人教版-八年级上册-三角形的知识点及题型总结

三角形的知识点及题型总结

一、三角形的认识

定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形。

分类：

锐角三角形（三个角都是锐角的三角形）

按角分类直角三角形（有一个角是直角的三角形）

钝角三角形（有一个角是钝角的三角形）

三边都不相等的三角形

按边分类等腰三角形底边和腰不相等的等腰三角形

等边三角形

例题1 图1中共几个三角形。

例题2 下列说法正确的是（）

A.三角形分为等边三角形和三边不相等三角形

B.等边三角形不是等腰三角形

C.等腰三角形是等边三角形

D.三角形分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形

例题3已知a、b、c为△ABC的三边长，b、c满足(b-2)2＋|c－3|=0，且a为方程|x－4|=2的解.求△ABC的周长，并判断△ABC的形状.

二、与三角形有关的边

三边的关系：三角形的两边和大于第三边，两边的差小于第三边。例题1 以下列各组数据为边长，能够成三角形的是（）

A.3，4，5

B.4，4，8

C.3，7，10

D.10，4，5

例题2 已知三角形的两边边长分别为4、5，则该三角形周长L的范围是（）

A.1

B.9

C.10

D.无法确定

课后练习：

1、若三角形的两边长分别为5、8，则第三边可能是（）

A.2

B. 6

C.13

D.18

2、等腰三角形的两边长分别为6、13，则它的周长为。

3、等腰三角形的两边长分别为

4、5，则第三边长为。

4、已知三角形的两边长为2和4，为了使其周长是最小的整数，则第三边的为。

5、若等腰三角形的周长为13cm，其中一边长为3cm，则等腰三角形的底边为（）

A.3cm

B.7

C.7cm

D.7cm或3cm

6、根据下列已知条件，能唯一画出△ABC的是（）

A.AB=3，BC=4，AC=8

B.AB=4，BC=3，∠A=30°

C.∠A=60°，∠B=45°，AB=4

D.∠C=90°，AB=6

8、用7根火柴棒首尾顺次相连摆成一个三角形，能摆成个不同的三角形。

9、已知三角形的三边长分别为2，x，8，若x为正整数，则这样的三角形有个。

10、小刚准备用一段长50米的篱笆围成一个三角形的场地，用于饲养鸡，已知第一条边长为m米，由于条件限制，第二条边长只能比第一条边长的3倍少2米。

（1）请用含m的式子表示第三条边长.

（2）第一条边长能否为10米？为什么？

（3）求m的取值范围.

11、如图，小红欲从A地去B地，有三条路可走：1)A→B；2)A→D →B；3)A→C→B.

（1）在不考虑其他因素的情况下，我们可以肯定小红会走1)路线，理由是.

（2）小红绝对不走路线3)，因为路线3)的路程最长，即AC+BC>AD+BD.

你能说明其中的原因吗？

三角形的高、中线、角平分线

例题1 在下列各图的△ABC中，正确画出AC边上的高的图形是（）

例题2 如图1，AD⊥BC于点D，GC⊥BC于点C，

CF⊥AB于点F，下列关于高的说法错误的是（）

A.△ABC中，AD是BC边上的高

B.△GBC中，CF是BG边上的高

C.△ABC中，GC是BC边上的高

D.△GBC中，GC是BC边上的高

图1 图2

例题3 能将三角形面积平分的是三角形的（）

A.角平分线

B.高

C.中线

D.外角平分线

课后练习：

1、如图2，AD是△ABC的中线，CF是△ACD的中线，且△ACF的面积是1，求△ABC的面积。

2、如图，AD、AE分别是△ABC的高和中线，AB=6cm，AC=8cm，BC=10cm，∠CAB=90°.求：

（1）AD的长；

（2）△ABE的面积；

（3）△ACE和△ABE的周长差.

3、如图，在△ABC中，AB=AC，AC边上的中线BD把△ABC的周长分为12cm和15cm两个部分，求△ABC各边的长.

4、如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若PA=4，则PQ的最小值为。

三角形的稳定性

例题1 王师傅用四根木条钉成一个四边形木架，要使这个木架不变形，他至少要再钉上（）根木条。

A.0

B.1

C.2

D.3

例题2一扇窗户打开后，用窗钩可将其固定，这里运用的几何原理是（）

A.三角形的稳定性

B.两点之间线段最短

C.两点确定一条直线

D.垂线段最短

例题3下列图形中具有稳定性的是（）

A.正方形

B.长方形

C.直角三角形

D.平行四边形

三、与三角形有关的角

三角形内角和为180°；

直角三角形的两个锐角互余；

三角形外角和等于与它不相邻的两个内角的和。

例题1 如图1，△ABC中，AD是高，AE是角平分线，∠B=20°，

∠C=60°.求∠CAD和∠AEC的度数。

例题 2 如果三角形的一个外角与跟它不相邻的两个内角的和为180°，那么与这个外角相邻的内角的度数为（）

A.30°

B.60°

C.90°

D.120°

例题3在△ABC中，∠A：∠B：∠C=3:4:5，则∠C= .

