(完整版)极值点偏移问题

极值点偏移问题总结

一、 判定方法

1、极值点偏移的定义

对于函数)(x f y =在区间),(b a 内只有一个极值点0x ，方程0)(=x f 的解分别为

21x x 、，且b x x a <<<21，

（1）若

02

12x x x ≠+，则称函数)(x f y =在区间),(21x x 上极值点0x 偏移； （2） 若0212

x x

x >+，则函数)(x f y =在区间),(21x x 上极值点0x 左偏，简称极值点0

x 左偏；

（3）若02

12

x x x <+，则函数)(x f y =在区间),(21x x 上极值点0x 右偏，简称极值点0

x 右偏。

2、极值点偏移的判定定理

证明：（1）因为可导函数)(x f y =，在区间),(b a 上只有一个极大（小）值点0x ，则函数)(x f y =的单调递增（减）区间为),(0x a ，单调递减（增）区间为),(0b x ，又

b x x a <<<21，有

),(221b a x x ∈+由于0)2('21>+x x f ，故),(2

021x a x

x ∈+，所以02

1)(2

x x x ><+，即函数极大（小）值点0x 右（左）偏。

证明：（1）因为对于可导函数)(x f y =，在区间),(b a 上只有一个极大（小）值点0x ，则函数)(x f y =的单调递增（减）区间为),(0x a ，单调递减（增）区间为),(0b x ，又

b x x a <<<21，有01x x <，且0202x x x <-，又)2()(201x x f x f -<，故2012)(x x x -><，所以

02

1)(2

x x x ><+，即函数极大（小）值点0x 右（左）偏. 结论（2）证明略。

二、 运用判定定理判定极值点偏移的方法

1.方法概述：

（1）求出函数()f x 的极值点；

（2）构造一元差函数00()()()F x f x x f x x =+-- （3）确定函数()F x 的单调性；

（4）结合(0)0F =，判断()F x 的符号，从而确定00(),()f x x f x x -+的大小关系。 2.抽化模型

答题模板：若已知函数()f x 满足12()()f x f x =，0x 为()f x 的极值点，求证：1202x x x +< （1）讨论函数()f x 的单调性并求出()f x 的极值点0x ；

假设此处()f x 在()0,x -∞上单调递减，在()0,x +∞ 上单调递增。 （2）构造00()()()F x f x x f x x =+--；

注：此处根据题意需要还可以构造成0()()(2)F x f x f x x =--

（3）通过求导'()F x 谈论()F x 的单调性，判断处()F x 在某段区间上的正负，并得出

0()f x x +与0()f x x -的大小关系；

假设此处()F x 在()0,+∞上单调递增，那么我们便可以得出

00()(0)()()0F x F f x f x =-=>，从而得到：0x x >时，00()()f x x f x x +->

（4）不妨设102x x x <<，通过()f x 的单调性，12()()f x f x =，00()()f x x f x x +-与的大小关系得出结论；

接上述情况：由于0x x >时，00()()f x x f x x +->且102x x x <<，12()()f x f x =故

()[]1202002002()()()(2)f x f x f x x x f x x x f x x ==?+-?--=-??> ，又因为10x x <，0202x x x -<且()f x 在()0,x -∞上单调递减，从而得到1022x x x -<，从而1202x x x +<得证；

（5）若要证明12'(

)02x x f +<还需进一步讨论1

22x x +与0x 的大小，得出122

x x

+所在的单调区间，从而得出该处函数导数值的正负，从而结论得证；

此处只需继续证明：因为1202x x x +<故12

02

x x x +<，

由于()f x 在()0,x -∞上单调递减，故12

'(

)02

x x f +< 说明：

（1）此类试题由于思路固定，所以通常情况下求导比较复杂，计算时须细心； （2）此类题目若试题难度较低，会分解为三问，前两问分别求()f x 的单调性、极值点，证明00()()f x x f x x +-与或0()(2)f x f x x -与的大小关系；若试题难度较大，则直接给出形如 1202x x x +<或者12

02

x x x +<的结论，让你给出证明，此时自己应主动把该小问分解为三问逐步解题。

三、 例题

(一) 不含参数的的极值点偏移问题

例1：（2010 天津理21）已知函数()()x f x xe x R -=∈

（1）求函数()f x 的单调区间和极值；

（2）若12x x ≠，且12()()f x f x =，求证：122x x +>

解答： 【法一】

（1）()'()1x f x x e -=-，'()0,1f x x ==；(),1-∞增 ()1,+∞减 极大值1

(1)f e

= （2）()()()11()(1)(1)11x x g x f x f x x e x e -+-+=+--=+-- ，

1(1)

'()x x g x x e e --+??=-?? '()0,0g x x == ； (),0-∞减；()0,+∞增

0x >时， ()(0)0g x g => 即(1)(1)f x f x +->

12x x ≠，不妨设12x x <，由（1）知121,1x x <>，

()[]12222()()111(1)(2)f x f x f x f x f x ∴==?+-?--=-??>

221,21x x ∴-><， ()f x 在(),1-∞上增，

122x x ∴->，即122x x +> 【法二】

欲证122x x +>，即证212x x -> 由法一知1201,1x x <<>，故121x ->

又因为()f x 在()1,+∞上是单调递减的，只需证21()(2)f x f x -<, 又因为12()()f x f x =，故也即证11()(2)f x f x -<， 构造函数()()(2)h x f x f x =--，()0,1x ∈ 由()221'()'()'(2)1x x x

