《正弦定理》教学设计
教学目标:
1、理解并掌握正弦定理,总结归纳用正弦定理解三角形问题的步骤。
2、探究证明定理的方法,理解正弦定理是对任意三角形中“大边对大角、小边对小角”的量化研究,从中体会知识的发生发展过程。
3、在探究及其证明的过程中,培养学生发现问题、解决问题的能力,初步感知数学中由定性到定量的思维方法。
教学任务分析:
正余弦定理作为解三角形的基础,重要性不言而喻。一方面它们可以合力解决数学中的大量问题;另一方面,它们在实践中也发挥着重大作用,比如距离、高度、速度等的测量。这节课是正弦定理的第一节课,需要先证明正弦定理和明确正弦定理可以解决哪些三角形问题。正弦定理的证明方法有很多,比如平面几何法和向量法,也是简单的方法,可是它们都无法轻易得出比值是2R这一结论,因而我在教学中采用外接圆的方法,将三角形内角转化成直角三角形中的锐角,再利用锐角三角函数得出定理,过程稍稍复杂,可对于提高学生分析问题、解决问题的能力还是有帮助的。这节课还会通过练习让学生总结归纳正弦定理解三角形的类型和方法。综上,我将本节课的教学重点定为:正弦定理的证明及其使用。
学生情况分析:
一方面,正弦定理和余弦定理作为解三角形的理论基础,它们形式简洁漂亮,学生易于接受。在探究证明方法时,学生也具备一定的分析问题的能力,也储备了一些知识,比如初中时平面几何中的知识和已经学习过的三角函数的知识,他们也知道也将问题做类比和转化,这些无疑都是有利的。可是,另一方面,高一的学生在综合应用所学知识上还有欠缺,思维也不够缜密,比如这节课从直角三角形中得到边角关系后,接下来要证明在任意三角形中也成立,学生可能束手无策,不知道将问题引向何处,这时就需要教师的引导。另外,现在很多学生运算能力相对薄弱,也会导致用正弦定理解三角形时漏解或多解情况的出现。总之,我认为学好正余弦定理也是将学生的思维水平和运算能力提高的一个好机会。综上,我将本节课的教学难点定为:
1、探究定理证明的方法,比值等于2R的由来。
2、由正弦函数在区间上的单调性分析正弦定理是一种定量的研究。
3、应用正弦定理解决第二类问题时,可能碰见多解的情况。
教学工具:多媒体课件。
教学过程:
一、创设问题情境,引入新课
问题1:初中时你学过哪些关于三角形边角关系的结论?问题2:对于任意三角形中的边角关系“大边对大角、小边对小角”仅是一种感性认识,或者说定性分析,能否利用所学的知识得到这个边角关系准确的量化表示?如右图。
设计意图:对于问题1,学生可以提供多种答案,教师可以往任意三角形这个方向引导,问题2则开门见山奔向这节课的主题。
二、正弦定理的证明及其应用
(一)定理的证明
对于边角关系,首先想到的是特殊三角形,即直角三角形中的边角关系,我们先得到直角三角形中的结论,然后看能否推广到一般三角形中。
如右图,,
因而,
由于C=900,sinC=1
所以可得
问题3:这是一个连比的式子,三者的比值相等,那么这个比值具体应该是多少呢?
分析:比值等于,联想到直角三角形外接圆的圆心在斜边的中点上,即斜边是外接圆的直径,用2R表示。
由此得到
设计意图:这个问题的解答很关键,起到承上启下的作用。接下来,只需探讨该结论是否适合一般三角形,而2R是三角形外接圆的直径,就会自然而然将学生引向利用外接圆研究一般三角形中的边角关系。
以下是锐角三角形和钝角三角形中该结论的证明:
若△ABC是锐角三角形,则外接圆圆心在该三角形内部。连外接圆的一条直径BD,则
所以
因而
所以
在与学生共同探究的过程中,可以设置下面的问题:
(1)受直角三角形的启发,应该会用到锐角三角函数,所以一定要构造直角三角形,在外接圆已经做出的情况下,如何去构造直角三角形?
(2)如何转化角?即为什么?
若△ABC是钝角三角形,则外接圆圆心在三角形外部。
连直径BD,则可得(想一想,为什么?)
