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数列求和hai

数列求和hai
数列求和hai

数列求和

1. 已知数列{}n a 和{}n b 满足112,1(1)n n n a a a a +=-=-,1n n b a =-,n N *∈.

(1)求数列{}n b 的通项公式;

(2)设2121n n n c b b -+=,求使得1n i i c =∑10

m <

对一切n N *∈都成立的最小正整数m ; (3)设数列{}n b 的前n 和为n S ,2n n n T S S =-,试比较1n T +与n T 的大小.

2. 函数 f (x ) 对任意x ∈ R 都有 1()(1)2f x f x +-=

(1)求 1()2f 的值.

(2)数列{a n } 满足:n a = (0)f +)1()1()2()1(f n

n f n f n f +-+++ ,数列{}n a 是等差数列吗?请给予证明;

(3)令.1632,,144

2232221n S b b b b T a b n n n n n -=++++=-= 试比较n T 与n S 的大小.

3. 已知数列{}n a 满足对任意的*

n ∈N ,都有0n a >,且33332123n n a a a a S ++++= . (1)求1a ,2a 的值;

(2)求数列{}n a 的通项公式n a ;

(3)设数列21n n a a +??????

的前n 项和为n S ,不等式()1log 13n a S a >-对任意的正整数n 恒成立,求实数a 的取值范围.

4.设n S 为数列}{

n a 的前n 项和,对任意的∈n N *,都有()1n n S m ma =+-m (为常数,且0)m >.

(1)求证:数列}{n a 是等比数列;

(2)设数列}{

n a 的公比()m f q =,数列{}n b 满足()1112,n n b a b f b -== (2n ≥,∈n N *),求数列{}n b 的通项公式;

5.已知{a n }是递增的等差数列,满足a 2·a 4=3,a 1+a 5=4.

(1) 求数列{a n }的通项公式和前n 项和公式;

(2) 设数列{b n }对n ∈N *均有

1212333n n n

b b b a ++++= 成立,求数列{b n }的通项公式.

6.已知数列{}n a 满足:1112,2,1,2,3,4,n n

a a n a +==-= . (1)求证:数列11n a ????-??

为等差数列; (2)求数列{}n a 的通项公式;

(3)令∑=+=n

i i i n a a T 11,证明:4

3->n T n .

数列求和方法和经典例题

数列求和方法和经典例题 求数列的前n 项和,一般有下列几种方法: 一、公式法 1、等差数列前n 项和公式 2、等比数列前n 项和公式 二、拆项分组求和法 某些数列,通过适当分组可得出两个或几个等差数列或等比数列,进而利用等差数列或等比数列求和公式求和,从而得出原数列的和。 三、裂项相消求和法 将数列中的每一项都分拆成几项的和、差的形式,使一些项相互拆消,只剩下有限的几项,裂项时可直接从通项入手,且要判断清楚消项后余下哪些项。 四、重新组合数列求和法 将原数列的各项重新组合,使它成为一个或n 个等差数列或等比数列后再求和 五、错位相减求和法 适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和 典型例题 一、拆项分组求和法 例1、求数列1111123,2482n n ??+ ???,,,,的前n 项和 例2、求和:222 221111n n x x x x x ??????++++++ ? ? ?????? ?

例3、求数列2211,12,122,,1222,n -+++++++的前n 项和 例4、求数列5,55,555,5555,的前n 项和 二、裂项相消求和法 例5、求和:()()11113352121n S n n =+++??-+ 例6、求数列1111,, ,,,12123123n +++++++的前n 项和 例7、求和:()11113242n S n n =+++??+

例8、数列{} n a 的通项公式n a =,求数列的前n 项和 三、重新组合数列求和法 例9、求2222222212345699100-+-+-++- 四、错位相减求和法 例10、求数列123,,,,,2482n n 的前n 项和 例11、求和:()23230n n S x x x nx x =++++≠

数列求和(基础+复习+习题+练习)

数列求和(基础+复习+习题+练习)

夫学须静也,才须学也,非学无以广才, 非志无以成学.——诸葛亮 301 课题:数列求和 考纲要求: 掌握等差、等比数列的求和公式及其应用;掌握常见的数列求和方法(公式法、倒序相加、错位相减,分组求和、拆项、裂项求和等求和方法). 教材复习 1. 基本公式法:()1等差数列求和公式:()()1 1 122 n n n a a n n S na d +-==+ ()2等比数列求和公式:()111, 11,111n n n na q S a q a a q q q q =?? =-?-=≠? --? () 3()() 2221 121216 n n n n +++=++L ; () 4()233331 12314n n n ++++= +??? ?L ; ()50122n n n n n n C C C C ++++=L . 2. 错位相消法:给12n n S a a a =+++L 各边同乘以一个适 当的数或式,然后把所得的等式和原等式相减,对应项相互抵消,最后得出前n 项和n S .

