随机过程习题答案
随机过程部分习题答案
习题2
2.1 设随机过程b t b Vt t X ),,0(,)(+∞∈+=为常数，)1,0(~N V ，
求)(t X 的一维概率密度、均值和相关函数。
解 因)1,0(~N V ，所以1,0==DV EV ，b Vt t X +=)(也服从正态分布，
b b tEV b Vt E t X E =+=+=][)]([ 22][)]([t DV t b Vt D t X D ==+=
所以),(~)(2
t b N t X ，)(t X 的一维概率密度为
),(,21);(2
22)(+∞-∞∈=
--
x e
t
t x f t b x π，),0(+∞∈t
均值函数 b t X E t m X ==)]([)(
相关函数 )])([()]()([),(b Vt b Vs E t X s X E t s R X ++== ][2
2
b btV bsV stV E +++= 2
b st +=
2.2 设随机变量Y 具有概率密度)(y f ，令Yt
e t X -=)(，0,0>>Y t ，求随机过程)(t X 的
一维概率密度及),(),(21t t R t EX X 。 解 对于任意0>t ，Yt
e
t X -=)(是随机变量Y 的函数是随机变量，根据随机变量函数的分
布的求法，}ln {}{})({);(x Yt P x e P x t X P t x F t
Y ≤-=≤=≤=-
)ln (1}ln {1}ln {t
x
F t x Y P t x Y P Y --=-≤-=-
≥= 对x 求导得)(t X 的一维概率密度
xt
t x f t x f Y 1
)ln ();(-
=，0>t 均值函数 ?
∞
+--===0
)(][)]([)(dy y f e e E t X E t m yt t
Y X
相关函数
?+∞
+-+---====0
)()(2121)(][][)]()([),(212121dy y f e e E e e E t X t X E t t R t t y t t Y t Y t Y X
2.3 若从0=t 开始每隔2
1
秒抛掷一枚均匀的硬币做实验，定义随机过程 ??
?=时刻抛得反面
时刻抛得正面t t t t t X ,
2),cos()(π
试求：（1）)(t X 的一维分布函数),1(),2
1(x F x F 和； （2）)(t X 的二维分布函数),;1,2
1
(21x x F ；
（3）)(t X 的均值)1(),(X X m t m ，方差 )1(),(2
2
X X t σσ。 解 （1）2
1
=
t 时，)
1(X 的分布列为
一维分布函数 ????
???≥<≤<=1
,
110,
2
10,0),21(x x x x F 1
=t 时，)1(X 的分布列为
一维分布函数 ????
???≥<≤--<=2
,
121,
211,0),1(x x x x F （2）由于)1()21
(X X 与相互独立，所以))1(),
1((X X 的分布列为
二维分布函数 ????
????
