 例4、(2006年全国卷I)已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4,体积为16,则这个球的表面积为(). C. A. 16π B. 20π C. 24π D. 32π 3.求多面体的外接球的有关问题 例5. 一个六棱柱的底面是正六边形,其侧棱垂直于底面,已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上,且该六棱柱 的体积为9 8,底面周长为3,则这个球 的体积为 . 解设正六棱柱的底面边长为x, 高为h ,则有 2 63,1 , 2 9 6, 8 x x x h h = ?? = ?? ∴ ?? = ??= ? ? ∴正六棱柱的底面圆的半径 1 2 r= ,球心 到底面的距离2 d= . ∴外接球的半径 1 R==. 4 3 V π ∴= 球 . 二、构造法(补形法) 1、构造正方体 例5 (2008年福建高考题)若三棱 锥的三条侧棱两两垂直,且侧棱长均为,则其外接球的表面积是 _______________.9π 解据题意可知,该三棱锥的三条 侧棱两两垂直,∴把这个三棱锥可以补 的正方体,于是正方体的外接球就是三棱锥的外接球.设其外接球的半径为R,则有 ( ) 222 2 29 R=++= .∴2 9 4 R= .故其外接球的表面积 2 49 S R ππ ==. 小结一般地,若一个三棱锥的三 条侧棱两两垂直,且其长度分别为 a b c 、、,则就可以将这个三棱锥补成 一个长方体,于是长方体的体对角线的 长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R ,则有2R=.

立体几何之内切球与外接球求法(经典习题)

圆梦教育中心 立体几何之内切球与外接球 一、球与棱柱的组合体问题 1. (2007天津理?12)一个长方体的各顶点均在同一球的球面上,且一个顶点上的三条棱 的长分别为1,2,3,则此球的表面积为 . 答案 14π 2.(2006山东卷)正方体的内切球与其外接球的体积之比为 ( ) A . 1∶3 B . 1∶3 C . 1∶33 D . 1∶9 答案 C 3.已知正方体外接球的体积是 π3 32 ,那么正方体的棱长等于( ) A.22 B. 332 C.324 D.3 3 4 4.(吉林省吉林市2008届上期末)设正方体的棱长为23 3,则它的外接球的表面积为( ) A .π3 8 B .2π C .4π D .π3 4 答案C 5.(2007全国Ⅱ理?15)一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2 cm 的球面上。如果正四 棱柱的底面边长为1 cm ,那么该棱柱的表面积为 cm 2. 答案 2+ 6.(2008海南、宁夏理科)一个六棱柱的底面是正六边 形,其侧棱垂直底面.已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上,且该六棱柱的体积为9 8 ,底面周长为3,则这个球的体积为 . 答案 3 4π 7.(2012辽宁文)已知点P,A,B,C,D 是球O 表面上的点,PA ⊥平面ABCD,四边形 ABCD 是边长为正方 形 .若则△OAB 的面积为______________. 二、锥体的内切球与外接球 8.(辽宁省抚顺一中2009届高三数学上学期第一次月考) 棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个 球面上,若过该球球心的一个截面如图,则图中 三角形(正四面体的截面)的面积是 . 答案 9.(2006辽宁)如图,半径为2的半球 内有一内接正六棱锥 P A B C D E F -,则此正六棱锥的侧面积是________. 答案 F

八个有趣模型——搞定空间几何体的外接球与内切球(教师版)