课后练习：

1、如图2，点D在△ABC的边BC的延长线上，CE平分∠ACD，∠A=80°，∠B=40°，则∠ACE= 。

2、如图3，△ABC中，∠ACB=90°，沿CD折叠△CBD，使点B恰好落在AC边上的点E处，若∠B=70°，则∠BDC等于（）

A.45°

B.55°

C.65°

D.75°

3、已知一个等腰三角形内角的度数之比为1:4，那么这个等腰三角形顶角的度数为（）

A.20°

B.120°

C.36°

D.20°或120°

4、已知△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的高，∠A=30°，则∠B= ，∠BCD= .

5、在△ABC中，∠A：∠B：∠C=1:2:3，则这个三角形

一定是三角形（填“锐角”“直角”或“钝角”）。

6、如图，在△ABC中，∠BAC=50°，∠C=60°，

AD⊥BC，BE是∠ABC的平分线，AD、BE相交于点F，求∠BFD的度数.

7、如图，在某海面上，客轮C突然发生事故，马上向救护船B发出求救信号.由于救护船A离客轮C比救护船B离客轮C要近，所以救护船B立即向救护船A发出信号，让其救助客轮C.已知救护船A在救护船B北偏东45°方向上，客轮C在救护船B的北偏东75°方向上，经测得∠ACB=75°，则救护船A沿南偏东多少度方向驶向客轮C

所用时间最短？

8、如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE平分∠BAC，

∠B=75°，∠C=45°，求∠DAE与∠AEC的度数。

9、某工厂要制作符合条件的模板，如图，要求∠A=105°，

∠B=18°，∠C=30°，为了提高工作效率，检验人员测量∠BDC的度数的方法筛选出不合格的产品.若测得∠BDC的度数为150°，则这种

模板是否合格？请说明理由.

10、如图1所示，对顶三角形中，容易证明∠A+∠B=∠C+∠D，利用这个结论，完成下列填空.

如图2，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E= .

如图3，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E= .

如图4，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6= .

如图5，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7= .

三、多边形及其内角和

多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形。

正多边形：各个角都相等，各条边都相等的多边形。

n边形的内角和等于(n-2)×180°.

多边形的外角和等于360°.

例题1 一个多边形的内角和是1080°，则这个多边形的边数为（）A.6 B.7 C.8 D.9

例题2一个正多边形的每个外角都等于36°，那么它是（）

A.正六边形

B.正八边形

C.正十边形

D.正十二边形

例题3内角和等于外角和的2倍的多边形是（）

A.五边形

B.六边形

C.七边形

D.八边形

例题4 下列说法错误的是（）

A.边数越多，多边形的外角和越大

B.多边形每增加一条边，内角和就增加180°

C.正多边形的每一个外角随着边数的增加而减少

D.正六变形的每一个内角都是120°

课后练习：

1、下列正多边形中，不能铺满地面的是（）

A.正方形

B.正五边形

C.等边三角形

D.正六边形

2、若多边形的边数增加1，则它的内角和增加。

3、某多边形的内角和与外角和为1080°，则这个多边形的边数是。

4、一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°，这个多边形的边数是多少？

5、如果一个多边形的内角和等于它的外角和的4倍，求这个多边形的边数？

高中解三角形题型大汇总

解三角形题型总结 题型一：正选定理的应用 1. ABC ?的三内角A 、B 、C 的对边边长分别为a b c 、、，若,2a A B ==， 则cos _____B = B. C. D. 2. 如果111A B C ?的三个内角的余弦值分别等于222A B C ?的三个内角的正弦值，则（ ） A ．111A B C ?和222A B C ?都是锐角三角形 B ．111A B C ?和222A B C ?都是钝角三角形 C ．111A B C ?是钝角三角形，222A B C ?是锐角三角形 D ．111A B C ?是锐角三角形，222A B C ?是钝角三角形 3. 在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若 ( ) C a A c b cos cos 3=-，则 =A cos _________________。 4.△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B +b cos 2A =a 2，则=a b A ． B ． C D 5.ABC ?中，3 π = A ，BC ＝3，则ABC ?的周长为（ ） A ． 33sin 34+??? ? ?+πB B ． 36sin 34+??? ??+πB C ．33sin 6+??? ??+πB D ．36sin 6+??? ? ? +πB 6. 在ABC ?中，已知3,1,60===?ABC S b A o ，则=++++C B A c b a sin sin sin 7.设ABC ?的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且35 cos ,cos ,3,513 A B b = ==则c =______

