数值分析绪论

数值计算引论第4章答案

思考题： 1. (b) 错 (Newton Cotes 点多了就不是好条件了) (c) 错 (d)错 2. 不会，需要用复化公式 习题： 2. 确定下列数值积分公式中的参数，使它具有尽可能高的代数精度 (1) ()()()()1010h h f x dx A f h A f A f h ??≈?++∫ 解 令 ()1f x = ()2h h f x dx h ?=∫ 故()()()10110102A f h A f A f h A A A h ???++=++= 令()f x x = ()0h h f x dx ?=∫ 故 ()()()1011100A f h A f A f h A h A h ???++=?+= 令()2f x x = ()323 h h f x dx h ?=∫ 故 ()()()22310111203 A f h A f A f h A h A h h ???++=?+= 联立上面三式得 11014 33 A A h A h ?=== (2) 同理：11028 33 A A h A h ?=== (3) ()()()()1 1211233f x dx f f x f x ?≈?++????∫ 解 令 ()1f x = ()112f x dx ?=∫ 故 ()12332++= 令()f x x = ()1 10f x dx ?=∫ 故 121230x x ?++= 令()2 f x x = ()1123f x dx ?=∫ 故 2212213x x ++= 联立上面二式得 115x ±= 2315 x =?

(4) ()()()()()1234b a f x dx f a f b f a f b ωωωω′′≈+++∫ 解 令 ()1f x = ()b a f x dx b a =?∫ 故12b a ωω+=? 令()f x x = ()()2212b a f x dx b a =?∫ 故 ()22123412 a b b a ωωωω+++= ? 令()2f x x = ()()3313 b a f x dx b a =?∫ 故 ()223312341223 a b a b b a ωωωω+++=? 令()3f x x = ()()4414 b a f x dx b a =?∫ 故 ()33224412341334a b a b b a ωωωω+++=? 联立上面四式得 ()()()122122 233333224441110021112233314b a b a a b a b a b b a a b a b b a ωωωω?????????????????????????=???????????????????????? 或者能解出具体的值也可以。 3. 略 6. 证明 ( )(( )1 1158059f x dx f f f ???≈++??∫ 解 令 ()1f x = ()112f x dx ?=∫ 故(( )[]115805585299 f f f ??++=++=?? 令()f x x = ()110f x dx ?=∫ 故 ( 1580509 ?×+×+=? 令()2f x x = ()1123 f x dx ?=∫ 故 ( 2212580593??×+×+×=????

数值分析 第一章 学习小结

数值分析 第1章绪论 --------学习小结 一、本章学习体会 通过本章的学习，让我初窥数学的又一个新领域。数值分析这门课，与我之前所学联系紧密，区别却也很大。在本章中，我学到的是对数据误差计算，对误差的分析，以及关于向量和矩阵的范数的相关内容。 误差的计算方法很多，对于不同的数据需要使用不同的方法，或直接计算，或用泰勒公式。而对于二元函数的误差计算亦有其独自的方法。无论是什么方法，其目的都是为了能够通过误差的计算，发现有效数字、计算方法等对误差的影响。 而对误差的分析，则是通过对大量数据进行分析，从而选择出相对适合的算法，尽可能减少误差。如果能够找到一个好的算法，不仅能够减少计算误差，同时也可以减少计算次数，提高计算效率。 对于向量和矩阵的范数，我是第一次接触，而且其概念略微抽象。因此学起来较为吃力，仅仅知道它是向量与矩阵“大小”的度量。故对这部分内容的困惑也相对较多。 本章的困惑主要有两方面。一方面是如何能够寻找一个可靠而高效的算法。虽然知道算法选择的原则，但对于很多未接触的问题，真正寻找一个好的算法还是很困难。另一方面困惑来源于范数，不明白范数的意义和用途究竟算什么。希望通过以后的学习能够渐渐解开自己的疑惑。 二、本章知识梳理

2.1 数值分析的研究对象 数值分析是计算数学的一个重要分支，研究各种数学问题的数值解法，包括方法的构造和求解过程的理论分析。它致力于研究如何用数值计算的方法求解各种基本数学问题以及在求解过程中出现的收敛性，数值稳定性和误差估计等内容。 2.2误差知识与算法知识 2.2.1误差来源 误差按来源分为模型误差、观测误差、截断误差、舍入误差与传播误差五种。其中模型误差与观测误差属于建模过程中产生的误差，而截断误差、舍入误差与传播误差属于研究数值方法过程中产生的误差。 2.2.2绝对误差、相对误差与有效数字 1.（1）绝对误差e指的是精确值与近似值的差值。 绝对误差：

数值计算方法习题答案(绪论,习题1,习题2)

