第五章 图形的相似与解直角三角形
第一节 图形的相似与位似
1.(2016兰州中考)如图,在△ABC 中,DE ∥BC ,若
AD DB =23,则AE
EC
=( C ) A .1
3 B .25 C .23 D .35
,(第1题图)) ,(第2题图))
2.(2016杭州中考)如图,已知直线a∥b∥c,直线m 交直线a ,b ,c 于点A ,B ,C ,直线n 交直线a ,b ,c 于点D ,E ,F ,若AB BC =12,则DE
EF
=( B )
A .1
3 B .12 C .23
D .1
3.(2016哈尔滨中考)如图,在△ABC 中,D ,E 分别为AB ,AC 边上的点,DE ∥BC ,BE 与CD 相交于点F ,则下列结论一定正确的是( A )
A .AD A
B =AE A
C B .DF FC =AE EC
C .A
D DB =D
E BC
D .DF BF =EF FC
4.(2016安徽中考)如图,△ABC 中,AD 是中线,BC =8,∠B =∠DAC,则线段AC 的长为( B )
A .4
B .4 2
C .6
D .4 3
5.(2015荆州中考)如图,点P 在△ABC 的边AC 上,要判断△ABP∽△ACB,添加一个条件不正确的是( D )
A .∠ABP =∠C
B .∠APB =∠AB
C C .AP AB =AB AC
D .AB BP =AC CB
(第5题图)
(第6题图)
6.(2015济南中考)如图,正方形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ,∠ACB 的平分线分别交AB ,DB 于M ,N 两点.若AM =2,则线段ON 的长为( C )
A .
22 B .32 C .1 D .62
7.(2016龙东中考)已知:在平行四边形ABCD 中,点E 在直线AD 上,AE =1
3AD ,连接CE 交BD 于点F ,则
EF∶FC 的值是__23或4
3
__.
8.(2016梅州中考)如图,在平行四边形ABCD 中,点E 是边AD 的中点,EC 交对角线BD 于点F ,若S △DEC =3,则S △BCF =__4__.
9.(2015黄冈中考)如图,在正方形ABCD 中,E 为AB 的中点,AF ⊥DE 于点O ,则AO DO 等于__1
2
__.
(第9题图)
(第10题图)
10.(2015包头中考)如图,在平面直角坐标系中,Rt △ABO 的顶点O 与原点重合,顶点B 在x 轴上,∠ABO =90°,OA 与反比例函数y =k
x 的图象交于点D ,且OD =2AD ,过点D 作x 轴的垂线交x 轴于点C.若S 四边形ABCD =10,
则k 的值为__-16__.
11.(2016原创)如图,在△ABC 中,AB =AC ,点P ,D 分别是BC ,AC 边上的点,且∠APD=∠B.
(1)求证:AC·CD=CP·BP;
(2)若AB =10,BC =12,当PD∥AB 时,求BP 的长.
解:(1)∵AB=AC ,∴∠B =∠C.∵∠APD=∠B,∴∠APD =∠B=∠C.∵∠APC=∠BAP+∠B,∠APC =∠APD+∠DPC ,∴∠BAP =∠DPC,∴△ABP ∽△PCD ,∴
BP CD =AB
CP
,∴AB ·CD =CP·BP,∵AB =AC ,∴AC ·CD =CP·BP;(2)∵PD ∥AB ,∴∠APD =∠BAP,∵∠APD =∠C,∴∠BAP =∠C,∵∠B =∠B,∴△BAP ∽△BCA ,∴BA BC =BP
BA ,∵AB
=10,BC =12,∴1012=BP 10,∴BP =25
3
.
12.(2016南宁中考)有3个正方形如图所示放置,阴影部分的面积依次记为S 1,S 2,则S 1∶S 2等于( D )
A .1∶ 2
B .1∶2
C .2∶3
D .4∶9
,(第12题图)) ,(第13题图))
13.(2016深圳中考)如图,CB =CA ,∠ACB =90°,点D 在边BC 上(与B ,C 不重合),四边形ADEF 为正方形,过点F 作FG⊥CA,交CA 的延长线于点G ,连接FB ,交DE 于点Q ,给出以下结论:
①AC =FG ;②S △FAB ∶S 四边形CBFG =1∶2;③∠ABC =∠ABF ;④AD 2
=FQ·AC. 其中正确结论的个数是( D )
A .1个
B .2个
C .3个
D .4个
14.(2016南京中考)如图,AB ,CD 相交于点O ,OC =2,OD =3,AC ∥BD.EF 是△ODB 的中位线,且EF =2,则AC 的长为__8
3
__.
,(第14题图)) ,(第15题图))
15.(2016自贡中考)如图,在边长相同的小正方形网格中,点A ,B ,C ,D 都在这些小正方形的顶点上,AB ,CD 相交于点P ,则AP
BP
=__3__,tan ∠APD =__2__.
16.(2016白银中考)如图,已知EC∥AB,∠EDA =∠ABF. 求证:(1)四边形ABCD 是平行四边形; (2)OA 2
=OE·OF.
证明:(1)∵EC∥AB,∴∠C =∠ABF.又∵∠EDA=∠ABF,∴∠C =∠EDA,∴AD ∥BC ,∴四边形ABCD 是平行四边形;
(2)∵EC∥AB,∴△OAB ∽△OED ,∴OA OE =OB OD .又AD∥BC,∴△OBF ∽△ODA ,∴OF OA =OB OD .∴OA OE =OF OA
,∴OA 2
=OE·OF.
17.(2016怀化中考)如图,△ABC 为锐角三角形,AD 是BC 边上的高,正方形EFGH 的一边FG 在BC 上,顶点E ,H 分别在AB ,AC 上,已知BC =40 cm ,AD =30 cm .
(1)求证:△AEH∽△ABC; (2)求这个正方形的边长与面积.
解:(1)∵四边形EFGH 是正方形,∴EH ∥BC ,∴∠AEH =∠B,∠AHE =∠C,∴△AEH ∽△ABC ;
(2)设AD 与EH 交于点M.∵∠EFD=∠FEM=∠FDM=90°,∴四边形EFDM 是矩形,∴EF =DM.设正方形EFGH 的边长为x ,∵△AEH ∽△ABC ,∴EH BC =AM AD ,∴x 40=30-x 30,∴x =120
7,∴S
正方形EFGH =? ??
