2020-2021上海中考数学压轴题专题复习——直角三角形的边角关系的综合.doc
2020-2021 上海中考数学压轴题专题复习——直角三角形的边角关系的综合 一、直角三角形的边角关系
1．如图，海上观察哨所
B 位于观察哨所 A 正北方向，距离为 25 海里．在某时刻，哨所
A
与哨所 B 同时发现一走私船，其位置 C 位于哨所 A 北偏东 53°的方向上，位于哨所
B 南偏
东 37°的方向上．
（ 1）求观察哨所 A 与走私船所在的位置 C 的距离；
（ 2）若观察哨所 A 发现走私船从 C 处以 16 海里 / 小时的速度向正东方向逃窜，并立即派缉 私艇沿北偏东 76°的方向前去拦截．求缉私艇的速度为多少时，恰好在 D 处成功拦
截．（结果保留根号）
（参考数据： sin37 °＝ cos53°≈，cos37 ＝sin53 °≈去， tan37 °≈2，tan76 °≈）
【答案】（ 1）观察哨所
A 与走私船所在的位置 C 的距离为
小时 6 17 海里的速度行驶时，恰好在
D 处成功拦截 .
15 海里；（
2）当缉私艇以每
【解析】
【分析】
（1）先根据三角形内角和定理求出 ∠ ACB ＝90°，再解 Rt △ ABC ，利用正弦函数定义得出
AC 即可；
（2）过点
C 作
CM ⊥AB 于点
M ，易知，
D 、 C 、 M
在一条直线上．解
Rt △ AMC ，求出
CM 、 AM ．解 Rt △ AMD 中，求出 DM 、 AD ，得出 CD ．设缉私艇的速度为 x 海里 / 小时，根 据走私船行驶 CD 所用的时间等于缉私艇行驶 AD 所用的时间列出方程，解方程即可．
【详解】
（1）在 △ ABC 中， ACB 180
B BA
C 180 37 53 90 .
在 RtVABC 中， sin B
AC
，所以 AC
AB sin 37 25 3 15 （海里） .
AB 5
答：观察哨所 A 与走私船所在的位置 C 的距离为 15 海里 . （2）过点 C 作 CM
AB ，垂足为 M ，由题意易知， D 、 C 、 M 在一条直线上 .
在 RtVACM 中， CM AC sin CAM 4 12 ，
15
5
AM AC cos CAM
15 3 9 .
5 在 Rt △ ADM 中， tan
DAM MD
，
AM
所以 MD AM tan76
36 .
所以 AD
AM
2
MD 2
92
36
2
9 17， CD MD
MC 24
.
设缉私艇的速度为v 海里/小时，则有249 17
，解得v 6 17. 16v
经检验， v 6 17 是原方程的解.
答：当缉私艇以每小时 6 17 海里的速度行驶时，恰好在 D 处成功拦截.
【点睛】
此题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．
2．（ 6 分）某海域有A， B 两个港口， B 港口在 A 港口北偏西30°方向上，距A 港口里，有一艘船从 A 港口出发，沿东北方向行驶一段距离后，到达位于 B 港口南偏东向的 C 处，求该船与 B 港口之间的距离即CB 的长（结果保留根号）．
60 海75°方
【答案】．
【解析】
试题分析：作AD⊥ BC 于 D，于是有∠ ABD=45°，得到 AD=BD=，求出∠C=60°，根据正切的定义求出CD的长，得到答案．
试题解析：作AD⊥ BC 于 D，∵ ∠EAB=30°， AE∥ BF，∴∠ FBA=30°，又∠ FBC=75°，
∴∠ ABD=45 ，°又 AB=60，∴ AD=BD=，∵∠BAC=∠BAE+∠CAE=75，°∠ABC=45，°
∴∠ C=60 ，°在∴BC= Rt△ ACD中，∠ C=60 ，°AD=
．故该船与 B 港口之间的距离
，则 tanC=
CB 的长为
，∴ CD= =
海里．
，
考点：解直角三角形的应用-方向角问题．
3．已知 Rt△ABC 中， AB 是⊙ O 的弦，斜边 AC 交⊙ O 于点 D，且 AD=DC，延长 CB 交⊙O 于点 E．
（1）图 1 的 A、B、 C、 D、E 五个点中，是否存在某两点间的距离等于线段CE 的长？请说明理由；
（2）如图 2，过点 E 作⊙ O 的切线，交 AC 的延长线于点 F．
①若 CF=CD时，求 sin∠ CAB的值；
②若 CF=aCD（ a＞0）时，试猜想 sin∠ CAB的值．（用含 a 的代数式表示，直接写出结
果）
【答案】（ 1） AE=CE；（ 2）①；②．
【解析】
试题分析：（ 1）连接 AE、 DE，如图 1，根据圆周角定理可得∠ ADE=∠ ABE=90°，由于
AD=DC，根据垂直平分线的性质可得 AE=CE；
（2）连接 AE、 ED，如图 2，由∠ ABE=90°可得 AE 是⊙ O 的直径，根据切线的性质可得
∠AEF=90 ，°从而可证到△ ADE∽ △ AEF，然后运用相似三角形的性质可得=AD?AF．①当 CF=CD时，可得，从而有EC=AE=CD，在 Rt△ DEC中运用三角函数可得
sin∠CED=，根据圆周角定理可得∠ CAB=∠ DEC，即可求出sin∠ CAB的值；②当
CF=aCD（ a＞ 0）时，同①即可解决问题．
试题解析：（ 1） AE=CE．理由：
连接 AE、 DE，如图 1，∵ ∠ABC=90°，∴ ∠ ABE=90，∴ ∠ ADE=∠ ABE=90°，∵ AD=DC，
∴A E=CE；
（2）连接 AE、 ED，如图 2，∵∠ ABE=90°，∴ AE 是⊙ O 的直径，∵ EF是⊙ OO 的切线，
∴∠ AEF=90，°∴∠ ADE=∠ AEF=90，°又∵ ∠ DAE=∠ EAF，∴ △ ADE∽ △ AEF，∴，∴=AD?AF．
①当 CF=CD时， AD=DC=CF，AF=3DC，∴=DC?3DC=，∴AE=DC，∵ EC=AE，
∴EC= DC，∴ sin∠ CAB=sin∠ CED= ==；
②当 CF=aCD（ a＞0）时， sin∠CAB=．
∵CF=aCD，AD=DC，∴AF=AD+DC+CF=（ a+2） CD，∴=DC?（ a+2）DC=（ a+2），
∴AE=DC，∵ EC=AE，∴ EC=DC，
∴sin∠ CAB=sin∠ CED==．
考点： 1．圆的综合题；2．探究型； 3．存在型．
4．如图， AB 是⊙ O 的直径，弦 CD⊥ AB 于 H，过 CD 延长线上一点 E 作⊙ O 的切线交 AB
的延长线于切点为 G，连接 AG 交 CD 于 K．
（1）求证： KE=GE；
（2）若 KG2=KD?GE，试判断 AC与 EF的位置关系，并说明理由；
（3）在（ 2）的条件下，若sinE= ， AK=，求FG的长．
【答案】（ 1）证明见解析；（2） AC∥EF，证明见解析；（3） FG=．
【解析】
试题分析：（ 1）如图 1，连接 OG．根据切线性质及CD⊥ AB，可以推出
∠KGE=∠ AKH=∠ GKE，根据等角对等边得到KE=GE；
（2） AC 与 EF 平行，理由为：如图 2 所示，连接 GD，由∠ KGE=∠ GKE，及 KG2 =KD?GE，利用两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似可得出△ GKD与△ EKG相似，又利用同弧所对的
圆周角相等得到∠ C=∠ AGD，可推知∠ E=∠ C，从而得到 AC∥ EF；
（3）如图 3 所示，连接 OG， OC，先求出 KE=GE，再求出圆的半径，根据勾股定理与垂径
定理可以求解；然后在 Rt△ OGF中，解直角三角形即可求得 FG的长度．
试题解析：（ 1）如图 1，连接 OG．
∵EG 为切线，
∴∠ KGE+∠ OGA=90 ，°
∵CD⊥AB，
∴∠ AKH+∠ OAG=90 ，°
又∵ OA=OG，
∴∠ OGA=∠ OAG，
∴∠ KGE=∠ AKH=∠ GKE，
∴KE=GE．
（2） AC∥ EF，理由为连接GD，如图 2 所示．
∵KG2=KD?GE，即，
∴，
又∵∠ KGE=∠ GKE，
∴△ GKD∽ △EGK，
∴∠ E=∠ AGD，
又∵ ∠ C=∠ AGD，
∴∠ E=∠C，
∴AC∥EF；
（3）连接 OG，OC，如图 3 所示，
∵EG 为切线，
∴∠ KGE+∠ OGA=90 ，°
∵CD⊥AB，
∴∠ AKH+∠ OAG=90 ，°
又∵ OA=OG，
∴∠ OGA=∠ OAG，
∴∠ KGE=∠ AKH=∠ GKE，
∴KE=GE．
∵s inE=sin∠ ACH=
，设 AH=3t，则 AC=5t， CH=4t，∵KE=GE， AC∥ EF，
∴C K=AC=5t，
∴H K=CK-CH=t．
在Rt△ AHK 中，根据勾股定理得 AH2+HK2=AK2，
即（ 3t）2+t 2=（ 2）2，解得t=．
设⊙ O 半径为 r，在 Rt△OCH 中， OC=r， OH=r-3t， CH=4t，
由勾股定理得：OH2+CH2=OC2，
即（ r-3t）2+（ 4t）2=r2，解得 r=t=．
∵EF 为切线，
∴△ OGF为直角三角形，
在 Rt△ OGF中， OG=r=，tan∠OFG=tan∠CAH=，
∴F G=
【点睛】此题考查了切线的性质，相似三角形的判定与性质，垂径定理，勾股定理，锐角
三角函数定义，圆周角定理，平行线的判定，以及等腰三角形的判定，熟练掌握定理及性
质是解本题的关键．
5．已知：△ ABC 内接于⊙ O， D 是弧 BC上一点， OD⊥ BC，垂足为H．
（1）如图 1，当圆心 O 在 AB 边上时，求证： AC=2OH；
（2）如图 2，当圆心 O 在△ ABC外部时，连接 AD、 CD， AD 与 BC 交于点 P，求证：
∠ACD=∠ APB；
（3）在（ 2）的条件下，如图 3，连接 BD， E 为⊙ O 上一点，连接 DE交 BC于点 Q、交 AB 于点N，连接 OE，BF 为⊙ O 的弦， BF⊥ OE 于点 R 交 DE 于点 G，若∠ACD﹣
∠ABD=2∠BDN， AC=，BN=，tan∠ABC=，求BF的长．
【答案】（ 1）证明见解析；（2）证明见解析；（3） 24.