引论试题（11页） 4 试证：对任给初值x 0, 0)a >的牛顿迭代公式 112(),0,1 ,2,......k a k k x x x k +=+= 恒成立下列关系式： 2112(1)(,0,1,2,.... (2)1,2,...... k k k x k x x k x k +-=≥= 证明： （1 ）(2 2 11222k k k k k k k k x a x a x x x x x +-??-+=+= =? ?? （2） 取初值00>x ，显然有0>k x ，对任意0≥k ， a a x a x x a x x k k k k k ≥+??? ? ??-=???? ??+=+2 12121 6 证明： 若k x 有n 位有效数字，则n k x -?≤ -1102 1 8， 而() k k k k k x x x x x 28882182 1-=-???? ??+=-+ n n k k x x 21221102 1 5.22104185 .28--+?=??<-∴>≥ 1k x +∴必有2n 位有效数字。 8 解： 此题的相对误差限通常有两种解法. ①根据本章中所给出的定理： （设x 的近似数* x 可表示为m n a a a x 10......021*?±=，如果* x 具有l 位有效数字，则其相对误差限为 ()11 * *1021 --?≤ -l a x x x ，其中1a 为*x 中第一个非零数） 则7.21=x ，有两位有效数字，相对误差限为

025.0102 21 111=??≤--x x e 71.22=x ，有两位有效数字，相对误差限为 025.0102 21 122=??≤--x x e 3 2.718x =，有两位有效数字，其相对误差限为： 00025.0102 21 333=??≤--x e x ②第二种方法直接根据相对误差限的定义式求解 对于7.21=x ，0183.01<-e x ∴其相对误差限为 00678.07 .20183 .011≈<-x e x 同理对于71.22=x ，有 003063 .071 .20083 .022≈<-x e x 对于718.23=x ，有 00012.0718 .20003 .033≈<-x e x 备注：（1）两种方法均可得出相对误差限，但第一种是对于所有具有n 位有效数字的近似数都成立的正确结论，故他对误差限的估计偏大，但计算略简单些；而第二种方法给出较好的误差限估计，但计算稍复杂。 （2）采用第二种方法时，分子为绝对误差限，不是单纯的对真实值与近似值差值的四舍五入，绝对误差限大于或等于真实值与近似值的差。 11. 解: ......142857.3722≈，.......1415929.3113 255≈ 21021 722-?≤-∴ π，具有3位有效数字 6102 1 113255-?≤-π，具有7位有效数字

数值分析第一章绪论习题答案

第一章绪论 1．设0x >,x 的相对误差为δ，求ln x 的误差。 解：近似值* x 的相对误差为* **** r e x x e x x δ-= == 而ln x 的误差为()1ln *ln *ln ** e x x x e x =-≈ 进而有(ln *)x εδ≈ 2．设x 的相对误差为2%，求n x 的相对误差。 解：设()n f x x =，则函数的条件数为'() | |() p xf x C f x = 又1 '()n f x nx -= , 1 ||n p x nx C n n -?∴== 又((*))(*)r p r x n C x εε≈? 且(*)r e x 为2 ((*))0.02n r x n ε∴≈ 3．下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位，试指 出它们是几位有效数字：*1 1.1021x =,*20.031x =, *3385.6x =, * 456.430x =,*57 1.0.x =? 解：*1 1.1021x =是五位有效数字； *20.031x =是二位有效数字； *3385.6x =是四位有效数字； *456.430x =是五位有效数字； *57 1.0.x =?是二位有效数字。 4．利用公式(2.3)求下列各近似值的误差限：(1) * * * 124x x x ++,(2) ***123x x x ,(3) **24/x x . 其中****1234 ,,,x x x x 均为第3题所给的数。 解：

*4 1* 3 2* 13* 3 4* 1 51()1021()1021()1021()1021()102 x x x x x εεεεε-----=?=?=?=?=? *** 124***1244333 (1)()()()() 1111010102221.0510x x x x x x εεεε----++=++=?+?+?=? *** 123*********123231132143 (2)() ()()() 111 1.10210.031100.031385.610 1.1021385.610222 0.215 x x x x x x x x x x x x εεεε---=++=???+???+???≈ ** 24**** 24422 *4 33 5 (3)(/) ()() 11 0.0311056.430102256.43056.430 10x x x x x x x εεε---+≈ ??+??= ?= 5计算球体积要使相对误差限为1，问度量半径R 时允许的相对误差限是多少？ 解：球体体积为34 3 V R π= 则何种函数的条件数为 2 3'4343 p R V R R C V R ππ=== (*)(*)3(*)r p r r V C R R εεε∴≈= 又(*)1r V ε=

数值计算方法习题答案(第二版)(绪论)

数值计算方法习题答案(第二版)(绪论)

数值分析 （p11页） 4 试证：对任给初值x 0, (0) a a >的牛顿 迭代公式 112(),0,1 ,2,......k a k k x x x k +=+= 恒成立下列关系式： 21 12(1)(,0,1,2,.... (2),1,2,...... k k k x k x a x a k x a k +-= -=≥= 证明： （1） ( 2 2 112222k k k k k k k k x a a x ax a x a x a x x x +-??-+-=+-== ? ?? （2） 取初值0 >x ，显然有0 >k x ，对任意0≥k ， a a x a x x a x x k k k k k ≥+??? ? ??-=???? ??+=+2 12121 6 证明： 若k x 有n 位有效数字，则n k x -?≤ -1102 1 8， 而 ( )k k k k k x x x x x 28882182 1-=-??? ? ??+=-+ n n k k x x 21221102 1 5.221041 85 .28--+?=??<-∴>≥ 1 k x +∴必有2n 位有效数字。