在Rt△BCD中,
又A=1800-D
所以sinA=sin(1800-D)=
即
得出与锐角三角形中相同
因而在钝角△ABC中,仍然成立。
综上,在任意△ABC中,都成立,即各边与其所对角的正弦的比值相等,且都等于三角形外接圆的直径,由于该式涉及角的正弦,即称作正弦定理。
问题3:如何说明正弦定理是对任意三角形中边角关系的一种量化表示?
分析:我们不妨反过来解释为什么“大角对大边,小角对小边”,即。由正弦定理可知,只需说明即可。
(1)若A、B都是锐角,,则。
(2)若A是钝角,B是锐角,由A+B<,得B<-A,又因而sinB 设计意图:此问题是本节课的难点之一,很多同学会使用正弦定理,但是对于定理是刻画任 意三角形边角关系这一意义含糊不清。在这会用到在上的单调性进行分析,尤其是对于第二种情况,值得同学思考。 定理的变式: (1)(边化角) (2)(角化边) (3) (4) (二)正弦定理的应用 解三角形:称为三角形的元素,已知某些元素求其他元素的过程。例1:△ABC中,已知=20,A=300,C=450,解此三角形。 分析:这属于已知两边一角,求其余的一角两边的问题。 例2:△ABC中,已知,=1,B=450,解此三角形。 分析:这属于已知两边及其一边的对角,求其余两角一边的问题。 问题4:对于例2,,可能出现两解,如何取舍?进一步思考,为什么例1只有一解而例2有可能多解? 设计意图:用正弦定理的时候很容易出错的就是多解的情形,通过此例让学生探索取舍的办法。已知两角一边实质上该三角形就是确定的,而两边及其一边的对角时这样的三角形并不唯一。如果在课堂上可以顺利得出这样的结论,那学生会有茅塞顿开的感觉,势必会加强学习数学的兴趣和自信。 练习:已知在△ABC中,A=450,=2,,解此三角形。 问题5:通过以上例题和练习,总结归纳正弦定理可以解决怎样的三角形问题,归纳出步骤。设计意图:这是本节课的收尾问题,由学生自己总结归纳。正弦定理应该是知三求三的过程,需要知道三个独立的条件,这点需要学生明白。 三、课堂小结 1、本节课的重要内容——正弦定理,是任意三角形中边角关系的准确量化。 2、本节课的思想方法:证明正弦定理时,先从直角三角形中得到结论,然后推广到一般三角形中,这种从特殊到一般的研究方法是数学中常用的思想方法。另外,还有类比、转化、归纳等方法。 四、教后心得 本节课是我刚上完的课,感触很深。证明正弦定理的方法很多,有比这种外接圆的方法简单的证明方法,比如向量法和课本上通过高的方法,但是唯有这种方法能够比较简单的得到比值是2R这样的结论,当然中间的过程也不算简单,要构造直角三角形,要将角转化,可是这些对于学生思维水平的提高还是很有帮助的,也能使得学生更加清楚数学知识发生发展的过程,将未知问题转化为自己可以动手操作的问题,我认为这一点意义还是很大。还有对于 多解的情况,我希望学生可以借助内角和和大边对大角来判断,并没有加大这一点的难度。当然对于这节课的教法也希望得到更多老师、专家的指导。 板书设计: 1. 正弦定理的证明 直角三角形 锐角三角形 钝角三角形 2. 变式 3. 例题、练习 第 1 课时: §1.1 正弦定理(1) 【三维目标】: 一、知识与技能 1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索,掌握正弦定理的内容和推导过程; 2.能解决一些简单的三角形度量问题(会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题);能够运用正弦定理解决一些与测量和几何计算有关的实际问题; 3.通过三角函数、正弦定理、向量数量积等多处知识间联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一. 4.在问题解决中,培养学生的自主学习和自主探索能力. 二、过程与方法 让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中,边与其对角的关系,引导学生通过观察,推导,比较,由特殊到一般归纳出正弦定理,并进行定理基本应用的实践操作。 三、情感、态度与价值观 1.培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力; 2.