??12072
=14 40049.∴正方形EFGH
的边长为1207 cm ,面积为14 40049
cm 2
.
18.(2017中考预测)如图,在四边形ABCD 中,AB =AD ,AC 与BD 交于点E ,∠ADB =∠ACB. (1)求证:AB AE =AC
AD
;
(2)若AB⊥AC,AE ∶EC =1∶2,F 是BC 中点.求证:四边形ABFD 是菱形. 证明:(1)可证:△ABE∽△ACB.∴
AB AE =AC AB .又∵AB=AD ,∴AB AE =AC
AD
;(2)设AE =x.∵AE∶EC=1∶2,∴EC =2x ,由(1)得AB 2
=AE·AC.∴AB=3x.又∵BA⊥AC,∴BC =23x.∴∠ACB =30°.又∵F 是BC 中点,∴BF =3x.∴BF =AB =AD.又∵∠ADB=∠ACB=∠ABD,∴∠ADB =∠CBD=30°.∴AD ∥BF.∴四边形ABFD 是平行四边形.又AD =AB.∴四边形ABFD 是菱形.
三角形 一、选择题 1.若一个直角三角形的两边长为12和5,则第三边为() A. 13 B.13或 C. 13或5 D. 15 2.三角形的角平分线、中线和高() A. 都是射线 B. 都是直线 C. 都是线段 D. 都在三角形内 3.小明用同种材料制成的金属框架如图所示,已知∠B=∠E,AB=DE,BF=EC,其中框架△ABC的质量为840克,CF的质量为106克,则整个金属框架的质量为() A. 734克 B. 946克 C. 1052克 D. 1574克 4.到△ABC的三条边距离相等的点是△ABC的是() A. 三条中线的交点, B. 三条角平分线的交点 C. 三条高线的交点 D. 三条边的垂直平分线的交点 5.如图,为了使一扇旧木门不变形,木工师傅在木门的背面加钉了一根木条,这样做使用的数学道理是() A. 两点之间线段最短 B. 三角形的稳定性 C. 两点确定一条直线 D. 长方形的四个角都是直角 6.如图,△ABC内有一点D,且DA=DB=DC,若∠DAB=20°,∠DAC=30°,则∠BDC的大小是( )
A. 100° B. 80° C. 70° D. 50° 7.若一个三角形的一个外角小于与它相邻的内角,则这个三角形是( ) A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 无法确定 8.已知在△ABC和△DEF中,∠A=∠D=90°,则下列条件中不能判定△ABC和△DEF全等的是( ) A. AB=DE,AC=DF- B. AC=EF,BC=DF - C. AB=DE,BC=EF- D. ∠C=∠F,AC=DF 9.若等腰三角形的顶角为80°,则它的一个底角度数为() A. 20° B. 50° C. 80° D. 100° 10.如图,点M是边长为4cm的正方形的边AB的中点,点P是正方形边上的动点,从点M出发沿着逆时针方向在正方形的边上以每秒1cm的速度运动,则当点P逆时针旋转一周时,随着运动时间的增加,△DMP面积达到5cm2的时刻的个数是() A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 二、填空题 11.在△ABC中,已知∠A=30°,∠B=70°,则∠C的度数是________。 12.将一副三角板如图叠放,则图中∠α的度数为________. 13.如图,点P为△ABC三条角平分线的交点,PD⊥AB,PE⊥BC,PF⊥AC,则PD____________PF.
2019年中考数学专题复习 第十九讲解直角三角形 【基础知识回顾】 一、锐角三角函数定义: 在Rt△ABC中,∠C=900, ∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c,则∠A的正弦可表示为:sinA= ,∠A的余弦可表示为cosA= ∠A的正切:tanA= ,它们统称为∠A的锐角三角函数 【名师提醒:1、sinA、∠cosA、tanA表示的是一个整体,是两条线段的比,没有单位,这些比值只与有关,与直角三角形的无关 2、取值范围
三、解直角三角形: 1、定义:由直角三角形中除直角外的 个已知元素,求出另外 个未知元素的过程叫解直角三角形 2、解直角三角形的依据: Rt ∠ABC 中,∠C=900 三边分别为a 、b 、c ⑴三边关系: ⑵两锐角关系 ⑶边角之间的关系:sinA cosA tanA sinB cosB tanB 【名师提醒:解直角三角形中已知的两个元素应至少有一个是 当没有直角三角形时应注意构造直角三角形,再利用相应的边角关系解决】 3、解直角三角形应用中的有关概念⑴仰角和俯角:如图:在图上标上仰角和俯 角 ⑵坡度坡角:如图: 斜坡AB 的垂直度h 和水平宽度l 的比叫做坡度,用i 表示,即i= 坡面 与水平面得夹角为 用字母α表示,则i=tanα=h l 。 ⑶方位角:是指南北方向线与目标方向所成的小于900的水平角 如图:OA 表示 OB 表示 铅直 水平线 视线
直角三角形边角关系知识点考点总结 考点一、直角三角形的性质 (3~5分) 1、直角三角形的两个锐角互余 可表示如下:∠C=90°?∠A+∠B=90° 2、在直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半。 ∠A=30° 可表示如下: ?BC=2 1 AB ∠C=90° 3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 ∠ACB=90° 可表示如下: ?CD=2 1 AB=BD=AD D 为AB 的中点 4、勾股定理 直角三角形两直角边a ,b 的平方和等于斜边c 的平方,即222c b a =+ 5、摄影定理 在直角三角形中,斜边上的高线是两直角边在斜边上的摄影的比例中项,每条直角边是它们在斜边上的摄影和斜边的比例中项 ∠ACB=90° BD AD CD ?=2 ? AB AD AC ?=2 CD ⊥AB AB BD BC ?=2 6、常用关系式 由三角形面积公式可得: AB ?CD=AC ?BC
考点二、直角三角形的判定 (3~5分) 1、有一个角是直角的三角形是直角三角形。 2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形。 3、勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a ,b ,c 有关系222c b a =+,那么这个三角形是直角三角形。 考点三、锐角三角函数的概念 (3~8分) 1、如图,在△ABC 中,∠C=90° ①锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦,记为sinA ,即 c a sin =∠= 斜边的对边A A ②锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦,记为cosA ,即 c b cos =∠= 斜边的邻边A A ③锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切,记为tanA ,即b a tan =∠∠= 的邻边的对边A A A ④锐角A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切,记为cotA ,即a b cot =∠∠=的对边的邻边A A A 2、锐角三角函数的概念 锐角A 的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A 的锐角三角函数 3、一些特殊角的三角函数值 三角函数 0° 30° 45° 60° 90° sinα 0 21 22 2 3 1 cos α 1 2 3 2 2 21 0 tan α 0 3 3 1 3 不存在 cot α 不存在 3 1 3 3