解三角形知识点归纳总结

第一章 解三角形 一.正弦定理： 1.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，并且都等于外 接圆的直径，即 R C c B b A a 2sin sin sin ===（其中R 是三角形外接圆的半径） 2.变形：1）sin sin sin sin sin sin a b c a b c C C ++=== A + B +A B ． 2）化边为角： C B A c b a sin :sin :sin ::=； ;sin sin B A b a = ;sin sin C B c b = ;sin sin C A c a = 3）化边为角：C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2=== 4）化角为边： ;sin sin b a B A = ;sin sin c b C B =;sin sin c a C A = 5）化角为边： R c C R b B R a A 2sin ,2sin ,2sin = == 3. 利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题： 4. ①已知两个角及任意—边，求其他两边和另一角； 例：已知角B,C,a ， 解法：由A+B+C=180o ，求角A,由正弦定理 ;sin sin B A b a = ;sin sin C B c b = ;sin sin C A c a =求出b 与c ②已知两边和其中—边的对角，求其他两个角及另一边。 例：已知边a,b,A, 解法：由正弦定理B A b a sin sin =求出角B,由A+B+C=180o 求出角C ，再使用正弦定理C A c a sin sin =求出c 边 4.△ABC 中，已知锐角A ，边b ，则 ①A b a sin <时，B 无解； ②A b a sin =或b a ≥时，B 有一个解； ③b a A b <

解三角形知识点归纳总结

第一章解三角形 .正弦定理: 2）化边为角： a : b: c sin A : sin B : sin C ? 7 a si nA b sin B a sin A b sin B ' c sin C J c sin C ' 3 ）化边为角： a 2Rsin A, b 2Rsin B, c 2Rsin C 4 ）化角为边: sin A sin B a ； sin B J b sin C b sin A a c' sin C c ' a b 5 ）化角为边：si nA , si nB , si nC 2R 2R 3. 利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题： ① 已知两个角及任意一边，求其他两边和另一角； 例：已知角B,C,a ， 解法：由 A+B+C=180,求角A,由正弦定理a 竺A, 竺B b sin B c sin C b 与c ②已知两边和其中一边 的对角，求其他两个角及另一边。 例：已知边a,b,A, 解法：由正弦定理旦 血 求出角B,由A+B+C=180求出角C,再使用正 b sin B 弦定理a 泄求出c 边 c sin C 4. △ ABC 中，已知锐角A ,边b ,贝U ① a bsin A 时，B 无解； ② a bsinA 或a b 时，B 有一个解; ③ bsinA a b 时，B 有两个解。 如：①已知A 60 ,a 2,b 2 3,求B （有一个解） ②已知A 60 ,b 2,a 2.3,求B （有两个解） 注意：由正弦定理求角时，注意解的个数 .三角形面积 各边和它所对角的正弦的比相等, 并且都等于外 接圆的直径， 即 a b c sin A sin B sinC 2.变形：1） a b c a sin sin si sin 2R （其中R 是三角形外接圆的半径） b c sin sinC c 2R 沁；求出 sin C 1.正弦定理：在一个三角形中, bsin A

(完整版)解三角形专题题型归纳

《解三角形》知识点、题型与方法归纳 一、知识点归纳（★☆注重细节，熟记考点☆★） 1．正弦定理及其变形 2(sin sin sin a b c R R A B C ===为三角形外接圆半径） 变式：12sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===（）(边化角公式） 2sin ,sin ,sin 222a b c A B C R R R ===（）(角化边公式） 3::sin :sin :sin a b c A B C =（） sin sin sin (4),,sin sin sin a A a A b B b B c C c C === 2．正弦定理适用情况： （1）已知两角及任一边； （2）已知两边和一边的对角（需要判断三角形解的情况）. 3．余弦定理及其推论 2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c a b ab C =+-=+-=+- 222 222 222 cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac a b c C ab +-= +-=+-= 4．余弦定理适用情况： （1）已知两边及夹角； （2）已知三边. 注．解三角形或判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化(这也是正余弦定理的作用)，统一成边的形式或角的形式. 5．常用的三角形面积公式 （1）高底??= ?2 1ABC S ； （2）()111=sin sin sin 2224abc S ab C ac B bc A R ABC R ===?为外接圆半径 （两边夹一角）； 6．三角形中常用结论 （1）,,(a b c b c a a c b +>+>+>即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边） （2）sin sin (ABC A B a b A B ?>?>?>在中，即大边对大角，大角对大边） （3）在ABC ?中，A B C π++=，所以 ①()sin sin A B C +=；②()cos cos A B C +=-； ③()tan tan A B C +=-；④sin cos ,22A B C +=⑤cos sin 22 A B C += 7．实际问题中的常用角 （1）仰角和俯角

最新解三角形知识点归纳(附三角函数公式)