八个有趣模型——搞定空间几何体的外接球与内切球 一、有关定义 1.球的定义:空间中到定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)叫球面,简称球. 2.外接球的定义:若一个多面体的各个顶点都在一个球的球面上,则称这个多面体是这个球的内接多面体,这个球是这个多面体的外接球. 3.内切球的定义:若一个多面体的各面都与一个球的球面相切,则称这个多面体是这个球的外切多面体,这个球是这个多面体的内切球. 二、外接球的有关知识与方法 1.性质: 性质1:过球心的平面截球面所得圆是大圆,大圆的半径与球的半径相等; 性质2:经过小圆的直径与小圆面垂直的平面必过球心,该平面截球所得圆是大圆; 性质3:过球心与小圆圆心的直线垂直于小圆所在的平面(类比:圆的垂径定理); 性质4:球心在大圆面和小圆面上的射影是相应圆的圆心; 性质5:在同一球中,过两相交圆的圆心垂直于相应的圆面的直线相交,交点是球心(类比:在同圆中,两相交弦的中垂线交点是圆心). 初图1 初图2 2.结论: 结论1:长方体的外接球的球心在体对角线的交点处,即长方体的体对角线的中点是球心; 结论2:若由长方体切得的多面体的所有顶点是原长方体的顶点,则所得多面体与原长方体的外接球相同;结论3:长方体的外接球直径就是面对角线及与此面垂直的棱构成的直角三角形的外接圆圆心,换言之,就是:底面的一条对角线与一条高(棱)构成的直角三角形的外接圆是大圆; 结论4:圆柱体的外接球球心在上下两底面圆的圆心连一段中点处; 结论5:圆柱体轴截面矩形的外接圆是大圆,该矩形的对角线(外接圆直径)是球的直径; 结论6:直棱柱的外接球与该棱柱外接圆柱体有相同的外接球; 结论7:圆锥体的外接球球心在圆锥的高所在的直线上; 结论8:圆锥体轴截面等腰三角形的外接圆是大圆,该三角形的外接圆直径是球的直径; 结论9:侧棱相等的棱锥的外接球与该棱锥外接圆锥有相同的外接球. 3.终极利器:勾股定理、正弦定理及余弦定理(解三角形求线段长度); 三、内切球的有关知识与方法 1.若球与平面相切,则切点与球心连线与切面垂直.(与直线切圆的结论有一致性). 2.内切球球心到多面体各面的距离均相等,外接球球心到多面体各顶点的距离均相等.(类比:与多边形的内切圆). 3.正多面体的内切球和外接球的球心重合. 4.正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上,但不一定重合. 5.基本方法: (1)构造三角形利用相似比和勾股定理; (2)体积分割是求内切球半径的通用做法(等体积法). 四、与台体相关的,此略.

内切球和外接球例题之欧阳光明创编

高考数学中的内切球和外接球 问题 欧阳光明(2021.03.07) 一、直接法(公式法) 1、求正方体的外接球的有关问题 例1若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为______________ .27π. 例2 一个正方体的各顶点均在同一球的球面上,若该正方体的表面积为24,则该球的体积为 ______________.. 2、求长方体的外接球的有关问题 例3 (2007年天津高考题)一个长方体的各顶点均在同一球面上,且一个顶点上的三条棱长分别为1,2,3,则此球的表面积为 .14π. 例4、(2006年全国卷I)已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4,体积为16,则这个球的表面积为().C. A.16π B.20π C.24π D.32π 3.求多面体的外接球的有关问题 例5. 一个六棱柱的底面是正六边形,其侧棱垂直于底面,已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上,且该六棱柱的体积为 9 8,底面周长为3,则这个球的体积为 . 解设正六棱柱的底面边长为x,高为h ,则有2 63,1 , 2 9 6, 8 x x x h h = ?? = ?? ∴ ?? =? ??= ? ?∴正六棱柱的底面圆的半径1 2 r= ,球心到底面的距离 d= .∴外接球的半径 *欧阳光明*创编 2021.03.07

*欧阳光明*创编 2021.03.07 22 1R r d =+=. 43V π∴= 球. 二、构造法(补形法) 1、构造正方体 例5 (2008年福建高考题)若三棱锥的三条 侧棱两两垂直,且侧棱长均为3,则其外接球的表面积是_______________.9π 解 据题意可知,该三棱锥的三条侧棱两两垂 直,∴把这个三棱锥可以补成一个棱长为3的正 方体,于是正方体的外接球就是三棱锥的外接球.设其外接球的半径为R ,则有 () ()()() 2 2 2 2 23339 R = ++=.∴29 4R = .故其外接球 的表面积2 49S R ππ==. 小结 一般地,若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直,且其长度分别为a b c 、、,则就可以将这个 三棱锥补成一个长方体,于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R ,则有222 2R a b c = ++.出现“墙角”结构 利用补形知识,联系长方体。 【例题】:在四面体 中,共顶点的三条棱两两垂直,其长度分别为 ,若该四面体 的四个顶点在一个球面上,求这个球的表面积。 解:因为:长方体外接球的直径为长方体的 体对角线长所以:四面体外接球的直径为 的长即: 所以 球的表面积为 例 6.2,四个顶点在同一球面上,则此球的表面积为( ) A.3π B.4π C.33π D.6π 解析:一般解法,需设出球心,作出高线,

