4-3满秩分解

第三节 矩阵的满秩分解

一、Hermite

梯形矩阵

定义1 给定矩阵H ∈C r m×n ，如果它满足条件： （1）前r 行是非零行，而后m －r 行是零行； （2）第i (i =1，2，…，r )行的第一个非零元素为

1，且设出现在第n i 列，则有

n 1＜n 2＜…n r ≤n ；

（3）第n i 列中除第i 行处的元素为1外，其余均为零，则称H 为Hermite 梯形矩阵。Hermite 梯形阵就是具有形式

列

第列

第列第个零行个非零行r n n n r m r H 21

00000

0**

10**0**0**100000**0**0**100↑↑↑-??

?

???????

????

????????????

?

?

?=

（1）

的矩阵，其中*表示的元素不一定为零。 例如矩阵

?????

??

?

??-000000210004302110i i 就是一个Hermite 梯形矩阵。

对于任意矩阵A ∈C r m×n ，总可以通过行初等变换化为Hermite 梯形矩阵H ，并称之为A 的Hermite 标准形，也就是说存在可逆矩阵P ，使

PA =H （2）

且P 是有限个初等矩阵的乘积。如对)(E A 施行行初等变换如下

)P H

()E A (一系列行初等变换

→------

就能把P 记录下来。

例1 把矩阵A 化为Hermite 标准形H ，并求变换矩阵P ，其中

??

??

? ??--=030630402420432210A

解 因为

???

? ??--1000306300104024200014322

10

?

???

?

??---------???→?-103126600001212660000014322

10321312r r r r ???

??? ??----???→?-111000000061312110000014322106

122

3r r r ????

?

??

?

??---???→?-11100000006131211000031310

10210221r r 所以A 的Hermite 标准形H 和变换矩阵P 分别为

??

?? ??=000000211000010210H ，

?

??????

?

??---=1110613103131P 如果对H =PA 再作列初等变换，那么得到A 的相抵标准形

??? ?

?O O O E r

即存在可逆矩阵Q ，使

???

??=O O O E PAQ r

（3）

若要求出P 和Q ，可通过对分块矩阵

??? ??O E E A n

m

的前m 行施行行初等变换，前n 列施行列初等变换，当把A 化为相抵标准形时，E m 、E n 就分别化为P 、Q 。

二、矩阵的满秩分解

定义2 设A ∈C r m×n （r ＞0），若存在列满秩矩阵

B ∈

C r m×r 和行满秩矩阵C ∈C r r×n ，使

A =BC （4）

成立，则称（4）式为A 的满秩分解。

定理1 任何矩阵A ∈C r m×n （r ＞0）都有满秩分解。

证明 因为rankA=r ，所以存在P ∈C m m×m ，Q ∈C n m×n 使

Q

O E O E P Q O O O E P A r r r

)(??

? ??=???

??=

（现在的P 和Q 是（3）式的1

-P 和 1

-Q ）。令

Q

O E C O E P B r

r )(=?

?

?

??=

则B 、C 分别是列满秩矩阵、行满秩矩阵，且 A =BC

它就是A 的满秩分解。 #

矩阵n

m r

C A ?∈的满秩分解不是唯一的。因为如果A =BC 是A 的一个满秩分解，则对任意满秩矩阵

r r r

C

D ?∈，有

~

~1

))((C B C D BD BC A ===-

这里BD B =~

，C D C 1

~

-=分别是列满秩、行满秩的。

因而

~

~C B A =是A 的满秩分解。

定理1的证明其实给出了求矩阵A 的满秩分解的一种方法，但这种方法较繁。我们再介绍一种简单的方法。

注意到矩阵A ∈C r m ×n （r ＞0）有r 个列向量是线性无关的，而其余的n －r 个列向量均可由这r 个列向量线性表示。不妨假设A 的前r 个列向量a 1，…，a r 是线性无关的，后n －r 个列向量为a r +1，…，a n ，即A =（a 1，…，a r ，a r +1，…，a n ）=（A 1|A 2） 这里A 1=（a 1，…，a r ），A 2=（a r +1，…，a n ）。由于a r +1，…，a n 可由a 1，…，a r 线性表示，即

???

??++=++=--+r

r n r,1r 1n n r r11111r a s a s a

....................................a s a s a

或 ????

?

?????=--+r r ,n r1r 1,n 11r 1n 1r s s s s )a ,,a ()a ,,a (

所以，存在矩阵S ∈C

r ×(n －r )

使

A 2=A 1S

从而

A =（A 1|A 2）=（A 1|A 1S ）=A 1（E r |S ）

显然A 1和（E r |S ）分别是列满秩矩阵和行满秩矩阵。这样就得到了A 的一个满秩分解A =A 1（E r |S ）。 一般地，为了求出A 的哪r 个列向量是线性无关的，余下的n －r 个列向量如何由这r 个列向量线性表示，我们可通过把A 化为Hermite 标准形来解决。 设A =（a 1，a 2，…，a n ）的Hermite 标准形为（1）式，则A 的列向量a n 1，a n 2，…，a nr 是线性无关的，H 的前r 行也是线性无关的。记B =(a n 1，a n 2，…，a nr )，C 为H 的前r 行构成的矩阵，则A =BC 就是A 的满秩分解。

例2 求例1中矩阵A 的一个满秩分解。

??

??? ?

?--=0306304024204322

10A 解：A 的Hermite 标准形为

???

