【练闯考】2014-2015学年北师大版九年级数学上册课时集训：22.3 实践与探索(课内精炼+课时达标)学案

22.3实践与探索

第1课时用一元二次方程解决简单的应用问题

1．列一元二次方程解决实际问题时，与应用一元一次方程一样，一般步骤为：(1)审题，找等量关系；(2)设__未知数__；(3)列__方程__；(4)解__方程__；(5)检验并作答．2．构建一元二次方程来解决实际问题时，必须验证方程的解是否符合__实际意义__．3．几何图形问题常根据__面积(或体积)__公式列出一元二次方程．

4．若设每次的平均增长(或降低)率为x，原来的基数为a，则第一次增长(或降低)后的数量为__a(1±x)__，第二次增长(或降低)后的数量为__a(1±x)2__．

知识点1：用一元二次方程解决几何问题

1．一个面积为35 m2的矩形苗圃，它的长比宽多2 m，则这个苗圃的长为( C )

A．5 m B．6 m C．7 m D．8 m

2．等腰梯形面积为160 cm2，上底比高多4 cm，下底比高多20 cm，这个梯形的高为( B ) A．20 cm B．8 cm

C．8 cm或20 cm D．非以上答案

3．一个正方形的边长增加了3 cm，面积相应增加了39 cm2，则原来这个正方形的边长为__5__cm.

4．如图，在一块长为22米，宽为17米的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路(两条道路各与矩形的一条边平行)，剩余部分种上草坪，使草坪面积为300平方米．若设道路宽为x米，则根据题意可列方程为__(22－x)(17－x)＝300__．

5．如图是一个矩形花园，花园的长为100米，宽为50米，在它的四角各建一个同样大小的正方形观光休息亭，四周建有与观光休息亭等宽的观光大道，其余部分(图内阴影部分)种植的是不同花草．已知种植花草部分的面积为3600平方米，那么花园各角处的正方形观光休息亭的边长为多少米？

解：设正方形观光休息亭的边长为x米．依题意，有(100－2x)(50－2x)＝3 600.整理，得x2－75x＋350＝0.解得x1＝5，x2＝70.∵x2＝70>50，不合题意，舍去，∴x＝5.答：矩形花园各角处的正方形观光休息亭的边长为5米

知识点2：用一元二次方程解决增长率问题

6．某药品经过两次降价，每瓶零售价由168元降为128元．已知两次降价的百分率相同，每次降价的百分率为x，根据题意列方程得( B )

A．168(1＋x)2＝128 B．168(1－x)2＝128

C．168(1－2x)＝128 D．168(1－x2)＝128

7．某企业五月份的利润是25万元，预计七月份的利润将达到36万元．设平均月增长率为x，根据题意所列方程是__25(1＋x)2＝36__．

8．(2014·随州)某小区2013年绿化面积为2 000平方米，计划2015年绿化面积要达到2 880平方米．如果每年绿化面积的增长率相同，那么这个增长率是__20%__.

知识点3：用一元二次方程解决其他问题

9．若两个连续整数的积是42，那么这两个整数的和是( C )

A．13 B．－13

C．13或－13 D．12或－14

10．一个两位数等于它的个位数的平方，且个位数比十位数大3，则这个两位数是( C ) A．25 B．36

C．25或36 D．－25或－36

11．一球以15 m/s的速度竖直向上弹出，它在空中的高度h(m)与时间t(s)近似满足关系式：h＝15t－5t2，则小球在什么时刻的高度为10 m?

解：由题意知，10＝15t－5t2，解得t＝1或t＝2，所以小球在1秒或2秒时的高度为10 m

12．某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个．设该厂八、九月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是( C )

A．50(1＋x2)＝196

B．50＋50(1＋x2)＝196

C．50＋50(1＋x)＋50(1＋x)2＝196

D．50＋50(1＋x)＋50(1＋2x)＝196

13．如图，在宽为20 m，长为32 m的矩形地面上修筑同样宽的道路(图中阴影部分)，余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为540 m2，求道路的宽．如果设小路宽为x m，根据题意，所列方程正确的是( A )

