等腰三角形的性质练习题及答案

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等腰三角形的性质练习题及答案

若按边(角)是否相等分类，两边(角)相等的三角形是等腰三角形．等腰三角形是一类特殊三角形，它的两底角相等；等腰三角形是轴对称图形，底边上的高、中线、顶角的平分线互相重合(简称三线合一)，特别地，等边三角形的各边相等，各角都为60°．

解与等腰三角形相关的问题，全等三角形依然是重要的工具，但更多的是思考运用等腰三角形的特殊性质，这些性质为角度的计算、线段相等的证明、直线位置关系的证明等问题提供了新的理论依据，因此，重视全等三角形的运用，又不囿于全等三角形，善于运用等腰三角形的性质探求新的解题途径．

例题求解

【例1】如图AOB是一钢架，且∠AOB=10°，为使钢架更加坚固，需在其内部添加一些钢管EF、FG、GH……添加的钢管长度都与OE相等，则最多能添加这样的钢管根．

(山东省聊城市中考题)

思路点拨通过角度的计算，确定添加钢管数的最大值．

角是几何中最活跃的元素，与角相关的知识异常丰富，在三角形中，角又有独特的等注利用这些定理可等腰三角形两底角相等，量关系，如三角形内角和定理、内外角关系定理．、“分”关系．、“差”、“倍”以找到角与角之间的“和”随着知识的丰富，我们分析问题、解决问题的方法和工具随之增加，因此，在使用什么方法解决问题时，需要综合与选择． ) BAC的度数为（，AK=KG，则∠，【例2】如图，若AB=ACBG＝BH ° D．4032° D．° C 36°A．30)

武汉市选拔赛试题(的方BAC图中有很多相关的角，用∠BAC的代数式表示这些角，建立关于∠思路点拨

程．

，BD于E为AB=AC，DAC上一点，AE⊥°，如图，在△【例3】 ABC中，已知∠A=90 ，请说明理由．D，问：当点满足什么条件时，∠ADB＝∠CDFBC延长AE交于F)

安徽省竞赛题改编题 (立，逐步逆推过去，找到相应的条思路点拨本例是探索条件的问题，可先假定结论成对应的三角形不全等，故需构造因∠?ADB与∠CDF何用，这一结论如＝∠件，若∠ADBCDF )(全等三角形，而作顶角的平分线或底边上的高中线是等腰三角形中一条常用辅助线．

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【例4】如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB=90°，D是AC上一点，AE⊥BD交BD的延长线1BD．求证：BD是∠ABC于E，且AE=的角平分线．2(北京市竞赛题)

思路点拨 AE边上的高与∠ABC的平分线重合，联想到等腰三角形，通过作辅助线构造全等三角形、等腰三角形．

若巳知图形中不存在证题所需的全等三角形，我们需要添加辅助战，构造全等三角形，注

使欲证的线段或角转移位置，最终使问题得以解决．结论探索型、条件探索型、存在性判断是探索型问题的基本形式，相应的解题策略是： (1)通过对符合条件的特例或简单情形的分析、观察、猜想结果，再给出证明； (2)假设结论成立，逆推追寻相应的条件；则否定假设；进行推理，若由此导出矛盾，(3)假设在题设条件下的某一数学对象存在，否则，给出肯定的结论．′都是△CABABC′、△BCA′、△60】如图，在△ABC中，已知∠C＝°，AC>BC，又△【例5DC ＝在AC上，且BCABC形外的等边三角形，而点D ；B′DC (1)证明：△C′BD≌△′A；AC (2)证明：△′D≌△DB? CAB′，从面积大小关系上，你能得出什么结论′、△ABC、△ABC′、△BCA (3)对△)

(江苏省竞赛题由角的不等，导出边的不等关的自然推论，(3) 是基础，(2)是(1) 思路点拨 (1) 系，这是探索面积不等关系的关键．学力训练 AD=AE，需要添加的一个条件是．ABC1．如图，△中，已知AD＝AC，要使)

(济南市中考题两部分，则这个等腰三和21cm．等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成212cm ．角形底边的长为度．DPF= BP=CE，∠A=40°，，BD=CP，则∠ACABABC3．△中，＝

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4．如图，△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE相交于点F，若BF＝AC，则∠ABC的大小是．

(烟台市中考题)

5．△ABC的一个内角的大小是40°，且∠A=∠B，那么∠C的外角的大小是( )

