17.2直角三角形
迁西三中八年级数学学教案
姓名学号班级
课题17.2直角三角形课型新授时间2013.12.9 审核八年级数学教师主备人金翠新课时第1课时
学习目标1.探索并掌握直角三角形两个锐角互余。
2.掌握有两个角互余的三角形是直角三角形
3.探索并掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
重点难点重点：直角三角形的性质定理和判定定理
难点：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半性质定理的推出过程
教学
方法
和谐互助教具多媒体
学习过程
预习交流
预习课本147-148页：
1. 叫做直角三角形
2.直角三角形可用符号“”表示，如，直角三角形ABC可以表示为
“”.
3.直角三角形的性质定理：
①直角三角形的两个锐角.
②直角三角形斜边上的中线等于.
③在直角三角形中，30°角所对的直角边等于.
4.直角三角形的判定定理：如果一个三角形的两个角互余，那么这个三角形
是.
互助探究
互助探究一:直角三角形的两个锐角关系.
直角三角形的两个锐角互余
已知:
求证:
证明：
小结：直角三角形的两个锐角.
跟踪训练一：
1.等腰直角三角形的两个锐角的度数分别为.
2.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=4∠B，则∠A= ，∠B= .
3.已知：如图，在△ABC中，AD,BE分别是边BC，AC上的高，AD,BE相交于点
F，AE=BE.
求证：△AEF≌△BEC
互助探究二：直角三角形的判定定理
如果一个三角形的两个角互余，那么这个三角形是直角三角形.
已知:
求证:
证明：
小结：如果一个三角形的两个角互余，那么这个三角形是.
跟踪训练二：
如图，AD与BC相交于点O，AB∥CD，若∠B＝30°，∠D＝60°．
则△AOB是三角形．
互助探究三：直角三角形斜边上的中线与斜边的关系.
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
在一张半透明的纸上画出Rt△ABC，∠C=90°，如图（1）；将∠B折叠，使点B与点C重合，折痕为EF，沿BE画出虚线CE，如图（2）；将纸展开，如图（3）
（1）∠ECF ∠B，EC EB （填＞= ＜）
（2）∵∠A+∠B=∠ACB,∠ACE+∠ECF=∠ACB，∴∠ACE= ∴AE= ，∴AE= = ，即CE是AB的中线，且CE= AB 即：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
下面就来证明上面的“发现”
已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD为斜边AB上的中线.
求证：CD=1
2
AB
证明：
小结：直角三角形斜边上的中线等于.
跟踪训练三：
已知：如图，在△ABC中，BD,CE分别是边AC,AB上的高，
点F在BC上，BF=CF.
求证：△DEF是等腰三角形.
互助探究四：含30°角的直角三角形的边的关系.
在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半已知:
求证:
证明：
小结:在直角三角形中，30°角所对的直角边等于
跟踪训练四：
已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是边AB上的高，∠A=30°.
求证：BD= 1
4
AB
互助提高
已知：如图，∠BAC=∠BDC=90°，点E在BC上，点F在AD上，BE=EC,AF=FD.
求证：EF⊥AD.
归纳总结
谈谈本节课你的收获.
布置作业
课本149页习题B组1题.
反思：
当堂检测
1.若直角三角形的一个锐角为20°，则另一个锐角等于．
2.如图，点B、C、D在同一条直线上，CE∥AB，∠ACB=90°，如果∠ECD=36°，
那么∠A=．
3.如图，在直角△ABC中，∠C=90°，∠CAB的平分线AD交BC于D，若DE垂
直平分AB，求∠B的度数．
2015年人教版28.2_解直角三角形(二)(三)提高训练(含答案)
28.2 解直角三角形（二） 1.如图1，在△ABC中,∠C=90°,点D在BC上，CD=3，AD=BC,且cos∠ADC=3/5，则BD的长是 ( ) A.4 B.3 C.2 D.1 a 图1 图２图3 图4 2，图2在离地面高度5 m处引拉线固定电线杆，拉线与地面成60°角，则AC=____，AD=____.（用根号表示） 3.如图3，初三年级某同学要测量校园内的旗杆AB的高度.在地面上C点用测角仪测得旗杆顶A 点的仰角为∠AFE=60°，再沿着直线BC后退8米到D，在D点又测得旗杆顶A的仰角∠AGE=45°.已知测角仪的高度为1.6米，求旗杆AB的高度.（3的近似值取1.7，结果保留1位小数） 4.如图4，在比水面高2 m的A地，观测河对岸有一直立树BC的顶部B的仰角为30°，它在水中的倒影B′C顶部B′的俯角是45°，求树高BC.（结果保留根号） 5.如图5，两建筑物的水平距离为a米，从A点测得D点的俯角为α，测得C点的俯角为β，则较低建筑物CD的高度为( ) A.a B.atanα C.a(s inα－cosα) D.a(tanβ－tanα) 图5 图6 图7 图8 6.有人说，数学家就是不用爬树或把树砍倒就能够知道树高的人.小敏想知道校园内一棵大树的高度（如图6），他测得CB=10米，∠ACB=50°，请你帮他算出树高AB,约为________________米. （注：①树垂直于地面；②供选用数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.2）7.如图7，塔AB和楼CD的水平距离为80米，从楼顶C处及楼底D处测得塔顶A的仰角分别是45°和60°.求塔高与楼高.（精确到0.01米）（参考数据2=1.414 21，3=1.732 05） 8.如图8,某船向正东方向航行,在A处望见某岛C在北偏东60°方向，前进6海里到B点，测得该岛在北偏东30°方向.已知该岛周围6海里内有暗礁,若该船继续向东航行,有无触礁危险?请说明理由.(参考数据:3≈1.732) 9.如图9，武当山风景管理区，为提高游客到某景点的安全性，决定将到达该景点的步行台阶进行改善，把倾角由44°减至32°，已知原台阶AB的长为5米（BC所在地面为水平面）. （1）改善后的台阶会加长多少？（2）改善后的台阶多占多长一段地面？（精确到0.01米）(sin44°= 0.6946 ,sin32°)= 0.5299, tan32° = 0.6248) 图9 10.如图10,某海关缉私艇巡逻到达A处时接到情报，在A处北偏西60°方向的B处发现一艘可疑船只正以24海里/时的速度向正东方向前进，上级命令要对可疑船只进行检查，该艇立即沿北偏西45°的方向快速前进，经过1个小时的航行，恰好在C处截住可疑船只，求该艇的速度. (结果保留整数,6=2.449,3=1.732,2=1.414) 图 10