? ??000000211000010210 令???? ??-=03

2221

B ，??? ??=211000010210

C 即得A 的一个满秩分解A =BC 。

矩阵分解在优化方法中的应用

矩阵分解以及矩阵范数在数值计算中的应用 张先垒 （自动化与电气工程学院 控制科学与工程 2012210186） 【摘要】矩阵的分解是将一个矩阵分解为较为简单的或具有某种特性的若干矩阵的和或 者乘积，这是矩阵理论及其应用中比较常见的方法。由于矩阵的这些特殊的分解形式，一方面反映了矩阵的某些数值特性，如矩阵的秩、特征值、奇异值等；另一方面矩阵的分解方法与过程往往为某些有效的数值计算方法和理论分析提供了重要的依据，它是应用于解最优化问题、特征值问题、最小二乘方问题的主要数学工具。 关键词 ： 矩阵分解 对角化 逆矩阵 范数 条件数 1. 引言 矩阵分解在工程中的应用主要是在解线性方程组中,而这主要就是关系到储存和计算时间的问题上面,如何实现最小的储存和最少的计算时间是在工程计算中的头等问题。在这方年就牵涉到很多对矩阵进行怎样的分解，这篇文章介绍了基本的关于三角分解相关的内容以及关于界的稳定性的考虑。 2. 矩阵的三角分解求解线性方程组 数值求解线性方程组的方法中有一个主要是直接法，假设计算中没有舍入误差，经过有限次算术运算能够给出问题的精确解的数值方法。其中高斯消去法就是利用矩阵的分解实现的。矩阵论一种有效而且应用广泛的分解法就是三角分解法，将一个矩阵分解为一个酉矩阵（或正交矩阵）与一个三角矩阵的乘积或者三角矩阵与三角矩阵的乘积。（见课本P93例4.3）考虑一般的线性方程组，设其中的系数矩阵A 是可逆的， 1111 n m mn a a A a a ?? ? = ? ??? （1-1） 设矩阵A 的第一列中至少有一个是非零元素（否则A 就是奇异矩阵）不妨设为1i a 若一 般的记初等矩阵 [1] 如1-2式及矩阵论课本上的Givens 矩阵。

矩阵的满秩分解

§4.3矩阵的满秩分解 本节讨论一个复矩阵可以分解为两个与的秩相同的矩阵之积的问题。定义4.3.1设复矩阵的秩为，如果存在两个与的秩相同的复矩阵与，使得，则称此式为复矩阵的满秩分解。 当是满秩矩阵时（行满秩或列满秩）可以分解为单位矩阵与自身的乘积，这个满秩分解叫做平凡分解。 定理4.3.1设复矩阵的秩为，则有满秩分解。 证：因为，对施行初等行变换，可得到阶梯形矩阵， 其中为矩阵，并且；因此存在着有限个阶初等矩阵之积， 记作，有，或者，将矩阵分块为，其中为矩阵，为矩阵，并且，。 则有，其中是列满秩矩阵，是行满秩矩阵。▌ 但是，矩阵的满秩分解不唯一。这是因为若取任意一个阶非奇异矩阵，则有 。 例1、求矩阵的满秩分解。 解：对矩阵进行初等行变换 其中所以，；而，其中 由此可见，所以有。 定义4.3.2设复矩阵的秩为，并且满足以下条件： 1）矩阵的前行中的每一行至少含有一个不为零的元素，并且第一个不为零的元素是1，而后行的元素均为零； 2）如果矩阵的第行的第一个不为零的元素1在第列， 则； 3）矩阵的列是单位矩阵的前列； 则称矩阵为Hermite标准形(最简型)。 由此定义可见，对于任意一个秩为的复矩阵，均可以经过初等行变换将其化为Hermite标准形，而且矩阵的前列元素组成的列向量组线性无关。 定义4.3.3以阶单位矩阵的个列向量为列构成的阶矩阵叫做置换矩阵。其中是的一个全排列。 定理4.3.2设复矩阵的秩为，矩阵的Hermite标准形为，则在矩阵的满秩分解中，可以取矩阵为的列构成的列矩阵，为的前行构成的列矩阵。例2、求矩阵的满秩分解。 解：先求出矩阵的Hermite标准形

矩阵的最大秩分解

矩阵的最大秩分解及其应用 黄爱梅（01数本26号） 摘要：本文给出矩阵m n C ?∈A 分解为两个与A 同秩的因子的积的具体方法，并讨论它的一些 相关应用。 关键词：满秩分解、列满秩、行满秩、初等变换 正文： 定理1：设m n r A C ?∈，则存在矩阵m r r B C ?∈，使得A BC =。 证：设()1112,A A A P =，其中11m r r A C ?∈，它由A 的r 个线性无关列组成，12A 为的其余n r -列所组成的矩阵。n n n P C ?∈为初等列变换矩阵之积。由于12A 的列均为11A 的列的线 性组合，故存在矩阵() r n r D C ?-∈，使得 1211A A D = 于是()()111111,,r A A A D P A I D P == 令()11,,r B A C I D P == 显然有m r r B C ?∈,r n r C C ?∈且A BC =。 矩阵的这种分解，称为最大秩分解（满秩分解） 定理的证明过程给出求B 、C 的方法，可归纳如下： 将A 进行初等变换，化为行标准型，即将A 变为如下形式的矩阵。 001**0**0**000001** 0**0001**000 0A ?? ?????? ?? ?? =?? ?? ?? ???? ???? r 个元素不全为零的行 其中“*”表示不一定为0的元素，在r A 中第个元素为1 外，其余的无素均为0（j r ∈）。于是A 中12,,,r k k k 列的元素组成的阶矩阵就是B 。而在r A 中除去下面的n r -个元素全为0行的外，所得的阶矩阵即为C 。

