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傅里叶变换和反变化的详细推导过程

傅里叶变换和反变化的详细推导过程
傅里叶变换和反变化的详细推导过程

傅里叶变换和反变换的详细推导:只讲离散形式的,连续形式的类似。

那么就可以得出下面的结论:

傅里叶变换性质证明

傅里叶变换性质证明 Company number:【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】

傅里叶变换的性质 2.6.1线性 若信号和的傅里叶变换分别为和, 则对于任意的常数a和b,有 将其推广,若,则 其中为常数,n为正整数。

由傅里叶变换的定义式很容易证明线性性质. 显然傅里叶变换也是一种线性运算,在第一章我们已经知道了,线性有两个含义:均匀性和叠加性。均匀性表明,若信号乘以常数a,则信号的傅里叶变换也乘以相同的常数a,即 叠加性表明,几个信号之和的傅里叶变换等于各个信号的傅里叶变换之和 ? 2.6.2 反褶与共轭性 设f(t)的傅里叶变换为,下面我们来讨论信号反褶、共轭以及既反褶又共轭后,新信号的傅里叶变换。

(1)反褶 f(-t)是f(t)的反褶,其傅里叶变换为 (2)共轭 (3)既反褶又共轭 本性质还可利用前两条性质来证明: 设g(t)=f(-t),h(t)=g*(t),则 在上面三条性质的证明中,并没有特别指明f(t)是实函数还是复函数,因此,无论f(t)为实信号还是复信号,其傅里叶变换都满足下面三条性质2.6.3 奇偶虚实性 已知f(t)的傅里叶变换为。在一般情况下,是复函数,因此可以把它表示成模与相位或者实部与虚部两部分,即 ? 根据定义,上式还可以写成 下面根据f(t)的虚实性来讨论F()的虚实性。 (1) f(t)为实函数对比式(2-33)与(2-34),由FT的唯一性可得 ()f(t)是实的偶函数,即f(t)=f(-t)

X()的积分项是奇函数,而奇函数在对称区间内的积分为零,故 这时X()=0,于是 可见,若f(t)是实偶函数,则F()也是实偶函数,即 左边反褶,右边共轭 ()f(t)是实的奇函数,即-f(t)=f(-t) R()的积分项是奇函数,而奇函数在对称区间内的积分为零,故 这时R()=0,于是 可见,若f(t)是实奇函数,则F()是虚奇函数,即 左边反褶,右边共轭 有了上面这两条性质,下面我们来看看一般实信号(即可能既不是偶信号,又不是奇信号,反正不清楚,或者说是没有必要关心信号的奇偶特性)的FT频谱特点。 2.6.4对称性

傅里叶变换性质证明

傅里叶变换的性质 2.6.1线性 若信号和的傅里叶变换分别为和, 则对于任意的常数a和b,有 将其推广,若,则 其中为常数,n为正整数。 由傅里叶变换的定义式很容易证明线性性质. 显然傅里叶变换也是一种线性运算,在第一章我们已经知道了,线性有两个含义:均匀性和叠加性。均匀性表明,若信号乘以常数a,则信号的傅里叶变换也乘以相同的常数a,即

叠加性表明,几个信号之和的傅里叶变换等于各个信号的傅里叶变换之和 2.6.2 反褶与共轭性 设f(t)的傅里叶变换为,下面我们来讨论信号反褶、共轭以及既反褶又共轭后,新信号的傅里叶变换。 (1)反褶 f(-t)是f(t)的反褶,其傅里叶变换为 (2)共轭 (3)既反褶又共轭

本性质还可利用前两条性质来证明: 设g(t)=f(-t),h(t)=g*(t),则 在上面三条性质的证明中,并没有特别指明f(t)是实函数还是复函数,因此,无论f(t)为实信号还是复信号,其傅里叶变换都满足下面三条性质 2.6.3 奇偶虚实性 已知f(t)的傅里叶变换为。在一般情况下,是复函数,因此可以把它表示成模与相位或者实部与虚部两部分,即 根据定义,上式还可以写成 下面根据f(t)的虚实性来讨论F()的虚实性。

(1) f(t)为实函数 对比式(2-33)与(2-34),由FT的唯一性可得 ()f(t)是实的偶函数,即f(t)=f(-t) X()的积分项是奇函数,而奇函数在对称区间内的积分为零,故 这时X()=0,于是 可见,若f(t)是实偶函数,则F()也是实偶函数,即 左边反褶,右边共轭 ()f(t)是实的奇函数,即-f(t)=f(-t) R()的积分项是奇函数,而奇函数在对称区间内的积分为零,故 这时R()=0,于是 可见,若f(t)是实奇函数,则F()是虚奇函数,即 左边反褶,右边共轭 有了上面这两条性质,下面我们来看看一般实信号(即可能既不是偶信号,又不是奇信号,反正不清楚,或者说是没有必要关心信号的奇偶特性)的FT频谱特点。 2.6.4对称性 傅里叶变换与傅里叶反变换之间存在着对称关系,称为傅里叶变换的对称性质。若已知

