快速傅里叶变换的原理及其应用
快速傅里叶变换的原理及其应用
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快速傅里叶变换的原理及其应用
摘要:
快速傅氏变换（FFT ），是离散傅氏变换的快速算法，它是根据离散傅氏变换的奇、偶、虚、实等特性，对离散傅立叶变换的算法进行改进获得的。它对傅氏变换的理论并没有新的发现，但是对于在计算机系统或者说数字系统中应用离散傅立叶变换，可以说是进了一大步。 傅里叶变换的理论与方法在“数理方程”、“线性系统分析”、“信号处理、仿真”等很多学科领域都有着广泛应用,由于计算机只能处理有限长度的离散的序列,所以真正在计算机上运算的是一种离散傅里叶变换. 虽然傅里叶运算在各方面计算中有着重要的作用，但是它的计算过于复杂，大量的计算对于系统的运算负担过于庞大，使得一些对于耗电量少，运算速度慢的系统对其敬而远之，然而，快速傅里叶变换的产生，使得傅里叶变换大为简化，在不牺牲耗电量的条件下提高了系统的运算速度，增强了系统的综合能力，提高了运算速度，因此快速傅里叶变换在生产和生活中都有着非常重要的作用，对于学习掌握都有着非常大的意义。
关键词：快速傅氏变换；图像处理；matlab
前言：
傅里叶变换在信号处理中具有十分重要的作用，但是基于离散时间的傅里叶变换具有很大的时间复杂度，根据傅里叶变换理论，对一个有限长度且长度为N 的离散信号，做傅里叶变换的时间复杂度为)(2N O ，当N 很大时τ，其实现的时间是相当惊人的（比如当N 为410时，其完成时间为τ810 (τ为计算机的时钟周期） ），故其实现难度是相当大的，同时也严重制约了DFT 在信号分析中的应用，故需要提出一种快速的且有效的算法来实现。 正是鉴于DFT 极其复杂的时间复杂度，1965年..JWCooley
和..JWTukey 巧妙地利用 NW 因子的周期性和对称性，提出了一个DFT 的快速算法，即快速傅里叶变换（FFT ），从 而使得DFT 在信号处理中才得到真正的广泛应用。
傅立叶变化的原理；
（1）原理
正交级数的展开是其理论基础！将一个在时域收敛的函数展开成一系列不同频率谐波的叠加，从而达到解决周期函数问题的目的。在此基础上进行推广，从而可以对一个非周期函数进行时频变换。
从分析的角度看，他是用简单的函数去逼近（或代替）复杂函数，从几何的角度看，它是以一族正交函数为基向量，将函数空间进行正交分解，相应的系数即为坐标。从变幻的角度的看，他建立了周期函数与序列之间的对应关系；而从物理意义上看，他将信号分解为一些列的简谐波的复合，从而建立了频谱理论。
当然Fourier积分建立在傅氏积分基础上，一个函数除了要满足狄氏条件外，一般来说还要在积分域上绝对可积，才有古典意义下的傅氏变换。引入衰减因子e^(-st)，从而有了Laplace变换。
（2）计算方法
连续傅里叶变换将平方可积的函数f（t）表示成复指数函数的积分或级数形式。
这是将频率域的函数F(ω)表示为时间域的函数f（t）的积分形式。
连续傅里叶变换的逆变换 (inverse Fourier transform)为
即将时间域的函数f（t）表示为频率域的函数F(ω)的积分。
一般可称函数f（t）为原函数，而称函数F(ω)为傅里叶变换的像函数，原函数和像函数构成一个傅里叶变换对（transform pair）。
实例应用：
例一
平稳信号：
x=2*sin(2*pi*20*t)+4*sin(2*pi*60*t)+8*cos(2*pi*90*t)+10*sin(2*pi*120* t)
利用Matlab语言编写的数字图像处理的例程如下：
clc
clear all
fs=100;N=128; %采样频率和数据点数
n=0:N-1;t=n/fs; %时间序列
x=2*sin(2*pi*20*t)+4*sin(2*pi*60*t)+8*cos(2*pi*90*t)+10*sin(2*pi*120* t); %信号
y=fft(x,N); %对信号进行快速Fourier变换
mag=abs(y); %求得Fourier变换后的振幅
f=n*fs/N; %频率序列
subplot(2,2,1),plot(t,x);
xlabel('时间/s');
ylabel('振幅');title('滤波前时域图'); subplot(2,2,2);
plot(f,mag);
xlabel('频率/Hz');
ylabel('振幅');title('滤波前频域图'); N1=11;
wc=0.5;
hd=fir1(N1,wc);
z=filter(hd,1,x);
subplot(2,2,3);
plot(t,z);
xlabel('时间/s');
ylabel('振幅');title('滤波后时域图'); subplot(2,2,4);
plot(f,abs(fft(z)));
xlabel('频率/Hz');
ylabel('振幅');title('滤波后频域图'); 在matlab中运行后，实验结果如图：
例二：
（一）对原图像进行傅立叶变换，实验结果如图1：