高中数学内切球与外接球习题讲义教师版

立体几何中的“内切”与“外接”问题的探究 1 球与柱体 规则的柱体,如正方体、长方体、正棱柱等能够和球进行充分的组合,以外接和内切两种形态进行结合,通过球的半径和棱柱的棱产生联系,然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题. 1.1 球与正方体 如图1所示,正方体1111D C B A ABCD -,设正方体的棱长为a ,G H F E ,,,为棱的中点,O 为球的球心。 常见组合方式有三类:一是球为正方体的内切球,截面图为正方形EFHG 和其内切圆,则2 a r OJ ==; 二是与正方体各棱相切的球,截面图为正方形EFHG 和其外接圆,则 a R OG 2 2 = =; 三是球为正方体的外接球,截面图为长方形11A ACC 和其外接圆,则 2 3'1a R O A = =. 通过这三种类型可以发现,解决正方体与球的组合问题,常用工具是截面图,即根据组合的形式找到两个几何体的轴截面,通过两个截面图的位 置关系,确定好正方体的棱与球的半径的关系,进而将空间问题转化为平 面问题 。 例 1 棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的8个顶点都在球O 的表面上, E F ,分别是棱1AA ,1DD 的中点,则直线EF 被球O 截得的线段长为( ) A. 2 B.1 C.12 + 1.2 球与长方体 长方体各顶点可在一个球面上,故长方体存在外切球.但是不一定存在内切球.设长方体的棱长为,,,a b c 其体对角线为l .当球为长方体的外接球时,截面图为长方体的对角面和其外接圆,和正方体的外接球的道理是一 样的,故球的半径22l R ==

例 2 在长、宽、高分别为2,2,4的长方体内有一个半径为1的球,任意摆动此长方体,则球经过的空间部分的体积为( ) A.10π3 B.4π C.8π3 D.7π3 1.3 球与正棱柱 球与一般的正棱柱的组合体,常以外接形态居多。下面以正三棱柱为例,介绍本类题目的解法——构造直角三角形法。设正三棱柱111C B A ABC -的高为h ,底面边长为a ,如图2所示,D 和1D 分别为上下底面的中心。根据几何体的特点,球心必落在高1DD 的中点O ,a AD R AO h OD 3 3 ,,2= ==,借助直角三角形AOD 的勾股定理,可求2 2 332??? ? ??+??? ??=a h R 。 例3 正四棱柱1111ABCD A B C D -的各顶点都在半径为R 的球面上,则正四棱柱的侧面积有最 值,为 . 2 球与锥体 规则的锥体,如正四面体、正棱锥、特殊的一些棱锥等能够和球进行充分的组合,以外接和内切两种形态进行结合,通过球的半径和棱锥的棱和高产生联系,然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题. 2.1 球与正四面体 正四面体作为一个规则的几何体,它既存在外接球,也存在内切球,并且两心合一,利用这点可顺利解决球的半径与正四面体的棱长关系。 如图4,设正四面体ABC S -的棱长为a ,内切球半径为r ,外接球的半径为 R ,取AB 的中点为D ,E 为S 在底面的射影,连接SE SD CD ,,为正四面体的 高。在截面三角形SDC ,作一个与边SD 和DC 相切,圆心在高SE 上的圆,即 为内切球的截面。

内切球与外接球求法(经典习题)

一、球与棱柱的组合体问题 1. (2007天津理?12)一个长方体的各顶点均在同一球的球面上,且一个顶点上的三条棱 的长分别为1,2,3,则此球的表面积为 . 答案 14π 2.(2006山东卷)正方体的内切球与其外接球的体积之比为 ( ) A . 1∶3 B . 1∶3 C . 1∶33 D . 1∶9 答案 C 3.已知正方体外接球的体积是π3 32,那么正方体的棱长等于( ) A.22 B.332 C.324 D.3 34 4.(吉林省吉林市2008届上期末)设正方体的棱长为233 ,则它的外接球的表面积为( ) A .π38 B .2π C .4π D .π3 4 答案C 5.(2007全国Ⅱ理?15)一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2 cm 的球面上。如果正四 棱柱的底面边长为1 cm ,那么该棱柱的表面积为 cm 2. 答案 2+ 6.(2008海南、宁夏理科)一个六棱柱的底面是正六边 形,其侧棱垂直底面.已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上,且该六棱柱的体积为 98,底面周长为3,则这个球的体积为 . 答案 3 4π 7.(2012辽宁文)已知点P,A,B,C,D 是球O 表面上的点,PA ⊥平面ABCD,四边形 ABCD 是边长为形 .若则△OAB 的面积为______________. 二、锥体的内切球与外接球 8.(辽宁省抚顺一中2009届高三数学上学期第一次月考) 棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个 球面上,若过该球球心的一个截面如图,则图中 三角形(正四面体的截面)的面积是 . 答案 9.(2006辽宁)如图,半径为2的半 球内有一内接正六棱锥 P ABCDEF -,则此正六棱锥的侧面积是________. 答案 F