【解析】
试题分析：（ 1）易证 OH 为△ ABC的中位线，可得 AC=2OH；（ 2 ）∠ APB=∠ PAC+∠ ACP，
∠ACD=∠ ACB+∠ BCD，又∵ ∠PAC =∠ BCD，可证∠ ACD=∠APB；（ 3 ）连接 AO 延长交于
⊙O 于点 I，连接 IC， AB 与 OD 相交于点M ，连接 OB，易证∠ GBN=∠ABC，所以 BG=BQ.
在 Rt△ BNQ 中，根据tan ∠ ABC=，可求得NQ、BQ 的长 .利用圆周角定理可求得IC 和 AI
的长度，设QH=x，利用勾股定理可求出QH 和 HD 的长度，利用垂径定理可求得ED 的长度，最后利用tan ∠ OED=即可求得RG的长度，最后由垂径定理可求得BF的长度．
试题解析：（ 1）在⊙O 中，∵ OD⊥ BC，∴BH=HC，∵点 O 是 AB 的中点，∴ AC=2OH；（2）在⊙ O 中，∵ OD⊥ BC，∴弧 BD=弧 CD，∴ ∠ PAC=∠ BCD，∵ ∠ APB=∠ PAC+∠ ACP，
∠ACD=∠ ACB+∠ BCD，∴ ∠ ACD=∠APB；（ 3）连接 AO 延长交于⊙ O 于点 I，连接 IC，AB与 OD 相交于点 M，连接 OB，
∵∠ ACD﹣∠ ABD=2∠ BDN，∴ ∠ ACD﹣∠ BDN=∠ ABD+∠ BDN，∵ ∠ ABD+∠ BDN=∠ AND，∴∠ ACD﹣∠ BDN=∠ AND，∵∠ ACD+∠ ABD=180 ，°∴ 2∠ AND=180 ，°∴∠ AND=90 ，°
∵tan ∠ ABC=，∴，∴，
∴
，∵∠ BNQ=∠ QHD=90 °
，
∴∠ ABC=∠ QDH，∵OE=OD，
∴∠ OED=∠ QDH，∵∠ ERG=90，°∴∠ OED=∠ GBN，∴∠ GBN=∠ ABC，∵ AB⊥ ED，
∴BG=BQ=，GN=NQ=，
∵∠ ACI=90 ，°tan ∠ AIC=tan∠ ABC=，∴，∴IC=，∴由勾股定理可求得：
AI=25，
设 QH=x，∵ tan∠ ABC=tan∠ ODE=，∴，∴HD=2x，∴ OH=OD﹣HD=，
BH=BQ+QH=，
∵OB2=BH2+OH2，∴，解得：，当QH=
时，∴ QD=，
∴ND=，∴MN=，MD=15,∵，∴QH=不符合题意，舍去，当QH=
时，∴ QD=
∴ND=NQ+QD=，ED=，∴GD=GN+ND=,∴ EG=ED﹣ GD=，
∵tan ∠ OED=，∴，
∴EG=RG，∴ RG=，∴BR=RG+BG=12,∴BF=2BR=24．
考点： 1 圆； 2 相似三角形； 3 三角函数； 4 直角三角形 .
6．（本题满分14 分，第（ 1）小题满分 4 分，第（ 2）小题满分 5 分，第（ 3）小题满分 5 分）
已知：如图，AB 是半圆 O 的直径，弦 CD / / AB ，动点P、 Q 分别在线段 OC 、 CD 上，且 DQ OP ，AP的延长线与射线OQ 相交于点E、与弦CD相交于点F（点F与
点 C 、不重合）， AB 20 ，cos AOC 4
y ．
D 5．设 OP x ，CPF 的面积为
（1）求证：AP OQ；
（2）求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域；
（3）当OPE 是直角三角形时，求线段OP 的长．
【答案】（1
）证明见解析；（
2 3x2 60 x 300 50
）y ( x 10) ；（3）OP 8
x 13
【解析】
【分析】
（1）证明线段相等的方法之一是证明三角形全等，通过分析已知条件，OP DQ ，联结OD 后还有OA DO ，再结合要证明的结论AP OQ ，则可肯定需证明三角形全等，寻
找已知对应边的夹角，即POA QDO 即可；
（2）根据PFC∽PAO，将面积转化为相似三角形对应边之比的平方来求；（3）分
成三种情况讨论，充分利用已知条件cos AOC 4
、以及（ 1）（ 2）中已证的结论，注5
意要对不符合（2）中定义域的答案舍去．【详解】
（1）联结 OD ，∵OC OD ，
∴ OCD ODC ，
∵ CD / / AB ， ∴ OCD COA ，
∴
POA
QDO ．
在 AOP 和 ODQ 中，
OP DQ { POA QDO ，
OA DO
∴ AOP ≌ ODQ ，
∴ AP OQ ；
（2）作 PH OA ，交 OA 于 H ，
∵ cos
AOC
4
，
5
∴ OH
4 4 3 OP
x ， PH
x ，
5
5
5
∴
S
AOP
1
AO PH 3x
．
2
∵ CD / / AB ， ∴ PFC ∽ PAO ，
∴
y
( CP ) 2 (10 x )2 ，
S
AOP
OP x
∴ y
3x
2
60x 300
，当 F 与点 D 重合时，
x
∵ CD
2OC cos OCD
2 10
4 ，
16
5
∴
x
x 10
，解得 x 50 ，
10 16
13
∴ y
3x 2
60x 300 ( 50 x 10) ；
x 13
（3） ① 当 OPE 90o 时， OPA 90o ，
∴ OP
OA cos AOC 10 4 8 ； 5
90o
时，
CQ
OC
10 10 25 ② 当
POE
cos QCO
cos
AOC 4 2
，
5
∴ OP
DQ CD CQ CD 25 16
25 7
2
2
，
2
50
OP 10 ，
∵
13
∴ OP 7
（舍去）；2
③当PEO 90o时，∵ CD / / AB ，
∴AOQ DQO ，
∵AOP ≌ ODQ ，
∴DQO APO ，
∴AOQ APO ，
∴AEO AOP90o，此时弦CD不存在，故这种情况不符合题意，舍去；
综上，线段 OP 的长为 8 ．
7．如图，将一副直角三角形拼放在一起得到四边形 ABCD，其中∠ BAC=45°，∠ ACD=30°，点E 为 CD 边上的中点，连接 AE，将△ ADE 沿 AE 所在直线翻折得到△ AD′E， D′E交 AC 于 F 点．若 AB=6 cm．
（1） AE 的长为cm；
（2）试在线段 AC 上确定一点 P，使得 DP+EP的值最小，并求出这个最小值；
（3）求点 D′到 BC 的距离．
【答案】（ 1）；（2）12cm；（3）cm．
【解析】
试题分析：（ 1）首先利用勾股定理得出AC 的长，进而求出
边上的中线等于斜边的一半进而得出答案：
∵∠ BAC=45 ，°∠ B=90 ，°∴ AB=BC=6cm，
∴AC=12cm．
CD的长，利用直角三角形斜
∵∠ ACD=30 ，°∠ DAC=90 ，°AC=12cm，∴（cm）．
∵点 E 为 CD 边上的中点，∴ AE=DC=cm．
（2）首先得出△ ADE为等边三角形，进而求出点E， D′关于直线AC 对
称，连接DD′交
于点 P，根据轴对称的性质，此时DP+EP值为最小，进而得出答案．
（3）连接 CD′， BD′，过点 D′作 D′G⊥BC于点 G，进而得出△ABD′≌ △ CBD′（ SSS），则
∠D′ BG=45， D°′ G=GB，进而利用勾股定理求出点D′到 BC 边的距离．
试题解析：解：（1）．
AC
（2）∵ Rt△ADC 中，∠ ACD=30°，∴ ∠ ADC=60°，
∵E 为 CD边上的中点，∴DE=AE．∴ △ ADE为等边三角形．
∵将 △ ADE 沿 AE 所在直线翻折得 △ AD ′E，∴ △AD ′E 为等边三角形，
∠AED ′=60 °．
∵∠ EAC=∠ DAC ﹣ ∠ EAD=30 ，°∴ ∠ EFA=90，°即 AC 所在的直线垂直平分线段 ED ′．
∴点 E ， D ′关于直线 AC 对称．
如答图 1，连接 DD ′交 AC 于点 P ，∴ 此时 DP+EP 值为最小，且 DP+EP=DD ′． ∵△ ADE 是等边三角形， AD=AE=
，
∴ ，即 DP+EP 最小值为 12cm ．
（ 3）如答图 2，连接 CD ′， BD ′，过点 D ′作 D ′G⊥BC 于点 G ，
∵AC 垂直平分线 ED ′， ∴ AE=AD ，′CE=CD ，′ ∵AE=EC ， ∴AD ′ =CD ′=．
在△ ABD ′和 △CBD ′中， ∵
， ∴ △ ABD ′≌ △ CBD ′
（SSS ）． ∴∠ D ′BG=∠D ′BC=45．°∴ D ′G=GB ．
设 D ′G 长为 xcm ，则 CG 长为
cm ，
在 Rt △ GD ′C 中，由勾股定理得
，
解得：
（不合题意舍去）． ∴点 D ′到 BC 边的距离为
cm ．
考点： 1．翻折和单动点问题；三角形三角形的判定和性质；和性质； 7．方程思想的应用．
8．如图，在 Rt △ ABC 中， ∠BAC=90°， ∠ B=60°，BC=16cm ， AD 是斜边 BC 上的高，垂足为
D ， BE=1cm ．点 M 从点 B 出发沿 BC 方向以 1cm/s 的速度运动，点
N 从点 E 出发，与点 M
2．勾股定理； 3．直角三角形斜边上的中线性质； 4．等边
5 ．轴对称的应用（最短线路问题）； 6．全等三角形的判定
MNGH．点M 到达点 D 同时同方向以相同的速度运动，以MN 为边在BC的上方作正方
形
时停止运动，点N 到达点 C 时停止运动．设运动时间为t （ s）．
（1）当t 为何值时，点G 刚好落在线段AD 上？
（2）设正方形MNGH 与Rt△ ABC重叠部分的图形的面积为S，当重叠部分的图形是正方形时，求出S 关于t 的函数关系式并写出自变量t 的取值范围．
（3）设正方形MNGH 的边NG 所在直线与线段AC 交于点P，连接DP，当t 为何值时，
△CPD 是等腰三角形？
【答案】（ 1） 3；（ 2）；（3）t=9s或t=（15﹣6）s.
