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高考数学压轴专题(易错题)备战高考《数列》基础测试题含答案

【最新】《数列》专题解析

一、选择题

1．《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，前九个节气日影长之和为85.5尺，则小满日影长为（） A ．1.5尺 B ．2.5尺

C ．3.5尺

D ．4.5尺

【答案】C 【解析】【分析】

结合题意将其转化为数列问题,并利用等差数列通项公式和前n 项和公式列方程组,求出首项和公差,由此能求出结果. 【详解】

解:从冬至日起,依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列{}n a ,冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺,前九个节气日影长之和为85.5尺,

∴()()111913631.598

985.52a a d a d S a d ?++++=?

??=+=??

, 解得113.5a =,1d =-,

∴小满日影长为1113.510(1) 3.5a =+?-=（尺）. 故选C . 【点睛】

本题考查等差数列的前n 项和公式,以及等差数列通项公式的运算等基础知识,掌握各公式并能熟练运用公式求解,考查运算求解能力,考查化归与转化思想,属于基础题.

2．将正整数20分解成两个正整数的乘积有120?，210?，45?三种，其中45?是这三种分解中两数差的绝对值最小的，我们称45?为20的最佳分解.当p q ?（p q ≤且

*,p q ∈N ）是正整数n 的最佳分解时我们定义函数()f n q p =-，则数列

(){}5n

f ()*

n N ∈的前2020项的和为（）

A ．1010

B ．101051

C ．1010512

D ．101051-

【答案】D 【解析】【分析】

首先利用信息的应用求出关系式的结果，进一步利用求和公式的应用求出结果．【详解】

解：依题意，当n 为偶数时，22(5)550n n

n f =-=；当n 为奇数时，1112

(5)5

n n n n f +--=-=?，

所以01100920204(555)S =++?+，

101051451

-=-g ，

101051=-．

故选：D 【点睛】

本题考查的知识要点：信息题的应用，数列的求和的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．

3．等差数列{}n a 中，1510a a +=，47a =，则数列{}n a 前6项和6S 为（）

A ．18

B ．24

C ．36

D ．72

【答案】C 【解析】【分析】

由等差数列的性质可得35a =，根据等差数列的前n 项和公式163466622

a a a a

S ++=?=?可得结果. 【详解】

∵等差数列{}n a 中，1510a a +=，∴3210a =，即35a =，

∴1634657

66636222

a a a a S +++=?=?=?=，故选C. 【点睛】

本题主要考查了等差数列的性质以及等差数列的前n 项和公式的应用，属于基础题.

4．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若34322128,6a a S ?==，则数列{}

(1)n

n a -的前40

项和为（） A ．0 B ．20 C ．40 D ．80

【答案】B 【解析】【分析】

先由题意求出34a +a =7，然后利用等差数列的前n 项和公式表示出134a a +=，前后两式

作差，求出公差，进而代入求出首项，最后即得n a n =，代入题目中{}

(1)n

n a -，两两组

合可求新数列前40项的和.

【详解】依题意，()133362

a a S +=

= ，

∴134a a +=，①

∵3422128a a ?=，即342128a a +=， ∴34a +a =7，② ②－①得33d =， ∴1d =， ∴11,n a a n ==， ∴(1)(1)n n n a n -=-，

∴{}

(1)n

n a -的前40项和40(12)(34)(3940)20S -++-++???+-+==，

故选：B . 【点睛】

本题考查了指数运算：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；主要考查等差数列的前n 和公式，等差中项的性质等等，以及常见的摆动数列的有限项求和，可以采用的方法为：分组求和法，两两合并的方法等等，对学生的运算能力稍有要求，为中等难度题

5．元代数学家朱世杰在《算学启蒙》中提及如下问题：今有银一秤一斤十两（1秤15=斤，1斤16=两），令甲、乙、丙从上作折半差分之，问：各得几何？其意思是：现有银一秤一斤十两，现将银分给甲、乙、丙三人，他们三人每一个人所得是前一个人所得的一半．若银的数量不变，按此法将银依次分给7个人，则得银最少的一个人得银（） A ．9两 B ．

266

127

两 C ．

266

两 D ．

250

127

两【答案】B 【解析】【分析】

先计算出银的质量为266两，设分银最少的为a 两，由题意可知7人的分银量构成首项为

a ，公比为2的等比数列，利用等比数列的求和公式可求得a 的值.