A．(20－x)(32－x)＝540

B．(20－x)(32－x)＝100

C．(20＋x)(32－x)＝540

D．(20－x)(32＋x)＝540

14．有一间长20 m，宽15 m的会议室，在它的中间辅一块地毯，地毯子的面积是会议室面积的一半，四周未铺地毯的留空宽度相同，则留空宽度为__2.5_m__．

15．(2014·丽水)如图，某小区规划在一个长30 m，宽20 m的长方形ABCD上修建三条同样宽的通道，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种花草，要使每一块花草的面积都为78 m2，那么通道的宽应设计成多少？设通道的宽为x m，由题意列方程__(30－2x)(20－x)＝6×78__．

16．某商场今年2月份的营业额为400万元，3月份的营业额比2月份增加10%，5月份的营业额达到633.6万元．求3月份到5月份营业额的月平均增长率．解：设3月份到5月份营业额的月平均增长率为x，根据题意，得400×(1＋10%)(1＋x)2＝633.6，解得x＝0.2＝20%，x2＝－2.2(不舍题意，舍去)．答：3月份到5月份营业额的月平均增长率为20%

17．据报道，我省农作物秸秆的资源巨大，但合理利用量十分有限，2013年的利用率只有30%，大部分秸秆被直接焚烧了．假定我省每年产出的农作物秸秆总量不变，且合理利用量的增长率相同，要使2015年的利用率提高到60%，求每年的增长率．(取2≈1.41)

解：设我省每年产出的农作物秸秆总量为1，合理利用量的增长率是x ，由题意，得1×30%·(1＋x )2＝1×60%，解得x 1≈0.41，x 2≈－2.41(不合题意，舍去)．答：我省每年秸秆合理利用量的增长率约是41%

18．(2014·新疆)如图，要利用一面墙(墙长为25米)建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB ，BC 各为多少米？

解：设AB 的长度为x ，则BC 的长度为(100－4x )米．根据题意得(100－4x )x ＝400，解得x 1＝20，x 2＝5，则100－4x ＝20或100－4x ＝80.∵80>25，∴x 2＝5舍去，即AB ＝20，BC ＝20.答：羊圈的边长AB ，BC 分别是20米，20米

19．如图，要设计一幅宽20 cm ，长30 cm 的矩形图案，其中两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为2∶3，如果要使所有彩条所占面积为原矩形图案面积的三分之一，应如何设计每个彩条的宽度？

解：设每个横彩条的宽为2x ，则每个竖彩条的宽为3x ，根据题意，得(20－6x )(30－4x )＝(1－13)×20×30.整理，得6x 2－65x ＋50＝0，解方程，得x 1＝56，x 2

＝10(不合题意，舍去)．则2x ＝53，3x ＝52.答：每个横、竖彩条的宽度分别为53 cm ，52

cm

第2课时 用一元二次方程解决复杂的应用问题

1．对于较复杂的实际问题，要先理清题目中的__等量关系__，求出直接列方程可得到的结果，再解决题目中拓展的问题．

2．利润＝(__销售单价__－__成本单价__)×__销售量__．

知识点1：用一元二次方程解决复杂的几何问题

1．(2014·牡丹江)现有一块长80 cm ，宽60 cm 的矩形钢片，将它的四个角各剪去一个边长为x cm 的小正方形，做成一个底面积为1 500 cm 2的无盖的长方体盒子，根据题意列方程，化简可得__x 2－70x ＋825＝0__．

2．已知如图所示的图形的面积为24，根据图中的条件，可列出的方程是__答案不唯一，如(x ＋1)2＝25__．

3．王伟准备用一段长30米的篱笆围成一个三角形形状的小圈，用于饲养家兔．已知第一条边为a 米，由于受地势限制，第二条边只能比第一条边长的2倍多2米．

(1)请用a 表示第三条边长；

(2)问第一条边长可以为7米吗？为什么？请说明理由，并求出a 的取值范围；

(3)能否使得围成的小圈是直角三角形形状，且各边长均为整数？若能，说明你的围法；若不能，请说明理由．

解：(1)第一条边为a ，第二条边为2a ＋2，第三条边为30－a －(2a ＋2)＝28－3a (2)不可以是7，理由：∵a ＝7时，2a ＋2＝16，28－3a ＝7，7＋7＜16，不满足三角形三边之间的关系，∴不能构成三角形．根据三角形三边不等式关系，得2a ＋2－a<28－3a<2a ＋2＋a ，

解得133

(3)能围成直角三角形形状．当28－3a 是最长边时，a 2＋(2a ＋2)2＝(28－3a )2，解得a 1＝5，a 2＝39(不合题意，舍去)，所以三边分别是5，12，13.当2a ＋2是最长边时，a 2＋(28－3a )2＝(2a ＋2)2，由于解不是整数，舍去．所以能围成直角三角形形状，且各边长均为整数的三角形，三边分别是5米，12米，13米

知识点2：用一元二次方程解决复杂的增长率问题

4．(2014·南京)某养殖户每年的养殖成本包括固定成本和可变成本，其中固定成本每年均为4万元，可变成本逐年增长，已知该养殖户第一年的可变成本为2.6万元，设可变成本平均每年增长的百分率为x.