单元检测四三角形 (时间90分钟满分120分) 一、选择题(每小题3分,共36分) 1.现有3 cm,4 cm,7 cm,9 cm长的四根木棒,任选其中三根组成一个三角形,则可以组成的三角形的 个数是(B) .2 2.如图,AA',BB'分别是∠EAB,∠DBC的平分线.若AA'=BB'=AB,则∠BAE的度数为(B) °° °° 3.如图,两棵大树间相距13 m,小华要从点B沿BC走向点C,行走一段时间后他到达点E,此时他仰望 两棵大树的顶点A和D,两条视线的夹角正好为90°,且EA=ED.已知大树AB的高为5 m,小华行走的 速度为1 m/s,小华走的时间是(B) s s s s 4.如图,Rt△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC,交BC于点D,AB=10,S△ABD=15,则CD的长为(A) .4 5.如图,在6×6的正方形网格中,点A,B均在正方形格点上,若在网格中的格点上找一点C,使△ABC 为等腰三角形,则这样的点C一共有(C) 个个个个?导 (第4题图) (第5题图) 6.如图,△ABC中,AB=AC,△DEF是△ABC的内接正三角形,则下列关系式成立的是(A) ∠1=∠2+∠3∠2=∠1+∠3 ∠3=∠1+∠2 D.∠1+∠2+∠3=90° 7.△ABC中,AB=AC=5,BC=8,点P是BC边上的动点,过点P作PD⊥AB于点D,PE⊥AC于点E,则PD+PE 的长是(A) A.4.8 或 (第6题图) (第7题图) 8.如图,每个小正方形的边长为1,A,B,C是小正方形的顶点,则∠BAC的度数为(B) °° °° 9.下列条件:①△ABC的一个外角与其相邻内角相 等;②∠A=∠B=∠C;③AC∶BC∶AB=1∶∶2;④AC=n2-1,BC=2n,AB=n2+1(n>1).能判定△ABC是直角三 角形的条件有(A)
直角三角形边角关系知识点考点总结 考点一、直角三角形的性质(3~5分) 1、直角三角形的两个锐角互余 可表示如下:/ C=90°Z A+Z B=90° 2、在直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半。 Z A=30° 可表示如下:BC=1 AB Z C=90° 3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 Z ACB=90 「 》 1 可表示如下:CD=丄AB=BD=AD J 2 D 为AB的中点 4、勾股定理直角三角形两直角边a, b的平方和等于斜边c的平方,即a2 b2 c2 5、摄影定理 在直角三角形中,斜边上的高线是两直角边在斜边上的摄影的比例中项,每条直角边 是它们在斜边上的摄影和斜边的比例中项 Z ACB=90 CD 2 AD ? BD AC2 ADPAB [ CD! AB BC2 BD ?AB A D B 6、常用关系式 由三角形面积公式可得: AB?CD=ACBC 考点二、直角三角形的判定(3~5分) 1 、有一个角是直角的三角形是直角三角形。
2、 如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形。 3、 勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长 a ,b , c 有关系a 2 b 2 c 2,那么这个三角形是直角三角形 考点三、锐角三角函数的概念 1 、如图,在△ ABC 中,/ C=90° 2、锐角三角函数的概念 锐角A 的正弦、余弦、正切、余切都叫做/ A 的锐角三角函数 3、一些特殊角的三角函数值 4、各锐角三角函数之间的关系 (1) 互余关系 sinA=cos(90 —A) , cosA=sin(90 —A) 精品文档 (3~8 分) ①锐角 sin A A 的对边与斜边的比叫做/ A 的对边 a A 的正弦, 记为 sinA , ②锐角 cos A A 的邻边与斜边的比叫做/ A 的邻边 b A 的余弦, 记为 cosA , ③锐角 A 的对边与邻边的比叫做/ A 的正切, 记为 tanA , tan A A 的对边 A 的邻边 ④锐角 A 的邻边与对边的比叫做/ A 的余切, 记为 cotA , 即 cotA A 的邻边 A 的对边 三角函数 30 ° sin a cos a tan a .3 3 cot a 45 ° 60 ° 90 ° / 3 1 2 2 / 1 2 2 1 3 不存在 1 、3 3 山破勺卿边 M B 的对边
、选择题 A. 13 C. 13 或 5 2. 三角形的角平分线、中线和高( 克,CF 的质量为106克,则整个金属框架的质量为( 4. 到厶ABC 的三条边距离相等的点是厶 ABC 的是( 5. 如图,为了使一扇旧木门不变形,木工师傅在木门的背面加钉了一根木条,这样做使用的数学道理是 6. 如图,△ ABC 内有一点 D,且 DA=DB=DC 若/ DAB=20,/ DAC=30,则/ BDC 的大小是( 三角形 1.若一个直角三角形的两边长为 12和 5,则第三边为 D. 15 A. 都是射线 B. 都是直线 C.都是线段 D. 都在三角形内 3. 小明用同种材料制成的金属框架如图所示,已知/ B=Z E , AB=DE BF=EC 其中框架厶ABC 的质量为840 A. 734 克 B. 946 克 C. 1052 克 D. 1574 克 A. 三条中线的交点, B. 三条角平分线的交点 C.三条高线的交点 D.三条边的垂直平分线的交点 A.两点之间线段最短 角都是直角 B.三角形的稳定性 C.两点确定一条直线 D.长方形的四个 B.13 或
A. 100° B. 80° C. 70° D. 50° 7. 若一个三角形的一个外角小于与它相邻的内角,则这个三角形是() A.直角三角形 B.锐角三角形 C. 钝角三角形 D.无法确定 8. 已知在△DEF中,/ A=Z D=9C°,则下列条件中不能判定△DEF全等的是() A. AB=DE AC=DF- B. AC=EF BC=DF - C. AB=DE BC=EF- D. / C=Z F , AC=DF 9. 若等腰三角形的顶角为80°,则它的一个底角度数为() A. 20° B. 50° C. 80° D. 100° 10. 如图,点M是边长为4cm的正方形的边AB的中点,点P是正方形边上的动点,从点M出发沿着逆时针方向在正方形的边上以每秒1cm的速度运动,则当点P逆时针旋转一周时,随着运动时间的增加,△ DMP 面积达到5cm2的时刻的个数是() D C A 冠B A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 二、填空题 11. 在厶ABC中,已知/ A=30°,/ B=70°,则/ C的度数是______________ 12. 将一副三角板如图叠放,则图中/ a的度数为________ ?