【解析】
试题分析：（ 1）求出 ED 的距离即可求出相对应的时间t.
（2）先求出t 的取值范围，分为H 在 AB 上时，此时BM 的距离，进而求出相应的时
间．同样当G 在 AC 上时，求出MN 的长度，继而算出EN 的长度即可求出时间，再通过正
方形的面积公式求出正方形的面积.
（3）分 DP=PC和 DC=PC两种情况，分别由 EN 的长度便可求出 t 的值．试
题解析：∵ ∠ BAC=90°，∠ B=60°， BC=16cm
∴AB=8cm， BD=4cm， AC=8 cm， DC=12cm， AD=4cm.
（1）∵当 G 刚好落在线段 AD 上时， ED=BD﹣ BE=3cm
∴t= s=3s．
MNGH 是边长为 1 的正方形，令H 点在AB （2）∵当 MH 没有到达AD 时，此时正方形
上，
则∠ HMB=90°，∠ B=60°， MH=1
∴BM=cm.∴ t= s.
MNGH 的边长随着N 点的继续运动而增大，令G 点当 MH 到达 AD 时，那么此时的正方形
在 AC 上，
设MN=xcm ，则 GH=DH=x，AH= x，
∵AD=AH+DH= x+x=x=4，
∴x=3．
当≤t ≤4时， S MNGN=1cm2．
当4＜ t ≤6时， S MNGH=（ t﹣3 ）2 cm2
∴S 关于 t 的函数关系式为：.
（3）分两种情况：
① ∵当 DP=PC时，易知此时 N 点为 DC 的中点，∴MN=6cm
∴EN=3cm+6cm=9cm.∴ t=9s
故当 t=9s 的时候，△ CPD为等腰三角形；
②当 DC=PC时， DC=PC=12cm
∴N C=6 cm
∴E N=16cm﹣ 1cm﹣ 6 cm=（15﹣ 6 ） cm
∴t= （ 15﹣ 6 ） s
故当 t=（ 15﹣ 6）s时，△CPD为等腰三角形．
综上所述，当t=9s 或 t=（ 15﹣ 6）s时，△CPD为等腰三角形．
考点： 1.双动点问题； 2.锐角三角函数定义； 3.特殊角的三角函数值； 4.正方形的性质； 5. 由实际问题列函数关系式； 6.等腰三角形的性质；7.分类思想的应用.
9．如图，抛物线 y=﹣ x2+3x+4 与 x 轴交于 A、 B 两点，与 y 轴交于 C 点，点 D 在抛物线上且横坐标为 3．
（1）求 tan∠DBC 的值；
（2）点 P 为抛物线上一点，且∠ DBP=45°，求点 P 的坐标．
【答案】（ 1） tan∠ DBC=；
（2） P（﹣，）．
【解析】
试题分析：（ 1）连接 CD，过点 D 作 DE⊥ BC 于点 E．利用抛物线解析式可以求得点A、
B C D
的坐标，则可得CD//AB
，
OB=OC ∠ BCO=∠ BCD=∠ ABC=45°
、、，所以．由直角三角形的性质、勾股定理和图中相关线段间的关系可得BC=4，BE=BC﹣DE=．由此可知
tan∠ DBC=；
（2）过点 P 作 PF⊥ x 轴于点 F．由∠ DBP=45°及∠ABC=45°可得∠ PBF=∠DBC，利用（ 1）中的结果得到： tan ∠ PBF= ．设 P（ x，﹣ x2+3x+4），则利用锐角三角函数定义推知
= ，通过解方程求得点P 的坐标为（﹣，）．
试题解析：
（1）令 y=0，则﹣ x2+3x+4=﹣（ x+1）（ x﹣ 4）
=0，解得 x1=﹣1， x2=4．
∴A（﹣ 1， 0）， B（ 4， 0）．
当x=3 时， y=﹣32+3× 3+4=4，
∴D（ 3， 4）．
如图，连接CD，过点 D 作 DE⊥ BC 于点 E．
∵C（0 ，4），
∴C D//AB ，
∴∠ BCD=∠ABC=45 ．°
在直角△ OBC中，∵OC=OB=4，
∴BC=4．
在直角△ CDE中， CD=3．
∴CE=ED=，
∴BE=BC﹣ DE=．
∴tan ∠ DBC=；
（2）过点 P 作 PF⊥ x 轴于点 F．
∵∠ CBF=∠
DBP=45 ，°∴∠
PBF=∠ DBC，
∴tan ∠ PBF=．
设 P（ x，﹣ x2+3x+4），则=，解得 x1=﹣，x2=4（舍去），
∴P（﹣，）．
考点： 1、二次函数； 2、勾股定理；3、三角函数
10
．如图，已知二次函数y 1
x 2 bx c 的图象经过点
A
（
-3 6
），并与
x
轴交于点
B 2 ，
（-1， 0）和点 C，顶点为点 P．
（1）求这个二次函数解析式；
（2）设 D 为 x 轴上一点，满足∠DPC=∠ BAC，求点 D 的坐标；
（3）作直线AP，在抛物线的对称轴上是否存在一点M，在直线AP 上是否存在点N，使AM+MN 的值最小？若存在，求出M 、 N 的坐标：若不存在，请说明理由．
【答案】（ 1）点 C 坐标为（ 3， 0），点 P（ 1， -2）；（ 2）点 P（ 7， 0）；（ 3）点 N（ - 7， 14 ）．
5 5
【解析】
【分析】
（1）将点 A、 B 坐标代入二次函数表达式，即可求解；
（2
1 1
）利用 S△ABC= × AC× BH= × BC×y A，求出 sinα =
2 2
MD x 1
△PMD 中， tan α ==
x 2 2 ，即可求解；
PM 2 BH 2 2 1 1
，在AB 2 10 5
，则 tan α =
2
（3）作点 A 关于对称轴的对称点A′（ 5， 6），过点A′作 A′N⊥AP 分别交对称轴与点M、
交AP 于点 N，此时 AM+MN 最小，即可求
解．【详解】
6 9 3
b1
3b
（1）将点 A 、 B 坐标代入二次函数表达式得：
2 ，解得：
3
，
1
c
c
b 2
2
故：抛物线的表达式为： y=
1 x 2
-x- 3 ，
2
2
令 y=0，则 x=-1 或 3，令 x=0，则 y=- 3
，
2
故点 C 坐标为（ 3， 0），点 P （1， -2）；
（2）过点 B 作 BH ⊥ AC 交于点 H ，过点 P 作 PG ⊥ x 轴交于点 G ，
设： ∠ DPC=∠ BAC=α，
由题意得： AB=2 10 ， AC=6 2 ， BC=4，
PC=2 2
，
1 1
S △ABC = ×AC ×BH= ×BC ×y A ，
2 2
解得： BH=2
2 ，
BH 2 2 1
1
sin α=
=
=
，则 tan α= ，
AB
2 10
5
2 由题意得： GC=2=PG ，故 ∠ PCB=45°，
延长 PC ，过点 D 作 DM ⊥ PC 交于点 M ， 则 MD=MC=x ，
MD x = 1
在△ PMD 中， tan α=
=
，
PM
x 2
2 2
解得： x=2 2 ，则 CD= 2 x=4，
故点 P （ 7， 0）；
（3）作点 A 关于对称轴的对称点 A ′（ 5， 6），
过点 A ′作 A ′N ⊥ AP 分别交对称轴与点 M 、交 AP 于点 N ，此时 AM +MN 最小，
直线 AP 表达式中的 k 值为：8 =-2，则直线 A′N 表达式中的 k 值为 1 ，
4 2
1
x+b，
设直线 A′N 的表达式为： y=
2
将点 A′坐标代入上式并求解得：b= 7
，2
故直线 A′N 的表达式为： y= 1
x+ 7 ?①，2 2
当x=1 时， y=4，
故点 M（ 1， 4），
同理直线 AP 的表达式为： y=-2x?②，联立①②两个方程并求解得：
x=- 7 ，
5
故点 N（ - 7
，
14
）．55
【点睛】
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、解直角三角形等知识，其中（ 3），利用对称点求解最小值，是此类题目的一般方法．
11．关于三角函数有如下的公式：
sin（α +β）=sin α cos β +cos α sin β①
cos（α +）β =cos α cos﹣βsin α sin β②
tan（α +）β =③
利用这些公式可将某些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值，如：
tan105 °=tan（45°+60 °）==﹣
（2+）．
根据上面的知识，你可以选择适当的公式解决下面的实际问题：
如图，直升飞机在一建筑物CD 上方 A 点处测得建筑物顶端 D 点的俯角α=60°，底端 C 点的俯角β=75°，此时直升飞机与建筑物CD的水平距
离
BC 为 42m ，求建筑物CD 的高．
【答案】建筑物CD的高为 84 米．
【解析】
分析：
如图，过点 D 作 DE⊥ AB 于点 E，由题意易得∠ ACB=75°，∠ ABC=90°， DE=BC=42m，
∠ADE=60 ，°这样在Rt△ ABC和
在
Rt△ ADE 中，结合题中所给关系式分别求出AB 和AE 的
长，即可由CD=BE=AB-AE求得结果
了
.
