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北师大版九年级数学上册第一单元测试卷

时间：100分钟满分：120分

一、选择题(每题3分，共30分)

1．如图，已知菱形ABCD的边长等于2，∠DAB＝60°，则对角线BD的长为( ) A．1 C．2 D．23

(第1题) (第3题) (第4题) (第6题)

2．已知正方形的面积为36，则其对角线的长为( )

A．6 B．6 2 C．9 D．92

3．如图，矩形ABCD的对角线AC＝8 cm，∠AOD＝120°，则AB的长为( ) cm B．2 cm C．2 3 cm D．4 cm

4．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别为6 cm，8 cm，则这个菱形的周长为( )

A．5 cm B．10 cm C．14 cm D．20 cm

5．下列命题中，真命题是( )

A．对角线相等的四边形是矩形

B．对角线互相垂直的四边形是菱形

C．对角线互相平分的四边形是平行四边形

D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形

6．如图，EF过矩形ABCD对角线的交点O，分别交AB，CD于点E，F，那么阴影部分的面积是矩形ABCD的面积的( )

7．如图，在△ABC中，AB＝AC，四边形ADEF为菱形，S△ABC＝83，则S菱形ADEF等于( )

A．4 B．4 6 C．4 3 D．28

(第7题) (第9题) (第10题)

8．在四边形ABCD中，点O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的条件是( )

A．AC＝BD，AB∥CD，AB＝CD B．AD∥BC，∠BAD＝∠BCD

C．AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BD D．AO＝CO，BO＝DO，AB＝BC

9．如图，四边形ABCD中，∠BAD＝∠C＝90°，AB＝AD，AE⊥BC于E，若线段AE＝6，则四边形ABCD的面积是( )

A．3 B．4 C．2 6 D．6

10．如图，把矩形O ABC放入平面直角坐标系中，点B的坐标为(10，8)，点D 是O C上一点，将△BCD沿边BD折叠，点C恰好落在O A上的点E处，则点D 的坐标是( )

A．(0，4) B．(0，5) C．(0，3) D．(0，2)

二、填空题(每题3分，共30分)

11．在Rt△ABC中，如果斜边上的中线CD＝4 cm，那么斜边AB＝________．12．已知菱形的两条对角线长分别为2 cm，3 cm，则它的面积是________．13．如图，一活动菱形衣架中，菱形的边长均为16 cm，若墙上钉子间的距离AB ＝BC＝16 cm，则∠1＝________．

(第13题) (第16题) (第17题)

14．已知矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，当添加条件__________时，矩形ABCD是正方形(只填一个即可)．

15．矩形的对角线相交所成的角中，有一个角是60°，这个角所对的边长为1 cm，则其对角线长为________，矩形的面积为________．

16．如图，菱形ABCD的顶点A在x轴上，点B的坐标为(8，2)，点D的坐标为(0，2)，则点C的坐标为________．

17．如图，在正方形ABCD的外侧作等边三角形ADE，则∠BED＝________．18．如图，四边形ABCD是菱形，AC＝24，BD＝10，DH⊥AB于点H，则线段BH 的长为________．

(第18题) (第19题) (第20题)

19．如图，已知正方形ABCD的边长为1，连接AC，BD，CE平分∠ACD交BD于点E，则DE＝________．

20．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，△AEF是等边三角形，连接AC交EF于点G.下列结论：①BE＝DF；②∠DAF＝15°；③AC垂直平分

EF；④BE＋DF＝EF；⑤S

△CEF ＝2S

△ABE

，其中正确结论的序号为__________．

三、解答题(21题8分，26题12分，其余每题10分，共60分)

21．如图，在矩形ABCD中，AC与BD交于点O，BE⊥AC，CF⊥BD，垂足分别为点E，F.求证：BE＝CF.

22.如图，已知菱形ABCD的对角线相交于点O，延长AB至点E，使BE＝AB，连

接CE.

(1)求证：BD＝EC；

(2)若∠E＝50°，求∠BA O的大小．

23．如图，点E是正方形ABCD内一点，△CDE是等边三角形，连接EB，EA，延长BE交边AD于点F.

(1)求证：△ADE≌△BCE；

(2)求∠AFB的度数．

24．如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE＝2，AE＝3BE，P是AC上一动点，连接P E，P B.

(1)在AC上找一点P，使△B P E的周长最小(作图说明)；

(2)求出△B P E周长的最小值．

25．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AH⊥BC于点H，点E是AH上一点，延长AH至点F，使FH＝EH，连接BE，CE，BF，CF.

(1)求证：四边形EBFC是菱形；

(2)如果∠BAC＝∠ECF，求证：AC⊥CF.

26．在正方形ABCD的边AB上任取一点E，作EF⊥AB交BD于点F，取FD的中点G，连接EG，CG，如图①，易证EG＝CG且EG⊥CG.

(1)将△BEF绕点B逆时针旋转90°，如图②，则线段EG和CG有怎样的数量关

系和位置关系请直接写出你的猜想．

(2)将△BEF绕点B逆时针旋转180°，如图③，则线段EG和CG又有怎样的数量

关系和位置关系请写出你的猜想，并加以证明．

答案

一、

7．C

二、 cm cm2°

14．AC⊥BD(答案不唯一)

15．2 cm； 3 cm216.(4，4) °

－1 20.①②③⑤

三、21.证明：∵四边形ABCD为矩形，

∴O A＝O C，O B＝O D，AC＝BD.

∴B O＝C O.

∵BE⊥AC于E，CF⊥BD于F，

∴∠BE O＝∠CF O＝90°.

又∵∠B O E＝∠C O F，

∴△B O E≌△C O F(AAS)．

∴BE＝CF.

22．(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，

∴AB∥CD，AB＝CD.