傅里叶变换推导

2.3 快速傅立叶变换问题 1) 问题背景 在数值电路的传输中,为了避免信号干扰,需要把一个连续信号 x(t)先通过取样离散化为一列数值脉冲信号x(0), x(1), …… ,然后再通过编码送到传输电路中。如果取样间隔很小,而连续信号的时间段又很长,则所得到的数值脉冲序列将非常庞大。因此,传输这个编码信号就需要长时间的占用传输电路,相应地也需要付出昂贵的电路费用。 那么能否经过适当处理是使上述的数值脉冲序列变短,而同时又不会丧失有用的信息?的经过研究,人们发现,如果对上述数值脉冲序列作如下的变换处理: ∑-=--=-==1 0/21 ,1,...,1,0,)()(N k N nki i N n e k x n X π (1) 则所得到的新序列X(0), X(1) , ……将非常有序,其值比较大的点往往集中在某一很狭窄的序列段内,这将非常有利于编码和存储,从而达到压缩信息的目的。 公式(1)就是所谓的离散傅立叶变换,简称DFT 。现在我们来分析一下计算DFT 所需要的工作量。如果我们不考虑公式(7.1)中指数项的运算,那么计算其每一个点X (n) 需要N 次复数乘法和N-1次的复数加法。显然当N 很大时,这个工作量也非常巨大。正是由于这个原因,使得DFT 的应用范围在过去很长的时间里受到了严格的限制。注意到公式(1)是非常有规律性的,那么能否利用这种规律性来降低DFT 的计算时间? 1965年,凯莱和塔柯的提出了一种用于计算DFT 的数学方法,大大减少了DFT 的计算时间,同时又特别适用于硬件处理,这就是所谓的快速傅里叶变换,简称FFT 。鉴于DFT 的数据结构可以通过傅立叶变换的离散化获得,亦可通过三角插值得到,而本质上又同连续傅里叶分析有着极为密切的关系。下面我们从傅立叶级数级数和傅立叶积分入手,导出DFT 结构的来源和FFT 的工作原理。 2) 傅立叶变换 如果x(t)是定义在整个实轴上的实值或复值函数,则其傅立叶变换可由下式给出: ?∞ ∞ ---==1 ,)()(/2i dt e t x f X T nift (2)

傅里叶变换的对称性证明

一. 序列的傅里叶变换(DTFT )的对称性 已知: [()]()j DTFT x n X e ω= **[()]()j DTFT x n X e ω-= **[()]()j DTFT x n X e ω-=(由Z 变换的性质可推出) 共轭对称序列:()()*e e x n x n =-实部是偶对称序列,虚部是奇对称序列 共轭反对称序列: ()()*o o x n x n =--实部是奇对称序列,虚部是偶对称序列 任一序列总可以表示成共轭对称序列和共轭反对称序列之和: ()()()()()()()()() **12 12e e o o x n x n x n x n x n x n x n x n x n ???=+-????=+? ???=--? ??? ()()()()()()()()()**1212j j j e j j j e o j j j o X e X e X e X e X e X e X e X e X e ω ωωωωωωωω--???=+?? ??=+? ???=-? ??? 求证: [Re(())]() [Im(())]()j e j o DTFT x n X e DTFT j x n X e ωω ?=?=? or [()]Re(()) [()]Im(())j e j o IDTFT X e x n IDTFT X e j x n ωω ?=?=? [()]Re(()) [()]Im(())j e j o DTFT x n X e DTFT x n j X e ωω ?=?=? or [Re(())]() [Im(())]()j e j o IDTFT X e x n IDTFT j X e x n ωω ?=?=? 证明: ()()()[][] ** 1 21()()21 2Re(())2 Re(())j j j e X e X e X e DTFT x n x n DTFT x n DTFT x n ωωω-?? = +? ???= +??== ()()( )[][]* * 121()()2 1 2I m (())2 I m (())j j j o X e X e X e D T F T x n x n D T F T j x n D T F T j x n ωω ω- ??= -? ? ??= -??==

傅里叶变换性质证明

2.6 傅里叶变换的性质 2.6.1线性 若信号和的傅里叶变换分别为和, 则对于任意的常数a和b,有 将其推广,若,则 其中为常数,n为正整数。 由傅里叶变换的定义式很容易证明线性性质. 显然傅里叶变换也是一种线性运算,在第一章我们已经知道了,线性有两个含义:均匀性和叠加性。均匀性表明,若信号乘以常数a,则信号的傅里叶变换也乘以相同的常数a,即 叠加性表明,几个信号之和的傅里叶变换等于各个信号的傅里叶变换之和 2.6.2 反褶与共轭性 设f(t)的傅里叶变换为,下面我们来讨论信号反褶、共轭以及既反褶又共轭后,新信号的傅里叶变换。 (1)反褶

f(-t)是f(t)的反褶,其傅里叶变换为 (2)共轭 (3)既反褶又共轭 本性质还可利用前两条性质来证明: 设g(t)=f(-t),h(t)=g*(t),则 在上面三条性质的证明中,并没有特别指明f(t)是实函数还是复函数,因此,无论f(t)为实信号还是复信号,其傅里叶变换都满足下面三条性质