详解：
如图，过点 D 作 DE⊥ AB 于点 E，由题意可得∠ ACB=75°，∠ ABC=90°， DE=BC=42m，
CD=BE，∠ ADE=60°，
∴在 Rt△ ABC和 Rt△ ADE
AB=BC?tan75 ° =42tan75 °=，
AE= ，
∴CD=AB﹣ AE= （米）.
答：建筑物CD 的高为 84 米 .
睛：读懂题意，把已知量和未知量转化到Rt△ ABC 和 Rt△ ADE 中，这样利用直角三角形中
边角间的关系结合题目中所给的“两角和的三角形函数公式”即可使问题得到解决.
12．已知 Rt△ABC,∠ A=90°,BC=10,以 BC 为边向下作矩形BCDE,连 AE 交 BC 于 F.
(1)如图 1,当 AB=AC,且sin∠BEF=
3 时，求
BF
的值；
5 CF
(2)如图 2,当 tan ∠ ABC= 1 时 ,过 D 作 DH⊥ AE 于 H,求EH EA的值；
2
(3)如图 3,连 AD 交 BC于 G,当FG2 BF CG 时,求矩形BCDE的面积
【答案】
1
；（ 2） 80；（ 3） 100.
(1)
7
【解析】【分析】
3
得出FK 3
(1)过 A 作 AK⊥ BC于 K,根据 sin∠ BEF=
AK ,设 FK=3a,AK=5a，可求得 BF=a,故
5 5
BF 1
；（2）过 A 作 AK⊥ BC于 K,延长 AK 交 ED于 G,则 AG⊥ ED，得△EGA∽
△EHD，
CF 7
利用相似三角形的性质即可求出；（3）延长 AB、ED 交于 K,延长 AC、 ED 交于 T,根据相似三角形的性质可求出BE=ED，故可求出矩形的面积.
【详解】
解： (1)过 A 作 AK⊥BC 于 K,
3 3
∵sin∠ BEF＝,sin∠ FAK＝,
5 5
FK 3
∴,
AK 5
设FK=3a,AK=5a,
∴A K=4a,
∵AB=AC,∠ BAC=90 ,°
∴BK=CK=4a,
∴B F=a,
又∵ CF=7a,
BF 1
∴
CF 7
(2)过 A 作 AK⊥BC 于 K,延长 AK 交 ED于 G,则 AG⊥ ED，
∵∠ AGE=∠ DHE=90 ,°
∴△ EGA∽△ EHD,
EH ED
∴，
EG EA
∴EH EA EG·ED ,其中EG=BK,
∵BC=10,tan ∠ABC＝1
，2
2020上海中考数学压轴题专项训练
1文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑. 24.（本题满分12分，第（1）小题满分3分，第（2）小题满分4分，第（3）小题满分5分） 如图，已知抛物线2y x bx c =++经过()01A -， 、()43B -，两点. （1）求抛物线的解析式； （2 求tan ABO ∠的值； （3）过点B 作BC ⊥x 轴，垂足为点C ，点M 是抛物线上一点，直线MN 平行于y 轴交直线AB 于点N ，如果M 、N 、B 、C 为顶点的四边形是平行四边形，求点N 的坐标. 24.解：（1）将A （0，-1）、B （4，-3）分别代入2 y x bx c =++ 得 1, 1643 c b c =-?? ++=-?， ………………………………………………………………（1分） 解，得9 ,12b c =-=- …………………………………………………………………(1分) 所以抛物线的解析式为29 12y x x =- - …………………………………………… （1分） （2）过点B 作BC ⊥x 轴，垂足为C ，过点A 作AH ⊥OB ，垂足为点H ………（1分） 在Rt AOH ?中，OA =1，4 sin sin ,5AOH OBC ∠=∠= ……………………………（1分） ∴4sin 5AH OA AOH =∠= ，∴322,55 OH BH OB OH ==-=， ………………（1分） 在Rt ABH ?中，4222 tan 5511AH ABO BH ∠==÷= ………………………………（1分） (3)直线AB 的解析式为1 12y x =--， ……………………………………………（1分） 设点M 的坐标为29(,1)2m m m --，点N 坐标为1 (,1)2 m m -- 那么MN =2291 (1)(1)422 m m m m m - ----=-； …………………………（1分） ∵M 、N 、B 、C 为顶点的四边形是平行四边形，∴MN =BC =3 解方程2 4m m -=3 得2m =± ……………………………………………（1分） 解方程2 43m m -+=得1m =或3m =； ………………………………………（1分） 所以符合题意的点N 有4 个35 (22),(22),(1,),(3,)22 --+--- ……………………………………………………………………………………（1分） 25.（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分5分，第（3）小题满分5
上海中考数学知识点梳理
上海中考数学知识点梳理 第一单元数与运算 一、数的整除 1．内容要目 数的整除性、奇数和偶数、因数和倍数、素数和合数，公因数和最大公因数、公倍数和最小公倍数、分解素因数；能被2和5整除的正整数的特征。 2．基本要求 （1）知道数的整除性、奇数和偶数、素数和合数、因数和倍数、公倍数和公因素等的意义；知道能被2、5整除的正整数的特征。 （2）会用短除法分解素因数；会求两个正整数的最大公因素和最小公倍数。 3．重点和难点 重点是会正确地分解素因数，并会求两个正整数的最大公因数和最小公倍数。 难点是求两个正整数的最小公倍数。 4．知识结构 二、实数 1．内容要目 实数的概念，实数的运算。近似计算以及科学记数法。 2．基本要求 （1）理解开方及方根的意义，知道无理数的概念，知道实数与数轴上的点具有一一对应的关系。（2）理解实数概念，掌握实数的加、减、乘、除、乘方、开方等运算的法制，会正确进行实数的运算。 （3）会用计算器进行实数的运算，初步掌握估算、近似计算的基本方法和科学记数法。 3．重点和难点 重点是理解实数概念，会正确进行实数的运算。 难点是认识实数与数轴上的点的一一对应关系。 4．知识结构
第二单元 方程与代数 一、整式与分式 1．内容要目 代数式，整式的加减法，同底数幂的乘法和除法，幂的乘方，积的乘方。 单项式的乘法和除法，单项式与多项式的乘法，多项式除以单项式，多项式的乘法。 乘法公式：22222()();()2a b a b a b a b a ab b +-=-±=±+ 因式分解：提取公因式法，公式法，十字相乘法，分组分解法。 分式，分式的基本性质，约分，最简分式，通分，分式的乘除法，分式的加减法，整数的指数幂，整数指数幂的运算。 2．基本要求 （1）理解用字母表示数的意义；理解代数式的有关概念。 （2）通过列代数式，掌握文字语言与数学式子的表述之间的转换，领悟字母“代”数的数学思想；会求代数式的值。 （3）掌握整式的加、减、乘、除及乘方的运算法则，掌握平方差公式、两数和（差）的平方公式。 （4）理解因式分解的意义，掌握提取公因式法、公式法、二次项系数为1时的十字相乘法、分组分解法等因式分解的基本方法。 （5）理解分式的有关概念及其基本性质，掌握分式的加、减、乘、除运算。 （6）理解正整数指数幂、零指数幂、负整数指数幂的概念，掌握有关整数指数幂的乘（除）、乘方等运算的法则。 说明 ①在求代数式的值时，不涉及繁难的计算；②不涉及繁难的整式运算，多项式除法中的除式限为单项式；③在因式分解中，被分解的多项式不超过四项，不涉及添项、拆项等技巧；④不涉及繁复的分式运算。 3．重点和难点 重点是整式与分式的运算，因式分解的基本方法，整数指数幂的运算。 难点是选择适当的方法因式分解及代数式的混合运算。 4．知识结构
上海市中考数学卷试题与答案
2011年上海市初中毕业统一学业考试数学卷 满分150分 考试时间100分钟 一、选择题（本大题共6题，每题4分，共24分） 1．下列分数中，能化为有限小数的是（ ）． (A) 13 ； (B) 15 ； (C) 17 ； (D) 19 ． 2．如果a ＞b ，c ＜0，那么下列不等式成立的是（ ）． (A) a ＋c ＞b ＋c ； (B) c －a ＞c －b ； (C) ac ＞bc ； (D) a b c c > ． 3．下列二次根式中，最简二次根式是（ ）． (A) (B) ； (D) ． 4．抛物线y ＝－(x ＋2)2－3的顶点坐标是（ ）． (A) （2，－3）； (B) （－2，3）； (C) （2，3）； (D) （－2，－3） ． 5．下列命题中，真命题是（ ）． (A)周长相等的锐角三角形都全等； (B) 周长相等的直角三角形都全等； (C)周长相等的钝角三角形都全等； (D) 周长相等的等腰直角三角形都全等． 6．矩形ABCD 中，AB ＝8，BC =P 在边AB 上，且BP ＝3AP ，如果圆P 是以点P 为圆心，PD 为半径的圆，那么下列判断正确的是（ ）． (A) 点B 、C 均在圆P 外； (B) 点B 在圆P 外、点C 在圆P 内； (C) 点B 在圆P 内、点C 在圆P 外； (D) 点B 、C 均在圆P 内． 二、填空题（本大题共12题，每题4分，共48分） 7．计算：23a a ?=__________． 8．因式分解：229x y -=_______________． 9．如果关于x 的方程220x x m -+=（m 为常数）有两个相等实数根，那么m ＝______． 10．函数y =_____________． 11．如果反比例函数k y x = （k 是常数，k ≠0）的图像经过点(－1，2)，那么这个函数的解 析式是__________． 12．一次函数y ＝3x －2的函数值y 随自变量x 值的增大而_____________（填“增大”或 “减小”）． 13．有8只型号相同的杯子，其中一等品5只，二等品2只和三等品1只，从中随机抽取 1只杯子，恰好是一等品的概率是__________． 14．某小区2010年屋顶绿化面积为2000平方米，计划2012年屋顶绿化面积要达到2880
