2011天津高考数学文科

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．i 是虚数单位,复数

13i

1i

-=- ( )． A ．2i - B ．2i + C ．12i -- D ．12i -+

【测量目标】复数的代数形式四则运算.

【考查方式】给出复数的代数形式，对其进行化简. 【参考答案】A 【试题解析】

()()()()

13i 1i 13i 42i

2i 1i 1i 1i 2-+--===---+．故选A ． 2．设变量,x y ，满足约束条件1,

40,340,x x y x y ??

+-??-+?

………则目标函数3z x y =-的最大值

为 ( ).

A ．4-

B ．0

C ．

4

3

D ．4

【测量目标】二元线性规划求目标函数的最值.

【考查方式】考查了二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组. 【参考答案】D

【试题解析】画出可行域为图中的ABC △的区域，直线3y x z =-经过()2,2A 时，4z =最大．故选D ．

3．阅读右边的程序框图，运行相应的程序，若输入x 的值为4-，则输出y 的值 为 ( )．

A ．0.5

B ．1

C ．2 D.4 【测量目标】循环结构的程序框图.

【考查方式】给出程序框图输入值，求输出值. 【参考答案】C

【试题解析】运算过程依次为：

输入4x =-43?->437x ?=--=

73?>734x =-=43?> 4

3

1x ?=-=13?<122y ?==?输出2．故选Ｃ．

4．设集合{}20A x x =∈->R ，{}

0B x x =∈

20C x x x =∈->R ，则“x A B ∈ ”是“x C ∈”的 ( )． A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 【测量目标】充分必要条件.

【考查方式】考查了必要条件，充分条件的关系及集合的概念 【参考答案】C

【试题解析】{0A B x x =∈，

(){}

{20=0C x x x x x =∈->∈

所以A B C = ．

所以“x A B ∈ ”是“x C ∈”的充分必要条件．故选Ｃ．

5．已知2log 3.6a =，4log 3.2b =，4log 3.6c =，则 ( )． A ．a b c >> B ．a c b >> C ．b a c >> D ．c a b >> 【测量目标】对数函数化简与求值.

【考查方式】考查了对数函数的运算性质与单调性，利用中间值判断对数的大小. 【参考答案】B

【试题解析】因为224log 3.6log 3.6a ==，而2

3.6 3.6 3.2>>，

又函数4log y x =是()0,+∞上的增函数，则2444log 3.6log 3.6log 3.2>>． 所以a c b >>．故选B ．

6．已知双曲线22221x y a b

-=()0,0a b >>的左顶点与抛物线()2

20y px p =>的焦点的

距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为()2,1--，则双曲线的焦距为 ( )．

A ．

B ．

C ．

D ．【测量目标】圆锥曲线之间的位置关系.

【考查方式】考查了双曲线与抛物线的定义、标准方程，知道其简单的几何性质. 【参考答案】B

【试题解析】因为双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为()2,1--，则

22

p

-

=-， 所以4p =．(步骤1)

又因为双曲线22

221x y a b

-=()0,0a b >>的左顶点与抛物线()220y px p =>的焦点的

距离为4，则

42

p

a +=，所以2a =．(步骤2) 因为点()2,1--在双曲线的一条渐近线上，则()12b

a

-=

-，即2a b =，

所以1,b c ==

2c =(步骤3)

7．已知函数()()2sin f x x ω?=+，x ∈R ，其中0ω>，π<π?-…．若()f x 的最小正周期为6π，且当π

2

x =

时，()f x 取得最大值，则 ( )． A ．()f x 在区间[]2π,0-上是增函数 B ．()f x 在区间[]3π,π--上是增函数 C ．()f x 在区间[]3π,5π上是减函数 D ．()f x 在区间[]4π,6π上是减函数 【测量目标】三角函数的最值.