8 解： 此题的相对误差限通常有两种解法. ①根据本章中所给出的定理： （设x 的近似数* x 可表示为m n a a a x 10......021* ?±=，如果* x 具有l 位有效数字，则其相对误差限为 ()11 * *1021 --?≤ -l a x x x ，其中1 a 为* x 中第一个非零数） 则7 .21 =x ，有两位有效数字，相对误差限为 025.0102 21 111=??≤--x x e 71 .22=x ，有两位有效数字，相对误差限为 025.0102 21 122=??≤--x x e 3 2.718 x =，有两位有效数字，其相对误差限为： 00025.0102 21 333=??≤--x e x ②第二种方法直接根据相对误差限的定义式求解 对于7 .21 =x ，0183.01 <-e x ∴ 其相对误差限为00678.07 .20183.01 1≈<-x e x 同理对于71 .22 =x ，有 003063.071 .20083 .022≈<-x e x

数值计算方法复习知识点

2015计算方法复习 1. 会高斯消去法；会矩阵三角分解法；会Cholesky 分解的平方根法求解方程组 2. 会用插值基函数；会求Lagrange, 会计算差商和Newton 插值多项式和余项 3. 会Jacobi 迭代、Gauss-Seidel 迭代的分量形式，迭代矩阵，谱半径，收敛性 4. 会写非线性方程根的Newton 迭代格式;斯蒂芬森加速 5. 会用欧拉预报—校正法和经典四阶龙格—库塔法求解初值问题 6. 会最小二乘法多项式拟合 7. 会计算求积公式的代数精度；(复化)梯形公式和(复化)辛普生公式求积分；高斯-勒让德求积公式 第1章、数值计算引论 (一)考核知识点 误差的来源类型；绝对误差和绝对误差限，相对误差和相对误差限，有效数字；误差的传播。 (二) 复习要求 1.了解数值分析的研究对象与特点。 2.了解误差来源与分类,会求有效数字; 会简单误差估计。 3.了解误差的定性分析及避免误差危害。 （三）例题 例1. 设x =0.231是精确值x *=0.229的近似值，则x 有2位有效数字。 例2. 为了提高数值计算精度, 当正数x 充分大时, 应将)1ln(2--x x 改写为 )1ln(2++-x x 。 例3. 3 *x 的相对误差约是*x 的相对误差的1/3 倍. 第2章、非线性方程的数值解法 (一)考核知识点 对分法；不动点迭代法及其收敛性；收敛速度; 迭代收敛的加速方法；埃特金加速收敛方法；Steffensen 斯特芬森迭代法；牛顿法；弦截法。 (二) 复习要求 1.了解求根问题和二分法。 2.了解不动点迭代法和迭代收敛性；了解收敛阶的概念和有关结论。 3.理解掌握加速迭代收敛的埃特金方法和斯蒂芬森方法。 4.掌握牛顿法及其收敛性、下山法, 了解重根情形。 5.了解弦截法。 （三）例题 1.为求方程x 3―x 2―1=0在区间[1.3,1.6]内的一个根，把方程改写成下列形式，并建立相应的迭代公式，迭代公式不收敛的是( ) (A) (B) 11,1112-=-= +k k x x x x 迭代公式21211,11k k x x x x +=+=+迭代公式

数值分析第一章绪论习题答案

第一章绪论 1.设,得相对误差为,求得误差。 解:近似值得相对误差为 而得误差为 进而有 2.设得相对误差为2%,求得相对误差。 解:设,则函数得条件数为 又, 又 且为2 3.下列各数都就是经过四舍五入得到得近似数,即误差限不超过最后一位得半个单位,试指出它们就是几位有效数字:,, , , 解:就是五位有效数字; 就是二位有效数字; 就是四位有效数字; 就是五位有效数字; 就是二位有效数字。 4.利用公式(2、3)求下列各近似值得误差限:(1) ,(2) ,(3) 、 其中均为第3题所给得数。 解: *4 1*3 2*13*3 4*1 51 ()102 1()102 1()102 1()102 1()102x x x x x εεεεε-----=?=?=?=?=? ***123*********123231132143 (2)() ()()() 1111.10210.031100.031385.610 1.1021385.610222 0.215 x x x x x x x x x x x x εεεε---=++=???+???+???≈ 5计算球体积要使相对误差限为1,问度量半径R 时允许得相对误差限就是多少？ 解:球体体积为 则何种函数得条件数为

又 故度量半径R 时允许得相对误差限为 6.设,按递推公式 (n=1,2,…) 计算到。若取(5位有效数字),试问计算将有多大误差？ 解: …… 依次代入后,有 即, 若取, 得误差限为。 7.求方程得两个根,使它至少具有4位有效数字()。 解:, 故方程得根应为 故 具有5位有效数字 211280.0178632827.98255.982 x =-=≈=≈+ 具有5位有效数字 8.当N 充分大时,怎样求？ 解 设。 则 1 2211arctan(tan()) tan tan arctan 1tan tan 1arctan 1(1)1arctan 1 N N dx x N N N N N N αβαβαβαβ ++=-=--=++-=++=++?g 9.正方形得边长大约为了100cm,应怎样测量才能使其面积误差不超过？ 解:正方形得面积函数为 、