矩阵分解及其简单应用

矩阵分解是指将一个矩阵表示为结构简单或具有特殊性质若干矩阵之积或之和，大体分为三角分解、分解、满秩分解和奇异值分解.矩阵地分解是很重要地一部分内容，在线性代数中时常用来解决各种复杂地问题，在各个不同地专业领域也有重要地作用.秩亏网平差是测量数据处理中地一个难点，不仅表现在原理方面，更表现在计算方面，而应用矩阵分解来得到未知数地估计数大大简化了求解过程和难度. 矩阵地三角分解 如果方阵可表示为一个下三角矩阵和一个上三角矩阵之积，即，则称可作三角分解.矩阵三角分解是以消去法为根据导出地，因此矩阵可以进行三角分解地条件也与之相同，即矩阵地前个顺序主子式都不为，即.所以在对矩阵进行三角分解地着手地第一步应该是判断是否满足这个前提条件，否则怎么分解都没有意义.矩阵地三角分解不是唯一地，但是在一定地前提下，地分解可以是唯一地，其中是对角矩阵.矩阵还有其他不同地三角分解，比如分解和分解，它们用待定系数法来解求地三角分解，当矩阵阶数较大地时候有其各自地优点，使算法更加简单方便.资料个人收集整理，勿做商业用途 矩阵地三角分解可以用来解线性方程组.由于，所以可以变换成，即有如下方程组：资料个人收集整理，勿做商业用途 先由依次递推求得,,……，，再由方程依次递推求得，，……，. 资料个人收集整理，勿做商业用途 必须指出地是，当可逆矩阵不满足时，应该用置换矩阵左乘以便使地个顺序主子式全不为零，此时有：资料个人收集整理，勿做商业用途 这样，应用矩阵地三角分解，线性方程组地解求就可以简单很多了. 矩阵地分解 矩阵地分解是指，如果实非奇异矩阵可以表示为，其中为正交矩阵，为实非奇异上三角矩阵.分解地实际算法各种各样，有正交方法、方法和方法，而且各有优点和不足.资料个人收集整理，勿做商业用途 ．正交方法地分解 正交方法解求分解原理很简单，容易理解.步骤主要有：）把写成个列向量（，，……，），并进行正交化得（，，……，）；) 单位化，并令（，，……，），（，，……，），其中；）. 这种方法来进行分解，过程相对较为复杂，尤其是计算量大，尤其是阶数逐渐变大时，就显得更加不方便.资料个人收集整理，勿做商业用途 ．方法地分解 方法求分解是利用旋转初等矩阵，即矩阵()来得到地，()是正交矩阵，并且(()).()地第行第列 和第行第列为，第行第列和第行第列分别为和，其他地都为.任何阶实非奇异矩阵可通过左连乘()矩阵（乘积为）化为上三角矩阵，另，就有.该方法最主要地是在把矩阵化为列向量地基础上找出和，然后由此把矩阵地一步步向上三角矩阵靠近.方法相对正交方法明显地原理要复杂得多，但是却计算量小得多，矩阵()固有地性质很特别可以使其在很多方面地应用更加灵活.资料个人收集整理，勿做商业用途 ．方法地分解 方法分解矩阵是利用反射矩阵，即矩阵，其中是单位列向量，是正交矩阵，.可以证明，两个矩阵地乘积就是矩阵，并且任何实非奇异矩阵可通过连乘矩阵（乘积为）化为上三角矩阵，则.这种方法首要地就是寻找合适地单位列向量去构成矩阵，

矩阵论知识点

矩阵论知识点 第一章：矩阵的相似变换 1. 特征值，特征向量 特殊的：Hermite矩阵的特征值，特征向量 2. 相似对角化 充要条件：（1）（2）（3）（4） 3. Jordan标准形 计算：求相似矩阵P及Jordan标准形 求Jordan标准形的方法： 特征向量法，初等变换法，初等因子法 4. Hamilton-Cayley定理 应用：待定系数法求解矩阵函数值 计算：最小多项式 5. 向量的内积 6. 酉相似下的标准形 特殊的：A酉相似于对角阵当且仅当A为正规阵。

第二章：范数理论 1. 向量的范数 计算：1，2， 范数2. 矩阵的范数 计算：1，2，，m , F 范数，谱半径 3. 谱半径、条件数 第三章：矩阵分析 1. 矩阵序列 2. 矩阵级数 特别的：矩阵幂级数 计算：判别矩阵幂级数敛散性，计算收敛的幂级数的和 3. 矩阵函数 计算：矩阵函数值， At e ，Jordan 矩阵的函数值 4. 矩阵的微分和积分 计算：函数矩阵，数量函数对向量的导数 如，dt dA(t),dt dA(t) ,)()(X R AX X X X X f T T T 等 5. 应用 计算：求解一阶常系数线性微分方程组

第四章：矩阵分解 1. 矩阵的三角分解 计算：Crout分解，Doolittle分解，Choleskey分解2. 矩阵的QR分解 计算：Householder矩阵，Givens矩阵， 矩阵的QR分解或者把向量化为与1e同方向3. 矩阵的满秩分解 计算：满秩分解，奇异值分解 4. 矩阵的奇异值分解 第五章：特征值的估计与表示 1. 特征值界的估计 计算：模的上界，实部、虚部的上界 2. 特征值的包含区域 计算：Gerschgorin定理隔离矩阵的特征值 3. Hermite矩阵特征值的表示 计算：矩阵的Rayleigh商的极值 4. 广义特征值问题 AX转化为一般特征值问题 计算：BX

矩阵分解及其应用

《线性代数与矩阵分析》课程小论文 矩阵分解及其应用 学生姓名：****** 专业：******* 学号：******* 指导教师：******** 2015年12月

Little Paper about the Course of "Linear Algebra and Matrix Analysis" Matrix Decomposition and its Application Candidate:****** Major:********* StudentID:****** Supervisor:****** 12,2015

中文摘要 将特定类型的矩阵拆解为几个矩阵的乘机称为矩阵的分解。本文主要介绍几种矩阵的分解方法，它们分别是矩阵的等价分解、三角分解、谱分解、奇异值分解和 Fitting 分解等。矩阵的分解理论和方法是矩阵分析中重要的部分，在求解矩阵的特征值、解线性方程组以及实际工程中有着广泛的运用。因此，本文将介绍矩阵等价分解、三角分解、奇异值分解的理论运用以及三角分解的工程运用。 关键词：等价分解,三角分解,奇异值分解,运用

Abstract Many particular types of matrix are split into the product of a matrix of several matrices, which is called decomposition of matrix. In this paper, we introduce some methods of matrix decomposition, which are equivalent decomposition, triangular decomposition, spectral decomposition, singular value decomposition, Fitting decomposition and so on. The decomposition theory and method of matrix is an important part of matrix analysis, which is widely used in solving the characteristic value, solving linear equations and the practical engineering. In this paper, we will introduce the theory of matrix equivalence decomposition, triangular decomposition, singular value decomposition and the engineering application of triangular decomposition. Key words：Equivalent Decomposition, Triangular Decomposition, Singular Value Decomposition, Application