【考查方式】考查了正弦函数的性质（如单调性，最值，周期等） 【参考答案】A

【试题解析】由题设得π

π,22

2π6π,

ω?ω

?+=????=?? 解得13ω=，π3?=．

所以已知函数为()π2sin 33x f x ??

=+ ???

．(步骤1) 其增区间满足πππ

2π2π233

2

x k k -+++剟，k ∈Z ．(步骤2) 解得5π

6ππ6π2

k x k -

++剟，k ∈Z ．(步骤3)

取0k =得5ππ2

x -

剟，所以5π,π2??-????为一个增区间，因为[]5π2π,0,π2??

-?-????

，

所以()f x 在区间[]2π,0-上是增函数．故选Ａ．(步骤4) 8．对实数a 和b ，定义运算“?”：,1,

,1,

a a

b a b b a b -??=?

->?…设函数

()()

()221f x x x =-?-，x ∈R ．若函数()y f x c =-的图象与x 轴恰有两个公共点，

则实数c 的取值范围是 ( )．

A ．(]()1,12,-+∞

B ．(](]2,11,2--

C ．()(],21,2-∞-

D ．[]2,1--

【测量目标】函数图像的应用.

【考查方式】考查了给一个新公式结合二次函数图像，了解函数的零点与方程根的联系. 【参考答案】B

【试题解析】由题设()22,12,

1,12

x x f x x x x ?--=?-<->?或剟(步骤1)

画出函数的图象，函数图象的四个端点（如图）为()2,1A ，，()2,2

B ，()1,1

C --，

()1,2D --．(步骤2)

从图象中可以看出，直线y c =穿过点B ，点A 之间时，直线y c =与图象有且只有两个公共点，同时，直线y c =穿过点C ，点D 时，直线y c =与图象有且只有两个公共点，所以实数c 的取值范围是(](]2,11,2-- ．故选Ｂ．(步骤3)

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分,共30分．

9．已知集合{}

12A x x =∈-

【测量目标】集合的基本运算.

【考查方式】考查了集合的概念及交集运算. 【参考答案】3

【试题解析】解集合A 得13x -<<，则{}0,1,2

A =Z ，所有元素的和等于0123++=．

10．一个几何体的三视图如右图所示（单位：m ），则该几何体的体积为 3

m ．

【测量目标】由三视图求几何体的体积

.

【考查方式】考查了学会掌握三视图的画法及几何体的体积计算公式. 【参考答案】4

【试题解析】几何体是由两个长方体组合的．体积为

1211124V =??+??=．

11．已知{}n a 是等差数列，n S 为其前n 项和，n ∈N +．若316a =，2020S =，则10

S 的值为 ．

【测量目标】等差数列的通项公式及前n 项和公式. 【考查方式】考查了已知等差数列求前n 项和. 【参考答案】110

【试题解析】设公差为d ，由题设31201216,

2019020.

a a d S a d =+=??

=+=?解得2d =-，120a =．

()10110451020452110S a d =+=?+?-=．

12．已知22log log 1a b +…，则39a

b

+的最小值为 ． 【测量目标】基本不等式求最值.

【考查方式】考查了用基本不等式解决最值问题及对数函数运算性质. 【参考答案】18

【试题解析】因为22log log 1a b +…，则2log 1ab …，2ab …，24a b …

3918a b +=厖，

当且仅当39,2,

a b a b ?=?=?即2a b =时，等号成立，所以39a b

+的最小值为18．

13．如图，已知圆中两条弦AB 与CD 相交于点F ，E 是AB

延长线上一点，且

DF CF ==::4:2:1AF FB BE =，若CE 与圆相切，则线段CE 的长为 ．

【测量目标】圆的性质的应用.

【考查方式】考查了直线与圆的位置关系及运用代数方法解决几何问题的思想.