h x f x f x e e

--=--=

-

()h x 在()0,1上单调递增，()(1)0h x h =<

故原不等式122x x +>成立 【法三】

由12()()f x f x =得，2

112x x x e x e --=，化简得21

2

1

x x x e x -=

① 不妨设21x x >，由法一知1201x x <<<，令21t x x =-，则0t >，21x t x =+， 代入①得：11t t x e x +=

，反解出：11t t x e =-，则121221

t t

x x x t t e +=+=+-， 故要证122x x +>即证

221

t

t

t e +->，又因为10t e ->， 等价于证明：()()2210t t t e +--> ②

构造函数()()()()2210t g t t t e t =+-->，则()'()11t g t t e =-+，''()0t g t te =>，

故()'()0+g t ∞在，

上单调递增，'()'(0)0g t g => 从而()()0+g t ∞在，

上单调递增，()(0)0g t g => 【法四】

由12()()f x f x =得，2

112x x x e x e --=，化简得21

2

1

x x x e x -=

①， 两边同时取以e 为底的对数：得221211ln

ln ln x x x x x x -==-，即21

21

ln ln 1x x x x -=-， 从而()

2

211221212122212111

1

+1

ln ln ln ln 1x x x x x x x x

x x x x x x x x x x x x -++=+==---， 令()211x t t x =

>，则欲证122x x +>等价于证明

1

ln 21

t t t +-> ②， 构造()()1ln 2()1ln ,11

1t t g t t t t t +??

=

=+

?--?

?

>， 则()

22

12ln '()1t t t g t t t --=

- ，

又令()2()12ln 1h t t t t t =--> 则()()'()22ln 121ln h t t t t t =-+=--， 由于1ln t t ->对()1,t ?∈+∞恒成立，故'()0h t >，

()h t 在()1,+∞上单调递增，()(1)0h t h =>，

'()0g t >对()1,t ?∈+∞恒成立，()g t 在()1,+∞上单调递增，()(1)g t g >

由洛必达法则知：()()()()1

1

1

1

1ln '1ln 1lim ()lim

lim lim ln 21

1'

t t t t t t t t

t g t t t t t →→→→+++??===+=

?--??

即()2g t >，即证③式成立，也即原不等式成立 例2：（2013 湖南 文21）2

1()1x

x f x e x

-=+， （1）求函数的单调区间；

（2）证明：当1212()()()f x f x x x =≠时，120x x +<

(二) 含参数的极值点偏移问题

含参数的极值点偏移问题，在原有的两个变元1,2x x 基础上，有多了一个参数，故思路很自然的就会想到：想尽一切办法消去参数，从而转化成不含参数的问题去解决，或者以参数为媒介，构造出一个变元的新的函数。

例1已知函数()x f x x ae =-有两个不同的零点12,x x ，求证：122x x +>

例2. 已知函数()ln f x x ax =-，a 为常数，若函数()f x 有两个不同的零点12,x x ，求

证：212x x e ?>

例3：已知12,x x 是函数()x f x e ax =-的两个零点，且12x x < （1）求证：122x x +> （2）121x x ?<

例4：已知函数()(0)ax f x x e a =->，若存在12,x x （12x x <），使12()()0,f x f x == 求证：

1

2

x ae x < 变式训练：

1.设函数()()x f x e ax a a R =-+∈的图像与x 轴交于()()()1212,0,,0A x B x x x <两点， （1

）证明：0f < （2）求证：1212x x x x +<

2.设函数2()ln f x a x bx =-，其图像在点()2,(2)P f 处切线的斜率为3-，当2a =时，令

()()g x f x kx =-，设12,x x （12x x <）是方程()0g x =的两个根，0x 是12,x x 的等差中

项，求证：0'()0g x <

3.已知函数1()ln ()f x a x a R x

=--∈

（1）若2a =，求函数()f x 在()21,e 上的零点个数；

（2）若()f x 有两零点12,x x （12x x <），求证：112231a x x e -+-<< 4.已知函数()21

()1ln 2f x x a x a x =+-- （1）讨论()f x 的单调性；

（2）设0a >，证明：0x a <<时，()()f a x f a x +-<

(三) 含对数式的极值点偏移问题

根据12()()f x f x =建立等式，通过消参、恒等变形转化为对数平均，捆绑构造函数，利用对数平均不等式链求解。

对数平均不等式的介绍与证明

两个整数a 和b 的对数平均定义：()()()ln ln ,a b

a b a b L a b a a b -?≠?

-=??=?

，

对数平均与算术平均、几何平均的大小关系：

(),2

a b

L a b +≤

例1：已知函数()2()ln 2f x x ax a x =-+- （1）讨论()f x 的单调性；

（2）设0a >，证明：当10x a

<<时，11()()f x f x a

a

+->；

（3）若函数()y f x =的图像与x 轴交于A,B 两点，线段AB 中点的横坐标为0x ，证明：0'()0f x <

(四) 含指数式的极值点偏移问题

2

),(,)()(),(,2

n

m n

m m n

m n m e e b a E e

n m e n m n m e e b a E e b e a +≤

≤???

??=≠--===+不等式有如下关系：根据对数平均，则设在对数平均的定义中，指数不等式：

例1（全国1卷 2016 理21）已知函数2()(2)(1)x f x x e a x =-+-有两个零点12,x x ，证明：122x x +<

例2（天津 2010 理21）已知函数()()x f x xe x R -=∈ （1）求函数()f x 的单调区间和极值；

（2）若12x x ≠，且12()()f x f x =，求证：122x x +>

例3.设函数()()x f x e ax a a R =-+∈的图像与x 轴交于()()()1212,0,,0A x B x x x <两点，证

明：0f <

变式训练：

已知函数2()()x f x ax e a R =-∈在()0,+∞ 上有两个零点()1212,x x x x < （1）求实数a 的取值范围； （2）求证：124x x +<；