2直角三角形(一)
第一章 三角形的证明 2.直角三角形（一） 【学习目标】 （1）掌握直角三角形的性质定理（勾股定理）及判定定理的证明方法，并能应用定理解决与直角三角形有关的问题。 （2）结合具体例子了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，知道原命题成立，其逆命题不一定成立． 【学习过程】 一．认真思考（课堂互动） 1.复习引入 问题1.直角三角形的两锐角有怎样的关系？为什么？ 问题2.如果一个三角形有两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形吗？ 结论：1. 2. 教材中曾利用数方格和割补图形的方法得到了勾股定理．如果利用公理及由其推导出的定理，能够证明勾股定理吗? 请同学们打开课本P18，阅读“读一读”，了解一下利用教科书给出的公理和推导出的定理，证明勾股定理的方法． 2.探究直角三角形勾股定理及其逆定理 （一）勾股定理及其逆定理的证明． 勾股定理：在直角三角形中,两直角边的平方和等于斜边的平方. 已知：如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ． 求证：a 2+b 2＝c 2． 证明： 反过来，如果在一个三角形中，当两边的平方和等于第三边的平方时，我们曾用度量的方法得出“这个三角形是直角三角形”的结论．你能证明此结论吗? 师生共同来完成． 已知：如图：在△ABC 中，AB 2+AC 2＝BC 2 求证：△ABC 是直角三角形． （分析：要从边的关系，推出∠A ＝90°是不容易的，如果能借助于△ABC 与一个直角三角形全等，而得到∠A 与对应角(构造的三角形的直角)相等，可证．） 证明： 勾股逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形． （二）．互逆命题和互逆定理． 观察下面各组命题，它们的条件和结论之间有怎样的关系? （1）直角三角形两锐角互余； 如果一个三角形有两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形 （2）在直角三角形中,两直角边的平方和等于斜边的平方. 如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形． (3)两直线平行，内错角相等; 内错角相等，两直线平行 C A B C A B
(完整版)解直角三角形超经典例题讲解
课 题 解直角三角形 授课时间： 备课时间： 教学目标 1. 了解勾股定理 2. 了解三角函数的概念 3. 学会解直角三角形 重点、难点 三角函数的应用及解直角三角形 考点及考试要求 各考点 教学方法：讲授法 教学内容 （一）知识点（概念）梳理 考点一、直角三角形的性质 1、直角三角形的两个锐角互余 可表示如下：∠C=90°?∠A+∠B=90° 2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。 ∠A=30° 可表示如下： ?BC= 2 1AB ∠C=90° 3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 ∠ACB=90° 可表示如下： ?CD=2 1 AB=BD=AD D 为AB 的中点 4、勾股定理 直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即2 2 2 c b a =+ 5、摄影定理 在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的摄影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的摄影和斜边的比例中项 ∠ACB=90° BD AD CD ?=2 ? AB AD AC ?=2 CD ⊥AB AB BD BC ?=2 6、常用关系式 由三角形面积公式可得： AB ?CD=AC ?BC 7.图中角α可以看作是点A 的 角 也可看作是点B 的 角； （1）
9、（1）坡度（或坡比）是坡面的 铅直 高度（h ）和水平长度（l ）的比。 记作i,即i = l h ； （2）坡角——坡面与水平面的夹角。记作α，有i ＝l h =tan α （3）坡度与坡角的关系：坡度越大，坡角α就越 大 ，坡面就越 陡 考点二、直角三角形的判定 1、有一个角是直角的三角形是直角三角形。 2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 3、勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系2 2 2 c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。 