2014年高考一轮复习数学教案：9.7 空间向量及其坐标运算(B)
2013 年，2014 年,高考第一轮复习,数学教案集
9.7
●知识梳理
空间向量及其坐标运算（B）
1.若 OP =xi+yj+zk，那么（x，y，z）叫做向量 OP 的坐标，也叫点 P 的坐标. 2.设 a=（x1，y1，z1） ，b=（x2，y2，z2） ， 那么 a±b=（x1±x2，y1±y2，z1±z2） ， a2b=x1x2+y1y2+z1z2， cos〈a，b〉=
x1
2
x1 x 2 ? y1 y 2 ? z1 z 2 ? y1
2
.
2
? z1
2
x2
2
? y2
? z2
2
3.设 M1（x1，y1，z1） 2（x2，y2，z2） ，M ， 则|M1M2|= ( x 1 ? x 2 ) 2 ? ( y 1 ? y 2 ) 2 ? ( z 1 ? z 2 ) 2 . 4.对非零向量 a 与 b，有 a∥b ? a=kb；a⊥b ? a2b=0. ●点击双基 1.若 a=（2x，1，3） ，b=（1，－2y，9） ，如果 a 与 b 为共线向量，则 A.x=1，y=1 B.x=
1 2
，y=－
1 2
C.x=
1 6
，y=－
3 2
D.x=－
1 ? 2y
1 6
，y=
3 2
解析：∵a=（2x，1，3）与 b=（1，－2y，9）共线，故有
1 6 3 2
2x 1
=
=
3 9
.
∴x=
，y=－
.应选 C.
答案：C 2.在空间直角坐标系中，已知点 P（x，y，z） ，下列叙述中正确的个数是 ①点 P 关于 x 轴对称点的坐标是 P1（x，－y，z） ②点 P 关于 yOz 平面对称点的坐标 是 P2（x，－y，－z） ③点 P 关于 y 轴对称点的坐标是 P3（x，－y，z） ④点 P 关于原 点对称的点的坐标是 P4（－x，－y，－z） A.3 B.2 C.1 D.0 解析：P 关于 x 轴的对称点为 P1（x，－y，－z） ，关于 yOz 平面的对称点为 P2（－x，y， z） ，关于 y 轴的对称点为 P3（－x，y，－z）.故①②③错误. 答案：C 3.已知向量 a=（1，1，0） ，b=（－1，0，2） ，且 ka＋b 与 2a－b 互相垂直，则 k 值是 A.1 B.
1 5
C.
3 5
D.
7 5
解析：ka+b=k（1，1，0）＋（－1，0，2）=（k－1，k，2） ，2a－b=2（1，1，0）－
（－1，0，2）=（3，2，－2）.∵两向量垂直，∴3（k－1）＋2k－232=0.∴k= 答案：D
7 5
.
4.已知空间三点 A（1，1，1） 、B（－1，0，4） 、C（2，－2，3） ，则 AB 与 CA 的夹角 θ 的大小是_________. 解析： AB =（－2，－1，3） CA =（－1，3，－2） ， ， cos〈 AB ， CA 〉=
? 7 14
1 2
( ? 2 ) ? ( ? 1) ? ( ? 1) ? 3 ? 3 ? ( ? 2 ) 14 ? 14
=
=－
，∴θ =〈 AB ， CA 〉=120°.
答案：120° 5.已知点 A（1，2，1） 、B（－1，3，4） 、D（1，1，1） ，若 AP =2 PB ，则| PD |的值 是__________. 解析：设点 P（x，y，z） ，则由 AP =2 PB ，得（x－1，y－2，z－1）=2（－1－x，3－y，
1 ? ?x ? ? , 3 ? x ? 1 ? ?2 ? 2 x, ? 8 ? ? 4－z） ，即 ? y ? 2 ? 6 ? 2 y , 解得 ? y ? , 3 ? z ? 1 ? 8 ? 2 z, ? ? ? z ? 3, ? ?
则| PD |= ( ?
1 3
? 1)
2
? (
8 3
? 1)
2
? ( 3 ? 1)
2
=
77 3
.
答案：
77 3
●典例剖析 【例 1】 已知 AB =（2，2，1） AC =（4，5，3） ， ，求平面 ABC 的单位法向量. 解：设面 ABC 的法向量 n=（x，y，1） n⊥ AB 且 n⊥ AC ，即 n2 AB =0，且 n2 AC =0， ，则 即 2x+2y+1=0， 4x+5y+3=0，
1 ? ?x ? , 即? 2 ? y ? ? 1, ?
∴n=（ ，－1，1） ，单位法向量 n0=±
2
1
n |n |
=±（ ，－ ， ）.
3 3 3
1
2
2
特别提示
一般情况下求法向量用待定系数法.由于法向量没规定长度，仅规定了方向，所以有一 个自由度，可把 n 的某个坐标设为 1，再求另两个坐标.平面法向量是垂直于平面的向量， 故法向量的相反向量也是法向量，所以本题的单位法向量应有两解. 【例 2】 在三棱锥 S—ABC 中， ∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°， AC=2， BC= 13 ， SB= 29 . （1）求证：SC⊥BC； （2）求 SC 与 AB 所成角的余弦值.
解法一： 如下图， A 为原点， 取 AB、 分别为 y、 轴建立空间直角坐标系， AS z 则有 AC=2， BC= 13 ，SB= 29 ，得 B（0， 17 ，0） 、S（0，0，2 3 ） 、C（2
13 17
，
4 17
，0） SC ，
=
（2
13 17
，
4 17
，－2 3 ） CB =（－2 ，
z S
13 17
，
13 17
，0）.
A B x C
y
（1）∵ SC 2 CB =0，∴SC⊥BC. （2） SC 与 AB 所成的角为α ， AB = 设 ∵ （0， 17 ， ， 2AB =4，SC || AB |=4 17 ， 0） SC | ∴cosα =
17 17
，即为所求.
解法二： （1）∵SA⊥面 ABC，AC⊥BC，AC 是斜线 SC 在平面 ABC 内的射影，∴SC⊥BC. （2）如下图，过点 C 作 CD∥AB，过点 A 作 AD∥BC 交 CD 于点 D，连结 SD、SC， 则∠SCD 为异面直线 SC 与 AB 所成的角.∵四边形 ABCD 是平行四边形， CD= 17 ， SA=2 3 ， SD= SA 2 ? AD
2
= 12 ? 13 =5， ∴在△SDC 中， 由余弦定理得 cos∠SCD=
S
17 17
，即为所求.
A
B
D
C
特别提示
本题（1）采用的是“定量”与“定性”两种证法.题（2）的解法一应用向量的数量积 直接计算，避免了作辅助线、平移转化的麻烦，但需建立恰当的坐标系；解法二虽然避免了 建系，但要选点、平移、作辅助线、解三角形. 【例 3】 如下图，直棱柱 ABC—A1B1C1 的底面△ABC 中，CA=CB=1，∠BCA=90°， 棱 AA1=2，M、N 分别是 A1B1、A1A 的中点.
z C1 A1
N M
B1
C x A
B
y
（1）求 BN 的长； （2）求 cos〈 BA 1 ， CB 1 〉的值；
（3）求证：A1B⊥C1M. （1）解：依题意得 B（0，1，0） ，N（1，0，1） ， ∴｜ BN ｜= (1 ? 0 ) 2 ? ( 0 ? 1) 2 ? (1 ? 0 ) 2 = 3 . （2）解：A1（1，0，2） ，B（0，1，0） ，C（0，0，0） 1（0，1，2） ，B ， ∴ BA 1 =（1，－1，2） CB 1 =（0，1，2） BA 1 2CB 1 =3，｜ BA 1 ｜= 6 ，｜ CB 1 ｜= 5 . ， ， ∴cos〈 BA 1 ， CB 1 〉=
BA 1 ? CB | BA 1 || CB
1
=
|
1 2 1 2 1 2
30 10
.