2016年中考数学相似三角形专题复习(一) 一、填空题 1.下面图形中,相似的一组是___________. (1) (2) (1) (2) (3) (4) 2.若x ∶(x+1)=6∶9,则x= . 3.已知线段a 、b 、c 、d 成比例,且a=6,b=9, c=12,则d= 4.在比例尺为1:10000的地图上,量得两 点之间的直线距离是2cm ,则这两地的实际 距离是________米 5.如图,两个五边形是相似形,则=a ,=c ,α= ,β= . 6. 已知△ABC ∽△DEF,AB=21cm,DE=28cm,则△ABC 和△DEF 的相似比为 . 7.△ABC 的三边长分别为 2、10、3,△ C B A ''的两边长分别为1和5,若△ABC ∽△C B A '', 则△C B A ''的第三条边长为 . 8.如图,△ABC ∽△CDB ,且AC =4,BC =3, 则BD =_________. 9.若一等腰三角形的底角平分线与底边围成的三角形与原图形相似,?则等腰三角形顶角为________度. 10.△ABC 的三边之比为3:5:6,与其相似的△DEF 的最长边是24cm,那么它的最短边长是 ,周长是 . 二、选择题 11.已知4x -5y=0,则(x+y)∶(x -y)的值为( ) A. 1∶9 B. -9 C. 9:1 D. -1∶9 12.已知,线段AB 上有三点C 、D 、E ,AB=8,AD=7,CD=4,AE=1,则比值不为1/2的线段比为( ) A.AE :EC B.EC :CD C.CD :AB D.CE :CB ╮ 23a c β 1550 950 1150 12 5 7αb ╭╮ ╯650 1150 第5题图 B C D 第8题图
解直角三角形应用篇 1.(2019山东泰安中考)(4分)如图,一艘船由A港沿北偏东65°方向航行30km至B港,然后再沿北偏西40°方向航行至C港,C港在A港北偏东20°方向,则A,C两港之间的距离为()km. A.30+30 B.30+10 C.10+30 D.30 2.(2019山东淄博中考)如图,小明从A处沿北偏东40°方向行走至点B处,又从点B处沿东偏南20方向行走至点C处,则∠ABC等于() A.130°B.120°C.110°D.100° 3.(2019山东聊城中考)某数学兴趣小组要测量实验大楼部分楼体高度(如图①所示,CD 部分),在起点A处测得大楼部分楼体CD的顶端C点的仰角为45?,底端D点的仰角为30°,在同一剖面沿水平地面向前走20米到达B处,测得顶端C的仰角为63.4?(如图② ?≈,所示),求大楼部分楼体CD的高度约为多少米(精确到1米)(参考数据:sin63.40.89 ?≈,tan63.4 2.00 ?≈ 1.41 cos63.40.45 ≈) ≈ 1.73 4. (2019甘肃中考 7分)某数学课题研究小组针对兰州市住房窗户“如何设计遮阳篷”这-课题进行了探究,过程如下: 问题提出: 如图1是某住户窗户上方安装的遮阳蓬,要求设计的遮阳篷既能最大限度地遮挡夏天炎热的阳光,又能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内. 方案设计: 如图2,该数学课题研究小组通过调查研究设计了垂直于墙面AC的遮阳篷CD 数据收集: 通过查阅相关资料和实际测量:兰州市一年中,夏至这一天的正午时刻,太阳光线DA 与遮阳篷CD的夹角∠ADC最大(∠ADC=°):冬至这一天的正午时刻,太阳光线DB与遮阳篷CD的夹角 ∠BDC最小(∠BDC=°);窗户的高度AB=2m 问题解决: 根据上述方案及数据,求遮阳篷CD的长. (结果精确到,参考数据:°≈,°≈, °≈
《三角函数及解直角三角形》知识点总结 在是三角形ABC中,∠C=90°, (1)锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦,记作sinA。即sinA=∠A的对边=a 斜边c (2)锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦,记作cosA。即cosA=∠A的邻边=b 斜边c (3)锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切,记作tanA。即tanA=∠A的对边=a ∠A的邻边b (4)锐角A的邻边与对边的比叫做∠A的余切,记作cotA。即cotA=∠A的邻边=b ∠A的对边a 锐角A的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A的三角函数。 注意:(1)正弦、余弦、正切、余切都是在直角三角形中给出的,要避免应用时对任意的三角形随便套用定义; (2)sinA不是sin与A的乘积,是三角形函数记号,是一个整体。“sinA”表示一个比值,其他三个三角函数记号也是一样的; (3)锐角三角函数值与三角形三边长短无关,只与锐角的大小有关。 (1)平方关系:sin2α+cos2α=1α为锐角,即同一锐角的正弦和余弦的平方和等于1; (2)倒数关系:tanα·cotα=1α为锐角,即同一锐角的正切与余切的积为1,互为倒数;(3)商的关系:tanα=, cotα=, α为锐角,即同一锐角的正弦与余弦的商等于正切,同一锐角的余弦与正弦的商等于余切。 注意:(1)这些关系式都是恒等式,正反均可运用,同时还要注意它们的变形, 如:︳sinA︳=1-︳cos2A︳,︳cosA︳=1-sin2A; (2)sin2α是(sinα)2的简写,读作“sinα”的平方;不能将sin2α写成sinα2,前者是α的正弦值的平方,后者表示α2的正弦值。 特殊角有0°、30°、45°、60°、90°,它们的三角函数值如下表:
初三解直角三角形基本模型复习
