高中函数专题讲义

函数讲义

一、考试内容

二、 映射、函数、函数的单调性、函数的奇偶性；反函数、互为

反函数的函数图象间的关系；指数概念的扩充、有理指数幂的运算性质、指数函数；对数、对数的运算性质、对数函数的应用举例。 三、主要内容

1. 函数的单调性

单一函数：（1）设[]2121,,x x b a x x ≠∈?那么

[]1212()()()0x x f x f x -->?[]b a x f x x x f x f ,)(0)

()(2121在?>--上是增函数；

[]1212()()()0x x f x f x --

[]b a x f x x x f x f ,)(0)

()(2

121在?<--上是减函数.

(2)设函数)(x f y =在某个区间内可导，如果0)(>'x f ，则)(x f 为增函数；如果

0)(<'x f ，则)(x f 为减函数.

，

复合函数：

如果函数)(x f 和)(x g 都是减函数,则在公共定义域内,和函数)()(x g x f +也是减函数;如果函数)(u f y =和)(x g u =在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数)]([x g f y =是增函数.

2. 奇偶函数的图象特征

奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数．

若函数)(x f y =是偶函数，则?(x)=?(-x),若函数)(x f y =是奇函数，则

?(x)=-?(-x)

~

注：若函数)(x f y =是偶函数，则)()(a x f a x f --=+；若函数)(a x f y +=是偶函数，则)()(a x f a x f +-=+.

对称性

<

对于函数)(x f y =(R x ∈),)()(x b f a x f -=+恒成立,则函数)(x f 的对称轴是函数2

b

a x +=

。

若)()(a x f x f +--=,则函数)(x f y =的图象关于点)0,2

(a 对称;若)()(a x f x f +-=,则函数)(x f y =为周期为a 2的周期函数. 3.

|

4.

多项式函数1

10()n n n n P x a x a x a --=++

+的奇偶性

多项式函数()P x 是奇函数?()P x 的偶次项(即奇数项)的系数全为零. 多项式函数()P x 是偶函数?()P x 的奇次项(即偶数项)的系数全为零. 23.函数()y f x =的图象的对称性

(1)函数()y f x =的图象关于直线x a =对称()()f a x f a x ?+=-

(2)()f a x f x ?-=.

(2)函数()y f x =的图象关于直线2

a b

x +=

对称()()f a mx f b mx ?+=- ()()f a b mx f mx ?+-=.

5.

】

6.

两个函数图象的对称性

(1)函数()y f x =与函数()y f x =-的图象关于直线0x =(即y 轴)对称. (2)函数()y f mx a =-与函数()y f b mx =-的图象关于直线2a b

x m

+=对称. (3)函数)(x f y =和)(1

x f

y -=的图象关于直线y=x 对称.

25.若将函数)(x f y =的图象右移a 、上移b 个单位，得到函数b a x f y +-=)(的图象；若将曲线0),(=y x f 的图象右移a 、上移b 个单位，得到曲线0),(=--b y a x f 的图象.

；

7. 互为反函数的两个函数的关系

a b f b a f =?=-)()(1.

27.若函数)(b kx f y +=存在反函数,则其反函数为])([11

b x f k

y -=

-,并不是)([1

b kx f

y +=-,而函数)([1

b kx f

y +=-是])([1

b x f k

y -=

的反函数. 8.

.

9.

几个常见的函数方程

(1)正比例函数()f x cx =,()()(),(1)f x y f x f y f c +=+=. (2)指数函数()x

f x a =,()()(),(1)0f x y f x f y f a +==≠.

(3)对数函数()log a f x x =,()()(),()1(0,1)f xy f x f y f a a a =+=>≠. (4)幂函数()f x x α

=,'

()()(),(1)f xy f x f y f α==.

(5)余弦函数()cos f x x =,正弦函数()sin g x x =，()()()()()f x y f x f y g x g y -=+，

()

(0)1,lim

1x g x f x

→==. 10. 几个函数方程的周期(约定a>0)

!

（1）)()(a x f x f +=，则)(x f 的周期T=a ； （2）0)()(=+=a x f x f ，

或)0)(()

(1

)(≠=

+x f x f a x f ， 或1

()()

f x a f x +=-

(()0)f x ≠,

或

[]1(),(()0,1)2

f x a f x +=+∈,则)(x f 的周期T=2a ；

(3))0)(()

(1

1)(≠+-

=x f a x f x f ，则)(x f 的周期T=3a ；

(4))

()(1)

()()(212121x f x f x f x f x x f -+=

+且1212()1(()()1,0||2)f a f x f x x x a =?≠<-<，则

)(x f 的周期T=4a ；

(5)()()(2)(3)(4)f x f x a f x a f x a f x a +++++++

$

()()(2)(3)(4)f x f x a f x a f x a f x a =++++,则)(x f 的周期T=5a ；

(6))()()(a x f x f a x f +-=+，则)(x f 的周期T=6a. 11. 分数指数幂

(1)m n

a

=

（0,,a m n N *

>∈，且1n >）.

(2)1

m n

m n

a

a

-

=（0,,a m n N *

>∈，且1n >）.

12. 根式的性质

（1

）n a =.

（2）当n

a =；

[

当n

,0

||,0a a a a a ≥?==?

-

.

13. 有理指数幂的运算性质

(1)(0,,)r

s

r s

a a a

a r s Q +?=>∈.

(2)()(0,,)r s rs

a a a r s Q =>∈. (3)()(0,0,)r r r

ab a b a b r Q =>>∈.

注：若a ＞0，p 是一个无理数，则a p

表示一个确定的实数．上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用.

33.指数式与对数式的互化式

log b a N b a N =?=(0,1,0)a a N >≠>.

$

34.对数的换底公式

log log log m a m N

N a

=

(0a >,且1a ≠,0m >,且1m ≠, 0N >).

推论 log log m n

a a n

b b m

=

(0a >,且1a >,,0m n >,且1m ≠,1n ≠, 0N >). 14. 对数的四则运算法则

若a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0，则 (1)log ()log log a a a MN M N =+; (2)log log log a

a a M

M N N

=-; (3)log log ()n

a a M n M n R =∈.

]

注：设函数)0)((log )(2≠++=a c bx ax x f m ,记ac b 42

-=?.若)(x f 的定义域为

R ,则0>a ，且0a ，且0≥?.对于0=a 的情形,需要

单独检验.

15. 对数换底不等式及其推论

若0a >,0b >,0x >,1

x a ≠

,则函数log ()ax y bx = (1)当a b >时,在1(0,)a 和1

(,)a +∞上log ()ax y bx =为增函数.

(2)(2)当a b <时,在1(0,)a 和1

(,)a

+∞上log ()ax y bx =为减函数.

