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2011年天津高考数学文科试卷(带答案)

2011天津高考数学文科

一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.i 是虚数单位,复数

13i

1i

-=- ( ). A .2i - B .2i + C .12i -- D .12i -+

【测量目标】复数的代数形式四则运算.

【考查方式】给出复数的代数形式,对其进行化简. 【参考答案】A 【试题解析】

()()()()

13i 1i 13i 42i

2i 1i 1i 1i 2-+--===---+.故选A . 2.设变量,x y ,满足约束条件1,

40,340,x x y x y ??

+-??-+?

………则目标函数3z x y =-的最大值

为 ( ).

A .4-

B .0

C .

4

3

D .4

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【测量目标】二元线性规划求目标函数的最值.

【考查方式】考查了二元一次不等式的几何意义,能用平面区域表示二元一次不等式组. 【参考答案】D

【试题解析】画出可行域为图中的ABC △的区域,直线3y x z =-经过()2,2A 时,4z =最大.故选D .

3.阅读右边的程序框图,运行相应的程序,若输入x 的值为4-,则输出y 的值 为 ( ).

A .0.5

B .1

C .2 D.4 【测量目标】循环结构的程序框图.

【考查方式】给出程序框图输入值,求输出值. 【参考答案】C

【试题解析】运算过程依次为:

输入4x =-43?->437x ?=--=

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73?>734x =-=43?> 4

3

1x ?=-=13?<122y ?==?输出2.故选C.

4.设集合{}20A x x =∈->R ,{}

0B x x =∈

20C x x x =∈->R ,则“x A B ∈ ”是“x C ∈”的 ( ). A .充分而不必要条件 B .必要而不充分条件 C .充分必要条件 D .既不充分也不必要条件 【测量目标】充分必要条件.

【考查方式】考查了必要条件,充分条件的关系及集合的概念 【参考答案】C

【试题解析】{0A B x x =∈

(){}

{20=0C x x x x x =∈->∈

所以A B C = .

所以“x A B ∈ ”是“x C ∈”的充分必要条件.故选C.

5.已知2log 3.6a =,4log 3.2b =,4log 3.6c =,则 ( ). A .a b c >> B .a c b >> C .b a c >> D .c a b >> 【测量目标】对数函数化简与求值.

【考查方式】考查了对数函数的运算性质与单调性,利用中间值判断对数的大小. 【参考答案】B

【试题解析】因为224log 3.6log 3.6a ==,而2

3.6 3.6 3.2>>,

又函数4log y x =是()0,+∞上的增函数,则2444log 3.6log 3.6log 3.2>>. 所以a c b >>.故选B .

6.已知双曲线22221x y a b

-=()0,0a b >>的左顶点与抛物线()2

20y px p =>的焦点的

距离为4,且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为()2,1--,则双曲线的焦距为 ( ).

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A .

B .

C .

D .【测量目标】圆锥曲线之间的位置关系.

【考查方式】考查了双曲线与抛物线的定义、标准方程,知道其简单的几何性质. 【参考答案】B

【试题解析】因为双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为()2,1--,则

22

p

-

=-, 所以4p =.(步骤1)

又因为双曲线22

221x y a b

-=()0,0a b >>的左顶点与抛物线()220y px p =>的焦点的

距离为4,则

42

p

a +=,所以2a =.(步骤2) 因为点()2,1--在双曲线的一条渐近线上,则()12b

a

-=

-,即2a b =,

所以1,b c ==

2c =(步骤3)

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7.已知函数()()2sin f x x ω?=+,x ∈R ,其中0ω>,π<π?-….若()f x 的最小正周期为6π,且当π

2

x =

时,()f x 取得最大值,则 ( ). A .()f x 在区间[]2π,0-上是增函数 B .()f x 在区间[]3π,π--上是增函数 C .()f x 在区间[]3π,5π上是减函数 D .()f x 在区间[]4π,6π上是减函数 【测量目标】三角函数的最值.