1
（3）证明：C1（0，0，2） ，M（
A1 B
，
，2） ， ，0） ，∴ A 1 B 2 C 1 M =0，∴A1B⊥C1M.
=（－1，1，－2） C 1 M =（ ，
，
1 2
深化拓展
根据本题条件，还可以求直线 AC1 与平面 A1ABB1 所成的角.（答案是 arcsin
10 10
）
【例 4】 如下图，在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中，E、F 分别是 BB1、CD 的中点.
D1 A1 B1 C1
E D F A B C
（1）证明 AD⊥D1F； （2）求 AE 与 D1F 所成的角； （3）证明面 AED⊥面 A1D1F. 解：取 D 为原点，DA、DC、DD1 为 x 轴、y 轴、z 轴建立直角坐标系，取正方体棱长 为 2，则 A（2，0，0） 1（2，0，2） 1（0，0，2） 、A 、D 、E（2，2，1） 、F（0，1，0）. （1）∵ DA 2 D 1 F =（2，0，0）（0，1，－2）=0，∴AD⊥D1F. 2 （2）∵ AE 2 D 1 F =（0，2，1）（0，1，－2）=0， 2 ∴AE⊥D1F，即 AE 与 D1F 成 90°角. （3）∵ DE 2 D 1 F =（2，2，1）（0，1，－2）=0， 2 ∴DE⊥D1F.∵AE⊥D1F，∴D1F⊥面 AED. ∵D1F 面 A1D1F，∴面 AED⊥面 A1D1F.
思考讨论
本题是高考题，标准答案的解法较为复杂，而运用代数向量求解则轻而易举，充分显示 出代数化方法研究几何图形的优越性，这应作为立体几何复习的一个重点去掌握.通过坐标 法计算数量积去证垂直，求夹角、距离，是高考的重点. ●闯关训练
夯实基础 1.设 OABC 是四面体，G1 是△ABC 的重心，G 是 OG1 上一点，且 OG=3GG1，若 OG x OA +y OB +z OC ，则（x，y，z）为 A.（
1 4
=
，
1 4
，
1 4 3 4
）
OG
B.（ =
3 4
3 4
，
3 4
，
3 4
）
3 4
C.（
OA
1 3
，
3 4
1 3
，
2 3
1 3
）
1
D.（
2 3
，
2 3 3 4
，
2 3
） +
解析： OG = ∵
1 4
1
（ OA + AG 1 ） =
1 4
+
1 4
2 ［ （ AB + AC ） = ］
2
OA
［ OB － OA ）+（ OC － OA ） （ ］=
1 4
OA
+
1 4
OB
+
OC
，而 OG =x OA +y OB +z OC ，
∴x=
，y=
1 4
，z=
1 4
.
答案：A 2.在棱长为 1 的正方体 ABCD—A1B1C1D1 中，M、N 分别为 A1B1 和 BB1 的中点，那么直 线 AM 与 CN 所成的角为
D1 A1 M B1 C1
N D C B
A
A.arccos
3 2
B.arccos
10 10
C.arccos
3 5
D.arccos
2 5
解法一：∵ AM = AA 1 + A 1 M ， CN
A1 M
= CB + BN ，∴ AM 2 CN =（ AA 1 +
）（ CB + BN ）= AA 1 2 BN = 2
1 2
.
1 4
而| AM |= ( AA 1 ? A1 M ) ? ( AA 1 ? A1 M ) = | AA 1 | 2 ? | A1 M | 2 = 1 ?
5 2
=
5 2
.
同理，| CN |=
.如令α 为所求之角，则
1
cosα =
AM ? CN | AM || CN |
2 =2 = ，
5
5
4
∴α =arccos
2 5
.
解法二：建立如下图所示坐标系，把 D 点视作原点 O，分别沿 DA 、 DC 、 DD 1 方向 为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向，则 A（1，0，0） ，M（1，
1 2
，1） ，C（0，1，0） ，N（1，1，
1 2
）.
z D1 A1 M B1 C1
D O A x
N
C
y
B
∴ AM =（1，
CN
1 2
，1）－（1，0，0）=（0， ）－（0，1，0）=（1，0，
1 2
1 2 1 2
，1） ， ）.
=（1，1，
1 2
故 AM 2 CN =031+
1
30+13
5 2
1 2
=
1 2
，
1
| AM |= 0 2 ? ( ) 2 ? 1 2 =
2
，| CN |= 1 2 ? 0 2 ? ( ) 2 =
2
5 2
.∴cosα =
AM ? CN | AM || CN |
=
1 2 5 2 ? 5 2
=
2 5
.∴α =arccos
2 5
.
答案：D 3.命题：①若 a 与 b 共线，b 与 c 共线，则 a 与 c 共线；②向量 a、b、c 共面，则它们 所在的直线也共面；③若 a 与 b 共线，则存在唯一的实数λ ，使 b=λ a；④若 A、B、C 三 点不共线， 是平面 ABC 外一点，OM = O
1 3
OA
+
1 3
OB
+
1 3
OC
， 则点 M 一定在平面 ABC
上，且在△ABC 内部. 上述命题中的真命题是_____________. 解法一：①中 b 为零向量时，a 与 c 可以不共线，故①是假命题；②中 a 所在的直线其 实不确定，故②是假命题；③中当 a=0，而 b≠0 时，则找不到实数λ ，使 b=λ a，故③是 假命题；④中 M 是△ABC 的重心，故 M 在平面 ABC 上且在△ABC 内，故④是真命题. 解法二：可以证明④中 A、B、C、M 四点共面.等式两边同加 MO ，则 （ MO
3 1
+ OA ）
+ （ MO + OB ） （ MO + OC ） + =0， MA 即
3 3
1
1
+ MB + MC =0，MA =－ MB － MC ， MA 则
与 MB 、 MC 共面，又 M 是三个有向线段的公共点，故 A、B、C、M 四点共面. 答案：④ 4.设点 C（2a+1，a+1，2）在点 P（2，0，0） 、A（1，－3，2） 、B（8，－1，4）确定 的平面上，求 a 的值. 解： PA =（－1，－3，2） PB =（6，－1，4）.根据共面向量定理，设 PC =x PA +y PB ， （x、y∈R） ，则（2a－1，a+1，2）=x（－1，－3，2）+y（6，－1，4）=（－x+6y，－3x－y，
?2a ? 1 ? ? x ? 6 y, ? 2x+4y） ，∴ ? a ? 1 ? ? 3 x ? y , 解得 ?2 ? 2 x ? 4 y. ?
x=－7，y=4，a=16.
5.已知正方体 ABCD—A1B1C1D1 的棱长为 2， Q 分别是 BC、 上的动点， P、 CD 且|PQ|= 2 ， 建立如下图所示的坐标系.
z A1 C1 D1
B1
A B x P C Q
D
y
（1）确定 P、Q 的位置，使得 B1Q⊥D1P； （2）当 B1Q⊥D1P 时，求二面角 C1—PQ—A 的大小. 解： （1）设 BP=t，则 CQ= 2 ? ( 2 ? t ) 2 ，DQ=2－ 2 ? ( 2 ? t ) 2 . ∴B1（2，0，2） 1（0，2，2） ，D ，P（2，t，0） ，Q（2－ 2 ? ( 2 ? t ) 2 ，2，0） ， ∴ QB 1 =（ 2 ? ( 2 ? t ) 2 ，－2，2） ，
PD 1
=（－2，2－t，2）.