图1
分析：图像显示了原图像及其傅立叶频谱。观察傅立叶谱中心对称，在此图像进行傅立
叶变换的计算之前被乘以y
x +-)1(，以此增强了灰度级细节。
（二）输出彩色图像greens.jpg 的傅立叶频谱，实验结果如图2：
图2
分析：图像显示了原图像和其彩色图像傅立叶频谱。可以看出图像的频率分布是以原点为圆心，对称分布的。变换之后的图像在原点平移之前四角是低频，最亮，平移之后中间部分是低频，最亮，亮度大说明低频的能量大（幅角比较大）
（三）对彩色图像football.jpg 进行二维DCT 变换，实验结果如图3:
图3
分析：二维DCT 变换后的频谱图亮点在左上角。 利用Matlab 语言编写的数字图像处理的例程如下： %傅立叶变换Matlab 图像的DFT clc;
figure(1);
load imdemos saturn2;
imshow(saturn2);
title('原图像');
figure(2);
S=fftshift(fft2(saturn2));
figure(2);
S=fftshift(fft2(saturn2));
imshow(log(abs(S)),[]);
title('原图像傅立叶频谱');
%彩色图像的傅立叶频谱
figure(1);
A=imread('greens.jpg');
B=rgb2gray(A);
imshow(B);
title('原图像');
S=fftshift(fft2(B));
figure(2);
imshow(log(abs(S)),[]);
title('彩色图像的傅立叶频谱');
%二维DCT变换
RGB=imread('football.jpg');
figure(1);
imshow(RGB);
title('彩色图像');
GRAY=rgb2gray(RGB);
figure(2);
imshow(GRAY);
title('灰色图像');
DCT=dct2(GRAY);
figure(3);
imshow(log(abs(DCT)),[]);
title('二维DCT变换');
例三：
利用Matlab语言编写的数字图像处理的例程如下: clc
clear all
x=imread('C:\Users\kj\Desktop\1.jpg');
X=rgb2gray(x);
subplot(3,2,1);
imshow(X);
title('原图');
y=fft2(X);
Y=log(1+abs(y));
subplot(3,2,2);
imshow(Y,[]);
title('傅里叶变化图');
[m,n]=size(y);
for i=1:m
for j=1:n
if i>m/2-140 && i else y1(i,j)=0; end end end subplot(3,2,3); imshow(log(1+abs(y1)),[]); title('对傅里叶变化后处理图'); z1=real(ifft2(y1)); Z1=uint8(z1); subplot(3,2,4); imshow(Z1); title('对频率图处理之后的反变化图'); for i=1:m for j=1:n if i>m/2-140 && i else y2(i,j)=y(i,j); end end end subplot(3,2,5); imshow(log(1+abs(y2)),[]); title('对傅里叶变化后处理图'); z2=real(ifft2(y2)); Z2=uint8(z2); subplot(3,2,6); imshow(Z2); title('对频率图处理之后的反变化图'); 在matlab中运行后，实验结果如图： 原图 例四： Matlab源程序如下： clc clear all img=imread('Dolphin.jpg'); subplot(2,2,1),imshow(img); title('原图'); f=rgb2gray(img); F=fft2(f); subplot(2,2,2),imshow(F); title('傅里叶变换'); %二维傅里叶变换 FS=fftshift(F);%频率图 %频谱S=log(1+abs(FS)); subplot(2,2,3);imshow(S,[]) title('直接变换频谱图'); %二维傅里叶逆变换 fr=real(ifft2(ifftshift(FS))); %频域的图反变 ret=im2uint8(mat2gray(fr)); %取其灰度图 subplot(2,2,4),imshow(ret); title('逆傅里叶变换'); I=imread('logo.tif'); figure(2); imshow(I); DCT=dct2(I); figure(3); imshow(log(abs(DCT)),[ ]); 在matlab中运行后，实验结果如图： 总结： 因各个科学技术领域广泛的使用了FFT技术，它大大推动了信号处理技术的进步，现已成为数字信号处理强有力的工具，本论文将比较全