?≥≥<≤-≥≥<≤<≤-<≤-<<=2
,1,121,12,10,
212
1,10,
4
110,0),;1,21(212121212121x x x x x x x x x x x x F 或或
（3）t t t t t m X +=?+=
)cos(21
221)cos(21)(ππ 2
1
)1(=X m
22
2222])cos(2
1[)2(21)(cos 21)]([)]([)(t t t t t EX t X E t X +-+=-=ππσ
)cos()(cos 412)(cos 212
222t t t t t t πππ---+=
)cos()(cos 412
2t t t t ππ-+=
2])cos(21
[t t -=π
4
9)1(2
=X σ
2.4 设有随机过程)sin()cos()(t B t A t X ωω+=，其中ω为常数，B A ,是相互独立且服从正态分布),0(2
σN 的随机变量，求随机过程的均值和相关函数。
解 因B A ,独立，),0(~2
σN A ，),0(~2
σN B
所以，2
][][,0][][σ====B D A D B E A E 均值 )]sin()cos([)]([)(t B t A E t X E t m X ωω+== 0][)sin(][)cos(=+=B E t A E t ωω 相关函数
[]))sin()cos())(sin()cos(()]()([),(22112121t B t A t B t A E t X t X E t t R X ωωωω++== []
1221212212sin cos sin cos sin sin cos cos t t AB t t AB t t B t t A E ωωωωωωωω+++= ][sin sin ][cos cos 221221B E t t A E t t ωωωω+= )sin sin cos (cos 21212t t t t ωωωωσ+=
)(cos 212t t -=ωσ
2.5 已知随机过程)(t X 的均值函数)(t m X 和协方差函数)(),
,(21t t t B X ?为普通函数，令
)()()(t t X t Y ?+=，求随机过程)(t Y 均值和协方差函数。
解 均值 )()()()]([)]()([)]([)(t t m t t X E t t X E t Y E t m X Y ???+=+=+== 协方差 )()(),(),(212121t m t m t t R t t C Y Y Y Y -= )()()]()([2121t m t m t Y t Y E Y Y -=
[])]()()][()([)()()(()((22112211t t m t t m t t X t t X E X X ????++-++= )()()]()([2121t m t m t X t X E X X -= 其它项都约掉了 )()(),(2121t m t m t t R X X X -= ),(21t t C X =
2.6 设随机过程)sin()(Θ+=t A t X ω，其中ω,A 是常数，Θ在),(ππ+-上服从均匀分布，令 )()(2
t X t Y =，求),(τ+t t R Y 和),(τ+t t R XY 。 解 )]()([)]()([),(2
2
τττ+=+=+t X t X E t Y t Y E t t R Y
[]
)
(sin )(sin 2222Θ++Θ+=ωτωωt A t A E []))222cos(1))(22cos(1(4
2Θ++-Θ+-=ωτωωt t E A [])222cos()22cos()222cos()22cos(14
2Θ++-Θ+-Θ++Θ++=ωτωωωτωωt t t t E A 而 0)22sin(41)22cos(21)]22[cos(=+=+=
Θ+--
?πππ
π
θωπ
θθωπωt d t t E 同理 []0)222cos(=Θ++ωτωt E 利用三角积化和差公式
[])222cos()22cos(Θ++Θ+ωτωωt t E
[])424cos()2cos(2
1
Θ+++=
ωτωτωt E
ωτ2cos 2
1
=
所以，]2cos 2
1
1[4),(2ωττ+=+A t t R Y )]()([)]()([),(2τττ+=+=+t X t X E t Y t X E t t R XY )](sin )sin([22Θ++Θ+=ωτωωt A t A E
))]222cos(1)([sin(23
Θ++-Θ+=ωτωωt t E A )]222cos()sin()[sin(23Θ++Θ+-Θ+=ωτωωωt t t E A )]323sin()2sin()sin(2[4
3Θ++-Θ++-Θ+=ωτωωτωωt t t E A 而 0)sin(1
)]sin(2[=+=
Θ+?-
θθωπ
ωπ
πd t t E 同理 0)]323[sin(,0)]2[sin(=Θ++=Θ++ωτωωτωt E t E
所以，0),(=+τt t R XY
2.7 设随机过程2
)(Zt Yt X t X ++=，其中Z Y X ,,是相互独立的随机变量，且具有均值为零，方差为1，求随机过程)(t X 的协方差函数。 解 根据题意，1,0222
=========EZ DZ EY DY EX
DX EZ EY EX
0][)]([)(22=++=++==EZ t tEY EX Zt Yt X E t X E t m X
)]()()][()([),(221121t m t X t m t X E t t C X X X --=
)])([()]()([2
2221121Zt Yt X Zt Yt X E t X t X E ++++==
因Z Y X ,,相互独立，均值为零，所以上面交叉乘积项数学期望为零
2221212222122121t t t t EZ t t EY t t EX ++=++=
2.8 设)(t X 为实随机过程，x 为任意实数，令 ??