2.6.3 奇偶虚实性 已知f(t)的傅里叶变换为。在一般情况下,是复函数,因此可以把它表示成模与相位或者实部与虚部两部分,即 根据定义,上式还可以写成 下面根据f(t)的虚实性来讨论F()的虚实性。 (1) f(t)为实函数 对比式(2-33)与(2-34),由FT的唯一性可得 (1.1)f(t)是实的偶函数,即f(t)=f(-t) X()的积分项是奇函数,而奇函数在对称区间内的积分为零,故这时X()=0,于是 可见,若f(t)是实偶函数,则F()也是实偶函数,即 左边反褶,右边共轭 ( 1.2)f(t)是实的奇函数,即-f(t)=f(-t) R()的积分项是奇函数,而奇函数在对称区间内的积分为零,故这时R()=0,于是

常用傅立叶变换表

时域信号 弧频率表示的 傅里叶变换 注释 1 线性 2 时域平移 3 频域平移, 变换2的频域对应4 如果值较大,则会收缩 到原点附近,而会扩 散并变得扁平. 当 | a | 趋向 无穷时,成为 Delta函数。 5 傅里叶变换的二元性性质。通过 交换时域变量和频域变量 得到. 6 傅里叶变换的微分性质 7 变换6的频域对应 8 表示和的卷积—这

9 矩形脉冲和归一化的sinc 函数 10 变换10的频域对应。矩形函数是理想的低通滤波器,sinc 函数是这类滤波器对反因果冲击的响应。 11 tri 是三角形函数 12 变换12的频域对应 13 高斯函数 exp( ? αt 2) 的傅里叶变换是他本身. 只有当 Re(α) > 0时,这是可积的。 14 15 16 a>0 17 变换本身就是一个公式

18 δ(ω) 代表狄拉克δ函数分布. 这 个变换展示了狄拉克δ函数的重要 性:该函数是常函数的傅立叶变换 19 变换23的频域对应 20 由变换3和24得到. 21 由变换1和25得到,应用了欧拉公 式: cos(at) = (e iat + e?iat) / 2. 22 由变换1和25得到 23 这里, n是一个自然数. δ(n)(ω) 是狄拉克δ函数分布的n阶微分。这 个变换是根据变换7和24得到的。 将此变换与1结合使用,我们可以变 换所有多项式。 24 此处sgn(ω)为符号函数;注意此变 换与变换7和24是一致的. 25 变换29的推广. 26 变换29的频域对应. 27 此处u(t)是单位阶跃函数; 此变换 根据变换1和31得到.

离散傅里叶变换性质证明

1. [][]()()j j ax n by n aX e bX e ωω+?+ Proof: ([][])[][]()() j n j n j n j j ax n by n e a x n e b y n e aX e bX e ωωωωω∞ --∞ ∞∞ ---∞-∞ +=+=+∑∑∑ 2. (1)[]()d j n j d x n n X e e ωω--? Proof: ()[][].()d d j n d n j n n j n d n j n j x n n e x n n e e X e e ωωωωω∞-=-∞∞---=-∞--=-=∑ ∑ (2) 00()[]()j n j e x n X e ωωω-? Proof: 000()()[][]()j n j n j n j n n e x n e x n e X e ωωωωωω∞∞ ----=-∞=-∞==∑ ∑ 3. []()j x n X e ω--? Proof: ()[][]()j n j n j n n x n e x n e X e ωωω∞∞ ---=-∞=-∞-=-=∑ ∑ if []x n is real ()j X e ω-=*()j X e ω 4. ()[]j dX e nx n j d ωω? Proof: ()[]() ()[]()[]j j n n j j n n j j n n X e x n e dX e jn x n e d dX e j nx n e d ωωωωωωωω∞-=-∞∞-=-∞∞-=-∞=?=-?=∑∑∑

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傅里叶变换公式

第2章信号分析 本章提要 信号分类 周期信号分析--傅里叶级数 非周期信号分析--傅里叶变换 脉冲函数及其性质 信号:反映研究对象状态和运动特征的物理量信号分析:从信号中提取有用信息的方法 和手段 §2-1 信号的分类 两大类:确定性信号,非确定性信号 确定性信号:给定条件下取值是确定的。 进一步分为:周期信号, 非周期信号。 非确定性信号(随机信号):给定条件下 取值是不确定的

按取值情况分类:模拟信号,离散信号数字信号:属于离散信号,幅值离散,并用二进制表示。 信号描述方法 时域描述 如简谐信号 频域描述 以信号的频率结构来描述信号的方法:将信号看成许多谐波(简谐信号)之和,每一个谐波称作该信号的一个频率成分,考察信号含有那些频率的谐波,以及各谐波的幅值和相角。 §2-2 周期信号与离散频谱 一、周期信号傅里叶级数的三角函数形式 周期信号时域表达式 T:周期。注意n的取值:周期信号“无始无终” #

傅里叶级数的三角函数展开式 (n=1, 2, 3,…) 傅立叶系数: 式中T--周期;0--基频, 0=2/T。 三角函数展开式的另一种形式:周期信号可以看作均值与一系列谐波之和--谐波分析法 频谱图 周期信号的频谱三个特点:离散性、谐波性、收敛性 例1:求周期性非对称周期方波的傅立叶级数并画出频谱图 解: 解: 信号的基频 傅里叶系数 n次谐波的幅值和相角 最后得傅立叶级数 频谱图 幅频谱图相频谱图