数值分析第一章绪论习题答案

第一章绪论 1．设0x >,x 的相对误差为δ，求ln x 的误差。 解：近似值*x 的相对误差为* **** r e x x e x x δ-=== 而ln x 的误差为()1ln *ln *ln **e x x x e x =-≈ 进而有(ln *)x εδ≈ 2．设x 的相对误差为2%，求n x 的相对误差。 解：设()n f x x =，则函数的条件数为'()||() p xf x C f x = 又1'()n f x nx -=, 1 ||n p x nx C n n -?∴== 又((*))(*)r p r x n C x εε≈? 且(*)r e x 为2 3．下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位，试指 出它们是几位有效数字：*1 1.1021x =,*20.031x =, *3385.6x =, *456.430x =,*57 1.0.x =? 解：*1 1.1021x =是五位有效数字； *20.031x =是二位有效数字； *3385.6x =是四位有效数字； *456.430x =是五位有效数字； *57 1.0.x =?是二位有效数字。 4．利用公式(2.3)求下列各近似值的误差限：(1) ***124x x x ++,(2) ***123x x x ,(3) **24/x x . 其中****1234,,,x x x x 均为第3题所给的数。 解： 5计算球体积要使相对误差限为1，问度量半径R 时允许的相对误差限是多少？ 解：球体体积为343 V R π= 则何种函数的条件数为 又(*)1r V ε=

故度量半径R 时允许的相对误差限为1(*)10.333r R ε= ?≈ 6．设028Y =，按递推公式1n n Y Y -= （n=1,2,…） 计算到100Y 27.982≈（5位有效数字），试问计算100Y 将有多大误差？ 解：1n n Y Y -= …… 依次代入后，有1000100Y Y =- 即1000Y Y =， 27.982≈, 100027.982Y Y ∴=- 100Y ∴的误差限为31102 -?。 7．求方程25610x x -+=的两个根，使它至少具有427.982=）。 解：2 5610x x -+=， 故方程的根应为1,228x = 故 1282827.98255.982x =≈+= 1x ∴具有5位有效数字 2x 具有5位有效数字 8．当N 充分大时，怎样求 1211N N dx x ++?？ 解 1 21arctan(1)arctan 1N N dx N N x +=+-+? 设arctan(1),arctan N N αβ=+=。 则tan 1,tan .N N αβ=+= 9．正方形的边长大约为了100cm ，应怎样测量才能使其面积误差不超过2 1cm ？ 解：正方形的面积函数为2()A x x = (*)2*(*)A A x εε∴=. 当*100x =时，若(*)1A ε≤,

数值分析第一章绪论习题答案

第一章绪论 e In X* =In X * -Inx ：丄e* X* 进而有；(In X *): 2. 设X 的相对误差为2% ,求X n 的相对误差。 解：设f(χZ ,则函数的条件数为Cp=l fX+ n _1 X nχ I Xn n 又；r ((X*) n) C P 7(X *) 且 e r (χ*)为 2 .7((χ*)n ) 0.02 n 3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位，试指 * * * * * 出它们是几位有效数字： X 1 =1.1021, χ2 =0.031, χ3 =385.6, χ4 = 56.430,x 5 = 7".0. . * 解：X I -1.1021是五位有效数字； X 2 = 0.031是二位有效数字； X 3 =385.6是四位有效数字； X 4 =56.430是五位有效数字； X 5 =7 1.0.是二位有效数字。 4. 利用公式(2.3)求下列各近似值的误差限： (1) X 1 X 2 X 4,(2) X 1 X 2X 3 ,(3) X 2 /X 4 . 其中χl ,x 2,x 3,X 4均为第3题所给的数。 1设X 0, x 的相对误差为 解：近似值X*的相对误差为 、：，求InX 的误差。 e* X* -X 而InX 的误差为 又 f '(χ) =nx n 」 C P

解：

* 1 4 ；(x 1) 10 2 * 1 3 ;(x 2) 10 2 * 1 1 ；(x 3) 10 * 1 3 ；(x 4) 10 2 * 1 1 ；(x 5) 10 2 (1) ；(x ； x ； x *) * * * =；(%) ；(x 2) *x 4) 1 A 1 2 1 j3 10 10 10 2 2 2 -1.05 10J 3 * * * (2) S(X I X 2X 3) * * * * * * ** * =X1X 2 ￡(X 3)+ X 2X 3 ^(X J + X 1X 3 E (X 2) :0.215 ⑶；(x 2/x ；) * Il * * I * X 2 E(X 4) + X 4 &(X 2) 全 Γ"2 X 4 1-3 1 3 0.031 10 56.430 10 = ______________________ 2 56.430X56.430 -10 5 4 3 解：球体体积为V R 3 则何种函数的条件数为 1.1021 0.031 1 1θ' 2 + 0.031X385.6 x 1><10* 2 +∣ 1.1021 X 385.6 卜 -×1^3 5计算球体积要使相对误差限为 1 ,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少? C P 愕'