A．140° B．80°或100° C ．100°或140° D．80°或140°

6．已知△ABC中，AB＝AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC中点，两边PE、PF分别1S=②△；EPF是等腰直角三角形，③于点F、F，给出以下四个结论：①AE=CF交AB、AC AEPF四边形2S；

④EF=AP．当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时(点E不与A、B重合)，上述结论中ABC 始终正确的是( )

A．1个 B．2个 C．3个 D． 4个

(苏州市中考题)

7．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC＝AE，BC＝BF，则∠ECF＝( )

A．60° B．45° C．30° D．不确定

( ) 的度数是，则∠APEAD与BE相交于点PABC8．如图，在等边△中，BD＝CE，°．75．60°D． A45° D．55° C)

(菏泽市中考题分成两个等腰三角形，某一顶点的直线可将△ABC＝AC，且过△ABC9．在△ABC 中，已知AB ABC各内角的度数．试求厶)

(广州市中考题，延长ADGHABC的中心，连结、．如图，已知A、D两点分别是正三角形DEF、正三角形10 的交点．与ACAB的交点，H是EDGM于，延长DA交EF于N，是FD与AD交BC请写出三个不同类型的、必须经过至少两步推理才能得到的正确结论（不要求写出 (1) ；证明过程） ?试证明你的结论．GH、BC有何位置关系 (2)问FE、) (江西省中考题

AC，BF∥ADDC，D为的中点，CE⊥于EAC=BCACB=90ABCRt11．如图，在△中，已知∠°，垂直平分DF．ABFCE交的延长线于点．求证：) 河南省中考题(

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12．如图，O为等边三角形ABC内一点，BD＝DA，BE＝AB，∠DBE＝∠DBC，则∠BED的度数是．

(河南省竞赛题)

13．如图，AA′、BB′分别是∠EAO、∠DBC的平分线，若AA′=BB′＝AB，则∠BAC的度数为． (全国初中数学联赛题)

种．，边长为整数的等腰三角形共有 14．周长为100)

“华杯赛”试题 (

2，则此等腰三角形的周长满足=0．已知等腰三角形的两边a、b15)3b?13b?5?(2a?2a?3．为

( ) 的大小是＝DC，则∠CAD⊥BC于D，且AB+BD．如图，在△16ABC中，∠BAC=120°，°D．4525° C．30° A．20° B．为端点任作两条互相垂直的射线与DAD为斜边上的高，以17．如图，在等腰直角△ABC中，( ) 与∠AGF的关系为与AD相交于G，则∠AEDE两腰相交于、F，连结EF ∠AGF D．不能确定AED＝∠AGF C．∠AED<．∠AAED>∠AGF B．∠（“学习报）公开赛试题）表示三条相交的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公、、18．如图，直线lll231( )

路的距离相等，则可供选择的地址有 D．四处 B．两处 C．三处．一处 A) (安徽省中考题22b5?1a.?ba( ) 是，则△、19．△ABC的三边为ab、c，且满足ABC?2.?325?

22c．等边三角形 D．以上答案都不对A．直角三角形 B．等腰三角形 C) (河南省竞赛题．⊥AB于FE于D，PE⊥AC于，CFABBCAB=AC20．如图，在△ABC中，，P底边上一点，PD⊥； (1)求证：PD+PE=CF ?写出你的猜想并证明．CF的延长线上，那么PD、PE、存在什么关系P (2)若点在BC

⊥FG，过BC于点FF作交⊥，°，＝中，∠．如图，在等腰直角△21ABCBAC90AD=AEAFBE

，求BE交CD延长线于G学习资料．

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证：BG=AF+FG． (重庆市竞赛题)

22．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝80°，O为△ABC内一点，且∠OBC=10°，∠OCA=20°，求∠BAO的度数． (天津市竞赛题)

重合，但不与可以与点A边上的任意一点(点P．如图，等边△23ABC中，AB=2，点P是AB，x，设BP= FQ⊥AB于Q作EF于E，过点E作⊥AC于F，过点F⊥过点B点重合)，P作PEBC ．＝yAQ ；的代数式表示y(1)用x? Q重合PB的长等于多少时，点P与点当(2)

)

(福州市中考题°的等腰三角形，以120是顶角∠BDC＝l24．如图，△ABC是边长为的等边三角形，△BDC，形成一个三角形，，连结MN，交MAC于N°角，角的两边分别交D为顶点作一个60AB于．AMN求证：△的周长等于2