(完整版)北师大版八年级数学下册第一章复习(知识点+试题)

知识点一：等腰三角形第一次课第一章三角形的证明

（垂直平分线

点到点的距离相等）

1、全等三角形的性质及判定

全等三角形的性质：对应边相等，对应角相等。

判定三角形全等的四种方法：SSS, SAS, ASA, AAS.

2、等腰三角形的性质定理：

①等腰三角形，两底角相等（等边对等角）。

②等腰三角形，底边的高，顶角的角平分线，底边的中线重合。( “三线合一”)

③等腰三角形两底角的角平分线相等，两腰的中线相等，两腰的高相等。（特殊线段相等）。

等腰三角形的判定定理：有两角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）。

知识点二：等边三角形

1、等边三角形的性质定理：等边三角形，三条边相等，三个内角都相等，且都等于60°。

2、等边三角形的判定定理：①有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。

②三个角都相等的三角形是等边三角形。

知识点三：反证法

步骤：①假设：假设结论不成立；

②推论：将假设当条件继续推论，得出与已知条件、公理、定义、定理相矛盾的结论；

③假设不成立；④原命题成立。

知识点四：直角三角形

1、直角三角形性质定理：

①角的角度：直角三角形，两锐角互余。

②边的角度：勾股定理：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。

2、直角三角形的判定定理：

①角的角度：两锐角互余的三角形是直角三角形。

②边的角度：勾股定理的逆定理（在三角形中，若其中两边的平方等于第三边的平方，则此

三角形是直角三角形。）

3、特殊的直角三角形：

①① 在直角三角形中，有一个角是30°，则它所对的直角边是斜边的一半。

②② 在直角三角形中，若直角边是斜边的一半，那么直角边所对的角为30°。4、

“HL”定理：斜边和一条直角边分别相等的两个三角形全等。

（注意：此定理只是用于直角三角形中，用之前要强调两个三角形是直角三角。）知识点五：垂直平分线（点到点）

1、性质定理：垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。

2、判定定理：到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。

判定定理

3、三角形三边的垂直平分线：三角形的三条边的垂直平分线交于一点，并且这一点到三

角形三个顶点的距离相等。（证明“三点共线”：先作出其中两条边的交点，再证明该点

在第三条线上）

知识点六：角平分线（点到边）

1、角平分线性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等。

2、角平分线性质定理的符号语言：∵D 在∠ABC 的角平分线BM 上，且

DE⊥AB，DF⊥BC，∴DE=DF。

3、角平分线判定定理：在一个角的内部，到角两边的距离相等的点在这个角的角平分线上。

4、平分线判定定理的符号语言（∠ABC）：∵DE⊥AB，DF⊥BC，且DE=DF，所以D 在

∠ABC 的角平分线。

性质定理

（角平分线点到边的距离相等）

判定定理

3、三角形三内角的角平分线：三角形的三个内角的角平分线交于一点，并且这一点到

三角形三条边的距离相等。

知识点七：尺规作图：

1、线段垂直平分线的画法：①分别以线段的两个端点为圆心，以大于线段的二分之一

长度为半径画弧线。得到两个交点(两交点交于线段的两侧)。②连接这两个交点。

2、等腰三角形的画法：①已知，求作②

例：已知等腰三角形的底和高，求作等腰

三角形。已知：线段 a 和 b.

求作：等腰三角形△ABC，使BC=B，高AD=a.

解：作法：

①.作射线BE；

②.在射线BE 上取一点C，使BC=b；

③作线段BC 的垂直平分线MN，交BC 于点D；

④以点D 为圆心，以a 为半径画弧，交MN 于A；

⑤连接AB、AC.

则△ABC 就是所求作的三角

形。4、角平分线的画法（∠ABC）：

①① 以角的顶点 B 为圆心，以任意长度为半径画弧，分别交AB、BC 于点M、N；

A

C B

②② 分别以M 、N 分别为圆心，以大于1/2MN 为半径画弧，两弧交于点O；

③③ 连接BO。

专题一：证明线段相等

1、如图，已知在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AC 上一点，BE 与AD 交于点F，若AE=EF，求证：AC=BF.

2、已知:如图,△ABC 是等边三角形,BD 是AC 边上的高,延长

BC 到E,使CE=CD,求证:BD=DE 。专题三：直角三角形的应用

5、工人师傅要测量A ftft顶的垂线到ft一脚的距离AF.直接测量十分烦琐,恰巧有一B ft已被开发成功.已知B ft A ft等高,且两ft斜坡长度DF 与NP 也相等.若ft已知距离BP 为100 米,那么能否直接判定A ft距离AF 也为100 米呢?

专题四：角平分线的应用

6、如图，，，

。

7、△ABC中,∠C=90°DE⊥AB于D,交AC 于E,若BC=BD,AC=5cm.则

AE+ED= .

D

专题二：证明角相等

3、如图，已知等边△ABC，现将△ABC 折叠，使A 点落在BC 边上D 点，折痕为EF，求证：∠BED=∠FDC．

4.已知:如图,△ABC（AB≠AC）中,D、E 在BC 上,且DE=EC,过D 作DF//BA 交AE 于点F,DF=AC.求证:AE 平分∠BAC ．E

8、已知：线段a 和b.

求作：等腰三角形△ABC，使AB=AC=a，高AD=b.

9、如图，在△ABC 中，∠ABC=45°，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为

D，E，F 为BC 中点，BE 与DF，DC 分别交于点G，H，

∠ABE=∠CBE。

（1）线段BH 与AC 相等吗？若相等给予证明，若不相等请说明理由。（2）求证：。

，若，则