二、周期信号傅里叶级数的复指数形式 欧拉公式 或 傅立叶级数的复指数形式 复数傅里叶系数的表达式 其中a n,b n的计算公式与三角函数形式相同,只是n包括全部整数。 一般c n是个复数。 因为a n是n的偶函数,b n是n的奇函数,因此# 即:实部相等,虚部相反,c n与c-n共轭。 c n的复指数形式 共轭性还可以表示为 即:c n与c-n模相等,相角相反。 傅立叶级数复指数也描述信号频率结构。它与三角函数形式的关系 对于n>0

傅里叶变换性质证明

2。6 傅里叶变换得性质 2。6.1线性 若信号与得傅里叶变换分别为与,??? 则对于任意得常数a与b,有? ? 将其推广,若,则??? 其中为常数,n为正整数。? 由傅里叶变换得定义式很容易证明线性性质、 ?显然傅里叶变换也就是一种线性运算,在第一章我们已经知道了,线性有两个含义:均匀性与叠加性。均匀性表明,若信号乘以常数a,则信号得傅里叶变换也乘以相同得常数a,即 ???叠加性表明,几个信号之与得傅里叶变换等于各个信号得傅里叶变换之与?? 2.6.2 反褶与共轭性 设f(t)得傅里叶变换为,下面我们来讨论信号反褶、共轭以及既反褶又共轭后,新信号得傅里叶变换。 (1)反褶 f(-t)就是f(t)得反褶,其傅里叶变换为 (2)共轭 (3)既反褶又共轭 本性质还可利用前两条性质来证明: 设g(t)=f(-t),h(t)=g*(t),则 在上面三条性质得证明中,并没有特别指明f(t)就是实函数还就是复函数,因此,无论f(t)为实信号还就是复信号,其傅里叶变换都满足下面三条性质

2。6.3 奇偶虚实性 已知f(t)得傅里叶变换为。在一般情况下,就是复函数,因此可以把它表示成模与相位或者实部与虚部两部分,即 根据定义,上式还可以写成 下面根据f(t)得虚实性来讨论F()得虚实性、 (1) f(t)为实函数?对比式(2-33)与(2—34),由FT得唯一性可得 (1、1)f(t)就是实得偶函数,即f(t)=f(—t) X()得积分项就是奇函数,而奇函数在对称区间内得积分为零,故 这时X()=0,于就是??可见,若f(t)就是实偶函数,则F()也就是实偶函数,即 左边反褶,右边共轭 (1、2)f(t)就是实得奇函数,即-f(t)=f(-t)?R()得积分项就是奇函数,而奇函数在对称区间内得积分为零,故 这时R()=0,于就是 可见,若f(t)就是实奇函数,则F()就是虚奇函数,即 左边反褶,右边共轭 有了上面这两条性质,下面我们来瞧瞧一般实信号(即可能既不就是偶信号,又不就是奇信号,反正不清楚,或者说就是没有必要关心信号得奇偶特性)得FT频谱特点、

傅里叶变换 讲解最通俗易懂的一片

【纯技术帖】为什么要进行傅立叶变换?傅立叶变换究竟有何意义?如何用Matlab实现快速傅立叶 变换?来源:胡姬的日志 写在最前面:本文是我阅读了多篇相关文章后对它们进行分析重组整合而得,内容非我所原创。在此 向多位原创作者致敬!!! 一、傅立叶变换的由来 关于傅立叶变换,无论是书本还是在网上可以很容易找到关于傅立叶变换的描述,但是大都是些故弄玄虚的文章,太过抽象,尽是一些让人看了就望而生畏的公式的罗列,让人很难能够从感性上得到理解,最近,我偶尔从网上看到一个关于数字信号处理的电子书籍,是一个叫Steven W. Smith, Ph.D.外国人写的,写得 非常浅显,里面有七章由浅入深地专门讲述关于离散信号的傅立叶变换,虽然是英文文档,我还是硬着头皮看完了有关傅立叶变换的有关内容,看了有茅塞顿开的感觉,在此把我从中得到的理解拿出来跟大家分享,希望很多被傅立叶变换迷惑的朋友能够得到一点启发,这电子书籍是免费的,有兴趣的朋友也可以从网上下载下来看一下,URL地址是: https://www.sodocs.net/doc/c013673699.html,/pdfbook.htm 要理解傅立叶变换,确实需要一定的耐心,别一下子想着傅立叶变换是怎么变换的,当然,也需要一定的高等数学基础,最基本的是级数变换,其中傅立叶级数变换是傅立叶变换的基础公式。 二、傅立叶变换的提出 让我们先看看为什么会有傅立叶变换?傅立叶是一位法国数学家和物理学家的 名字,英语原名是Jean Baptiste Joseph Fourier(1768-1830), Fourier对热传递很感兴趣,于1807年在法国科学学会上发表了一篇论文,运用正弦曲线来描述温度分布,论文里有个在当时具有争议性的决断:任何连续周期信号可以由一组适当的正弦曲线组合而成。当时审查这个论文的人,其中有两位是历史上著名的数学家拉格朗日(Joseph Louis Lagrange, 1736-1813)和拉普拉斯(Pierre Simon de Laplace, 1749-1827),当拉普拉斯和其它审查者投票通过并要发表这个论文时,拉格朗日坚决反对,在近50年的时间里,拉格朗日坚持认为傅立叶的方法无法表示带有棱角的信号,如在方波中出现非连续变化斜率。法国科学学会屈服于拉格朗日的威望,拒绝了傅立叶的工作,幸运的是,傅立叶还有其它事情可忙,他参加了政治运动,随拿破仑远征埃及,法国大革命后因会被推上断头台而一直在逃避。直到拉格朗日死后15年这个论文才被发表出来。 谁是对的呢?拉格朗日是对的:正弦曲线无法组合成一个带有棱角的信号。但是,我们可以用正弦曲线来非常逼近地表示它,逼近到两种表示方法不存在能量差别,基于此,傅立叶是对的。 为什么我们要用正弦曲线来代替原来的曲线呢?如我们也还可以用方波或三角 波来代替呀,分解信号的方法是无穷的,但分解信号的目的是为了更加简单地处理原来的信号。用正余弦来表示原信号会更加简单,因为正余弦拥有原信号所不具有的性质:正弦曲线保真度。一个正弦曲线信号输入后,输出的仍是正弦曲线,

