椭圆的标准方程及其几何性质
重点列表：
重点详解：
重点1：椭圆的定义及其应用 【要点解读】
(1)椭圆定义的应用主要有两个方面：一是判定平面内动点与两定点的轨迹是否为椭圆；二是利用定义求焦点三角形的周长、面积、弦长、最值和离心率等.
(2)椭圆的定义式必须满足122a F F ＞.当到两定点的距离之和等于12F F 时，动点的轨迹是线段12F F ；当到两定点的距离之和小于12F F 时，动点的轨迹不存在． 【考向】椭圆的定义及其应用
【例题】(1)【2016·保定一模】与圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1外切，且与圆C 2：(x －3)2＋y 2＝81内切的动圆圆心P 的轨迹方程为________.
(2) 已知F 1、F 2是椭圆C ：22
22=1(a>b>0)x y a b
+的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且
12PF PF ⊥,.若12F PF ?的面积为9，则b ＝________.
(2) 由题意知2
2
2
2
121212122||4PF PF a PF PF PF PF F F c ⊥∴＋＝，，＋＝＝.
221212()24.PF PF PF PF c ∴＋－＝∴222122444.PF PF a c b ＝－＝
12222121211
2.29.
3.22
PF F PF PF b S PF PF b b b ∴∴?∴△＝＝＝＝＝＝
【名师点睛】
1.椭圆的定义揭示了椭圆的本质属性，正确理解、掌握定义是关键，应注意定义中的常数大于
12F F ，避免了动点轨迹是线段或不存在的情况.
2.椭圆上一点与两焦点构成的三角形，称为椭圆的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、122PF PF a ＋＝，得到a c ，的关系．若12F PF θ∠＝，注意对
12
F PF ?的处理方法通常是运用
?????定义式的平方余弦定理面积公式22
12222
1212
12
(2a)212
S θθ??
?=?=-????=???（|PF|+|PF|）(2c)|PF|+|PF||PF||PF|cos |PF||PF|sin .
重点2：求椭圆的标准方程
1.直接法：根据所给条件判断焦点位置，并确定a ，b 的值，按标准方程写出方程，其中难点是确定a ，b 的值．
2.待定系数法：除了直接根据定义外，常用待定系数法(先定性，后定型，再定参)．
当椭圆的焦点位置不明确而无法确定其标准方程时，可设方程为
22
=1x y m n
+ (0)0m n m n ≠＞，＞且，可以避免讨论和繁杂的计算，也可以设为221Ax By ＋＝ (A ＞0，B
＞0且A ≠B )，这种形式在解题中更简便． 【考向】求椭圆的标准方程
【例题】（1
）求经过点两点的椭圆标准方程.
（2）求与椭圆
22
y +=143
x
有相同离心率且经过点的椭圆标准方程．
故
22
y +=1155
x 为所求椭圆标准方程． （2）
法一：∵1
e=2
c a a ==，
设所求椭圆方程为2222+=1(m>n>0)x y m n ，则21
1-()4
n m =
，从而23(),4n n m m ==，
又
222243
=1,m =8,n =6m n
+∴， ∴方程为
22
y +=186
x . 若焦点在y 轴上，设方程为22
22+=1(m>n>0)y x m n
则
22
34
=1
m n +
，且n m = 解得2
22525
m =,n =34
.故所求方程为
22=1252534
y x +.
【名师点睛】
1.用待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤是： (1)作判断：根据条件判断焦点的位置．
(2)设方程：焦点不确定时，要注意分类讨论，或设方程为22
1mx ny ＋＝
(0)0m n m n ≠＞，＞且．
(3)找关系：根据已知条件，建立关于a b c m n 、、或、的方程组． (4)求解，得方程．
2．(1)方程2222y +=1x a b 与22
22y +=(>0)x a b
λλ有相同的离心率．
(2)与椭圆2222+=1(a>b>0)x y a b 共焦点的椭圆系方程为22
22
2+=1(a>b>0,0)x y b k a k b k
+>++，恰当运用椭圆系方程，可使运算简便．
重点3：椭圆的几何性质 【要点解读】
椭圆的离心率范围求法是考查的热点，常见的方法有利用几何特征建立不等式或建立目标函数求解．利用几何法建立不等关系式时注意根据题目中隐含的几何特性(如两边之和大于第三边)，同时注意定义应用．
2.在解关于离心率e 的二次方程时，要注意利用椭圆的离心率e ∈(0，1)进行根的取舍，否则将产生增根.
3.椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式.例如，－a ≤x ≤a ，－b ≤y ≤b ，0＜e ＜1等，在求椭圆相关量的范围时，要注意应用这些不等关系. 【考向】椭圆的几何性质
【例题】【广西南宁市2017届高三上学期第一次摸底考试】 已知椭圆()
22
2210x y a b a b
+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过1F 且与轴垂直的直线交椭圆于,A B 两点，直线2AF 与椭圆的另一个交点为C ，若222AF F C =，则椭圆的离心率为（ ）
A B C. D
【名师点睛】
1．椭圆的标准方程有两种形式，其结构简单，形式对称且系数的几何意义明确，在解题时要
防止遗漏，要深刻理解椭圆中的几何量2
,,,,a a b c e c
等之间的关系，并能熟练地应用．
2.求椭圆的离心率的方法：(1)直接求出a ，c 来求解e.通过已知条件列出方程组，解出a ，c 的值；(2)构造a ，c 的齐次式，解出e.由已知条件得出关于a ，c 的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e 的一元二次方程求解；(3)通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.
重点4：直线与椭圆的位置关系 【要点解读】
(1)解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题.涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单.
(2)设直线与椭圆的交点坐标为1122()()A x y B x y ，，，，
则(AB k =
为直线斜率). 提醒：利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式. 【考向】直线与椭圆的位置关系
【例题】【2016高考四川文科】已知椭圆E ：22
221(0)x y a b a b
+=>>的一个焦点与短轴的两个
端点是正三角形的三个顶点，点1)2
P 在椭圆E 上. (Ⅰ)求椭圆E 的方程；
(Ⅱ)设不过原点O 且斜率为1
2 的直线l 与椭圆E 交于不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为M ，
直线OM 与椭圆E 交于C ，D ，证明：MA MB MC MD ?=?．