考点三、锐角三角函数的概念 1、如图，在△ABC 中，∠C=90° ①锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记为sinA ，即 c a sin =∠= 斜边的对边A A ②锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记为cosA ，即 c b cos =∠= 斜边的邻边A A ③锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记为tanA ，即 b a tan =∠∠= 的邻边的对边A A A ④锐角A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切，记为cotA ，即a b cot =∠∠=的对边的邻边A A A 2、锐角三角函数的概念 锐角A 的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A 的锐角三角函数 3、一些特殊角的三角函数值 三角函数 0° 30° 45° 60° 90° sinα 21 22 23 1 cos α 1 23 2 2 21 0 tan α 0 33 1 3 不存在 cot α 不存在 3 1 3 3 0 4、各锐角三角函数之间的关系 （1）互余关系 sinA=cos(90°—A)，cosA=sin(90°—A) tanA=cot(90°—A)，cotA=tan(90°—A) （2）平方关系 1cos sin 22=+A A （3）倒数关系 tanA ?tan(90°—A)=1
解直角三角形练习题
解直角三角形练习 一、耐心填一填 1．如图1，某车间的人字屋架为等腰三角形，跨度14AB =米，CD 为中柱，则上弦AC 的长是________米（用A ∠的三角函数表示）． 2．如图2，在菱形ABCD 中，AE BC ⊥于E ，1EC =，5cos 13B =，则这个菱形的面积是________． 3．计算：22sin 302sin 60tan 45tan 60cos 30++-+= ________． 4．如图3，测量队为了测量某地区山顶P 的海拔高度，选择M 点 作为观测点，从M 点测得山顶P 的仰角为30°，在比例尺为1∶ 50000的该地区等高线地形图上，量得这两点间的图上距离为3cm ， 则山顶P 的海拔高度约为________m ．（取3 1.732≈）． 5．已知ABC △中，90C ∠=，A B C ∠∠∠，，所对的边分别是a b c ，，，且3c a =，则cos A =________． 二、精心选一选 6．在ABC △中，90C ∠=，若2B A ∠=∠，则cos A 等于（ ） Ａ．3 Ｂ．32 Ｃ．12 Ｄ．23 7．在ABC △中，90C ∠=，AC BC =，则sin A 的值等于（ ） Ａ．12 Ｂ．22 Ｃ．32 Ｄ．1 8．ABC △中，90C ∠=，3sin 5A = ，则:BC AC 等于（ ） Ａ．3:4 Ｂ．4:3 Ｃ．3:5 Ｄ．4:5 9．如图4，Rt ABC △中，90C ∠=，D 为BC 上一点，30DAC ∠=， 2BD =，23AB =，则AC 的长是（ ） Ａ．3 Ｂ．22 Ｃ．3 Ｄ．332 10．Rt ABC △中，90C ∠=，:3:4a b =，运用计算器计算，A ∠的度数（精确到1°）
(完整版)初中解直角三角形练习题
解直角三角形练习题 一、 真空题： 1、 在Rt △ABC 中，∠B ＝900，AB ＝3，BC ＝4，则sinA= 2、 在Rt △ABC 中，∠C ＝900，AB ＝,35cm BC cm = 则SinA= cosA= 3、 Rt △ABC 中，∠C ＝900，SinA=5 4 ,AB=10,则BC ＝ 4、α是锐角，若sin α=cos150,则α＝ 若sin53018\=0.8018，则cos36042\= 5、 ∠B 为锐角，且2cosB －1＝0则∠B ＝ 6、在△ABC 中，∠C ＝900，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ，a ＝9，b ＝12，则sinA= sinB= 7、 Rt △ABC 中，∠C ＝900，tanA=0.5,则cotA= 8、 在Rt △ABC 中，∠C ＝900，若b a 32=则tanA= 9．等腰三角形中，腰长为5cm ，底边长8cm ，则它的底角的正切值是 10、若∠A 为锐角，且tan 2A+2tanA －3＝0则∠A ＝ 11、Rt △ABC 中，∠A ＝600，c=8，则a ＝ ，b ＝ 12、在△ABC 中，若32=c ,b ＝3，则tanB= ,面积S ＝ 13、在△ABC 中，AC ：BC ＝1：3，AB ＝6，∠B ＝ ，AC ＝ BC ＝ 14、在△ABC 中，∠B ＝900，AC 边上的中线BD ＝5，AB ＝8，则tanACB=
二、选择题 1、在Rt △ABC 中，各边的长度都扩大2倍，那么锐角A 的正弦、余弦值 （ ） A 、都扩大2倍 B 、都扩大4倍 C 、没有变化 D 、都缩小一半 2、若∠A 为锐角，且cotA ＜3，则∠A （ ） A 、小于300 B 、大于300 C 、大于450且小于600 D 、大于600 3、在Rt △ABC 中，已知a 边及∠A ，则斜边应为 （ ） A 、asinA B 、 A a sin C 、acosA D 、A a cos 4、等腰三角形底边与底边上的高的比是2：3，则顶角为（ ） A 、600 B 、900 C 、1200 D 、1500 5、在△ABC 中，A ，B 为锐角，且有sinA ＝cosB ，则这个三角形是（ ） A 、等腰三角形 B 、直角三角形 C 、钝角三角形 D 、锐角三角形 6、有一个角是300的直角三角形，斜边为1cm ，则斜边上的高为（ ） A 、41cm B 、21cm C 、43cm D 、2 3 cm
解直角三角形提高练习题1(含答案)
解直角三角形练习题1 一. 选择题：（每小题2分，共20分） 1. 在△EFG 中，∠G=90°，EG=6，EF=10，则tanE=（ ） A. 43 B. 34 C. 53 D. 3 5 2. 在△ABC 中，∠A=105°，∠B=45°，tanC 的值是（ ） A. 2 1 B. 33 C. 1 D. 3 3. 在△ABC 中，若2 2cos =A ，3tan =B ，则这个三角形一定是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角 形 D. 等腰三角形 4. 如图18，在△EFG 中，∠EFG=90°，FH ⊥EG ，下面等式中，错误的是（ ） A. EG EF G = sin B. EF EH G = sin C. FG GH G = sin D. FG FH G = sin 5. sin65°与cos26°之间的关系为（ ） A. sin65°