【考查方式】考查了正弦函数的性质(如单调性,最值,周期等) 【参考答案】A

【试题解析】由题设得π

π,22

2π6π,

ω?ω

?+=????=?? 解得13ω=,π3?=.

所以已知函数为()π2sin 33x f x ??

=+ ???

.(步骤1) 其增区间满足πππ

2π2π233

2

x k k -+++剟,k ∈Z .(步骤2) 解得5π

6ππ6π2

k x k -

++剟,k ∈Z .(步骤3)

取0k =得5ππ2

x -

剟,所以5π,π2??-????为一个增区间,因为[]5π2π,0,π2??

-?-????

所以()f x 在区间[]2π,0-上是增函数.故选A.(步骤4) 8.对实数a 和b ,定义运算“?”:,1,

,1,

a a

b a b b a b -??=?

->?…设函数

()()

()221f x x x =-?-,x ∈R .若函数()y f x c =-的图象与x 轴恰有两个公共点,

则实数c 的取值范围是 ( ).

A .(]()1,12,-+∞

B .(](]2,11,2--

C .()(],21,2-∞-

D .[]2,1--

【测量目标】函数图像的应用.

【考查方式】考查了给一个新公式结合二次函数图像,了解函数的零点与方程根的联系. 【参考答案】B

【试题解析】由题设()22,12,

1,12

x x f x x x x ?--=?-<->?或剟(步骤1)

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画出函数的图象,函数图象的四个端点(如图)为()2,1A ,,()2,2

B ,()1,1

C --,

()1,2D --.(步骤2)

从图象中可以看出,直线y c =穿过点B ,点A 之间时,直线y c =与图象有且只有两个公共点,同时,直线y c =穿过点C ,点D 时,直线y c =与图象有且只有两个公共点,所以实数c 的取值范围是(](]2,11,2-- .故选B.(步骤3)

第Ⅱ卷

二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.

9.已知集合{}

12A x x =∈-

【测量目标】集合的基本运算.

【考查方式】考查了集合的概念及交集运算. 【参考答案】3

【试题解析】解集合A 得13x -<<,则{}0,1,2

A =Z ,所有元素的和等于0123++=.

10.一个几何体的三视图如右图所示(单位:m ),则该几何体的体积为 3

m .

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【测量目标】由三视图求几何体的体积

.

【考查方式】考查了学会掌握三视图的画法及几何体的体积计算公式. 【参考答案】4

【试题解析】几何体是由两个长方体组合的.体积为

1211124V =??+??=.

11.已知{}n a 是等差数列,n S 为其前n 项和,n ∈N +.若316a =,2020S =,则10

S 的值为 .

【测量目标】等差数列的通项公式及前n 项和公式. 【考查方式】考查了已知等差数列求前n 项和. 【参考答案】110

【试题解析】设公差为d ,由题设31201216,

2019020.

a a d S a d =+=??

=+=?解得2d =-,120a =.

()10110451020452110S a d =+=?+?-=.

12.已知22log log 1a b +…,则39a

b

+的最小值为 . 【测量目标】基本不等式求最值.

【考查方式】考查了用基本不等式解决最值问题及对数函数运算性质. 【参考答案】18

【试题解析】因为22log log 1a b +…,则2log 1ab …,2ab …,24a b …

3918a b +=厖,

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当且仅当39,2,

a b a b ?=?=?即2a b =时,等号成立,所以39a b

+的最小值为18.

13.如图,已知圆中两条弦AB 与CD 相交于点F ,E 是AB

延长线上一点,且

DF CF ==::4:2:1AF FB BE =,若CE 与圆相切,则线段CE 的长为 .

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【测量目标】圆的性质的应用.

【考查方式】考查了直线与圆的位置关系及运用代数方法解决几何问题的思想.

【参考答案】

2

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【运算性质】因为::4:2:1AF FB BE =,所以设BE a =,2FB a =,4AF a =.