夫学须静也,才须学也,非学无以广才, 非志无以成学.——诸葛亮 302 一般适应于数列{}n n a b 的前n 向求和,其中{}n a 成 等差数列,{}n b 成等比数列。 3. 分组求和:把一个数列分成几个可以直接求和 的数列,然后利用公式法求和。 4. 拆项(裂项)求和:把一个数列的通项公式分 成两项差的形式,相加过程中消去中间项,只剩下有限项再求和. 常见的拆项公式有: ()1若{}n a 是公差为d 的等差数列, 则111111n n n n a a d a a ++?? =- ??? ; () 2()()1 111212122121n n n n ?? =- ?-+-+?? ; ()3()()()()()1111 122112n n n n n n n ??=-?? +++++?? ; () 41 a b a b a b = -+;() 51 1n n k n k n = +++; ()611m m m n n n C C C -+=-;()7()!1!!n n n n ?=+-;()811, 1 ,2 n n n S n a S S n -=?=?-? ≥

几种常见数列求和方法的归纳

几种常见数列求和方法的归 纳 -标准化文件发布号:(9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII

几种常见数列求和方法的归纳 1.公式法:即直接用等差、等比数列的求和公式求和。主要适用于等差,比数列求和。 (1)等差数列的求和公式:d n n na a a n S n n 2 ) 1(2)(11-+=+= (等差数列推导用到特殊方法:倒序相加) (2)等比数列的求和公式??? ??≠--==) 1(1)1()1(11q q q a q na S n n (切记:公比含字母时一定 要讨论) (3)222221(1)(21) 1236n k n n n k n =++=++++=∑(不作要求,但要了解) 例:(1)求=2+4+6+ (2) (2)求=x+++…+(x ) 2.倒序相加:适用于:数列距离首尾项距离相同的两项相加和相同。 例:(1)求证:等差数列{}的前n 项和d n n na a a n S n n 2 ) 1(2)(11-+=+= (2)222 2sin 1sin 2sin 3sin 89+++ + . 3.分组求和法:把数列的每一项分成若干项,使其转化为等差或等比数列,再求和。 例:(1)求和:(1) 个 n n S 111111111++++= 81 10 9101--+n n (2)2 2222)1 ()1()1(n n n x x x x x x S ++++++=

当1±≠x 时, n x x x x S n n n n 2) 1()1)(1(2 2222+-+-=+ 当n S x n 4,1=±=时 4.裂项相消法:把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。(分式求和常用裂项相消) 常见的拆项公式: 111)1(1+-=+n n n n ,) 121 121(21)12)(12(1+--=+-n n n n , 1111 ()(2)22 n n n n =-++, ) 12)(12(1 1)12)(12()2(2+-+=+-n n n n n , 2= 例:(1)求和:111 1 ,,,,, 132435 (2) n n ???+ . (2)求和)12)(12()2(5343122 22+-++?+?=n n n S n 1 2)1(2++= n n n S n 5.错位相减法:比如{}{}.,,2211的和求等比等差n n n n b a b a b a b a +++ (适用于:等差数列乘以等比数列的通项求和) 例:求和:23,2,3, ,, n a a a na

数列求和高考专题

数列求和高考专题 1.【2017天津,理18】已知{}n a 为等差数列,前n 项和为()n S n *∈N ,{}n b 是首项为2的等比数列,且公比大于0,2312b b +=,3412b a a =-,11411S b =. (Ⅰ)求{}n a 和{}n b 的通项公式; (Ⅱ)求数列221{}n n a b -的前n 项和()n *∈N . 【答案】 (1)32n a n =-.2n n b =.(2)1328 433 n n n T +-=?+. 【解析】 (II )解:设数列221{}n n a b -的前n 项和为n T , 由262n a n =-, 12124n n b --=?,有()221314n n n a b n -=-?, 故()23 245484314n n T n =?+?+?+ +-?, ()()23414245484344314n n n T n n +=?+?+?+ +-?+-?, 上述两式相减,得()2 3 1324343434314n n n T n +-=?+?+?+ +?--?

( )()()1 112144314 14 3248.n n n n n ++?-= ---?-=--?- 得1328 433 n n n T +-= ?+. 所以,数列221{}n n a b -的前n 项和为 1328 433 n n +-?+. 2.【2017江苏,19】 对于给定的正整数k ,若数列{}n a 满足1111n k n k n n n k n k a a a a a a --+-++-++++++ ++ 2n ka =对任意正整数()n n k >总成立,则称数列{}n a 是“()P k 数列”. (1)证明:等差数列{}n a 是“(3)P 数列”; (2)若数列{}n a 既是“(2)P 数列”,又是“(3)P 数列”,证明:{}n a 是等差数列. 【答案】(1)见解析(2)见解析 (2)数列{}n a 既是“()2P 数列”,又是“()3P 数列”,因此, 当3n ≥时, 21124n n n n n a a a a a --+++++=,① 当4n ≥时, 3211236n n n n n n n a a a a a a a ---++++++++=.② 由①知, 3214n n n a a a ---+=- ()1n n a a ++,③ 2314n n n a a a ++++=- ()1n n a a -+,④ 将③④代入②,得112n n n a a a -++=,其中4n ≥, 所以345,,, a a a 是等差数列,设其公差为'd .