快速傅里叶变换(FFT)的原理及公式

快速傅里叶变换(FFT)的原理及公式 原理及公式 非周期性连续时间信号x(t)的傅里叶变换可以表示为 式中计算出来的是信号x(t)的连续频谱。但是,在实际的控制系统中能够得到的是连续信号x(t)的离散采样值x(nT)。因此需要利用离散信号x(nT)来计算信号x(t)的频谱。 有限长离散信号x(n),n=0,1,…,N-1的DFT定义为: 可以看出,DFT需要计算大约N2次乘法和N2次加法。当N较大时,这个计算量是很大的。利用WN的对称性和周期性,将N点DFT分解为两个N/2点 的DFT,这样两个N/2点DFT总的计算量只是原来的一半,即(N/2)2+(N/2)2=N2/2,这样可以继续分解下去,将N/2再分解为N/4点DFT等。对于N=2m点的DFT都可以分解为2点的DFT,这样其计算量可以减少为(N/2)log2N 次乘法和Nlog2N次加法。图1为FFT与DFT-所需运算量与计算点数的关系曲线。由图可以明显看出FFT算法的优越性。 将x(n)分解为偶数与奇数的两个序列之和,即

x1(n)和x2(n)的长度都是N/2,x1(n)是偶数序列,x2(n)是奇数序列,则 其中X1(k)和X2(k)分别为x1(n)和x2(n)的N/2点DFT。由于X1(k)和X2(k)均以N/2为周期,且WN k+N/2=-WN k,所以X(k)又可表示为: 上式的运算可以用图2表示,根据其形状称之为蝶形运算。依此类推,经过m-1次分解,最后将N点DFT分解为N/2个两点DFT。图3为8点FFT的分解流程。 FFT算法的原理是通过许多小的更加容易进行的变换去实现大规模的变换,降低了运算要求,提高了与运算速度。FFT不是DFT的近似运算,它们完全是等效的。 关于FFT精度的说明: 因为这个变换采用了浮点运算,因此需要足够的精度,以使在出现舍入误差时,结果中的每个组成部分的准确整数值仍是可辨认的。为了FFT的舍入误差,应该允许增加几倍log2(log2N)位的二进制。以256为基数、长度为N字节的数

傅里叶变换公式

第2章 信号分析 本章提要 信号分类 周期信号分析--傅里叶级数 非周期信号分析--傅里叶变换 脉冲函数及其性质 信号:反映研究对象状态和运动特征的物理量 信号分析:从信号中提取有用信息的方法和手段 §2-1 信号的分类 两大类:确定性信号,非确定性信号 确定性信号:给定条件下取值是确定的。 进一步分为:周期信号,非周期信号。 质量M 弹簧 刚度K t x (t ) o x 0 质量-弹簧系统的力学模型 x (t ) ??? ? ??+=0cos )(?t m k A t x 非确定性信号(随机信号):给定条件下取值是不确定的 按取值情况分类:模拟信号,离散信号 数字信号:属于离散信号,幅值离散,并用二进制表示。 信号描述方法 时域描述 如简谐信号

)cos(000φω+t x 简谐信号及其三个要素 幅值 频率 相角 频域描述 以信号的频率结构来描述信号的方法:将信号看成许多谐波(简谐 信号)之和,每一个谐波称作该信号的一个频率成分,考察信号含有那些频率的谐波,以及各谐波的幅值和相角。 §2-2 周期信号与离散频谱 一、 周期信号傅里叶级数的三角函数形式 周期信号时域表达式 ) 21() ()2()()(ΛΛ,,±±=+==+=+=n nT t x T t x T t x t x T :周期。注意n 的取值:周期信号“无始无终” # 傅里叶级数的三角函数展开式 ) sin cos ()(01 00t n b t n a a t x n n n ωω∑∞ =++= (=1, 2, 3,…) 傅立叶系数:

傅里叶变换的基本性质.