证明(二)之直角三角形
第三课时：直角三角形的证明 [知识要点] 1、勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，即2 2 2 b a c +=（c 为斜边）. 2、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a 、b 、c 有关系：2 22c b a =+，那么这 个三角形是直角 三角形，且c 边所对的角为直角． 3、在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 4、“HL ”公理作用：判定两个直角三形全等． [典型例题] 例1 如图，在Rt △DBC 中，∠C=900，∠A=300，BD 是∠ABC 的平分线，AD=20，求BC 的长。 例2 如图所示，在ABC ?中，AD 是它的角平分线，且BD=CD ，DE ，DF 分别垂直于AB 、 AC ，垂足为 E 、 F ．求证：EB=FC ． 例3 如图，在等腰直角三角形ABC 中，90=∠C o，D 是斜边AB 上任一点，AE ⊥CD 于E ，BF ⊥CD 并交CD 的延长线于F ，CH ⊥AB 于H ，交AE 于G ．求证： A B C E F D A B D C
[经典练习] 1、满足下述条件的三角形中，不是直角三角形的是（ ）. A 、三内角之比为1：2：3 B.三边之比为 C 、三边长为41,40,9 D. ,8 2、不能判定两个直角三角形全等的方法是（ ） A ．两个直角边对应相等． B ．斜边和一锐角对应相等 C ．斜边和一条直角边对应相等 D ．面积相等 3、如图1所示，ABC ?中AB=AC ，BD ⊥AC 于D ，CE ⊥AB 于E ，BD 和CE 交于O ，AO 的延长线交 BC 于F ，则图中全等直角三角形的对数为（ ） A ．3对 B ．4对 C ．5对 D ．6对 4、如图2所示，在ABC ?中，MD 垂直平分AB 于M ，交BC 于D ，N E 垂直平分AC 于N ，交BC 于E ， 若θ=∠BAC ，则∠DAE 等于（ ） A ．2θ B ．180 o－2 θ C ．-θ290o D ．-θ2180o o 5,、如图5, Rt △ABC 中,AC=6cm,BC=8cm,将此三角形折叠,使直角边AC 落在斜边AB 上,点C 与点D 重合, 折痕为AE,则BE 的长为( )。 6、如图7,直线L 过正方形ABCD 的顶点B,点A 、C 到直线L 的距离分别是1和2，则正方形的边长是 。 图5 图6 7、点A 、E 、F 、C 在一条直线上，AE=CF ，过点E 、F 分别作DE ⊥AC ，BF ⊥AC ，若AB=CD 。 （1）求证：BD 平分EF A B C E F D 图1 A B C 图2 A D C E D L A C B M N B A C E F G
解直角三角形练习题及答案
解直角三角形 一、选择题 1、如图，已知正方形ABCD 的边长为2，如果将线段BD 绕着点B 旋转后，点D 落在CB 的延长线上的D ′处，那么tan ∠BAD ′等于（ ） (A)．1 (B)．2 (C)．22 (D)．22 2、如果α是锐角，且54 cos =α，那么αsin 的值是（ ）． （A ）259 （B ） 54 （C ）53 （D ）2516 3、等腰三角形底边长为10㎝，周长为36cm ，那么底角的余弦等于（ ）． （A ）513 （B ）12 13 （C ）1013 （D ）5 12 4、. 以下不能构成三角形三边长的数组是 ( ) （A ）（1，3，2） （B ）（3，4，5） （C ）（3，4，5） （D ）（32，42，52） 5、在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，下列式子中正确的是（ ）． （A ）B A sin sin = （B ）B A cos sin = （C ）B A tan tan = （D ）B A cot cot = 6、在矩形ABCD 中，DE ⊥AC 于E ，设∠ADE=α，且53 cos =α, AB = 4, 则AD 的长为（ ）． （A ）3 （B ）316 （C ）320 （D ）516 7、某市在“旧城改造”中计划在一 块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美 化环境，已知这种草皮每平方米a 元，则购买这种草皮至少要（ ）． （A ）450a 元 （B ）225a 元 （C ）150a 元 （D ）300a 元 8、已知α为锐角，tan （90°－α）=3，则α的度数为（ ） （A ）30° （B ）45° （C ）60° （D ）75° 9、在△ABC 中，∠C =90°，BC =5，AB =13，则sin A 的值是( ) （A ）135 （B ）1312 （C ）125 （D ）512 10、如果∠a 是等边三角形的一个内角，那么cos a 的值等于（ ）．
人教版九年级数学第二十八章第2节《解直角三角形及其应用》提高训练 (22)(有解析)
第二十八章第2节《解直角三角形及其应用》提高训练 (22) 一、单选题 1．如图，斜坡AP 的坡比为1∶2.4，在坡顶A 处的同一水平面上有一座高楼BC ，在斜坡底P 处测得该楼顶B 的仰角为45°，在坡顶A 处测得该楼顶B 的仰角为76°，楼高BC 为18m ，则斜坡AP 长度约为（点P 、A 、B 、C 、Q 在同一个平面内，sin760.97≈，cos760.22≈，tan76 4.5≈）（ ） A ．30m B ．28m C ．26m D ．24m 2．如图，在正方形方格纸中，每个小方格边长为1，A ，B ，C ，D 都在格点处，AB 与CD 相交于点O ，则sin ∠BOD 的值等于（ ） A B C D 二、填空题 3．先将一矩形ABCD 置于直角坐标系中，使点A 与坐标系的原点重合，边AB ，AD 分别落在x 轴、y 轴上（如图1），再将此矩形在坐标平面内按逆时针方向绕原点旋转30°（如图2），若4AB =， 3BC =，则图1和图2中点B 点的坐标为_________，点C 的坐标_________．