(1)用含x 的代数式表示第3年的可变成本为__2.6(1＋x )2__万元；

(2)如果该养殖户第3年的养殖成本为7.146万元，求可变成本平均每年的增长百分率x .

解：由题意，得4＋2.6(1＋x )2＝7.146，解得x 1＝0.1，x 2＝－2.1(不合题意，舍去)．答：可变成本平均每年增长的百分率为10%

5．为落实国务院房地产调控政策，使“居者有其屋”，某市加快了廉租房的建设力度.2012年市政府共投资2亿元人民币建设了廉租房8万平方米，预计到2014年底三年共累计投资9.5亿元人民币建设廉租房，若在这两年内每年投资的增长率相同．

(1)求每年市政府投资的增长率；

(2)若这两年内的建设成本不变，求到2014年底共建设了多少万平方米廉租房．

解：(1)设每年市政府投资的增长率为x ，根据题意，得2＋2(1＋x )＋2(1＋x )2＝9.5，整

理，得x 2＋3x －1.75＝0，解之，得x ＝－3±9＋4×1.752

，∴x 1＝0.5，x 2＝－3.5(舍去)．答：每年市政府投资的增长率为50% (2)到2014年底共建廉租房面积为9.5÷28

＝38(万平方米)

知识点3：用一元二次方程解决销售利润问题

6．(2014·泰安)某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元，要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株？设每盆多植x 株？则可以列出的方程是( A )

A ．(3＋x )(4－0.5x )＝15

B ．(x ＋3)(4＋0.5x )＝15

C ．(x ＋4)(3－0.5x )＝15

D ．(x ＋1)(4－0.5x )＝15

7．某种文化衫，平均每天销售40件，每件盈利20元，若每件降价1元，则每天可多售10件，如果每天要盈利1 080元，每件应降价__2或14__元．

8．某商场将某种商品的售价从原来的每件40元经两次调价后调至每件32.4元．若该商品两次调价的降价率相同，则这个降价率为__10%__，经调查，该商品每降价0.2元，即可多销售10件．若该商品原来每月销售500件，那么两次调价后，每月可销售商品__880__件．

9．某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价，若每件商品售价为a 元，则可卖出(350－10a )件，但物价局限定每次商品加价不能超过进价的25%，商品计划要赚400元，需要卖出__100__件商品，每件商品的售价为__25__元．

10．商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．设每件商品降价x 元．据此规律，请回答：

(1)商场日销售量增加__2x __件，每件商品盈利__(50－x )__元；(用含x 的代数式表示)

(2)在上述条件不变、销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2 100元？

解：由题意得：(50－x )(30＋2x )＝2 100，化简得：x 2－35x ＋300＝0，解得x 1＝15，x 2＝20.∵该商场为了尽快减少库存，则x ＝15不合题意，舍去．∴x ＝20.答：每件商品降价20元，商场日盈利可达2 100元

11．某特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2 240元，请回答：

(1)每千克核桃应降价多少元？

(2)在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？

解：(1)设每千克核桃应降价x 元，依题意得(60－x －40)(100＋x 2

×20)＝2 240，整理得x 2－10x ＋24＝0，解得x 1＝4，x 2＝6.则每千克核桃应降价4元或6元 (2)由(1)知每千克核桃应降价4元或6元，因为要尽可能地让利于顾客，所以每千克核桃应降价6元，此时，售

价为60－6＝54(元)，5460

×100%＝90%，∴该店应按原价的九折出售

12．小亮家想利用房屋侧面的一面墙，再砌三面墙，围成一个矩形猪圈，如图所示，现在已备足可以砌12 m 长的墙的材料．

(1)如果小亮家想围成面积为16 m 2的矩形猪圈，你能够教他们怎么围吗？

(2)如果小亮家想围成面积为20 m 2的矩形猪圈，你认为可能吗？说明理由．

解：(1)设垂直于墙的边长为x m ，则x (12－2x )＝16，解得x 1＝2，x 2＝4，所以垂直于墙的边长为2 m 或4 m

(2)不可能，理由如下：设垂直于墙的边长为y m ，则y (12－2y )＝20，整理得，－2y 2＋12y －20＝0，b 2－4ac ＝144－4×(－2)×(－20)＝－16<0，∴此方程无解，∴不能够围成