∵B1Q⊥D1P 等价于 QB 1 2 PD 1 =0， 即－2 2 ? ( 2 ? t ) 2 －2（2－t）+232=0， 整理得 2 ? ( 2 ? t ) 2 =t，解得 t=1. 此时，P、Q 分别是棱 BC、CD 的中点，即 P、Q 分别是棱 BC、CD 的中点时，B1Q⊥ D1P；
z A1 C1 D1
B1
A E B x P C Q
D
y
（2）当 B1Q⊥D1P 时，由（1）知 P、Q 分别是棱 BC、CD 的中点. 在正方形 ABCD 中，PQ∥BD，且 AC⊥BD，故 AC⊥PQ. 设 AC 与 PQ 的交点为 E，连结 C1E. ∵在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中，CC1⊥底面 ABCD，CE 是 C1E 在底面 ABCD 内的射
影，∴C1E⊥PQ， 即∠C1EC 是二面角 C1—PQ—C 的平面角，∠C1EA 是二面角 C1—PQ—A 的平面角. 在正方形 ABCD 中，CE=
2 2
，
2 2 2
在 Rt△C1EC 中，tan∠C1EC=
=2 2 ，
∴∠C1EC=arctan2 2 ， ∠C1EA=π －arctan2 2 . ∴二面角 C1—PQ—A 的大小是π －arctan2 2 . 培养能力 6.已知三角形的顶点是 A（1，－1，1） ，B（2，1，－1） ，C（－1，－1，－2）.试求这 个三角形的面积. 解：S ? ABC = S ? ABC =
1 2 1 2
2 2
1 2
|AB||AC|sinα ，其中α 是 AB 与 AC 这两条边的夹角.则
1 2
| AB || AC | 1 ? cos 2 ?
AB ? AC | AB || AC |
=
| AB || AC |
1? (
)
2
=
| AB | ? | AC | ? ( AB ? AC )
2
.
在本题中， AB =（2，1，－1）－（1，－1，1）=（1，2，－2） AC =（－1，－1， ， －2）－（1，－1，1）=（－2，0，－3） ， ∴| AB |2=12+22+（－2）2=9， | AC |2=（－2）2+02+（－3）2=13，
AB
2 AC =12 （－2）+220+（－2）（－3）=－2+6=4， 2
1 2
∴S ? ABC =
9 ? 13 ? 4
2
=
101 2
.
7.证明正三棱柱的两个侧面的异面对角线互相垂直的充要条件是它的底面边长与侧棱 长的比为 2 ∶1.
z B A
O
y C
x
证明：如图，以正三棱柱的顶点 O 为原点，棱 OC、OB 为 y 轴、z 轴，建立空间直角坐 标系，设正三棱柱底面边长与棱长分别为 2a、b，则 A（ 3 a，a，b） 、B（0，0，b） 、C（0， 2a，0）.因为异面对角线 OA⊥BC ? OA 2 BC =0 ? （ 3 a，a，b）（0，2a，－b）=2a2 2 －b2=0 ? b= 2 a，即 2a∶b= 2 ∶1，所以 OA⊥BC 的充要条件是它的底面边长与侧棱长 的比为 2 ∶1. 探究创新 8.如图，ABCD 是边长为 a 的菱形，且∠BAD=60°，△PAD 为正三角形，且面 PAD⊥ 面 ABCD.
P
F A E B C
D
（1）求 cos〈 AB ， PD 〉的值； （2）若 E 为 AB 的中点，F 为 PD 的中点，求| EF |的值； （3）求二面角 P—BC—D 的大小. 解： （1）选取 AD 中点 O 为原点，OB、AD、OP 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立 空间直角坐标系，则 A（0，－ 0）. ∴ AB =（
3 2
a 2
，0） ，B（
3 2
a，0，0） ，P（0，0，
3 2
a） ，D（0，
a 2
，
a，
a 2
，0） PD =（0， ，
a 2
，－
3
3 2
a） ，
a 2 a 2 ? 0
2
则 cos AB ，PD 〉 〈 =
AB ? PD | AB || PD |
a?0? a 2
?
? 0 ? (? a 2
3 2
a)
=
( 3 2 a)
2
2 ? ( )
2
=
? (? 3 2 a)
2
1 4
.
? 0
2
? (
)
2
（2）∵E、F 分别为 AB、PD 的中点， ∴E（
3 4
a，－
a 4
，0） ，F（0，
a 4
，
3 4
a）.
则| EF |= (
3 4
a ? 0)
2
? (?
a 4
?
a 4
)
2
? (0 ?
3 4
a)
2
=
10 4
a.
（3）∵面 PAD⊥面 ABCD，PO⊥AD， ∴PO⊥面 ABCD. ∵BO⊥AD，AD∥BC，∴BO⊥BC. 连结 PB，则 PB⊥BC， ∴∠PBO 为二面角 P—BC—D 的平面角. 在 Rt△PBO 中，PO=
3
3 2
a，BO=
3 2
a，
∴tan∠PBO=
PO BO
a
= 2
3 2 a
=1.则∠PBO=45°.
故二面角 P—BC—D 的大小为 45°. ●思悟小结 本节知识是代数化方法研究几何问题的基础， 向量运算分为向量法与坐标法两类， 以通 过向量运算推理，去研究几何元素的位置关系为重点.利用两个向量（非零）垂直 ? 数量积 为零，可证明空间直线垂直；利用数量积可计算两异面直线的夹角，可求线段的长度；运用 共面向量定理可证点共面、线面平行等；利用向量的射影、平面的法向量，可求点面距、线 面角、异面直线的距离等. ●教师下载中心 教学点睛 1.要使学生理解空间向量、空间点的坐标的意义，掌握向量加法、减法、数乘、点乘的 坐标表示以及两点间的距离、夹角公式.通过解题，会应用空间向量的坐标运算解决立体几 何中有关平行、垂直、夹角、距离等问题. 2.运用空间向量的坐标运算解决几何问题时，首先要恰当建立空间直角坐标系，计算出 相关点的坐标，进而写出向量的坐标，再结合公式进行论证、计算，最后转化为几何结论. 拓展题例 【例 1】 已知 A（3，2，1） 、B（1，0，4） ，求： （1）线段 AB 的中点坐标和长度； （2）到 A、B 两点距离相等的点 P（x，y，z）的坐标满足的条件. 解： （1）设 P（x，y，z）是 AB 的中点，则 OP =
5 5 1 2
（ OA + OB ）=
1 2
［ （3，2，1）+
（1， 4） = 0， ］ （2， 1， ） ∴点 P 的坐标是 ， （2， 1， ） dAB= (1 ? 3 ) 2 ? ( 0 ? 2 ) 2 ? ( 4 ? 1) 2 = 17 . ，
2 2
（2）设点 P（x，y，z）到 A、B 的距离相等， 则 ( x ? 3 ) 2 ? ( y ? 2 ) 2 ? ( z ? 1) 2 = ( x ? 1) 2 ? y 2 ? ( z ? 4 ) 2 . 化简得 4x+4y－6z+3=0，即为 P 的坐标应满足的条件. 评述： 空间两点 P1 1， 1， 1） P2 2， 2， 2） （x y z 、 （x y z 的中点为 （
x1 ? x 2 2
，
y1 ? y 2 2
，
z1 ? z 2 2
） ，
且|P1P2|= ( x 1 ? x 2 ) 2 ? ( y 1 ? y 2 ) 2 ? ( z 1 ? z 2 ) 2 . 【例 2】 棱长为 a 的正方体 ABCD—A1B1C1D1 中，在棱 DD1 上是否存在点 P 使 B1D ⊥面 PAC？
z D1 A1 P D A x B C y B1 C1
解：以 D 为原点建立如图所示的坐标系， 设存在点 P（0，0，z） ，
AP
=（－a，0，z） ， =（－a，a，0） ， =（a，a，a） ，
AC
DB 1
∵B1D⊥面 PAC，∴ DB 1 2 AP =0， DB 1 2 AC =0.∴－a2+az=0.∴z=a，即点 P 与 D1 重合. ∴点 P 与 D1 重合时，DB1⊥面 PAC. 【例 3】 （2004 年春季安徽）已知三棱柱 ABC—A1B1C1 中底面边长和侧棱长均为 a， 侧面 A1ACC1⊥底面 ABC，A1B=
6 2
A1 B1 C1
a.
A
C B
（1）求异面直线 AC 与 BC1 所成角的余弦值； （2）求证：A1B⊥面 AB1C. 解：过点 B 作 BO⊥AC，垂足为点 O，则 BO⊥侧面 ACC1A1，连结 A1O，在 Rt△A1BO 中，A1B=
6 2
a，BO=
a 2
3 2
a，∴A1O=
3 2
a.