【详解】

共有银161610266?+=两，

设分银最少的为a 两，则7人的分银量构成首项为a ，公比为2的等比数列，故有

()

71226612a -=-，所以266

127

a =

，故选：B ．【点睛】

本题以元代数学家朱世杰在《算学启蒙》中提出的问题为背景，贴近生活，考查了等比数列的求和问题，本题注重考查考生的阅读理解能力、提取信息能力、数学建模能力以及通过计算解决问题的能力，属中等题．

6．已知数列{}n a 的通项公式是2

21sin 2n n a n π+??

???

，则12312a a a a +++???+=（） A ．0 B ．55

C ．66

D ．78

【答案】D 【解析】【分析】

先分n 为奇数和偶数两种情况计算出21sin 2n π+??

???

的值，可进一步得到数列{}n a 的通项公式，然后代入12312a a a a +++???+转化计算，再根据等差数列求和公式计算出结果. 【详解】

解：由题意得，当n 为奇数时，

213sin sin sin sin 12222n n ππππππ+?????

?=+=+==- ? ? ??????

?，

当n 为偶数时，21sin sin sin 1222n n ππππ+???

?=+==

? ????

所以当n 为奇数时，2n a n =-；当n 为偶数时，2

n a n =，

所以12312a a a a +++???+

22222212341112=-+-+-???-+ 222222(21)(43)(1211)=-+-+???+-

(21)(21)(43)(43)(1211)(1211)=+-++-+???++- 12341112=++++???++ 121+122

（）

78= 故选：D 【点睛】

此题考查数列与三角函数的综合问题，以及数列求和，考查了正弦函数的性质应用，等差数列的求和公式，属于中档题.

7．设数列{}n a 是等差数列，1356a a a ++=，76a =.则这个数列的前7项和等于（） A ．12 B ．21

C ．24

D ．36

【答案】B 【解析】【分析】

根据等差数列的性质可得3a ，由等差数列求和公式可得结果. 【详解】

因为数列{}n a 是等差数列，1356a a a ++=，所以336a =，即32a =，又76a =，所以73

173

a a d -==-，1320a a d =-=，故1777()

212

a a S +=

= 故选：B 【点睛】

本题主要考查了等差数列的通项公式，性质，等差数列的和，属于中档题.

8．“中国剩余定理”又称“孙子定理”．1852年，英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲．1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”．“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1到2019这2019个数中，能被3除余2且被5整除余2的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{}n a ，则此数列所有项中，中间项的值为（） A ．992 B ．1022

C ．1007

D ．1037

【答案】C 【解析】【分析】

首先将题目转化为2n a -即是3的倍数，也是5的倍数，也即是15的倍数.再写出{}n a 的通项公式，算其中间项即可. 【详解】

将题目转化为2n a -即是3的倍数，也是5的倍数，也即是15的倍数. 即215(1)n a n -=-，1513n a n =-

当135n =，135151351320122019a =?-=<，当136n =，136151361320272019a =?-=>，故1,2,n =……，135数列共有135项．

因此数列中间项为第68项，681568131007a =?-=. 故答案为：C ．【点睛】

本题主要考查数列模型在实际问题中的应用，同时考查了学生的计算能力，属于中档题.

9．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若

123

111

2a a a ++=，22a =，则3S =（）

A ．10

B ．7

C ．8

D ．4

【答案】C 【解析】【分析】

根据等比数列的性质可将已知等式变为1233

224

a a a S a ++==，解方程求得结果. 【详解】

由题意得：131233

1231322111124

a a a a a S a a a a a a a +++++=+=== 38S ∴= 本题正确选项：C 【点睛】

本题考查等比数列性质的应用，关键是能够根据下角标的关系凑出关于3S 的方程，属于基础题.