第四章 矩阵分解

矩阵分析
第四章 矩阵分解
§4.1: 矩阵的满秩分解 §4.2: 矩阵的正交三角分解 §4.3: 矩阵的奇异值分解 §4.4: 矩阵的极分解 §4.5: 矩阵的谱分解
矩阵分解前言
矩阵分解定义: 将一个已知矩阵表示为另一些较为简单或 较为熟悉的矩阵的积(或和)的过程称为矩阵分解. 例:(1)对任意n阶正规矩阵A,存在酉阵U∈Un×n使 A=Udiag(λ1,…,λn)U*, 其中λ1,…,λn为A的所有特征值的任一排列. (2)对任意n阶正定矩阵A,存在可逆阵Q∈Cnn×n使A=Q*Q,或存 在唯一正定阵B使A=BB. 矩阵分解意义:有利于研究已知的矩阵. 例如,利用正定阵A的平方根B为正定阵可证: 对任意Hermite阵H,AH或HA都有实特征值.
1
( AH～(A1/2)-1AHA1/2=A1/2HA1/2∈Hn×n )
2
初等变换与初等矩阵(p73)
三类初等变换: (行(列)变换←→左(右)乘) (1)将矩阵A的两行互换等价于用第一类初等矩阵P(i,j)左 乘A; (2)将矩阵A的第i行乘以k≠0等价于用第二类初等矩阵 P(i(k))=diag(1,…,1,k,1,…,1)左乘A. (3)将矩阵A的第j行乘以k≠0后再加到第i行等价于左乘第 三类初等矩阵P(i,j(k)).
P (i , j ) =
?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 0 1 1 1 0 1 1
初等变换与初等矩阵举例
?1 ?? 1 4 7 ? ? 1 4 7 ? ? 0 1 ?? 2 5 8 ? = ? 3 6 9 ? ; ? ?? ? ? ? ? 1 0 ?? 3 6 9 ? ? 2 5 8 ? ? ?? ? ? ? ?1 4 7??1 ? ? 1 7 4? ? 2 5 8?? 0 1? = ? 2 8 5? ? ?? ? ? ? ? 3 6 9?? 1 0? ? 3 9 6? ? ?? ? ? ?
?1 ??1 4 7? ? 1 4 7 ? ? ?? ? ? ? 0.2 ? ? 2 5 8 ? = ? 0.4 1 1.6 ? ; ? ? 1?? 3 6 9 ? ? 3 6 9 ? ? ?? ? ? ?
?1 4 7??1 ? ? 1 4 7 / 9? ? ?? ? ? ? ? 2 5 8?? 1 ? = ? 2 5 8/9? ? 3 6 9?? 1/ 9 ? ? 3 6 1 ? ? ?? ? ? ?
---- i ---- j
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1?
P (i , j ( k )) =
?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
1
k 1
? ? ? ? ---? ? ? ---? ? ? 1?
i j
3
?1 ?? 1 2 3? ? 1 2 3 ? ? ?? ? ? ? ? ?4 1 ? ? 4 5 6 ? = ? 0 ?3 ?6 ? ; ? 1?? 7 8 9? ? 7 8 9 ? ? ?? ? ? ?
?3 ? ? 1 2 0 ? ? 1 2 3??1 ? ?? ? ? ? ? 4 5 6?? 1 ? = ? 4 5 ?6 ? ?7 8 9?? 1 ? ? 7 8 ?12 ? ? ?? ? ? ?
4
初等变换与初等矩阵的性质
3类初等矩阵都是可逆的(行列式不为0). 将A依次作初等矩阵P1,…,Pr对应的行(列)初等变换等价 于左(右)乘A以可逆矩阵Pr…P1(P1…Pr). 可适当选第一类初等矩阵的乘积P使PA(AP)的行(列)是A 的行(列)的任意排列; 可适当选第三类初等矩阵 P(i,j(k))中的k使P(i,j(k))A的(i,j)元变为0; 可适当选第二类初等矩阵P(i(k))中的k使P(i(k))A的非 零(i,i)元变为1. 存在初等矩阵的乘积P和Q,使PAQ= ,其中r=rankA.
初等变换与初等矩阵的性质续
命题:设A∈Crm×n前r列线性无关,则用初等行变换可把A变为
? Er ? ? 0 ?1 ? ? D? ? = ? ? 0 ? ? ? ? ? ? 1 1 * * * * *? ? *? *? ? *? ? ? ? ?
一般地,?A∈Crm×n都存在m,n阶可逆阵P和Q使PAQ=
5
证:因前r列线性无关,故用第一类初等矩阵左乘可使A的 (1,1)元≠0. 再用第二类初等矩阵左乘可使a11=1; 最后用若干第三类初等矩阵左乘可使A的第一列=e1. 因前2列线性无关,故新的第2列与e1线性无关且≠0, 故用第一类行变换可使(2,2)元≠0,…可使A的第2列=e2. ….可使A的第r列=er.此时空白处必为0元.
安徽大学 章权兵
1

矩阵的满秩分解

§矩阵的满秩分解 本节讨论一个n m ?复矩阵A 可以分解为两个与A 的秩相同的矩阵之积的问题。 定义设n m ?复矩阵A 的秩为r ，如果存在两个与A 的秩相同的复矩阵F 与G ，使得FG A =，则称此式为复矩阵A 的满秩分解。 当A 是满秩矩阵时（行满秩或列满秩）A 可以分解为单位矩阵与A 自身的乘积，这个满秩分解叫做平凡分解。 定理设n m ?复矩阵A 的秩为r 0>，则A 有满秩分解。 证：因为0>=r rankA ，对A 施行初等行变换，可得到阶梯形矩阵???? ??=0G B ， 其中G 为n r ?矩阵，并且0>=r rankG ；因此存在着有限个m 阶初等矩阵之积， 记作P ，有B PA =，或者B P A 1-=，将矩阵1-P 分块为()S F P =-1 ，其中F 为r m ?矩阵，S 为)(r n m -?矩阵，并且r rankF =，r n rankS -=。 则有()FG G S F B P A =??? ? ??==-01 ，其中F 是列满秩矩阵，S 是行满秩矩阵。 ▌ 但是，矩阵A 的满秩分解不唯一。这是因为若取任意一个r 阶非奇异矩阵D ，则有 G F G D FD FG A ~~))((1===-。 例1、 求矩阵???? ? ??----=122211212101A 的满秩分解。 解：对矩阵A 进行初等行变换