课题解直角三角形模型 教学目标 1. 熟悉特殊的三角函数,理解三角函数表示的意义,学会利用三角函数求线段长度和角 度; 2. 学会解决常考的解直角三角形题型。 重难点学会解决常考的解直角三角形题型 导案学案 教学流程 一、进门考(建议不超过10分钟) 1.(2017?绍兴)如图,学校的实验楼对面是一幢教学楼,小敏在实验楼的窗口C测得教学 楼顶部D的仰角为18°,教学楼底部B的俯角为20°,量得实验楼与教学楼之间的距离 AB=30m. (1)求∠BCD的度数. (2)求教学楼的高BD.(结果精确到0.1m,参考数据:tan20°≈0.36,tan18°≈0.32) 二、基础知识网络总结与巩固 知识回顾:三角函数中常用的特殊函数值。 函数名0°30°45°60°90° sinα0 1 cosα 1 0 tanα0 无穷大 cotα无穷大 1 0 1.解直角三角形的定义:
在直角三角形中,除直角外,共有5个元素,即3条边和2个锐角.由这些元素中的一些已知元素,求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。 2.解直角三角形的常用关系: 在Rt △ABC 中,∠C=90°,则: ①三边关系:a 2+b 2= c 2 ; ②两锐角关系:∠A +∠B= 90°; ③边与角关系:sin A=cos B= a c ,cos A=sin B=b c ,tan A=a b ; ④平方关系:1cos sin 2 2=+A A ⑥倒数关系:tan A ?tan(90°—A)=1 ⑦弦切关系:tan A= A A cos sin 3.解直角三角形的两种基本类型————①已知两边长; ②已知一锐角和一边。 注意:已知两锐角不能解直角三角形。 4.解非直角三角形的方法: 对于非直角三角形,往往要通过作辅助线构造直角三角形来解,作辅助线的一般思路是: ①作垂线构成直角三角形; ②利用图形本身的性质,如等腰三角形顶角平分线垂直于底边。 5.常见的几种图形辅助线: 三、重难点例题启发与方法总结 类型一 背靠背 例1.(2017?恩施州)如图,小明家在学校O 的北偏东60°方向,距离学校80米的A 处,小华家在学校O 的南偏东45°方向的B 处,小华家在小明家的正南方向,求小华家到学校的距离.(结果精确到1米,参考数据:≈1.41,≈1.73,≈2.45) 例2(2017?海南)为做好防汛工作,防汛指挥部决定对某水库的水坝进行加高加固,专家提供的方案是:水坝加高2米(即CD=2米),背水坡DE 的坡度i=1:1(即DB :EB=1:1),如图所示,已知AE=4米,∠EAC=130°,求水坝原来的高度BC . (参考数据:sin50°≈0.77,cos50°≈0.64,tan50°≈1.2)
中考数学专题复习 三角形 20XX 年10月22日伊智教育 例1、角平分线的性质 如图,将直角边AC=6cm,BC=8cm 的直角△ABC 纸片折叠,使点B 与点A 重合,折痕为DE, 则CD 等于( ) (A) 425 (B) 322 (C) 4 7 (D) 35 例2、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半; 如图所示,BD 、CE 是三角形ABC 的两条高,M 、N 分别是BC 、DE 的中点。求证:MN ⊥DE C 堂上练习 1、如图,四边形ABCD 中,∠DAB=∠DCB=90o ,点M 、N 分别是BD 、AC 的中点。MN 、AC 的位置关系如何?证明你的猜想。 2、已知梯形ABCD 中,∠B+∠C =90o ,EF 是两底中点的连线,试说明AB -AD =2EF A(B) C D E
F C B 3、过矩形ABCD 对角线AC 的中点O 作EF ⊥AC 分别交AB 、DC 于E 、F ,点G 为AE 的中点,若∠AOG =30o 求证:3OG=DC A 4、如图所示;过矩形ABCD 的顶点A 作一直线,交BC 的延长线于点E ,F 是AE 的中点,连接FC 、FD 。 求证:∠FDA=∠ FCB A 例3、三角形(梯形)中位线 (a)如图,△ABC 的三边长分别为AB =14,BC =16,AC =26,P 为∠A 的平分线AD 上一点,且BP ⊥AD ,M 为BC 的中点,求PM 的长。(PM =6)
(b)如图,梯形ABCD 中,AD ∥BC ,M 是腰AB 的中点,且AD +BC =DC 。求证:MD ⊥MC 。 堂上练习 1、三角形各边长为5、9、12,则连结各边中点所构成的三角形的周长是 。 2、若梯形中位线被它的两条对角线分成三等分,则梯形的两底之比为 。 3、等腰梯形的两条对角线互相垂直,中位线长为8cm ,则它的高为( ) A 、4 cm B 、24cm C 、8cm D 、28cm 4、如图,已知△ABC 的周长为1,连结△ABC 三边的中点构成第二个三角形,再连结第二个三角形三边的中点构成第三个三角形,依此类推,第2004个三角形的周长为( ) A 、 20031 B 、20041 C 、200321 D 、20042 1
中考复习:三角形 【知识梳理】 1、三角形三边的关系;三角形的分类 2、三角形角和及外角和定理及推论; 3、三角形的高,中线,角平分线 4、三角形中位线的定义及性质 【 思想方法】 方程思想,分类讨论等 一、 三角形的基本性质 1、三角形的两边长分别是3和6,第三边是方程x 2-6x+8=0的解,则这个三角形的周长 是( )A. 11B. 13C. 11或13D. 11和13 2、下列长度的三条线段能组成三角形的是( ) A .5,6,10 B .5,6,11 C .3,4,8 D .4a ,4a ,8a (a >0) 3、如图,在Rt △ACB 中,∠ACB=90°,∠A=25°,D 是AB 上一点.将Rt △ABC 沿CD 折叠,使B 点落在AC 边上的B ′处,则∠ADB ′等于( ) A.25° B. 30° C. 35° D. 40° 4、所示,A 、B 、C 分别表示三个村庄,AB=1000米,BC=600米,AC=800米,在社会主义新农村建设中,为了丰富群众生活,拟建一个文化活动中心,要求这三个村庄到活动中心的距离相 等,则活动中心P 的位置应在( ) A .A B 中点 B .B C 中点 C .AC 中点 D .∠C 的平分线与AB 的交点 二、三角形有关的线段 (一)角平分线 1.(2016?枣庄)如图,在△ABC 中,AB=AC ,∠A=30°,E 为BC 延长线上一点,∠ABC 与∠ACE 的平分线相交于点D ,则∠D 的度数为( ) A .15° B .17.5° C .20° D .22.5° A C