推论:设1n m >>，0p >，0a >，且1a ≠，则 （1）log ()log m p m n p n ++<. （2）2

log log log 2

a a a

m n

m n +<. ;

三、主要问题

1、定义域 普通函数

1．函数 的定义域是R ，则k 的取值范围是（ ）。

2． A 、k ≤0或k ≥1 B 、k ≥1 C 、0≤k ≤1 D 、0

3．函数)(x f =)13(-x +)21(x -+4，则x 的取值范围是__________ 4．函数

)(x f =)352(2

1

log -+--x x x ,则x 的取值范围是__________

5．)(x f =)

(1

x x -,则x 的取值范围是__________

抽象函数

！

1、若函数y=f(x+1)的定义域是[-2，3]，则y=f(2x-1)的定义域是（ ）。A 、 B 、

[-1，4] C 、[-5，5] D 、[-3，7]

2、已知函数的定义域为[-1，1]，求?（2x-1）的定义域

3、已知)(x f 的定义域是[-2，4]，则g(x)=)(x f +?(-x)的定义域是_________________

4、已知?（1+x ）的定义域为[0，3]，求)(x f 的定义域 与一元二次函数的联系

1、)(x f =2

41

2

3

+--ax a ax x 的定义域为R ，求a 得取值范围

2、2、)(x f =862

++-m mx m x

的定义域为R ，求m 得取值范围

<

总结：求函数的定义域，就要把含有所求变量的每一个定义域都求出来；注意强化整体意识。

2、值域

配方法：求函数

]2,1[x ,5x 2x y 2

-∈+-=的值域。

判别式法 ：1、

求函数22x 1x x 1y +++=

的值域。

0x )1y (x )1y (2=-+-

（1）当1y ≠时，R x ∈

0)1y )(1y (4)1(2≥----=?

解得：23y 2

1≤

≤ \

（2）当y=1时，0x =，而?

??

???∈23,211

故函数的值域为?

????

?23,21

求函数

)

x 2(x x y -+=的值域。

∵2x 0≤≤

)x 2(x x y ≥-+=∴

21y ,0y min +==∴代入方程（1）

解得：

]

2,0[2

2

222x 41∈-+=

…

即当22

222x 41-+=

时，

原函数的值域为：]21,0[+

小tips

用判别式法求定义域时，应首先判断自变量的取值范围

反函数法：直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数

求函数6x 54

x 3++值域。

函数有界性法

求函数

3x sin x

cos y -=

的值域。

\

解：由原函数式可得：y 3x cos x sin y =-，可化为：

y 3)x (x sin 1y 2=β++ 即

1y y 3)x (x sin 2+=

β+

∵R x ∈

∴]1,1[)x (x sin -∈β+

即

1

1

y y 312

≤+≤

-

解得：42y 4

2≤

≤- 换元法

、

通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用。

求函数1x x y -+=的值域。

解：令t 1x =-，)0t (≥

则1t x 2

+=

∵

43

)21t (1t t y 22+

+=++= 又0t ≥，由二次函数的性质可知

当0t =时，1y min = 当0t →时，+∞→y

~

故函数的值域为),1[+∞

数形结合法

求函数

22)8x ()2x (y ++-=的值域

求函数

5x 4x 13x 6x y 2

2++++-=的值域。 3、单调性

(1)判断函数的奇偶性与单调性若为具体函数，严格按照定义判断，注意变换中的等价

性 若为抽象函数，在依托定义的基础上，用好赋值法，注意赋值的科学性、合理性

1、根据函数单调性的定义证明函数f(x)=-x 3

+1在R 上是减函数

2、若f (x )为奇函数，且在(0，+∞)内是增函数，又f (－3)=0,则xf (x )<0的解集为_ ~

3、已知奇函数f (x )是定义在(－3，3)上的减函数，且满足不等式f (x －3)+f (x 2

－3)<0,设不等式解集为A ，B =A ∪{x |1≤x ≤5},求函数g (x )=－3x 2

+3x －4(x ∈B )的最大值

4、

的最小值

试求上的单调性

在区间讨论13

1

)2(),0(1

)()1(+++=

+∞+=x x y x

x x f 复合函数

.322的单调区间求函数+--=x x y

.log log 3

12

3

1的单调区间求函数x x y +=

定义在R +上的函数f(x)满足①f(2)=1，②f(xy)=f(x)+f(y) ③当x>y 时，有f(x)>f(y)，如果f(x)+f(x-3)≤2，求x 的取值范围．

4、奇偶性与周期性

!

1、已知函数f （x ）＝ax 2

＋bx ＋3a ＋b 是偶函数，且其定义域为［a －1，2a ］，则（ ）

A ．3

1

=

a ，

b ＝0 B ．a ＝－1，b ＝0 C ．a ＝1，b ＝0 D ．a ＝3，b ＝0 2、若)(x ?，g （x ）都是奇函数，2)()(++=x bg a x f ?在（0，＋∞）上有最大值5， 则f （x ）在（－∞，0）上有（ ）

A ．最小值－5

B ．最大值－5

C ．最小值－1

D ．最大值－3

3、f （x ）是定义在（－∞，－5］ ［5，＋∞）上的奇函数，且f （x ）在［5，＋∞）上

单调递减，试判断f （x ）在（－∞，－5］上的单调性，并用定义给予证明．

4、设函数y ＝f （x ）（x ∈R 且x ≠0）对任意非零实数x 1、x 2满足f （x 1·x 2）＝f （x 1）＋f （x 2），求证f （x ）是偶函数．

5、?

6、

对称性与周期性

1、已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(2)()f x f x +=-，则(6)f 的值为

.A 1- .B 0 .C 1 .D 2

2、设()f x 是定义在R 上以6为周期的函数，()f x 在(0,3)内单调递减，

且()y f x =的图像关于直线3x =对称，则下面正确的结论是

.A (1.5)(3.5)(6.5)f f f << .B (3.5)(1.5)(6.5)f f f <<

.C (6.5)(3.5)(1.5)f f f << .D (3.5)(6.5)(1.5)f f f <<

3、已知函数()f x 是以2为周期的周期函数，且当()0,1x ∈时，()21x

f x =-，则 ^

2(log 10)f 的值为

4、设()f x 在R 上是奇函数，当x>0时，()f x =

32-x

，则?（-2)=_____

5、已知定义域为R 的偶函数()f x 满足 ?（x+1)=?(x-1),x ∈[0,1]时，()f x =x ，则

()f x =x log 3

的实数解的个数有————————

6、抽象函数

1. 已知函数y = f (x )(x ∈R ，x ≠0)对任意的非零实数1x ，2x ，恒有f (1x 2x )=f (1x )+f (2x ),试判断f (x )的奇偶性。

2、设函数()f x 对任意121

,[0,]2

x x ∈,都有1212()()()f x x f x f x +=?,()2f x = 已知(1)2f =，求1()2f ,1()4

f 的值.

3、 设f （x ）是定义R 在上的函数，对任意x ，y ∈R ，有 f （x+y ）+f （x-y ）=2f （x ）f （y ）且f （0）≠0.

（1）求证f （0）=1；（2）求证：y=f （x ）为偶函数. '

4、已知函数f （x ）对任意实数x ，y ，均有f （x ＋y ）＝f （x ）＋f （y ），且当x ＞0时，f （x ）＞0，f （－1）＝－2，求f （x ）在区间[－2，1]上的值域。

5、函数()f x 对于x>0有意义，且满足条件(2)1,()()(),()f f xy f x f y f x ==+是减函数。证明：(1)0f =；（2）若()(3)2f x f x +-≥成立，求x 的取值范围。

6、函数图象 1、

【

3、.函数y ＝1－

1

1

-x 的图象是( )

，

—

已知函数f (x )=ax 3

+bx 2

+cx +d 的图像如图，求b 的范围

7、指数函数与对数函数的考查 1、以下四个数中的最大者是（ ）

A ．（ln2）2

B ．ln （ln2）

C ．ln 2

D ．ln2 2、设2

()lg(

)1f x a x

=+-是奇函数，则使()0f x <的x 的取值范围是（ ） A ．(1,0)- B ．(0,1) C ．(,0)-∞ D ．(,0)

(1,)-∞+∞

3、函数()?