高中数学必修五 第一章 解三角形知识点归纳 1、三角形三角关系：A+B+C=180°；C=180°—(A+B)； 2、三角形三边关系：a+b>c; a-b，则90C <；③若2 2 2 a b c +<，则90C >． 11、三角形的四心： 垂心——三角形的三边上的高相交于一点 重心——三角形三条中线的相交于一点（重心到顶点距离与到对边距离之比为2:1） 外心——三角形三边垂直平分线相交于一点（外心到三顶点距离相等） 内心——三角形三内角的平分线相交于一点（内心到三边距离相等） 12同角的三角函数之间的关系 （１）平方关系：ｓｉｎ2α＋ｃｏｓ2α＝１ （２）倒数关系：ｔａｎα·ｃｏｔα＝１ （３）商的关系：α α ααααsin cos cot ,cos sin tan ==

(完整版)解三角形知识点及题型总结

基础强化（8）——解三角形 1、①三角形三角关系：A+B+C=180°；C=180°-(A+B)； ②. 三角形三边关系：a+b>c; a-bB>C 则6090,060A C ?≤

解三角形题型总结原创

解三角形题型总结 ABC ?中的常见结论和定理： 一、 内角和定理及诱导公式： 1．因为A B C π++=， 所以sin()sin ,cos()cos , tan()tan A B C A B C A B C +=+=-+=-； sin()sin ,cos()cos ,tan()tan A C B A C B A C B +=+=-+=-； sin()sin ,cos()cos ,tan()tan B C A B C A B C A +=+=-+=- 因为,22A B C π++= 所以sin cos 22A B C +=，cos sin 22 A B C +=，………… 2．大边对大角 3.在△ABC 中，熟记并会证明tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC; (2)A 、B 、C 成等差数列的充要条件是B=60°； (3)△ABC 是正三角形的充要条件是A 、B 、C 成等差数列且a 、b 、c 成等比数列.

四、面积公式： （1）12a S ah = （2）1()2 S r a b c =++（其中r 为三角形内切圆半径） （3）111sin sin sin 222 S ab C bc A ac B === 五、 常见三角形的基本类型及解法： （1）已知两角和一边（如已知,,A B 边c ） 解法：根据内角和求出角)(B A C +-=π； 根据正弦定理 R C c B b A a 2sin sin sin ===求出其余两边,a b （2）已知两边和夹角（如已知C b a ,,） 解法：根据余弦定理2 2 2 2cos c a b ab C =+-求出边c ； 根据余弦定理的变形bc a c b A 2cos 2 22-+=求A ； 根据内角和定理求角)(C A B +-=π. （3）已知三边（如：c b a ,,） 解法：根据余弦定理的变形bc a c b A 2cos 2 22-+=求A ； 根据余弦定理的变形ac b c a B 2cos 2 22-+=求角B ； 根据内角和定理求角)(B A C +-=π （4）已知两边和其中一边对角（如：A b a ,,）（注意讨论解的情况） 解法1：若只求第三边，用余弦定理：222 2cos c a b ab C =+-； 解法2：若不是只求第三边，先用正弦定理R C c B b A a 2sin sin sin ===求B （可能出现一解，两解或无解的情况，见题型一）； 再根据内角和定理求角)(B A C +-=π；. 先看一道例题： 例：在ABC ?中，已知0 30,32,6===B c b ，求角C 。（答案：045=C 或0135）

相似三角形题型归纳总结非常全面

相似三角形题型归纳 一、比例的性质： 二、成比例线段的概念： 1．比例的项： 在比例式::a b c d =（即a c b d =）中，a ，d 称为比例外项，b ， c 称为比例内项．特别地，在比例式::a b b c =（即a b b c =）中，b 称为a ，c 的比例中项，满足b ac 2=． 2．成比例线段： 四条线段a ，b ，c ，d 中，如果a 和b 的比等于c 和d 的比，即a c b d =，那么这四条线段a ，b ，c ，d 叫做成比例线段，简称比例线段． 3．黄金分割： 如图，若线段AB 上一点C ，把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC BC >），且使AC 是AB 和BC 的比例中项（即AC AB BC 2=?），则称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫线段AB 的黄金分割点，其中.AC AB AB ≈0618，BC AB =.AB ≈0382，AC 与AB 的比叫做黄金比．（注意：对于线段AB 而言，黄金分割点有两个．） 三、平行线分线段成比例定理 1．平行线分线段成比例定理 A