数值分析第一章绪论习题答案

第一章绪论 1设x 0, x的相对误差为「.，求In x的误差。 * * e* x * _x 解：近似值x*的相对误差为:.=e* x* x* 1 而In x 的误差为e In x* =lnx*「lnx e* x* 进而有；(ln x*)::. 2?设x的相对误差为2%求x n的相对误差。 解：设f(x—，则函数的条件数为Cp^胡1 n A. x nx . 又7 f '(x)= nx n」C p |=n n 又；；r((x*) n) ： C p ；,x*) 且e r (x*)为2 .；r((x*)n) 0.02 n 3 ?下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位，试指 出它们是几位有效数字：X； h.1021 , x；=0.031 , x3 =385.6 x；=56.430, x5 =7 1.0. 解：x；=1.1021是五位有效数字； X2 =0.031是二位有效数字； X3 =385.6是四位有效数字； x4 = 56.430是五位有效数字； x5 -7 1.0.是二位有效数字。 4.利用公式(2.3)求下列各近似值的误差限：⑴ 为+X2+X4,(2) x-i x2x3,(3) x2/ x4. * * * * 其中X1,X2,X3,x4均为第3题所给的数。

解:

* 1 4 ；(x-| ) 10 2 * 1 3 ;(x 2) 10 2 * 1 1 ；(x 3) 10 * 1 3 ；(x 4) 10 2 * 1 1 ；(x 5) 10 2 (1)；(为 X 2 X 4) =；(为)亠：(x 2)亠：(x 4) =1 10 4 1 10 J 丄 10^ 2 2 2 = 1.05 10” * * * (2)(X 1X 2X 3) * * * ** * ** * X 1X 2 8(X 3) + X 2X 3 g(xj + X 1X 3 名(X 2) 1 1 0.031 汉 385.6 汉?汉10鼻 + 1.1021 域 385.6 汉?汉10 (3) XX 2/X 4) X 4 0.031 1 10” 56.430 丄 10’ 2 2 56.430 56.430 =10° 5计算球体积要使相对误差限为 1，问度量半径R 时允许的相对误差限是多少? 4 3 解：球体体积为V R 3 则何种函数的条件数为 =1.1021汉 0.031 汉 * 汉 10」+ 0.215

数值分析教学大纲新

《数值分析》教学大纲（新） （Numerical Analysis） 适用专业：全校工科专业课程性质：学位课 学时数：48学时学分数：3学分 课程号：开课学期：第1学期 大纲执笔人：杨帆大纲审核人：欧志英 一、课程的地位和教学目标 数值分析是全校研究生的一门重要学位课，工科研究生应该掌握数值分析的基本知识和方法， 主要介绍用计算机解决数学问题的数值计算方法及其理论。内容新颖，起点较高，并加强了数值试验和程序设计环节。通过本课程的学习，使学生熟练掌握各种常用的数值算法的构造原理和过程分析，提高算法设计和理论分析能力，并且能够根据数学模型，提出相应的数值计算方法编制程序在计算机上算出结果。力求使学生掌握应用数值计算方法解决实际问题的常用技巧。 二、课程教学内容和基本要求 （一）数值分析引论（Introduction）（3学时） 教学重点、难点： 重点：理解有效数字和误差的概念，理解离散化方法与递推化方法。 难点：有效数字和误差的关系，递推化方法的编程实现。 教学内容和基本要求 1、数值分析课程的特点 了解数值分析的四个特点。即：面向计算机，可靠的数学理论分析，良好的计算复杂性，可进行数值实验。 2、有效数字； 理解有效数字概念，掌握有效数字确定的方法； 3、误差的概念，和误差的求解。 理解误差的基本概念，了解误差的各种来源，会误差估计；基本要求： （二）非线性方程求根(Solving Nonlinear Equations)（5学时） 教学重点、难点： 重点：二分法，迭代法，牛顿法和割线法求解非线性方程。 难点：迭代法的收敛性和误差分析以及迭代加速。

教学内容和基本要求 1、二分法 掌握二分法及其收敛性。 2、迭代法的基本理论 迭代法的基本思想和收敛性判别定理以及误差分析。 3、迭代加速技术。 掌握迭代加速技术的基本思想和Aitken加速公式。 4、牛顿法及其割线法 掌握牛顿法和割线法及其收敛性。 （三）线性方程组的直接解法(Direction Solving Linear Systems) (5学时） 教学重点、难点： 重点：线性方程组的高斯消元法以及LU分解法。 难点：利用向量和矩阵的范数进行误差分析。 教学内容和基本要求 1、高斯消元法 掌握顺序高斯消元法和选列主元高斯消元法 2、LU分解法 掌握LU分解法。 3、误差分析 掌握向量和矩阵的范数，利用这两类范数进行误差分析。 （四）线性方程组的迭代解法（Iterative Method for Solving Linear Equations）(5学时） 教学重点、难点： 重点：三种经典迭代法的构造。 难点：迭代法的收敛性和误差分析 教学内容和基本要求 1、迭代法的一般理论 掌握迭代公式的构造和迭代法的收敛性和误差分析。 2、三种经典迭代法 掌握雅可比和高斯-塞德尔以及逐次超松子这三类迭代法求解线性方程组的迭代 格式。 （五）插值法与最小二乘拟合(Interpolation, Curve Fitting and Polynomial Approximation)（10学时） 教学重点、难点： 重点: 拉格朗日和牛顿插值法以及最小二乘法。 难点：三次样条插值