4．如图，在Rt ABC ?中，90ABC ∠=?，3AB =，5AC =，ABC ∠和ACB ∠的平分线相交于点D ，过点D 作//DE AC 交BC 于点E ，那么DE 的长为________． 5．如图，射线OC 与x 轴正半轴的夹角为30°，点A 是OC 上一点，AH ⊥x 轴于H ，将△AOH 绕着点O 逆时针旋转90°后，到达△DOB 的位置，再将△DOB 沿着y 轴翻折到△GOB 的位置，若点G 恰好在抛物线y ＝x 2(x ＞0)上，则点A 的坐标为_________． 6．如图，在平面直角坐标系中，等边111A B C △，等边222A B C △，等边333A B C △， ……中11A B ，22A B ，33A B ，……平行于x 轴，点1C ，2C ，3C ，……在y 轴正半轴上，三边垂直平分线的交点在原点， 11A B ，22A B ，33A B ，…………以此类推， 则等边202020202020 A B C △的顶点2020A 的坐标为___．
解直角三角形知识点及典型例题
解直角三角形 本章知识结构梳理 一、锐角三角函数 1、梯子越陡——倾斜角＿＿＿＿＿ 倾斜角越大——铅直高度与梯子的比＿＿＿＿＿ 倾斜角越大——水平宽度与梯子的比＿＿＿＿＿ 倾斜角越大——铅直高度与水平宽度的比＿＿＿＿ 2、直角三角形AB 1C 1 和直角三角形ABC 有什么关系? 边之间的关系呢？ 3、三角函数定义： 注意：sinA ，cosA ，tanA 都是一个完整的符号，单独的sin ，cos ，tan 是没有意义的，其中A 前面的“∠”一般省略不写 例1、把Rt △ABC 各边的长度都扩大3倍得Rt △A ′B ′C ′，那么锐角A ，A ′的余弦值的关系为（ ） A ．cosA=cosA ′ B ．cosA=3cosA ′ C ．3cosA=cosA ′ D ．不能确定 例2、在△ABC 中，∠C=90°，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别是a ，b ，c ，则下列各项中正确的是（ ） A ．a=c ·sin B B ．a=c ·cosB C ．a=c ·tanB D ．以上均不正确 例3、在Rt △ABC 中，∠C=90°，cosA= 23 ，则tanB 等于（ ） 锐角三角函数 1锐角三角函数的定义 ⑴、正弦； ⑵、余弦； ⑶、正切。 2、30°、45°、60°特殊角的三角函数值。 3、各锐角三角函数间关系 ⑴、定义； ⑵、直角三角形的依据 ⑶、解直角三角形的应用。 ①、三边间关系； ②、锐角间关系； ③、边角间关系。
A ． 35 B ．3 C ．2 5 D ． 2 例4、已知：α是锐角，tan α= 7 24 ，则sin α=_____，cos α=_______． 4、取值范围：0＜sinA ＜1，0＜cosA ＜1，tanA ＞0 解直角三角形的知识在生活和生产中有广泛的应用，如在测量高度、距离、角度，确定方案时常用到解直角三角形。解这类题关键是把实际问题转化为数学问题，常通过作辅助线构造直角三角形来解决。 坡度（坡比） 方向角度 俯角仰角 例6、如图，在四边形ABCD 中，∠A=60°，∠B=∠D=90°，BC=2，CD=3，求AB ?的值． 例7、如图，∠C=90°，∠DBC=30°，AB=BD ，根据此图求tan15°的值．
解直角三角形2
s§28.2 《解直角三角形2》师生共用讲学稿 班级：_____ 学号： ________ 姓名：___________ 年级：九年级 学科：数学 主备人： 杨璇 主审人： 内容：解直角三角形 第二课时 课型： 新授课 时间： 年 月 日 学习目标 ： 解直角三角形与仰角、俯角等知识相结合，解决实际问题。 自学重点：构建数学模型 自学难点：将某些实际问题中的数量关系归结为直角三角形中的边角关系。 一.课前训练: 1.如图6-27，在离地面高度5米处引拉线固定电线杆，拉线和地面成60°角，求拉线AC 的长以及拉线下端点A 与杆底D 的距离AD(精确到0.01米 )． 分析：请审题：因为电线杆与地面应是垂直的，那么图6-27中△ACD 是直角三角形．其中CD=5m ，∠CAD=60°，求AD 、AC 的长． 2.燕尾槽的横断面是等腰梯形，图6-26是一燕尾槽的横断面，其中燕尾角B 是55°，外口宽AD 是180mm ，燕尾槽的深度是70mm ，求它的里口宽BC(精确到1mm)． Sina55°≈0.82,cos55°≈0.57,tan55°≈1.43,cot55°≈0.70. 分析：将上述问题转化为数学问题；等腰梯形ABCD 中，上底AD=180mm ，高AE=70mm ，∠B=55°，求下底BC ． 二．请大家自学教材第92页的例4 1.用解直角三角形的的知识解决实际问题时，要善于将某些实际问题中的数量关 系归结为直角三角形中的边角关系（即构建数学模型：直角三角形） 2．仰角和俯角：如图，在测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫______;从上向下看,视线与水平线的夹角叫____________. 俯角仰角视线水平线 视线 注意：仰角和俯角是相对的，关键是看视线和水平线的位置。 3.解直角三角形的应用的一般步骤:
三角形的证明练习题
1．等腰三角形 一、主要知识点 1、证明三角形全等的判定方法(SSS,SAS,ASA,AAS,证直角三角形全等除上述外还有HL)及全等三角形的性 质是对应边相等，对应角相等。 2、等腰三角形的有关知识点。 等边对等角；等角对等边；等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。（三线合一） 3、等边三角形的有关知识点。 判定：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形； 三条边都相等的三角形是等边三角形； 三个角都是60°的三角形是等边三角形； 有两个叫是60°的三角形是等边三角形。 性质：等边三角形的三边相等，三个角都是60°。 4、反证法：先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果，从 而证明命题的结论一定成立。这种证明方法称为反证法 2．