两条直线被三条平行线所截，所得的对应线段成比例，简称为平行线分线段成比例定理．如图：如果123////l l l ，则 AB DE BC EF =，AB DE AC DF =，BC EF AC DF = ． A D B E C F 1 l 2 l 3 l A D B E C F 1 l 2l 3 l 【小结】若将所截出的小线段位置靠上的（如AB ）称为上，位置靠下的称为下，两条线段合成的线段称为全，则可以形象的表示为 =上上下下，=上上全全，=下下 全全 ． 2．平行线分线段成比例定理的推论 平行于三角形一边的直线，截其它两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．如图：如果EF//BC ，则 AE AF EB FC =，AE AF AB AC =，BE CF AB AC = ． A B C E F F E C B A 平行线分线段成比例定理的推论的逆定理 若 AE AF EB FC =或AE AF AB AC =或BE CF AB AC = ，则有EF//BC ． 【注意】对于一般形式的平行线分线段成比例的逆定理不成立，反例：任意四边形中一对对边的中点的连线与剩下两条边，这三条直线满足分线段成比例，但是它们并不平行． 【小结】推论也简称“A ”和“8”，逆定理的证明可以通过同一法，做'//EF BC 交AC 于'F 点，再证明'F 与F 重合即可． 四、相似三角形的定义、性质和判定 1．相似图形 ①定义：对应角相等，对应边成比例的图形叫做相似图形．对应边的比例叫做相似比．相似图形是形状相同，大小不一定相同．相似图形间的互相变换称为相似变换． ②性质：两个相似图形的对应角相等，对应边成比例． 2．相似三角形的定义

高中数学-解三角形知识点汇总情况及典型例题1

实用标准

—tanC。

例 1 ? (1 )在 ABC 中，已知 A 32.00 , B 81.80 因为 00 v B v 1800，所以 B 640，或 B 1160. c as nC 空啤 30(cm). sin A s in400 ②当B 1160时, 点评：应用正弦定理时（1）应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形; 对于解三角形中的复杂运算可使用计算器 题型2 :三角形面积 2 , AC 2 , AB 3，求tan A 的值和 ABC 的面积。 2 (2 )在 ABC 中，已知 a 20 cm ， b 28 cm ， 40°，解三角形（角度精确到 10，边长精确 到 1cm ) o 解：（1 ）根据三角形内角和定理, C 1800 (A B) 1800 (32.00 81.80) 66.20 ； 根据正弦定理，b asinB 42.9sin81.80 si nA 眾厂 80.1(cm)； 根据正弦定理，c 聲C 丝9也彰 74.1(cm). sin 32.0 （2 ）根据正弦定理, s"B 舸 A 28sin4°0 a 20 0.8999. ,a 42.9 cm ，解三角形; ①当 B 640 时， C 1800 (A B) 1800 (40° 640) 760, C 1800 (A B) 1800 (400 116。)240 , c asinC si nA 呼 13(cm). sin 40 (2) 解法一：先解三角方程，求出角 A 的值。 例2 ?在ABC 中， sin A cos A

si nA cos A j2cos(A 45 )-—, 2 1 cos(A 45 )-. 又 0 A 180 , A 45o 60o , A 105.° o o 1 \/3 L tan A tan(45 60 ) 一字 2 J3, 1 73 42 si nA sin105 sing5 60) sin4 5 co$60 cos45 si n60 ——-—. 1 1 /2 洽 n S ABC AC AB si nA 2 3 近 46)。 2 2 4 4 解法二：由sin A cos A 计算它的对偶关系式 si nA cos A 的值。 v 2 — si nA cos A —— ① 2 2 1 (si nA cos A)2 2 1 2sin Acos A — 2 Q0o A 180o , si nA 0,cos A 0. 1 另解(si n2A —) 2 2 3 (s in A cos A) 1 2 sin Acos A —, *'6 _ si nA cos A — ② 2 $2 J6 ①+②得sin A --------------- 。 4 ①-②得 cosA <6 。 4 u 而丄 A si nA J 2 J 6 4 c 匚 从而 tan A l l 2 ~3。 cosA 4 v2 v 6

解三角形知识点归纳

解三角形知识点归纳 1、三角形三角关系：A+B+C=180°；C=180°—(A+B)； 2、三角形三边关系：a+b>c; a-b，则90C o ．

解三角形专题题型归纳

解三角形专题题型归纳

《解三角形》知识点、题型与方法归纳 一、知识点归纳（★☆注重细节，熟记考点☆★） 1．正弦定理及其变形 2(sin sin sin a b c R R A B C ===为三角形外接圆半径） 变式：12sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===（）(边化角公式） 2sin ,sin ,sin 222a b c A B C R R R ===（）(角化边公式） 3::sin :sin :sin a b c A B C =（） sin sin sin (4),,sin sin sin a A a A b B b B c C c C === 2．正弦定理适用情况： （1）已知两角及任一边； （2）已知两边和一边的对角（需要判断三角形解的情况）. 3．余弦定理及其推论 2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c a b ab C =+-=+-=+- 222 222222 cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac a b c C ab +-=+-=+-= 4．余弦定理适用情况： （1）已知两边及夹角； （2）已知三边. 注．解三角形或判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化(这也是正余弦定理的作用)，统一成边的形式或角的形式. 5．常用的三角形面积公式 （1）高底??=?2 1ABC S ； （2）()111=sin sin sin 2224abc S ab C ac B bc A R ABC R ===?为外接圆半径 （两边夹一角）； 6．三角形中常用结论 （1）,,(a b c b c a a c b +>+>+>即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边） （2）sin sin (ABC A B a b A B ?>?>?>在中，即大边对大角，大角对大边） （3）在ABC ?中，A B C π++=，所以 ①()sin sin A B C +=；②()cos cos A B C +=-； ③()tan tan A B C +=-；④sin cos ,22A B C +=⑤cos sin 22 A B C += 7．实际问题中的常用角 （1）仰角和俯角