又 AA1=a，AO=
.∴△A1AO 为直角三角形，A1O⊥AC，A1O⊥底面 ABC.
A1 B1 C1
A
O
C
B
解法一： （1）∵A1C1∥AC，∴∠BC1A1 为异面直线 AC 与 BC1 所成的角.
∵A1O⊥面 ABC，AC⊥BO，∴AC⊥A1B.∴A1C1⊥A1B. 在 Rt△A1BC1 中，A1B= ∴BC1=
10 2 6 2
a，A1C1=a，
10 5
a.∴cos∠BC1A1=
.
10 5
∴异面直线 AC 与 BC1 所成角的余弦值为
.
（2）设 A1B 与 AB1 相交于点 D， ∵ABB1A1 为菱形，∴AB1⊥A1B. 又 A1B⊥AC，AB1 与 AC 是平面 AB1C 内两条相交直线，∴A1B⊥面 AB1C.
z A1 B1 C1
A
O C B
y
x
解法二： （1） 如图， 建立坐标系， 原点为 BO⊥AC 的垂足 O.由题设条件可得 B （ 0，0） 1（0，a， ，C ∴ BC 1 =（－
3 2 3 2
3 2
a，
a） ，A（0，－ a，a，
3 2
1 2
a，0） ，C（0，
1 2
a，0） ，
a） AC =（0，a，0）. ，
设 AC 与 BC 1 的夹角为θ ，则
BC | BC ? AC || AC |
a 10 2
2
cosθ =
1 1
=
=
a ?a
10 5
，
∴异面直线 AC 与 BC1 所成角的余弦值为 （2）A1（0，0，
AC
3 2
10 5
.
3 2
a） ，B（
3 2
a，0，0） ，∴ A 1 B =（
a，0，－
3 2
a） ，
=（0，a，0） A 1 B 2 AC =0. ，
∴A1B⊥AC. ∵ABB1A1 为菱形，∴A1B⊥AB1. 又∵AB1 与 AC 为平面 AB1C 内两条相交直线，∴A1B⊥平面 AB1C.
平面向量的坐标运算(教案)
平面向量的坐标运算（一）（教案） 教学目标： 知识与技能：（1）理解平面向量的坐标概念；（2）掌握平面向量的坐标运算. 过程与方法：（1）通过对坐标平面内点和向量的类比，培养学生类比推理的能力； （2）通过平面向量坐标表示和坐标运算法则的推导培养学生归纳、猜想、演绎的能力； （3）通过用代数方法处理几何问题，提高学生用数形结合的思想方法解决问题的能力. 情感、态度与价值观:（1）让学生在探索中体验探究的艰辛和成功的乐趣，培养学生锲而不舍的求索精神和合作交流的团队精神，提高学生的数学素养； （2）使学生认识数学运算对于建构数学系统、刻画数学对象的重要性，进而理解数学的本质； （3）让学生体会从特殊到一般，从一般到特殊的认识规律. 教学重点和教学难点： 教学重点：平面向量的坐标运算； 教学难点：平面向量坐标的意义. 教学方法：“引导发现法”、“探究学习”及“合作学习”的模式. 教学手段：利用多媒体动画演示及实物展示平台增加直观性，提高课堂教学效率. 教学过程设计： 一、创设问题情境，引入课题. 同学们，我们知道，向量的概念是从物理中抽象出来的，人们最初对向量的研究是从几何的的角度来进行的，但是随着问题的不断深入，我们发现用图形来研究向量有一些不便之处，那么，有没有一种更简洁的方式可以来表示向量呢？ 我国著名数学家华罗庚先生说过：“数无形，少直观；形无数，难入微。”图形关系往往与某些数量关系密切联系在一起，数与形是互相依赖的，所以我们想到了用数来表示向量. 思路一：用一个数能否表示向量？（请学生回答） （不能，因为向量既有大小，又有方向）
思路二：用两个数能否表示向量？（引导学生思考） 在平面直角坐标系内，一个点和一对有序实数对之间有一一对应的关系，那么，向量是否也能找到与之对应的实数呢？ 让我们先来探讨这样一个问题： 探究一：如图，为互相垂直的单位向量，请用,i j 表示图中的向量,,,.a b c d 使1122=a e e λλ+ ，其中的1e ，2e 称为平面的一组基底. 强调：基底不唯一，只要不共线，就可作为基底，而一旦基底选定，任一向量在基底方向的分解形式就是唯一的. 二、理解概念，加深认识. 根据平面向量基本定理，我们知道，在选定基底的情况下，所给,,,.a b c d 四 个向量在基底方向的分解形式是唯一的，也就是说，这几个向量用基底、来表示的形式是唯一的，每个向量对应的这对实数对我们就将其称之为向量的坐标. 推广到平面内的任意向量，我们怎样来定义向量的坐标？（引导学生思考，请学生尝试给出定义） 如图，在直角坐标系内，我们分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底任作一个向量，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数、，使得 a xi yj =+ …………○ 1 我们把),(y x 叫做向量的（直角）坐标，记作
空间向量与立体几何(整章教案)
空间向量与立体几何 一、知识网络： 二．考纲要求： （1）空间向量及其运算 ① 经历向量及其运算由平面向空间推广的过程； ② 了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示； ③ 掌握空间向量的线性运算及其坐标表示； ④ 掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直。 （2）空间向量的应用 ① 理解直线的方向向量与平面的法向量； ② 能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系； ③ 能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）； ④ 能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用。 三、命题走向 本章内容主要涉及空间向量的坐标及运算、空间向量的应用。本章是立体几何的核心内容，高考对本章的考查形式为：以客观题形式考查空间向量的概念和运算，结合主观题借助空间向量求夹角和距离。 预测10年高考对本章内容的考查将侧重于向量的应用，尤其是求夹角、求距离，教
材上淡化了利用空间关系找角、找距离这方面的讲解，加大了向量的应用，因此作为立体几何解答题，用向量法处理角和距离将是主要方法，在复习时应加大这方面的训练力度。 第一课时 空间向量及其运算 一、复习目标：1．理解空间向量的概念；掌握空间向量的加法、减法和数乘； 2．了解空间向量的基本定理； 3．掌握空间向量的数量积的定义及其性质；理解空间向量的夹角的概念；掌握空间向量的数量积的概念、性质和运算律；了解空间向量的数量积的几何意义；能用向量的数量积判断向量的共线与垂直。 二、重难点：理解空间向量的概念；掌握空间向量的运算方法 三、教学方法：探析类比归纳，讲练结合 四、教学过程 （一）、谈最新考纲要求及新课标高考命题考查情况，促使积极参与。 学生阅读复资P128页，教师点评，增强目标和参与意识。 （二）、知识梳理，方法定位。（学生完成复资P128页填空题，教师准对问题讲评）。 1．空间向量的概念 向量：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。如位移、速度、力等。 相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。 表示方法：用有向线段表示，并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量。 说明：①由相等向量的概念可知，一个向量在空间平移到任何位置，仍与原来的向量相等，用同向且等长的有向线段表示；②平面向量仅限于研究同一平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移。 ②向量加法的平行四边形法则在空间仍成立。 3．平行向量(共线向量)：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合， 则这些向量叫做共线向量或平行向量。a 平行于b 记作a ∥b 。 注意：当我们说a 、b 共线时，对应的有向线段所在直线可能是同一直线，也可能是平 行直线；当我们说a 、b 平行时，也具有同样的意义。 共线向量定理：对空间任意两个向量a （a ≠）、b ，a ∥b 的充要条件是存在实数λ使b ＝λa （1）对于确定的λ和a ，b ＝λa 表示空间与a 平行或共线，长度为 |λa |，当λ>0时与
向量的坐标表示及其运算
资源信息表
（2）向量的坐标表示及其运算（2） 一、教学内容分析 向量是研究数学的工具，是学习数形结合思想方法的直观而又生动的内容.向量的坐标以及向量运算的坐标形式，则从“数、式”的角度对向量以及向量的运算作了精确的、定量的描述.本节课是向量的坐标及其运算的第二课时，一方面把“形”与“数、式”结合起来思考，以“数”入微，借“形”思考，体会并感悟数形结合的思维方式；另一方面通过例5的演绎推理教学，体会代数证明的严谨性，也为定比分点（三点共线）的教学提供基础. 二、教学目标设计 1．理解并掌握两个非零向量平行的充要条件，巩固加深充