由相交弦定理,242DF CF AF FB a a ===

, 所以12a =

,12BE =,7

72

AE a ==.

因为CE 与圆相切,由切割线定理,2

177224CE AE BE ==

= .所以2

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CE =. 14. 已知直角梯形ABCD 中,//AD BC ,90ADC ∠=?,2AD =,1BC =,P 是

腰DC 上的动点,则3PA PB +

的最小值为 .

【测量目标】平面向量在平面几何的应用.

【考查方式】考查了几何与代数相结合求解最值问题 【参考答案】5

【试题解析】解法1 .以D 为坐标原点,DA 所在直线为x 轴,DC 所在直线为y 轴,建立如图的直角坐标系.

由题设,()2,0A ,设()0,C c ,()0,P y ,

则()1,B c .

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()2,PA y =- ,()1,PB c y =-

. ()35,34PA PB c y +=-

.(步骤1)

35PA PB += ,(步骤2)

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当且仅当34c

y =

时,等号成立,于是, 当34

c

y =时,3PA PB + 有最小值5.(步骤3)

解法2 . 以相互垂直的向量,为基底表示3PA PB +

,得

()

5

33332

P A P B D A D P P C C B D A P C D P +=-++=+- .(步骤

1) 又P 是腰DC 上的动点,即PC 与共线,于是可设PC DP λ=

有53(31)2

PA PB DA DP λ+=+- .

所以2222553(31)(31)42

PA PB DA DP DA DP λλ??+=

+-+?-??

(步骤2) 即 ()()2222

2533125314

PA PB DA DP DP λλ??+=+-=+-?? . 由于P 是腰DC 上的动点,显然当31

=λ,即13

PC DP = 时,

所以3PA PB +

有最小值5.(步骤3)

解法3 .如图,3PB PF =

,设E 为AF 的中点,Q 为AB 的中点,

则12

QE BF PB ==

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32PA PB PA PF PE +=+=

, ①(步骤1)

因为PB PQ PE += ,PB PQ QB -= .

222222

22PB PQ PB PQ PB PQ PE QB ++-=+=+ . ②(步骤2)

(实际上,就是定理:“平行四边形的对角线的平方和等于各边的平方和”) 设T 为DC 的中点,则TQ 为梯形的中位线,()1322

TQ AD BC =+=. 设P 为CT 的中点,且设,CP a PT b ==,

则22

1PB a =+ ,2294PQ b =+ ,()2214

QB a b =++ ,

代入式②得

()()22222

2912221244PB PQ a b PE a b ??+=+++=+++ ??? ,(步骤3)

于是()22

252544PE a b =+- …,于是25PE …,当且仅当a b =时,等号成立. 由式①,325PA PB PE +=

…,

所以3PA PB +

有最小值5.(步骤4)

三、解答题:本大题共6小题,共80分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

15.(本小题满分13分) 编号分别为1216,,,A A A 的

16名篮球运动员在某次训练比赛

中的得分记录如下:

运动员编号 1A 2A 3A 4A 5A 6A 7A 8A

得 分

15 35 21 28 25 36 18 34

运动员编号 9A 10A 11A 12A 13A 14A 15A 16A

得 分

17 26 25 33

22 12

31 38

(Ⅰ) 将得分在对应区间内的人数填入相应的空格:

区间 [)10,20

[)20,30

[]30,40

人数

(Ⅱ) 从得分在区间[)20,30内的运动员中随机抽取2人, (ⅰ) 用运动员编号列出所有可能的抽取结果;

(ⅱ) 求这2人得分之和大于50的概率. 【测量目标】用样本数字特征估计总体数字特征.

【考查方式】考查了简单随机抽样方法从总体中抽取样本. 【试题解析】(Ⅰ)

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(步骤1)

(Ⅱ) (ⅰ)得分在区间[)20,30内的运动员编号为

3A ,4A ,5A , 10A ,11A ,13A .