2、(2014威海)(3分)如图,在△ABC中,∠ABC=50°,∠ACB=60°,点E在BC的延长线上,∠ABC 的平分线BD与∠ACE的平分线CD相交于点D,连接AD,下列结论中不正确的是 () A. ∠BAC=70°B.∠DOC=90°C.∠BDC=35°D.∠DAC=55° 3、(2013)4分)如图,△ABC的周长为26,点D,E都在边BC上,∠ABC的平分线垂直于AE,垂足为Q, ∠ACB的平分线垂直于AD,垂足为P,若BC=10,则PQ的长为() 4、如图,点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点,且∠MPN与∠AOB互补.若∠MPN在绕点P旋转的过程中,其两边分别与OA,OB相交于M、N两点,则以下结论:(1)PM=PN恒成立,(2)OM+ON的值不变,(3)四边形PMON的面积不变,(4)MN的长不变,其中正确的个数为 A.4B.3C.2D.1 5、如图所示,在△ABC中,BC=6,E、F分别是AB、AC的中点,动点P在射线EF上,BP交CE于D,∠CBP的平分线交CE于Q,当CQ=CE时,EP+BP=__________.
解直角三角形的基本类型及其解法公式(总结) 1、解直角三角形的类型与解法 已知、解法 三角 类型 已 知 条 件 解 法 步 骤 Rt △ABC B c a A b C 两 边 两直角边(如a ,b ) 由tan A =a b ,求∠A ;∠B =90°-A , c = 2 2b a + 斜边,一直角边(如c ,a ) 由Sin A =a c ,求∠A ;∠B =90°-A ,b =22a -c 一 边 一 角 一角边 和 一锐角 锐角,邻边 (如∠A ,b ) ∠B =90°-A ,a =b ·Sin A ,c =b cosA cosA 锐角,对边 (如∠A ,a ) ∠B =90°-A ,b =a tanA ,c =a sinA 斜边,锐角(如c ,∠A ) ∠B =90°-A ,a =c ·Sin A , b =c ·cos A 2、测量物体的高度的常见模型 1)利用水平距离测量物体高度 数学模型 所用工具 应测数据 数量关系 根据 原理 侧倾器 皮尺 α、β、 水平距离a tan α=1 x ι ,tan β=2x ι ι=a ·tan α·tan βtan α+tan β 直角 三角 形的 边角 关系 tan α= x a +ι tan β= x ι ι=a ·tan α·tan β tan β-tan α 2)测量底部可以到达的物体的高度 数学模型 所用工具 应测数据 数量关系 根据 原理 皮尺 镜子 目高a 1 水平距离a 2 3a h =2 1a a ,h =231a a a 反射 定律 β α a x 1 x 2 ι α β x a ι 镜子 1a 2a 3a h
WORD格式 解直角三角形应用篇 1.(2019 山东泰安中考)( 4 分)如图,一艘船由 A 港沿北偏东65°方向航行30km 至 B 港,然后再沿北偏西40°方向航行至 C 港, C 港在 A 港北偏东 20°方向,则A, C 两港之间的距离为()km. A. 30+30B. 30+10C. 10+30D. 30 2.(2019 山东淄博中考)如图,小明从 A 处沿北偏东40°方向行走至点 B 处,又从点 B 处沿东偏南 20 方向行走至点 C 处,则∠ ABC等于() A. 130° B. 120° C. 110 ° D. 100 ° 3(.2019 山东聊城中考)某数学兴趣小组要测量实验大楼部分楼体高度(如图①所示,CD 部分),在起点 A 处测得大楼部分楼体 CD的顶端 C 点的仰角为45,底端 D 点的仰角为 30°,在同一剖面沿水平地面向前走20 米到达 B 处,测得顶端 C 的仰角为63.4 (如图② 所示),求大楼部分楼体CD的高度约为多少米?(精确到 1 米)(参考数据:sin63.40.89,
cos63.40.45 ,tan63.42.00,21.41, 31.73 ) 专业资料整理
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WORD格式4. ( 题出: 2 进1 行是 1 炎了某 9 热探方案设计 : 甘住 的究2 肃户 :阳, 中数窗据收集 : 光该 考户 ,通 7数上 与 又过 分学方 遮 能 阳篷 CD查的夹角 )课安 阳 最阅 题 某∠ BDC最装小 ( ∠ BDC=30.56° ); 窗户的高度 篷: 大 数研的决: 限C兰 学究, D度根 州 课小要 的 地据 市 题组求 夹 使上 结一 研通设 角述 冬 果年 究过计 ∠°≈ 0.51 天方 中 小调0.1m, 参考数据 :sin30.56的 A温案, 组查遮 D暖及夏 针研阳 C的数至 对究篷 最 阳据 这 兰设既 大 光, 一 州AC的遮阳篷 CD能 (射求 市天最 ∠的遮 .住大 A阳 房正限 D篷 窗午度 C C时 户夏天 =.刻 设计遮阳篷”这 - 课 7, 7太 .DA 4 4 ° ) : 冬 至 这 一 天 的正 午 时 刻 , 太 DB与遮