13．(2014·随州)楚天汽车销售公司5月份销售某种型号汽车，当月该型号汽车的进价为30万元/辆，若当月销售量超过5辆时，每多售出1辆，所有售出的汽车进价均降低0.1万元/辆．根据市场调查，月销售量不会突破30台．

(1)设当月该型号汽车的销售量为x 辆(x ≤30，且x 为正整数)，实际进价为y 万元/辆，求y 与x 的函数关系式；

(2)已知该型号汽车的销售价为32万元/辆，公司计划当月销售利润25万元，那么该月需售出多少辆汽车？(注：销售利润＝销售价－进价)

解：(1)由题意得，当0

??30（0

－0.1x ＋30.5（5

综合练习一元二次方程的应用

1．(2014·昆明)某果园2011年水果产量为100吨，2013年水果产量为144吨，求该果园水果产量的年平均增长率．设该果园水果产量的年平均增长率为x，则根据题意可列方程为( D )

A．144(1－x)2＝100B．100(1－x)2＝144

C．144(1＋x)2＝100 D．100(1＋x)2＝144

2．元旦期间，一个小组有若干人，新年互送贺卡一张，已知这个小组共需卡片56张，则这个小组共有( D )

A．9人B．10人C．7人D．8人

3．一个同学经过培训后会做某项实验，回校后第一节课他教会了若干个同学，第二节课会做的同学每人又教会了同样多的同学，这样全班共有36人会做这项实验．若设1人每次能教会x名同学，则可列方程为( B )

A．x＋(x＋1)x＝36

B．1＋x＋(x＋1)x＝36

C．1＋x＋x2＝36

D．x＋(x＋1)2＝36

4．参加一次商品交易会的每两家公司之间都签订了一份合同，所有公司共签订了66份合同，共有__12__家公司参加商品交易会．

5．在一块长为35 m，宽为26 m的矩形绿地上有宽度相同的两条路，如图所示，其中绿地面积为850 m2，小路的宽为__1_m__．

6．李先生将10 000元存入银行，到期后取出2 000元购买电脑，余下的8 000元及利息又存入银行，如果两次存款的年利率不变，一年到期后本息和是8 925元，则存款的年利率为__5%__．(不计利息税)

7．有一个两位数，个位数字与十位数字之和为8，把它的个位数字与十位数字对调，得到一个新数，新数与原数之积为1 855，则原两位数是__35或53__．

8．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干、小分支的总数是111.则每个支干长出__10__个小分支．

9．某商店经销一种商品，由于进货价降低5%，而出售价不改变，使得利润率从m%提高到(m＋6)%，则m的值为__14__．

10．某校团委准备举办学生绘画展览，为美化画面，在长为30 cm，宽为20 cm的矩形画面四周镶上宽度相等的彩纸，并使彩纸的面积恰好与原画面的面积相等(如图)，求彩纸的宽度．

解：设彩纸的宽为x cm，根据题意，得(30＋2x)(20＋2x)＝2×30×20，整理，得x2＋25x－150＝0，解得x1＝5，x2＝－30(不合题意，舍去)．答：彩纸的宽为5 cm

11．(2014·安顺)天山旅行社为吸引游客组团去具有喀斯特地貌特征的黄果树风景区旅游，推出了如下收费标准(如图所示)：

某单位组织员工去具有喀斯特地貌特征的黄果树风景区旅游，共支付给旅行社旅游费用27 000元，请问该单位这次共有多少名员工去具有喀斯特地貌特征的黄果树风景区旅游？

解：设该单位去旅游人数为x 人，则人均费用为1 000－20(x －25)元，由题意得x [1 000－20(x －25)]＝27 000.整理得x 2－75x ＋1 350＝0，解得x 1＝45，x 2＝30.当x ＝45时，人均旅游费用为1 000－20(x －25)＝600<700，不符合题意，应舍去．当x ＝30时，人均旅游费用为1 000－20(x －25)＝900>700，符合题意．则该单位这次共有30名员工去旅游

12．如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD (围墙MN 最长可利用25 m)，现在已备足可以砌50 m 长的墙的材料，试设计一种砌法，使矩形花园的面积为300 m 2.