《解三角形》常见题型总结

《解三角形》常见题型总结 1、1正弦定理和余弦定理 1、1、1正弦定理 【典型题剖析】 考察点1：利用正弦定理解三角形例1 在ABC中，已知 A:B:C=1:2:3,求a :b :c、 【点拨】 本题考查利用正弦定理实现三角形中边与角的互化，利用三角形内角和定理及正弦定理的变形形式 a :b :c=sinA: sinB: sinC 求解。解： 【解题策略】 要牢记正弦定理极其变形形式，要做到灵活应用。例2在ABC 中，已知c=+，C=30，求a+b的取值范围。 【点拨】 此题可先运用正弦定理将a+b表示为某个角的三角函数，然后再求解。解：∵C=30，c=+，∴由正弦定理得：∴ a=2(+)sinA,b=2(+)sinB=2(+)sin（150-A）、 ∴a+b=2(+)[sinA+sin(150-A)]=2(+)2sin75cos(75-A)= cos(75-A)① 当75-A=0，即A=75时，a+b取得最大值=8+4；② ∵A=180-(C+B)=150-B,∴A＜150，∴0＜A＜150,∴-75＜75-A＜75， ∴cos75＜cos(75-A)≤1，∴＞ cos75==+、综合①②可得a+b的

取值范围为(+,8+4>考察点2：利用正弦定理判断三角形形状例3在△ABC中，tanB=tanA，判断三角形ABC的形状。 【点拨】 通过正弦定理把边的关系转化为角的关系，利用角的关系判断△ABC的形状。解：由正弦定理变式a=2RsinA,b=2RsinB得：,即，，、∴为等腰三角形或直角三角形。 【解题策略】 “在△ABC中，由得∠A=∠B”是常犯的错误，应认真体会上述解答过程中“∠A=∠B或∠A+∠B=”的导出过程。例4在△ABC 中，如果，并且B为锐角，试判断此三角形的形状。 【点拨】 通过正弦定理把边的形式转化为角的形式，利用两角差的正弦公式来判断△ABC的形状。解：、又∵B为锐角，∴B= 45、由由正弦定理，得,∵代入上式得：考察点3：利用正弦定理证明三角恒等式例5在△ABC中，求证、 【点拨】 观察等式的特点，有边有角要把边角统一，为此利用正弦定理将转化为、证明：由正弦定理的变式得：同理 【解题策略】 在三角形中，解决含边角关系的问题时，常运用正弦定理进行边角互化，然后利用三角知识去解决，要注意体会其中的转化

高中数学解三角形题型完整归纳

高中数学解三角形题型目录一．正弦定理 1.角角边 2.边边角 3.与三角公式结合 4.正弦定理与三角形增解的应对措施 5.边化角 6.正弦角化边 二．余弦定理 1.边边边 2.边角边 3.边边角 4.与三角公式结合 5.比例问题 6.余弦角化边 7.边化余弦角 三．三角形的面积公式 1.面积公式的选用 2.面积的计算 3.正、余弦定理与三角形面积的综合应用 四．射影定理 五．正弦定理与余弦定理综合应用 1.边角互化与三角公式结合 2.与平面向量结合 3.利用正弦或余弦定理判断三角形形状 4.三角形中的最值问题 (1)最大(小)角 (2)最长(短)边 (3)边长或周长的最值

(4)面积的最值 (5)有关正弦或余弦或正切角等的最值 (6)基本不等式与余弦定理交汇 (7)与二次函数交汇 六．图形问题 1.三角形内角之和和外角问题 2.三角形角平分线问题 3.三角形中线问题 4.三角形中多次使用正、余弦定理 5.四边形对角互补与余弦定理的多次使用 6.四边形与正、余弦定理 六．解三角形的实际应用 1.利用正弦定理求解实际应用问题 2.利用余弦定理求解实际应用问题 3.利用正弦和余弦定理求解实际应用问题 一．正弦定理 1.角角边 ?=?=?= 例.在中,解三角形 ABC A B a 30,45,2,. ?=?=?== 练习1.在中则 ABC A B a c ,30,45, . 练习2.在中,已知45,,求 ?=?=?= 30. ABC C A a b 2.边边角 例中，解这个三角形?===? ABC a .45,. 练习1中,则 ?==+== . 1,2,sin ABC a b A C B C 练习2.中则 ?===?= ,3,60,_____ ABC c b C A

相似三角形的性质与判定知识点总结+经典题型总结(学生版)