?>≤=x
t X x
t X t Y )(,0)(,1)(
证明随机过程)(t Y 的均值函数和相关函数分别为)(t X 的一维和二维分布函数。 证明 })({0})({1)]([)(x t X P x t X P t Y E t m Y >?+≤?== );(})({t x F x t X P X =≤=
))(),((21t Y t Y 的取值为)0,0(),1,0(),0,1(),1,1(
})(,)({11)]()([),(22112121x t X x t X P t Y t Y E t t R Y ≤≤??== })(,)({012211x t X x t X P >≤??+ })(,)({102211x t X x t X P ≤>??+ })(,)({002211x t X x t X P >>??+ ),;,(})(,)({21212211t t x x F x t X x t X P X =≤≤=
2.9 设)(t f 是一个周期为T 的周期函数，随机变量Y 在（0，T ）上均匀分布，令
)()(Y t f t X -=，求证随机过程)(t X 满足
?+=
+T
dt t f t f T
t X t X E 0)()(1)]()([ττ 证明 Y 的密度函数为 ?????∈=其它
,
0),0(,
1)(T y T
y f Y
)]()([)]()([Y t f Y t f E t X t X E -+-=+ττ ?
∞
+∞
--+-=
dy y f y t f y t f Y )()()(τ
?-+-=T
dy y t f y t f T 0)()(1τ
?-+-=-T
t t du u f u f T u y t )()(1τ
?-+=t
T t du u f u f T )()(1τ
?+=T
du u f u f T 0
)()(1τ 2.13 设}0),({≥t t X 是正交增量过程，V X ,0)0(=是标准正态随机变量，若对任意的0≥t ，V t X 与)(相互独立，令V t X t Y +=)()(，求随机过程}0),({≥t t Y 的协方差函数。
解 因)(t X 是正交增量过程，)1,0(~N V ，所以1][,0][,0)]([===V D V E t X E ， 有 0][)]([])([)]([=+=+==V E t X E V t X E t Y E m Y
)]()()][()([),(221121t m t Y t m t Y E t t C Y Y Y --= )])()()([()]()([2121V t X V t X E t Y t Y E ++== ])([])([][)]()([21221V t X E V t X E V E t X t X E +++=
（因V t X 与)(独立，0][,0)]([==V E t X E ）
][)]()([221V E t X t X E +=1)],[min(212
+=t t X σ （利用正交增量过程的结论）
习题4
4.1 设质点在区间[0，4]的整数点做随机游动，到达0点或4点后以概率1停留在原处，在
其它整数点分别以概率3
1
向左、向右移动一格或停留在原处，求质点随机游动的一步和二步转移概率矩阵。 解 转移概率如图
一步概率转移矩阵为
?????????? ??=10
00
3131310003131310
0031313100001P 二步转移概率矩阵为
?????????? ??=10
000
31313100031313100031313100001P
(2)
?????????? ??10
31313100031313100031313100001?????????
? ??=10
000
949292910919293929109192929
400001
4.2 独立地重复抛掷一枚硬币，每次抛掷出现正面的概率为p ，对于2≥n ，令
32,1,0或=n X ，这些值分别对应于第n-1次和第n 次抛掷的结果为（正，正），（正，反），
（反，正），（反，反），求马尔可夫链},2,1,0,{ =n X n 的一步和二步转移概率矩阵。 解 对应状态为 正，正）(0?，?1（正，反），?2（反，正），?3（反，反）
p P p ==}{(00（正，正）正，正），q P p ==}{(01（正，正）正，反） 0}{(20==（正，正）反，正）P p （不可能事件） 0}{(30==（正，正）反，反）P p （不可能事件）
同理可得下面概率
0}{(10==（正，反）正，正）P p ，0}{(11==（正，反）正，反）P p p P p ==}{(12（正，反）反，正），q P p ==}{(13（正，反）反，反） p P p ==}{(20（反，正）正，正），q P p ==}{(21（反，正）正，反） 0}{(22==（反，正）反，正）P p ，0}{(23==（反，正）反，反）P p 0}{(30==（反，反）正，正）P p ，0}{(31==（反，反）正，反）P p p P p ==}{(32（反，反）反，正），q P p ==}{(33（反，反）反，反）
一步转移概率矩阵为
???
