函数图象及其应用教学设计
函数图象及其应用教学设计
六安市徐集中学朱家杰
一．教学内容分析：
本堂课安排在人教版必修1第二章结束之后，第三章教学之前，对所学常见函数模型及其图像进行归纳总结，使学生对函数图像有个系统的认识，在此基础上，一方面加强学生的看图识图能力，探究函数模型的广泛应用，另一方面，着重探讨函数图像与方程的联系，渗透函数与方程的思想及数形结合思想，为第三章作了很好的铺垫，承上启下，衔接自然，水到渠成。
学生对函数与方程的关系有一个逐步认识的过程，应遵循由浅入深、循序渐进的原则．从学生认为较简单的问题入手，由具体到一般，建立方程的根与函数图像的联系。另外，函数与方程相比较,一个“动”，一个“静”；一个“整体”，一个“局部”，用函数的观点研究方程，本质上就是将局部的问题放在整体中研究，将静态的结果放在动态的过程中研究，这为今后进一步学习函数与不等式等其它知识的联系奠定了坚实的基础。
二．学生学习情况分析：
学生在学完了第一章《集合与函数概念》、第二章《基本初等函数》后，对函数的性质和基本初等函数及其图像有了一定的了解和把握，但学生素质参差不齐，又存在能力差异，导致不同学生对知识的领悟与掌握能力的差距很大。因此进行本堂课的教学，应首先有意识地让学生归纳总结旧知识，提高综合能力，对新知识的传授，即如何利用函数图像解决方程的根的问题，则应给足学生思考的空间和时间，充分化解学生的认知冲突，化难为易，化繁为简，突破难点。
高中数学与初中数学相比，数学语言在抽象程度上突变，思维方法向理性层次跃迁，知识内容的整体数量剧增，以上这三点在函数这一章中得到了充分的体现，本章的特点是具有高度的抽象性、逻辑性和广泛的适用性，对能力要求较高。因此，在教学中应多考虑初高中的衔接，更好地帮助学生借由形象的手段理解抽象的概念，在函数这一章，函数的图像就显得尤其重要而且直观。
三．设计思想：
1．尽管我们的教材为学生提供了精心选择的课程资源，但教材仅是教师在教学设计时所思考的依据，在具体实施中，我们需要根据自己学生数学学习的特点，联系学生的学习实际，对教材内容进行灵活处理，比如调整教学进度、整合教学内容等，本节课是必修1第二章与第三章的过渡课，既巩固了第二章所学知识，又为第三章学习埋下伏笔，对教材做了一次成功的加工整合，正所谓磨刀不误砍材功。
2．树立以学生为主体的意识，实现有效教学。现代教学论认为，学生的数学学习过程是一个学生已有的知识和经验为基础的主动建构的过程，只有学生主动参与到学习活动中，才是有效的教学。在本节课的设计中，首先设计一些能够启发学生思维的活动，学生通过观察、试验、思考、表述，体现学生的自主性和活动性；其次，设计一些问题情境，而解决问题所需要的信息均来自学生的真实水平，要么定位在学生已有的知识基础，要么定位在一些学生很容易掌握的知识上，保证课堂上大部分学生都能够轻松地解决问题。随着学生的知识和信息不断丰富，可以向学生介绍更多类型的问题情境或更难的应用问题情境，渗透数学思想，使学生学会问题解决的一般规律。
3．凡事预则立，不预则废。预设是数学课堂教学的基本要求，但课堂教学
不能过分拘泥于预设的固定不变的程序，应当开放地纳入弹性灵活的成分以及始料不及的体验。一堂好数学课应该是一节不完全预设的课，在课堂中有教师和学生真实的情感、智慧的交流，这个过程既有资源的生成，又有过程状态的生成，内容丰富，多方互动，给人以启发。
四．教学目标：
1．通过复习所学函数模型及其图像特征，使学生对函数有一个较直观的把握和较形象的理解，缓解因函数语言的抽象性引起的学生的心理不适应及不自觉的排斥情绪。
2．通过练习的设置，从解决简单实际问题的过程中，让学生体会函数模型的广泛适用性，贯穿理论联系实际、学以致用的观点，充分体现数学的应用价值，加强学生的看图识图能力，激发学习兴趣，引导学生自觉自主参与课堂教学活动。