课题解直角三角形模型 教学目标 1. 熟悉特殊的三角函数,理解三角函数表示的意义,学会利用三角函数求线段长度和角度; 2. 学会解决常考的解直角三角形题型。 重难点学会解决常考的解直角三角形题型 导案学案 教学流程 一、进门考(建议不超过10分钟) 1.(2017?绍兴)如图,学校的实验楼对面是一幢教学楼,小敏在实验楼的窗口C测得教学楼 顶部D的仰角为18°,教学楼底部B的俯角为20°,量得实验楼与教学楼之间的距离AB=30m. (1)求∠BCD的度数. (2)求教学楼的高BD.(结果精确到0.1m,参考数据:tan20°≈0.36,tan18°≈0.32) 二、基础知识网络总结与巩固 知识回顾:三角函数中常用的特殊函数值。 函数名0°30°45°60°90° sinα0 1 cosα 1 0 tanα0 无穷大 cotα无穷大 1 0
1.解直角三角形的定义: 在直角三角形中,除直角外,共有5个元素,即3条边和2个锐角.由这些元素中的一些已知元素,求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。 2.解直角三角形的常用关系: 在Rt △ABC 中,∠C=90°,则: ①三边关系:a 2+b 2= c 2 ; ②两锐角关系:∠A +∠B= 90°; ③边与角关系:sin A=cos B= a c ,cos A=sin B= b c ,tan A=a b ; ④平方关系:1cos sin 2 2 =+A A ⑥倒数关系:tan A ?tan(90°—A)=1 ⑦弦切关系:tan A= A A cos sin 3.解直角三角形的两种基本类型————①已知两边长; ②已知一锐角和一边。 注意:已知两锐角不能解直角三角形。 4.解非直角三角形的方法: 对于非直角三角形,往往要通过作辅助线构造直角三角形来解,作辅助线的一般思路是: ①作垂线构成直角三角形; ②利用图形本身的性质,如等腰三角形顶角平分线垂直于底边。 5.常见的几种图形辅助线: 三、重难点例题启发与方法总结 类型一 背靠背 例1.(2017?恩施州)如图,小明家在学校O 的北偏东60°方向,距离学校80米的A 处,小华家在学校O 的南偏东45°方向的B 处,小华家在小明家的正南方向,求小华家到学校的距离.(结果精确到1米,参考数据:≈1.41,≈1.73,≈2.45)
中考数学知识点顺口溜及三角形复习 2021年中考数学复习:三角形 1、“三线八角”:两条直线被第三条直线所截而成的八个角。其中, 同位角:位置相同,及同旁和同规; 内错角:内部,两旁; 同旁内角:内部,同旁。 2、平行线的判定方法: 1同位角相等,两直线平行 2内错角相等,两直线平行 3同旁内角互补,两直线平行 3、平行线的性质: 1两直线平行,同位角相等 2两直线平行,内错角相等 3两直线平行,同旁内角互补 4、三角形的分类: 1按角分:锐角三角形、直角三角形、钝角三角形 2按边分:等腰三角形、不等边三角形 5、三角形的性质: 1三角形中任意两边之和大于第三边,任意两边只差小于第三边 2三角形内角和为180o 3三角形外角等于与之不相邻的两个内角的和 6、三角形中的主要线段: 1三角形的中位线:连接三角形两边中点的线段 中位线性质:中位线平行于第三边,且等于第三边的一半。
2三角形的中线、高线、角平分线都是线段 7、等腰三角形的性质和判定: 1等腰三角形的两个底角相等 2等腰三角形底边上的高、中线、顶角的角平分线互相重合,简称三线合一 3有两个角相等的三角形是等腰三角形 8、等边三角形的性质和判定: 1等边三角形每个角都等于60o,同样具有三线合一的性质 2三个角相等的三角形是等边三角形;三边相等的三角形是等边三角形;一个角等于 60o的等腰三角形是等边三角形 9、直角三角形的性质和判定: 1直角三角形两个锐角和为90o互余 2直角三角形中30o所对的直角边等于斜边的一半 3直角三角形中,斜边的中线等于斜边的一半 4勾股定理:直角三角形中,两直角边的平方和等于斜边的平方 5勾股定理的逆定理:若一个三角形中,有两边的平方和等于第三边的平方,则这个 三角形是直角三角形 10、全等三角形: 1对应边相等,对应角相等的三角形叫全等三角形 2全等三角形的判定方法:SSS、SAS、ASA、AAS、HL 【观察这五种方法发现,要证三角形全等,至少要有一组相等的边,因此在应用是要 养成先找边的习惯】 3全等三角形的性质:全等三角形的对应边、对应角、面积、周长、对应高、对应中线、对应角平分线都相等 11、分析、证明几何题的常用方法: 1综合法由因导果:从命题的题设出发,通过一系列的有关定义、公理、定理的应用,逐步向前推进,知道问题解决
初三年数学中考第一轮复习专题训练 三角形 班级 姓名 座号 成绩 一、填空题: 1.△ABC 中,AB =AC ,∠B=50°,则∠A= ; 2.在Rt△ABC 中,∠C=90°,4=a ,5=c ,则 sinA = ; 3.等腰三角形一边长为 5cm ,另一边长为 11cm ,则它的周长是 ; 4.△ABC 的三边长为9=a ,12=b ,15=c ,则∠C= 度; 5.若∠1=30°,则∠A 的补角是 度;; 6.如图1,如图,已知:AB∥CD,∠1=∠2,若∠1=50°, 则∠3= 度; 图1 图2 图3 图4 7.如图2,DE 是△ABC 的中位线,DE =6cm ,则BC = ; 8.如图3、在△ABC 中,AD⊥BC 于D ,再添加一个条件 就可确定,△ABD≌△ACD; 9.如果等腰三角形的底角为15°,腰长为6cm ,那么这个三角形的面积为 ; 10.有一个斜坡的坡度记3:1=i ,则坡角_____=α; 11.△ABC 的边BC 的垂直平分线MN 交AC 于D ,若AC =6cm ,AB =4cm ,则△ADB A B ┐ C A D E B C A B D C ) ) ) 1 2 3