内切球与外接球习题 专题训练

立体几何中的“内切”与“外接”球专题 1 球与柱体 规则的柱体,如正方体、长方体、正棱柱等能够和球进行充分的组合,以外接和内切两种形态进行结合,通过球的半径和棱柱的棱产生联系,然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题. 1.1 球与正方体 如图1 所示,正方体1111D C B A ABCD -,设正方体的棱长为a ,G H F E ,,,为 棱的中点,O 为球的球心。 常见组合方式有三类:一是球为正方体的内切球,截面图为正方形 EFHG 和其内切圆,则2 a r OJ ==; 二是与正方体各棱相切的球,截面图为正方形EFHG 和其外接圆,则 a R OG 2 2 = =; 三是球为正方体的外接球,截面图为长方形11A ACC 和其外接圆,则 2 3'1a R O A = =. 通过这三种类型可以发现,解决正方体与球的组合问题,常用工具是截 面图,即根据组合的形式找到两个几何体的轴截面,通过两个截面图的位置关系,确定好正方体的棱与球的半径的关系,进而将空间问题转化为平面问题 。 例 1 棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的8个顶点都在球O 的表面上,E F ,分别是棱1AA ,1DD 的中点,则直线EF 被球O 截得的线段长为( ) A . 2 B .1 C .12 + D 1.2 球与长方体 长方体各顶点可在一个球面上,故长方体存在外切球.但是不一定存在内切球.设长方体的棱长为,,,a b c 其体对角线为l .当球为长方体的外接球时,截面图为长方体的对角面和其外接圆,和正方体的外接球的道理是一样的,

故球的半径22l R == 例 2 在长、宽、高分别为2,2,4的长方体内有一个半径为1的球,任 意摆动此长方体,则球经过的空间部分的体积为( ) A.10π 3 B.4π C.8π3 D.7π3 1.3 球与正棱柱 球与一般的正棱柱的组合体,常以外接形态居多。下面以正三棱柱为例,介绍本类题目的解法——构造直角三角形法。设正三棱柱111C B A ABC -的高为h ,底面边长为a ,如图2所示,D 和1D 分别为上下底面的中心。根据几何体的特点,球心必落在高1DD 的中点O ,a AD R AO h OD 3 3 ,,2= ==,借助直角三角形AOD 的勾股定理,可求2 2 332??? ? ??+??? ??=a h R 。 例3 正四棱柱1111ABCD A B C D -的各顶点都在半径为R 的球面上,则正四棱柱 的侧面积有最 值,为 . 2 球与锥体 规则的锥体,如正四面体、正棱锥、特殊的一些棱锥等能够和球进行充分的组合,以外接和内切两种形态进行结合,通过球的半径和棱锥的棱和高产生联系,然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题.

外接球问题典型例题精编版

在三棱柱111ABC A B C -中,已知1AA ABC ⊥平面,12,2 AA BC BAC π ==∠=,此 三棱柱各个顶点都在一个球面上,则球的体积为( ) A . 323 π B .16π C . 253 π D . 312 π 【知识点】线面垂直的性质;球内接多面体;球体积的公式. 【答案解析】A 解析 :解:直三棱111ABC A B C -的各顶点都在同一球面上, (如图), ∵ABC 中,BAC ?ABC 的外心P 为BC 的中点, 同理,可得上底面111A B C 的外心Q 为11B C 的中点, 连接PQ ,则PQ 与侧棱平行,所以PQ ⊥平面ABC 再取PQ 中点O ,可得:点O 到111,,,,,A B C A B C 的距离相等, ∴O 点是三棱柱111ABC A B C -外接球的球心 ∵RT POB 中,12BP BC = =11 12 PQ AA ==, ∴2OB =,即外接球半径2R =, 因此,三棱柱111ABC A B C -外接球的球的体积为:3344233V R p p ==故选:A . 【思路点拨】根据题意并结合空间线面垂直的性质,可得三棱柱111ABC A B C -外接球的球心是上下底面斜边中点的连线段PQ 的中点.在直角RT POB 中,利用勾股定理算出OB 的长,即得外接球半径R 的大小,再用球的体积公式即可算出所 求外接球的体积. 四面体ABCD 中,已知AB=CD=29,AC=BD=34,AD=BC=37,则四面体ABCD 的外 接球的表面积( ) A .25π B .45π C .50π D .100π 【知识点】几何体的外接球的表面积的求法;割补法的应用.