数值分析习题

页脚内容1 第一章 绪论 习题主要考察点：有效数字的计算、计算方法的比较选择、误差和误差限的计算。 1 若误差限为5105.0-?,那么近似数0.003400有几位有效数字？（有效数字的计算） 2 14159.3=π具有4位有效数字的近似值是多少？（有效数字的计算） 3 已知2031.1=a ，978.0=b 是经过四舍五入后得到的近似值，问b a +，b a ?有几位有效数字？（有效数字的计算） 4 设0>x ，x 的相对误差为δ，求x ln 的误差和相对误差？（误差的计算） 5测得某圆柱体高度h 的值为cm h 20*=，底面半径r 的值为cm r 5*=，已知cm h h 2.0||*≤-， cm r r 1.0||*≤-，求圆柱体体积h r v 2π=的绝对误差限与相对误差限。（误差限的计算） 6 设x 的相对误差为%a ,求n x y =的相对误差。（函数误差的计算） 7计算球的体积，为了使体积的相对误差限为%1，问度量半径r 时允许的相对误差限为多大？（函数误差的计算） 8 设?-=1 1 dx e x e I x n n ，求证： （1）)2,1,0(11 =-=-n nI I n n （2）利用（1）中的公式正向递推计算时误差逐步增大；反向递推计算时误差逐步减小。（计算方法的比较选择）

页脚内容2 第二章 插值法 习题主要考察点：拉格朗日插值法的构造，均差的计算，牛顿插值和埃尔米特插值构造，插值余项的计算和应用。 1 已知1)2(,1)1(,2)1(===-f f f ，求)(x f 的拉氏插值多项式。（拉格朗日插值） 2 已知9,4,10===x x x y ，用线性插值求7的近似值。（拉格朗日线性插值） 3 若),...1,0(n j x j =为互异节点，且有 ) ())(())(()())(())(()(11101110n j j j j j j j n j j j x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x l ----------= +-+- 试证明),...1,0()(0 n k x x l x n j k j k j =≡∑=。（拉格朗日插值基函数的性质） 4 已知352274.036.0sin ,333487.034.0sin ,314567.032.0sin ===，用抛物线插值计算3367.0sin 的值并估计截断误差。（拉格朗日二次插值） 5 用余弦函数x cos 在00=x ，4 1π =x ，2 2π = x 三个节点处的值，写出二次拉格朗日插值多项式, 并 近似计算6 cos π 及其绝对误差与相对误差，且与误差余项估计值比较。（拉格朗日二次插值） 6 已知函数值212)6(,82)4(,46)3(,10)1(,6)0(=====f f f f f ，求函数的四阶均差]6,4,3,1,0[f 和二阶均差]3,1,4[f 。（均差的计算） 7 设)())(()(10n x x x x x x x f ---= 求][1,0p x x x f 之值，其中1+≤n p ，而节点)1,1,0(+=n i x i 互异。（均差的计算） 8 如下函数值表

数值分析引论

第0章引论 §1数值分析的对象、任务、特点 建立数学模型 科学技术数学 应用于 科学研究方法：科学计算 理论研究 科学实验 科学计算计算数学数值分析 任务：数值分析是研究用计算机求解各种数学问题的数值计算方法及理论。 前绪知识：微积分、高等代数、常微分方程等基础数学 内容：数值线代数 数值逼近 数值微积分 非线性方程与方程组 常微分方程数值方法 特点：１、本课程是建立在严格的数学理论基础上的一门实用性很强的课程； ２、它面向计算机，根据计算机特点提供实际可行的且计算复杂性好的有效算法。 ３、它具有可靠的理论分析与数值试验，以保证计算结果达到要求的精度。 §2 数值分析中的误差

一、 误差来源 用应用数学方法研究工程或科学问题，一般只能得到问题的近似解。 （1）模型误差：模型与实际问题有差异。 （2）观测误差：建模时，试验、量测等数据误差。 （3）截断误差：由于计算机本身的特性，要求算法必须在有限步内完成，这就要求把数学模型用数值分析方法导出一个计算公式来近似，由此而产生的误差称为截断误差或称为方法误差。 由Taylor 公式求x e 的近似值，由于 12)! 1(!21+++++++=n x n x x n e n x x x e θ 取n 项近似则有 ! 212n x x x e n x ++++≈ 截断误差为 1)! 1(++n x x n e θ （4）舍入误差：由于计算机字长有限，参加运算的数据只能截取有限位，由此而产生的误差称为舍入误差。 1/3＝0.3333333 注：在数值分析中，我们主要关心截断误差和舍入误差。 二、误差的概念----绝对误差、相对误差和有效数字 如果│E （a ）│≤,则称为近似数a 的绝对误差限（误差限）。 绝对误差的局限性例子： 测量光速误差为４公里／秒， 运动员的跑速误差为0.0１公里／秒 =10米/秒 实际运算时，a a x a E r /)()(-=，δr =δ/a