上海市各区县历年中考数学模拟压轴题汇总及答案
1．（本小题满分10分） 已知，如图，△ABC 是等边三角形，过AC 边上的点 作 DG x 2 bx c y ax ++=知C(2，4)，BC= 4. (1)求过O 、C 、B 三点的抛物线解析式，并写出顶点 坐标和对称轴； (2)经过O 、C 、B 三点的抛物线上是否存在P 点(坐标轴的距离相等.如果存在，求出P 点坐标；如果不存在，请说明理由. 4、 (本题12分)如图，AD(1)求证:四边形AEFD 是菱形； (2)若BE=EF=FC ，求∠BAD+∠ADC 的度数； (3)若BE=EF=FC ，设AB = m ，CD = n ，求四边形ABCD 的面积. 5、 (本题14分)如图，在平面直角坐标系中，抛物线6422++-=x x y 与 x 轴交于A 、B 两点(A 点在B 点左侧)，与y 轴交于C 点，顶点为D.过点 C 、D 的直线与x 轴交于E 点，以OE 为直径画⊙O 1，交直线CD 于P 、E 两点. (1)求E 点的坐标； (2)联结PO 1、PA.求证:BCD ?～A PO 1?； (3) ①以点O 2 (0，m)为圆心画⊙O 2，使得⊙O 2与⊙O 1相切， 当⊙O 2经过点C 时，求实数m 的值； ②在①的情形下，试在坐标轴上找一点O 3，以O 3为圆心画 ⊙O 3，使得⊙O 3与⊙O 1、⊙O 2同时相切.直接写出满足条件的点O 3的坐标(不需写出计算过程). 6．（本题满分12分，第（1）小题6分，第（2）小题6分） （第24题图）
如图，EF 是平行四边形ABCD 的对角线BD 的垂直平分线，EF 与边AD 、BC 分别交于点E 、F ． （1）求证：四边形BFDE 是菱形； （2）若E 为线段AD 的中点，求证：AB ⊥BD . 7．（本题满分12分，第（1）小题6分，第（2 ）小题6分） 在平面直角坐标系中，抛物线2 y x bx c =++经过点（0，2）和点（3，5）． （1）求该抛物线的表达式并写出顶点坐标； （2）点P 为抛物线上一动点，如果直径为4⊙P 与y 轴相切，求点P 的坐标. 8．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（25分） 如图，在Rt △ABC 中，∠BAC = 90°，AB =3，E 、F 分别是AB 边和AC 边上的动点，且∠EDF = 90°． （1）求DE ︰DF 的值； （2）联结EF ，设点B 与点E 间的距离为x ，△DEF 的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出x 的取值范围； （3）设直线DF 与直线AB 相交于点G ，△EFG 能否成为等腰三角形？若能，请直接写出线段BE 的长；若不能，请说明理由. 9．（本题满分12分，每小题各如图10，已知抛物线交于点B ，且OB OA =. (1) 求c b +的值； (2) 若点C 第24题图 A D E C O 第25题B C D E F A
2017上海历年中考数学压轴题专项训练
24.（本题满分12分，第（1）小题满分3分，第（2）小题满分4分，第（3）小题满分5分） 如图，已知抛物线2y x bx c =++经过()01A -， 、()43B -，两点. （1）求抛物线的解析式； （2 求tan ABO ∠的值； （3）过点B 作BC ⊥x 轴，垂足为点C ，点M 是抛物线上一点，直线MN 平行于y 轴交直线AB 于点N ，如果M 、N 、B 、C 为顶点的四边形是平行四边形，求点N 的坐标. 24.解：（1）将A （0，-1）、B （4，-3）分别代入2 y x bx c =++ 得1, 1643c b c =-?? ++=-? ， ………………………………………………………………（1分） 解，得9 ,12 b c =-=-…………………………………………………………………(1分) 所以抛物线的解析式为29 12 y x x =- -……………………………………………（1分） （2）过点B 作BC ⊥x 轴，垂足为C ，过点A 作AH ⊥OB ，垂足为点H ………（1分） 在Rt AOH ?中，OA =1，4 sin sin ,5 AOH OBC ∠=∠=……………………………（1分） ∴4sin 5AH OA AOH =∠= g ，∴322,55 OH BH OB OH ==-=， ………………（1分） 在Rt ABH ?中，4222 tan 5511 AH ABO BH ∠==÷=………………………………（1分） (3)直线AB 的解析式为1 12y x =- -， ……………………………………………（1分） 设点M 的坐标为29(,1)2m m m --，点N 坐标为1 (,1)2 m m -- 那么MN =2 291 (1)(1)422 m m m m m - ----=-； …………………………（1分） ∵M 、N 、B 、C 为顶点的四边形是平行四边形，∴MN =BC =3 解方程2 4m m -=3 得2m =± ……………………………………………（1分） 解方程2 43m m -+=得1m =或3m =； ………………………………………（1分）
2017上海中考数学试卷
2017年上海市初中毕业统一学业考试 数学试卷 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1.下列实数中，无理数是 A.0 B.2 C.-2 D. 7 2 2.下列方程中，没有实数根的是 A.0x 2-x 2= B.01-x 2-x 2= C.01x 2-x 2=+ D.02x 2-x 2=+ 3.如果一次函数y=kx+b （k 、b 是常数，k ≠0）的图像经过第一、二、四象限，那么k 、b 应满足的条件是 A.k ＞0，且b ＞0 B.k ＜0，且b ＞0 C.k ＞0，且b ＜0 D.k ＜0，且b ＜0 4.数据2、5、6、0、6、1、8的中位数和众数分别是 A.0和6 B.0和8 C.5和6 D.5和8 5.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是 A.菱形 B.等边三角形 C.平行四边形 D.等腰梯形 6.已知平行四边形ABCD ，AC 、BD 是它的两条对角线，那么下列条件中，能判断这个平行四边形为矩形的是 A.∠BAC=∠DCA B.∠BAC=∠DAC C.∠BAC=∠ABD D.∠BAC=∠ADB 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7.计算：2a.a 2= . 8.不等式组???2 2-x 6x 2＞，＞的解集是 . 9.方程13-x 2=的根是 . 10.如果反比例函数x k y =（k 是常数，k ≠0）的图像经过点（2,3），那么在这个函数图像所在的每个象限内，y 的值随x 的值增大而 。（填“增大”或
“减小”） 11.某市前年PM2.5的年均浓度为50毫克/立方米，去年比前年下降了10%。如果今年PM2.5的年均浓度比去年也下降10%，那么今年PM2.5的年均浓度将是 毫克/立方米。 12.不透明的布袋里有2个黄球，3个红球，5个白球，它们除颜色外其它都相同，那么从布袋中任意摸出一个球恰好为红球的概率是 。 13.已知一个二次函数的图像开口向上，顶点坐标为（0，-1），那么一个二次函数的解析式可以是 。（只需写一个） 14.某企业今年第一季度各月份产值占这个季度总产值的百分比如图1所示，又知二月份产值是72万元，那么该企业第一季度月产值的平均数是 万元。 15.如图2，已知AB ∥CD ，CD=2AB ，AD 、BC 相交于点E 。设=，=，那么向量用向量表示为 。 16.一副三角尺按图3的位置摆放（顶点C 与F 重合，边CA 与边FE 重合，顶点B 、 C 、 D 在一条直线上）。将三角尺DEF 绕着点F 按顺时针方向旋转n °后（0＜n ＜180），如果EF ∥AB ，那么n 的值是 。 17.如图4，已知Rt △ABC ，∠C=90°，AC=3，BC=4，分别以点A 、B 为圆心画圆，如果点C 在☉A 内，点B 在☉A 外，且☉B 与☉A 内切，那么☉B 的半径长r 的取值范围是 。 18.我们规定：一个正n 边形（n 为整数，n ≥4）的最短对角线与最长对角线长度的比值叫做这个正n 边形的“特征值”，记为λn ，那么λ6= 。 图1
上海中考数学第题专题练习