数列中裂项求和的几种常见模型

数列中裂项求和的几种常见模型

数列中裂项求和的几种常见模型 数列问题是高考的一大热点,而且综合性较强,既注重基础知识的掌握,又注重数学思想与方法的运用。而此类问题大多涉及数列求和,所以数列求和方法是学生必须掌握的,主要的求和方法有:公式法、拆项重组法、并项求和法,裂项相消法、错位相加法、倒序相加法等等,而裂项相消法是其中较为基础、较为灵活的一种,也是出现频率最高,形式最多的一种。下面就例举几种裂项求和的常见模型,以供参考。 模型一:数列{}n a 是以d 为公差的等差数列,且),3,2,1(0,0 =≠≠n a d n ,则 )1 1(111 1++-=n n n n a a d a a 例1已知二次函数()y f x = 的图像经过坐标原点,其导函数为 '()62f x x =-,数列{}n a 的前 n 项和为n S ,点(,)()n n S n N *∈均在函数()y f x = 的 图像上。 (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式; (Ⅱ)设1 1 n n n b a a += ,n T 是数列{}n b 的前n 项和,求使得20 n m T <对所有n N * ∈都成立的最小 正 整 数 m ; (2006年湖北省数学高考理科试题) 解:(Ⅰ)设这二次函数f(x)=ax 2 +bx (a ≠0) ,则 f`(x)=2ax+b,由于f`(x)=6x -2,得 a=3 , b=-2, 所以 f(x)=3x 2 -2x. 又因为点(,)()n n S n N *∈均在函数()y f x = 的图像上,所以n S =3n 2 -2n. 当n ≥2时,a n =S n -S n -1=(3n 2-2n )-[])1(2)132---n n ( =6n -5. 当n =1时,a 1=S 1=3×12 -2=6×1-5,所以,a n =6n -5 (n N *∈) (Ⅱ)由(Ⅰ)得知13+= n n n a a b =[]5)1(6)56(3---n n =)1 61 561( 21+--n n ,

数列求和常见的7种方法

数列求与得基本方法与技巧 一、总论:数列求与7种方法: 利用等差、等比数列求与公式 错位相减法求与 反序相加法求与 分组相加法求与 裂项消去法求与 分段求与法(合并法求与) 利用数列通项法求与 二、等差数列求与得方法就是逆序相加法,等比数列得求与方法就是错位相减法, 三、逆序相加法、错位相减法就是数列求与得二个基本方法。 数列就是高中代数得重要内容,又就是学习高等数学得基础。在高考与各种数学竞赛中都占有重要得地位、数列求与就是数列得重要内容之一,除了等差数列与等比数列有求与公式外,大部分数列得求与都需 要一定得技巧、下面,就几个历届高考数学与数学竞赛试题来谈谈数列求与得基本方法与技巧、 一、利用常用求与公式求与 利用下列常用求与公式求与就是数列求与得最基本最重要得方法。 1、等差数列求与公式: 2、等比数列求与公式: 3、4、 5、 [例1]已知,求得前n项与。 解:由 由等比数列求与公式得(利用常用公式) ===1- [例2]设S n=1+2+3+…+n,n∈N*,求得最大值、 解:由等差数列求与公式得, (利用常用公式) ∴= == ∴当,即n=8时, 二、错位相减法求与 这种方法就是在推导等比数列得前n项与公式时所用得方法,这种方法主要用于求数列{an·bn} 得前n项与,其中{a n}、{bn}分别就是等差数列与等比数列。 [例3]求与:………………………① 解:由题可知,{}得通项就是等差数列{2n—1}得通项与等比数列{}得通项之积 设………………………。②(设制错位)

①-②得 n n n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+???+++++=-- (错位相减) 再利用等比数列得求与公式得: ∴ [例4] 求数列前n 项得与、 解:由题可知,{}得通项就是等差数列{2n}得通项与等比数列{}得通项之积 设…………………………………① ………………………………② (设制错位) ①—②得 (错位相减) ∴ 三、反序相加法求与 这就是推导等差数列得前n项与公式时所用得方法,就就是将一个数列倒过来排列(反序),再把它与原数列相加,就可以得到n 个。 [例5] 求证: 证明: 设…………………………、。 ① 把①式右边倒转过来得 (反序) 又由可得 ………….。……、. ② ①+②得 (反序相加) ∴ [例6] 求得值 解:设…………、 ① 将①式右边反序得 ………….。② (反序) 又因为 ① +②得 (反序相加) )89cos 89(sin )2cos 2(sin )1cos 1(sin 2222222 ++???++++=S =89 ∴ S=44、5 题1 已知函数 (1)证明:; (2)求得值。 解:(1)先利用指数得相关性质对函数化简,后证明左边=右边 (2)利用第(1)小题已经证明得结论可知, 两式相加得: 所以、 练习、求值:

数列求和的常用方法

数列求和的常用方法 永德二中 王冬梅 数列是高中数学的重要内容,又是学习高等数学的基础。在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位。数列求和是数列的重要内容之一,除了等差数列和等比数列有求和公式外,大部分数列的求和都需要一定的技巧。 下面,简单介绍下数列求和的基本方法和技巧。 第一类:公式法 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法。 1、等差数列的前n 项和公式 2 )1(2)(11d n n na a a n S n n -+=+= 2、等比数列的前n 项和公式 ?? ???≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a q q a q na S n n n 3、常用几个数列的求和公式 (1)、)1(213211 += +?+++==∑=n n n k S n k n (2)、)12)(1(6132122221 2++= +?+++==∑=n n n n k S n k n (3)、233331 3)]1(21[321+=+?+++==∑=n n n k S n k n 第二类:乘公比错项相减(等差?等比) 这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法,这种方法主要用于求数列}{n n b a ?的前n 项和,其中}{n a ,}{n b 分别是等差数列和等比数列。 例1:求数列}{1-n nq (q 为常数)的前n 项和。 解:Ⅰ、若q =0, 则n S =0 Ⅱ、若q =1,则)1(2 1321+= +?+++=n n n S n Ⅲ、若q ≠0且q ≠1, 则12321-+?+++=n n nq q q S ① n n nq q q q qS +?+++=3232 ② ①式—②式:n n n nq q q q q S q -+?++++=--1321)1(

数列求和专项训练题(学生)

数列求和的常用方法 第一类:公式法求和 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的. 1、等差数列前n 和公式:()() 11122 n n n a a n n S na d +-= =+ 2、等比数列前n 和公式:1 11(1)(1)(1) 11n n n na q S a a q a q q q q =?? =--?=≠?--? 自然数方幂和公式: 3、11(1)2n n k S k n n ===+∑ 4、211 (1)(21) 6n n k S k n n n ===++∑ 5、32 1 1[(1)]2 n n k S k n n ===+∑ 【例】已知数列{}n a 满足*111,4,n n a a a n N +==+∈,求数列{}n a 的前n 项和 n S . 【练习】已知321 log log 3 x -= ,求23n x x x x +++???++???的前n 项和.

第二类:分组法求和 有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将这类数列适当拆开,可分为几个等差、等比或常见的数列,然后分别求和,再将其合并即可. 若数列{}n c 的通项公式为n n n c a b =+,其中数列{}n a ,{}n b 分别是等差数列和等比数列,求和时一般用分组结合法。 【例】数列111111,2,3,4 ,,,24816 2n n 求数列的前n 项和. 【练习】数列{}n a 的通项公式221n n a n =+- 第三类:裂项法求和 这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项(通项)分解,然后重新组合,使之能消去一些项,最终达到求和的目的. 常用的通项分解(裂项)如:

(完整版)数列求和经典题型总结

三、数列求和 数列求和的方法. (1)公式法:①等差数列的前n 项求和公式 n S =__________________=_______________________. ② 等 比 数 列 的 前 n 项 和 求 和 公 式 ? ? ?≠===)1(___________________)1(__________q q S n (2)....++=n n n b a C ,数列{}n C 的通项公式能够分解成几部分,一般用“分组求和法”. (3)n n n C a b =?,数列{}n C 的通项公式能够分解成等差数列和等比数列的乘积,一般用“错 位相减法”. (4)1 n n n C a b = ?,数列{}n C 的通项公式是一个分式结构,一般采用“裂项相消法”. (5)并项求和法:一个数列的前n 项和中,可两两结合求解,则称之为并项求和。适用于形如()()n f a n n 1-=的类型。举例如下: ()()() 5050 12979899100129798991002 22222=++???++++=-+???+-+-= n S 常见的裂项公式: (1) 111)1(1+-=+n n n n ;(2) =+-) 12)(12(1 n n ____________________;(3)1 1++n n =__________________ 题型一 数列求解通项公式 1. 若数列{a n }的前n 项的和1232 +-=n n S n ,则{a n }的通项公式是n a =_________________。 2. 数列}{n a 中,已知对任意的正整数n ,1321-=+???++n n a a a ,则22221n a a a +???++等 于_____________。 3. 数列中,如果数列是等差数列,则________________。 4. 已知数列{a n }中,a 1=1且 3 1 111+=+n n a a ,则=10a ____________。 5. 已知数列{a n }满足)2(1 1≥-= -n a n n a n n ,则n a =_____________.。 6. 已知数列{a n }满足)2(11≥++=-n n a a n n ,则n a =_____________.。 {}n a 352,1,a a ==1 { }1 n a +11a =