傅里叶变换的基本性质(一) 傅里叶变换建立了时间函数和频谱函数之间转换关系。在实际信号分析中,经常需要对信号的时域和频域之间的对应关系及转换规律有一个清楚而深入的理解。因此有必要讨论傅里叶变换的基本性质,并说明其应用。 一、线性 傅里叶变换是一种线性运算。若 则 其中a和b均为常数,它的证明只需根据傅里叶变换的定义即可得出。 例3-6利用傅里叶变换的线性性质求单位阶跃信号的频谱函数。 解因 由式(3-55)得 二、对称性 若则 证明因为 有 将上式中变量换为x,积分结果不变,即

再将t用代之,上述关系依然成立,即 最后再将x用t代替,则得 所以 证毕 若是一个偶函数,即,相应有,则式(3-56) 成为 可见,傅里叶变换之间存在着对称关系,即信号波形与信号频谱函数的波形有着互相置换的关系,其幅度之比为常数。式中的表示频谱函数坐标轴必须正负对调。例如: 例3-7若信号的傅里叶变换为 试求。 解将中的换成t,并考虑为的实函数,有 该信号的傅里叶变换由式(3-54)可知为

根据对称性 故 再将中的换成t,则得 为抽样函数,其波形和频谱如图3-20所示。 三、折叠性 若 则 四、尺度变换性 若 则 证明因a>0,由

令,则,代入前式,可得 函数表示沿时间轴压缩(或时间尺度扩展) a倍,而则表示 沿频率轴扩展(或频率尺度压缩) a倍。 该性质反映了信号的持续时间与其占有频带成反比,信号持续时间压缩的倍数恰好等于占有频带的展宽倍数,反之亦然。 例3-8已知,求频谱函数。 解前面已讨论了的频谱函数,且 根据尺度变换性,信号比的时间尺度扩展一倍,即波形压缩了一半,因此其频谱函数 两种信号的波形及频谱函数如图3-21所示。

傅里叶变换性质证明

2.6傅里叶变换的性质 2.6.1线性 若信号「和J的傅里叶变换分别为一「;和I r aC , F[f1(t)]=F1(ffl)i F[fJt)]=F a(ffl) 则对于任意的常数a和b,有 F[af1(t)+fJtll=aF1(ffl l÷bFJffl) 将其推广,若■-、出 -,则 其中匚为常数,n为正整数。 由傅里叶变换的定义式很容易证明线性性质. 显然傅里叶变换也是一种线性运算,在第一章我们已经知道了,线性有两个含义:均匀性和叠加性。均匀性表明,若信号乘以常数a,则信号的傅里叶变换也乘以相同的常数a,即卩 叠加性表明,几个信号之和的傅里叶变换等于各个信号的傅里叶变换之和 砒(W2?]的?卜伽)1 2.6.2反褶与共轭性 号反褶、共轭以及既反褶又共轭后,新信号的傅里叶变换 设f(t) 的傅里叶变换为F面我们来讨论信

(1)反褶

f(-t)是f(t)的反褶,其傅里叶变换为 本性质还可利用前两条性质来证明: 设 g(t)=f(-t) ,h(t)=g*(t),则 在上面三条性质的证明中,并没有特别指明 f(t)是实函数还是 复函数,因此 , 无论f(t)为实信号还是复信号,其傅里叶变换都满足下面三条性 质 (2) 共轭 =匸施)时论匸加門(M 因为F 是实数,所以[dt)*=dt 彳寻共觇提到积分之外 根据傅 里叶变换的定义 (3) 既反褶又共轭 * ??tl 3r F?r^!? :o?苫

FLT(-O] = FH y) F[f,HI)=r?) FLn£)]"H J) 2.6.3奇偶虚实性 已知f(t)的傅里叶变换为。在一般情况下,是复函数,因此可以把它表示成模与相位或者实部与虚部两部分,即 FQ) U 卩(询)* 眄' =j?Crt)) +χ((?) 显獻μ?) 卜阿跖丽 下面根据f(t)的虚实性来讨论F()的虚实性。 (1) f(t) 为实函数 对比式(2-33)与(2-34),由FT的唯一性可得 R(O)) = J [/(t) cosaf址 (1.1)f(t)是实的偶函数,即f(t)=f(-t) X()的积分项是奇函数,而奇函数在对称区间内的积分为零,故 这时X( )=0 ,于是 可见,若f(t)是实偶函数,则F()也是实偶函数,即 7】:’匚Fl左边反褶,右边共轭 (1.2)f(t)是实的奇函数,即-f(t)=f(-t) R(J的积分项是奇函数,而奇函数在对称区间内的积分为零,故这时R( )=0 ,于是 (2-33) φ((w) = arc tan (曲)=2[ /(t)cos^? 根据定义,上式还可以写成

傅里叶变换的由来及复数下的傅里叶变换公式证明

1、考虑到一个函数可以展开成一个多项式的和,可惜多项式并不能直观的表示周期函数, 由于正余弦函数是周期函数,可以考虑任意一个周期函数能否表示成为一系列正余弦函 数的和。假设可以,不失一般性,于是得到: /(!2 如+ 工A a sin(mvt + 各), Fl = 1 2、将后面的正弦函数展开: sin( ncvt + 竹)=A rt sin % cos + cos