??>+-≤-=1,341

,442x x x x x x f 的图象和函数()x x g 2log =的图象的交点个数是（ ）

—

A ．4

B ．3

C ．2

D ．1

4、函数|1||

|ln --=x e

y x 的图象大致是（ ）

2

1o

y

x

5、将函数2log y x =的图象向左平移一个单位，得到图象C 1，再将C 1向上平移一个单位得到图象C 2，则C 2的解析式为________。

6、若关于x 的方程m x x =?-+-+-|1||

1|5425

有实根，则实数m 的取值范围是________。

7、根据函数|12|-=x

y 的图象判断：当实数m 为何值时，方程m x

=-|12|无解？有一解？有两解？

8、函数图象的变换 ?

1、要得到函数y ＝sin (2x －π

3 )的图象，只需将函数y ＝sin 2x 的图象( )

(A)向左平移 π3 个单位 (B)向右平移π

3

个单位

(C)向左平移π6 个单位 (D)向右平移π

6 个单位

2、设函数f (x )＝1－1－x 2 (-1≤x ≤0)，则函数y ＝f

－1

(x )的图象是( )

3、将y ＝2x 的图象( )

(A)先向左平行移动1个单位 (B)先向右平行移动1个单位 (C)先向上平行移动1个单位 (D)先向下平行移动1个单位

再作关于直线y ＝x 对称的图象，可得到y ＝log 2(x +1)的图象。

4、已知函数y ＝f(x)的图象如图2(甲)所示，y ＝g(x)的图象如图2(乙)所示，则函数y=f(x)·g(x)的图象可能是图3中的 ( )

5、已知图4(1)中的图象对应的函数为y ＝f(x)，则图4(2)中的图象对应的函数在下列给出的四式中，只可能是( )

(A)y ＝f(|x|) (B)y=|f(x)| (C)y ＝f(-|x|) (D)y ＝-f(|x|) 6、：已知函数f(x)＝ax 3+bx 2+cx+d 的图象如图5，则 ( )

(A)b ∈(-∞，0) (B)b ∈(0，1) (C)b ∈(1，2) (D)b ∈(2，+∞)

9、函数综合大题

1、已知12)(-=x

x f 的反函数为)(1

x f -，)13(log )(4+=x x g .

(1)若)()(1

x g x f

≤-，求x 的取值范围D ；

(2)设函数)(21)()(1

x f x g x H --=，当D x ∈时，求函数)(x H 的值域.

2、设二次函数2

()(,,)f x ax bx c a b c R =++∈满足下列条件：

①当x ∈R 时，()f x 的最小值为0，且f (x －1)=f (－x －1)成立；

②当x ∈(0,5)时，x ≤()f x ≤21x -+1恒成立。 （1）求(1)f 的值； （2）求()f x 的解析式；

（3）求最大的实数m(m>1),使得存在实数t,只要当x ∈[]1,m 时，就有()f x t x +≤成立。

3、对于函数f (x )= a -2

21

x

+(a ∈R )： （1）探索函数的单调性；（2）是否存在实数a 使函数f (x )为奇函数？

4、设a 为实数，函数

2()2()||f x x x a x a =+--.(1)若(0)1f ≥，求a 的取值范围；

(2)求

()f x 的最小值；(3)设函数()(),(,)h x f x x a =∈+∞，直接写出．．．．

(不需给出演算 步骤)不等式()1h x ≥的解集.

5、已知定义域为R 的函数a

b x f x x ++-=+122)(是奇函数.

（1）求a,b 的值；

（2）若对任意的R t ∈，不等式0)2()2(2

2

<-+-k t f t t f 恒成立，求k 的取值范围.

最新基本初等函数讲义(全)

一、一次函数 二、二次函数 （1）二次函数解析式的三种形式 ①一般式：2()(0)f x ax bx c a =++≠ ②顶点式：2()()(0)f x a x h k a =-+≠ ③两根式：12()()()(0)f x a x x x x a =--≠ （2）求二次函数解析式的方法 ①已知三个点坐标时，宜用一般式． ②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式． ③若已知抛物线与x 轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求()f x 更方便． （3）二次函数图象的性质

图像 定义域 (),-∞+∞ 对称轴 2b x a =- 顶点坐标 24,24b ac b a a ??-- ??? 值域 24,4ac b a ??-+∞ ??? 24,4ac b a ?? --∞ ?? ? 单调区间 ,2b a ??-∞- ??? 递减 ,2b a ?? -+∞ ??? 递增 ,2b a ? ?-∞- ??? 递增 ,2b a ?? -+∞ ??? 递减 ①.二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的图象是一条抛物线，对称轴方程为 ,2b x a =-顶点坐标是24(, )24b ac b a a -- ②当0a >时，抛物线开口向上，函数在(,]2b a -∞- 上递减， 在[,)2b a -+∞上递增，当2b x a =-时，2min 4()4ac b f x a -=；当0a <时，抛物线开口向下，函数在(,] 2b a -∞-上递增，在[,)2 b a -+∞上递减，当2b x a =-时，2max 4()4ac b f x a -=． 三、幂函数 （1）幂函数的定义 一般地，函数y x α=叫做幂函数，其中x 为自变量，α是常数． （2）幂函数的图象 2b x a =- 2b x a =-

基本初等函数知识点(一轮复习)

基本初等函数 中学阶段（初高中）我们只要求掌握基本初等函数及其复合函数即可。什么是基本初等函数？就是那些：幂函数（一次二次负一次）、指数、对数、三角等。力求在这些具体函数中，运用函数的性质（奇偶性、周期、单调等的性质），掌握某些函数的特殊技巧。 一、一次函数 初中的一个函数，Primary基本、简单而又很重要。解析式：y=kx+b或y=ax+b，通常我们会这样设。那么高中我们在什么地方会用到它呢？解析几何中我们会设直线；线性规划会有好多跟直线；也容易在函数里面作为条件表达一下…… 画出以下解析式的图像：要求快 （1）y=x+1; (2)y=x-1 (3)y=-x+1 (4)y=-x-1 (5)x=1(6)y=1 (7)y=2x 根据以下条件，设出一次函数的解析式： (1)直线经过(1,2)点 (2)直线的斜率是2 总结：两个参数主宰斜率和与y轴的交点位置。因为两个参数，所以要有两个条件才能解得解析式。 二、二次函数 二次函数的大部分内容在另外一个讲义里面已经讲述了，这里补遗强调一下。十分重要的内容，属于幂函数中最重要的一类。二次函数图象的应用与其最值问题是高考的热点，题型多以小题或大题中关键的一步的形式出现，主要考查二次函数与一元二次方程及一元二次不等式三者的综合应用，幂函数的内容要求较低，只要求会简单幂函数的图象与性质． 1、二次函数的三种表示形式 (1)一般式：y＝ax2＋bx＋c，(a≠0)； (2)顶点式：y＝a(x－h)2＋k(顶点坐标为(h，k))； (3)双根式：y＝a(x－x1)(x－x2)(图象与x轴的交点为(x1,0)，(x2,0)) 求一元二次解析式:将题目有的条件表示一下，没有难度，过场的题目而已 Eg：已知二次函数f(x)同时满足条件：(1)f(1＋x)＝f(1－x)；(2)f(x)的最大值为15；(3)f(x)＝0的两根平方和等于7.求f(x)的解析式． Ans：f(1＋x)＝f(1－x)知二次函数对称轴为x＝1. ∴已知最大值和对称轴，用顶点式，设f(x)＝a(x－1)2＋15＝ax2－2ax＋15＋a. ∵x21＋x22＝7 即(x1＋x2)2－2x1x2＝7