数列求和基本解法

专题讲座一 《数列求和题的基本思路和常用方法》 数列求和是?数列?一章中的一个重要内容,是高考考试中的常见题型这类试题形式变化多样,但于思路不清、找不准方法常常又具有一定的规律可循.而多数考生在解题时由出现种种错误,导致解题失败.现给出几种数列求和的不同方法,并就题例分述如下. 1. 公式法:很多求和问题可以利用(等差、等比)数列的前n 项和公式解决,在具体问题 中记住并熟练应用下列几个常用公式: ①()211+=∑=n n k n k ; ②()2 112n k n n =-∑=;③()121 +=∑=n n k n k ④()()∑=++=n k n n n k 12 12161 ; ⑤()2 1 3 21? ? ? ???+=∑=n n k n k 例如: 已知数列{}n a 的通项公式为2102+-=n n a n ,求其前n 项和n S 解: n S ()()()[] 2102210221101222+-+++?-++?-=n n ( )()[]n n n 2321103212 222++++-++++= ()()()()()123 1 21512161+-=++-++= n n n n n n n n n 2. 折项分组法:把一不能直接求和的数列的每一项分解成几个可以求和的 新数列,分别求和. 例如:已知数列{}n a 的通项公式为?? ? ??-=n n n a 212,求其前n 项和n S 解 : ()n n n S 2 1 12815413211-+???+++=()[] 12531-+???+++=n + (n 214121+???++)=12 12 +-n n 此方法常用于解形如数列{}n n b a +的前n 项和(其中{}n a 是等差数列,{}n b 是等比数列). 3. 裂项相消法:把数列的每一项拆为两项之差,求和时使大部分项能“正”、 “负”相消, 变为求有限几项的和.常用裂项公式为: ① ()() )11(11 b x a x b a b x a x ----= --;②1 11)1(1+-=+n n n n ; ③ ( ) b a b a b a --= +11;④ ()()()()()()?? ????++- ++=++321 21121211n n n n n n n ;

数列求和专项训练题(学生)

数列求和的常用方法 第一类:公式法求和 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的 n 3 1 2 5、 S n k 3 [ n(n 1)]2 k 1 2 例】已知数列 a n 满足 a 1 1,a n 1 a n 4,n N * ,求数列 a n 的前 n 项和 S n . 练习 】已知 log 3 x ,求 x x 2 x 3 x n 的前 n 项和 . log 23 第二类:分组法求和 有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将这类数列适当拆开,可分为几个 等差、等比或常见的数列,然后分别求和,再将其合并即可 . 若数列 c n 的通项公式为 c n a n b n ,其中数列 a n , b n 分别是等差数列和等比数 列,求和时一般用分组结合法。 na 1 (q 1) 2、等比数列前 n 和公式: S n a 1(1 q n ) a 1 a n q (q 1) 1 q 1 q (q 1) S n n a 1 a n na 1 21 自然数方幂和公式: 1、等差数列前 n 和公式: 3、 S n n k k1 1 n(n 1) 2 n 4、 S n k 2 k1 1 n(n 1)(2n 1) 6

1 1 1 1 1 【例】数列1 ,2 ,3 ,4 , ,n n, 求数列的前n项和. 2 4 8 16 2n

练习】数列a n 的通项公式a n 2n2n 1 第三类:裂项法求和 这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用 . 裂项法的实质是将数列中的每项分解,然后重新组合,使之能消去一些项,最终达到求和的目的 常用的通项分解(裂项)如: 1 1 1 例1】数列1,112,1 213, ,1 2 31n, ,求该数列的前n项和 .通项) 1) a n 2) a n n1 a n 11 nk 3) a n 2n 1 2n 1 2 2n 1 2n 1 a n 5) a n log a 1 1log a n 1 log

数列求和7种方法(方法全-例子多)

数列求和的基本方法和技巧(配以相应的练习) 一、总论:数列求和7种方法: 利用等差、等比数列求和公式 错位相减法求和 反序相加法求和 分组相加法求和 裂项消去法求和 分段求和法(合并法求和) 利用数列通项法求和 二、等差数列求和的方法是逆序相加法,等比数列的求和方法是错位相减法, 三、逆序相加法、错位相减法是数列求和的二个基本方法。 数列是高中代数的重要内容,又是学习高等数学的基础. 在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位. 数列求和是数列的重要内容之一,除了等差数列和等比数列有求和公式外,大部分数列的求和都需要一定的技巧. 下面,就几个历届高考数学和数学竞赛试题来谈谈数列求和的基本方法和技巧. 一、利用常用求和公式求和 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式:d n n na a a n S n n 2 ) 1(2)(11-+=+= 2、等比数列求和公式:?????≠--=--==) 1(11)1()1(111 q q q a a q q a q na S n n n 3、 )1(211+==∑=n n k S n k n 4、)12)(1(611 2 ++==∑=n n n k S n k n [例1] 已知3 log 1log 23-= x ,求???++???+++n x x x x 32的前n 项和. 解:由2 1 2log log 3log 1log 3323=?-=?-= x x x 由等比数列求和公式得 n n x x x x S +???+++=32 (利用常用公式) =x x x n --1)1(= 2 11)211(21--n =1-n 21