3．通过对所给问题（例题1、2）的自主探究和合作交流，使学生理解动与静，整体与局部的辨证统一关系，发展学生对变量数学的认识，体会函数知识的核心作用。
4．结合具体的问题，并从特殊推广到一般，使学生领会函数与方程之间的内在联系，体验函数与方程思想、数形结合思想及等价转化思想的意义和价值。五．教学重点和难点：
教学重点：常见函数模型的图像特征和实际应用。通过课堂师生互动交流，共同完成对相关知识的系统归纳，借助多媒体课件演示，增加学生的直观体验，深化认识，突破重点。
教学难点：利用函数图像研究方程问题的思想和方法。在教学过程中，通过学生自主探究学习，在实际问题的解决中学习将抽象的数学语言与直观的图像结
合起来，充分利用这种结合，寻找解题思路，使问题化难为易、化繁为简，实现难点突破。
六．教学过程设计：
试回忆所学并完成表格：
练习1．如图1-1当1>a 时，在同一坐标系中，函数x a y -=与x y a log =的图像是（ D ）
提问2：若将“1>a ”改为“0>a 且1
≠a ”，又该如何选择？
练习2．某地区电信资费调整后，市话费标准为：通话时间不超过3分钟收费0.2元，超过3分钟后，每增加1分钟多收费0.1元（不足1分钟按1分钟收费）。
通话收费S（元）与通话时间
t（分）的函数图像可表示为（
B
）
提问3：你能否写出通话收费S（元）关于通话时间t（分）)6
0(≤
(A)(B)(C)(D) 图1-2 达式？这样的函数称为什么函数？ 例1．若定义运算???<≥=?)() (b a a b a b b a ，则函数x x x f -?=33)(的值域为（ A ） ),.(),0.(),1)[(]1,0)((+∞-∞+∞+∞D C B A 例2．当∈k 时，方程k x x =--322有两解？有三解？有四解呢？无解呢？ 课堂小结： 本节课复习了常见函数模型及其图像特征，体会到利用函数图像解决函数性质的形象和直观，学习函数和方程的相互等价转化，体会函数方程思想与数形结合思想的意义和价值。 正如华罗庚所说：数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休。 课后作业： 1．总结本节课的学习心得体会。 波利亚（G ·Polya ）先生曾指出“一个重大的发现可以解决一道重大的题目， 但是在解答任何一道题目的过程中都会有点滴的发现”。可见，习题在数学学习中具有非常重要的作用。 学莫贵于自得，请你写下本节课的学习心得体会。 2．课后习题： 1．某工厂八年来产品总产量C （即前t 年年产量之和）与时间t （年）的函数如图1-3，下列四中说法： （1）前三年中，产量增长的速度越来越快； （2）前三年中，产量增长的速度越来越慢； （3）第三年后，这种产品停止生产； （4）第三年后，年产量保持不变； 1-3 其中，说法正确的是（ A ） （A ）（2）与（3） （B ）（2）与（4） （C ）（1）与（3） （D ）（1）与（4） 2．若关于x 的方程0862=-+-k x x 有且只有两个不同的实根，则（ ） 01)(10)(1)(0)(=><≤>=k k D k C k B k A 或 3．如图1-4，函数的图像由两条射线及抛物线的一部分组成，求函数)(x f 的解析式。 变式：讨论方程a x f =)(的根的个数。 附：板书设计 1.常见函数模型 2．分段函数 练习2：…… 例1．…… 例2．…… 感谢您的阅读，祝您生活愉快。 函数()0,0)sin(>>+=ω?ωA x A y 的图象教学设计 教学目标 1．知识与技能 （1）结合物理中的简谐振动，了解()0,0)sin(>>+=ω?ωA x A y 的实际意义； （2）用“五点法”作出()0,0)sin(>>+=ω?ωA x A y 的图象, 并借助图形计算器 动态演示三角函数图象，研究参数?