要条件的证明方式； 2．会用平行的充要条件解决点共线问题； 3、定比分点坐标公式. 三、教学重点及难点 课本例5的演绎证明； 分类思想，数形结合思想在解决问题时的运用； 特殊——一般——特殊的探究问题意识. 五、教学过程设计： 复习向量平行的概念： 提问：（1）升么是平行向量方向相同或相反的向量叫做平行向
量。 （2）实数与向量相乘有何几何意义 （3）由此对任意两个向量,a b ，我们可以用怎样的数量关系来刻画平行对任意两个向量,a b ，若存在一个常数λ，使得 a b λ=?成立，则两向量a 与向量b 平行 （4）思考：如果向量,a b 用坐标表示为) ,(),,(2211y x y x ==能否用向量的坐标来刻画这个数量关系12 12 x x y y λλ=??=? 思考：如果向量,a b 用坐标表示为),(),,(2211y x y x ==，则 2 121y y x x =是b a //的（ ）条件. A 、充要 B 、必要不充分 C 、充分不必要 D 、既不充分也不必要 由此，通过改进引出 课本例5 若,a b 是两个非零向量，且1122(,),(,)a x y b x y ==， 则//a b 的充要条件是1221x y x y =. 分析：代数证明的方法与技巧，严密、严谨. 证明：分两步证明， （Ⅰ）先证必要性：//a b 1221x y x y ?= 非零向量//a b ?存在非零实数λ，使得a b λ=，即
空间向量及其运算详细教案
空间向量及其运算 3.1.1 空间向量及其加减运算 教学目标： （1）通过本章的学习，使学生理解空间向量的有关概念。 （2）掌握空间向量的加减运算法则、运算律，并通过空间几何体加深对运算的理解。 能力目标： （1）培养学生的类比思想、转化思想，数形结合思想，培养探究、研讨、综合自学应用能力。 （2）培养学生空间想象能力，能借助图形理解空间向量加减运算及其运算律的意义。（3）培养学生空间向量的应用意识 教学重点： （1）空间向量的有关概念 （2）空间向量的加减运算及其运算律、几何意义。 （3）空间向量的加减运算在空间几何体中的应用 教学难点： （1）空间想象能力的培养，思想方法的理解和应用。 （2）空间向量的加减运算及其几何的应用和理解。 考点：空间向量的加减运算及其几何意义，空间想象能力，向量的应用思想。 易错点：空间向量的加减运算及其几何意义在空间几何体中的应用 教学用具：多媒体 教学方法：研讨、探究、启发引导。 教学指导思想：体现新课改精神，体现新教材的教学理念，体现学生探究、主动学习的思维习惯。 教学过程： （老师）：同学们好！首先请教同学们一个问题：物理学中，力、速度和位移是什么量？怎样确定？ （学生）：矢量，由大小和方向确定 （学生讨论研究）（课件）引入：（我们看这样一个问题）有一块质地均匀的正三角形面的钢板，重500千克，顶点处用与对边成60度角，大小200千克的三个力去拉三角形钢板，问钢板在这些力的作用下将如何运动？这三个力至少多大时，才能提起这块钢板？ （老师）：我们研究的问题是三个力的问题，力在数学中可以看成是什么？ （学生）向量 （老师）：这三个向量和以前我们学过的向量有什么不同？ （学生）这是三个向量不共面 （老师）：不共面的向量问题能直接用平面向量来解决么？ （学生）：不能，得用空间向量 （老师）：是的，解决这类问题需要空间向量的知识这节课我们就来学习空间向量板书：空间向量及其运算 （老师）:实际上空间向量我们随处可见，同学们能不能举出一些例子？ （学生）举例 （老师）：然后再演示（课件）几种常见的空间向量身影。（常见的高压电线及支架所在向量，长方体中的三个不共线的边上的向量，平行六面体中的不共线向量） （老师）:接下来我们我们就来研究空间向量的知识、概念和特点，空间向量与平面向量既有联系又有区别，我们将通过类比的方法来研究空间向量，首先我们复习回顾一下平面向量
空间向量及其运算
§8.5 空间向量及其运算 1． 空间向量的概念 (1)定义：空间中既有大小又有方向的量叫作空间向量． (2)向量的夹角：过空间任意一点O 作向量a ，b 的相等向量OA →和OB → ，则∠AOB 叫作向量a ，b 的夹角，记作〈a ，b 〉，0≤〈a ，b 〉≤π. 2． 共线向量定理和空间向量基本定理 (1)共线向量定理 对空间任意两个向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在实数λ，使得a ＝λb . (2)空间向量基本定理 如果向量e 1，e 2，e 3是空间三个不共面的向量，a 是空间任一向量，那么存在唯一一组实数λ1，λ2，λ3使得a ＝λ1e 1＋λ2e 2＋λ3e 3，其中e 1，e 2，e 3叫作空间的一个基底． 3． 空间向量的数量积及运算律 (1)定义 空间两个向量a 和b 的数量积是一个数，等于|a ||b |cos 〈a ，b 〉，记作a ·b . (2)空间向量数量积的运算律 ①结合律：(λa )·b ＝λ(a·b )； ②交换律：a·b ＝b·a ； ③分配律：a·(b ＋c )＝a·b ＋a·c . 4． 空间向量的坐标表示及应用 (1)数量积的坐标运算 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)， 则a·b ＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3. (2)共线与垂直的坐标表示 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)， 则a ∥b ?a ＝λb ?a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3 (λ∈R )， a ⊥b ?a·b ＝0?a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0(a ，b 均为非零向量)． (3)模、夹角公式 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)， 则|a |＝a·a ＝a 21＋a 22＋a 23，
空间向量高中数学教案课程
空间向量 考纲导读 1．理解空间向量的概念；掌握空间向量的加法、减法和数乘． 2．了解空间向量的基本定理；理解空间向量坐标的概念；掌握空间向量的坐标运算． 3．掌握空间向量的数量积的定义及其性质；掌握用直角坐标计算空间向量数量积的公式； 掌 握 空 间 两 点 间 的距离公式． 理解空间向量的夹角的概念；掌握空间向量的数量积的概念、性质和运算律；了解空间向量的数量积的几何意义；掌握空间向量的数量积的坐标形式；能用向量的数量积判断向量的共线与垂直. 第1课时空间向量及其运算 空间向量是平面向量的推广．在空间，任意两个向量都可以通过平移转化为平面向量．因此，空间向量的加减、数乘向量运算也是平面向量对应运算的推广． 本节知识点是：
1．空间向量的概念，空间向量的加法、减法、数乘运算和数量积；(1) 向量：具有 和 的量． (2) 向量相等：方向 且长度 ． (3) 向量加法法则： ．(4) 向量减法法则： ．(5) 数乘向量法则： ．3．共线向量 (1)共线向量：表示空间向量的有向线段所在的直线互相 或 ．(2) 共线向量定理：对空间任意两个向量a 、b (b ≠0)，a ∥b 等价于存在实数λ，使 ． (3) 直线的向量参数方程：设直线l 过定点A 且平行于非零向量a ，则对于空间中任意一点O ，点P 在l 上等价于存在R t ∈，使 ．4．共面向量 (1) 共面向量：平行于 的向量． (2) 共面向量定理：两个向量a 、b 不共线，则向量P 与向量a 、b 共面的充要条件是存在实数对(y x ,)，使P ． 共面向量定理的推论： ．5．空间向量基本定理 (1) 空间向量的基底： 的三个向量． 2．线性运算律 (1) 加法交换律：a ＋b ＝ ．
平面向量的基本定理及坐标运算
平面向量的基本定理及坐标运算 【考纲要求】 1、了解平面向量的基本定理及其意义. 2、掌握平面向量的正交分解及其坐标表示. 3、会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算. 4、理解用坐标表示的平面向量共线的条件. 【基础知识】 一、平面向量基本定理 如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数1λ、2λ，使得2211e e λλ+=，不共线的向量1e 、2e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 二、平面向量的坐标表示 在直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量、作为基底。由平面向量的基本定理知，该平面内的任意一个向量a 可表示成a xi y j =+，由于a 与数对(,)x y 是一一对应的，因此把(,)x y 叫做向量a 的坐标，记作(,)a x y =，其中x 叫作a 在x 轴上的坐标，y 叫作a 在y 轴上的坐标. 规定：(1)相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量。 (2)向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无