数值分析第五版答案

第一章 绪论 1．设0x >,x 的相对误差为δ，求ln x 的误差。 解：近似值* x 的相对误差为* **** r e x x e x x δ-= == 而ln x 的误差为()1ln *ln *ln ** e x x x e x =-≈ 进而有(ln *)x εδ≈ 2．设x 的相对误差为2%，求n x 的相对误差。 解：设()n f x x =，则函数的条件数为'() | |() p xf x C f x = 又1 '()n f x nx -= , 1 ||n p x nx C n n -?∴== 又((*))(*)r p r x n C x εε≈? 且(*)r e x 为2 ((*))0.02n r x n ε∴≈ 3．下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位，试指 出它们是几位有效数字：*1 1.1021x =,*20.031x =, *3385.6x =, * 456.430x =,*57 1.0.x =? 解：*1 1.1021x =是五位有效数字； *20.031x =是二位有效数字； *3385.6x =是四位有效数字； *456.430x =是五位有效数字； *57 1.0.x =?是二位有效数字。 4．利用公式(2.3)求下列各近似值的误差限：(1) * * * 124x x x ++,(2) ***123x x x ,(3) **24/x x . 其中****1234 ,,,x x x x 均为第3题所给的数。 解：

*4 1* 3 2* 13* 3 4* 1 51()1021()1021()1021()1021()102 x x x x x εεεεε-----=?=?=?=?=? *** 124***1244333 (1)()()()() 1111010102221.0510x x x x x x εεεε----++=++=?+?+?=? *** 123*********123231132143 (2)() ()()() 111 1.10210.031100.031385.610 1.1021385.610222 0.215 x x x x x x x x x x x x εεεε---=++=???+???+???≈ ** 24**** 24422 *4 33 5 (3)(/) ()() 11 0.0311056.430102256.43056.430 10x x x x x x x εεε---+≈ ??+??= ?= 5计算球体积要使相对误差限为1，问度量半径R 时允许的相对误差限是多少？ 解：球体体积为34 3 V R π= 则何种函数的条件数为 2 3'4343 p R V R R C V R ππ=== (*)(*)3(*)r p r r V C R R εεε∴≈= 又(*)1r V ε=

数值分析引论习题与答案(易大义版)

数值分析引论课后习题与答案 易大义版

第一章绪论 习题一 1.设x>0,x*的相对误差为δ，求f(x)=ln x的误差限。 解：求lnx的误差极限就是求f(x)=lnx的误差限，由公式(1.2.4)有 已知x*的相对误差满足，而，故 即 2.下列各数都是经过四舍五入得到的近似值，试指出它们有几位有效数字，并给出其误差限与相对误差限。 解：直接根据定义和式(1.2.2)(1.2.3)则得 有5位有效数字，其误差限，相对误差限 有2位有效数字， 有5位有效数字， 3.下列公式如何才比较准确？ （1） （2） 解：要使计算较准确，主要是避免两相近数相减，故应变换所给公式。

（1） （2） 4.近似数x*=0.0310,是 3 位有数数字。 5.计算取，利用：式计算误差最小。 四个选项： 第二、三章插值与函数逼近 习题二、三 1. 给定的数值表 用线性插值与二次插值计算ln0.54的近似值并估计误差限. 解：仍可使用n=1及n=2的Lagrange插值或Newton插值,并应用误差估计（5.8）。线性插值时，用0.5及0.6两点，用Newton插值 误差限，因 ，故 二次插值时，用0.5，0.6，0.7三点，作二次Newton插值

误差限，故 2. 在-4≤x≤4上给出的等距节点函数表，若用二次插值法求的近似值，要使误差不超过，函数表的步长h应取多少? 解：用误差估计式（5.8）， 令 因 得 3. 若，求和. 解：由均差与导数关系 于是

4. 若互异，求 的值，这里p≤n+1. 解：，由均差对称性 可知当有 而当P＝n＋1时 于是得 5. 求证. 解：解：只要按差分定义直接展开得 6. 已知的函数表 求出三次Newton均差插值多项式，计算f(0.23)的近似值并用均差的余项表达式估计误差.