高中数学 推理与证明 板块三 数学归纳法完整讲义(学生版).doc

学而思高中完整讲义：统计.板块一.随机抽样.学生版 题型一：数学归纳法基础 【例1】已知n 为正偶数，用数学归纳法证明1111111 12()234 124 2n n n n -+-+ +=+++ -++时，若已假设2(≥=k k n 为偶数）时命题为真，则还需要用归纳假设再证 （ ） A ．1+=k n 时等式成立 B ．2+=k n 时等式成立 C ．22+=k n 时等式成立 D ．)2(2+=k n 时等式成立 【例2】已知n 是正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设n=k （2≥k 且为偶数）时命题 为真，，则还需证明（ ） A.n=k+1时命题成立 B. n=k+2时命题成立 C. n=2k+2时命题成立 D. n=2（k+2）时命题成立 【例3】某个命题与正整数n 有关，如果当)(+∈=N k k n 时命题成立，那么可推得当 1+=k n 时命题也成立. 现已知当7=n 时该命题不成立，那么可推得 （ ） A ．当n=6时该命题不成立 B ．当n=6时该命题成立 C ．当n=8时该命题不成立 D ．当n=8时该命题成立 【例4】利用数学归纳法证明 “* ),12(312)()2)(1(N n n n n n n n ∈-???????=+???++ ”时，从“k n =”变到“1+=k n ”时，左边应增乘的因式是 （ ） A 12+k B 112++k k C 1)22)(12(+++k k k D 1 3 2++k k 【例5】用数学归纳法证明),1(1112 2 *+∈≠--= ++++N n a a a a a a n n ，在验证n=1时，左边计算所得的式子是（ ） A. 1 B.a +1 C.2 1a a ++ D. 4 2 1a a a +++ 【例6】用数学归纳法证明n n n n n 2)()2)(1(=+++ ))(12(31*∈+????N n n ，从“k 到k+1”左端需乘的代数式是（ ） 典例分析

高一数学讲义完整版

高一数学复习讲义09年版 函数部分(1) 重点：1把握函数基本知识（定义域、值域） x（a>0、<0) 主要是指数函数y=a x（a>0、<0),对数函数y=log a 2二次函数（重点）基本概念（思维方式）对称轴、 开口方向、判别式 考点1：单调函数的考查 2：函数的最值 3：函数恒成立问题一般函数恒成立问题(重点讲) 4：个数问题（结合函数图象） 3反函数（原函数与对应反函数的关系）特殊值的取舍 4单调函数的证明(注意一般解法） 简易逻辑(较容易) 1. 2. 3. 4.

启示：对此部分重点把握第3题、第4题的解法（与集合的关系） 问题1：恒成立问题解法及题型总结(必考) 一般有5类：1、一次函数型：形如：给定一次函数y=f(x)=ax+b(a≠0),若y=f(x)在[m, n]内恒有f(x)>0(<0) 练习：对于满足0-4x+p-3恒成立的x的取值范围 2、二次函数型:若二次函数y=ax2+bx+c=0(a≠0)大于0恒成立,则有a>0Δ<0若是二次函数在指定区间上的恒成立问题,还可以利用韦达定理以及根与系数的分布知识求解 练习：1设f(x)=x2-2ax+2,当x∈[-1, +∞)时,都有f(x)>a恒成立, a的取值范围 2关于x的方程9x+(4+a)3x+4=0恒有解,求a的范围。 3、变量分离型 若在等式或不等式中出现两个变量,其中一个变量的范围已知,另一个变量的范围为所求,且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边,则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解 练习：若1-ax>1/(1+x),当对于x∈[0, 1]恒成立,求实数a的取值范围。 4利用图象 练习：当x∈(1, 2)时,不等式(x-1)2

基本初等函数讲义(超级全)

一、一次函数 一次 函数 k kx b k0 k0k0 k， b 符号b0b0b0b0b0b0 y y y y y y 图象 O x O O x x O x O x O x 性质y随x的增大而增大y随x的增大而减小 二、二次函数 （1）二次函数解析式的三种形式 ①一般式：2 f(x)ax bx c(a0) ②顶点式：2 f(x)a(x h)k(a0) ③两根式：f(x)a(x x1)(x x2)(a0) （2）求二次函数解析式的方法 ①已知三个点坐标时，宜用一般式． ②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式． ③若已知抛物线与x轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求f(x)更方便． （3）二次函数图象的性质 20 f x ax bx c a a0a0 图像 x b 2a x b 2a 定义域, 对称轴x b 2a 顶点坐标 2 b4ac b , 2a4a 文档

值域 2 4ac b 4a ,, 2 4ac b 4a , b 2a 递减, b 2a 递增 单调区间 b 2a , 递增 b 2a ,递减 ①.二次函数 b 2 f(x)ax bx c(a0)的图象是一条抛物线，对称轴方程为x, 2a 顶 点坐标是 2 b4ac b (,) 2a4a b ②当a0时，抛物线开口向上，函数在(,] 2a b 上递减，在[,) 2a 上递增，当 x b 2a 时，f(x) min 2 4ac b 4a b ；当a0时，抛物线开口向下，函数在(,] 2a 上递b 增，在[,) 2a 上递减，当x b 2a 时，f(x) max 2 4ac b 4a ． 三、幂函数 （1）幂函数的定义 一般地，函数y x叫做幂函数，其中x为自变量，是常数． （2）幂函数的图象 过定点：所有的幂函数在(0,)都有定义，并且图象都通过点(1,1)．文档

高三复习 高中数学复习讲义 第一课时函数概念及其性质

高中数学复习讲义 第一课时函数概念及其性质 第1课 函数的概念 【基础练习】 1． 设有函数组：①y x = ，y = y x = ，y = ；③y ，y = ；④1(0),1 (0), x y x >?=?-

(3) ()1f x x =+，(1,2]x ∈． 值域是(2,3]． 【范例解析】 例 1.设有函数组：①21 ()1 x f x x -=-，()1g x x =+； ②()f x = ， ()g x = ③()f x =()1g x x =-；④()21f x x =-，()21g t t =-．其中表示同一个函数的有 ． 例2.求下列函数的定义域：① 12y x =+- ② ()f x = 例3.求下列函数的值域： （1）242y x x =-+-，[0,3)x ∈； （2）2 2 1 x y x =+()x R ∈； （3 ）y x =- 【反馈演练】 1．函数f (x )＝x 21-的定义域是___________． 2．函数) 34(log 1 )(2 2-+-= x x x f 的定义域为_________________． 3. 函数2 1 ()1y x R x = ∈+的值域为________________． 4. 函数23y x =-+_____________． 5．函数)34(log 25.0x x y -= 的定义域为_____________________． 6.记函数f (x )=1 3 2++- x x 的定义域为A ，g (x )=lg [(x －a －1)(2a －x )](a <1) 的定义域为B ． (1) 求A ； (2) 若B ?A ，求实数a 的取值范围．