高中数学空间几何体的内切球与外接球问题

空间几何体的内切球与外接球问题 1. [2016 ·全国卷Ⅱ ] 体积为 8 的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为 ( [解析 ]A 因为正方体的体积为 8,所以正方体的体对角线长为 2 3,所以正方体的外接球 的半径为 3,所以球的表面积为 4π· ( 3)2= 12 π . 2.[2016 全·国卷Ⅲ ] 在封闭的直三棱柱 ABC - A 1B 1C 1内有一个体积为 V 的球.若 AB ⊥BC , AB =6, BC =8,AA 1=3,则 V 的最大值是 ( ) -r 1= 10,解得 r 1=2,不合题意;当球与直三棱柱的上、下底面相切时,设球的半径为 r 2, 3 3 3 4 3 9 则 2r 2=3,即 r 2= 32.∴球的最大半径为 32,故 V 的最大值为 43π × 23 =9 2π. 3. [2016 郑·州模拟 ] 在平行四边形 ABCD 中,∠ CBA = 120°, AD =4,对角线 BD =2 3, 将其沿对角线 BD 折起,使平面 ABD ⊥平面 BCD ,若四面体 ABCD 的顶点在同一球面上, 则该球的体积为 _____ 答案: 203 5π;解析:因为∠ CBA = 120°,所以∠ DAB =60°,在三角形 ABD 中,由余弦 3 定理得 (2 3)2=42+AB 2-2×4·AB ·cos 60°,解得 AB = 2,所以 AB ⊥BD.折起后平面 ABD ⊥ 平面 BCD ,即有 AB ⊥平面 BCD ,如图所示,可知 A ,B ,C ,D 可看作一个长方体中的四 4. [2016 山·西右玉一中模拟 ] 球 O 的球面上有四点 S ,A ,B ,C ,其中 O ,A ,B ,C 四点共 面,△ ABC 是边长为 2 的正三角形,平面 SAB ⊥平面 ABC ,则棱锥 S-ABC 的体积的最大 值为 ( ) A. 33 B. 3 C .2 3 D .4 选 A ;[解析] (1)由于平面 SAB ⊥平面 ABC ,所以点 S 在平面 ABC 上的射影 H 落在 AB 上, A .12π 32 B. 3 π C . 8π D . 4π A .4π 9π B. 2π C .6π 32π D. 3 [解析 ]B 当球与三侧面相切时,设球的半径为 r 1,∵ AB ⊥ BC ,AB = 6,BC =8,∴8-r 1+6 个顶点, 长方体的体对角线 AC 就是四面体 ABCD 外接球的直径, 易知 AC = 22+42 =2 5, 所以球的体积为 20 5

(经典)高考球的内切和外接常考类型全归纳

多面体与球的内切和外接常见类型归纳 在平常教学中,立体几何的多面体与球的位置关系,是培养学生的立体感, 空间想象能力的好教材。可是学生在两个几何体的组合后,往往感到无从下手。针对这种情况,笔者把日常教学中有关这方面的习题加以总结和归类如下: 一.正四面体与球 如图所示,设正四面体的棱长为a ,r 为内切球的半径,R 为外接球的半径。则高SE=3 2a,斜 高SD=4 3a ,OE=r=SE-SO ,又SD=BD,BD=SE-OE, 则在 2222)(OE SE BD EB OE OEB -==+?中,直角 r= a 126。R=SO=OB=a 4 6 特征分析: 1. 由于正四面体是一个中心对成图形,所以它的内切球与外接球的球心为同 一个。 2. R=3r. r= a 126 R=a 4 6 。此结论可以记忆。 例题一。1、一个四面体的所有棱长都为2,四个顶点在同一球面上,则此球的 表面积为( ) 分析:借助结论,R= a 46=4 6 2= 2 3 ,所以S=42R π=3π。 2、球的内接正四面体又有一个内切球,则大球与小球的表面积之比是( )