ω，，A 对函数图象变化的影响，让学 生进一步了解三角函数图象各种变换的实质和内在规律． （3）考察参数A 、?、ω对()0,0)sin(>>+=ω?ωA x A y 图象影响的过程中认识 到函数x y sin =与()0,0)sin(>>+=ω?ωA x A y 的联系. 2．过程与方法 （1）经历x y sin =到()0,0)sin(>>+=ω?ωA x A y 图象变换探究的过程，培养学生 的数学发现能力和概括总结能力. （2）让学生经历三角函数图象各种变换的探求和运用，体验各种变换的内在联系， 提高学生的推理能力、分析问题和解决问题的能力． （3）在研究各种变换的过程中，让学生体验由简单到复杂、由特殊到一般的化归 思想，渗透数形结合的思想． 3．情感、态度、价值观 （1）通过三角函数图象各种变换的探求，培养学生的探索能力、钻研精神和科学 态度． （2）通过合作学习，探求三角函数图象各种变换，培养学生团结协作的精神. 教学重点与难点 教学重点：函数()0,0)sin(>>+=ω?ωA x A y 的图象以及参数?ω,,A 对图象变换的影响.函数x y sin =的图象与函数()0,0)sin(>>+=ω?ωA x A y 的图象之间的变换关系. 教学难点：函数()0,0)sin(>>+=ω?ωA x A y 的图象与函数x y sin =的图象与之间的变 §1.4.1正弦、余弦函数图象的教学设计 【教材分析】 《正弦函数,余弦函数的图象》是高中新教材人教A 版必修四的内容，作为函数，它是已学过的一次函数、二次函数、指数函数与对数函数的后继内容，是在已有三角函数线知识的基础上，来研究正余弦函数的图象与性质的，它是学习三角函数图象与性质的入门课，是今后研究余弦函数、正切函数的图象与性质、正弦型函数 的图象的知识基础和方法准备。因此，本节的学习在全章中乃至整个函数的学习中具有极其重要的地位与作用。 本节共分两个课时，本课为第一课时，主要是利用正弦线画出 的图象，考察图象的特点，用“五点作图法”画简图，并掌握与正弦函数有关的简单的图象平移变换和对称变换；再利用图象研究正余弦函数的部分性质（定义域、值域等） 【学情分析】 本课的学习对象为高二下学期的学生，他们经过近一年半的高中学习，已具有一定的学习基础和分析问题、解决问题的能力，思维活跃、想象力丰富、乐于尝试、勇于探索，学习欲望强的学习特点。 【教学目标】 1、知识与技能 （1）会用单位圆中的三角函数线作出]2,0[,sin π∈=x x y 的图象，明确图象的形状； （2）根据关系)2 sin(cos π + =x x ，作出R x x y ∈=,cos 的图象； （3）用“五点法”作出正弦函数、余弦函数的简图。 2、过程与方法 进一步培养合作探究、分析概括，以及抽象思维能力。 3、情感态度价值观 通过作正弦函数和余弦函数图象，培养认真负责，一丝不苟的学习精神。 【教学重点难点】 教学重点：“五点法”画]2,0[,sin π∈=x x y ，x y cos =，[]π2,0∈x 图像 教学难点：运用几何法画正弦函数图象。 【教学过程】 一．情景引入 实验：简谐振动，得到直观的图象，让学生注意观察它的图形特点，并说明，在物理学中称其为“正弦曲线”或“余弦曲线”． 问题：如何得到正弦函数的精确图象? 《函数图象的画法》教案 教学目标： 1.学会用列表、描点、连线画函数图象； 2.学会观察、分析函数图象信息； 3.提高识图能力、分析函数图象信息能力； 4.体会数形结合思想，并利用它解决问题，提高解决问题能力. 教学重难点： 教学重点：函数图象的画法；观察分析图像信息. 教学难点：分析概括图象中的信息. 教学过程： （一）情景导入： 1.在电影院里，你是怎样找到自己座位的？ 2.从中你能找到一种表示平面上点的位置的方法吗？ 平面直角坐标系 1.