高中数学完整讲义——复数

题型一：复数的概念 【例1】若复数()()2321a a a i -++-是纯虚数,则实数a 的值为( ） Ａ．1?? B ．2???C.1或2?? D ．1- 【例2】若复数为纯虚数,则实数的值为( ） A ． B. C. D ．或 【例3】已知02a <<,复数z 的实部为a ，虚部为1，则z 的取值范围是（ ） A.()15，? B ．()13，??C.() 15， D.() 13， 【例4】若复数(2)i bi ?+是纯虚数，则实数b = . 【例5】设1z 是复数,211z z iz =-（其中1z 表示1z 的共轭复数）,已知2z 的实部是1-,则2z 的虚部 为 . 【例6】复数3 2 1i +=（ ） Ａ.12i + ? ?B.12i - ???C ．1- ? Ｄ．3 【例7】计算：0!1!2!100!i +i +i + +i = （i 表示虚数单位） 2 (1)(1)z x x i =-+-x 1-011-1典例分析 复数

【例8】设22(253)(22)i z t t t t =+-+-+,t ∈R ，则下列命题中一定正确的是( ) A ．z 的对应点Z 在第一象限 B.z 的对应点Z 在第四象限 Ｃ．z 不是纯虚数 D ．z 是虚数 【例9】在下列命题中，正确命题的个数为( ） ①两个复数不能比较大小； ①若22(1)(32)i x x x -+++是纯虚数，则实数1x =±; ①z 是虚数的一个充要条件是z z +∈R ； ①若a b ，是两个相等的实数，则()()i a b a b -++是纯虚数； ①z ∈R 的一个充要条件是z z =． ①1z =的充要条件是1 z z =． A ．１ Ｂ.２? C ．３? D.4 题型二:复数的几何意义 【例10】复数i i z -+=1)2(2 （i 是虚数单位)在复平面上对应的点位于（ ） A ．第一象限? B.第二象限 ?C.第三象限 D.第四象限 【例11】复数13i z =+,21i z =-,则复数 1 2 z z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限? B ．第二象限 C.第三象限?? D ．第四象限 【例12】在复平面内，复数2009 2 1i (1i)+-对应的点位于（ ） A ．第一象限 ? B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 【例13】在复平面内,复数sin2cos2z i =+对应的点位于( ） A ．第一象限?? B.第二象限?? Ｃ．第三象限? ?D ．第四象限

基本初等函数讲义

一、一次函数 （1）二次函数解析式的三种形式 ①一般式：2 ()(0)f x ax bx c a =++≠ ②顶点式：2 ()()(0)f x a x h k a =-+≠ ③两根式：12()()()(0)f x a x x x x a =--≠ （2）求二次函数解析式的方法 ①已知三个点坐标时，宜用一般式． ②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式． ③若已知抛物线与x 轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求()f x 更方便． （3）二次函数图象的性质

①.二次函数2 ()(0)f x ax bx c a =++≠的图象是一条抛物线，对称轴方程为,2x a =- 顶点坐标是2 4(,)24b ac b a a -- ②当0a >时，抛物线开口向上，函数在(,]2b a -∞- 上递减，在[,)2b a -+∞上递增，当2b x a =-时，2min 4()4ac b f x a -=；当0a <时，抛物线开口向下，函数在(,]2b a -∞-上递 增，在[,)2b a -+∞上递减，当2b x a =- 时，2max 4()4ac b f x a -=． 三、幂函数 （1）幂函数的定义 一般地，函数y x α =叫做幂函数，其中x 为自变量，α是常数． （2）幂函数的图象

过定点：所有的幂函数在(0,)+∞都有定义，并且图象都通过点(1,1)． 四、指数函数 （1）根式的概念：如果,,,1n x a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根． （2）分数指数幂的概念 ①正数的正分数指数幂的意义是：0,,,m n a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数 指数幂等于0． ②正数的负分数指数幂的意义是： 1()0,,,m m n n a a m n N a -+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． （3）运算性质 ①(0,,)r s r s a a a a r s R +?=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈

函数的概念与表示复习讲义与习题.doc

第四讲函数的概念与表示 一．知识归纳： 1．映射 （ 1）映射：设 A 、 B 是两个集合，如果按照某种映射法则f，对于集合 A 中的任一个 元素，在集合 B 中都有唯一的元素和它对应，则这样的对应（包括集合A、B以及 A到 B 的对应法则 f ）叫做集合 A 到集合 B 的映射，记作 f ： A→B。 （ 2）象与原象：如果给定一个从集合 A 到集合 B 的映射，那么集合 A 中的元素 a 对应的 B 中的元素 b 叫做 a 的象， a 叫做 b 的原象。 注意：（ 1）对映射定义的理解。（ 2）判断一个对应是映射的方法。 2．函数 （ 1）函数的定义 ①原始定义：设在某变化过程中有两个变量x、y，如果对于 x 在某一范围内的每一个确定的值， y 都有唯一确定的值与它对应，那么就称y 是 x 的函数， x 叫作自变量。 ②近代定义：设 A 、 B 都是非空的数的集合，f： x→y是从 A 到 B 的一个对应法则，那么从 A 到 B 的映射 f ： A→B就叫做函数，记作y=f(x) ，其中 x∈ A,y ∈ B，原象集合 A 叫做函数的定义域，象集合 C 叫做函数的值域。 注意：①C B; ② A,B,C 均非空 （ 2）构成函数概念的三要素：①定义域②对应法则③值域 3．函数的表示方法：①解析法②列表法③图象法 注意：强调分段函数与复合函数的表示形式。 二．例题讲解： 【例 1】下列各组函数中，表示相同函数的是（） (A) f(x)=lnx 2,g(x)=2lnx (B)f(x)= a log a x (a>0 且 a≠1),g(x)=x (C) f(x)= 1 x 2 , g(x)=1 - |x| (x ∈[ - 1,1]) (D) f(x)= log a a x (a>0 且 a≠1),g(x)= 3 x3 解答：选D 点评：判断两个函数是否相同主要是从定义域、对应法则两个方面加以分析。 变式：下列各对函数中，相同的是（ D ） (A) f(x)= x 2, g(x)=x (B)f(x)=lgx 2 ,g(x)=2lgx (C)f(x)= lg x 1 , g(x)=lg(x - 1)- lg(x+1) (D) f(x)= 1 u 1 v 1 , g(x)= v x 1 u 1 【例 2】（ 1）集合 A={3,4},B={5,6,7} ，那么可以建立从 A 到 B 的映射的个数是；从B 到 A 的映射的个数是。 （ 2）设集合 A 和 B 都是自然数集合N，映射 f：A→B把集合 A 中的元素 n 映射到集 合 B 中的元素2n+n，则在映射 f 下，像20 的原象是。 解答：（ 1）从 A 到 B 可分两步进行，第一步 A 中的元素 3 可有 3 种对应方法（ 5 或 6 精选