分析:借助R=3r ,答案为9:1。 二、特殊三棱锥与球 四个面都是直角三角形的三棱锥。 SA AB BC ABC ABC ⊥⊥为直角三角形,面, 因为SA ⊥AC ,SB ⊥BC ,球心落在SC 的中点处。所以 R=2 SC 。 三.正方体与球。 1.正方体的外接球 即正方体的8个定点都在球面上。 关键找出截面图:ABCD 为正方体的体对角面。设正方 体的边长为a ,则AB=2a ,BD=2R ,AD=a , R= 2 3 a 。 2. 正方体的内切球。 (1)与正方体的各面相 切。如图:ABCD 为正方 体的平行侧面的正方形。 R=2 a (2)与正方体的各棱相切。 如图:大圆是正方形ABCD 的外接圆。AB=CD=a , R= 2 2a 。 C A C D A

难点突破:立体图形的外接球与内切球问题

立体图形的外接球与内切球问题 一、基础知识与概念: 1.球的截面:用一个平面去截球,截面是圆面;用一个平面去截球面,截面是圆. 大圆:截面过球心,半径等于球半径(截面圆中最大);小圆:截面不过球心. 2.球心和截面圆心的连线垂直于截面. 3.球心到截面的距离d 与球半径R 及截面圆半径r 的关系:222R d r =+. 4.几何体的外接球:几何体的顶点都在球面上;几何体的内切球:球与几何体的各个面都相切. 二、多面体的外接球(球包体) 三棱锥 四棱锥 柱的体积为

A . B . C . D . 【解析】模式辨识:“球包体”中的“垂底侧边棱(母线)”类型,1h =,1R =,底面半径为r , 则由R =得:2 22213124r r ??=+?= ??? ,2 34V r h ππ==. 2.(2010年全国新课标卷第10题)设三棱柱的侧棱垂直于底面,所有棱的长都为,顶点都在一个球面上,则该球的 表面积为 A . B . C . D . 【解析】“球包体”中的“垂底侧边棱”类型,h a = ,r =,2 22222 724312h a a a R r ??=+=+= ??? , 所以该球的表面积22 2 7744123 a a S R ππ==?=.答案B . 3.(2014年全国大纲卷第8题)正四棱锥的顶点都在同一球面上,若该棱锥的高为4,底面边长为2,则该球的表面积 为 A . B . C . D . 【解析】模式辨识:“球包体”中的“顶点连心锥”,4h = ,2 r ==221629284h r R h ++= ==, 所以2 818144164 S R π ππ==? =,答案:A . 4.(2013年全国卷I 第6题)如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8cm ,将一个球 放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6cm ,如果不计容器的厚度,则球的体积为 A .35003cm π B .38663cm π C .313723cm π D .320483cm π 【解析】设水面与球的接触点(切点)为P ,球心为O ,则PO 垂直于正方体的上表面,依题意P 到正方体上表面的距离为2h =,球与正方体上表面相交圆的半径4r =,有:()2 22 2R r R -+=, 2454 r R +?==,所以球的体积3450033V R ππ ==. 三、定心大法:球心在过截面圆的圆心且垂直于截面圆所在平面的直线上. 两圆定心法:如下图,过两个截面圆的圆心分别作相应截面圆的垂线,由两垂线的交点确定圆心. π34 π2 π4 πa 2 a π2 73 a π2 113 a π2 5a π814 π 16π9π274 π

空间几何体的内切球与外接球问题

空间几何体的内切球与外接球问题 1.[2016·全国卷Ⅱ] 体积为8的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为( ) A .12π B.32 3 π C .8π D .4π [解析]A 因为正方体的体积为8,所以正方体的体对角线长为23,所以正方体的外接球的半径为3,所以球的表面积为4π·(3)2=12π. 2.[2016·全国卷Ⅲ] 在封闭的直三棱柱ABC - A 1B 1C 1内有一个体积为V 的球.若AB ⊥BC ,AB =6,BC =8,AA 1=3,则V 的最大值是( ) A .4π B.9π2 C .6π D.32π 3 [解析]B 当球与三侧面相切时,设球的半径为r 1,∵AB ⊥BC ,AB =6,BC =8,∴8-r 1+6-r 1=10,解得r 1=2,不合题意;当球与直三棱柱的上、下底面相切时,设球的半径为r 2, 则2r 2=3,即r 2=32.∴球的最大半径为32,故V 的最大值为43π×????323=92 π. 3.[2016·郑州模拟] 在平行四边形ABCD 中,∠CBA =120°,AD =4,对角线BD =23,将其沿对角线BD 折起,使平面ABD ⊥平面BCD ,若四面体ABCD 的顶点在同一球面上,则该球的体积为________. 答案:2053 π;解析:因为∠CBA =120°,所以∠DAB =60°,在三角形ABD 中,由余弦 定理得(23)2=42+AB 2-2×4·AB ·cos 60°,解得AB =2,所以AB ⊥BD .折起后平面ABD ⊥平面BCD ,即有AB ⊥平面BCD ,如图所示,可知A ,B ,C ,D 可看作一个长方体中的四个顶点,长方体的体对角线AC 就是四面体ABCD 外接球的直径,易知AC =22+42=25, 所以球的体积为205 3 π. 4.[2016·山西右玉一中模拟] 球O 的球面上有四点S ,A ,B ,C ,其中O ,A ,B ,C 四点共面,△ABC 是边长为2的正三角形,平面SAB ⊥平面ABC ,则棱锥S-ABC 的体积的最大 值为( ) A . 3 3 B . 3 C .2 3 D .4 选A ;[解析] (1)由于平面SAB ⊥平面ABC ,所以点S 在平面ABC 上的射影H 落在AB 上,根据球的对称性可知,当S 在“最高点”,即H 为AB 的中点时,SH 最大,此时棱锥S -ABC 的体积最大. 因为△ABC 是边长为2的正三角形,所以球的半径r =OC =23CH =23×32×2=23 3 . 在Rt △SHO 中,OH =12OC =3 3 ,