板块 考试要求 A 级要求 B 级要求 C 级要求 相似三角形 了解相似三角形 掌握相似三角形的概念，判定及性质，以及掌握相关的模型 会运用相似三角形相关的知识解决有关问题 一、相似的有关概念 1．相似形 具有相同形状的图形叫做相似形．相似形仅是形状相同，大小不一定相同．相似图形之间的互相变换称为相似变换． 2．相似图形的特性 两个相似图形的对应边成比例，对应角相等． 3．相似比 两个相似图形的对应角相等，对应边成比例． 二、相似三角形的概念 1．相似三角形的定义 对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形． 如图，ABC △与A B C '''△相似，记作ABC A B C '''△∽△，符号∽读作“相似于”． A ' B ' C ' C B A 2．相似比 相似三角形对应边的比叫做相似比．全等三角形的相似比是1．“全等三角形”一定是“相似形”，“相似形”不一定是“全等形”． 三、相似三角形的性质 1．相似三角形的对应角相等 如图，ABC △与A B C '''△相似，则有A A B B C C '''∠=∠∠=∠∠=∠，，． 知识点睛 中考要求 相似三角形的性质及判定

A ' B ' C ' C B A 2．相似三角形的对应边成比例 ABC △与A B C '''△相似，则有 AB BC AC k A B B C A C ===''''''（k 为相似比） ． 3．相似三角形的对应边上的中线，高线和对应角的平分线成比例，都等于相似比． 如图1，ABC △与A B C '''△相似，AM 是ABC △中BC 边上的中线，A M ''是A B C '''△中B C ''边上的中线， 则有AB BC AC AM k A B B C A C A M ==== '''''''' （k 为相似比）． M ' M A ' B ' C 'C B A 图1 如图2，ABC △与A B C '''△相似，AH 是ABC △中BC 边上的高线，A H ''是A B C '''△中B C ''边上的高线，则有AB BC AC AH k A B B C A C A H ==== '''''''' （k 为相似比）． H 'H A B C C 'B 'A ' 图2 如图3，ABC △与A B C '''△相似，AD 是ABC △中BAC ∠的角平分线，A D ''是A B C '''△中B A C '''∠的角平 分线，则有AB BC AC AD k A B B C A C A D ==== '''''''' （k 为相似比）． D ' D A ' B ' C B A 图3 4．相似三角形周长的比等于相似比． 如图4，ABC △与A B C '''△相似，则有 AB BC AC k A B B C A C ===''''''（k 为相似比） ．应用比例的等比性质有AB BC AC AB BC AC k A B B C A C A B B C A C ++===='''''''''''' ++．

三角函数与解三角形知识点总结

1. 任意角的三角函数的定义：设α是任意一个角，P (,)x y 是α的终边上的任意一点（异 于原点），它与原点的距离是 0r =>，那么 sin ,cos y x r r αα= =， () tan ,0y x x α=≠ 三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P 的位置无关。 2.三角函数在各象限的符号： （一全二正弦，三切四余弦） ＋ ＋ － ＋ － ＋ － － － ＋ ＋ － sin α cos α tan α 3. 同角三角函数的基本关系式： （1）平方关系： 22221sin cos 1,1tan cos αααα+=+= （2）商数关系： sin tan cos α αα= （用于切化弦） ※平方关系一般为隐含条件，直接运用。注意“1”的代换 4.三角函数的诱导公式 诱导公式（把角写成α π±2k 形式，利用口诀：奇变偶不变，符号看象限） Ⅰ）?????=+=+=+x x k x x k x x k tan )2tan(cos )2cos(sin )2sin(πππ Ⅱ）?????-=-=--=-x x x x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin( Ⅲ） ?????=+-=+-=+x x x x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin(πππ Ⅳ）?????-=--=-=-x x x x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin(πππ Ⅴ）???????=-=-ααπααπsin )2cos(cos )2sin( Ⅵ）???????-=+=+ααπααπsin )2cos(cos )2sin(

解三角形专题题型归纳

《解三角形》知识点、题型与方法归纳 1．正弦定理及其变形 2(sin sin sin a b c R R A B C ===为三角形外接圆半径） 变式：12sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===（）(边化角公式） 2sin ,sin ,sin 222a b c A B C R R R ===（）(角化边公式） 3::sin :sin :sin a b c A B C =（） sin sin sin (4),,sin sin sin a A a A b B b B c C c C === 2．正弦定理适用情况： （1）已知两角及任一边； （2）已知两边和一边的对角（需要判断三角形解的情况）. 3．余弦定理及其推论 2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c a b ab C =+-=+-=+- 222 222 222 cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac a b c C ab +-= +-=+-= 4．余弦定理适用情况： （1）已知两边及夹角； （2）已知三边. 注．解三角形或判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化(这也是正余弦定理的作用)，统一成边的形式或角的形式. 5．常用的三角形面积公式 （1）高底??= ?2 1ABC S ； （2）()111=sin sin sin 2224abc S ab C ac B bc A R ABC R ===?为外接圆半径 （两边夹一角）； 6．三角形中常用结论 （1）,,(a b c b c a a c b +>+>+>即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边） （2）sin sin (ABC A B a b A B ?>?>?>在中，即大边对大角，大角对大边） （3）在ABC ?中，A B C π++=，所以 ①()sin sin A B C +=；②()cos cos A B C +=-； ③()tan tan A B C +=-；④sin cos ,22A B C +=⑤cos sin 22A B C += 解三角形有用的结论