【参考答案】

2

【运算性质】因为::4:2:1AF FB BE =，所以设BE a =，2FB a =，4AF a =．

由相交弦定理，242DF CF AF FB a a ===

， 所以12a =

，12BE =，7

72

AE a ==．

因为CE 与圆相切，由切割线定理，2

177224CE AE BE ==

= ．所以2

CE =． 14． 已知直角梯形ABCD 中，//AD BC ，90ADC ∠=?，2AD =，1BC =，P 是

腰DC 上的动点，则3PA PB +

的最小值为 ．

【测量目标】平面向量在平面几何的应用.

【考查方式】考查了几何与代数相结合求解最值问题 【参考答案】5

【试题解析】解法1 ．以D 为坐标原点，DA 所在直线为x 轴，DC 所在直线为y 轴，建立如图的直角坐标系．

由题设，()2,0A ，设()0,C c ，()0,P y ，

则()1,B c ．

()2,PA y =- ，()1,PB c y =-

． ()35,34PA PB c y +=-

．(步骤1)

35PA PB += ，(步骤2)

当且仅当34c

y =

时，等号成立，于是， 当34

c

y =时，3PA PB + 有最小值5．(步骤3)

解法2 ． 以相互垂直的向量，为基底表示3PA PB +

，得

()

5

33332

P A P B D A D P P C C B D A P C D P +=-++=+- ．(步骤

1) 又P 是腰DC 上的动点，即PC 与共线，于是可设PC DP λ=

，

有53(31)2

PA PB DA DP λ+=+- ．

所以2222553(31)(31)42

PA PB DA DP DA DP λλ??+=

+-+?-??

(步骤2) 即 ()()2222

2533125314

PA PB DA DP DP λλ??+=+-=+-?? ． 由于P 是腰DC 上的动点，显然当31

=λ，即13

PC DP = 时，

所以3PA PB +

有最小值5．(步骤3)

解法3 ．如图，3PB PF =

，设E 为AF 的中点，Q 为AB 的中点，

则12

QE BF PB ==

，

32PA PB PA PF PE +=+=

， ①(步骤1)

因为PB PQ PE += ，PB PQ QB -= ．

则

222222

22PB PQ PB PQ PB PQ PE QB ++-=+=+ ． ②(步骤2)

（实际上，就是定理：“平行四边形的对角线的平方和等于各边的平方和”） 设T 为DC 的中点，则TQ 为梯形的中位线，()1322

TQ AD BC =+=． 设P 为CT 的中点，且设,CP a PT b ==，

则22

1PB a =+ ，2294PQ b =+ ，()2214

QB a b =++ ，

代入式②得

()()22222

2912221244PB PQ a b PE a b ??+=+++=+++ ??? ，(步骤3)

于是()22

252544PE a b =+- …，于是25PE …，当且仅当a b =时，等号成立． 由式①，325PA PB PE +=

…，

所以3PA PB +

有最小值5．(步骤4)

三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

15．(本小题满分13分) 编号分别为1216,,,A A A 的

16名篮球运动员在某次训练比赛

中的得分记录如下：

运动员编号 1A 2A 3A 4A 5A 6A 7A 8A

得 分

15 35 21 28 25 36 18 34

运动员编号 9A 10A 11A 12A 13A 14A 15A 16A

得 分

17 26 25 33

22 12

31 38

(Ⅰ) 将得分在对应区间内的人数填入相应的空格：

区间 [)10,20

[)20,30

[]30,40

人数

(Ⅱ) 从得分在区间[)20,30内的运动员中随机抽取2人， (ⅰ) 用运动员编号列出所有可能的抽取结果；

(ⅱ) 求这2人得分之和大于50的概率． 【测量目标】用样本数字特征估计总体数字特征.

