空间几何体的直观图(附答案)
空间几何体的直观图
[学习目标] 1.用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图.2.用斜二测画法画常见的柱、锥、台以及简单组合体的直观图.
知识点一用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤
1.画轴：在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x′轴与y′轴，两轴交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°(或135°)，它们确定的平面表示水平面.
2.画线：已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段.
3.取长度：已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半.
思考相等的角在直观图中还相等吗？
答不一定，例如正方形的直观图为平行四边形.
知识点二空间几何体直观图的画法
1.画轴：与平面图形的直观图画法相比多了一个z轴，直观图中与之对应的是z′轴.
2.画底面：平面x′O′y′表示水平平面，平面y′O′z′和x′O′z′表示竖直平面.
3.画侧棱：已知图形中平行于z轴(或在z轴上)的线段，在其直观图中平行性和长度都不变.
4.成图：去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线.
思考空间几何体的直观图惟一吗？
答不惟一.作直观图时，由于选轴的不同，画出的直观图也不同.
题型一画水平放置的平面图形的直观图
例1 画出如图所示水平放置的等腰梯形的直观图.
解画法：(1)如图所示，取AB所在直线为x轴，AB中点O为原点，建立直角坐标系，画对应的坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°.
(2)以O ′为中点在x ′轴上取A ′B ′＝AB ，在y 轴上取O ′E ′＝1
2OE ，以E ′为中点画C ′D ′∥x ′轴，
并使C ′D ′＝CD .
(3)连接B ′C ′，D ′A ′，所得的四边形A ′B ′C ′D ′就是水平放置的等腰梯形ABCD 的直观图.
跟踪训练1 如图所示，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝4 cm ，CD ＝2 cm ，∠A ＝30°，
AD ＝3 cm ，试画出它的直观图.
解 (1)如图①所示，在梯形ABCD 中，以边AB 所在的直线为x 轴，点A 为原点，建立平面直角坐标系xOy ，如图②所示，画出对应的x ′轴，y ′轴，使∠x ′O ′y ′＝45°.
(2)在图①中，过点D 作DE ⊥x 轴，垂足为E .在x ′轴上取A ′B ′＝AB ＝4 cm ，A ′E ′＝AE ＝332≈
2.598 cm ；
过点E ′作E ′D ′∥y ′轴，使E ′D ′＝1
2ED ，再过点D ′作D ′C ′∥x ′轴，且使D ′C ′＝DC ＝2 cm.
(3)连接A ′D ′，B ′C ′，并擦去x ′轴与y ′轴及其他一些辅助线，如图③所示，则四边形A ′B ′C ′D ′就是所求作的直观图.
题型二 由直观图还原平面图形
例2 如图所示，△A ′B ′C ′是水平放置的平面图形的斜二测直观图，将其还原成平面图形.
解①画直角坐标系xOy，在x轴的正方向上取OA＝O′A′，即CA＝C′A′；
②过B′作B′D′∥y′轴，交x′轴于D′，在OA上取OD＝O′D′，过D作DB
∥y轴，且使DB＝2D′B′；
③连接AB，BC，得△ABC.
则△ABC即为△A′B′C′对应的平面图形，如图所示.
跟踪训练2 如图所示，正方形O′A′B′C′的边长为1 cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，求原图形的周长.
解如图为原平面图形.
由斜二测画法可知，
OB＝2O′B′＝2 2 cm，OC＝O′C′＝AB＝A′B′＝1 cm，且AB∥OC，∠BOC＝90°.
所以四边形OABC为平行四边形，
且BC＝OC2＋OB2＝1＋8＝3(cm)，
故平行四边形OABC的周长为2(OC＋BC)＝8(cm).
题型三空间几何体的直观图
例3 如图所示，已知几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图.
解(1)作出长方体的直观图ABCD－A1B1C1D1，如图1所示；
(2)再以上底面A1B1C1D1的对角线交点为原点建立x′轴、y′轴，z′轴，如图2所示，在z′上取点V′，使得V′O的长度为棱锥的高，连接V′A1，V′B1，V′C1，V′D1，得到四棱锥的直观图，如图2；
(3)擦去辅助线和坐标轴，遮住部分用虚线表示，得到几何体的直观图，如图3.
图3
跟踪训练3 由如图所示几何体的三视图画出直观图.
解(1)画轴.如图(图1)，画出x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz ＝90°.
(2)画底面.作水平放置的三角形(俯视图)的直观图△ABC.
(3)画侧棱.过A，B，C各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取线段AA′，BB′，CC′，且AA′＝BB′＝CC′.
(4)成图，顺次连接A′，B′，C′，并加以整理(擦去辅助线，将遮挡部分用虚线表示)，得到的图形就是所求的几何体的直观图(图2).
图1 图2
求直观图的面积
例4 已知△ABC的平面直观图△A′B′C′是边长为a的等边三角形，那么△ABC的面积为( )
A.
3
2
a2 B.
3
4
a2 C.
6
2
a2 D.6a2
分析求直观图的面积的关键是依据斜二测画法，求出相应的直观图的底边和高.