那么如何求出a n,如果让原函数乘以cos(nx)再进行积分。 /(工)ms 利用三角函数的正交性,可以得到: /(rtrdj- 再用sin(nx)乘,再进行积分就会得到b n, 4 =丄[/(nxdjr (- 1,3 .…)” J ■*■ fir 于是乎得到了一个任意函数展开成为正余弦函数的通用表达式,同时为什么会出现 A o/2而不是直接的A o的原因也很明朗:就是让整个表达式更具有通用性,体现一种简洁的美。 通过了以上的证明过程,应该很容易记住傅里叶变换的公式。 到此为止,作为一个工程人员不用再去考虑了,可是作为每一个数学家他们想的很多, 他们需要知道右侧的展开式为什么收敛于原函数,这个好难,有个叫Dirichlet 的家伙证明出如下结论: 定理f收敏宦理■狱利克需(DiMh冶)充分条件)设/Cr)Jg周期为2削的周期苗数,如果它満足: (1}在一个周期内连续或只有有限个第一类间斷点* (2)在一个周期内至务只有有限个曲值点. 则"工〉的傅里叶飯数收歟,井且 当工是的连嫌点时.级数收敕于 当丁S/(.r)的闾新点时?级數收飯于 i[ /(X ) + f(jt * )]- 有兴趣的可以继续找书看,可惜我有兴趣没时间??… 至此以2n为周期的傅里叶变换证明完毕,只不过我们经常遇到的周期函数我想应该 不会这么凑巧是2n,于是乎任意的一个周期函数如何知道其傅里叶变换呢,数学向来 都是一个很具有条理性的东西,任意周期的函数的傅里叶变换肯定也是建立在2n周期 函数的基础之上的。 也就是说如何让一个以21为周期的函数变成一个以2 n为周期的函数,于是乎可以使

傅里叶变换常用公式

(正弦和/或余弦函数)或者它们的积分的线性组合。在不同的研究领域,傅立叶变换具有多种不同的变体形式,如连续傅立叶变换和离散傅立叶变换。最初傅立叶分析是作为热过程的解析分析的工具被提出的。 简介 Fourier transform或Transformée de Fourier有多个中文译名,常见的有“傅里叶变换”、“付立叶变换”、“傅立叶转换”、“傅氏转换”、“傅氏变换”、等等。 傅立叶变换是一种分析信号的方法,它可分析信号的成分,也可用这些成分合成信号。许多波形可作为信号的成分,比如正弦波、方波、锯齿波等,傅立叶变换用正弦波作为信号的成分。 傅里叶变换定义 f(t)是t的周期函数,如果t满足狄里赫莱条件:在一个以2T为周期内f(X)连续或只有有限个第一类间断点,附f(x)单调或可划分成有限个单调区间,则F(x)以2T为周期的傅里叶级数收敛,和函数S(x)也是以2T为周期的周期函数,且在这些间断点上,函数是有限值;在一个周期内具有有限个极值点;绝对可积。则有下图①式成立。称为积分运算f(t)的傅立叶变换,

②式的积分运算叫做F(ω)的傅立叶逆变换。F(ω)叫做f(t)的象函数,f(t)叫做 F(ω)的象原函数。F(ω)是f(t)的象。f(t)是F(ω)原象。 ①傅立叶变换 ②傅立叶逆变换 傅里叶变换在物理学、电子类学科、数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学、海洋学、结构动力学等领域都有着广泛的应用(例如在信号处理中,傅里叶变换的典型用途是将信号分解成频率谱——显示与频率对应的幅值大小)。傅里叶变换相关 * 傅里叶变换属于谐波分析。 * 傅里叶变换的逆变换容易求出,而且形式与正变换非常类似; * 正弦基函数是微分运算的本征函数,从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解.在线性时不变的物理系统内,频率是个不变的性质,从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取; *卷积定理指出:傅里叶变换可以化复杂的卷积运算为简单的乘积运算,从而提供了计算卷积的一种简单手段;

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时域信号 角频率表示的 傅里叶变换 弧频率表示的 傅里叶变换 注释 1 线性 2 时域平移 3 频域平移,变换2的频域对应 4 如果值较大,则会收缩 到原点附近,而会扩 散并变得扁平.当| a |趋向无穷 时,成为狄拉克δ函数。 5 傅里叶变换的二元性性质。通过交 换时域变量和频域变量得到. 6 傅里叶变换的微分性质

7 变换6的频域对应 8 表示和的卷积—这就是 卷积定理 9 变换8的频域对应。 [编辑]平方可积函数 时域信号 角频率表示的 傅里叶变换 弧频率表示的 傅里叶变换 注释 10 矩形脉冲和归一 化的sinc函数11 变换10的频域对 应。矩形函数是 理想的低通滤波 器,sinc函数是 这类滤波器对反 因果冲击的响 应。

12 tri是三角形函数 13 变换12的频域对应 14 高斯函数exp( ? αt2)的傅里叶变 换是他本身.只 有当Re(α) > 0时,这是可积的。 15 光学领域应用较多 16 17 18 a>0 19 变换本身就是一个公式