(完整版)人教版七年级数学三角形知识点归纳和常见题型总结,推荐文档

教案 学生姓名：授课教师：所授科目：初中数学学生年级：七年级课次： 课时：上课时间： 教学内容 三角形知识点归纳和常见题型总结 7.1与三角形有关的线段 7.1.1三角形的边 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。相邻两边组成的角，叫做三角形的内角，简称三角形的角。 顶点是A、B、C的三角形，记作“△ABC”，读作“三角形ABC”。 三角形两边的和大于第三边,三角形两边的差小于第三边. 7.1.2三角形的高、中线和角平分线(等腰三角形的高中线角平分线所具有的特殊特征?) 7.1.3三角形的稳定性 三角形具有稳定性。 常见题型 1．如果三角形有两边的长分别为5a，3a，则第三边x必须满足的条件是； 2．等腰三角形一边等于2，另一边等于5，则周长是； 3．一个等腰三角形底边的长为5cm，一腰上的中线把其周长分成的两部分的差为3cm，则腰长为 ……………………………………………………………………………（）（A）2cm （B）8cm （C）2cm或8cm （D）10cm 4．已知三角形的一边为5cm,另一边为7cm，则第三边得取值范围为。 5.如果线段a，b，c能组成三角形，那么，它们的长度比可能是 （） A、1∶2∶4 B、1∶3∶4 C、3∶4∶7 D、2∶3∶4 6.如果三角形的两边分别为7和2，且它的周长为偶数，那么第三边的长为 （） A、5 B、6 C、7 D、8 7.一个三角形的三边之比为2∶3∶4，周长为36cm，求此三角形三边的长。 8.已知：△ABC的周长为48cm，最大边与最小边之差为14cm，另一边与最小边之和为25cm，求：△ABC的各边的长。

三角函数及解三角形知识点总结

三角函数及解三角形知识点 总结 -标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII

1. 任意角的三角函数的定义：设α是任意一个角，P (,)x y 是α的终边上的任意 一点（异于原点），它与原点的距离是0r =>，那么 sin ,cos y x r r αα= =，()tan ,0y x x α=≠ 三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P 的位置无关。 2.三角函数在各象限的符号： （一全二正弦，三切四余弦） ＋ ＋ － ＋ － ＋ － － － ＋ ＋ － sin α cos α tan α 3. 同角三角函数的基本关系式： （1）平方关系：22221 sin cos 1,1tan cos αααα +=+= （2）商数关系：sin tan cos α αα = （用于切化弦） ※平方关系一般为隐含条件，直接运用。注意“1”的代换 4.三角函数的诱导公式 诱导公式（把角写成 απ ±2 k 形式，利用口诀：奇变偶不变，符号看象限） Ⅰ）??? ??=+=+=+x x k x x k x x k tan )2tan(cos )2cos(sin )2sin(πππ Ⅱ）?????-=-=--=-x x x x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin( Ⅲ） ?? ???=+-=+-=+x x x x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin(πππ Ⅳ）?????-=--=-=-x x x x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin(πππ Ⅴ）???????=-=-ααπααπsin )2cos(cos )2sin( Ⅵ）??? ????-=+=+α απααπsin )2cos(cos )2sin(

【高中数学】解三角形的知识总结和题型归纳

解三角形的知识总结和题型归纳 一、知识必备： 1．直角三角形中各元素间的关系： 在△ABC 中，C ＝90°，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a 。（1）三边之间的关系：a 2＋b 2＝c 2。（勾股定理）（2）锐角之间的关系：A ＋B ＝90°；（3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义） sin A ＝cos B ＝c a ，cos A ＝sin B ＝c b ，tan A ＝b a 。 2．斜三角形中各元素间的关系： 在△ABC 中，A 、B 、C 为其内角，a 、b 、c 分别表示A 、B 、C 的对边。（1）三角形内角和：A ＋B ＋C ＝π。 （2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等 R C c B b A a 2sin sin sin ===（R 为外接圆半径）（3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ；b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ；c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 。 3．三角形的面积公式： （1）?S ＝ 21ah a ＝21bh b ＝21 ch c （h a 、h b 、h c 分别表示a 、b 、c 上的高）；（2）?S ＝21ab sin C ＝21bc sin A ＝2 1 ac sin B ； 4．解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边）求其他未知元素的问题叫做解三角形．广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面 【高中数学】