?
???
?
?=q p q p q p q p
00000000
P
二步转移概率矩阵为
???
???
?
?
?=q p q p q p q p 0
0000000P (2)
??????? ?
?q p q p q p q p
00
00000
??
??
??
?
??=22222
2
22q pq pq
p q pq pq p q pq pq
p
q pq pq p 4.4设}1,{≥n X n 为有限齐次马尔可夫链，其初始分布和转移概率矩阵为 4,3,2,1,4
1
}{0==
==i i X P p i
??????????
? ??=41414141834181414141414141414141P 试证 }414{}41,14{12102<<=≠<<==X X P X X X P
解 根据条件概率的定义及马尔可夫链的有限维分布的结论定理4.3，有
}
41,1{}
4,41,1{}41,14{10210102<<==<<==
<<==X X P X X X P X X X P
}
3,1{}2,1{}
4,3,1{}4,2,1{1010210210==+=====+====
X X P X X P X X X P X X X P
1654
141414183414141414113
112134
13124121=?+???+??=
++=
p p p p p p p p p p 同理有
}414{12<<=X X P }
41{}
4,41{121<<=<<=
X P X X P
}
3{}2{}
4,3{}4,2{112121====+===
X p X P X X P X X p
43
433323213142432322212134
43434333342323413124424243232422224121p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p ++++++++++++++=
4
14141414141414141418141414141418
34141834141834141834141414141418141414141414141?+?+?+?+?+?+?+???+??+??+??+??+??+??+??=6019
151********
8327128121287=??=++
=
所以，}414{}41,14{12102<<=≠<<==X X P X X X P 4.5 设}),({T t t X ∈为随机过程，且
),(,),(),(2211n n t X X t X X t X X ===
为独立同分布随机变量序列，令
2,,)(,011110≥=+===-n X cY Y X t Y Y Y n n n
试证：}0,{≥n Y n 是马尔可夫链。
证明 只要证明}0,{≥n Y n 满足无后效性，即
}{},,,0{1111011n n n n n n n n i Y i Y P i Y i Y Y i Y P =======++++ 即可。
根据题意，1--=n n n CY X Y ，由此知n Y 是),,,(21n X X X 的函数，因为
,,,,21n X X X 是相互独立的随机变量，所以，对任意的n ，1+n X 与 ,,,,,210n Y Y Y Y 相互独立。从而
},,,0{11011n n n n i Y i Y Y i Y P ====++
},,,0{11011n n n n n n i Y i Y Y Ci i CY Y P ===+=+=++ （因n n i Y =） },,,0{11011n n n n n i Y i Y Y Ci i X P ===+==++
}{11n n n Ci i X P +==++ （因1+n X 与 ,,,,,210n Y Y Y Y 独立，条件概率等于无条件概率）
}{11n n n n n i Y i Ci X P ==-=++ }{11n n n n i Y i Y P ===++
4.6 已知随机游动的转移概率矩阵为
???
?
?
??=5.005.05.05.0005.05.0P
求三步转移概率矩阵)
3(P
及当初始分布为
1}3{,0}2{}1{000======X P X P X P 时，经三步转移后处于状态3的概率。 解 ?????
??=5.005.05.05.0005.05.0P
(2)
????? ??5.005.05.05.0005.05.0?
????
?
?=25.025.05.05.025.025.025.05.025.0 ????? ??=25.025.05.05.025.025.025.05.025.0P )
3(????? ??5.005.05.05.0005.05.0?????
?
?=25.0375.0375.0375.025.0375.0375.0375.025.0