关，只与其相对位置有关。 三、平面向量的坐标运算 1、设a =11(,)x y ，b =22(,)x y ，则a b +=1212(,)x x y y ++. 2、设a =11(,)x y ，b =22(,)x y ，则a b -=1212(,)x x y y --. 3、设A 11(,)x y ，B 22(,)x y ，则2121(,)AB OB OA x x y y =-=--. 4、设a =()y x ,，R ∈λ，则λa =(,)x y λλ. 5、设a =11(,)x y ，b =22(,)x y ，则b a //12210x y x y ?-=（斜乘相减等于零） 6、设a =()y x ,，则22a x y =+ 四、两个向量平行（共线）的充要条件 1、如果0a ≠，则b a //的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b a λ=（没有坐标背景） 2、如果a =11(,)x y ，b =22(,)x y ，则b a //的充要条件是12210x y x y -=(坐标背景) 五、三点共线的充要条件 1、A 、B 、C 三点共线的充要条件是AB BC λ= 2、设OA 、OB 不共线，点P 、A 、B 三点共线的充要条件是 (1,,)OP OA OB R λμλμλμ=++=∈. 特别地，当12 λμ==时，P 是AB 中点。
空间向量及其运算练习题
空间向量及其运算 基础知识梳理 1.空间向量的有关概念 (1)空间向量：在空间中，具有________和________的量叫做空间向量. (2)相等向量：方向________且模________的向量. (3)共线向量：表示空间向量的有向线段所在的直线互相______________的向量. (4)共面向量：________________________________的向量. 2.共线向量、共面向量定理和空间向量基本定理 (1)共线向量定理 对空间任意两个向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是________________________. 推论 如图所示，点P 在l 上的充要条件是： OP →＝OA →＋t a ①其中a 叫直线l 的方向向量，t ∈R ，在l 上取AB →＝a ， 则①可化为OP →＝________或OP →＝(1－t )OA →＋tOB →. (2)共面向量定理的向量表达式：p ＝____________，其中x ，y ∈R ，a ， b 为不共线向量，推论的表达式为MP →＝xMA →＋yMB →或对空间任意一点 O ，有OP →＝____________或OP →＝xOM →＋yOA →＋zOB →，其中x ＋y ＋z ＝ ______. (3)空间向量基本定理 如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组{x ，y ，z }，使得p ＝____________，把{a ，b ，c }叫做空间的一个基底. 3.空间向量的数量积及运算律 (1)数量积及相关概念 ①两向量的夹角 已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 叫做向 量a 与b 的夹角，记作____________，其范围是____________，若〈a ，b 〉＝π2 ，则称a 与b __________，记作a ⊥b . ②两向量的数量积 已知空间两个非零向量a ，b ，则____________叫做向量a ，b 的数量积，记作__________，即__________________. (2)空间向量数量积的运算律 ①结合律：(λa )·b ＝____________；②交换律：a·b ＝__________； ③分配律：a·(b ＋c )＝__________. 4.空间向量的坐标表示及应用 (1)数量积的坐标运算 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则a·b ＝________________. (2)共线与垂直的坐标表示 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)， 则a ∥b ?______________?____________，____________，______________， a ⊥b ?__________?________________________(a ，b 均为非零向量). (3)模、夹角和距离公式 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)， 则|a |＝a·a ＝__________________，
数学选修空间向量及其运算教案
第三章空间向量与立体几何 §3.1空间向量及其运算 3.1.1 空间向量及其加减运算 师：这节课我们学习空间向量及其加减运算，请看学习目标。 学习目标：⒈理解空间向量的概念，掌握其表示方法； ⒉会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律； ⒊能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题． 师：在必修四第二章《平面向量》中，我们学习了平面向量的一些知识，现在我们一起来复习。（不要翻书） （在黑板或背投上呈现或边说边写） 1、在平面中，我们把具有__________________的量叫做平面向量； 2、平面向量的表示方法：
①几何表示法：_________________________ ②字母表示法：_________________________ （注意：向量手写体一定要带箭头） 3、平面向量的模表示_________________，记作____________ 4、一些特殊的平面向量： ①零向量：__________________________，记作___（零向量的方向具有任意性） ②单位向量：______________________________ （强调：都只限制了大小，不确定方向） ③相等向量：____________________________ ④相反向量：____________________________ 5、平面向量的加法： 6、平面向量的减法： 7、平面向量的数乘：实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，其长度和 方向规定如下： (1)|λa|＝|λ||a| (2)当λ＞0时，λa与a同向； 当λ＜0时，λa与a反向； 当λ＝0时，λa＝0. 8、向量加法和数乘向量满足以下运算律 加法交换律：a＋b＝b＋a 加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋（b＋c） 数乘分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb 数乘结合律：λ（aμ）=a) (λμ [师]：刚才我们复习了平面向量，那空间向量会是怎样，与平面向量有怎样的区别和联系呢?请同学们阅读书P84-P86.（5分钟） [师]：对比平面向量，我们得到空间向量的相关概念。（在刚复习的黑板或幻灯片上，只需将平面改成空间） [师]：空间向量与平面向量有什么联系？ [生]：向量在空间中是可以平移的．空间任意两个向量都可以用同一平面内的两条有向线段表示．因此我们说空间任意两个向量是共面的．所以凡涉及 空间两个向量的问题，平面向量中有关结论仍适用于它们。
平面向量的坐标运算