【考查方式】考查了简单随机抽样方法从总体中抽取样本. 【试题解析】(Ⅰ)

(步骤1)

(Ⅱ) (ⅰ)得分在区间[)20,30内的运动员编号为

3A ，4A ，5A ， 10A ，11A ，13A ．

从得分在区间[)20,30内的运动员中随机抽取2人，所有可能的抽取结果为 {}34,A A ， {}35,A A ，{}310,A A ，{}311,A A ，{}313,A A ， {}45,A A ，{}410,A A ，{}411,A A ，{}4,13A A ， {}510,A A ，{}511,A A ，{}513,A A ， {}1011,A A ，{}1013,A A ，

{}1113,A A ．

共15种． (步骤2)

(ⅱ) 记“从得分在区间[)20,30内的运动员中随机抽取2人，这2人得分之和大于50”为事件B ．

这2人得分之和大于50的所有可能结果有{}45,A A ，{}410,A A ，{}411,A A ，

{}510,A A ，{}1011,A A 共5种．

所以()51

153

P B =

=．(步骤3) 16．(本小题满分13分) 在ABC △中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ．已知B C =

，

2b ．

(Ⅰ) 求cos A 的值； (Ⅱ) 求πcos 24A ?

?

+

??

?

的值． 【测量目标】诱导公式及同角三角函数的基本关系. 【考查方式】考查了余弦函数定义及诱导公式.

【试题解析】(Ⅰ) 解法1．由B C =

，2b =

得c b ==

，

所以22

2

2

2

2

331cos 2322

a a a

b

c a A bc +-+-===．

解法2．由B C =

，2b =

得c b ==

，π22A B =-．(步骤1)

由正弦定理得sin sin a b A B =

，即2πsin sin 22a A A =??

- ???

，(步骤2)

所以

cos 22A

A =

12A =

，所以sin 2A =

， 2

11

cos 12sin 12233

A A =-=-?=．(步骤3) (Ⅱ) 因为1cos 3A =

，()0,πA ∈

，则sin A =(步骤4) 27cos 22cos 19A A =-=-

，sin 22sin cos A A A ==(步骤5)

所以πππ

cos 2cos 2cos sin 2sin 444

A A A ?

?+

=- ?

?

?

79??=-= ???

．(步骤6) 17．(本小题满分13分)如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，

45ADC ∠=?，1AD AC ==，O 为AC 的中点，PO ABCD ⊥平面，2PO =，M 为PD

的中点．

(Ⅰ) 证明：//PB ACM 平面； (Ⅱ) 证明：AD PAC ⊥平面；

(Ⅲ) 求直线AM 与平面ABCD 所成角的正切值．

【测量目标】直线与面的位置关系.

【考查方式】考查了四棱锥及线与面位置关系推理依据的公理

与定理. 【试题解析】(Ⅰ) 连接,BD MO ．在平行四边形ABCD 中，

因为O 为AC 的中点，所以O 为BD 的中点，(步骤1)

又M 为PD 的中点，所以//PB MO ，(步骤2) 因为PB ACM ?平面，MO ACM ?平面，(步骤3) 所以//PB ACM 平面．(步骤4)

(Ⅱ) 因为45ADC ∠=?，且1AD AC ==， 所以90DAC ∠=?．即AD AC ⊥．(步骤4)

又PO ABCD ⊥平面，AD ABCD ?平面，所以PO AD ⊥，(步骤5) 因为AC PO O = ，所以AD PAC ⊥平面．(步骤6) (Ⅲ) 取DO 的中点N ，连接,MN AN ， 所以//MN PO ，1

12

MN PO =

=．(步骤7) 由PO ABCD ⊥平面，得MN ABCD ⊥平面，

所以MAN ∠是直线AM 与平面ABCD 所成的角．(步骤8) 在Rt DAO △中，1AD =，12

AO =

，

所以2DO =

．从而124

AN DO ==．(步骤9) 在Rt ANM △

中，tan 4

MN MAN AN ∠=

==

直线AM 与平面ABCD

所成角的正切值为

5

．(步骤10) 18．(本小题满分13分) 设椭圆22

221x y a b

+=()0a b >>的左右焦点分别为1F ，2F ，点

(),P a b 满足212PF F F =．

(Ⅰ) 求椭圆的离心率e ；

(Ⅱ) 设直线2PF 与椭圆相交于,A B 两点，若直线2PF 与圆(

)(2

2

116x y ++=相

交于M ，N 两点，且5

8

MN AB =

，求椭圆的方程． 【测量目标】直线与椭圆的位置关系.