数列求和专题训练 方法归纳

数列求和专题 方法归纳 方法1:分组转化法求和 1.已知{a n }的前n 项是3+2-1,6+4-1,9+8-1,12+16-1,…,3n +2n -1,则S n = ________. 2.等差数列{a n }中,a 2=4,a 4+a 7=15.(1)求数列{a n }的通项公式;(2)设b n =2an -2+n ,求 b 1+b 2+b 3+…+b 10的值. 方法2裂项相消法求和 3.设数列{}a n 满足a 1=1,且a n +1-a n =n +1(n ∈N * ),则数列? ???????? ?1a n 前 10项的和为______. 4. S n 为数列{a n }的前n 项和.已知a n >0,a 2n +2a n =4S n +3. ①求{a n }的通项公式; ②设b n = 1 a n a n +1 ,求数列{b n }的前n 项和. 5.若已知数列的前四项是 112 +2,122+4,132+6,1 42+8 ,则数列的前n 项和为________. 6.等差数列{a n }的前n 项和为S n ,已知a 1=10,a 2为整数,且S n ≤S 4. (1)求{a n }的通项 公式; (2)设b n =1 a n a n +1 ,求数列{b n }的前n 项和T n . 7.已知数列{a n }各项均为正数,且a 1=1,a n +1a n +a n +1-a n =0(n ∈N *). (1)设 b n =1 a n ,求证:数列{ b n }是等差数列;(2)求数列?????? ??? ?a n n +1的前n 项和S n . 方法3:错位相减法求和 8.已知{a n }是等差数列,其前n 项和为S n ,{b n }是等比数列(b n >0),且a 1=b 1=2,a 3+b 3=16,S 4+b 3=34.(1)求数列{a n }与{b n }的通项公式;(2)记T n 为数列{a n b n }的前n 项和,求 T n . 9.设等差数列{a n }的公差为d ,点(a n ,b n )在函数f (x )=2x 的图象上(n ∈N *).

求数列通项公式与数列求和精选练习题(有答案)

数列的通项公式与求和 1 练习1数列佝}的前n项为S n,且a =1, a ni=-S n(n =1,2,3,) 3 (1) 求a2,a3, a4B值及数列{a n}的通项公式. (2) 求a2a4一-玄 n ■ 2 练习2 数列{a n}的前n项和记为S n,已知a^1, 3n1 6(n = 1,2,…)?证明: n (1) 数列{§L}是等比数列; n (2) S n 1 = 4a n 1 * 练习3 已知数列{a n}的前n项为S n,S n = —@n -1)(门,N ) 3 (1)求耳忌 ⑵求证:数列{a n}是等比数列.

1 1 已知数列{a n }满足 @ = — ,a n1 =a n ? - ,求a n . 2 n +n 练习5 已知数列 {an } 满足?岭…&an,求歸 5 1 1 n * 练习6已知数列?}中,印 ,a n 1 a n - H),求a n . 6 3 2 练习7已知数列{a n }满足:a n 色^ , a , =1,求数列{a n }的通项公式 3色」+1 { } 2 十2十2+…十2 等比数列 {a n } 的前n 项和S n = 2n - 1,则a1 a 2 a 3 a n 5 (10n -1) 练习 9 求和:5, 55, 555, 5555,…,9 练习4 练习

练习10 求和: + +… + 1 4 4 7 (3n - 2) (3n 1) ’ 1 1 1 1 练习11 求和: 1 2 12 3 12 3 n 练习12 设 {a n } 是等差数列, {b n } 是各项都为正数的等比数列,且 = b^=1 , fa 1 a 5 b 3 =13 (I)求 {a n } , { b n } 的通项公式;(H)求数列? 的前门项和S n . Sb = 21

数列求和知识点总结.doc

数列求和 1.求数列的前 n 项和的方法 (1) 公式法 ①等差数列的前 n 项和公式 ②等比数列的前 n 项和公式 (2) 分组求和法 把数列的每一项分成两项或几项,使其转化为几个等差、等比数列,再求解. (3) 裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差求和,正负相消剩下首尾若干项. (4) 错位相减法 主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和, 即等比数列求和公式的推导过程的推广. (5) 倒序相加法 把数列分别正着写和倒着写再相加,即等差数列求和公式的推导过程的推广 2.常见的裂项公式 1 1 1 (1) n (n +1)= n -n +1 . (2) 1 1 1 1 . n - )( n + ) = 2 n - - n + 1 2 1 2 (212 1 1 = n + - n (3) 1. n + n +1 高频考点一 分组转化法求和 例 1、已知数列 { a n } 的前 n 项和 S n = n 2+ n , n ∈ N * . 2 (1) 求数列 { a n } 的通项公式; (2) 设 b n = 2a n + ( - 1) n a n ,求数列 { b n } 的前 2n 项和.