在平面内，画出原点重合的两条互相垂直的数轴（下图），就组成了一个平面直角坐标系.其中，水平方向的数轴叫做x轴，竖直方向的数轴叫做y轴，原点叫做坐标原点. x轴和y轴把平面直角坐标系所在的平面分为四个区域，分别称为第一象限、第二象限、第三象限和第四象限.x轴和y轴不属于任何象限.一般情况下，x轴和y轴取相同的单位长度. 设P是平面直角坐标系中的一点，作PA⊥x轴与A，PB⊥y轴于B，点A和点B在x 轴对于平面直角坐标系内的任何一点，依照这样的方法，.（下图）+4和-3轴上分别对应于y和 一定存在一对实数和它对应. 我们把平面直角坐标系中的任意一个点P在x轴上的对应点所表示的实数m叫做点P的横坐标，在y轴上的对应点所表示的实数n叫做点P的纵坐标，把m和n合在一起叫做点P的坐标，记 作P（m，n） 2.例题解析： 例1：（1）在平面直角坐标系中，作出下列各点： A（-1，-1），B（-1,1），C（1,1），D（1,1）. ，，，D所得的图形是那种特殊的四边形？C顺次连接点A B（2）在平面直角坐标系中，已知点M的坐标是（-5,3），点P和点M关于x轴成轴对称，点N和点M关于y轴成轴对称.分别作出点N和点P，并求出点N，P的坐标. 例2：分别求出下列各点到x轴、y轴的距离： （1）点（-5,3）到x轴的距离为|3|=3，到y轴的距离为|-5|=5. （2）点（-3,4）到x轴的距离为|-4|=4，到y轴的距离为|-3|=3. 3.实践 （1）在平面直角坐标系的各个象限内确定一些点，并作出这些点关于x轴对称的点，再作出这些点关于y轴对称的点. （2）如下图，利用计算机或图形计算器，拖动平面直角坐标系中的动点，观察动点关并回答：. 于坐标轴对称点的坐标的变化． A.关于x轴对称的两个点的坐标有什么关系？ B.关于y轴对称的两个点的坐标有什么关系？ 师：不难发现，关于x轴对称的两个点的横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的两个点的纵坐标相同，横坐标互为相反数. 函数图象的画法 把一个函数的一个自变量的值，和它对应的因变量的值分别作为一个点的横坐标和纵坐标，就能 函数图像与变换 教学目标：掌握常见函数图像及其性质（高考要求B ），熟悉常见的函数图像（平移、对称、翻折）变换（高考要求B ）. 教学重难点：掌握常见函数图像及其性质，会用“平移、对称、翻折”等手段进行函数图像变换。 教学过程： 一.知识要点： 1.常见函数图像及其性质： （1）平移变换： ①y =f (x ) →y ＝f (x ±a )(a >0)图象 横向 平移a 个单位，（左+右—）. ②y =f (x ) →y ＝f (x )±b (b >0)图象 纵向 平移b 个单位，(上+下—) ③若将函数)(x f y =的图象右移a 、上移b 个单位，得到函数b a x f y +-=)(的图象； ④若将曲线0),(=y x f 的图象右移a 、上移b 个单位，得到曲线0),(=--b y a x f 的图象. （2）对称变换： ①y =f (x ) →y =f (－x )图象关于 y 轴 对称; 若f (－x )=f (x ),则函数自身的图象关于y 轴对称. ②y =f (x ) →y =－f (x )图象关于x 轴 对称. ③y =f (x ) →y =－f (－x )图象关于原点 对称; 若f (－x )=－f (x ),则函数自身的图象关于原点对称. ④y =f (x ) →y =f －1(x )图象关于直线y =x 对称. ⑤y =f (x ) →y =－f －1(－x )图象关于直线y =－x 对称. ⑥y =f (x ) →y =f (2a －x )图象关于直线x =a 对称； ⑦y =f (x ) →y =2b －f (x )图象关于直线y =b 对称. ⑧y =f (x ) →y =2b －f (2a －x )图象关于点(a ,b ) 对称. 