10．已知椭圆22

1x y m n

+=满足条件：,,m n m n +成等差数列，则椭圆离心率为( )

．

C ．

【答案】B 【解析】【分析】

根据满足条件,,m n m n +成等差数列可得椭圆为2212x y

m m

+=,求出,a c ．再求椭圆的离心

率即可. 【详解】

()22n m m n n m =++?=, ∴椭圆为2

212x y m m +=,

22c m m m =-=,

得c =

又a =

c e a ∴=

B. 【点睛】

一般求离心率有以下几种情况：①直接求出,a c ，从而求出e ;②构造,a c 的齐次式，求出e ;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;④根据圆锥曲线的统一定义求解．

11．已知单调递增的等比数列{}n a 中，2616a a ?=，3510a a +=，则数列{}n a 的前n 项和n S =（）

A ．2

n -- B ．1

n -- C ．21n - D ．122n +-

【答案】B 【解析】【分析】

由等比数列的性质，可得到35,a a 是方程210160x x -+=的实数根，求得1,a q ，再结合等比数列的求和公式，即可求解. 【详解】

由题意，等比数列{}n a 中，2616a a ?=，3510a a +=，根据等比数列的性质，可得3516a a ?=，3510a a +=，

所以35,a a 是方程210160x x -+=的实数根，解得352,8a a ==或358,2a a ==，又因为等比数列{}n a 为单调递增数列，所以352,8a a ==，设等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为(1)q q >

可得214128

a q a q ?=?=?，解得11,22a q ==，

所以数列{}n a 的前n 项和

11(12)

122122

n n S --==-

-. 故选：B . 【点睛】

本题主要考查了等比数列的通项公式的基本量的运算，以及等比数列的前n 项和公式的应用，着重考查了推理与运算能力.

12．已知数列{}n a 的前n 项和为212

343

n S n n =++（*N n ∈），则下列结论正确的是( )

A ．数列{}n a 是等差数列

B ．数列{}n a 是递增数列

C ．1a ，5a ，9a 成等差数列

D ．63S S -，96S S -，129S S -成等差数列

【答案】D 【解析】【分析】

由2*

123()43

n S n n n N =++∈，2n …

时，1n n n a S S -=-．1n =时，11a S =．进而判断出正误．

【详解】

解：由2*

123()43

n S n n n N =++∈，

2n ∴…时，221121215

3[(1)(1)3]4343212

n n n a S S n n n n n -=-=++--+-+=+．

1n =时，114712

a S ==

，1n =时，15

212n a n =+，不成立．

∴数列{}n a 不是等差数列．

21a a <，因此数列{}n a 不是单调递增数列．

51915471543

22(5)(9)021*******

a a a --=??+--?+=-≠，因此1a ，5a ，9a 不成等差数

列．

631535

(456)32124S S -=?+++?=．

961553

(789)32124S S -=?+++?=．

1291571

(101112)32124

S S -=?+++?=．

5323571

0444

?--=， 63S S ∴-，96S S -，129S S -成等差数列．

故选：D ．【点睛】

本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

13．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若23109a a a ++=，则9S =（） A ．3 B ．9

C ．18

D ．27

【答案】D 【解析】

设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d . ∵23109a a a ++=

∴13129a d +=，即143a d += ∴53a = ∴1999()

272

a a S ?+== 故选D.

14．在等差数列{}n a 中，3a ，15a 是方程2650x x -+=的根，则17S 的值是（） A ．41 B ．51

C ．61

D ．68

【答案】B 【解析】【分析】

由韦达定理得3156a a +=，由等差数列的性质得117315a a a a +=+，再根据等差数列的前n 项和公式求17S . 【详解】

在等差数列{}n a 中，3a ，15a 是方程2650x x -+=的根，

3156a a ∴+=.

()()117315171717176

51222

a a a a S ++?∴=

===. 故选：B . 【点睛】

本题考查等差数列的性质和前n 项和公式，属于基础题.

15．执行如图所示的程序框图，若输出的S 为154，则输入的n 为（）

A ．18

B ．19

C ．20

D ．21

【答案】B 【解析】【分析】

找到输出的S 的规律为等差数列求和，即可算出i ，从而求出n . 【详解】

由框图可知，()101231154S i =+++++?+-= ，即()1231153i +++?+-=，所以

()11532

i i -=，解得18i =，

故最后一次对条件进行判断时18119i =+=，所以19n =. 故选：B

【点睛】

本题考查程序框图，要理解循环结构的程序框图的运行，考查学生的逻辑推理能力.属于简单题目.