20 J0(t)是0阶第 一类贝塞尔函 数。 21 上一个变换的推 广形 式; T n(t)是 第一类切比雪夫 多项式。 22 U n(t)是第二类 切比雪夫多项 式。 [编辑]分布 时域信号 角频率表示的 傅里叶变换 弧频率表示的 傅里叶变换 注释 23 δ(ω)代表狄拉克δ函数分 布.这个变换展示了狄拉 克δ函数的重要性:该函 数是常函数的傅立叶变换24 变换23的频域对应

25 由变换3和24得到. 26 由变换1和25得到,应用了欧拉公式: cos(at) = (e iat + e?iat) / 2. 27 由变换1和25得到 28 这里, n是一个自然数.δ(n)(ω)是狄拉克δ函数分布的n阶微分。这个变换是根据变换7和24得到的。将此变换与1结合使用,我们可以变换所有多項式。 29 此处sgn(ω)为符号函数;注意此变换与变换7和24是一致的. 30 变换29的推广. 31 变换29的频域对应. 32 此处u(t)是单位阶跃函数;此变换根据变换1和31得到.

傅里叶变换性质证明

傅里叶变换性质证明The final revision was on November 23, 2020

傅里叶变换的性质 2.6.1线性 若信号和的傅里叶变换分别为和, 则对于任意的常数a和b,有 将其推广,若,则 其中为常数,n为正整数。 由傅里叶变换的定义式很容易证明线性性质. 显然傅里叶变换也是一种线性运算,在第一章我们已经知道了,线性有两个含义:均匀性和叠加性。均匀性表明,若信号乘以常数a,则信号的傅里叶变换也乘以相同的常数a,即

叠加性表明,几个信号之和的傅里叶变换等于各个信号的傅里叶变换之和? 2.6.2 反褶与共轭性 设f(t)的傅里叶变换为,下面我们来讨论信号反褶、共轭以及既反褶又共轭后,新信号的傅里叶变换。 (1)反褶 f(-t)是f(t)的反褶,其傅里叶变换为 (2)共轭 (3)既反褶又共轭 本性质还可利用前两条性质来证明: 设g(t)=f(-t),h(t)=g*(t),则

在上面三条性质的证明中,并没有特别指明f(t)是实函数还是复函数,因此,无论f(t)为实信号还是复信号,其傅里叶变换都满足下面三条性质2.6.3 奇偶虚实性 已知f(t)的傅里叶变换为。在一般情况下,是复函数,因此可以把它表示成模与相位或者实部与虚部两部分,即 ? 根据定义,上式还可以写成 下面根据f(t)的虚实性来讨论F()的虚实性。 (1) f(t)为实函数对比式(2-33)与(2-34),由FT的唯一性可得 ()f(t)是实的偶函数,即f(t)=f(-t) X()的积分项是奇函数,而奇函数在对称区间内的积分为零,故 这时X()=0,于是 可见,若f(t)是实偶函数,则F()也是实偶函数,即 左边反褶,右边共轭 ()f(t)是实的奇函数,即-f(t)=f(-t) R()的积分项是奇函数,而奇函数在对称区间内的积分为零,故

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2.3 快速傅立叶变换问题 1) 问题背景 在数值电路的传输中,为了避免信号干扰,需要把一个连续信号 x(t)先通过取样离散化为一列数值脉冲信号x(0), x(1), …… ,然后再通过编码送到传输电路中。如果取样间隔很小,而连续信号的时间段又很长,则所得到的数值脉冲序列将非常庞大。因此,传输这个编码信号就需要长时间的占用传输电路,相应地也需要付出昂贵的电路费用。 那么能否经过适当处理是使上述的数值脉冲序列变短,而同时又不会丧失 有用的信息?的经过研究,人们发现,如果对上述数值脉冲序列作如下的变换处理: ∑-=-- = - = = 1 / 21 ,1 ,..., 1,0 , ) ( ) ( N k N nki i N n e k x n Xπ (1) 则所得到的新序列X(0), X(1) , ……将非常有序,其值比较大的点往往集中 在某一很狭窄的序列段内,这将非常有利于编码和存储,从而达到压缩信息的 目的。 公式(1)就是所谓的离散傅立叶变换,简称DFT。现在我们来分析一下计算DFT所需要的工作量。如果我们不考虑公式(7.1)中指数项的运算,那么计算其每一个点X (n)需要N次复数乘法和N-1次的复数加法。显然当N很大时,这个工作量也非常巨大。正是由于这个原因,使得DFT的应用范围在过去很长 的时间里受到了严格的限制。注意到公式(1)是非常有规律性的,那么能否利用这种规律性来降低DFT的计算时间? 1965年,凯莱和塔柯的提出了一种用于计算DFT的数学方法,大大减少了DFT的计算时间,同时又特别适用于硬件处理,这就是所谓的快速傅里叶变换,简称FFT。鉴于DFT的数据结构可以通过傅立叶变换的离散化获得,亦可通过 三角插值得到,而本质上又同连续傅里叶分析有着极为密切的关系。下面我们 从傅立叶级数级数和傅立叶积分入手,导出DFT结构的来源和FFT的工作原理。 2)傅立叶变换 如果x(t)是定义在整个实轴上的实值或复值函数,则其傅立叶变换可由下 式给出:

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