若f (x )=f (2a －x )(或f (a ＋x )=f (a －x ))则函数自身的图象关于直线x =a 对称. 若函数()y f x =的图象关于直线2 a b x +=对称()()f a mx f b mx ?+=- ()()f a b mx f mx ?+-= （3）翻折变换主要有 ①y =f (x ) →y ＝f (|x |)的图象在y 轴右侧(x >0)的部分与y ＝f (x )的图象相同，在y 轴左侧部分与其右侧部分关于y 轴对称. ②y =f (x ) →y ＝|f (x )|的图象在x 轴上方部分与y =f (x )的图象相同，其他部分图象为y ＝f (x )图象下方部分关于x 轴的对称图形. 二.基础练习： 1.若把函数f (x )的图象作平移变换，使图象上的点P (1，0)变换成点Q (2，－1)， 则函数y ＝f (x )的图象经此变换后所得图象的函数解析式为 ( A ) A.y ＝f (x －1)－1 B.y ＝f (x ＋1)－1 C.y ＝f (x －1)＋1 D.y ＝f (x ＋1)＋1 2.已知函数y =f (x )的图象如图2—3，则下列函数所对应的图象中，不正确的是( B ) A.y =|f (x )| B.y =f (|x |) C.y =f (－x ) D.y =－f (x ) 解： y =f (|x |)是偶函数，图象关于y 轴对称. 图2—3 高中数学常见函数图像1. 2.对数函数： 3.幂函数： 定义形如αx y=（x∈R）的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数. 图像 性质过定点：所有的幂函数在(0,) +∞都有定义，并且图象都通过点(1,1)．单调性：如果0 α>，则幂函数的图象过原点，并且在[0,) +∞上为增函数．如果0 α<，则幂函数的图象在(0,) +∞上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x轴与y轴． 函数 sin y x = cos y x = tan y x = 图象 定义域 R R ,2x x k k ππ??≠+∈Z ???? 值域 []1,1- []1,1- R 最值 当 22 x k π π=+ () k ∈Z 时， max 1y =； 当22 x k π π=- ()k ∈Z 时，min 1y =-． 当()2x k k π =∈Z 时， max 1y =； 当2x k π π=+ ()k ∈Z 时，min 1y =-． 既无最大值也无最小值 周期性 2π 2π π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单调性 在 2,222k k ππππ? ?-+???? ()k ∈Z 上是增函数；在 32,222k k π πππ??++???? ()k ∈Z 上是减函数． 在[]() 2,2k k k πππ-∈Z 上 是 增 函 数 ； 在 []2,2k k πππ+ ()k ∈Z 上是减函数． 在,2 2k k π ππ π? ? - + ?? ? ()k ∈Z 上是增函数． 对称性 对称中心 ()(),0k k π∈Z 对称轴 ()2 x k k π π=+ ∈Z 对称中心 (),02k k ππ??+∈Z ?? ? 对称轴()x k k π =∈Z 对称中心(),02k k π?? ∈Z ??? 无对称轴 一次函数 二次函数 反比例函数 1、反比例函数图象：反比例函数的图像属于以原点为对称中心的中心对称的双曲线 反比例函数图像中每一象限的每一支曲线会无限接近X轴Y轴但不会与坐标轴相交（K≠0）。 2、性质： 1.