【考查方式】考查了椭圆的几何图形、标准方程及其简单的几何性质. 【试题解析】(Ⅰ)设()1,0F c -，()2,0F c ．

因为212PF F F =

2c =，222240a ac a c -+-=，(步骤1)

由c e a

=

，有24220e e +-=，即2

210e e +-=， 1e =-（舍去）或1

2e =．(步骤2)

所以椭圆的离心率为1

2

e =．(步骤3)

(Ⅱ) 因为1

2

e =，所以2a

c =，b ．

所以椭圆方程为2

2

2

3412x y c +=．(步骤4) 直线

2PF 的斜率b

k a c

=

=-

，则直线2PF 的方程为)y x c =-． ,

A B 两点的坐标满足方程组)2223412,

.

x y c y x c ?+=??

=-??(步骤5) 消去y 并整理得2

580x cx -=．则10x =，285

x c =．(

步骤6)

于是110,x y =???=?

? 228,5.

5x c y ?=??

??=??

不妨设85A c ?? ?

???，()

0,B ．

所以165AB c ==．(步骤7)

于是5

28

MN AB c =

=． 圆心()1,3-到直线2PF

的距离d =

=

因为2

22

42MN d ??+= ?

??

，所以()2232164c c ++=，即2712520c c +-=， 解得26

07

c =-<（舍去），或2c =．于是24a c ==

，b ==． 所以椭圆的方程为

22

11612

x y +=．(步骤8) 19．(本小题满分14分) 已知函数()3

2

2

4361f x x tx t x t =+-+-，其中t ∈R ．

(Ⅰ) 当1t =时，求曲线()y f x =在点()()

0,0f 处的切线方程；

(Ⅱ) 当0t ≠时，求()f x 的单调区间；

(Ⅲ) 证明：对任意()0,t ∈+∞，()f x 在区间()0,1内存在零点． 【测量目标】导数的运算，函数单调性的综合运用，函数零点的求解判断. 【考查方式】考查了函数的求导、单调性、零点与方程根等问题.

【试题解析】(Ⅰ) 当1t =时，()32

436f x x x x =+-，()00f =，(步骤1)

()2

1266f x x x '=+-，()06f '=-．(步骤2)

所以曲线()y f x =在点()()

0,0f 处的切线方程为6y x =-．(步骤3) (Ⅱ) ()2

2

1266f x x tx t '=+-，令()0f x '=，解得x t =-或2

t x =

． 因为0t ≠，所以要分为0t <和0t >讨论．(步骤4) (1) 若0t <,则

2

t

t <-. 当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：

所以，()f x 的单调增区间是,

2t ??-∞ ???，(),t -+∞，单调减区间是,2t t ??- ???

．(步骤5) (2) 若0t >,则2

t

t -<

. 当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：

所以，()f x 的单调增区间是(),t -∞-，,2t ??+∞

???，单调减区间是,2t t ??

- ???．(步骤6) (Ⅲ) 由(Ⅱ)可知，当0t >时，()f x 在0,2t ?? ???

内单调递减，在,2t ??

+∞ ???

内单调递增．

需要讨论

2

t

与讨论的区间()0,1的相互位置关系． (1) 当12

t

…，即2t …时，()f x 在()0,1内单调递减，(步骤7)

因为()010f t =->，()2

1643644230f t t =-++-?+?+<…，(步骤8)

所以对任意[)2,t ∈+∞，()f x 在区间()0,1内存在零点．(步骤9) (2) 当012t <

<，即02t <<时，()f x 在0,2t ?? ???内单调递减，在,12t ??