直角三角形 一、主要知识点 1、直角三角形的有关知识。 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方； 如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形； 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半； 在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。 2、互逆命题、互逆定理 在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题. 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理. 3.线段的垂直平分线 4.角平分线 一、主要知识点 1、线段的垂直平分线。 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等； 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。 2、角平分线。 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。 三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。 3、逆命题、互逆命题的概念及反证法 如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题。
中考数学专题特训 解直角三角形(含详细参考答案)
中考数学专题复习解直角三角形 【基础知识回顾】 一、锐角三角函数定义： 在RE△ABC中，∠C=900, ∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，则∠A的正弦可表示为：sinA= ，∠A的余弦可表示为CBA= ∠A的正切：tanA= ，它们弦称为∠A的锐角三角函数 【提醒：1、sinA、∠cosA、tanA表示的是一个整体，是两条线段的比，没有，这些比值只与有关，与直角三角形的无关 2、取值范围
sinB cosB tanB 【提醒：解直角三角形中已知的两个元素应至少有一个是 当没有直角三角形时应注意构造直角三角形，再利用相应的边角关系解决】 3、解直角三角形应用中的有关概念 ⑴仰角和俯角：如图：在用上标上仰角和俯角 ⑵坡度坡角：如图： 斜坡AB的垂直度H和水平宽度L的比叫做坡度，用i表示，即i=坡面与水平面得 夹角为用字母α表示，则i=h l = ⑶方位角：是指南北方向线与目标方向所成的小于900的水平角 如图：OA表示OB表示 OC表示（也可称西南方向） 3、利用解直角三角形知识解决实际问题的一般步骤： ⑴把实际问题抓化为数字问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题） ⑵根据条件特点选取合适的锐角三角函数去解直角三角形 ⑶解数学问题答案，从而得到实际问题的答案 【提醒：在解直角三角形实际应用中，先构造符合题意的三角形，解题的关键是弄清在哪个直角三角形中用多少度角的哪种锐角三角函数解决】 【重点考点例析】 考点一：锐角三角函数的概念 例1 （2012?内江）如图所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为（） A．1 2 B． 5 5 C． 10 10 D． 25 5 思路分析：利用网格构造直角三角形，根据锐角三角函数的定义解答．解：如图：连接CD交AB于O， 根据网格的特点，CD⊥AB，
九年级数学解直角三角形专题训练
专题复习《解直角三角形》提高测试 一 选择题（本题15分，每小题3分）： 1．下列相等、不等关系中，成立的 是…………………………………………………（ ） （A ）sin 60°＞cos 30°，tan 30°＜cot 60° （B ）sin 60°＞cos 30°，tan 30°＞cot 60° （C ）sin 60°－cos 30°＝tan 30°－cot 60°＝0 （D ）sin 260°＋cos 230°＝1 ２．? -??-?45cot 230cot 45tan 30sin 的值等于……………………………………………………（ ） （A ）－1－23 （B ）－21 （C ）12 323- （D ）1＋23 ３．当锐角α≤45°时，角α的正切和余切值的大小关系应是……………………（ ） （A ）tan α≤cot α （B ）tan α≥cot α （C ）tan α＝cot α （D ）不确定 ４．在直角三角形中，各边的长度都扩大3倍，则锐角A 的四个三角形函数的值（ ） （A ）也扩大3倍 （B ）缩小为原来的3 1 （C ）都不变 （D ）有的扩大，有的缩小 ５．在三角形ABC 中，C 为直角，sin A ＝3 2，则tan B 的值为…………………（ ） （A ） 53 （B ）35 （C ）552 （D ）2 5 答案： １．Ｃ；２．Ｄ；３．Ａ；４．Ｃ；５．Ｄ． 二 填空题（本题20分，每小题4分）： １．已知tan α＝12 5，α是锐角，则sin α＝ ； ２．等于1的三角函数有 ； ３．240cot 40tan 22 -?+?＝ ； ４．cos 2（50°＋α）＋cos 2（40°－α）－tan （30°－α）tan （60°＋α）＝ ；
几何证明-直角三角形
直角三角形全等的判定与直角三角形的性质 【知识精要】 直角三角形全等的判定 1、如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等（简记为H.L ） 2、三角形全等的判定方法：S.S.S, S.A.S, A.S.A, A.A.S, 在直角三角形中仍可用 直角三角形的性质 1、直角三角形的两个锐角互余 2、在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半 3、在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半 4、在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°。 直角三角形中常用的辅助线 1、斜边的中线 2、斜边的高 3、等腰三角形底边中线或地边上的高构造直角三角形。 【精解名题】 例1、有两条高相等的锐角三角形是等腰三角形。 例2、如图，在△ABC 中，AE 平分∠BAC ，DE 垂直平分BC 于点D ，EF ⊥AC ，交AC 的延长线于点F 。求证：AB=AC+2CF. 提示：联结EB 、EC ，作EG ⊥AB 于点G 。 例3、如图，在正方形ABCD 中，E 为AD 的中点，F 是BA 延长线上的一点，AF=2 1AB 。 求证：（1）DF=BE （2）DF ⊥BE