平面向量的坐标运算 一、知识精讲 1．平面向量的正交分解 把一个向量分解成两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解． 2．平面向量的坐标表示 (1)向量的坐标表示： 在直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底，对于平面内的一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x ，y 使得a ＝xi ＋yj ，则把有序数对(x ，y )叫做向量a 的坐标．记作a ＝(x ，y)，此式叫做向量的坐标表示． (2)在直角坐标平面中，i ＝(1,0)，j ＝(0,1)，0＝(0,0)． 3．平面向量的坐标运算 向量的 加、减法 若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)， a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)．即两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差) 实数与向量的积 若a ＝(x ，y )，λ∈R ，则λa ＝(λx ，λy )，即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标 向量的 坐标 已知向量 AB 的起点 A (x 1，y 1)，终点 B (x 2，y 2)，则 AB ＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，即向量的坐标等于表示此向量的有 向线段的终点的坐标减去始点的坐标 4．两个向量共线的坐标表示 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0.则a ∥b ?a ＝λb ?x 1y 2－x 2y 1＝0. [小问题·大思维] 1．与坐标轴平行的向量的坐标有什么特点？ 提示：与x 轴平行的向量的纵坐标为0，即a ＝(x,0)；与y 轴平行的向量的横坐标为0，即b ＝(0，y )． 2．已知向量OM ＝(－1，－2)，M 点的坐标与OM 的坐标有什么关系？ 提示：坐标相同但写法不同；OM ＝(－1，－2)，而M (－1，－2)．
空间向量及其线性运算(教案)
课 题：空间向量及其线性运算 教学目标： 1．运用类比方法，经历向量及其运算由平面向空间推广的过程； 2．了解空间向量的概念，掌握空间向量的线性运算及其性质； 3．理解空间向量共线的充要条件 教学重点：空间向量的概念、空间向量的线性运算及其性质； 教学难点：空间向量的线性运算及其性质。 教学过程： 一、创设情景 1、蚂蚁爬行的问题引入为什么要研究空间向量. 2、平面向量的概念及其运算法则； 二、建构数学 1．空间向量的概念： 在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量注：⑴空间的一个平移就是一个向量 ⑵向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量 ⑶空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示 2．空间向量的运算 定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下（如图） b a AB OA OB +=+= b a -=-= )(R a ∈=λλ 运算律： ⑴加法交换律：a b b a +=+ ⑵加法结合律：)()(c b a c b a ++=++ ⑶数乘分配律：b a b a λλλ+=+)( 3．平行六面体： 平行四边形ABCD 平移向量a 到D C B A ''''的轨迹所形成的几何体，叫做平行六面体，并记作：ABCD －D C B A ''''，它的六个面都是平行四边形，每个面的边叫做平行六面体的棱。 4．共线向量 与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向 量叫做共线向量或平行向量．a 平行于b 记作b a //． 当我们说向量a 、b 共线（或a //b ）时，表示a 、b 的有向线段所在的直线可能是同 一直线，也可能是平行直线． 5．共线向量定理： 共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ），a //b 的充要条件是存在实数λ，
高中数学 空间向量及其运算 教案
空间向量及其运算 【高考导航】 本节内容是高中教材新增加的内容，在近两年的高考考查中多作为解题的方法进行考查，主要是解题的方法上因引入向量得以扩展.例如2001上海5分，2002上海5分. 【学法点拨】 本节共有4个知识点：空间向量及其线性运算、共线向量与共面向量、空间向量的分解定理、两个向量的数量积.这一节是空间向量的重点，在学习本节内容时要与平面向量的知识结合起来，认识到研究的范围已由平面扩大到空间.一个向量是空间的一个平移，两个不平行向量确定的是一个平行平面集，在此基础上，把平行向量基本定理和平面向量基本定理推广到空间，得出空间直线与平面的表达式，有了这两个表达式，我们可以很方便地解决空间的共线和共面问题.空间向量基本定理是空间几何研究代数化的基础，有了这个定理，整个空间被3个不共面的基向量所确定，空间一个点或一个向量和实数组（x ，y ，z ）建立起一一对应关系，空间向量的数量积一节中，由于空间任一向量都可以转化为共面向量，所以空间两个向量的夹角的定义、取值范围、两个向量垂直的定义和表示符号及向量的模的概念和表示符号等，都与平面向量相同. 【基础知识必备】 一、必记知识精选 1.空间向量的定义 (1)向量：在空间中具有大小和方向的量叫作向量，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量. (2)向量的表示有三种形式：a ,AB ，有向线段. 2.空间向量的加法、减法及数乘运算. (1)空间向量的加法.满足三角形法则和平行四边形法则，可简记为:首尾相连，由首到尾.求空间若干个向量之和时，可通过平移将它们转化为首尾相接的向量.首尾相接的若干个向量若构成一个封闭图形，则它们的和为0，即21A A +32A A +…1A A n =0. (2)空间向量的减法.减法满足三角形法则,让减数向量与被减数向量的起点相同,差向量由减数向量的终点指向被减数向量的终点,可简记为“起点相同,指向一定”,另外要注意 -=的逆应用. (3)空间向量的数量积.注意其结果仍为一向量. 3.共线向量与共面向量的定义. (1)如果表示空间向量的有向线段在直线互相平行或重合,那么这些向量叫做共线向量或平行向量.对于空间任意两个向量a,b(b≠0),a∥b ?a=λb ,若A 、B 、P 三点共线,则对空间任意一点O ,存在实数t,使得OP =(1-t)OA +t OB ,当t=2 1 时,P 是线段AB 的中点,则中点公式为OP = 2 1 (OA +). (2)如果向量a 所在直线O A 平行于平面α或a 在α内,则记为a ∥α,平行于同一个平面的
(完整)空间向量__新高中数学教学教学教案
欢迎阅读 空间向量 1．理解空间向量的概念；掌握空间向量的加法、减法和数乘． 2．了解空间向量的基本定理；理解空间向量坐标的概念；掌握空间向量的坐标运算． 3．掌握空间向量的数量积的定义及其性质；掌握用直角坐标计算空间向量数量积的公式；掌握空间两点间的距 离公式． 理解空 间向量的夹角的概念；掌握空间向量的数量积的概念、 性质和运算律；了解空间 向量的数量积的几何意义；掌握空间向量的数量积的坐标形式；能用向量的数量积判断向量的共线与垂直. 第1课时 空间向量及其运算 空间向量是平面向量的推广．在空间，任意两个向量都可以通过平移转化为平面向量．因此，空间向量的加减、数乘向量运算也是平面向量对应运算的推广．本节知识点是： 1．空间向量的概念，空间向量的加法、减法、数乘运算和数量积；(1) 向量：具有 和 的量．(2) 向量相等：方向 且长度 ．(3) 向量加法法则： ．(4) 向量减法法则： ．(5) 数乘向量法则： ．3．共线向量 (1)共线向量：表示空间向量的有向线段所在的直线互相 或 ． (2) 共线向量定理：对空间任意两个向量a 、b (b ≠0)，a ∥b 等价于存在实数λ，使 ． (3) 直线的向量参数方程：设直线l 过定点A 且平行于非零向量a ，则对于空间中任意一点O ，点P 在l 上等价于存在R t ∈，使 ．4．共面向量 (1) 共面向量：平行于 的向量． 基础过关 考纲导读 高考导航 空间向量 定义、加法、减法、数乘运算 数量积 坐标表示：夹角和距离公式 求距离 求空间角 证明平行与垂直 2．线性运算律 (1) 加法交换律：a ＋b ＝ ． (2) 加法结合律：(a ＋b )＋c ＝ ．(3) 数乘分配律：λ(a ＋b )＝ ．
平面向量坐标运算
ξ10向量的数量积.平移 一．知识精讲 1． 数量积的概念 （1） 向量的夹角：如图，已知两个向量a 和b ，使=a,=b 。则)1800( ≤≤=∠θθAOB 叫做响亮a 与b 的夹角，记为
3.1.1空间向量及其运算