从得分在区间[)20,30内的运动员中随机抽取2人,所有可能的抽取结果为 {}34,A A , {}35,A A ,{}310,A A ,{}311,A A ,{}313,A A , {}45,A A ,{}410,A A ,{}411,A A ,{}4,13A A , {}510,A A ,{}511,A A ,{}513,A A , {}1011,A A ,{}1013,A A ,

{}1113,A A .

共15种. (步骤2)

(ⅱ) 记“从得分在区间[)20,30内的运动员中随机抽取2人,这2人得分之和大于50”为事件B .

这2人得分之和大于50的所有可能结果有{}45,A A ,{}410,A A ,{}411,A A ,

{}510,A A ,{}1011,A A 共5种.

所以()51

153

P B =

=.(步骤3) 16.(本小题满分13分) 在ABC △中,内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .已知B C =

2b .

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(Ⅰ) 求cos A 的值; (Ⅱ) 求πcos 24A ?

?

+

??

?

的值. 【测量目标】诱导公式及同角三角函数的基本关系. 【考查方式】考查了余弦函数定义及诱导公式.

【试题解析】(Ⅰ) 解法1.由B C =

,2b =

得c b ==

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所以22

2

2

2

2

331cos 2322

a a a

b

c a A bc +-+-===.

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解法2.由B C =

,2b =

得c b ==

,π22A B =-.(步骤1)

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由正弦定理得sin sin a b A B =

,即2πsin sin 22a A A =??

- ???

,(步骤2)

所以

cos 22A

A =

12A =

,所以sin 2A =

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, 2

11

cos 12sin 12233

A A =-=-?=.(步骤3) (Ⅱ) 因为1cos 3A =

,()0,πA ∈

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,则sin A =(步骤4) 27cos 22cos 19A A =-=-

,sin 22sin cos A A A ==(步骤5)

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所以πππ

cos 2cos 2cos sin 2sin 444

A A A ?

?+

=- ?

?

?

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79??=-= ???

.(步骤6) 17.(本小题满分13分)如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是平行四边形,

45ADC ∠=?,1AD AC ==,O 为AC 的中点,PO ABCD ⊥平面,2PO =,M 为PD

的中点.

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(Ⅰ) 证明://PB ACM 平面; (Ⅱ) 证明:AD PAC ⊥平面;

(Ⅲ) 求直线AM 与平面ABCD 所成角的正切值.

【测量目标】直线与面的位置关系.

【考查方式】考查了四棱锥及线与面位置关系推理依据的公理

与定理. 【试题解析】(Ⅰ) 连接,BD MO .在平行四边形ABCD 中,

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因为O 为AC 的中点,所以O 为BD 的中点,(步骤1)

又M 为PD 的中点,所以//PB MO ,(步骤2) 因为PB ACM ?平面,MO ACM ?平面,(步骤3) 所以//PB ACM 平面.(步骤4)

(Ⅱ) 因为45ADC ∠=?,且1AD AC ==, 所以90DAC ∠=?.即AD AC ⊥.(步骤4)

又PO ABCD ⊥平面,AD ABCD ?平面,所以PO AD ⊥,(步骤5) 因为AC PO O = ,所以AD PAC ⊥平面.(步骤6) (Ⅲ) 取DO 的中点N ,连接,MN AN , 所以//MN PO ,1

12

MN PO =

=.(步骤7) 由PO ABCD ⊥平面,得MN ABCD ⊥平面,

所以MAN ∠是直线AM 与平面ABCD 所成的角.(步骤8) 在Rt DAO △中,1AD =,12

AO =

所以2DO =

.从而124

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AN DO ==.(步骤9) 在Rt ANM △

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中,tan 4

MN MAN AN ∠=

==

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直线AM 与平面ABCD

所成角的正切值为

5

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.(步骤10) 18.(本小题满分13分) 设椭圆22

221x y a b

+=()0a b >>的左右焦点分别为1F ,2F ,点

(),P a b 满足212PF F F =.