当k>0时，图象分别位于第一、三象限，同一个象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，图象分别位于二、四象限，同一个象限内,y随x的增大而增大。 2.k>0时，函数在x<0上同为减函数、在x>0上同为减函数；k<0时，函数在x<0上为增函数、在x>0上同为增函数。 定义域为x≠0；值域为y≠0。 3.因为在y=k/x(k≠0)中，x不能为0，y也不能为0，所以反比例函数的图象不可能与x轴相交，也不可能与y轴相交。 4. 在一个反比例函数图象上任取两点P，Q，过点P，Q分别作x轴，y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S1，S2则S1＝S2=|K| 5. 反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴 y=x y=-x（即第一三，二四象限角平分线），对称中心是坐标原点。 指数函数y=a x (a＞0，a≠1) 注意：⒈指数函数对外形要求严格，前系数要为1，否则不能为指数函数。 ⒉指数函数的定义仅是形式定义。 指数函数的图像与性质 规律：1. 当两个指数函数中的a互为倒数时，两个函数关于y轴对称，但这两个函数都不具有奇偶性。 2.当a＞1时，底数越大，图像上升的越快，在y轴的右侧，图像越靠近y轴； 当0＜a＜1时，底数越小，图像下降的越快，在y轴的左侧，图像越靠近y轴。 在y轴右边“底大图高”；在y轴左边“底大图低”。 3.四字口诀：“大增小减”。即：当a＞1时，图像在R上是增函数； 当0＜a＜1时，图像在R上是减函数。 4. 指数函数既不是奇函数也不是偶函数 比较幂式大小的方法： 1.当底数相同时，则利用指数函数的单调性进行比较； 2.当底数中含有字母时要注意分类讨论； 3.当底数不同，指数也不同时，则需要引入中间量进行比较； 4.对多个数进行比较，可用0或1作为中间量进行比较 底数的平移： 在指数上加上一个数，图像会向左平移；减去一个数，图像会向右平移。 在f(X)后加上一个数，图像会向上平移；减去一个数，图像会向下平移。 函数图象的几何变换教案 【教学目标】1．让学生熟练掌握各种图象变换，能迅速作出给定的函数图象； 2．让学生了解用数形结合法解决方程、不等式、含参问题的讨论； 3．培养学生主动运用数形结合方法解题的意识． 【教学重点】函数图象的几何变换 【教学难点】1．各种图象变换之间的区别及灵活应用； 2．运用数形结合方法解题． 【例题设置】例1（平移易错点剖析），例2、4（函数作图），例3（找中心），例5（图 象法解不等式） 【教学过程】 第一课时 一、复习九种基本函数及圆锥曲线的图象． ⑴ 正比例函数 kx y =，)0,(≠∈k R k ⑵ 反比例函数 k y = ， )0,(≠∈k R k ☆ 其图象是以原点为中心，以直线y x =和y x =-为对称轴的双曲线． ⑶ 一次函数 b kx y +=，)0,(≠∈k R k ⑷ 一元二次函数 )0(2 ≠++=a c bx ax y ⑸ 指数函数 ,0x y a a =>且1≠a （特征线：1=x ） ⑹ 对数函数 0, log >=a x y a 且1≠a （特征线：1=y ） ⑺ 正弦函数 R x x y ∈=,sin ，周期π2=T ⑻ 余弦函数 x y cos =，R x ∈，周期π2=T ⑼ 正切函数 ),2 (,tan Z k k x x y ∈+ ≠=π π 周期π=T ☆一个小结论：在区间)2 , 0(π 上恒有x x x sin tan >>（证明文科留至《三角函数》一节函数的图象教学设计教案设计
1.4.1正弦函数-余弦函数图象的教学设计
函数图象的画法教案
第10讲函数图像及其变换(教案)
高中数学常见函数图像
高中各种函数图像画法与函数性质
函数图象的几何变换教案