中考数学第18题专项练习 1.在Rt ABC △中，903BAC AB M ∠==°，，为边BC 上的点，联结AM （如图3所示）．如果将ABM △沿直线AM 翻折后，点B 恰好落在边AC 的中点处，那么点M 到AC 的距离是 ．（2009年中考） 2.已知正方形ABCD 中，点E 在边DC 上，DE = 2，EC = 1（如图所示） 把线段AE 绕点A 旋转，使点E 落在直线BC 上的点F 处，则F 、C 两 点的 距离为_ _______.（2010年上海中考） 3.Rt △ABC 中，已知∠C ＝90°，∠B ＝50°，点D 在边BC 上，BD ＝2CD ．把△ABC 绕着点D 逆时针旋转m （0＜m ＜180）度后，如果点B 恰好落在初始Rt △ABC 的边上，那么m ＝_________．（2011年上海中考） 4.如图所示，Rt ABC 中，90C ∠=?，1BC =，30A ∠=?， 点D 为边AC 上的一动点，将ABD 沿直线BD 翻折，点A 落 在点E 处，如果DE AD ⊥时，那么DE = .（ 5．如图4，⊙A 、⊙B 的圆心A 、B 都在直线l 上，⊙A 的半径为1cm ， ⊙B 的半径为2cm ，圆心距AB =6cm. 现⊙A 沿直线l 以每秒1cm 的速度 向右移动， 设运动时间为t 秒，写出两圆相交时，t 的取值范围： ．(2010,宝山二模) l (图4) B A C D A B E 图 B D
6．在Rt △ABC 中，∠C =90o ，BC =4 ，AC =3，将△ABC 绕着点B 旋转后点A 落在直线BC 上的点A '，点C 落在点C '处，那么A A '的值为 ； （2010，奉贤二模） 7. 已知平行四边形ABCD 中，点E 是BC 的中点，在直线BA 上截取2BF AF =，EF 交BD 于点G ，则GB GD = ．（2010，虹口区二模） 8.如图，在ABC ?中，∠ACB =?90,AC =4,BC =3,将ABC ?绕点C 顺时针旋转至C B A 11?的位置，其中B 1C ⊥AB ,B 1C 、A 1B 1交AB 于M 、N 两点，则线段MN 的长为 .（2010年，黄浦区二模） 9．如图2，在△ABC 中，AD 是BC 上的中线，BC =4，∠ADC =30°，把△ADC 沿AD 所在直线翻折后点C 落在点C ′ 的位置，那么点D 到直线BC ′ 的 距离是 ．（2010年，金山区） 10．如图，半径为1且相外切的两个等圆都内切于半径为3的圆，那么图中阴影部 分的周长为 ．（2010年，静安区二模） 11.如图，在△ABC 中，AB = AC ，BD 、CE 分别是边AC 、AB 上 的中线，且BD ⊥CE ，那么tan ∠ABC =___________． （2010年，闵行区二模） A 1 N M C B B 1 C / D C A 图2 A B C D E
上海历年中考数学压轴题复习(试题附答案)
上海历年中考数学压轴题复习 2001年上海市数学中考 27．已知在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＜BC ，且AD ＝5，AB ＝DC ＝2． （1）如图8，P 为AD 上的一点，满足∠BPC ＝∠A ． 图8 ①求证；△ABP ∽△DPC ②求AP 的长． （2）如果点P 在AD 边上移动（点P 与点A 、D 不重合），且满足∠BPE ＝∠A ，PE 交直线BC 于点E ，同时交直线DC 于点Q ，那么 ①当点Q 在线段DC 的延长线上时，设AP ＝x ，CQ ＝y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域； ②当CE ＝1时，写出AP 的长（不必写出解题过程）． 27．（1）①证明： ∵ ∠ABP ＝180°－∠A －∠APB ，∠DPC ＝180°－∠BPC －∠APB ，∠BPC ＝∠A ，∴ ∠ABP ＝∠DPC ．∵ 在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝CD ，∴ ∠A ＝∠D ．∴ △ABP ∽△DPC ． ②解：设AP ＝x ，则DP ＝5－x ，由△ABP ∽△DPC ，得 DC PD AP AB =，即252x x -=，解得x 1＝1，x 2＝4，则AP 的长为1或4． （2）①解：类似（1）①，易得△ABP ∽△DPQ ，∴ DQ AP PD AB =．即y x x +=-252，得22 521 2-+-=x x y ，1＜x ＜4．
②AP＝2或AP＝3－5． （题27是一道涉及动量与变量的考题，其中（1）可看作（2）的特例，故（2）的推断与证明均可借鉴（1）的思路．这是一种从模仿到创造的过程，模仿即借鉴、套用，创造即灵活变化，这是中学生学数学应具备的一种基本素质，世上的万事万物总有着千丝万缕的联系，也有着质的区别，模仿的关键是发现联系，创造的关键是发现区别，并找到应付新问题的途径．） 上海市2002年中等学校高中阶段招生文化考试 27．操作：将一把三角尺放在边长为1的正方形ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动，直角的一边始终经过点B，另一边与射线DC相交于点Q． 图5图6图7 探究：设A、P两点间的距离为x． （1）当点Q在边CD上时，线段PQ与线段PB之间有怎样的大小关系？试证明你观察得到结论； （2）当点Q在边CD上时，设四边形PBCQ的面积为y，求y与x之间的函数解析式，并写出函数的定义域； （3）当点P在线段AC上滑动时，△PCQ是否可能成为等腰三角形？如果可能，指出所有能使△PCQ成为等腰三角形的点Q的位置，并求出相应的x的值；如果不可能，试说明理由． （图5、图6、图7的形状大小相同，图5供操作、实验用，图6和图7备用） 五、（本大题只有1题，满分12分，（1）、（2）、（3）题均为4分）
2020年上海市中考数学试卷(含详细解析)
保密★启用前 2020年上海市中考数学试卷 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题 1 A B C D 2．用换元法解方程21x x ++21 x x +=2时，若设21 x x +=y ，则原方程可化为关于y 的方程是 ( ) A ．y 2﹣2y +1=0 B ．y 2+2y +1=0 C ．y 2+y +2=0 D ．y 2+y ﹣2=0 3．我们经常将调查、收集得来的数据用各类统计图进行整理与表示．下列统计图中，能凸显由数据所表现出来的部分与整体的关系的是( ) A ．条形图 B ．扇形图 C ．折线图 D ．频数分布直方图 4．已知反比例函数的图象经过点(2，﹣4)，那么这个反比例函数的解析式是( ) A ．y = 2 x B ．y =﹣ 2x C ．y = 8x D ．y =﹣ 8x 5．下列命题中，真命题是( ) A ．对角线互相垂直的梯形是等腰梯形 B ．对角线互相垂直的平行四边形是正方形 C ．对角线平分一组对角的平行四边形是菱形 D ．对角线平分一组对角的梯形是直角梯形 6．如果存在一条线把一个图形分割成两个部分，使其中一个部分沿某个方向平移后能
○………………○…………装※※请※※不※※要○…………………○…………装与另一个部分重合，那么我们把这个图形叫做平移重合图形．下列图形中，平移重合图形是( ) A ．平行四边形 B ．等腰梯形 C ．正六边形 D ．圆 二、填空题 7．计算：23a ab =________. 8．已知f (x )= 2 1 x -，那么f (3)的值是____． 9．如果函数y ＝kx （k ≠0）的图象经过第二、四象限，那么y 的值随x 的值增大而_____．（填“增大”或“减小”） 10．如果关于x 的方程x 2﹣4x +m =0有两个相等的实数根，那么m 的值是____． 11．如果从1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数中任意选取一个数，那么取到的数恰好是5的倍数的概率是____． 12．如果将抛物线y =x 2向上平移3个单位，那么所得新抛物线的表达式是____． 13．为了解某区六年级8400名学生中会游泳的学生人数，随机调查了其中400名学生，结果有150名学生会游泳，那么估计该区会游泳的六年级学生人数约为____． 14．《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图所示，在井口B 处立一根垂直于井口的木杆BD ，从木杆的顶端D 观察井水水岸C ，视线DC 与井口的直径AB 交于点E ，如果测得AB =1.6米，BD =1米，BE =0.2米，那么井深AC 为____米． 15．如图，AC 、BD 是平行四边形ABCD 的对角线，设BC =a ，CA =b ，那么向量BD 用向量,a b 表示为____．
上海中考数学各区二模卷填空18题