()???? ??==???? ? ??--→????? ??----=0111000001130200012101100122201011210012101G B I A 其中???? ??-=30202101G 所以????? ??-=000030202101B ，???? ? ??-=111011001P ；而()S F P =????? ??--=-1120110011 ，其中???? ? ??--=121101F 由此可见，所以有()???? ? ??--==???? ??==-12110101FG G S F B P A ???? ??-30202101。 定义设n m ?复矩阵H 的秩为r ()0>r ，并且满足以下条件： 1）矩阵H 的前r 行中的每一行至少含有一个不为零的元素，并且第一个不为零的元素是1，而后r m -行的元素均为零； 2）如果矩阵H 的第i 行的第一个不为零的元素1在第i j 列()r i ,,2,1 =， 则r j j j <<< 21； 3）矩阵H 的r j j j ,,,21 列是单位矩阵m I 的前r 列； 则称矩阵H 为Hermite 标准形(最简型)。 由此定义可见，对于任意一个秩为r 的n m ?复矩阵A ，均可以经过初等行变换将其化为Hermite 标准形H ，而且矩阵H 的前r 列元素组成的列向量组线性无关。 定义以n 阶单位矩阵n I 的n 个列向量n e e e ,,,21 为列构成的n 阶矩阵() n j j j e e e P ,,,21 =叫做置换矩阵。其中n j j j ,,,21 是n ,,2,1 的一个全排列。 定理设n m ?复矩阵A 的秩为r ()0>r ，矩阵A 的Hermite 标准形为H ，则在矩阵A 的满秩分解FG A =中，可以取矩阵F 为A 的r j j j ,,,21 列构成的

几类特殊矩阵的满秩分解及其应用.doc

目录 0 引言 (1) 1 预备知识 (1) 2 几类特殊矩阵满秩分解 (2) 2.1酉对称矩阵的满秩分解 (2) 2.2行（列）对称矩阵的满秩分解 (3) 2.3行（列）反对称矩阵的满秩分解 (4) 2.4全对称矩阵中具有轴对称结构矩阵的满秩分解 (4) 2.5广义延拓矩阵的满秩分解 (5) 3 矩阵的满秩分解的应用 (6) 3.1利用矩阵A的满秩分解求广义逆矩阵 (6) 3.1.1 利用矩阵A的满秩分解求广义逆矩阵-A (6) 3.1.2 利用矩阵A的满秩分解求M-P广义逆矩阵 A (7) 3.2线性方程组的极小最小二乘问题 (8) 参考文献 致谢

赵爱霞 （天水师范学院数学与统计学院, 甘肃天水741001） 摘要介绍了五类特殊矩阵，即酉对称矩阵、行（列）对称矩阵、行（列）反对称矩阵、全对称矩阵及广义延拓矩阵，的满秩分解和求解方法，并说明了满秩分解在求广义逆中的应用. 关键词酉对称矩阵;行（列）对称矩阵; 行（列）反对称矩阵;全对称矩阵;广义延拓矩阵;广义逆矩阵;满秩分解. Full Rank Decomposition and Application for some kinds of Special Matrix ZHAO Aixia (School of Mathematics and Statistics, Tianshui Normal University, Tianshui 741001) Abstract The formulas and methods, for full rank decompositions of five kinds of special matrices, such as unitary symmetric matrix, row (column) symmetric matrix,row (column) negative symmetric matrix, full symmetric matrix, are given, Moreover, we show the importance of the full rank decomposition in finding generalized inverse of matrix, Key words unitary symmetric matrix, row (column) symmetric matrix,row (column) negative symmetric matrix, full symmetric matrix, generalized inverse matrix, generalized continuation matrix, full rank decomposition.

第6讲-矩阵分解

第6讲 矩阵分解 内容：1. 矩阵的三角分解 2. 矩阵的满秩分解 3. 矩阵的QR 分解 4. 矩阵的Schur 定理 5. 矩阵的谱分解和奇异值分解 矩阵分解指将一个矩阵写成结构比较简单的或性质比较熟悉的另一些矩阵的乘积．它在控制理论和系统分析等领域有广泛应用． §1 矩阵的三角分解 定义 1.1 称? ???????????==?nn n n n n ij a a a a a a a A 00 0)(22211211为上三角矩阵，T A B =为下三角矩阵．特别地，称A （或T A ）的对角元素为1 的上（下）三角矩阵为单位上（下）三角矩阵．三角矩阵是一类特殊的矩阵，具有特殊的性质． 1.Gauss 消元法 n 元线性方程组?? ???? ?=+++=+++=+++n n nn n n n n n b a a a b a a a b a a a ξξξξξξξξξ 22112 122221211 1212111 ，其矩阵形式 b Ax =，

