人教版高中数学必修4两角差的余弦公式口诀解读

两角差的余弦公式口诀解读

余弦符号两角差，CCSS 分两家，

前面α 后面β ，相应搭配这相加．

此乃是两角差的余弦公式，即cos(α-β) = cosαcosβ+ sinαsinβ；

此公式对初学者来说，往往易与cos(α +β ) 混淆．显然有了歌诀，也就避免了这一点． 类似地，我们也相应地记下公式：

cos(α+β) = cosαcosβ- sinαsinβ；

sin(α+β) = sinαcosβ+ cosαsinβ；

sin(α-β) = sinαcosβ-cosαsinβ；

对于α，β两角和的正切，β

αβαβαtan tan 1tan tan )tan(-+=

+有歌诀：和角正切切切加，1减切切积在下．

例1 已知 5 sinβ= sin(2α+β), 求证：23tan )tan(=+αβα． 证明 ∵ β=α+β– α，且 2α+β = (α+β) + α,

∴ 5 sinβ= 5sin [(α+β) –α] = 5 sin (α+β) cosα-5cos(α+β) sinα．

而 sin(2α+β) = sin[(α+β) +α] = sin(α+β) cos α + cos (α+β) sinα，

∵ 5sin β = sin(2α+β)， ∴ 5sin (α+β)cosα–5cos (α+β)sinα= sin(α +β)cosα+ cos(α +β) sinα， 从而 2sin(α+β)cosα= 3 cos(α+β) sinα，故有 2

3tan )tan(=+αβα． 点评 将2α+β表为(α+β) +α再运用和角公式是解题的关键，

例2 在△ABC 中，若三内角A 、B 、C 满足：cosB + sinCcosA = 0,

(1) 用tanA 表示tanC; (2) 求角B 的取值范围．

分析 要用tanA 表示tanC ，从已知的信息得知必须消除角B ，又A + B + C = π，由此可发现解法1、2．对于(2)，当考查cosB ，由已知条件积化和差，显然不可取，考查sinB 也很难行通．但注意到 (1) 的结论可发现须考查tanB ．

解法1 ∵ cosB + sinCcosA = 0, 而sinC > 0, cosB 、cosA 中必有一个为负数，

当cosA< 0时，B 为锐角，A 为钝角，

由cosB =- sinCcosA, 得 cosB = - sinC cosA≤- cosA= cos(π-A)，从而B≥π- A ，B + A≥π，矛盾．

由此可得B 为钝角，A 、C 均为锐角．则有 sinCcosA = - cosB = cos(π- B) = cos(A + C), 即 sinCcosA = cosAcosC - sinAsinC ，

∵ A 、C 均为锐角, ∴ cosAcosC > 0,

从而，有 C A A C C A A C cos cos sin sin 1cos cos cos sin -=, 即 tanC = 1- tanA tanC, ∴ A

C tan 11tan +=． 解法2 ∵ sinCcosA = - cosB = cos(A + C) = cosAcosC -sinAsinC,

∴ cosAcosC = sinAsinC + sinCcosA , ……………………………………………… ① 即 cosAcosC = sinC (sinA + cosA)，显然 sinA + cosA≠0，否则 2,43ππ==

C A , 这与 A + B + C =π矛盾．

故 cosAcosC≠0，将①两边同除以cosAcosC ，得 tanC = 1- tanA tanC,

以下同解法1．

(2) ∵ tanB = - tan(A+C) =C

A C A tan tan 1tan tan -+-)1tan (tan 1tan 1tan tan 11

tan 2++-=-+++=A A A A A A ， 由此可得 tanB <-1, 从而，有 4

32ππ

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