多面体外接球半径内切球半径的常见几种求法

多面体外接球、内切球半径常见的5种求法 如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上,那么称这个多面体是球的内接多面体,这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题,是立体几何的一个重点,也是高考考查的一个热点.研究多面体的外接球问题,既要运用多面体的知识,又要运用球的知识,并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系,而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用. 公式法 例1 一个六棱柱的底面是正六边形,其侧棱垂直于底面,已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上,且该六棱柱的体积为98 ,底面周长为3,则这个球的体积为 . 解 设正六棱柱的底面边长为x ,高为h ,则有263,1,296,8 x x x h h =??=??∴??=??=?? ∴正六棱柱的底面圆的半径12 r = ,球心到底面的距离d =. ∴外接球的半径1R ==.43 V π∴=球. 小结 本题是运用公式222R r d =+求球的半径的,该公式是求球的半径的常用公式. 多面体几何性质法 例2 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4,体积为16,则这个球的表面积是 A.16π B.20π C.24π D.32π 解 设正四棱柱的底面边长为x ,外接球的半径为R ,则有2416x =,解得2x =. ∴2R R ==∴= .∴这个球的表面积是2424R ππ=.选C. 小结 本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的. 补形法 例3 若三棱锥的三个侧棱两两垂直, 则其外接球的表面积是 . 解 据题意可知,该三棱锥的三条侧棱两两垂直, ∴把这个三棱锥可以补成一个棱长为. 设其外接球的半径为R ,则有( ) 222229R = ++=.∴294R =. 故其外接球的表面积249S R ππ==. 小结 一般地,若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直,且其长度分别为a b c 、、,则就可以将这个三棱锥补成一个长方体,于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R ,则有2R =

内切球与外接球求法(经典习题)

、球与棱柱的组合体问题 1. (2007天津理?12)一个长方体的各顶点均在同一球的球面上,且一个顶点上的三条棱 的长分别为1,2,3,则此球的表面积为__________ . 答案14 n 2. (2006山东卷) A. 1 : ..3正方体的内切球与其外接球的体积之比为() D. 1 : 9 B. 1 : 3 C. 1 : 3、3 答案C 32 3.已知正方体外接球的体积是32,那么正方体的棱长等于() 3 匚 2.3 4.2 4.3 A.2 2 B.- C.- D.- 333 4. (吉林省吉林市2008届上期末)设正方体的棱长为竽,则它的外接球的表面积为() 8 4 A . B. 2 n C. 4 n D.— 3 3 答案C 5. (2007全国n理?15)一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2 cm的球面上。如果正四 棱柱的底面边长为1 cm,那么该棱柱的表面积为______ cm2. 答案2 4、, 2 6. (2008海南、宁夏理科)一个六棱柱的底面是正六边 9 形,其侧棱垂直底面.已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上,且该六棱柱的体积为-,底面周长为3, 8 则这个球的体积为_____________ . 4 答案— 3 7. (2012辽宁文)已知点P,A,B,C,D是球O表面上的点,PA丄平面ABCD四边形ABCD是边长为2 .3正方 形.若PA=2j6,则厶OAB的面积为_________________ 、锥体的内切球与外接球 8. (辽宁省抚顺一中2009届高三数学上学期第一次月考 棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个 球面上,若过该球球心的一个截面如图,则图中三角形 (正四面体的截面)的面积是 9. (2006辽宁)如图,半径为2的半球内有 P ABCDEF,则此正六棱锥的侧面积是 ___________ . 答案6 : 7答案 一内接正六棱锥 B P