其中：????????????==?nn n n n n n n ij a a a a a a a a a a A 2 12222111211)(，[]T n x ξξξ,,,21 =，[]T n b b b b ,,,21 =． 采用按自然顺序选主元素进行消元．假定化A 为上三角矩阵的过程未用到行和列交换，按自然顺序进行消元，即进行行倍加初等变换，使 ????????????=nn n n n n a a a a a a a a a A 212222111211→?????? ????? ?nn n n n c c c c a a a 22221121100→ ?????? ????? ?nn n n e c c a a a 00022211211， 其中顺序主子式：0111≠=?a ，,,00 22 12112 ≠= ?c a a 01≠?-n ．称这种 对A 的元素进行的消元过程为Gauss 消元法． 2.矩阵的三角分解 定义 1.2 如果方阵A 可分解成一个下三角矩阵L 和一个上三角矩阵R 的乘积，则称A 可作三角分解或LR 分解，当L 是单位下三角矩阵时，则称此分解为A 的杜利特（Doolittle ）分解；当R 是单位上三角矩阵时，则称此分解为A 的克劳特（Crout ）分解．如果方阵A 可分解成LDR A =，其中L 是单位下三角矩阵，D 是对角矩阵，R 是单位上三角矩阵，则称A 可作LDR 分解． 定理 1.1 n 阶矩阵A 有三角分解LR 或LDR 的充要条件是A 的顺序主子式不为零，即0≠?r ， （1,,2,1-=n r ）．n 阶非奇异矩阵A 有三角分解LR 或LDR 的充要条件是A 的顺序主子式都不为零，即0≠?r ，（n r ,,2,1 =）．

求矩阵的秩的步骤

将该矩阵转换为行梯形矩阵，然后矩阵的秩等于非零行的数量。 在步骤矩阵中，选择了1,3行和3,4列。由元素在其交点处形成的二阶子矩阵的行列式是矩阵A的二阶子矩阵。 行等级是A的线性独立行的最大数量。也就是说，如果将矩阵视为行向量或列向量，则等级是这些行向量或列向量的等级，即包含在其中的向量数最大独立组。 扩展数据： 证明： 由AB构造的块矩阵和n阶恒等式en | AB O | | O En | A将以下两个矩阵相乘并相乘，然后将它们加到上两个矩阵中 | AB A | | 0 En |

相乘-B，在左侧矩阵中添加两个块 | 0 A | | -B En | 因此，R（AB）+ n = R（第一个矩阵）= R（最后一个矩阵）> = R（a）+ R（b） 即R（a）+ R（b）-N <= R（AB） 在数学中，矩阵是根据矩形阵列排列的一组复数或实数。最早的矩阵是由等式的系数和常数组成的方阵。这个概念最早是由19世纪的英国数学家凯利（Kelly）提出的。 矩阵是高等代数以及统计分析等应用数学中的常用工具。[2]在物理学中，矩阵应用于电路科学，力学，光学和量子物理学；在计算机科学中，矩阵还用于3D动画中。矩阵运算是数值分析领域中的重要问题。将矩阵分解为简单矩阵的组合，可以在理论上和实际应用中简化矩阵的运算。对于一些广泛使用的特殊形式的矩阵，例如稀疏矩阵和准对角线矩阵，有特定的快速算法。关于矩阵理论的发展和应用，请参考矩阵理论。在天体物理学，量子力学等领域，将存在无穷维矩阵，这是矩阵的一种概括。

数值分析的主要分支致力于矩阵计算的有效算法的开发，这已经是一个世纪以来的主题，并且是一个不断扩展的研究领域。矩阵分解法简化了理论和实际计算。为特定矩阵结构（例如稀疏矩阵和近角矩阵）定制的算法可加快有限元方法和其他计算的速度。在行星理论和原子理论中存在无限矩阵。无穷矩阵的一个简单示例是函数的泰勒级数的导数算子矩阵[3]

矩阵论研究生复习题

矩阵理论及应用证明题复习题 正规矩阵（包括Hermite 矩阵；Hermite 正定矩阵等） 1. 设()ij n n A a ?=是n 阶Hermite 矩阵，12,,,n λλλ 是A 的特征值，且12n λλλ≥≥≥ ， 证明：（1）1H n H x Ax x x λλ≤≤ ；（2）{}11max n kk k n a λλ≤≤≤≤. 2.假设n 阶Hermite 矩阵A 是正定的。证明：(1)存在正定矩阵S 使得2 A S =； （2）对任意n 维列向量,X Y ，有2 H H H Y AX X AX Y AY ≤，并且，等号成立当 且仅当,X Y 线性相关。 3.证明：设,A B 都是Hermite 矩阵，A 的特征值都大于a ，B 的特征值都大于b ， 则A B +的特征值都大于a b +。 4.设A 为n 阶正定Hermite 矩阵，证明（1）H nn A G a ββ?? = ??? 是正定的的充分必要条件为1H nn a A ββ->，（2）H nn A G a ββ ?? = ??? 正定时有不等式：nn G a A ≤. 5.A 是n 阶Hermite 矩阵，证明：2 46A A I -+是正定Hermite 矩阵 6.A 、B 都为n 阶正定Hermite 矩阵，且AB BA =，则AB 亦为正定Hermite 矩阵 范数 1.设?为n n C ?上的矩阵范数，λ为复矩阵A 的特征值，证明：m m A λ ≤（m 为正整数） 2.设λ是n 阶可逆矩阵A 的特征值，A 是A 的任意一种范数 证明：1 1 A λ -≥ 3.设A 是n 阶可逆矩阵，A 是A 的任意一种范数.证明：A 的谱半径()1 1A A ρ-≥ 4.A 是n 阶复矩阵，证明22 1A A A ∞ ≤ 5.假设A 是s n ?矩阵，,U V 分别是s s ?、n n ?酉矩阵。证明：F F A UAV =， 22A UAV =。 6.设() ij n n A a ?=为n 阶Hermite 矩阵,证明：（1）2()A A ρ=；（2）()ij a A ρ≤.