的周长=; 12.如图4,已知图中每个小方格的边长为 1,则点 B 到直线 AC 的距离等于; 二、选择题: 13.下列哪组线段可以围成三角形() A、1,2,3 B、1,2,3 C、2,8,5 D、3,3,7 14.能把一个三角形分成两个面积相等的三角形的线段,是三角形的() A、中线 B、高线 C、边的中垂线 D、角平分线 15.平行四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于O点,则图中全等的三角形共有() A、1对 B、2对 C、3对 D、4对 16.下列长度的三条线段可以组成三角形的是() A、10 5 4 B、3 4 2 C、1 11 8 D、5 3 8 17.一个三角形的三个内角中,至少有() A、一个锐角 B、两个锐角 C、一个钝角 D、一个直角18.具备下列条件的两个三角形中,不一定全等的是() A、有两边一角对应相等 B、三边对应相等 C、两角及其夹边对应相等 D、两直角边对应相等的两个直角三角形19.已知三角形的三条高的交点恰好是该三角形的一个顶点,则该三角形是() A、直角三角形 B、锐角三角形 C、钝角三角形 D、不能确定20.已知ΔABC的三个内角∠A、∠B、∠C满足关系式∠B+∠C=3∠A,则此三角() A、一定有一个内角为45? B、一定有一个内角为60? C、一定是直角三角形 D、一定是钝角三角形 21.能使两个直角三角形全等的条件是()
中考数学专题复习解直角三角形 【基础知识回顾】 一、锐角三角函数定义: 在RE△ABC中,∠C=900, ∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c,则∠A的正弦可表示为:sinA= ,∠A的余弦可表示为CBA= ∠A的正切:tanA= ,它们弦称为∠A的锐角三角函数 【提醒:1、sinA、∠cosA、tanA表示的是一个整体,是两条线段的比,没有,这些比值只与有关,与直角三角形的无关 2、取值范围
sinB cosB tanB 【提醒:解直角三角形中已知的两个元素应至少有一个是 当没有直角三角形时应注意构造直角三角形,再利用相应的边角关系解决】 3、解直角三角形应用中的有关概念 ⑴仰角和俯角:如图:在用上标上仰角和俯角 ⑵坡度坡角:如图: 斜坡AB的垂直度H和水平宽度L的比叫做坡度,用i表示,即i=坡面与水平面得 夹角为用字母α表示,则i=h l = ⑶方位角:是指南北方向线与目标方向所成的小于900的水平角 如图:OA表示OB表示 OC表示(也可称西南方向) 3、利用解直角三角形知识解决实际问题的一般步骤: ⑴把实际问题抓化为数字问题(画出平面图形,转化为解直角三角形的问题) ⑵根据条件特点选取合适的锐角三角函数去解直角三角形 ⑶解数学问题答案,从而得到实际问题的答案 【提醒:在解直角三角形实际应用中,先构造符合题意的三角形,解题的关键是弄清在哪个直角三角形中用多少度角的哪种锐角三角函数解决】 【重点考点例析】 考点一:锐角三角函数的概念 例1 (2012?内江)如图所示,△ABC的顶点是正方形网格的格点,则sinA的值为() A.1 2 B. 5 5 C. 10 10 D. 25 5 思路分析:利用网格构造直角三角形,根据锐角三角函数的定义解答.解:如图:连接CD交AB于O, 根据网格的特点,CD⊥AB,
课题解直角三角形模型 教学目标 1.熟悉特殊的三角函数,理解三角函数表示的意义,学会利用三角函数求线段长度和角度; 2.学会解决常考的解直角三角形题型。 重难点学会解决常考的解直角三角形题型 导案学案 教学流程 一、进门考(建议不超过10 分钟) 1. ( 2017?绍兴)如图,学校的实验楼对面是一幢教学楼,小敏在实验楼的窗口 C 测得教学楼 顶部 D的仰角为18°,教学楼底部B的俯角为 20°,量得实验楼与教学楼之间的距离AB=30m. ( 1)求∠ BCD的度数. ( 2)求教学楼的高BD.(结果精确到0.1m,参考数据:tan20 °≈ 0.36 , tan18 °≈ 0.32 ) 二、基础知识网络总结与巩固 知识回顾:三角函数中常用的特殊函数值。 函数名0°30°45°60°90° sin α01 cos α10 tan α0无穷大 cot α无穷大10
1.解直角三角形的定义: 在直角三角形中,除直角外,共有 5 个元素,即 3 条边和 2 个锐角.由这些元素中的一些已知元素,求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。 2.解直角三角形的常用关系: 在 Rt △ ABC中,∠ C=90°,则:① 三边关系: a2+ b2= c 2;②两锐角关 系:∠ A+∠ B= 90 °; ③边与角关系: sin A=cos B=a , cos A=sin B= b , tan A=a ; c c b ④平方关系: sin 2 A cos2 A1 ⑥倒数关系: tan A? tan(90°—A)=1 ⑦弦切关系: tan A=sin A cos A 3. 解直角三角形的两种基本类型————①已知两边长;②已知一锐角和一边。 注意:已知两锐角不能解直角三角形。 4.解非直角三角形的方法: 对于非直角三角形,往往要通过作辅助线构造直角三角形来解,作辅助线的一般思路是: ①作垂线构成直角三角形; ②利用图形本身的性质,如等腰三角形顶角平分线垂直于底边。 5.常见的几种图形辅助线: 三、重难点例题启发与方法总结 类型一背靠背 例 1. ( 2017?恩施州)如图,小明家在学校 O的北偏东 60°方向,距离学校 80 米的 A 处,小华家在学校 O的南偏东 45°方向的 B 处,小华家在小明家的正南方向,求小华家到学校的距 离.(结果精确到 1 米,参考数据:≈ 1.41,≈ 1.73,≈ 2.45)