高中数学完整讲义——复数

高中数学讲义 题型一：复数的概念 【例1】若复数()()2321a a a i -++-是纯虚数，则实数a 的值为（ ） A ．1 B ．2 C ．1或2 D ．1- 【例2】若复数为纯虚数，则实数的值为（ ） A ． B ． C ． D ．或 【例3】已知02a <<，复数z 的实部为a ，虚部为1，则z 的取值范围是（ ） A ．()15， B ．()13， C ．(1 D ．(1 【例4】若复数(2)i bi ?+是纯虚数，则实数b = ． 【例5】设1z 是复数，211z z iz =-（其中1z 表示1z 的共轭复数），已知2z 的实部是1-，则2z 的虚部 为 ． 【例6】复数3 2 1i +=（ ） A ．12i + B ．12i - C ．1- D ．3 【例7】计算：0!1!2! 100!i +i +i + +i = （i 表示虚数单位） 2(1)(1)z x x i =-+-x 1-011-1典例分析 复数

高中数学讲义 【例8】设22(253)(22)i z t t t t =+-+-+，t ∈R ，则下列命题中一定正确的是（ ） A ．z 的对应点Z 在第一象限 B ．z 的对应点Z 在第四象限 C ．z 不是纯虚数 D ．z 是虚数 【例9】在下列命题中，正确命题的个数为（ ） ①两个复数不能比较大小； ②若22(1)(32)i x x x -+++是纯虚数，则实数1x =±； ③z 是虚数的一个充要条件是z z +∈R ； ④若a b ， 是两个相等的实数，则()()i a b a b -++是纯虚数； ⑤z ∈R 的一个充要条件是z z =． ⑥1z =的充要条件是1 z z =． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 题型二：复数的几何意义 【例10】复数i i z -+=1)2(2 （i 是虚数单位）在复平面上对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 【例11】复数13i z =+，21i z =-，则复数 1 2 z z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 【例12】在复平面内，复数2009 2 1i (1i)+-对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 【例13】在复平面内，复数sin 2cos 2z i =+对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限

高一数学必修①第一章_集合与函数概念讲义

心智家三优教育高一特训营数学教学进度表

¤学习目标：通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系；能选择自然语言、图形语言、 集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；掌握集合的表示方法、常用数集及其记法、集合元素的三个特征. ¤知识要点： 1. 把一些元素组成的总体叫作集合（set ），其元素具有三个特征，即确定性、互异性、无序性. 2. 集合的表示方法有两种：列举法，即把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来，基本形式为123{,,,,}n a a a a ???，适用于有限集或元素间存在规律的无限集. 描述法，即用集合所含元素的共同特征来表示，基本形式为{|()x A P x ∈}，既要关注代表元素x ，也要把握其属性()P x ，适用于无限集. 3. 通常用大写拉丁字母,,,A B C ???表示集合. 要记住一些常见数集的表示，如自然数集N ，正整数集*N 或 N +，整数集Z ，有理数集Q ，实数集R . 4. 元素与集合之间的关系是属于（belong to ）与不属于（not belong to ），分别用符号∈、?表示，例如3N ∈， 2N -?. ¤例题精讲： 【例1】试分别用列举法和描述法表示下列集合： （1）由方程2(23)0x x x --=的所有实数根组成的集合； （2）大于2且小于7的整数. 【例2】用适当的符号填空：已知{|32,}A x x k k Z ==+∈，{|61,}B x x m m Z ==-∈，则有： 17 A ； －5 A ； 17 B . 【例3】试选择适当的方法表示下列集合：（教材P 6 练习题2， P 13 A 组题4） （1）一次函数3y x =+与26y x =-+的图象的交点组成的集合； （2）二次函数24y x =-的函数值组成的集合； （3）反比例函数2 y x =的自变量的值组成的集合. *【例4】已知集合2{| 1}2 x a A a x +==-有唯一实数解，试用列举法表示集合A ．

(完整版)上海高中数学-复数讲义

复数 一、知识点梳理： 1、 i 的周期性： 4 4n+1 4n+2 4n+3 4n i =1 ，所以， i =i, i =-1, i =-i, i =1 n Z 4n 4n 1 4n 2 4n 3 i i i i C a bi |a,b R 叫做复数集。 N Z Q R C. 3、复数相等： a bi c di a c 且b=d ； a bi 0 a 0且b=0 实数 (b=0) 4、复数的分类： 复数 Z a bi 一般虚数 (b 0,a 0) 虚数 (b 0) 纯虚数 (b 0,a 0) 虚数不能比较大小，只有等与不等。即使是 3 i,6 2i 也没有大小。 uur uur 5、复数的模：若向量 OZ 表示复数 z ，则称 OZ 的模 r 为复数 z 的模， z |a bi| a 2 b 2 ； 8、复数代数形式的加减运算 复数 z 1与 z 2的和： z 1+z 2=( a +bi )+( c +di )=( a +c )+( b +d )i . a, b, c, d R 复数 z 1与 z 2的差： z 1- z 2=( a +bi )-( c +di )=( a - c )+( b -d )i . a, b, c, d R 复数的加法运算满足交换律和结合律 数加法的几何意义： 复数 z 1=a +bi ，z 2=c +di a, b,c, d R ；OZ = OZ 1 +OZ 2 =( a ，b )+( c ， d )=( a +c ，b +d ) ＝( a +c )+( b +d )i uurur uuuur uuuur 复数减法的几何意义：复数 z 1- z 2的差( a － c )+( b －d )i 对应 由于 Z 2Z 1 OZ 1 OZ 2 ，两个 复数的差 z －z 1 与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应 . 9. 特别地， z u A u B ur z B － z A. ， z u A u B ur AB z B z A 为两点间的距离。 |z z 1 | |z z 2 |z 对应的点的轨迹是线段 Z 1Z 2的垂直平分线； |z z 0| r ， z 对应 的点的 2 、复数的代数形式： a bi a,b R ， a 叫实部， b 叫虚部，实部和虚部都是实数。 积或商的模可利用模的性质( 1) z 1 L z n z 1 z 2 L z n ，(2) z 1 z 1 z 2 z 2 z 2 6、复数的几何意义： 复数 z a bi a,b R 一一对应 复平面内的点 Z(a,b) 一一对应 uur 复数 Z a bi a,b R 平面向量 OZ ， 7、复平面： 这个建立了直角坐标系来表示复数的坐标平面叫其中 x 轴叫做实轴， y 轴叫做虚轴 ，实轴上的点都表示实数； 除了原点外， 虚轴上的点都表示纯虚数

数学必修1讲义

第一章集合与函数概念 一、集合有关概念 1、集合得含义: 一般地,我们把研究对象统称为元素,把一些元素组成得总体叫做集合(简称为集)。 2、集合得中元素得三个特性: (1)元素得确定性:对于一个给定得集合,集合中得元素就是确定得,任何一个对象或者就是或者不就是这个给定得集合得元素。 (2)元素得互异性:任何一个给定得集合中,任何两个元素都就是不同得对象,相同得对象归入一个集合时,仅算一个元素。 (3)元素得无序性:集合中得元素就是平等得,没有先后顺序,因此判定两个集合就是否一样,仅需比较它们得元素就是否一样,不需考查排列顺序就是否一样。 3、元素与集合得关系:2hf7sHC。51kBEbP。 (1)如果 a 就是集合 A 得元素,就说 a 属于A,记作: (2)如果 a 不就是集合 A 得元素,就说 a 不属于A,记作: 4、集合得表示: *用拉丁字母表示集合:A={我校得篮球队员},B={1,2,3,4,5} *常用数集及其记法: 非负整数集(即自然数集)记作:N 正整数集N*或N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R (1)列举法:把集合中得元素一一列举出来,写在大括号内。如:{1,2,3,4,5},{x2,3x+2,5y3-x,x2+y2} aypYuMZ。0DeBxzM。 (2) 图示法:Venn图 (3) 描述法(数学式子描述与语言描述):把集合中得元素得公共属性描述出来,写在大括号{}内。具体方法:在大括号内先写上表示这个集合元素得一般符号及取值(或变化)范围,再画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有得共同特征。