16．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若816S =，61a =，则数列{}n a 的公差为（） A ．

B ．32

C ．

D ．23

【答案】D 【解析】【分析】

根据等差数列公式直接计算得到答案. 【详解】依题意，()()

183********

a a a a S ++=

==，故364a a +=，故33a =，故632

33a a d -=

=-，故选：D ．【点睛】本题考查了等差数列的计算，意在考查学生的计算能力.

17．在等差数列{}n a 中，其前n 项和是n S ，若90S >，100S <，则在912

129

,,,S S S a a a ?中最大的是（） A ．

S a B ．

S a C ．

S a D ．

S a 【答案】C 【解析】【分析】

由题意知5600a a ＞，＜．由此可知

5691212569

00...0,0,...0S S S S S

a a a a a ，，，>>><<，所以在912

129...S S S a a a ，，，中最大的是55

S a ．【详解】由于191109510569()10()

9050222

a a a a S a S a a ++=

===+＞，（）＜，所以可得5600a a ＞，＜．

这样56912

12569

00...0,0,...0S S S S S a a a a a ，，，>>><<，

而125125S S S a a a ??＜＜＜，＞＞＞>0，，

所以在912

129...S S S a a a ，，，中最大的是55

S a ．故选C ．【点睛】

本题考查等数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．属中档题.

18．正项等比数列{}n a 中的1a 、4039a 是函数()3

214633

f x x x x =

-+-

的极值点，则2020a =（）

A ．1-

B ．1

D ．2

【答案】B 【解析】【分析】

根据可导函数在极值点处的导数值为0，得出140396a a =，再由等比数列的性质可得. 【详解】

解：依题意1a 、4039a 是函数()3

214633

f x x x x =

-+-的极值点，也就是()2860f x x x '=-+=的两个根

∴140396a a =

又{}n a

是正项等比数列，所以2020a =

∴20201a ==.

故选：B 【点睛】

本题主要考查了等比数列下标和性质以应用，属于中档题.

19．等差数列{}n a 中，1599a a a ++=，它的前21项的平均值是15，现从中抽走1项，余下的20项的平均值仍然是15，则抽走的项是( ) A ．11a B ．12a

C ．13a

D ．14a

【答案】A 【解析】【分析】

由等差数列的性质可知5113,15a a ==，再根据前21项的均值和抽取一项后的均值可知抽取的一项的大小为15，故可确定抽走的是哪一项. 【详解】

因为1952a a a +=，所以539a =即53a =.

有

1521

S =得1115a =，设抽去一项后余下的项的和为S ，则2015300S =?=，故抽取的一项的大小为11，所以抽走的项为11a ，故选A. 【点睛】

一般地，如果{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，则有性质：（1）若,,,*,m n p q N m n p q ∈+=+，则m n p q a a a a +=+；（2）()

1,1,2,,2

k n k n n a a S k n +-+=

=L 且()2121n n S n a -=- ；

（3）2

n S An Bn =+且n S n ??????

为等差数列；

（4）232,,,n n n n n S S S S S --L 为等差数列.

20．已知数列11n a ??-????

是公比为1

3的等比数列，且10a >，若数列{}n a 是递增数列，则1

a 的取值范围为（） A ．(1,2) B ．(0,3)

C ．(0,2)

D ．(0,1)

【答案】D 【解析】【分析】

先根据已知条件求解出{}n a 的通项公式，然后根据{}n a 的单调性以及10a >得到1a 满足的不等关系，由此求解出1a 的取值范围. 【详解】

由已知得1

11113n n a a -????-=- ? ???

??，则

1111

3n n a a -=

????

-+ ?????

??.

因为10a >，数列{}n a 是单调递增数列，

所以10n n a a +>>，则1

11111111111133n n a a ->????????-+-+ ? ? ? ?????

????，化简得11

111

0113a a ??<-<- ???，所以101a <<. 故选：D. 【点睛】

本题考查数列通项公式求解以及根据数列单调性求解参数范围，难度一般.已知数列单调

性，可根据1,n n a a 之间的大小关系分析问题.