例4、如图，在锐角△ABC中，∠ABC=2∠C，AD⊥BC于点D，E为AC中点，ED的延长线交AB的延长线于点F . 求证：BF=BD 例5、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D、E在AB上，AD=AC，BE=BC。 求证：∠DCE=45° 例6、如图，已知AB=AC，∠A=120°，MN垂直平分AB，交BC于点M，求证：CM=2BM 提示：联结AM 例7、如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，AD//BC，BD=BC。求证：∠DCA=∠DBC
《解直角三角形》典型例题
《解直角三角形》典型例题 例1 在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠B=60°，a=4，解这个三角形． 分析 本题实际上是要求∠A 、b 、c 的值．可根据直角三角形中各元素间的关系解决． 解 （1） ； （2）由a b B = tan ，知 ； （3）由c a B = cos ，知860cos 4 cos =? == B a c ． 说明 此题还可用其他方法求b 和c ． 例 2在Rt △ABC 中, ∠C=90°，∠A=30°，3=b ,解这个三角形． 解法一 ∵ ∴ 设 ,则 由勾股定理,得 ∴ ． ∴ ． 解法二 13 3 330tan =? =?=b a 说明 本题考查含特殊角的直角三角形的解法,它可以用目前所学的解直角三角形的方法,也可以用以前学的性质解题． 例 3 设 中， 于D ，若 ，解三 角形ABC ．
分析“解三角形ABC”就是求出的全部未知元素．本题CD不是 的边，所以应先从Rt入手． 解在Rt中，有： 在Rt中，有 说明（1）应熟练使用三角函数基本关系式的变形，如： （2）平面几何中有关直角三角形的定理也可以结合使用，本例中 “”就是利用“对30°角的直角边等于斜边的一半”这一定理．事实上，还可以用面积公式求出AB的值： 所以解直角三角形问题，应开阔思路，运用多种工具． 例4在中，，求． 分析（1）求三角形的面积一方面可以根据面积公式求出底和底上的高的长，也可以根据其中规则面积的和或差； （2）不是直角三角形，可构造直角三角形求解．
解如图所示，作交CB的延长线于H，于是在Rt△ACH中，有 ，且有 ； 在中，，且 ， ∴； 于是，有 ， 则有 说明还可以这样求：
解直角三角形综合专题
解直角三角形专题 例1、2013年4月20日，四川雅安发生里氏7.0级地震，救援队救援时，利用生命探测仪在某建筑物废墟下方探测到点C处有生命迹象，已知废墟一侧地面上两探测点A、B相距4米，探测线与地面的夹角分别为30°和60°，如图所示，试确定生命所在点C的深度（结果精确到0.1米，参考数据≈1.41，≈1.73） 解： 例2、某居民小区为缓解“停车难”问题，小区物业部门拟建造一个新的地下停车库．设计师提供了该地下停车库设计图（如图）．按规定，地下停车库坡道口上方要张贴限高标志，以便告知停车人车辆能否驶入．为标明限高，请你根据该图计算CD的长（精确到0.1m）。（参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36，cot20°≈2.75）解：
例3、如图，已知斜坡AB长60米，坡角（即∠BAC）为30°，BC⊥AC，现计划在斜坡中点D处挖去部分坡体（用阴影表示）修建一个平行于水平线CA的平台DE和一条新的斜坡BE．（请将下面2小题的结果都精确到0.1米，参考数据：≈1.732）． （1）若修建的斜坡BE的坡角（即∠BEF）不大于45°，则平台DE的长最多为米； （2）一座建筑物GH距离坡角A点27米远（即AG=27米），小明在D点测得建筑物顶部H的仰角（即∠HDM）为30°．点B、C、A、G、H在同一个平面内，点C、A、G在同一条直线上，且HG⊥CG，问建筑物GH高为多少米？ 例4、如图，某工程队准备在山坡（山坡视为直线l）上修路，需要测量山坡的坡度，即tanα的值．测量员在 山坡P处（不计此人身高）观察对面山顶上的一座铁塔，测得塔尖C的仰角为37°，塔底B的仰角为26.6°． 已知塔高BC=80米，塔所在的山高OB=220米，OA=200米，图中的点O、B、C、A、P在同一平面内，求山坡的坡度．（参考数据sin26.6°≈0.45，tan26.6°≈0.50；sin37°≈0.60，tan37°≈0.75） 解：
直角三角形全等的证明及三角形全等提高题
7.如图，在△ABC中，已知D是BC中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，DE＝DF. 求证：AB=AC 8.已知：如图，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC＝DC.你能说明BE与DF相等吗？ 9．已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，∠A=30°.求证:BD=1 4 AB C D F 1 2 A B
10.如图，在△ABC 中，AB =AC ，DE 是过点A 的直线，BD ⊥DE 于D ，CE ⊥DE 于E ． （1）若BC 在DE 的同侧（如图①）且AD =CE ，说明：BA ⊥A C ． （2）若BC 在DE 的两侧（如图②）其他条件不变，问AB 与AC 仍垂直吗？若是请予证明，若不是请说明理由． 1已知：如图，四边形ABCD 中，AC 平分角BAD ，CE 垂直AB 于E ，且角B+角D=180度，求证：AE=AD+BE A B D C E 1 2 2已知，如图，AB=CD ，DF ⊥AC 于F ，BE ⊥AC 于E ，DF=BE 。求证：AF=CE 。 3已知，如图，AB ⊥AC ，AB ＝AC ，AD ⊥AE ，AD ＝AE 。求证：BE ＝CD 。 F E A C D B A E D C B