???

内单调递增． 若(]0,1t ∈，371024t f t t ??

=-+-<

?

??

， ()21643643230f t t t t t =-++-++=-+>…．

所以对任意(]0,1t ∈，()f x 在区间,12t ??

???

内存在零点．(步骤10) 若()1,2t ∈，3377110244t f t t t ??

=-+-<-+<

?

??

， ()010f t =->．(步骤11)

所以对任意对任意(]0,1t ∈，()f x 在区间0,2t ?? ???

内存在零点． 所以对任意()0,2t ∈，()f x 在区间()0,1内存在零点．

综合以上，对任意()0,t ∈+∞，()f x 在区间()0,1内存在零点．(步骤12) 20．(本小题满分14分) 已知数列{}n a 与{}n b 满足

()1121n

n n n n b a b a +++=-+，()

1

312

n n b -+-=

，n +∈N ，且12a =．

(Ⅰ) 求2a ，3a 的值；

(Ⅱ) 设2121n n n c a a +-=-，n +∈N ，证明{}n c 是等比数列． (Ⅲ) 设n S 为{}n a 的前n 项和，证明：

21212122121

3

n n n n S S S S n a a a a --++++- …()n +∈N ． 【测量目标】已知递推关系求通项，并项求和.

【考查方式】考查了等比数列的通项公式与前n 项和及并项求和法的应用.

【试题解析】(Ⅰ) 因为()

1

312

n n b -+-=

，n +∈N ，所以2,1,n n b n ?=?

?

为奇数,

偶数.为(步骤1)

又()1121n

n n n n b a b a +++=-+，(步骤2)

当1n =时，1221a a +=-，由12a =，得23

2

a =-； 当2n =时，2325a a +=，得38a =；(步骤3) (Ⅱ) 对任意n +∈N ,有

21212221n n n a a --+=-+， ① 2221221n n n a a ++=+， ②(步骤4) ②－①得 21

212132

n n n a a -+--=?． (步骤5)

即 21

212132n n n n c a a -+-=-=?，

于是

1

4n n

c c +=， 所以{}n c 是等比数列．(步骤6)

(Ⅲ)解法1．12a =，由(Ⅱ)可得当k +∈N 且2k …时，

()()()()2113153752123k k k a a a a a a a a a a ---=+-+-+-++- (

)352

3

23

2222k -=++++

+

()12121423214

k k ---=+?

=-．(步骤7)

所以，对任意k +∈N ，21212k k a --=． 由式①21212221n n n a a --+=-+得2121

22

k k a -=-．k +∈N ， 所以21

2121211

2

222

k k k k a a ---??+=+-= ???．(步骤8) 因此，()()()212342122

k k k k

S a a a a a a -=++++++= 于是 21

2122122

k k k k k S S a ---=-=

+． 所以

21212212121212

22222

k k k

k k k k

k k

S S a a ------++=+- 22212221

k k k

k k

-+=-- ()

114441k k k

k

=-

--．(步骤9) 所以，对任意k +∈N ，

21212

12212n n n n

S S S S a a a a --++++ 32121241234212n n n n S S S S S S a a a a a a --??????=++++++ ? ? ???????

()()()22211121111444144441441n n n n

?????? ? ?=--+--++-- ? ? ? ?---??????

()()222

111

2141244441441n n n n n ?????? ? ?=-+-+--+ ? ? ?--??????

1114123n n ??

-+=- ???

…．(步骤10)

解法2．由(Ⅱ)可得 21212132n n n a a -+--=?．

则

21212121

3

2424

n n n n a a +-+-=+?，(步骤7) 设2121

2n n n a d --=，则11344n n d d +=+，于是()11

114

n n d d +-=-， 于是()1

11114n n d d -??

-=- ?

??

，因为12

12

d =

=，所以110d -=， 因而1n d =．即21212n n a --=．(步骤8) 以下同解法1．(步骤9)