2021届高考数学一轮复习训练数列
专题三 数列
1．等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，且S n T n ＝7n ＋45n －3，则使得a n
b n
为整数的正整
数n 的个数是( )
A ．3个
B ．4个
C ．5个
D ．6个
2．已知数列{a n }满足：a 1＝2，a n ＋1S n ＋(S n －1)2＝0(n ∈N *)，其中S n 为{a n }的前n 项和．若对任意的n 均有(S 1＋1)(S 2＋1)…(S n ＋1)≥kn 恒成立，则k 的最大整数值为( )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
3．设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝1，(n ＋1)a n ＋1＝(n －1)S n ，则S n ＝__________.
4．设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，且S n ＝4－???
?1＋2
n a n (n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式是a n ＝________.
5．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 2＋a 4＝48，a 5＝28，S n ＋30>nλ对一切n ∈N *恒成立，则λ的取值范围为____________．
6．已知等差数列{a n }的公差d ≠0，a 1＝0，其前n 项和为S n ，且a 2＋2，S 3，S 4成等比数列．
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)若b n ＝(2n ＋2)22n ＋S n ＋1
，数列{b n }的前n 项和为T n ，求证：T n －2n <3
2.
7．(2018年湖北宜昌部分示范高中教学协作体期中联考)已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n 是1与a n 的等差中项．
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)设T n 为数列????
??2a n a n ＋1的前n 项和，证明：2
3≤T n <1(n ∈N )*.
8．(2017年天津)已知{a n}为等差数列，前n项和为S n(n∈N*)，{b n}是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2＋b3＝12，b3＝a4－2a1，S11＝11b4.
(1)求{a n}和{b n}的通项公式；
(2)求数列{a2n b n}的前n项和(n∈N*)．
9．(2019年浙江)设等差数列{a n}的前n项和为S n，a3＝4，a4＝S3，数列{b n}满足：对每一个n∈N*，S n＋b n，S n＋1＋b n，S n＋2＋b n成等比数列．
(1)求数列{a n}，{b n}的通项公式；
(2)记C n＝a n
2b n，n∈N
*, 证明：C1＋C2＋…＋C n<2 n，n∈N*.
10．(2019年天津)设{a n }是等差数列，{b n }是等比数列．已知a 1＝4，b 1＝6，b 2＝2a 2－2，b 3＝2a 3＋4.
(1)求{a n }和{b n }的通项公式；
(2)设数列{c n }满足c 1＝1，c n ＝?
????
1，2k b k ，n ＝2k ，其中k ∈N *. ⅰ)求数列{a 2n (c 2n －1)}的通项公式； ⅱ)求21 n i i i a c =∑(n ∈N * )． 专题三 数列 1．B 解析：a n b n ＝2a n 2b n ＝a 1＋a 2n －1b 1＋b 2n －1＝S 2n －1T 2n －1＝14n ＋382n －4＝7n ＋19n －2＝7＋33 n －2 ，∴n －2＝－1或1 或3或11或33.∴n ＝1或3或5或13或35.当n ＝3时，S n T n ＝7n ＋45 n －3中分母为零，故舍去． 2．B 解析：当n ≥1时，由条件可得S n ＋1－S n ＝－()S n －12S n ，从而S n ＋1－1＝S n －1S n ，故 1 S n ＋1－1－1S n －1＝S n S n －1－1S n －1＝1，又1S 1－1＝1 2－1＝1，∴???? ??1S n －1是首项、公差均为1的等差数列，1 S n －1 ＝n ，S n ＝n ＋1n ，依题只须k ≤????(S 1＋1)(S 2＋1)…(S n ＋1)n min ，令f (n )＝(S 1＋1)(S 2＋1)…(S n ＋1)n ，则f (n ＋1)f (n )＝n (S n ＋1＋1)n ＋1＝n (2n ＋3)(n ＋1)2 >1，故f (n )min ＝f (1)＝S 1＋1 1＝3，∴k max ＝3，选B. 3.2n －1n 解析：∵(n ＋1)a n ＋1＝(n －1)S n ，∴na n ＋1＋S n ＋1＝nS n ，∴n (S n ＋1－S n )＋S n ＋1＝nS n ，∴(n ＋1)S n ＋1nS n ＝2，∴{nS n }是首项为1，公比为2的等比数列，则nS n ＝2n －1 ，∴S n ＝2n － 1 n . 4.n 2 n －1 解析：当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝????1＋2n －1a n －1－????1＋2n a n ， 则????2＋2n a n ＝????1＋2n －1a n －1 ，即a n n ＝a n －12(n －1)， ∴数列???? ??a n n 是首项为1，公比为1 2的等比数列， 则a n n ＝????12n －1，即a n ＝n 2n －1 . 5．