又∵E在AB的延长线上，且BE＝AB，

∴BE∥CD，BE＝CD.

∴四边形BECD是平行四边形．

∴BD＝EC.

(2)解：∵四边形BECD是平行四边形，

∴BD∥CE.

∴∠AB O＝∠E＝50°.

又∵四边形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD.

∴∠BA O＝90°－∠AB O＝40°.

23．(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴∠DAB＝∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝BC.

∵△CDE 是等边三角形，

∴∠CDE ＝∠DCE ＝60°，DE ＝CE .

∴∠ADE ＝∠BCE ＝30°.

在△ADE 和△BCE 中，

???AD ＝BC ，

∠ADE ＝∠BCE ，DE ＝CE ，

∴△ADE ≌△BCE (SAS )．

(2)解：∵△ADE ≌△BCE ，

∴AE ＝BE .

∴∠BAE ＝∠ABE .

又∵∠BAE ＋∠DAE ＝90°，

∠ABE ＋∠AFB ＝90°，

∴∠DAE ＝∠AFB .

∵∠ADE ＝30°，DE ＝DC ＝DA ，

∴∠DAE ＝75°.

∴∠AFB ＝75°.

24．解：(1)如图，连接DE ，交AC 于点P′，连接B P′，则此时P′B

＋P ′E 的值最小，即△B P E 的周长最小．

(第24题)

(2)∵四边形ABCD 是正方形，

∴B ，D 关于AC 对称．

∴P′B ＝P′D .

∴P′B ＋P′E ＝DE .

∵BE ＝2，AE ＝3BE ，

∴AE ＝6，AD ＝AB ＝8.

∴DE ＝62＋82＝10.

∴P B ＋P E 的最小值是10.

∴△B P E周长的最小值＝10＋BE＝10＋2＝12. 25．证明：(1)∵AB＝AC，AH⊥BC，

∴BH＝CH.

∵FH＝EH，

∴四边形EBFC是平行四边形.

又∵EF⊥BC，

∴四边形EBFC是菱形．

(2)如图所示．

(第25题)

∵四边形EBFC是菱形，

∴∠2＝∠3＝1

∠ECF.

∵AB＝AC，AH⊥BC，

∴∠4＝1

∠BAC.

又∵∠BAC＝∠ECF，

∴∠4＝∠3.

∵∠4＋∠1＋∠2＝90°，

∴∠3＋∠1＋∠2＝90°，

即AC⊥CF.

26．解：(1)EG＝CG，EG⊥CG.

(2)EG＝CG，EG⊥CG.证明如下：

延长FE交DC的延长线于点M，连接MG，如图所示．

(第26题)

易得∠AEM ＝90°，

∠EBC ＝90°，

∠BCM ＝90°，

∴四边形BEMC 是矩形．

∴BE ＝CM ，BC ＝EM ，∠EMC ＝90°. 易知∠ABD ＝45°，

∴∠EBF ＝45°.

又∵∠BEF ＝90°，

∴△BEF 为等腰直角三角形． ∴BE ＝EF ，∠F ＝45°.

∴EF ＝CM .

∵∠EMC ＝90°，FG ＝DG ，

∴MG ＝12

FD ＝FG . ∵BC ＝EM ，BC ＝CD ，

∴EM ＝CD .

∵EF ＝CM ，∴FM ＝DM .

又∵FG ＝DG ，

∴∠CMG ＝12

∠EMC ＝45°. ∴∠F ＝∠CMG .

在△GFE 和△GMC 中，

???FG ＝MG ，

∠F ＝∠GMC ，EF ＝CM ，

∴△GFE ≌△GMC (SAS )． ∴EG ＝CG ，∠FGE ＝∠MGC . ∵MF ＝MD ，FG ＝DG ，

∴MG ⊥FD .∴∠FGE ＋∠EGM ＝90°. ∴∠MGC ＋∠EGM ＝90°，

即∠EGC＝90°.∴EG⊥CG.

北师大版九年级数学上册知识点总结

北师大版初中数学知识点汇总九年级(上册) 班级姓名第一章证明(二) 1、三角形全等的性质及判定全等三角形的对应边相等，对应角也相等判定：SSS、SAS、ASA、AAS、 2、等腰三角形的判定、性质及推论性质：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（即“三线合一”） 3、等边三角形的性质及判定定理性质定理：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60度；等边三角形的三条边都满足“三线合一”的性质；等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴。判定定理：有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形。或者三个角都相等的三角形是等边三角形。含30度的直角三角形的边的性质定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30度，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 4、直角三角形（1）勾股定理及其逆定理定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。（2）命题包括已知和结论两部分；逆命题是将倒是的已知和结论交换；正确的逆命题就是逆定理。（3）直角三角形全等的判定定理定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL） 5、线段的垂直平分线（1）线段垂直平分线的性质及判定性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。（2）三角形三边的垂直平分线的性质三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。（3）如何用尺规作图法作线段的垂直平分线分别以线段的两个端点A、B为圆心，以大于AB的一半长为半径作弧，两弧交于点M、N；作直线MN，则直线MN就是线段AB的垂直平分线。 6、角平分线（1）角平分线的性质及判定定理性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；判定：在一个角的内部，且到角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。

北师大版数学九年级上册知识点归纳

北师大版《数学》（九年级上册）知识点归纳第一章证明（二）一、公理（1）三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS ”）。（2）两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS ”）。（3）两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA ”）。（4）全等三角形的对应边相等、对应角相等。推论：两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角角边”或“AAS ”）。二、等腰三角形 1、等腰三角形的性质（1）等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）（2）等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（三线合一）。等腰三角形的其他性质： ①等腰直角三角形的两个底角相等且等于45° ②等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）。 ③等腰三角形的三边关系：设腰长为a ，底边长为b ，则2 b