3. 1.1空间向量及其运算（一） 教学目标： ㈠知识目标：⒈空间向量；⒉相等的向量；⒊空间向量的加减与数乘运算及运算律； ㈡能力目标：⒈理解空间向量的概念，掌握其表示方法； ⒉会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律； ⒊能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题． ㈢德育目标：学会用发展的眼光看问题，认识到事物都是在不断的发展、进化的，会用联系的观点看待事物． 教学重点：空间向量的加减与数乘运算及运算律． 教学难点：应用向量解决立体几何问题． 教学方法：讨论式． 教学过程： Ⅰ.复习引入 ［师］在必修四第二章《平面向量》中，我们学习了有关平面向量的一些知识，什么叫做向量？向量是怎样表示的呢？ ［生］既有大小又有方向的量叫向量．向量的表示方法有： ①用有向线段表示； ②用字母a、b等表示； ③用有向线段的起点与终点字母：AB． ［师］数学上所说的向量是自由向量，也就是说在保持向量的方向、大小的前提下可以将向量进行平移，由此我们可以得出向量相等的概念，请同学们回忆一下．［生］长度相等且方向相同的向量叫相等向量. ［师］学习了向量的有关概念以后，我们学习了向量的加减以及数乘向量运算： ⒈向量的加法： ⒉向量的减法： ⒊实数与向量的积： 实数λ与向量a的积 是一个向量，记作λa，其长度 和方向规定如下： (1)|λa|＝|λ||a| (2)当λ＞0时，λa 与a同向； 当λ＜0时，λa与a反向； 当λ＝0时，λa＝0. ［师］关于向量的以上几种运算，请同学们回忆一下，有哪些运算律呢？ ［生］向量加法和数乘向量满足以下运算律 加法交换律：a＋b＝b＋a 加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋（b＋c） 数乘分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb ［师］今天我们将在必修四第二章平面向量的基础上，类比地引入空间向量的概念、表示方法、相同或向等关系、空间向量的加法、减法、数乘以及这三种运算的运算率，并进行一些简单的应用．请同学们阅读课本
2018年北师大版高中数学选修2-1第二章《空间向量与立体几何》教案
北师大版高中数学选修2-1第二章《空间向量与立体几何》 第一课时平面向量知识复习 一、教学目标：复习平面向量的基础知识，为学习空间向量作准备 二、教学重点：平面向量的基础知识。教学难点：运用向量知识解决具体问题 三、教学方法：探究归纳，讲练结合 四、教学过程 （一）、基本概念 向量、向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量、相反向量、向量的加法、向量的减法、实数与向量的积、向量的坐标表示、向量的夹角、向量的数量积。（二）、基本运算 1、向量的运算及其性质
2、平面向量基本定理： 如果21,e e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且 只有一对实数21,λλ，使a = ； 注意)(2 1 OB OA OP += ,OA OA OP )1(λλ-+=的几何意义 3、两个向量平行的充要条件： ⑴ //a b 的充要条件是： ；（向量表示） ⑵ 若),(),,(2211y x b y x a == ，则//a b 的充要条件是： ；（坐标表示） 4、两个非零向量垂直的充要条件： ⑴ a b ⊥ 的充要条件是： ；（向量表示） ⑵ 若),(),,(2211y x b y x a == ，则a b ⊥ 的充要条件是： ；（坐标表示） （三）、课堂练习 1．O 为平面上的定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三点，若( -)·(+－2)=0，则?ABC 是（ ） A ．以A B 为底边的等腰三角形B ．以B C 为底边的等腰三角形 C ．以AB 为斜边的直角三角形 D ．以BC 为斜边的直角三角形 2．P 是△ABC 所在平面上一点，若?=?=?，则P 是△ABC 的（ ） A ．外心B ．内心 C ．重心D ．垂心 3．在四边形ABCD 中，?→ ?AB ＝?→?DC ，且?→?AC ·?→ ?BD ＝0，则四边形ABCD 是（ ） A ． 矩形 B ． 菱形 C ．直角梯形 D ．等腰梯形 4．已知||p = ||3q = ，p 、q 的夹角为45?，则以52a p q =+ ，3b p q =- 为邻边的 平行四边形的一条对角线长为（ ）
高一数学平面向量的坐标运算
平 面 向 量 的 坐 标 运 算 一、【教材的地位和作用】 本节内容在教材中有着承上启下的作用，它是在学生对平面向量的基本定理有了充分的认识和正确的应用后产生的，同时也为下一节定比分点坐标公式和中点坐标公式的推导奠定了基础；向量用坐标表示后，对立体几何教材的改革也有着深远的意义，可使空间结构系统地代数化，把空间形式的研究从“定性”推到“定量”的深度。引入坐标运算之后使学生形成了完整的知识体系（向量的几何表示和向量的坐标表示），为用“数”的运算解决“形”的问题搭起了桥梁。 二、【学习目标】 根据教学大纲的要求以及学生的实际知识水平，以期达到以下的目的： 1.知识方面：理解平面向量的坐标表示的意义；能熟练地运用坐标形式进行运算。 2.能力方面：数形结合的思想和转化的思想 三、【教学重点和难点】 理解平面向量坐标化的意义是教学的难点；平面向量的坐标运算则是重点。我主要是采用启发引导式，并辅助适量的题组练习来帮助学生突破难点，强化重点。 四、【教法和学法】 本节课尝试一种全新的教学模式，以建构主义理论为指导，教师在本节课中起的根本作用就是“为学生的学习创造一种良好的学习环境”，结合本节课是新授课的特点，我主要从以下几个方面做准备：（1）提供新知识产生的铺垫知识（2）模拟新知识产生过程中的细节和状态，启发引导学生主动建构（3）创设新知识思维发展的前景（4）通过“学习论坛时间”组织学生的合作学习、讨论学习、交流学习（5）通过“老师信箱时间”指导解答学生的疑难问题（6）通过“深化拓展区”培养学生的创新意识和发现能力。 整个过程学生始终处于交互式的学习环境中，让学生用自己的活动对已有的数学知识建构起自己的理解；让学生有了亲身参与的可能并且这种主动参与就为学生的主动性、积极性的发挥创造了很好的条件，真正实现了“学生是学习的主体”这一理念。 五、【学习过程】 1.提供新知识产生的理论基础 课堂教学论认为：要使教学过程最优化，首先要把已学的材料与学生已有的信息联系起来，使学生在学习新的材料时有适当的知识冗余。在本节之前，学生接触到的是向量的几何表示；向量共线的充要条件和平面向量的基本定理为引入向量的坐标运算奠定了理论基础。尤其是平面向量的基本定理，在新授课之前，我以为应再次跟学生进行强调，揭示其本质：即平面内的任一向量都可以表示为不共线的向量的线形组合。对于基底的理解，指出“基底不唯一，关键是不共线”。这样就使得新课的导入显得自然而不突兀，学生也很容易联想到基底选择的特殊性，从而引出坐标表示。 2.新课引入 哲学家卡尔.波普尔曾指出“科学与知识的增长永远始于问题，终于问题——愈来愈深化的问题，愈来愈能启发新问题的问题”，这对数学亦不例外。 因此，在新课的引入中首先提出问题“在直角坐标系内，平面内的每一个点都可以用一对实数（即它的坐标）来表示。同样，在平面直角坐标系内，每一个平面向量是否也可以用一对实数来表示?”，问题的给出旨在启发学生的思维。而学生思维是否到位，是否可以达到自己建构新知识的目的，取决于老师的引导是否得当。 3.创建新知识 以学生为主体绝不意味着老师可以袖手旁观，在创设问题情景后学生已进入激活状态，即想说但又不知道怎么说的状态，这时需老师适当加以点拨。指出：选择在平面直角坐标系内与坐标轴的正方向相同的两个单位向量、j 作为基底，任做一个向量。由平面向量基本定理知，有并且只有一对实数x , y ，使j y i x a +=
空间向量及其运算练习题
空间向量及其运算练习题 一、选择题 1、在空间直角坐标系中，已知点P （x ，y ，z ），下列叙述中正确的个数是 ①点P 关于x 轴对称点的坐标是P 1（x ，－y ，z ） ②点P 关于yOz 平面对称点的坐标是P 2（x ，－y ，－z ） ③点P 关于y 轴对称点的坐标是P 3（x ，－y ，z ） ④点P 关于原点对称的点的坐标是P 4（－x ，－y ，－z ） A.0 B.1 C.2 D.3 2、点（2，3，4）关于xoz 平面的对称点为（ ） A 、（2，3，-4） B 、（-2，3，4） C 、（2，-3，4） D 、（-2，-3，4） 3、在空间直角坐标系中，设z 为任意实数，相应的点(3,1,)P z 的集合确定的图形为 （ ）A ．点 B ．直线 C ．圆 D ．平面 4、在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，若B A 1=a ，11D A =b ， A A 1=c .则下列向量中与M B 1相等的向量是（ ） A ．c b a ++- 21 21 B ． c b a ++21 21 C ．c b a +-2 1 21 D ．c b a +--2 1 21 5、在下列条件中，使M 与A 、B 、C 一定共面的是 （ ） A ．OC O B OA OM --=2 B ．O C OB OA OM 2 1 3151++= C ．=++MC MB MA 0 D ．=+++OC OB OA OM 0 5、已知平行六面体''' ' ABCD A B C D -中，AB=4，AD=3，' 5AA =，0 90BAD ∠=， ''060BAA DAA ∠=∠=，则'AC 等于 （ ） A ．85 B ．85 C ．52 D ．50 图