(Ⅰ) 求椭圆的离心率e ;

(Ⅱ) 设直线2PF 与椭圆相交于,A B 两点,若直线2PF 与圆(

)(2

2

116x y ++=相

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交于M ,N 两点,且5

8

MN AB =

,求椭圆的方程. 【测量目标】直线与椭圆的位置关系.

【考查方式】考查了椭圆的几何图形、标准方程及其简单的几何性质. 【试题解析】(Ⅰ)设()1,0F c -,()2,0F c .

因为212PF F F =

2c =,222240a ac a c -+-=,(步骤1)

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由c e a

=

,有24220e e +-=,即2

210e e +-=, 1e =-(舍去)或1

2e =.(步骤2)

所以椭圆的离心率为1

2

e =.(步骤3)

(Ⅱ) 因为1

2

e =,所以2a

c =,b .

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所以椭圆方程为2

2

2

3412x y c +=.(步骤4) 直线

2PF 的斜率b

k a c

=

=-

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,则直线2PF 的方程为)y x c =-. ,

A B 两点的坐标满足方程组)2223412,

.

x y c y x c ?+=??

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=-??(步骤5) 消去y 并整理得2

580x cx -=.则10x =,285

x c =.(

步骤6)

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于是110,x y =???=?

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? 228,5.

5x c y ?=??

??=??

不妨设85A c ?? ?

???,()

0,B .

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所以165AB c ==.(步骤7)

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于是5

28

MN AB c =

=. 圆心()1,3-到直线2PF

的距离d =

=

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因为2

22

42MN d ??+= ?

??

,所以()2232164c c ++=,即2712520c c +-=, 解得26

07

c =-<(舍去),或2c =.于是24a c ==

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,b ==. 所以椭圆的方程为

22

11612

x y +=.(步骤8) 19.(本小题满分14分) 已知函数()3

2

2

4361f x x tx t x t =+-+-,其中t ∈R .

(Ⅰ) 当1t =时,求曲线()y f x =在点()()

0,0f 处的切线方程;

(Ⅱ) 当0t ≠时,求()f x 的单调区间;

(Ⅲ) 证明:对任意()0,t ∈+∞,()f x 在区间()0,1内存在零点. 【测量目标】导数的运算,函数单调性的综合运用,函数零点的求解判断. 【考查方式】考查了函数的求导、单调性、零点与方程根等问题.

【试题解析】(Ⅰ) 当1t =时,()32

436f x x x x =+-,()00f =,(步骤1)

()2

1266f x x x '=+-,()06f '=-.(步骤2)

所以曲线()y f x =在点()()

0,0f 处的切线方程为6y x =-.(步骤3) (Ⅱ) ()2

2

1266f x x tx t '=+-,令()0f x '=,解得x t =-或2

t x =

. 因为0t ≠,所以要分为0t <和0t >讨论.(步骤4) (1) 若0t <,则

2

t

t <-. 当x 变化时,()f x ',()f x 的变化情况如下表:

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所以,()f x 的单调增区间是,

2t ??-∞ ???,(),t -+∞,单调减区间是,2t t ??- ???

.(步骤5) (2) 若0t >,则2

t

t -<

. 当x 变化时,()f x ',()f x 的变化情况如下表:

2011年天津高考数学文科试卷(带答案)

所以,()f x 的单调增区间是(),t -∞-,,2t ??+∞

???,单调减区间是,2t t ??

- ???.(步骤6) (Ⅲ) 由(Ⅱ)可知,当0t >时,()f x 在0,2t ?? ???

内单调递减,在,2t ??

+∞ ???

内单调递增.

需要讨论

2

t

与讨论的区间()0,1的相互位置关系. (1) 当12

t

…,即2t …时,()f x 在()0,1内单调递减,(步骤7)

因为()010f t =->,()2

1643644230f t t =-++-?+?+<…,(步骤8)

所以对任意[)2,t ∈+∞,()f x 在区间()0,1内存在零点.(步骤9) (2) 当012t <

<,即02t <<时,()f x 在0,2t ?? ???内单调递减,在,12t ??