[数学]数学高考压轴题大全

1、（本小题满分14分）已知函数．（1）当时，如果函数仅有一个零点，求实数的取值范围；（2）当时，试比较与的大小；（3）求证：（）． 2、设函数，其中为常数．（Ⅰ）当时，判断函数在定义域上的单调性；（Ⅱ）若函数的有极值点，求的取值范围及的极值点；（Ⅲ）当且时，求证：． 3、在平面直角坐标系中，已知椭圆.如图所示，斜率为且不过原点的直线交椭圆于，两点，线段的中点为，射线交椭圆于点，交直线于点. （Ⅰ）求的最小值；（Ⅱ）若?，（i）求证：直线过定点；

（ii ）试问点，能否关于轴对称？若能，求出此时的外接圆方程；若不能，请说明理由. 二、计算题（每空？分，共？分） 4 、设函数的图象在点处的切线的斜率为，且函数为偶函数．若函数满足下列条件：①；② 对一切实数，不等式恒成立．（Ⅰ）求函数的表达式；（Ⅱ）求证：． 5 、已知函数：（1 ）讨论函数的单调性；（2）若函数的图像在点处的切线的倾斜角为，问：在什么范围取值时，函数在区间上总存在极值？ (3)求证：．

6、已知函数=，. (Ⅰ)求函数在区间上的值域；（Ⅱ）是否存在实数，对任意给定的，在区间上都存在两个不同的，使得成立.若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）给出如下定义：对于函数图象上任意不同的两点，如果对于函数图象上的点（其中总能使得成立，则称函数具备性质“”，试判断函数是不是具备性质“”，并说明理由. 7、已知函数（Ⅰ）若函数是定义域上的单调函数，求实数的最小值；（Ⅱ）方程有两个不同的实数解，求实数的取值范围；（Ⅲ）在函数的图象上是否存在不同两点，线段的中点的横坐标为，有成立？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 8、已知函数： ⑴讨论函数的单调性；

高考数学压轴专题(易错题)备战高考《不等式》难题汇编含答案

新高考数学《不等式》练习题一、选择题 1．设x ，y 满足10 2024x x y x y -≥?? -≤??+≤? ，向量()2,1a x =r ，()1,b m y =-r ，则满足a b ⊥r r 的实数m 的最小值为（） A ． 125 B ．125 - C ． 32 D ．32 - 【答案】B 【解析】【分析】先根据平面向量垂直的坐标表示，得2m y x =-，根据约束条件画出可行域，再利用m 的几何意义求最值，只需求出直线2m y x =-过可行域内的点C 时，从而得到m 的最小值即可．【详解】解：不等式组表示的平面区域如图所示：因为()2,1a x =r ，()1,b m y =-r ，由a b ⊥r r 得20x m y +-=，∴当直线经过点C 时，m 有最小值，由242x y x y +=??=?，得85 4 5x y ?=????=?? ，∴84,55C ?? ???， ∴416122555 m y x =-=-=-，故选：B. 【点睛】本题主要考查了平面向量共线（平行）的坐标表示，用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属于中档题．目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解． 2．已知等差数列{}n a 中，首项为1a （10a ≠），公差为d ，前n 项和为n S ，且满足 15150a S +=，则实数d 的取值范围是（）

A ．[； B ．(,-∞ C ．) +∞ D ．(,)-∞?+∞ 【答案】D 【解析】【分析】由等差数列的前n 项和公式转化条件得1 1322 a d a =--，再根据10a >、10a <两种情况分类，利用基本不等式即可得解. 【详解】 Q 数列{}n a 为等差数列， ∴15154 55102 a d d S a ?=+ =+，∴()151********a S a a d +++==，由10a ≠可得 1 1322 a d a =--，当10a > 时，1111332222a a d a a ??=--=-+≤-= ??? 1a 时等号成立；当10a < 时，1 1322a d a =--≥= 1a =立； ∴实数d 的取值范围为(,)-∞?+∞. 故选：D. 【点睛】本题考查了等差数列前n 项和公式与基本不等式的应用，考查了分类讨论思想，属于中档题. 3．已知关于x 的不等式()()2 22240m x m x -+-+>得解集为R ，则实数m 的取值范围是（） A ．()2,6 B ．()(),26,-∞+∞U C ．(](),26,-∞?+∞ D ．[)2,6 【答案】D 【解析】【分析】分20m -=和20m -≠两种情况讨论，结合题意得出关于m 的不等式组，即可解得实数 m 的取值范围. 【详解】