如:{x|x-3>2},{(x,y)|y=x2+1},{直角三角形}90qy1aJ。2fZxY1j。 5、集合得分类: (1)有限集含有有限个元素得集合 (2)无限集含有无限个元素得集合 (3)空集不含任何元素得集合例:{x|x2=-5｝ 二、集合间得基本关系 1、包含关系 (1)子集:真子集或相等 (2)真子集 2、相等关系:元素相同 两个结论:任何一个集合就是它本身得子集,即A A 对于集合A,B,C,如果 A B, B C ,那么 A C 3、空集 结论:空集就是任何集合得子集,就是任何非空集合得真子集 *集合子集公式:含n个元素得集合子集有2?个,真子集有2?-1个 三、集合得基本运算 1、并集 2、交集 *性质:A∩A=A,A∩φ=φ,A∩B=B∩A,A∩B=A, A∩B=B AUA=A, AUΦ=A,AUB=BUA ,AUB包含A, AUB包含B 3、全集与补集 *性质:CU(CUA)=A,(CUA)∩A=Φ,(CUA)∪A=U,(CuA)∩(CuB)= Cu(AUB),(CuA) U (CuB)= Cu(A∩B)al5t6aw。eN17HuK。 选择补充:集合中元素得个数: 四、函数有关概念

高中数学完整讲义——概率-随机事件的概率1.事件及样本空间

版块一：事件及样本空间 1．必然现象与随机现象 必然现象是在一定条件下必然发生某种结果的现象； 随机现象是在相同条件下，很难预料哪一种结果会出现的现象． 2．试验：我们把观察随机现象或为了某种目的而进行的实验统称为试验，把观察结果或实验的结果称为试验的结果． 一次试验是指事件的条件实现一次． 在同样的条件下重复进行试验时，始终不会发生的结果，称为不可能事件； 在每次试验中一定会发生的结果，称为必然事件； 在试验中可能发生，也可能不发生的结果称为随机事件． 通常用大写英文字母A B C L ，，，来表示随机事件，简称为事件． 3．基本事件：在一次试验中，可以用来描绘其它事件的，不能再分的最简单的随机事件，称为基本事件．它包含所有可能发生的基本结果． 所有基本事件构成的集合称为基本事件空间，常用Ω表示． 版块二：随机事件的概率计算 1．如果事件A B ，同时发生，我们记作A B I ，简记为AB ； 2．一般地，对于两个事件A B ，，如果有()()()P AB P A P B =，就称事件A 与B 相互独立，简称A 与B 独立．当事件A 与B 独立时，事件A 与B ，A 与B ，A 与B 都是相互独立的． 3．概率的统计定义 一般地，在n 次重复进行的试验中，事件A 发生的频率 m n ，当n 很大时，总是在某个常数附近摆动，随着n 的增加，摆动幅度越来越小，这时就把这个常数叫做事件A 的概率，记为()P A ． 从概率的定义中，我们可以看出随机事件的概率()P A 满足：0()1P A ≤≤． 当A 是必然事件时，()1P A =，当A 是不可能事件时，()0P A =． 4．互斥事件与事件的并 互斥事件：不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件，或称互不相容事件． 由事件A 和事件B 至少有一个发生（即A 发生，或B 发生，或A B ， 都发生）所构成的事件C ，称为事件A 与B 的并（或和），记作C A B =U ． 若C A B =U ，则若C 发生，则A 、B 中至少有一个发生，事件A B U 是由事件A 或B 所包含的基本事 知识内容 板块一.事件及样本空间

2020高一数学必修一：必修一总复习(1对1讲义)

必修一复习一、知识结构 集合 集合表示法 集 合 的 运 算集 合 的 关 系 列举法描 述 法 图 示 法 包 含 相 等 子集与真子集 交 集 并 集 补 集 函数 函 数 及 其 表 示 函 数 基 本 性 质 单 调 性 与 最 值 函 数 的 概 念 函 数 的 奇 偶 性 函 数 的 表 示 法 映射 映 射 的 概 念 集合与函数概念 基本初等函数(Ⅰ) 幂函数 有理指数幂整数指数幂 无理指数幂 运算性质 定义 对数 指数 对数函数 指数函数 互为反函数 图像与性质 定义定义 图像与性质 函数的应用 函数模型及其应用 函数与方程 对数函数 指数函数 几类不同增长的函数模型 二分法 函数的零点 用已知函数模型解决问题 建立实际问题的函数模型

二、考点解析 考点一：集合的定义及其关系 考点分析： 1.集合中的元素具有的三个性质:确定性、无序性和互异性; 2.集合的3种表示方法：列举法、描述法、韦恩图； 例1.定义集合运算：．设 ，则集合的所有元素之和为（ ） A ．0； B ．2； C ．3； D ．6 考点二、集合间的基本关系 ，（） 经典考题： 例2.第二十九届夏季奥林匹克运动会将于2008年8月8日在北京举行，若集合A={参加北京奥运会比赛的运动员}，集合B={参加北京奥运会比赛的男运动员}，集合C={参加北京奥运会比赛的女运动员}，则下列关系正确的是（ ） A ． B. C. D. 考点三、集合间的基本运算 考点分析 {}|,,A B z z xy x A y B *==∈∈{}{}1,2,0,2A B ==A B *A B A ?φφB φ≠B B A ?C B ?C B A =I A C B =Y

【2020高考资料夹】高中数学完整讲义：集合.板块三.集合的运算.学生版

1 题型一 集合的基本运算 【例1】若{}|1,I x x x =-∈Z ≥，则I N e= ． 【例2】已知全集{(,)|R ,R}I x y x y =∈∈，{(1,1)}P =，表示I P e． 典例分析 板块三.集合的运算

2 【例3】若集合{1,1}A =-，{|1}B x mx ==，且A B A =U ，则m 的值为（ ） A ．1 B ．1- C ．1或1- D ．1或1-或0 【例4】若{}{}{},,|,A a b B x x A M A ==?=，求B M e． 【例5】已知2{|43,}A y y x x x ==-+∈R ，2{|22,}B y y x x x ==--+∈R ，则A B I 等于 （ ） A ．? B ．{1,3}- C ．R D ．[1,3]-

3 【例6】若{}{}21,4,,1,A x B x ==且A B B =I ，则x = ． 【例7】若集合{}{} 22(,)0,(,)0,,M x y x y N x y x y x y =+==+=∈∈R R ，则有（ ） A ．M N M =U B ．M N N =U C ．M N M =I D ．M N =?I 【例8】已知集合{}{}22,1,3,3,21,1A a a B a a a =+-=--+，若{}3A B =-I ，求实数a 的 值．

4 【例9】设集合{|(3)()0,R}A x x x a a =--=∈，{|(4)(1)0}B x x x =--=，求,A B A B U I ． 【例10】设集合22{|0},{|0}A x x x B x x x =-==+=，则集合A B =I （ ） A ．0 B ．{}0 C ．? D ．{}1,0,1- 【例11】已知全集是R ，{|37},{|210}A x x B x x =<=<<≤，求R ()A B U e，R ()A B I e