λ<30 解析：a 5＝28，a 2＋a 4＝a 5＋a 1＝48，∴a 1＝20，d ＝a 5－a 14＝28－20 4 ＝2，a n ＝ a 1＋(n －1)d ＝2n ＋18，S n ＝n (20＋2n ＋18)2＝n (n ＋19)，由n (n ＋19)＋30>nλ，得λ< n 2＋19n ＋30 n ＝n ＋30n ＋19，由函数f (x )＝x ＋30 x ＋19的单调性及f (5)＝f (6)＝30知，当n ＝5或n ＝6时，n ＋ 30 n ＋19最小，为30，故λ<30. 6．(1)解：由a 1＝0得a n ＝(n －1)d ，S n ＝n (n －1)d 2 ， ∵a 2＋2，S 3，S 4成等比数列，∴S 23＝(a 2＋2)S 4 ， 即(3d )2＝(d ＋2)·6d ， 整理得3d 2－12d ＝0，即d 2－4d ＝0， ∵d ≠0，∴d ＝4， ∴a n ＝(n －1)d ＝4(n －1)＝4n －4. (2)证明：由(1)可得S n ＋1＝2n (n ＋1)， ∴b n ＝(2n ＋2)22n ＋2n (n ＋1)＝4(n ＋1)22n (n ＋2)＝2＋2 n (n ＋2) ＝2＋????1n －1n ＋2， ∴T n ＝2n ＋????1－13＋????12－14＋…＋????1n －1n ＋2＝2n ＋1＋12－1n ＋1－1 n ＋2， ∴T n －2n <3 2 . 7．(1)解：n ＝1时，a 1＝1； n ≥2时，4S n －1＝(a n －1＋1)2，又4S n ＝(a n ＋1)2， 两式相减得(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－2)＝0. ∵a n >0，∴a n －a n －1＝2， ∴{a n }是以1为首项，2为公差的等差数列，即a n ＝2n －1. (2)证明：2a n a n ＋1＝2(2n －1)(2n ＋1)＝12n －1－1 2n ＋1 ， ∴T n ＝????1－13＋????13－15＋…＋????12n －1－12n ＋1＝1－12n ＋1 ， ∴T n <1，又∵1a n a n ＋1 >0，∴T n ≥T 1＝2 3， 综上2 3 ≤T n <1成立． 8．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q . 由已知b 2＋b 3＝12，得b 1(q ＋q 2)＝12， 而b 1＝2，∴q 2＋q －6＝0. 又∵q >0，解得q ＝2. ∴b n ＝2n . 由b 3＝a 4－2a 1，可得3d －a 1＝8.① 由S 11＝11b 4，可得a 1＋5d ＝16.② 联立①②，解得a 1＝1，d ＝3.由此可得a n ＝3n －2. ∴{a n }的通项公式为a n ＝3n －2，{b n }的通项公式为b n ＝2n . (2)设数列{a 2n b n }的前n 项和为T n ，由a 2n ＝6n －2， 有T n ＝4×2＋10×22＋16×23＋…＋(6n －2)×2n ， 2T n ＝4×22＋10×23＋16×24＋…＋(6n －8)×2n ＋(6n －2)×2n ＋ 1， 上述两式相减，得－T n ＝4×2＋6×22＋6×23＋…＋6×2n －(6n －2)×2n ＋ 1 ＝12×(1－2n )1－2 －4－(6n －2)×2n ＋1＝－(3n －4)2n ＋2－16. ∴T n ＝(3n －4)2n ＋ 2＋16. ∴数列{a 2n b n }的前n 项和为(3n －4)2n ＋ 2＋16. 9．(1)解：由题意得????? a 1＋2d ＝4，a 1＋3d ＝3a 1＋3×2 2d ， 解得????? a 1＝0， d ＝2， 则数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －2. 其前n 项和S n ＝(0＋2n －2)×n 2 ＝n (n －1)． 则n (n －1)＋b n ，n (n ＋1)＋b n ，(n ＋1)(n ＋2)＋b n 成等比数列，即： [n (n ＋1)＋b n ]2＝[n (n －1)＋b n ]×[(n ＋1)(n ＋2)＋b n ]， ∴n 2(n ＋1)2＋2n (n ＋1)b n ＋b 2n ＝n (n －1)(n ＋1)(n ＋2)＋(n ＋1)(n ＋2)b n ＋n (n －1)b n ＋b 2 n ， 故b n ＝n 2(n ＋1)2－n (n －1)(n ＋1)(n ＋2) (n ＋1)(n ＋2)＋n (n －1)－2n (n ＋1) ＝n (n ＋1)． (2)证明：结合(1)中的通项公式可得： C n ＝a n 2b n ＝n －1n (n ＋1)<1n ＝2n ＋n <2 n ＋n －1＝2(n －n －1)， 则C 1＋C 2＋…＋C n <2(1－0)＋2(2－1)＋…＋2(n －n －1)＝2 n . 10．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{}b n 的公比为q . 依题意得????? 6q ＝6＋2d ，6q 2＝12＋4d ，解得? ???? d ＝3， q ＝2， 故a n ＝4＋(n －1)×3＝3n ＋1，b n ＝6×2n － 1＝3×2n . ∴{a n }的通项公式为a n ＝3n ＋1，{b n }的通项公式为b n ＝3×2n . (2)ⅰ)a n 2 (c 2n －1)＝a n 2 (b n －1)＝(3×2n ＋1)(3×2n －1)＝9×4n －1. ∴数列{a n 2 (c n 2 －1)}的通项公式为a n 2 (c n 2 －1)＝9×4n －1. ⅱ)2 1n i a =∑i c i ＝2 1 [n i =∑a i ＋a i (c i －1)] ＝ 21n i a =∑i ＋21 i n i a =∑(c 2i －1) ＝???? 2n ×4＋2n (2n －1)2×3＋1n i =∑(9×4i －1) ＝(3×22n －1＋5×2n － 1)＋9× 4(1－4n ) 1－4 －n ＝27×22n －1＋5×2n － 1－n －12(n ∈N *)．