直线与圆中的最值问题
直线与圆二、弦长公式: 直线与二次曲线相交所得的弦长
1 直线具有斜率k
,直线与二次曲线的两个交点坐标分别为
A(x
1
, y
1
),B(x
2
, y
2
)
,则它的弦长
k2 x1 x2(1 k2 ) (x1 x2 )2 4x1 x21
AB 11k2y
1
y
2
注 :实质上是由两点间距离公式推导出来的,只是用了交点坐标设而不求的技巧而已(因为y
1
y
2
k (x
1
x
2
)
，运用
韦达定理来进行计算 .
2 当直线斜率不存在是,则AB
y1
y
2 .
三、过两圆 C1: x2 + y2 +D1x +E1y +F1 = 0 和 C2: x2 + y2 +D2x +E2y +F2 = 0 的交点的圆系方程，一般设为
2222
x +y +D1x +E1y +F1+λ(x + y +D2x +E2y+F2) = 0 (λ为参数 )此方程不包括圆 C2.
四、对称问题 1 和最小，化异侧（两边之和大于第三边，三点共线时取等号即最小值）
2差最大，化同侧（两边之差小于第三边，三点共线时取等号即最大值）
例题分析
1、如果实数x, y满足等式( x2)2y2 3 ，
（ 1）求y
的最大值和最小值 ;（2）求y x 的最大值与最小值；（3）求x2y2的最大值与最小值 . x
2、已知两定点 A( 3,5) ， B(2,15)，动点 P 在直线3x
4 y 4 0 上，当
PA
＋
PB
取最小值时，这个
最小值为（）.A．5 13
． 362．15 5
D
．5102
B C
3、已知点A(3,8)
、
B( 2,2)
，点P是x轴上的点，求当
AP PB
最小时的点P的坐标．
【解答】如图示：,考虑代数式的几何意义:
⑴ y 即圆上的点与原点所在直线的斜率.当直线与圆相切时，斜率取得最大值和最小值，即y取得最
x x
大值与最小值；
⑵y x 即过圆上点，且斜率为1的直线
在
y 轴上截距；
⑶x2 y 2即圆上的点到原点距离的平方 . 当点位于圆与 x 轴的左交点时，点到原点的距离最小；当点位于圆与 x 轴的右交点时，点到原点的距离最大 .
解（1）设P(x,y)为圆( x2) 2y2 3 上一点.y
的几何意义为直线OP的斜率，设
y
k ，则直线OP的x x
方程为 y kx .当直线 OP 与圆相切时，斜率取最大值与最小值.
∵圆心到直线 y kx 的距离 d|2k0||2k|，∴当|2k| 3 ，即k 3 时，直线OP与
k 212k 212k 212
圆相切 .∴y
的最大值为 3 ，最小值为 3 . x
（ 2）令y x b ，即 y x b ，求 y x 的最大值与最小值即过圆上点，且斜率为 1的直线在 y 轴上截距的最大值与最小值 .
当直线与圆相切时，截距取得最大值与最小值 .∵圆心到直线y x b 的距离
|20b| |2b| d
12122
∴当|2
b| 3 ，即b62 时，直线OP与圆相切 .∴y x 的最大值为6 2 ，最小值为 6 2 .
2
（ 3）要 x2y2的最大值与最小值，即求圆上的点到原点距离的平方的最大值与最小值.当点位于圆与 x 轴的左交点时，点到原点的距离最小；
当点位于圆与 x 轴的右交点时，点到原点的距离最大；
∵左交点坐标为 (23,0) ，右交点坐标为 (23,0)
∴ x2y2的最大值与最小值分别为 2 3 ， 23
∴ x2y 2的最大值与最小值分别为 74 3 ， 74 3 .
2【分析】先求出点A关于直线3x 4y 40
的对称点A'，连接 A 和B交直线于点P，根据三角形的两边之和
大于第三边可知，此时PA
＋
PB
取值最小，最小值为|
A' B |
.根据两点间的距离公式即可求得最小值。
【解答】如图示：
，设点 A 关于直线
3x 4 y 4
的对称点为
A '
( x, y) ，
y 5 3
x 3 1
4
3(
x
3
) 4(
5 y
) 4
则 2 2
解得
x
3, y
3 即 A'
(3,
3) | A'B|
(2 3)2
(15 3)2
5 13
即
PA
＋
PB
的最小值为 5 13 .
3【分析】先求出点
B 关于 x 轴的对称点 B ' ，连接点 A 和点 B ' 交 x 轴于 P 点，根据三角形的两边之和大于第三边
可知，此时
AP
PB
取值最小，最小值为
| B ' A |
，点 P 的坐标即为 B ' A 与 x 轴交点。
【解答】如图示：
，点 B 关于 x 轴的对称点为
B '
(2, 2) ， B ' A ： 2x y 2 0
B ' A 与 x 轴交点为 P(1,0) 即为所求 .
直线与圆中的最值问题
一、直线与圆的交点问题总是转化成圆心到直线的距离和半径之间的比较，或者是利用方程有解的问题。
例 1、若直线
4x
3y
a
与圆
x 2
y 2
100 (1)相交 (2)相切 (3)相离分别求实数 a 的取值范围
二、圆上一点到直线距离的最值问题总是转化成求圆心到定直线的距离
2
2
y 2 0
的最远、最近的距离
例 2、求圆
x 2
y 34 上的点到 x
练习：求圆 2 2
2 x y 4 0
C: （x -1） （y 1） 上的点与直线的最大值和最小值 .
三、有些最值问题要注意向函数问题转化。
例 3、方程 ax 2 +ay 2－ 4（ a － 1） x+4y=0 表示圆，求 a 的取值范围，并求出其中半径最小的圆的方程
.
四、两个动点的最值问题总是转化成一个一定点到动点的最值问题
例 4、 P 为直线 x
y 4 0上一点， PT 为圆 C ：(x 1)
2
（y
2
2的切线
1） 求切线 PT 的最小值 .
五、抓住式子的几何意义也是我们求最值的方法之一。