【感悟提升】 某些数列的求和是将数列分解转化为若干个可求和的新数列的和或差, 从 而求得原数列的和, 这就要通过对数列通项结构特点进行分析研究, 将数列的通项合理分解 转化.特别注意在含有字母的数列中对字母的讨论. 【变式探究】已知数列 { a n } 的通项公式是 a n =2·3n - 1+ ( - 1) n ·(ln2 - ln3) + ( - 1) n ln3 ,求其前 n 项和n . n S 高频考点二 错位相减法求和 例 2、(2015 ·湖北 ) 设等差数列 { a n } 的公差为 d ,前 n 项和为 S n ,等比数列 { b n } 的公比为 q ,已知 b 1= a 1 ,b 2= 2, q = d , S 10= 100. (1) 求数列 { a n } , { b n } 的通项公式; n a n n n (2) 当 d>1 时,记 c = ,求数列 { c 的前 n 项和 T . b n 【感悟提升】用错位相减法求和时,应注意: (1) 要善于识别题目类型,特别是等比数列公比为负数的情形; (2) 在写出“ S n ”与“ qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“ S n - qS n ”的表达式; (3) 在应用错位相减法求和时,若等比数列的公比为参数,应分公比等于 1 和不等于 1 两种情况求解. 【变式探究】已知数列 n 满足首项为 1 n + 1 n * n 2 n { a } a = 2, a = 2a ( n ∈ N ) .设 b = 3log a - * n n n n 2( n ∈ N ) ,数列 { c } 满足 c = a b . (1) 求证:数列 { b n } 为等差数列; (2) 求数列 { c n } 的前 n 项和 S n . 高频考点三 裂项相消法求和 例 3、设各项均为正数的数列 2 2 2 { a n } 的前 n 项和为 S n ,且 S n 满足 S n -( n + n - 3) S n - 3( n +n ) = 0, n ∈ N * . (1) 求 a 1 的值; (2) 求数列 { a n } 的通项公式;

(完整word版)三、数列求和专项练习高考题(含知识点),推荐文档

数列的前n 项和的求法 1.公式法:①等差数列求和公式;②等比数列求和公式, 特别声明:运用等比数列求和公式,务必检查其公比与1的关系,必要时需分类讨论.;③常用公式: 1123(1)2n n n ++++=+L ,222112(1)(21)6n n n n +++=++L ,33332 (1)123[]2n n n +++++=L . 例1、已知3log 1log 23-=x ,求???++???+++n x x x x 32的前n 项和. 解:由2 1 2log log 3log 1log 3323=?-=?-= x x x 由等比数列求和公式得 n n x x x x S +???+++=32 (利用常用公式) =x x x n --1)1(= 2 11)211(21--n =1-n 21 2.分组求和法:在直接运用公式法求和有困难时,常将“和式”中“同类项”先合并在一起,再运用公 式法求和. 例2、 求数列的前n 项和:231 ,,71,41, 1112-+???+++-n a a a n ,… 解:设)231 ()71()41()11(12-++???++++++=-n a a a S n n 将其每一项拆开再重新组合得 )23741()1 111(12-+???+++++???+++ =-n a a a S n n (分组) 当a =1时,2)13(n n n S n -+==2)13(n n + (分组求和) 当1≠a 时,2)13(1111n n a a S n n -+--==2)13(11n n a a a n -+--- 3.倒序相加法:若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联,则常可考虑选用倒序相加法,发挥其共性的作用求和(这也是等差数列前n 和公式的推导方法). 例3、求οοοοο89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++???+++的值 解:设οοοοο89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++???+++=S …………. ① 将①式右边反序得 οοοοο1sin 2sin 3sin 88sin 89sin 22222+++???++=S …………..② (反序) 又因为 1cos sin ),90cos(sin 2 2=+-=x x x x ο ①+②得 (反序相加) )89cos 89(sin )2cos 2(sin )1cos 1(sin 2222222οοοοοο++???++++=S =89 ∴ S =44.5 4.错位相减法:如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成,那么常选用错位相减法(这也是等比数列前n 和公式的推导方法). 例4、 求和:132)12(7531--+???++++=n n x n x x x S ………………………① 解:由题可知,{1)12(--n x n }的通项是等差数列{2n -1}的通项与等比数列{1-n x }的通项之积 设n n x n x x x x xS )12(7531432-+???++++=………………………. ② (设制错位)

(完整版)数列求和练习题(含答案)