解析如图①为直观图，②为实际图形，取B′C′所在直线为x′轴，过B′C′中点O′与O′x′成45°的直线为y′轴，过点A′作A′N′∥O′x′.交y′轴于点N′，过点A′作A′M′∥O′y′，交x′轴于点M′，则在Rt△A′O′M′中，
因为O′A′＝
3
2
a，∠A′M′O′＝45°，所以M′O′＝A′O′＝A′N′＝
3
2
a，故A′M′＝
6
2
a.
在平面直角坐标系中，在x轴上方y轴左侧取到x轴距离为6a，到y轴距离为
3
2
a的点A，
则△ABC为所求.显然S△ABC＝1
2
a·6a＝
6
2
a2.
答案 C
用斜二测画法画出所给图形的直观图
例5 画出如图所示的四边形OABC的直观图，其中OC＝AD＝2，OD＝3，OB＝4.
分析根据已知条件可得OC⊥OB，AD⊥OB，因此可以以点O为坐标原点建立平面直角坐标系，结合斜二测画法的规则，可以作出所给图形的直观图.
解以O为原点，OB所在直线为x轴，OC所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图①所示.作∠C′O′B′＝45°，O′B′＝4，O′D′＝3，O′C′＝1，过点D′作∠B′D′A′＝135°，使A′D′＝1，顺次连接O′A′，A′B′，B′C′，所得四边形O′A′B′C′即为四边形OABC的直观图(如图②所示).
1.用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，对其中的线段说法错误的是( )
A.原来相交的仍相交
B.原来垂直的仍垂直
C.原来平行的仍平行
D.原来共点的仍共点
2.如图所示为某一平面图形的直观图，则此平面图形可能是( )
3.已知等边三角形ABC的边长为a，那么等边三角形ABC的直观图△A′B′C′的面积为( )
A.
3
4
a2 B.
3
8
a2 C.
6
8
a2 D.
6
16
a2
4.如图，平行四边形O′P′Q′R′是四边形OPQR的直观图，若O′P′＝3，O′
R′＝1，则原四边形OPQR的周长为_______.
5.已知如图所示的直观图△A′O′B′，则其平面图形的面积为_______.
一、选择题
1.用斜二测画法画水平放置的△ABC时，若∠A的两边分别平行于x轴、y轴，且∠A＝90°，则在直观图中∠A′等于( )
A.45°
B.135°
C.45°或135°
D.90°
2.如图所示是水平放置的三角形的直观图，A′B′∥y′轴，则原图中△ABC是( )
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.任意三角形
3.已知两个圆锥，底面重合在一起，其中一个圆锥顶点到底面的距离为2 cm，另一个圆锥顶点到底面的距离为3 cm，则其直观图中这两个顶点之间的距离为( )
A.2 cm
B.3 cm
C.2.5 cm
D.5 cm
4.如图所示，△A ′B ′C ′是水平放置的△ABC 的直观图，则在原△ABC 的三边及中线AD 中，最长的线段是( ) A.AB B.AD C.BC D.AC
5.如图所示，△A ′B ′C ′是△ABC 的直观图，其中A ′C ′＝A ′B ′，那么△ABC 是( ) A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形
D.钝角三角形
6.用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图所示，AB 平行于y ′轴，BC ，AD 平行于x ′轴.已知四边形ABCD 的面积为2 2 cm 2
，则原平面图形的面积为( ) A.4 cm 2
B.4 2 cm 2
C.8 cm 2
D.8 2 cm 2
7.梯形A 1B 1C 1D 1(如图所示)是一水平放置的平面图形ABCD 的直观图.若A 1D 1∥y ′轴，A 1B 1∥x ′轴，A 1B 1＝2
3
C 1
D 1＝2，A 1D 1＝1，则平面图形ABCD 的面积是( )
A.5
B.10
C.5 2
D.10 2
二、填空题
8.如图所示，四边形OABC 是上底为2，下底为6，底角为45°的等腰梯形.用斜二测画法画出这个梯形的直观图O ′A ′B ′C ′，则在直观图中，梯形的高为________.
9.水平放置的△ABC 的斜二测直观图如图所示，已知A ′C ′＝3，B ′C ′＝2，则AB 边上的中线的实际长度为________.
10.在等腰梯形ABCD中，上底CD＝1，腰AD＝CB＝2，下底AB＝3，以下底所在直线为x轴，则由斜二测画法画出的直观图A′B′C′D′的面积为________.
11.一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形ABCD，如图所示，∠ABC＝45°，AB＝AD＝1，DC⊥BC，则原平面图形的面积为________.
三、解答题
12.如图是某几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图.
13.用斜二测画法得到一水平放置的直角三角形ABC如图所示，其中AC＝1，∠ABC＝30°，试求原三角形的面积.
当堂检测答案
1.答案 B
解析 根据斜二测画法，原来垂直的未必垂直. 2.答案 C
解析 根据斜二测画法可知，此直观图的平面图形可能是C. 3.答案 D
解析 方法一 建立如图①所示的平面直角坐标系xOy .