培养学生合情推理探索数学规律的数学思想能力,通过三角函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。 【教学重点与难点】: 重点:正弦定理的探索和证明及其基本应用。 难点:已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。 【学法与教学用具】: 1. 学法:引导学生首先从直角三角形中揭示边角关系: sin sin sin a b c A B C == ,接着就一般斜三角形进行探索,发现也有这一关系;分别利用传统证法和向量证法对正弦定理进行推导,让学生发现向量知识的简捷,新颖。 2. 教学用具:多媒体、实物投影仪、直尺、计算器 【授课类型】:新授课 【课时安排】:1课时 【教学思路】: 一、创设情景,揭示课题 1.在直角三角形中的边角关系是怎样的? 2.这种关系在任意三角形中也成立吗? 3.介绍其它的证明方法 二、研探新知 1.正弦定理的推导 (1)在直角三角形中:c a A = sin ,1sin ,sin ==C C B B , 即 =c A a sin ,=c B b sin ,=c C c sin ∴A a sin =B b sin =C c sin 能否推广到斜三角形? (2)斜三角形中 证明一:(等积法,利用三角形的面积转换)在任意斜△ABC 中,先作出三边上的高AD 、BE 、CF ,则sin AD c B =,sin BE a C =,sin CF b A =.所以111 sin sin sin 222 ABC S ab C ac B bc A ?= ==,每项 湘文艺2011课标版四年级上册第十一课《如果幸福你就拍拍手》南漳县肖堰镇高峰完全小学 1教学目标 1、通过歌曲《如果幸福你就拍拍手》的演唱,感受歌曲的舞蹈性,能带着快乐的情绪,借助肢体、表情来参与活动。 2、能通过练唱,感受和掌握附点八分音符的节奏。 3、在唱演过程中培养集体合作创编歌词和舞蹈动作的能力。 2学情分析) 四年级学生学习态度积极,学生思维敏捷,接受能力较强,对于新事物有很强的兴趣,在音乐的歌曲演唱教学中能够积极主动地运用音乐歌唱方式来演唱,做到声情并茂,但对于音乐的信息量还不够,再分析歌曲与歌曲的表现设计的能力还略显不足. 3重点难点 掌握附点八分音符的节奏;创编歌词,激发学生学习音乐的兴趣,增进同学之间的友爱、团结,互相合作,互相帮助,并养成创造的好品质。 4教学过程 4.1第一学时 4.1.1教学活动 活动1【导入】导入新课 师:同学们,在上课之前,老师有一个问题想问大家“你们觉得幸福是什么?” 师:很多同学都说了自己的幸福,有的人觉得幸福是吃上一口棒棒糖,幸福的味道是甜的;有的人觉得幸福是跟爸爸妈妈在一起;有的人觉得幸福就是获奖时的兴奋与激动;有的人觉得幸福就是在学校里跟小伙伴一起快乐的玩耍;有的人觉得幸福就是助人为乐等等。 活动2【讲授】学习歌曲 师:老师听说世界上有一个幸福王国,到那里的人们都会觉得每天都是幸福的,你们想不想去看看? 师:可是想打开幸福王国的大门可没那么容易,需要经过重重考验。大家有没有信心? 1、认识八分附点音符 2、念念拍拍“芝麻开门芝麻快快开开门” 3、试听歌曲 4、教师范唱一遍歌曲,请同学们配合老师在相应节奏处拍手。 5、跟教师朗读歌曲歌词。(教师利用肢体动作帮助学生记忆) 探寻提出特例猜想:回顾直角三角形中边角关系.如图: 引导学生寻求联系,发现规律深化学生对直角三角形边角关系的理解. 小组交流,在教师引导 下得出:利用c边相同, 寻求形式的和谐统一,即: 在Rt△ABC中 引导 学生 经历 经历 由特 殊到 一般 的发 现过 程 提问: 思考:在斜三角中,上式关系是否成立1、小组交流合作 2、小组长上黑板展示:正 弦定理及其推导 在锐角三角形中 作CD AB于D,有 在钝角三角形中 引导 学生 通过 自主 探 究、 合作 交流 寻求 问题 结论 和解 决办 法 作CD AB于D,有 综上: (1)正弦定理展现了三角形边角关系的 和谐美和对称美; (2)解三角形:一般地,我们把三角形 的三个角和它的对边分别叫做三角形的元 素.已知三角形的几个元素求其他元素的过 程叫做解三角形. (3)思考:直接应用正弦定理至少需要已 知三角形中的几个元素才能解三角形? 学生在教师引导下充 分理解正弦定理,掌握正 弦定理的结构特征,启发 学生思考正弦定理可以那 些解决解三角问题. 