2011年一月联考真题
一、问题求解:第1-15小题,每小题3分,共45分。下列每题给出的A 、B 、C 、D 、E 五个选项中,只有一项是符合试题要求的,请在答题卡上将所选项的字母涂黑。
1. 已知船在静水中的速度为28km/h ,河水的流速为2km/h ,则此船在相距78km 的两地间往返一次所需的时间是 (A)5.9h
(B)5.6h
(C)5.4h
(D)4.4h
(E)4h
2. 若实数,,a b c 满足()2
3540a c --=,则abc =
(A)-4 (B)-35 (C) -34 (D) 5
4
(E)3
3. 某年级60名学生中,有30人参加合唱团、45人参加运动队,其中参加合唱团而未参加运动队的有8人,则参加运动队而未参加合唱团的有 (A)15人
(B)22人
(C)23人
(D)30人
(E)37人
4. 现有一个半径为R 的球体,拟用刨床将其加工成正方体,则能加工成的最大正方体的体积是
(A)338R (B)
3938R (C) 334R (D) 331
R (E) 393R
5. 2007年,某市的全年研究与试验发展(R&D )经费支出300亿元,比2006年增长20%,该市的GDP 为10000亿元,比2006年增长10%。2006年,该市的R&D 经费支出占当年GDP 的 (A)1.75%
(B) 2%
(C) 2.5%
(D) 2.75% (E)3%
6.现从5名管理专业、4名经济专业和1名财会专业的学生中随机派出一个3人小组,则该小组中3个专业各有1名学生的概率为 (A)
12 (B)13 (C)14 (D)15 (E)1
6
7.一所四年制大学每年的毕业生七月份离校,新生九月份入学,该校2001年招生2000名,之后每年比上一年多招200名,则该校2007年九月的在校学生有 (A)14000名 (B)11600名 (C)9000名 (D)6200名 (E)3200名
8.将2个红球与1个白球随机地放入甲、乙、丙三个盒子中,则乙盒子中至少有1个红球的概率为
(A)19
(B)
827
(C)
49 (D)59
(E)
1727
9.如图1,四边形ABCD 是边长为1的正方形,弧AOB 、BOC 、COD 、DOA 均为半圆,则阴影部分的面积为 (A)
12 (B)2π (C)14π- (D)12π- (E)22
π- 10.3个3口之家在一起观看演出,他们购买了同一排的9张连座票,则每一家的人都在一起的不同坐法有
(A)()2
3!种 (B)()3
3!种 (C)()3
33!种 (D)()4
3!种
(E)9! 种
11. 设P 是圆222x y +=上的一点,该圆在点P 的切线平行于直线20x y ++=,则点P 的坐标为
A (-1,1) B(1,-1) C(012. 设,,a b c 是小于12的三个不同的质数(素数),且8a b b c c a -+-+-=,则
a b c ++=( ) A.10
B.12
C.14
D.15
E.19
13. 在年底的献爱心活动中,某单位共有100人参加捐款。经统计,捐款总额是19000元,个人捐款数额有100元、500元和2000元三种。该单位捐款500元的人数为 A.13
B.18
C.25
D.30
E.38
14. 某施工队承担了开凿一条长为2400m 隧道的工程,在掘进了400m 后,由于改进了施工工艺,每天比原计划多掘进2m ,最后提前50天完成了施工任务。原计划施工工期是 A.200天
B.240天
C.250天
D.300天
E.350天
15. 已知229x y +=,4xy =,则33x y
x y x y
+=+++
A.
12
B.15
C.16
D.
113
E.
114
二、条件充分性判断
(A )条件(1)充分,条件(2)不充分 (B )条件(2)充分,条件(1)不充分
(C )条件(1)和(2)单独不充分,但条件(1)和(2)联合起来充分 (D )条件(1)充分,条件(2)也充分
(E )条件(1)和(2)单独不充分,但条件(1)和(2)联合起来也不充分 16.,,a b c 成等差数列
(1),,a b c e e e 成等比数列实数 (2)ln ,ln ,ln a b c 成等差数列
17.在一次英语考试中,某班的及格率为80% (1)男生及格率为70%,女生及格率为90% (2)男生平均分与女生平均分相等
18.如图2,等腰梯形的上底与腰均为x ,下底为10x +,则13x = (1)该梯形的上底与下底之比为13:23 (2)该梯形面积为216
19.现有3名男生和2名女生参加面试,则该面试的排序方法有24种 (1)第一次面试的是女生
(2)第二次面试的是指定的某位男生
20.已知三角形ABC 的三条边长分别为,,a b c ,则三角形ABC 是等腰直角三角形 (1)()()2220a b c a b ---= (2)2c b =
21.直线30ax by ++=被圆()()2
2
214x y -+-=截得的线段长度为23 (1)0,1a b ==- (2)1,0a b =-=
22.已知实数,,,a b c d 满足22221,1a b c d +=+=,则1ac bd +< (1)直线1ax by +=与1cx dy +=仅有一个交点 (2),a c b d ≠≠
23.某年级共有8个班,在一次年级考试中,共有21名学生不及格,每班不及格人数最多有3名,则(一)班至少有1名学生不及格 (1)(二)班的不及格人数多于(三)班 (2)(四)班不及格的学生有2名
24.现有一批文字材料需要打印,两台新型打印机单独完成此任务分别需要4小时与5小时,两台旧打印机单独完成此任务分别需要9小时与11小时,则能在2.5小时内完成任务 (1)安排两台新型打印机同时打印
(2)安排一台新型打印机与两台旧打印机同时打印 25. 已知{}n a 为等差数列,则该数列的公差为零
(1)对任何正整数n ,都有12n a a a n +++≤L (2)21a a ≥
解:易知单独均不成立,只能考察联合情况。 由(2)知0d ≥,()