A 1 N M C B A B 1 18．(2010宝山区)如图4，⊙A 、⊙B 的圆心A 、B 都在直线l 上，⊙A 的半径为1cm ，⊙B 的半径为2cm ，圆心距AB =6cm. 现⊙A 沿直线l 以每秒1cm 的速度向右移动，设运动时间为t 秒，写出两圆相交时，t 的取值范围： ▲ ．9753<<< 18．（2010金山区二模卷）如图2，在△ABC 中，AD 是BC 上的中线，BC =4， ∠ADC =30°，把△ADC 沿AD 所在直线翻折后点C 落在点C ′ 的位置，那么点D 到直线BC ′ 的距离是 1 ． 18．（2010静安区二模卷）如图，半径为1且相外切的两个等圆都内切于半径为3的圆， 那么图中阴影部分的周长为 ． 37 C / D C A 图2 2016~2017学年度 上海市各区初三一模数学压轴题汇总 （18+24＋25） 共1５套 整理廖老师 宝山区一模压轴题 18(宝山)如图，D 为直角 ABC 的斜边AB 上一点,DE AB 交AC 于E ， 如果AED 沿着DE 翻折,A 恰好与B 重合，联结CD 交BE 于F ,如果8AC ，1 tan 2 A ，那么:___________.CF DF ２４（宝山）如图，二次函数2 32(0)2 y ax x a 的图像与x 轴交于A B 、 两点,与y 轴交于点,C 已知点(4,0)A . (１)求抛物线与直线AC 的函数解析式; （２）若点(,)D m n 是抛物线在第二象限的部分上的一动点，四边形OCDA 的面积为S ,求S 关于m 的函数关系; (３）若点E 为抛物线上任意一点，点F 为x 轴上任意一点，当以A C E F 、、、为顶点的四边形是平行四边形时,请直接写出满足条件的所有点E 的坐标． 25（宝山）如图（1)所示,E 为矩形ABCD 的边AD 上一点，动点P Q 、 同时从点B 出发,点P 以1/cm s 的速度沿第18题 A 第24题 -- 着折线BE ED DC 运动到点C 时停止，点Q 以2/cm s 的速度沿着BC 运动到点C 时停止。设P Q 、 同时出发t 秒时,BPQ 的面积为2ycm ,已知y 与t 的函数关系图像如图(2)（其中曲线OG 为抛物线的一部分，其余各部分均 为线段). (１)试根据图（2）求0 5t 时，BPQ 的面积y 关于t 的函数解析式； (2)求出线段BC BE ED 、、的长度； （3)当t 为多少秒时，以B P Q 、、为顶点的三角形和ABE 相似; （4)如图（3)过点E 作EF BC 于F ，BEF 绕点B 按顺时针方向旋转一定角度,如果BEF 中E F 、 的对应点H I 、恰好和射线BE CD 、的交点G 在一条直线，求此时C I 、两点之间的距离. 崇明县一模压轴题 18(崇明)如图,已知 ABC ?中，45ABC ∠=，AH BC ⊥于点H ,点D 在AH 上,且DH CH =，联结BD ,将BHD 绕 （3） （2）（1） 第25题 B B 历年中考数学压轴题复习 2001年市数学中考 27．已知在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＜BC ，且AD ＝5，AB ＝DC ＝2． （1）如图8，P 为AD 上的一点，满足∠BPC ＝∠A ． 图8 ①求证；△ABP ∽△DPC ②求AP 的长． （2）如果点P 在AD 边上移动（点P 与点A 、D 不重合），且满足∠BPE ＝∠A ，PE 交直线BC 于点E ，同时交直线DC 于点Q ，那么 ①当点Q 在线段DC 的延长线上时，设AP ＝x ，CQ ＝y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域； ②当CE ＝1时，写出AP 的长（不必写出解题过程）． 27．（1）①证明： ∵ ∠ABP ＝180°－∠A －∠APB ，∠DPC ＝180°－∠BPC －∠APB ，∠BPC ＝∠A ，∴ ∠ ABP ＝∠DPC ．∵ 在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝CD ，∴ ∠A ＝∠D ．∴ △ABP ∽△DPC ． ②解：设AP ＝x ，则DP ＝5－x ，由△ABP ∽△DPC ，得 DC PD AP AB = ，即252x x -=，解得x 1＝1，x 2＝4，则AP 的长为1或4． （2）①解：类似（1）①，易得△ABP ∽△DPQ ，∴ DQ AP PD AB =．即y x x += -252，得22 5 212-+-=x x y ，1＜x ＜4． ②AP ＝2或AP ＝3－5． （题27是一道涉及动量与变量的考题，其中（1）可看作（2）的特例，故（2）的推断与证明均可借鉴（1）的思路．这是一种从模仿到创造的过程，模仿即借鉴、套用，创造即灵活变化，这是中学生学数学应具备的一种基本素质，世上的万事万物总有着千丝万缕的联系，也有着质的区别，模仿的关键是发现联系，创造的关键是发现区别，并找到应付新问题的途径．） 市2002年中等学校高中阶段招生文化考试 27．操作：将一把三角尺放在边长为1的正方形ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动，直角的一边始终经过点B，另一边与射线DC相交于点Q． 图5图6图7 探究：设A、P两点间的距离为x． （1）当点Q在边CD上时，线段PQ与线段PB之间有怎样的大小关系？试证明你观察得到结论； （2）当点Q在边CD上时，设四边形PBCQ的面积为y，求y与x之间的函数解析式，并写出函数的定义域； （3）当点P在线段AC上滑动时，△PCQ是否可能成为等腰三角形？如果可能，指出所有能使△PCQ成为等腰三角形的点Q的位置，并求出相应的x的值；如果不可能，试说明理由． （图5、图6、图7的形状大小相同，图5供操作、实验用，图6和图7备用） 五、（本大题只有1题，满分12分，（1）、（2）、（3）题均为4分） 27． 2018年上海市中考数学试卷 一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分。下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的） 1．（4.00分）（2018?上海）下列计算﹣的结果是（） A．4B．3C．2D． 2．（4.00分）（2018?上海）下列对一元二次方程x2+x﹣3=0根的情况的判断，正确的是（） A．有两个不相等实数根B．有两个相等实数根 C．有且只有一个实数根D．没有实数根 3．（4.00分）（2018?上海）下列对二次函数y=x2﹣x的图象的描述，正确的是（） A．开口向下B．对称轴是y轴 C．经过原点D．在对称轴右侧部分是下降的 4．（4.00分）（2018?上海）据统计，某住宅楼30户居民五月份最后一周每天实行垃圾分类的户数依次是：27，30，29，25，26，28，29，那么这组数据的中位数和众数分别是（） A．25和30B．25和29C．28和30D．28和29 5．（4.00分）（2018?上海）已知平行四边形ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是（） A．∠A=∠B B．∠A=∠C C．AC=BD D．AB⊥BC 6．（4.00分）（2018?上海）如图，已知∠POQ=30°，点A、B在射线OQ上（点A 在点O、B之间），半径长为2的⊙A与直线OP相切，半径长为3的⊙B与⊙A 相交，那么OB的取值范围是（） A．5＜OB＜9B．4＜OB＜9C．3＜OB＜7D．2＜OB＜7 二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．（4.00分）（2018?上海）﹣8的立方根是． 8．（4.00分）（2018?上海）计算：（a+1）2﹣a2=． 9．（4.00分）（2018?上海）方程组的解是． 10．（4.00分）（2018?上海）某商品原价为a元，如果按原价的八折销售，那么售价是元．（用含字母a的代数式表示）． 11．（4.00分）（2018?上海）已知反比例函数y=（k是常数，k≠1）的图象有一支在第二象限，那么k的取值范围是． 12．（4.00分）（2018?上海）某校学生自主建立了一个学习用品义卖平台，已知九年级200名学生义卖所得金额的频数分布直方图如图所示，那么20﹣30元这个小组的组频率是． 13．（4.00分）（2018?上海）从，π，这三个数中选一个数，选出的这个数是无理数的概率为． 14．（4.00分）（2018?上海）如果一次函数y=kx+3（k是常数，k≠0）的图象经过点（1，0），那么y的值随x的增大而．（填“增大”或“减小”）15．（4.00分）（2018?上海）如图，已知平行四边形ABCD，E是边BC的中点，联结DE并延长，与AB的延长线交于点F．设=，=那么向量用向量、表示为． 1．如图，在半径为2的扇形AOB 中，∠AOB ＝90°，点C 是AB ︵ 上的一个动点（不与点A 、B 重合），OD ⊥BC ，OE ⊥AC ，垂足分别为D 、E ． （1）当BC ＝1时，求线段OD 的长； （2）在△DOE 中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度；如果不存在，请说明理由； （3）设BD ＝x ，△DOE 的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域． A E C D O B 2．如图，已知在△ABC中，AB＝15，AC＝20，cot A＝2，P是边AB上的一个动点，⊙P的半径为定长．当点P与点B重合时，⊙P恰好与边AC相切；当点P与点B不重合，且⊙P 与边AC相交于点M和点N时，设AP＝x，MN＝y． （1）求⊙P的半径； （3）当AP＝65时，试比较∠CPN与∠A的大小，并说明理由． 3．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，∠B＝60°，AB＝10，AD＝4，⊙M 与∠BAD的两边相切，点N在射线AB上，⊙N与⊙M是等圆，且两圆外切． （1）设AN＝x，⊙M的半径为y，求y关于x的函数关系式； （2）当x为何值时，⊙M与CD相切？ （3）直线CD被⊙M所截得的弦与直线BC被⊙N所截得的弦的长是否可能相等？如果能，求出符合要求的x的值；如果不能，请说明理由． 4．已知：半圆O 的半径OA ＝4，P 是OA 延长线上一点，过线段OP 的中点B 作OP 的垂线交半圆O 于点C ，射线PC 交半圆O 于点D ，连接OD ． （1）当AC ︵ ＝CD ︵ 时，求弦CD 的长； （2）设PA ＝x ，CD ＝y ，求y 与x 的函数关系式及自变量x 的取值范围； （3）设CD 的中点为E ，射线BE 与射线OD 交于点F ，当DF ＝1时，求tan ∠P 的值． 备用图 备用图 2009年上海市初中毕业统一学业考试 数 学 卷 （满分150分，考试时间100分钟） 考生注意： 1．本试卷含三个大题，共25题； 2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效． 3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤． 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．】 1．计算32 ()a 的结果是（ ） A ．5 a B ．6 a C ．8 a D ．9 a 2．不等式组1021 x x +>?? -- B ．3x < C ．13x -<< D ．31x -<< 3．用换元法解分式方程 13101x x x x --+=-时，如果设1 x y x -=，将原方程化为关于y 的整式方程，那么这个整式方程是（ ） A ．2 30y y +-= B ．2 310y y -+= C ．2310y y -+= D ．2 310y y --= 4．抛物线2 2()y x m n =++（m n ，是常数）的顶点坐标是（ ） A ．()m n ， B ．()m n -， C ．()m n -， D ．()m n --， 5．下列正多边形中，中心角等于内角的是（ ） A ．正六边形 B ．正五边形 C ．正四边形 C ．正三边形 6．如图1，已知AB CD EF ∥∥，那么下列结论正确的是（ ） A ．AD BC DF CE = B ． BC DF CE AD = C ．C D BC EF BE = D ．CD AD EF AF = 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 【请将结果直线填入答题纸的相应位置】 7 8．方程 1=的根是 ． A B D C E F 图1 = 2020年上海市中考数学试卷 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】 1．（4分）下列二次根式中，与√3是同类二次根式的是（ ） A ．√6 B ．√9 C ．√12 D ．√18 2．（4分）用换元法解方程x+1x 2 +x 2x+1 =2时，若设 x+1x 2 =y ，则原方程可化为关于y 的方程 是（ ） A ．y 2﹣2y +1＝0 B ．y 2+2y +1＝0 C ．y 2+y +2＝0 D ．y 2+y ﹣2＝0 3．（4分）我们经常将调查、收集得来的数据用各类统计图进行整理与表示．下列统计图中，能凸显由数据所表现出来的部分与整体的关系的是（ ） A ．条形图 B ．扇形图 C ．折线图 D ．频数分布直方图 4．（4分）已知反比例函数的图象经过点（2，﹣4），那么这个反比例函数的解析式是（ ） A ．y =2 x B ．y =?2x C ．y =8x D ．y =?8x 5．（4分）下列命题中，真命题是（ ） A ．对角线互相垂直的梯形是等腰梯形 B ．对角线互相垂直的平行四边形是正方形 C ．对角线平分一组对角的平行四边形是菱形 D ．对角线平分一组对角的梯形是直角梯形 6．（4分）如果存在一条线把一个图形分割成两个部分，使其中一个部分沿某个方向平移后能与另一个部分重合，那么我们把这个图形叫做平移重合图形．下列图形中，平移重合图形是（ ） A ．平行四边形 B ．等腰梯形 C ．正六边形 D ．圆 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】 7．（4分）计算：2a ?3ab ＝ ． 8．（4分）已知f （x ）=2 x?1，那么f （3）的值是 ． 9．（4分）已知正比例函数y ＝kx （k 是常数，k ≠0）的图象经过第二、四象限，那么y 的值 2000年中考数学上海市试题 一、填空题（本题16小题，每小题2分） 1、计算：＝________。 2、当时，＝________。 3、中国的国土面积约为9600000平方千米，用科学记数法可表示为________平方千米。 4、点A（－3，4）和点B（3，4）关于________轴对称。 5、不等式组的解集是________。 6、分解因式：＝________。 7、如果直线在轴上的截距为－2，那么这条直线一定不经过第 ________象限。 8、已知函数，那么＝________。 9、将抛物线向右平移2个单位后，所得抛物线的顶点坐标是________。 10、在正方形ABCD中，∠ABD的余弦值等于________。 11、如果等腰三角形底边上的高等于腰长的一半，那么这个等腰三角形的顶角等于________度。 12、如果等边三角形的高是3cm，那么它的边长是________cm。 13、正十五边形的中心角等于________度。 14、在等腰三角形ABC中，∠C＝90°，BC＝2cm。如果以AC的中点O为旋转中心，将这个三角形旋转180°，点B落在点B’处，那么点B’与点B的原来位置相距________cm。 15、已知数3、6，请再写出一个数，使这三个数中的一个数是另外两个数的比例中项，这个数是________（只需填写一个数）。 16、已知圆和圆外切，半径分别为1cm和3cm，那么半径为5cm且与圆、圆都相切的圆一共可以作出________个。 二、选择题（本题共4小题，每小题2分，满分8分） 17、的一个有理化因式是（）。 （A）；（B）；（C）；（D）。 18、如果用换元法解方程，并设，那么原方程可化为（）。（A）；（B）； （C）；（D）。 19、在函数、、的图象中，是中心对称图形，且对称中心是原点的图象共有（）。 （A）0个；（B）1个；（C）2个；（D）3个。 20、在梯形ABCD中，AD∥BC，AC与BD相交于点O。如果AD:BC＝1:3，那么下列结论中正确的是（）。 （A）；（B）； （C）；（D）。 三、（本题共4小题，每小题8分，满分32分） 21、计算：。 22、解方程：。 上海市中考数学考点分析及分值分布 一、试卷的总体情况 无论是上海市的数学中考，还是外地的中考数学，都是严格按照中考数学考试纲要制定的。大体上都是从知识与技能、数学与思考、解决问题、情感态度与价值观等四个方面对学生加以考查。试卷的知识点覆盖面广，基础知识多，很能体现出适合不同层面的学生来完成，这一点，上海市与外地没有太大的其别。 二、试卷的内容与结构 1、代数和几何的比例 试卷的题型分为：选择题、填空题和解答题（包括：计算题、证明题、应用题以及探索、开放性试题等）。外地试卷的内容分布：数与代数约占48.7％；空间与几何占42％；统计与概率约占9.3％。上海市《考纲》要求：数与代数的内容约占50％，空间与图形的约占35％，通过对近几年上海市各个区的中考试卷分析，我们可以看出，中考试卷150分内代数约占90分，几何约占60分，比例在6∶4。 2、各章节分值情况 1、上海市中考方程（28分左右）和函数（32分左右）占较大的比重，函数部分（包括一次函数、二次函数、反比例函数）所涵盖的知识点基本考查到位，但是难度降低，这与外地的考点有比较大的区别，外地二次函数是中考重点考察的内容，且难度很大，属于综合类的大题。 2、统计的分值约占10% ，这与外地没有太大的区别。 3、锐角三角比板块分值与统计类似，约占10% ； 4、二次根式、因式分解、不等式分值统计； 因式分解3分左右，不等式分值大于二次根式，同学们在复习的过程中要关注不等式知识点复习的有效性。 三、考点分析 1、方程： （1）解方程（组）：主要是解分式方程、无理方程及二元二次方程组；无理方程与二元二次方程组在外地没有出现过，这些内容是上海市自己独立命题的。（2）换元（化为整式方程），外地中考没有这一考点。 （3）一元二次方程根与系数关系的应用，主要是求方程中的系数； （4）列方程解应用题； “方程与不等式”的考法一般可分为如下的三大类： ①技能层面上的题目——多以考方程与不等式的解法为主； ②能力层面上的题目（“列方程或不等式”解应用题）——多以情境化的形式出现； ③“方程思想”层面上的应用—— 一是以“横向”联系、“知识综合”、“解决实际问题或变化过程的即时性（阶段性）问题”为主。二是关注试题和现实生活紧密联系的一些热点问题。 2、函数 （1）求函数值； （2）二次函数与一元二次方程结合求系数的值； （3）函数与几何结合求值或证明； （4）求函数解析式及定义域。 3、几何证明及计算 （1）特殊三角形的边、角计算；届上海初三数学各区一模压轴题汇总(15套全)
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