???

内单调递增. 若(]0,1t ∈,371024t f t t ??

=-+-<

?

??

, ()21643643230f t t t t t =-++-++=-+>….

所以对任意(]0,1t ∈,()f x 在区间,12t ??

???

内存在零点.(步骤10) 若()1,2t ∈,3377110244t f t t t ??

=-+-<-+<

?

??

, ()010f t =->.(步骤11)

所以对任意对任意(]0,1t ∈,()f x 在区间0,2t ?? ???

内存在零点. 所以对任意()0,2t ∈,()f x 在区间()0,1内存在零点.

综合以上,对任意()0,t ∈+∞,()f x 在区间()0,1内存在零点.(步骤12) 20.(本小题满分14分) 已知数列{}n a 与{}n b 满足

()1121n

n n n n b a b a +++=-+,()

1

312

n n b -+-=

,n +∈N ,且12a =.

(Ⅰ) 求2a ,3a 的值;

(Ⅱ) 设2121n n n c a a +-=-,n +∈N ,证明{}n c 是等比数列. (Ⅲ) 设n S 为{}n a 的前n 项和,证明:

21212122121

3

n n n n S S S S n a a a a --++++- …()n +∈N . 【测量目标】已知递推关系求通项,并项求和.

【考查方式】考查了等比数列的通项公式与前n 项和及并项求和法的应用.

【试题解析】(Ⅰ) 因为()

1

312

n n b -+-=

,n +∈N ,所以2,1,n n b n ?=?

?

为奇数,

偶数.为(步骤1)

又()1121n

n n n n b a b a +++=-+,(步骤2)

当1n =时,1221a a +=-,由12a =,得23

2

a =-; 当2n =时,2325a a +=,得38a =;(步骤3) (Ⅱ) 对任意n +∈N ,有

21212221n n n a a --+=-+, ① 2221221n n n a a ++=+, ②(步骤4) ②-①得 21

212132

n n n a a -+--=?. (步骤5)

即 21

212132n n n n c a a -+-=-=?,

于是

1

4n n

c c +=, 所以{}n c 是等比数列.(步骤6)

(Ⅲ)解法1.12a =,由(Ⅱ)可得当k +∈N 且2k …时,

()()()()2113153752123k k k a a a a a a a a a a ---=+-+-+-++- (

)352

3

23

2222k -=++++

+

()12121423214

k k ---=+?

=-.(步骤7)

所以,对任意k +∈N ,21212k k a --=. 由式①21212221n n n a a --+=-+得2121

22

k k a -=-.k +∈N , 所以21

2121211

2

222

k k k k a a ---??+=+-= ???.(步骤8) 因此,()()()212342122

k k k k

S a a a a a a -=++++++= 于是 21

2122122

k k k k k S S a ---=-=

+. 所以

21212212121212

22222

k k k

k k k k

k k

S S a a ------++=+- 22212221

k k k

k k

-+=-- ()

114441k k k

k

=-

--.(步骤9) 所以,对任意k +∈N ,

21212

12212n n n n

S S S S a a a a --++++ 32121241234212n n n n S S S S S S a a a a a a --??????=++++++ ? ? ???????

()()()22211121111444144441441n n n n

?????? ? ?=--+--++-- ? ? ? ?---??????

()()222

111

2141244441441n n n n n ?????? ? ?=-+-+--+ ? ? ?--??????

1114123n n ??

-+=- ???

….(步骤10)

解法2.由(Ⅱ)可得 21212132n n n a a -+--=?.

21212121

3

2424

n n n n a a +-+-=+?,(步骤7) 设2121

2n n n a d --=,则11344n n d d +=+,于是()11

114

n n d d +-=-, 于是()1

11114n n d d -??

-=- ?

??

,因为12

12

d =

=,所以110d -=, 因而1n d =.即21212n n a --=.(步骤8) 以下同解法1.(步骤9)