高中数学必修一讲义

高中数学必修一讲义 第一章集合与函数概念 课时一：集合有关概念 1.集合的含义：集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东 西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个整体。 2.一般的研究对象统称为元素，一些元素组成的总体叫集合，简称为集。 3.集合的中元素的三个特性： （1）元素的确定性：集合确定，则一元素是否属于这个集合是确定的：属于或不属于。例：世界上最高的山、中国古代四大美女、…… （2）元素的互异性：一个给定集合中的元素是唯一的，不可重复的。 例：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y} （3）元素的无序性:集合中元素的位置是可以改变的，并且改变位置不影响集合 例：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合 3.集合的表示：{…} 如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋} （1）用大写字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} （2）集合的表示方法：列举法与描述法。 1）列举法：将集合中的元素一一列举出来 {a,b,c……} 2）描述法：将集合中元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合。 {x∈R| x-3>2} ,{x| x-3>2} ①语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} ②Venn图:画出一条封闭的曲线，曲线里面表示集合。 4、集合的分类： （1）有限集：含有有限个元素的集合 （2）无限集：含有无限个元素的集合 （3）空集：不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝ 5、元素与集合的关系： （1）元素在集合里，则元素属于集合，即：a∈A （2）元素不在集合里，则元素不属于集合，即：a A 注意：常用数集及其记法：(&&&&&) 非负整数集（即自然数集）记作：N 正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 课时二、集合间的基本关系 1.?包含?关系—子集 （1）定义：如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们说这两个集合有包含关系， A?（或B?Ａ） 称集合A是集合B的子集。记作：B A?有两种可能（1）A是B的一部分，； 注意：B （2）A与B是同一集合。 反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A?/B或B?/A 2．?相等?关系：A=B (5≥5，且5≤5，则5=5) 实例：设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} ?元素相同则两集合相等? 即：①任何一个集合是它本身的子集。A?A ②真子集:如果A?B,且A≠ B那就说集合A是集合B的真子集，记作A B(或B A) 或若集合A?B，存在x∈B且x A，则称集合A是集合B的真子集。 ③如果 A?B, B?C ,那么 A?C ④如果A?B 同时 B?A 那么A=B

高一数学基础知识讲义全套

第一讲 集合 知识要点一： 集合的有关概念 ⑴某些指定的对象集在一起就成为一个集合，这些研究对象叫做元素。 ⑵集合中元素的特性：?? ? ??的元素顺序无关无序性：集合与组成它元素是互不相同的互异性：集合中任两个必须是确定的确定性：集合中的元素 注意：这三条性质对于研究集合有着很重要的意义， 经常会渗透到集合的各种题目中，同学们应当重视。 ⑶元素与集合的关系：①如果a 是集合A 的元素，就说a 属于A ，记作：A a ∈ ②如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于A ，记作：A a ? （注意：属于或不属于（?∈,）一定是用在表示元素与集合间的关系上） ⑷集合的分类：集合的种类通常分为：有限集（集合含有有限个元素）、无限集（集合含有无限个元素）、空集（不含任何元素的集合，用记号?表示） ⑸集合的表示： ①集合的表示方法： 列举法：把集合中的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来的表示方法。例：{ }2,1=A 描述法：在花括号内先写上表示这个集合一般元素的符号及取值范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。例：{} 4>=x x B （如果元素的取值范围是全体实数，范围可省略不写）。 图示法（即维恩图法）：用平面内一条封闭曲线的内部表示一个集合。 ②特定集合的表示：自然数集（非负整数集）记作N ；正整数集记作()+N N * ；整数集记 作Z ；有理数集记作Q ；实数集记作R 。（这些特定集合外面不用加{}） 高考要求：理解集合的概念，了解属于关系的意义，掌握相关的术语符号，会表示一些 简单集合。 例题讲解： 夯实基础 一、判断下列语句是否正确

高一数学必修一函数讲义

第二章、函数 第一节、函数 一、函数 1、函数的定义：设集合A 是一个非空的数集，对A 中的任意数x ，按照确定的法则f ，都有唯一 确定的数y 与它对应，这种对应关系叫做集合A 上的一个函数，记作()y f x =，x A ∈。其中，x 叫做自变量，自变量的取值范围叫做函数的定义域。所有函数值构成的集合，即(){} ,y y f x x A =∈叫做这个函数的值域。 2、检验两个给定的变量之间是否具有函数关系，需检验： （1）定义域和对应法则是否给出； （2）根据给出的对应法则，自变量x 在其定义域中的每一个值，是否都能确定唯一的函数值y 。 例1、下列图形中，能表示y 是x 的函数的是（ ） 例2、下列等式中，能表示y 是x 的函数的是（ ） A. y x =± B. 2 1y x =+ C. 21y x = -- D. 21y x =- 3、如何判断函数的定义域： （1）分式的分母不能为零； （2）开偶次方根的被开方数要不小于零； （3）多个函数经过四则运算混合得到的函数定义域是多个定义域的交集； （4）函数0 x 中x 不为零。 例3、求下列函数的定义域 （1）32()32x f x x -=+； （2）()21f x x =-； A x B C D x x x y y y y o o o o

（3）20 ()(4)f x x =-； （4）21()42 f x x x =-+ + 例4、求下列函数值域 （1）{}()21,1,2,3,4f x x x =+∈ （2）[]2 ()21,0,3f x x x x =--∈ （3）) ,1(,1 )(+∞-∈= x x x f （4）[)21(),1,1 x f x x x -=∈+∞+ 4、函数的3要素：定义域、值域和对应法则。 判断两个函数相同的依据就是函数的三要素完全相同。 注：在函数关系式的表述中，函数的定义域有时可以省略，这时就约定这个函数的定义域就是使得这个函数关系式有意义的实数的全体构成的集合。 例5、下列各对函数中，是相同函数的是 （ ） A.2 (),()f x x g x x == B. 2 (),()f x x g x x == C.2(),()f x x g x x = = D. 2 (),()f x x g x x == 5、区间：设a ，b ∈R ，且a ＜b ， 满足a ≤x ≤b 的全体实数x 的集合，叫做闭区间，记作[a,b]； 满足a ＜x ＜b 的全体实数x 的集合，叫做开区间，记作﹙a,b ﹚； 满足a ≤x ＜b 或a ＜x ≤b 的全体实数x 的集合，都叫做半开半闭区间，分别记作[a,b ﹚或﹙a,b ]； 分别满足x ≥a,x ＞a,x ≤a,x ＜a 的全体实数的集合分别记作[a,﹢∞﹚,﹙a,﹢∞﹚,﹙﹣∞,a ], ﹙﹣∞,a ﹚。 6、映射：设A 、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一 个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射．其中x 叫做原象，y 叫做象。 注：映射可以是多对一，不可以一对多。即A 中元素不可剩余，B 中元素可以剩余。特别的，集合B 中的任意元素在集合A 中有且只有一个原象的映射，叫做一一映射。 7、映射个数的确定：若集合A 有m 个元素，集合B 中有n 个元素，则A 到B 的映射有m n 个。 例6、已知集合},{},3,2,1{b a B A ==。问： (1)Ａ到Ｂ的不同映射ｆ：B A →有多少个？ (2)Ｂ到Ａ的不同映射ｇ：A B →有多少个？