南京航空航天大学研究生课程《矩阵论》内容总结与习题选讲

《矩阵论》复习提纲与习题选讲 Chapter1 线性空间和内积空间 内容总结： z 线性空间的定义、基和维数； z 一个向量在一组基下的坐标； z 线性子空间的定义与判断； z 子空间的交 z 内积的定义； z 内积空间的定义； z 向量的长度、距离和正交的概念； z Gram-Schmidt 标准正交化过程； z 标准正交基。 习题选讲： 1、设表示实数域3]x [R R 上次数小于3的多项式再添上零多项式构成 的线性空间（按通常多项式的加法和数与多项式的乘法）。 （1） 求的维数；并写出的一组基；求在所取基下 的坐标； 3]x [R 3]x [R 221x x ++ （2） 在中定义 3]x [R ， ∫?=1 1)()(),(dx x g x f g f n x R x g x f ][)(),(∈ 证明：上述代数运算是内积；求出的一组标准正交基； 3][x R （3）求与之间的距离； 221x x ++2x 2x 1+?（4）证明：是的子空间； 2][x R 3]x [R （5）写出2[][]3R x R x ∩的维数和一组基；

二、 设22R ×是实数域R 上全体22×实矩阵构成的线性空间（按通常矩阵的加 法和数与矩阵的乘法）。 （1） 求22R ×的维数，并写出其一组基； （2） 在(1)所取基下的坐标； ?? ??????3111（3） 设W 是实数域R 上全体22×实对称矩阵构成的线性空间（按通常矩阵 的加法和数与矩阵的乘法）。 证明：W 是22R ×的子空间；并写出W 的维数和一组基； （4） 在W 中定义内积 ， )A B (tr )B ,A (T =W B ,A ∈ 求出W 的一组标准正交基； （5）求与之间的距离； ??????0331?? ?????1221 （6）设V 是实数域R 上全体22×实上三角矩阵构成的线性空间（按通常矩 阵的加法和数与矩阵的乘法）。 证明：V 也是22R ×的子空间；并写出V 的维数和一组基； （7）写出子空间的一组基和维数。 V W ∩

求矩阵的秩的步骤

矩阵： 矩阵是高等代数学中的常见工具，也常见于统计分析等应用数学学科中。在物理学中，矩阵于电路学、力学、光学和量子物理中都有应用；计算机科学中，三维动画制作也需要用到矩阵。矩阵的运算是数值分析领域的重要问题。将矩阵分解为简单矩阵的组合可以在理论和实际应用上简化矩阵的运算。对一些应用广泛而形式特殊的矩阵，例如稀疏矩阵和准对角矩阵，有特定的快速运算算法。关于矩阵相关理论的发展和应用，请参考《矩阵理论》。在天体物理、量子力学等领域，也会出现无穷维的矩阵，是矩阵的一种推广。 数值分析的主要分支致力于开发矩阵计算的有效算法，这是一个已持续几个世纪以来的课题，是一个不断扩大的研究领域。矩阵分解方法简化了理论和实际的计算。针对特定矩阵结构（如稀疏矩阵和近角矩阵）定制的算法在有限元方法和其他计算中加快了计算。无限矩阵发生在行星理论和原子理论中。无限矩阵的一个简单例子是代表一个函数的泰勒级数的导数算子的矩阵。 矩阵方法： 《矩阵方法》是“高等数学模块化系列教材”之一，是适合于经济管理、理工类各专业的公共课教材。《矩阵方法》只讲解矩阵的概念、矩阵的运算和矩阵的简单应用，计划18课时，1学分。《矩阵方法》分为两章和两个附录。 序言：

中国高等教育在“十一五”期间的一个主题是走向内涵发展的道路。对每个高等职业技术学院来讲，最重要的任务除了要建设一支具有相当水平的师资队伍，要构建一个对人才培养必须具备的高效的产学研结合体系之外，就是要有一个与高职定位相吻合的高等职业技术课程技术。这其中，基础课，特别是数学课是我们不可能回避、又是极为重要的课程。 在高等教育的精英阶段发展起来的高等专科学校，数学课遵循的是“必需、够用”的原则。当时，数学基本上就是“微积分”、“线性代数”、“概率论与数理统计”三门课，学时也都在150～200学时之间，内容基本上是本科生内容的简化。当高等教育进入大众化阶段后，高等职业技术学院的定位和学生生源发生了很大的变化。我们培养的人才是社会上各类岗位的技能型、应用型人才，而学生的数学基础明显薄弱，单凭主观想象和判断来对数学内容进行取舍遇到许多矛盾。因此，数学课的改革便成为高职教育的重要课题。.“必需、够用”在这种新形势下如何赋予新的内涵，并在此方针下进行数学课的改革是非常重要的。我们以为“必需、够用”不能以数学自身的学科系统来衡量，不能由数学教师的爱好来决定，也不能由学校统一规定课程的学时和内容。“必需、够用”要由每个专业的职业岗位需求来决定，要由每个专业的专业要求来决定，要由学生的实际基础来决定。为此，近几年来，我们进行了数学课的实用化、小型化、模块化的改革探索。这套系列教材便是这种改革的阶段性成果。

矩阵的满秩分解

109 §4.3矩阵的满秩分解 本节讨论一个n m ?复矩阵A 可以分解为两个与A 的秩相同的矩阵之积的问题。 定义4.3.1设n m ?复矩阵A 的秩为r ，如果存在两个与A 的秩相同的复矩阵F 与G ，使得FG A =，则称此式为复矩阵A 的满秩分解。 当A 是满秩矩阵时（行满秩或列满秩）A 可以分解为单位矩阵与A 自身的乘积，这个满秩分解叫做平凡分解。 定理4.3.1设n m ?复矩阵A 的秩为r 0>，则A 有满秩分解。 证：因为0>=r rankA ，对A 施行初等行变换，可得到阶梯形矩阵??? ? ??=0G B ， 其中G 为n r ?矩阵，并且0>=r rankG ；因此存在着有限个m 阶初等矩阵之积， 记作P ，有B PA =，或者B P A 1-=，将矩阵1-P 分块为()S F P =-1 ，其中F 为r m ?矩阵，S 为)(r n m -?矩阵，并且r rankF =，r n rankS -=。 则有()FG G S F B P A =??? ? ??==-01 ，其中F 是列满秩矩阵，S 是行满秩矩阵。 ▌ 但是，矩阵A 的满秩分解不唯一。这是因为若取任意一个r 阶非奇异矩阵D ，则有 G F G D FD FG A ~~))((1===-。 例1、 求矩阵???? ? ??----=122211212101A 的满秩分解。 解：对矩阵A 进行初等行变换 ()???? ??==???? ? ??--→????? ??----=0111000001130200012101100122201011210012101G B I A 其中???? ??-=30202101G 所以????? ??-=000030202101B ，???? ? ??-=111011001P ；而()S F P =????? ??--=-1120110011 ，其中???? ? ??--=121101F 由此可见，所以有()???? ? ??--==???? ??==-12110101FG G S F B P A ???? ??-30202101。