引 导学 生体 会正 弦定 理所 体现 的美 学价 值, 挖掘 正弦 定理 的应 用(1)正弦定理可以用于解决已知两角和 任意一边求另两边和一角的问题. 例1: 例1由学生给出条件 结合两道例题,引导学生 总结:(1)已知两角一边, 进一 (2)正弦定理也可用于解决已知两边及一边的对角,求其他边和角的问题.. 例2:解三角形,解的情况唯一;步深 化对 正弦 定理 的认 识和 理解 变式训练: 利用作图法总结已知两边及一边对角解三 角形时解的情况 讨论完成变式训练 六、教学评价设计 这堂课由实际问题出发,引导学生探索研究三角形中边角关系,展示了一个完整的数学探究过程。提出问题、发现规律、推到证明,定理应用,让学生经历了知识再发现的过程,促进了个性化学习。在教学过程中,使学生体会认识事物由特殊到一般,再由一般到特殊的规律,体会分类讨论、数形结合的数学思想方法,并提高运用所学知识解决实际问题的能力。 七、教学板书 正玄定理 教学重点:1.正弦定理的推导. 2.正弦定理的运用 教学难点:1.正弦定理的推导. 2.正弦定理的运用. 第一课上学歌(歌曲) 教学内容: 1、歌曲“上学歌”学唱; 2、综合训练 教学目标: 1、熟悉学生情况,建立课堂常规。 2、通过学唱《上学歌》,培养学生听音乐与唱歌的良好习惯,激发学生学习的兴趣。 3、指导学生听着音乐做简单的律动。并能自编简单的动作,表现《上学歌》活泼愉快的情绪。 教学重点: 学唱歌曲,并感受到歌曲愉快的情绪,能通过演唱表现出歌曲的情绪。 教学难点: 感受乐曲情绪,能自编动作表现出音乐的情绪。 教学手段: 录音机、磁带 教学过程: 一、常规培训 1、老师先讲今后上音乐课的要求。手平放在腿上,两脚平放在地上,不要乱动,背要挺直,有利于正确的发声。书放在乐椅的扶手上,今后带一只笔一块橡皮,不要在带其他东西。要爱护音乐书这个朋友。再请学生自己说一说今后应怎样表现。 2、发声动作应怎样做才是正确的。 全体起立,跟教师练唱小乐段,感受正确发声方法的运用。 3、进教室的要求:听音乐并根据音乐节奏自编动作边做边走到自己的位置。 听音乐练习 将学生带到教室外练习,看谁做的好。 二、新授 1、导入: “同学们,今天大家都是第一次上学,高兴吗?那谁能说一说你的这一天是怎样过的,你都经历了那些事。” “好,接着,我们来听一首“快乐的一天”,看是不是你做的事情。” 2、听音乐的第一段“早早起” 看图,这一段表现了小朋友早晨起来的情景,请生根据音乐表现的内容,边听边用动作表现。 “早晨起床后应该做什么?”“上学去”“这时你的心情怎样?路上看到什么景色?” 3、直接听第二段,请生边听边做动作表现。 “那么在上学途中,有一个小朋友遇到了这样的事情。” 4、学唱《上学歌》 ①教师范唱歌曲,请学生跟琴用“Lu”模唱歌曲。 ②读歌词,注意咬字要清楚。 ③跟琴唱歌词,注意情绪,要活泼欢快。 ④歌曲处理: “太阳天空照,花儿对我笑,” 连贯舒展 “小鸟说:早早早” 轻松、亲切、富有弹性 “我去上学校……爱劳动” 情绪饱满、富有激情、节奏明快。 “长大要为人民立功劳” 坚实有力,表现出决心 ⑤请同学根据歌词给歌曲编舞蹈, 5、分别听“来学习”、“做游戏”、“放学了”、“静静睡”, 并请生边听边根据乐曲情绪、表现的内容做相应的动作。 6、完整复听乐曲,并做动作。演奏到“上学歌”处齐唱,做动作。 课堂小结: 布置作业: 板书设计: 第一课上学歌 情绪欢快、富有朝气 中速演唱 教学反馈: 第二课找朋友(音乐游戏) 游戏目的: 正弦定理应用教案 【篇一:正弦定理、余弦定理应用举例教案】 第7讲正弦定理、余弦定理应用举例 【考查要点】利用正弦定理、余弦定理解决实际问题中的角度、方向、距离及测量问题. 【基础梳理】 1.用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型。如测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、 物理问题等. 2.实际问题中的常用角 (1)仰角和俯角:在视线和水平线所成的角中,视线在水平线上方的 角叫仰角,在水平线下方的角叫俯角(如图(1)). (2)方位角:指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角,如b点 的方 (4)坡度:坡面与水平面所成的二面角的度数. 