112
n n n S na d n -=+
≤,其左侧为2n 级别,右侧为n 级别,故若0d ≠,则当n →∞时,左侧大于右侧,故0d =。
1、解:设水速1v ,船速2v ,是顺水需时间
12S v v +,逆行需时间21
S
v v -,故来回需
22
2
212v S
v v -,代入得B 。 2、解:考察非负性,易知54
3,,35
a b c ==-
=,代入得A 3、解:集合问题,韦恩图辅助求解。
4、解:内接正方体的体对角线长度等于球的直径,故
5、解:2006
年试验发展经费为
3002501.2=,2006年GDP 为
10000
1.1
,故试验发展经验占GDP 的
250250 1.1
2.75%100001.110000
?==
6、解:样本空间310
C ,有利事件个数1115
4
3
54360C C C =??=,概率为1115433
101
6
C C C C = 7、解:
7年入校人数:
20003200
7182002
+?=,7年离校人数:20002400
366002
+?=,故在校11600。 8、解:(1)样本空间,3
球入3盒,无要求,3327=
(2)有利事件(反面):乙盒中无红球,即无球,或有球但是白球 (2.1)乙盒无球,则三球入甲丙两盒,328= (2.2)乙盒有白球,则两红球入两盒,224= 故有利事件共有27-8-4=15种,概率为
155279
=
9、解:半圆减三角形的4倍是花瓣的总面积。选E 。
10、解:小团体捆绑法,()4
3
3333
3333!P P P P =
11、解:见图,因为直线与圆相切,且斜率为-1,由对称性知P 坐标为
(),x x ,
知,1x =。
另解:由图可知,该点在第一象限,且横纵坐标相等,故E 。
12、解:考察
20以内的质数。设a b c <<,则
枚举质数2,3,5,7,11,故为3,5,7,和15。
13、解:设人数分别为,,x y z ,则
100500200019000520190x y z x y z ++=?++=,且100x y z ++=。于是得三
元一次不定方程组520190
100x y z x y z ++=??++=?
,两式相减得
90419901990419y z z z ??
+=?≤?≤=????
,故1,2,3,4z =,枚举可知2,13z y ==。
14、解:施工问题,注意效率。设原计划x 天,则每天完成
2400
x
米。故各阶段所需时间如下 : (1) 前400米,需
6
x (2) 之后的2000米,需
2000
2400
2x
+
(3) 等量关系
2000502400
62x
x x
+=-+,解得300x =
另解:设每天完成y 米,则24004002000
5082
x x x x -=+?=+,故所需时间为300天。
15、解:注意表示,
()()()332222
111
945
x y x y x y x y x y xy x y x xy y x y ++====++++--+-+++ 16、解:(1)
()
2
22b a c a c b a c e e e e e e b a c ++==?=?=+
(2)22ln ln ln b a c b ac =+?=
17、解:(1)人数未知,故无法确定平均及格率,不充分
(2)条件太少,比如平均分为0分,则没人及格。
18、解:(1)
13
131023
x x x =?=+ (2)作辅助线,见下图
易知5AB =
(
)
10216132
x x S x ++=
=?= 19、解:(1)分两步,第一步,任选
1名女生,2种;第二步,其余4人任意
排列,44P 。共48种,故不充分。
(2)第一步,指定某男生,只有1种;第二步,其余4人任意排列,44P 。共24种,充分。
20、解:(1)()
()2
220a b c
a b a b ---=?=或222c a b =+,说明它是等腰三角
形或直角三角形,而未必是等腰直角三角形,不充分。
(2
)c =,仅有两边关系,可因素两边夹角变化,而导致第三边变化,不充分。 (3)联合相当于
()(
)()()()()222
222220
2a b c a b a b b a b a b b a c ?---=??---=--?
=??
故()()2
00a b a b a b -+=?-=,故为等腰三角形,由(2)知直角。
21、解:因为两个条件导致直线为水平或竖直,比较简单,故直接代入验证,
B 。
22、解:柯西不等式()
()()2
22221ac bd a b c d +≤++=,等号成立的充分条件是
ad bc =。
(1) 说明两直线不平行,故破坏ad bc =,故充分
(2) 1a c b d ac bd =
===?+=-,找到反例,不充分。 另解:(1)特殊值,排队B
(2)此题为联合型,因为(1)很清楚地表达了ad bc ≠,无须与它人联合。故只能是独立型,答案只能是A 、B 、D ,故只能是A 。
23、解:(1-1)二班不及格人数最多为
3,三班不及格人数最多为2
(1-2)其余6个班不及格人数共16人,除一班外的五个班,最多不及格人数15人,故一班至少一人。所以(1)充分。
(2-1)四班2名不及格,故其余7班共有19名不及格 (2-2)除一班外的6个班,最多18名不及格 (2-3)故一班至少1人不及格,(2)充分。选D 。
24、解:工程类问题,注意效率
(1) 两台新型打印机,同时工作的效率为1194520+=,故可在
20
2.59
<小时内完成
(2)一新两旧最小工作效率为
11191151159199
59115911495
?+?+?
++==
??
,故可在
495
2.5
199
<小时内完成。
25、解:易知单独均不成立,只能考察联合情况。
由(2)知0
d≥,
()
1
1
2
n
n n
S na d n
-
=+≤,其左侧为2n级别,右侧为n级别,
故若0
d≠,则当n→∞时,左侧大于右侧,故0
d=。