如图②所示，建立坐标系x ′O ′y ′，使∠x ′O ′y ′＝45°，由直观图画法，知A ′B ′＝AB ＝a ，O ′C ′＝12OC ＝34a .过点C ′作C ′D ′⊥O ′x ′于点D ′，则C ′D ′＝22O ′C ′＝68a .所以△A ′B ′C ′的面积是S ＝12·A ′B ′·C ′D ′＝12·a ·68a ＝616a 2. 方法二 S △ABC ＝34a 2，而S △A ′B ′C ′S △ABC ＝24，所以S △A ′B ′C ′＝24S △ABC ＝24×34a 2＝616
a 2
. 4.答案 10
解析 由四边形OPQR 的直观图可知原四边形是矩形，且OP ＝3，OR ＝2，所以原四边形
OPQR 的周长为2×(3＋2)＝10.
5.答案 6
解析 由直观图可知其对应的平面图形AOB 中，∠AOB ＝90°，OB ＝3，
OA ＝4，
∴S △AOB ＝1
2OA ·OB ＝6.
课时精练答案
一、选择题
1.答案 C
解析在画直观图时，∠A′的两边依然分别平行于x′轴、y′轴，而∠x′O′y′＝45°或135°. 2.答案 B
解析因为A′B′∥y′，所以由斜二测画法可知在原图形中BA⊥AC，故△ABC是直角三角形.
3.答案 D
解析因为这两个顶点连线与圆锥底面垂直，现在距离为5 cm，而在直观图中根据平行于z轴的线段长度不变，仍为5 cm.
4.答案 D
解析还原△ABC，即可看出△ABC为直角三角形，故其斜边AC最长.
5.答案 B
解析由直观图看出，三角形中有两边分别和两轴平行且相等，由斜二测画法知原图中相应两边与两轴平行，即有两边垂直且不等，所以原三角形为直角三角形.
6.答案 C
解析依题意可知∠BAD＝45°，则原平面图形为直角梯形，且上下底边的长分别与BC，AD 相等，高为梯形ABCD的高的22倍，所以原平面图形的面积为8 cm2.
7.答案 A
解析A1B1∥x′轴，A1D1∥y′轴，根据斜二测画法规则可知，该图形还原成
平面图形时，A1B1，C1D1长度不变，A1D1长度变为原来的2倍，且∠A1D1C1
变为∠ADC＝90°.该直观图还原成平面图形后如图所示，该平面图形为直
角梯形，其中AB＝2，CD＝3
2AB＝3，AD＝2，∴S梯形ABCD＝
(2＋3)×2
2
＝5.
二、填空题
8.答案
2 2
解析因为OA＝6，CB＝2，所以OD＝2.又因为∠COD＝45°，所以CD＝2.梯形的直观图
如图，则C′D′＝1.所以梯形的高为C′E′＝
2 2 .
9.答案
52
解析 将直观图△A ′B ′C ′复原，其平面图形为Rt △ABC ，且AC ＝3，BC ＝4，故斜边AB ＝5，所以AB 边上的中线长为5
2.
10.答案
22
解析 如图所示(图①)，因为OE ＝(2)2
－1＝1， 所以O ′E ′＝12，所以E ′F ＝2
4
.
所以直观图A ′B ′C ′D ′(图②)的面积为S ′＝12×(1＋3)×24＝2
2
.
11.答案 2＋
2
2
解析 过A 作AE ⊥BC ，垂足为E ，
又∵DC ⊥BC 且AD ∥BC ，∴ADCE 是矩形，∴EC ＝AD ＝1，由∠ABC ＝45°，
AB ＝AD ＝1知BE ＝
22
，∴原平面图形是梯形且上下两底边长分别为1和1＋
2
2
，高为2， ∴原平面图形的面积为12×? ????
1＋1＋22×2＝2＋22.
三、解答题
12.解 由几何体的三视图可知这个几何体是一个简单组合体，它的下部是一个倒立的圆台，上部是一个圆锥，并且圆锥的底面与圆台的下底面重合.我们可以先画出下部的圆台，再画出上部的圆锥.
(1)画轴，如图①所示，画x 轴、z 轴，使∠xOz ＝90°；
(2)画倒立圆台的上底面，在x 轴上取A ，B 两点，使AB 的长度等于俯视图中小圆的直径，
且OA ＝OB ，选择椭圆模板中适当的椭圆过A ，B 两点，使它为圆台的上底面；
(3)在z 轴上截取OO ′，使OO ′等于正视图中相应高度，过点O ′作平行于Ox 轴的O ′x ′轴，类似圆台上底面的方法画出圆台的下底面；
(4)画圆锥的顶点，在Oz 上截取线段O ′P ，使O ′P 等于正视图中相应的高度；
(5)成图，连接PA ′，PB ′，A ′A ，B ′B ，整理得到三视图表示的几何体的直视图，如图②所示.
13.解 如图所示，作AD ⊥BC 于点D ，在BD 上取一点E ，使DE ＝AD .由AC ＝1可知，BC ＝2，AB ＝3，AD ＝
32，AE ＝62
.
由斜二测画法，知B ′C ′＝BC ＝2，A ′E ′＝2AE ＝6， 所以S △A ′B ′C ′＝12B ′C ′·A ′E ′＝1
2×2×6＝ 6.