矩阵论之矩阵的分解

矩阵的分解 一、矩阵的三角分解 定义 3.1 设.n n A F ?∈ (1) 若,n n L U F ?∈分别为下三角矩阵和上三角矩阵，,A LU =则称A 可作LU 分解。 (2) 若,n n L U F ?∈分别是对角线元素为1的下三角矩阵和上三角矩阵，D 为对角矩阵。 ,A LDU = 则称A 可作LDU 分解。 用Gauss 消去法，一个方阵总可以用行初等变换化为上三角矩阵，若只用第i 行乘以数k 加到第j 行（i j <）型初等变换就能把A 化为上三角矩阵U ，则有下三角形可逆矩阵,P 使 ,PA U =从而有LU 分解：1.A P U -= 例1 设223477245A ????=????-?? ，求A 的LU 分解和LDU 分解。 解 为求,P 对下面的矩阵做如下行初等变换： 32 23100223100()4 77010031210245001068101223100031210006521A I ???? ????=→-???? ????-???? ????→-????-?? 因此 100223210,031521006P PA ????????=-=????????-????. 令1 100223210,031121006L P U -????????===????????-???? 则223031.006A L LU ????==?????? 再利用初等变换，有

311 2100212103013121600 1A ?? ??????????????=??????????-??????????? ? 就得到A LDU = 其中 311 210021210,3,0131216001L D U ? ? ??????????????===??????????-????? ?????? ? 一般来说，,LU LDU 分解一般不是惟一的。下面讨论方阵的LU 和LDU 分解的 存在性和唯一性。 定理 3.1 设(),n n ij n n A a F ??=∈ 则A 有惟一LDU 分解A LDU =的充分必要条件是A 的 顺序主子式 11 1212122201 2......0,1,2,...,;1,...... ... ... ...k k k k k kk a a a a a a k n a a a ?= ≠=?= 其中 1 2 1,;1,2,...,...k k k n d d D d k n d -??? ??? ?===?????? ? 证明：只证充分性：对A 的阶数n 进行归纳证明 11111111,()(1)()(1)n A a a L DU ==== 所以定理对1n =成立，设定理对1n -成立，即 (1)(1)111()ij n n n n n A a L D U -?----== 则对,n 将A 分块成 1 n n T n nn A A u a τ-?? =???? 其中 121,12,1(,,...,),(,,...,),T T n n n n n n n n n n a a a u a a a τ--==

矩阵论矩阵分解精品

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需求、作用、标准、反映、检验、分析、逐步、推广、满足、保证、解决、优化、方向、转
变、规范、不改变、规范化
第四章 矩阵分解
把矩阵分解为形式比较简单或具有某种特性的一些矩阵的乘积，在矩阵理论的研究与应 用中，都是十分重要的．因为这些分解式的特殊形式一方面能明显地反映出原矩阵的某些数 值特征，如矩阵的秩、行列式、特征值及奇异值等，另一方面分解的方法与过程往往提供了 某些有效的数值计算方法和理论分析根据．本章将介绍几种常用的矩阵分解形式．
§4．1 矩阵的三角分解 三角矩阵的计算，如求行列式、求逆矩阵、求解线性方程组等，都是很方便的，因此首 先研究是否可将矩阵分解成一些三角矩阵的乘积． 一、三角分解及其存在惟一性问题
定义 4.1 设 A Cnn ，如果存在下三角矩阵 L Cnn 和上三角矩阵 R Cnn ，使得
A=LR 则称 A 可以作三角分解．
关于三角分解的存在性有如下一些结论．
定理 4.1
设
A
C
nn n
，则
A
可以作三角分解的充分必要条件是
k
≠0
(k=1，2，…，n
－1)，其中 k det Ak 为 A 的 k 阶顺序主子式，而 Ak 为 A 的 k 阶顺序主子阵。
证 必要性．已知 A 可以作三角分解，即 A＝LR，其中 L＝ lij nn lij 0，i＜j ，
R rij nn rij 0，i＞j ．将 A，L 和 R 进行分块，得
这里 Ak ， Lk 和 Rk 分别是 A，L 和 R 的 k 阶顺序主子阵，且 Lk 和 Rk 分别是上三角矩阵
和下三角矩阵．由矩阵的分块乘法运算，得
由于
所以
＝ l11 lkkr11 rkk≠0 (k 1, 2, , n 1)
充分性．对阶数 n 用归纳法证明．当 n=1 时， A1 a11 1a11 ，结论成立．设对
n=k 结论成立，即 Ak Lk Rk ，其中 Lk 和 Rk 分别是上三角矩阵和下三角矩阵，且由 k det Ak det Lk det Rk≠0 知， Lk 与 Rk 均可逆．则当 n=k+1 时，有
其中 ck a1,k1 , , ak ,k1 T ，rkT ak1,1 , , ak1,k ．故由归纳假设知 A 可以作三角分解．
证毕
这个定理说明，并不是每个可逆矩阵都可以作三角分解．如矩阵
A

0 1
1
0

就不能作
三解分解．
定理 4.2
设
A
Cnn r
，且
A
的前
r
个顺序主子式不为零，即
k
≠0
(k=1，2，…，r)，
见 A 可以作三角分解．
证 由定理 4.1 知， Ar 可以作三角分解，即 Ar Lr Rr ，且 Lr 和 Rr 分别是可逆的上三
角矩阵和下三角矩阵．将矩阵 A 分块为
由于 rankAr ＝rankA=r，所以 A 的后 n－r 行可由前 r 行线性表示，即存在矩阵 B Cnrr ，
使得 A21 BAr ， A22 BA12 ，从而
即得到 A 的一种三角分解．
证毕
该定理的条件仅是充分的．如矩阵
A

0 1
0 2

的秩为
1，不满足定理的条件，但
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