2.(教材改编)数列{a n }的前n 项和为S n ,若a n =1 n (n +1) ,则S 5等于( ) A .1 B.5 6 C.16 D.130 B [∵a n =1n (n +1)=1n -1 n +1 , ∴S 5=a 1+a 2+…+a 5=1-12+12-13+…-16=5 6.] 3.(2016·广东中山华侨中学3月模拟)已知等比数列{a n }中,a 2·a 8=4a 5,等差数列{b n }中,b 4+b 6=a 5,则数列{b n }的前9项和S 9等于( ) A .9 B .18 C .36 D .72 B [∵a 2·a 8=4a 5,即a 25=4a 5,∴a 5=4, ∴a 5=b 4+b 6=2b 5=4,∴b 5=2, ∴S 9=9b 5=18,故选B.] 已知等差数列{a n }中,2a 2+a 3+a 5=20,且前10项和S 10=100. (1)求数列{a n }的通项公式; (2)若b n = 1 a n a n +1 ,求数列{b n }的前n 项和. [解] (1)由已知得???? ? 2a 2+a 3+a 5=4a 1+8d =20,10a 1+10×9 2d =10a 1+45d =100, 解得??? a 1=1, d =2, 3分 所以数列{a n }的通项公式为a n =1+2(n -1)=2n -1.5分 (2)b n = 1(2n -1)(2n +1)=12? ?? ??1 2n -1-12n +1,8分 所以T n =12? ? ???1-13+13-15+…+12n -1-12n +1 =12? ????1-12n +1=n 2n +1 .12分

2015高考数列求和专项训练

数列求和专项训练 1. (2011?重庆)设{a n}是公比为正数的等比数列a i=2, a3=a2+4. ([)求{a n}的通项公式; (n)设{b n}是首项为1,公差为2的等差数列,求数列{a n+b n}的前n项和S. 分析:(I)由{a n}是公比为正数的等比数列,设其公比,然后利用a1=2, a3=a2+4可求得q,即可求得{a n}的通项公式(n)由{b n}是首项为1,公差为2的等差数列可求得b n=1+ ( n- 1) X 2=2 n- 1,然后利用等比数列与等差数列的前 n项和公式即可求得数列{a n+b n}的前n项和S. 解答:解:(I):设{a n}是公比为正数的等比数列 ???设其公比为q, q > 0 ■/ a3=a2+4, a1=2 2 ?2X q =2X q+4 解得q=2 或q= - 1 ■/ q>0 ?- q=2 ?{a n}的通项公式为a n=2X 2n- 1=2n (n):{b n}是首项为1,公差为2的等差数列 ?b n=1+ ( n - 1) X 2=2n - 1 ?数列{a n+b n}的前n 项和S= f =2n+1- 2+n2=2n+1+n2- 2 1-2 2 2. (2011?辽宁)已知等差数列{a n}满足a2=0, &+a8= - 10 (I)求数列{a n}的通项公式; (II )求数列{—}的前n项和. 分析:(I) 根据等差数列的通项公式化简a2=0和a e+a8=- 10,得到关于首项和公差的方程组,求出方程组的解即可得到数列的首 项和公差,根据首项和公差写出数列的通项公式即可; (II ) 把(I )求出通项公式代入已知数列,列举出各项记作①,然后给两边都除以2得另一个关系式记作②,①-②后,利 用a n的通项公式及等比数列的前n项和的公式化简后,即可得到数列{一}的前n项和的通项公式. r ai+<^0 解答:解:(I)设等差数列{a n}的公差为d,由已知条件可得* , 2a t H2d=-10 L 1 31=1 解得:?, d=-1 故数列{a n}的通项公式为a n=2 - n; (II )设数列{一}的前n项和为S,即S=a1+ : +…+一—①,故S=1, 9 rfL—1 戸旷1 a l a2 .… 2 Z \②,

数列求和方法及典型例题

数列求和方法及典型例题 1.基本数列的前n 项和 ⑴ 等差数列{}n a 的前n 项和:n S ???? ??????+?-++=n b n a d n n na a a n n 211)1(212)( ⑵ 等比数列{}n a 的前n 项和n S : ①当1=q 时,1na S n =;②当1≠q 时,q q a a q q a S n n n --=--=11)1(11; 2. 数列求和的常用方法:公式法;性质法;拆项分组法;裂项相消法;错位相减法;倒序相加法. 题型一 公式法、性质法求和 1.已知n S 为等比数列{}n a 的前n 项和,公比7,299==S q ,则=++++99963a a a a 2.等差数列{}n a 中,公差2 1= d ,且6099531=++++a a a a ,则=++++100321a a a a . [例1]求数列 ,,,,,)21(813412211n n +的前n 项和n S . 题型二 拆项分组法求和 [练2]在数列{} n a 中,已知a 1=2,a n+1=4a n -3n +1,n ∈*N . (1)求数列{}n a 的通项公式;(2)设数列{}n a 的前n 项和为S n ,求S n 。 [练].求数列{}2)12(-n 的前n 项和n S . [例].求和:) 1(1431321211+++?+?+?n n . 题型三 裂项相消法求和 [例].求和: n n +++++++++11341231121 . [例]求和:n +++++++++++ 321132112111 [练4]已知数列{}n a 满足()*1112,1N n a a a n n ∈+==+

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