4如图，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为E 、F ，请你从下面三个条件中任选出两个作为已知条件，另一个为结论，推出一个正确的命题。① AB=AC ② BD=CD ③ BE=CF 7、已知：如图，AB ⊥BC ，AD ⊥DC ，AB=AD ，若E 是AC 上一点。求证：EB=ED 。 D A E C B 8、已知：如图，AB 、CD 交于O 点，CE//DF ，CE=DF ，AE=BF 。求证：∠ACE=∠BDF 。 9. 已知：如图，△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，E 是AD 上一点，BE 的延长线交AC 于F ，若BD=AD ，DE=DC 。求证：BF ⊥AC 。 10. 已知：如图，△ABC 和△A ＇B ＇C ＇中，∠BAC=∠B ＇A ＇C ＇，∠B=∠B ＇，AD 、A ＇D ＇分别是∠BAC 、∠B ＇A ＇C ＇的平分线，且AD=A ＇D ＇。求证：△ABC ≌△A’B’C’。 A B C D E F O A B C D E F A B C D A' B' C' D' 1 2 3 4
(完整版)解直角三角形练习题(三)及答案
解直角三角形 一、 填空题： 1. 若∠A 是锐角，cosA ＝ 2 3 ，则∠A ＝ 。 2. 在△ABC 中，∠C ＝90°，若tanA ＝2 1 ，则sinA ＝ ； 3. 求值：1sin 60cos 4522 ?? ?+2sin30°－tan60°＋cot45=__________。 4. 在倾斜角为30°的山坡上种树，要求相邻两棵树间的水平距离为3米，那么，相邻两棵 树间的斜坡距离为 米。 5. 已知等腰三角形的周长为20，某一内角的余弦值为3 2，那么该 等腰三角形的腰长等于 。 6. 如图：某同学用一个有60°角的直角三角板估测学校旗杆AB 的高度，他将60°角的直角边水平放在1.5米高的支架CD 上，三角板的斜边与旗杆的顶点在同一直线上，他又量得D 、B 的距离为5米，则旗杆AB 的高度约为 米。（精确到1米， 3取1.732） 7. 如图，△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，CE ⊥AB 于E ，且BE ＝2AE ，已知 AD ＝33，tan ∠BCE ＝ 3 3，那么CE ＝ 。 8. 正方形ABCD 的边长为1。如果将线段BD 绕着点B 旋转后，点D 落在BC 延长线上的点D '处，那么tan ∠BA D '＝ 。 二、选择题 1. 在△ABC 中，已知AC ＝3、BC ＝4、AB ＝5，那么下列结论成立的是（ ） A 、SinA ＝ 45 B 、cosA ＝53 C 、tanA ＝43 D 、cotA ＝5 4 2. 在△ABC 中，AB ＝AC ＝3，BC ＝2，则6cosB 等于 （ ） （A ）3 （B ）2 （C ）33 （D ） 32 3. 为测楼房BC 的高，在距楼房30米的A 处，测得楼顶B 的仰角 为α,则楼房BC 的高为（ ） E D C B A 四川03/3 D A B C α
初三数学解直角三角形专题复习
第五讲 解直角三角形 一、【知识梳理】 知识点1、 解直角三角形定义：由直角三角形中已知元素求出未知元素的过程叫解直角三角形。 知识点2、解直角三角形的工具： 1、直角三角形边、角之间的关系： sinA=cosB= c a sinB=cosA=c b tanA=cotB=b a cotA=tanB=a b 2、直角三角形三边之间的关系： 2 2 2 c b a =+（勾股定理） 3、直角三角形锐角之间的关系 ： ?=∠+∠90B A 。（两锐角互为余角） 知识点3、解直角三角形的类型：可以归纳为以下2种， （1）、已知一边和一锐角解直角三角形； （2）、已知两边解直角三角形。 知识点4、解直角三角形应用题的几个名词和素语 1、方位角： 在航海的某些问题中，描述船的航向，或目标对观测点的位置，常用方位角.画方位角时，常以铅直的直线向上的方向指北，而以水平直线向右的方向为东，而以交点为观测点. 2、仰角和俯角 在利用测角仪观察目标时，视线在水平线上方和水平线的夹角称为仰角，视线在水平线下 方和水平线的夹角称为俯角（如图）. 在测量距离、高度时，仰角和俯角常是不可缺少的数据. 3、坡度和坡角： 在筑坝、修路时，常把坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫作坡度（或坡比），用字母i 表示（如图（1）），则有,l h i = 坡面和水平面的夹角叫作坡角.显然有：αtan ==l h i ， 这说明坡度是坡角的正切值，坡角越大，坡度也越大. 二、【典型题例】 考点1、解直角三角形 例1．、1、在ABC ?中，C ∠为直角，A ∠、B ∠、C ∠所对的边分别为c b a 、、． （1）已知3=b ， 30=∠A ，求a 和c ． （2）已知20=a ，20=b ，求A ∠． 2、如图，已知△ABC 中∠B=45°，∠C=30°，BC=10，AD 是BC 边上的高，求AD 的长 3、已知，如图，△ABC 中，∠A=30°，AB=6，CD ⊥AB 交 AB 延长线于D ，∠CBD=60°。 求CD 的长。 考点2、解直角三角形的应用 例2. （2012深圳）小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上；如图，此时测得地面上的影长为8米，坡面上的影长为4米．已知斜坡的坡角为300，同一时 刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，求树的高度 A B C D C A D B
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