数值分析--第1章绪论

第一章绪论 上世纪中叶诞生的计算机给科学、工程技术和人类的社会生活带来一场新的革命。它使科学计算平行于理论分析和实验研究，成为人类探索未知科学领域和进行大型工程设计的第三种方法和手段。在独创性工作的先行性研究中，科学计算更有突出的作用。在今天，熟练地运用电子计算机进行科学计算，已成为科学工作者的一项基本技能。然而，科学计算并不是计算机本身的自然产物，而是数学与计算机结合的结果，它的核心内容是以现代化的计算机及数学软件为工具，以数学模型为基础进行模拟研究。近年来，它同时也成为数学科学本身发展的源泉和途径之一。 1 数值分析的研究对象与特点 数值分析是计算数学的一个主要部分，计算数学是数学科学的一个分支，它研究用计算机求解各种数学问题的数值计算方法及其理论与软件实现。一般地说，用计算机解决科学计算问题，首先需要针对实际问题提炼出相应的数学模型，然后为解决数学模型设计出数值计算方法，经过程序设计之后上机计算，求出数值结果，再由实验来检验。概括为 由实际问题的提出到上机求得问题的解答的整个过程都可看作是应用数学的任务。如果细分的话，由实际问题应用有关科学知识和数学理论建立数学模型这一过程，通常作为应用数学的任务，而根据数学模型提出求解的数值计算方法直到编出程序上机计算出结果，这一过程则是计算数学的任务，即数值分析研究的对象。因此，数值分析是寻求数学问题近似解的方法、过程及其理论的一个数学分支。它以纯数学作为基础，但却不完全像纯数学那样只研究数学本身的理论，而是着重研究数学问题求解的数值方法及与此有关的理论，包括方法的收敛性，稳定性及误差分析；还要根据计算机的特点研究计算时间最省（或计算费用最省）的计算方法。有的方法在理论上虽然还不够完善与严密，但通过对比分析，实际计算和实践检验等手段，被证明是行之有效的方法也可采用。因此数值分析既有纯数学高度抽象性与严密科学性的特点，又有应用的广泛性与实际试验的高度技术性的特点，是一门与使用计算机密切结合的实用性很强的数学课程。 在电子计算机成为数值计算机的主要工具以后，则要求研究适合计算机使用的，满足精确要求，计算时间省的有效算法及其相关的理论。在实现这些算法时往往还要根据计算机的容量、字长、速度等指标，研究具体的求解步骤和程序设计技巧。有的方法在理论上虽还不够严格，但通过实际计算、对比分析等手段，证明是行之有效的方法，也应采用。这些就是数值分析具有的特点，概括起来有四点： 第一，面向计算机，要根据计算机特点提供切实可行的有效算法。即算法只能包括加、减、乘、除运算和逻辑运算，这些运算是计算机能直接处理的运算。 .第二，有可靠的理论分析，能任意逼近并达到精确要求，对近似算法要保证收敛性和数值稳定性，还要对误差进行分析。这些都建立在相应数学理论的基础上。

数值计算方法复习

2016计算方法复习 务必通过本提纲例子和书上例子掌握如下书本内容： 1. 会高斯消去法；会矩阵三角分解法；会Cholesky 分解的平方根法求解方程组 2. 会用插值基函数；会求Lagrange, 会计算差商和Newton 插值多项式和余项 3. 会Jacobi 迭代、Gauss-Seidel 迭代的分量形式，迭代矩阵，谱半径，收敛性 4. 会写非线性方程根的Newton 迭代格式;斯蒂芬森加速 5. 会用欧拉预报—校正法和经典四阶龙格—库塔法求解初值问题 6. 会最小二乘法多项式拟合 7. 会计算求积公式的代数精度；(复化)梯形公式和(复化)辛普生公式求积分；高斯-勒让德求积公式 第1章、数值计算引论 (一)考核知识点 误差的来源类型；绝对误差和绝对误差限，相对误差和相对误差限，有效数字；误差的传播。 (二) 复习要求 1.了解数值分析的研究对象与特点。 2.了解误差来源与分类,会求有效数字; 会简单误差估计。 3.了解误差的定性分析及避免误差危害。 （三）例题 例1. 设x =0.231是精确值x *=0.229的近似值，则x 有2位有效数字。 例2. 为了提高数值计算精度, 当正数x 充分大时, 应将)1ln(2--x x 改写为 )1ln(2++-x x 。 例3. 3 *x 的相对误差约是*x 的相对误差的1/3 倍. 第2章、非线性方程的数值解法 (一)考核知识点 对分法；不动点迭代法及其收敛性；收敛速度; 迭代收敛的加速方法；埃特金加速收敛方法；Steffensen 斯特芬森迭代法；牛顿法；弦截法。 (二) 复习要求 1.了解求根问题和二分法。 2.了解不动点迭代法和迭代收敛性；了解收敛阶的概念和有关结论。 3.理解掌握加速迭代收敛的埃特金方法和斯蒂芬森方法。 4.掌握牛顿法及其收敛性、下山法, 了解重根情形。 5.了解弦截法。 （三）例题 1.为求方程x 3―x 2―1=0在区间[1.3,1.6]内的一个根，把方程改写成下列形式，并建立相应的迭代公式，迭代公式不收敛的是( ) (A) 11 ,1 1 12-=-= +k k x x x x 迭代公式 (B) 21211,11k k x x x x +=+ =+迭代公式