立体几何之内切球与外接球求法(经典习题)

立体几何之内切球与外接球 一、球与棱柱的组合体问题 1. (优质试题天津理?12)一个长方体的各顶点均在同一球的球面上,且一个顶点上的三条棱 的长分别为1,2,3,则此球的表面积为 . 答案 14π 2.(优质试题山东卷)正方体的内切球与其外接球的体积之比为 ( ) A . 1∶3 B . 1∶3 C . 1∶33 D . 1∶9 答案 C 3.已知正方体外接球的体积是π3 32 ,那么正方体的棱长等于( ) A.22 B. 332 C.324 D.3 3 4 4.(吉林省吉林市优质试题届上期末)设正方体的棱长为23 3,则它的外接球的表面积为( ) A .π3 8 B .2π C .4π D .π3 4 答案C 5.(优质试题全国Ⅱ理?15)一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2 cm 的球面上。如果正四 棱柱的底面边长为1 cm ,那么该棱柱的表面积为 cm 2. 答案 2+6.(优质试题海南、宁夏理科)一个六棱柱的底面是正六边

形,其侧棱垂直底面.已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上,且该六棱柱的体积为98,底面周长为3,则这个球的体积为 . 答案 3 4π 7.(优质试题辽宁文)已知点P,A,B,C,D 是球O 表面上的点,PA ⊥平面ABCD,四 边形ABCD 是边长为 2正方形.若 PA=2,则△OAB 的面积为______________. 二、锥体的内切球与外接球 8.(辽宁省抚顺一中优质试题届高三数学上学期第一次月考) 棱长为2 球面上,若过该球球心的一个截面如图,则图中 三角形(正四面体的截面)的面积是 . 答案 9.(优质试题辽宁)如图,半径为2的半球内有一内接 正六棱锥 P A B C D E -,则此正六棱锥的侧面积是 ________. 答案 10. (陕西理?6)一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上,其中底面 的三个顶点在该球的一个大圆上,则该正三棱锥的体积是( )

高考数学中的内切球和外接球问题(附习题)

高考数学中的内切球和外接球问题 一、有关外接球的问题 如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上,那么称这个多面体是球的内接多面体,这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题,是立体几何的一个重点,也是高考考查的一个热点.考查学生的空间想象能力以及化归能力?研究多面体的外接球问题,既要运用多面体的知识,又要运用球的知识,并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系,而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用. 一、直接法(公式法) 1、求正方体的外接球的有关问题 例1若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为_________________ 27— 例2 一个正方体的各顶点均在同一球的球面上,若该正方体的 表面积为24,则该球的体积为_________________ 3届. 2、求长方体的外接球的有关问题 例3一个长方体的各顶点均在同一球面上,且一个顶点上的三条 棱长分别为1,2,3,则此球的表面积为 _________ .14. 例4、已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为 4, 体积为16,则这个球的表面积为().C A. 16兀 B. 20兀 C. 24兀 D. 32兀

3?求多面体的外接球的有关问题 例5. 一个六棱柱的底面是正六边形,其侧棱垂直于底面,已知 8,底面周 长为3,则这个球的体积为 的半径的常用公式. 二、构造法(补形法) 1、构造正方体 例5若三棱锥的三条侧棱两两垂直,且侧棱长均为 ' 3 ,则其外 接球的表面积是 __________________ 护. 例3若三棱锥的三个侧面两两垂直,且侧棱长均为3 ,则其外 接球的表面积是 ________ . 2 故其外接球的表面积S=4「:R =9二. 小结:一般地,若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直,且其长度分 别为a 、b 、c,则就可以将这个三棱锥补成一个长方体, 于是长方体的 体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径?设其外接球的半径为R , 该六棱柱的顶点都在同一个球面上, 且该六棱柱的体积为 解 设正六棱柱的底面边长为 x ,咼为 h ,则有 6x =3, 9 3 2U 6 x h, 8 4 1 x , 2_ h = . 3. 二正六棱柱的底面圆的半径 接球的半径R ^-:r 2 d 2 .体积: 小结本题是运用公式R 2 1 r = 2 ,球心到底面的距离 4兀3 V R 3. 3 d 2求球的半径的,该公式是求球

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