3、解三角形应用题的一般步骤: (1)阅读理解题意,弄清问题的实际背景,明确已知与未知,理清量 与量 之间的关系. (2)根据题意画出示意图,将实际问题抽象成解三角形问题的模型. (3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解. (4)将三角形问题还原为实际问题,注意实际问题中的有关单位问题、近 似计算的要求等. 4、解三角形应用题常有以下两种情形 (1)实际问题经抽象概括后,已知量与未知量全部集中在一个三角形中,可用正弦定理或余弦定理求解. (2)实际问题经抽象概括后,已知量与未知量涉及到两个或两个以上 的三角形,这时需作出这些三角形,先解够条件的三角形,然后逐 步求解其他三角形,有时需设出未知量,从几个三角形中列出方程(组),解方程(组)得出所要求的解. 【例题分析】 一、基础理解 a..3 m c. m 2 解:如图.答案 b 例4.一船向正北航行,看见正西方向相距10海里的两个灯塔 恰好与它在一条直线上,继续航行半小时后,看见一灯塔在船 a.5海里 b.3海里 c.10海里 d.海里 5里),于是这艘船的速度是=10(海里/时).答案 c 0.5 二、测量距离问题 例1、如图所示,为了测量河对岸a,b两点间的距离,在这岸 [分析] 在△bcd中,求出bc,在△abc中,求出ab. 例2、如图,a,b,c,d 都在同一个与水平面垂直的平面内, b、d为两岛上的 试探究图中b、d间距离与另外哪两点间距离相等,然后求b, d的距离. 故cb是△cad底边ad的中垂线,所以bd=ba. 2+同理,bd(km).故b、d km. 2020 三、测量高度问题 [分析] 过点c作ce∥db,延长ba交ce于点e,在△aec中 解得x=10(33) m.故山高cd为10(33 ) m. 总结:(1)测量高度时,要准确理解仰、俯角的概念;(2)分清已知和待求,分析(画出)示意图,明确在哪个三角形内应用正、余弦定理., cd cdx ab解:在△abc中,ab=5,ac=9,∠bca=sin∠acb 9同理,在△abd中,ab=5,sin∠bad 10 abbd∠adb=, sin∠bdasin∠bad 22解得bd故bd的长为22 总结:要利用正、余弦定理解决问题,需将多边形分割成若干个三角形,在分割时,要注意有利于应用正、余弦定理. 点,ad=10,ac=14,dc=6,求ab的长. 解:在△adc中,ad=10,ac = 14,dc=6, 【篇二:《正弦定理》教学设计】 课题:§2.1.1正弦定理 教学目标: 1.知识目标:通过对任意三角形边长和角度关系的探索,掌握正弦定理的内容及其证明方法;会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。 2. 能力目标:让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中,边与其对角的关系,引导学生通过观察,推导,比较,由特殊到一般归纳出正弦定理,并进行定理基本应用的实践操作。 3.情感目标:培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力 教学重点:正弦定理的探索和证明及其基本应用。 教学难点:已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。 教材版本:北师大必修5 教学课时:1 教学过程: 一、新课引入: 如左图,在ABC Rt ?中,有 s i n ,s i n ,s i n 1 a b A B C c c ===。 经过变形有,,sin sin sin a b c c c c A B C ===, 所以在ABC Rt ?中有:c C c B b A a ===sin sin sin 思考:在其他任意三角形中是否也有 s i n s i n s i n a b c A B C ==等式成立呢,这个时候 ?sin sin sin ===C c B b A a 观察下图,无论怎么移动B ’,都会有角B ’=B,所以在C AB '?中,c B b B b ==sin sin ', c苏教版高中数学必修五正弦定理教案
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