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【最新整理】2019高中数学人教A版选修4-5创新应用教学案：第三讲章末小结与测评

(2)利用柯西不等式证明的关键是构造两个适当的数组．

(3)可以利用向量中的|α||β|≥|α·β|的几何意义来帮助理解柯西不等式的几何意义．

若n 是不小于2的正整数，求证：

＜1－＋－＋…＋－＜. [证明] 1－＋－＋…＋－12n

＝－2＝＋＋…＋，

所以求证式等价于＜＋＋…＋＜.

由柯西不等式，有

? ????1n ＋1＋1n ＋2＋...＋12n [(n ＋1)＋(n ＋2)＋...＋2n]≥n2，于是＋＋ (12)

≥＝＝≥＝，

又由柯西不等式，有＋＋…＋＜（12＋12＋…＋12）??????1（n ＋1）2＋1（n ＋2）2＋…＋1（2n ）2＜＝.

设a ，b ，c ，d 为不全相等的正数．

求证：＋＋＋>.

[证明] 记s ＝a ＋b ＋c ＋d ，则原不等式等价于

s －d ＋＋＋>.

构造两组数

s －d ，，，；，，，，由柯西不等式得

[()2＋()2＋()2＋()2]·[＋＋＋]≥(1＋1＋1＋1)2. 即[4s －(a ＋b ＋c ＋d)]·(＋＋＋)≥16，

于是＋＋＋≥，

等号成立?s －d ＝s －a ＝s －b ＝s －c ?a ＝b ＝c ＝d.

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