解：设AB ＝x m ，则BC ＝(50－2x )m ，根据题意可得，x (50－2x )＝300.解得x 1＝10，x 2＝15，当x ＝10，BC ＝50－10－10＝30>25(不合题意舍去)，故x ＝15.答：可以围成AB 的长为15米，BC 的长为20米的矩形

13．某楼盘准备以每平方米5000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望．为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过两次下调后，决定以每平方米4 050元的均价开盘销售．

(1)求平均每次下调的百分率；

(2)某人准备以开盘均价购买一套100平方米的房子．开发商还给予以下两种优惠方案以供选择：①打9.8折销售；②不打折，送两年物业管理费．物业管理费是每平方米每月1.5元．请问哪种方案更优惠？

解：(1)设平均每次降价的百分率是x ，依题意得5 000(1－x )2＝ 4 050，解得：x 1＝10%，x 2＝1910

(不合题意，舍去)．答：平均每次降价的百分率为10% (2)方案①的房款是：4 050×100×0.98＝396 900(元)，另外需要两年内付物业管理费：

1.5×100×12×2＝3 600(元) 方案②的房款是：4 050×100＝405 000(元)，故在同等条件下方案①需付房款：396 900＋3 600＝400 500(元)．∵400 500＜405 000，∴选方案①更优惠

14．将一根长为20 cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形．

(1)要使这两个正方形面积之和等于17 cm 2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少？

(2)两个正方形面积之和可能等于12 cm 2吗？若能，求出这两段铁丝的长度；若不能，请说明理由．

解：(1)设剪成两段后其中一段为x cm ，则另一段为(20－x )cm.由题意，得(x 4)2＋(20－x 4

)2＝17，解得x 1＝16，x 2＝4.当x ＝16时，20－x ＝4；当x ＝4时，20－x ＝16.故这段铁丝剪成

两段后的长度分别是4 cm 和16 cm (2)不能．理由：由(x 4)2＋(20－x 4

)2＝12，整理，得x 2－20x ＋104＝0.∵202－4×104＝－16<0，∴此方程无解．故不能剪成两段使得面积和为12 cm 2

15．某商店购进600个旅游纪念品，进价为每个6元，第一周以每个10元的价格售出200个，第二周若按每个10元的价格销售仍可售出200个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售(根据市场调查，单价每降低1元，可多售出50个，但售价不得低于进价)，单价降低x 元销售一周后，商店对剩余旅游纪念品清仓处理，以每个4元的价格全部售出，如果这批旅游纪念品共获利1 250元，问第二周每个旅游纪念品的销售价格为多少元？

解：由题意，得200×(10－6)＋(10－x －6)(200＋50x )＋(4－6)[600－200－(200＋50x )]＝1 250.即x 2－2x ＋1＝0.解得x 1＝x 2＝1.∴10－1＝9.答：第二周的销售价格为9元

16．如图，已知A ，B ，C ，D 为矩形的四个顶点，AB ＝16 cm ，AD ＝6 cm ，动点P ，Q 分别从点A ，C 同时出发，点P 以3 cm/s 的速度向点B 移动，一直到点B 为止，点Q 以2 cm/s 的速度向D 移动．问：

(1)P ，Q 两点出发多长时间时，四边形PBCQ 的面积是33 cm 2；

(2)P ，Q 两点出发多长时间时，点P 与点Q 间的距离是10 cm?

解：(1)设P ，Q 两点从出发开始到x s 时，四边形PBCQ 的面积是33 cm 2，则AP ＝3x ，

PB ＝16－3x ，CQ ＝2x ，由梯形的面积公式，得[2x ＋（16－3x ）]×62

＝33.解得x ＝5.即P ，Q 两点从出发开始到5 s 时，四边形PBCQ 的面积为33 cm 2

(2)设P ，Q 两点从出发开始到y s 时，点P 与点Q 的距离为10 cm (如图①所示)，过点Q 作QH ⊥AB ，交AB 于点H ，则AP ＝3y ，CQ ＝2y ，PH ＝16－3y －2y ，根据勾股定理．得(16－3y －2y )2＝102－62，化简方程得(16－5y )2＝64，解得y 1＝1.6，y 2＝4.8.当y ＝4.8时，P ，Q 的位置如图②所示．故P ，Q 两点从出发开始到1.6 s 或4.8 s 时，点P 与点Q 的距离是10 cm