高等数学练习题(附答案)

《高等数学》

专业 年级 学号 姓名

一、判断题. 将√或×填入相应的括号内.（每题2分，共20分）

（ ）1. 收敛的数列必有界.

（ ）2. 无穷大量与有界量之积是无穷大量. （ ）3. 闭区间上的间断函数必无界. （ ）4. 单调函数的导函数也是单调函数.

（ ）5. 若)(x f 在0x 点可导，则)(x f 也在0x 点可导.

（ ）6. 若连续函数)(x f y =在0x 点不可导，则曲线)(x f y =在))(,(00x f x 点没有切线.

（ ）7. 若)(x f 在[b a ,]上可积，则)(x f 在[b a ,]上连续.

（ ）8. 若),(y x f z =在（00,y x ）处的两个一阶偏导数存在，则函数),(y x f z =在（00,y x ）处可微.

（ ）9. 微分方程的含有任意常数的解是该微分方程的通解.

（ ）10. 设偶函数)(x f 在区间)1,1(-内具有二阶导数，且 1)0()0(+'=''f f , 则

)0(f 为)(x f 的一个极小值.

二、填空题.（每题2分，共20分）

1. 设2

)1(x x f =-，则=+)1(x f .

2. 若1

21

2)(1

1

+-=

x x x f ，则=+

→0

lim x .

3. 设单调可微函数)(x f 的反函数为)(x g , 6)3(,2)1(,3)1(=''='=f f f 则

=')3(g .

4. 设y

x xy u +

=, 则=du .

5. 曲线326y y x -=在)2,2(-点切线的斜率为 .

6. 设)(x f 为可导函数,)()1

()(,1)1(2x f x

f x F f +==',则=')1(F .

7. 若),1(2

)(0

2x x dt t x f +=?

则=)2(f .

8. x x x f 2)(+=在[0,4]上的最大值为 . 9. 广义积分=-+∞?

dx e

x

20

.

10. 设D 为圆形区域=+≤+??dxdy x y y x D

5221,1 .

三、计算题（每题5分，共40分）

1. 计算))

2(1)

1(11(

lim 2

2

2

n n n

n +

+++

∞

→ .

2. 求1032)10()3()2)(1(++++=x x x x y 在（0，+∞）内的导数.

3. 求不定积分dx x x ?

-)

1(1.

4. 计算定积分dx x x ?

-π

5

3

sin

sin .

5. 求函数2

2

3

24),(y xy x x y x f -+-=的极值. 6. 设平面区域D 是由x y x y ==

,围成，计算dxdy y

y D

??

sin .

7. 计算由曲线x y x y xy xy 3,,2,1====围成的平面图形在第一象限的面积.

8. 求微分方程y

x y y 2-

='的通解.

四、证明题（每题10分，共20分）

1. 证明：2

tan arcsin

1x arc x x

=+ )(+∞<<-∞x .

2. 设)(x f 在闭区间[],b a 上连续，且,0)(>x f

dt t f dt t f x F x

x

b

?

?

+

=

)

(1)()(

证明：方程0)(=x F 在区间),(b a 内有且仅有一个实根.

《高等数学》参考答案

一、判断题. 将√或×填入相应的括号内（每题2分，共20分）

1.√ ；

2.× ；

3.×；

4.× ；

5.×；

6.× ；

7.× ；

8.× ；

9.√ ；10.√.

二、 填空题.（每题2分，共20分）

1.442++x x ；

2. 1；

3. 1/2；

4.dy y x x dx y y )/()/1(2-++；

5. 2/3 ；

6. 1 ；

7.

3

36 ； 8. 8 ； 9. 1/2 ； 10. 0.

三、计算题（每题5分，共40分）

1.解：因为

2

1(2)

n n +2

2

2

111

(1)

(2)n

n n <

+

++

<+

21

n n + 且 2

1

l i m 0(2)

n n n →∞+=，2

1lim

n n n

→∞

+=0

由迫敛性定理知： ))

2(1

)

1(11(

lim 2

2

2

n n n

n +

+++

∞

→ =0

2.解：先求对数)10ln(10)2ln(2)1ln(ln +++++=x x x y

10

102

21

11++

+++

+=

'∴x x x y y

)(10()1(++='∴x x y )10

102

2

1

1++

+++

+x x x

3.解：原式=?-x d x

112

=?

-x d x 2

)

(112

=2c x +arcsin

4.解：原式=dx x x ?

π

2

3

cos

sin

=?-

20

2

3sin

cos π

xdx x ?π

π2

2

3sin

cos xdx x

=?-

20

2

3sin sin

πx xd ?π

π2

2

3sin sin

x xd

=202

5][sin

5

2

π

x π

π2

2

5

][sin

5

2x -

=4/5

5.解： 02832

=--='y x x f x 022=-='y x f y

故 ???==00y x 或?

??==22

y x

当 ???==0

y x 时8)0,0(-=''xx

f ，2)0,0(-=''yy f ，2)0,0(=''xy f 02

)2()8(2

>--?-=? 且A=08<-

∴ （0，0）为极大值点 且0)0,0(=f

当 ???==2

2

y x 时4)2,2(=''xx

f ， 2)2,2(-=''yy f ，2)2,2(=''xy f 02)2(42

<--?=? ∴无法判断

6.解：D={}

y x y y y x ≤≤≤≤2,10),(

?

?

??

=

∴

1

2

sin sin y y

D

dx y

y dy dxdy y

y =dy x y

y y

y 2][sin 1

?

=dy y y y )sin (sin 1

?-

=?

+

-1

10

cos ]cos [y yd y

=?

-+-1

10

cos ]cos [1cos 1ydy y y

=1sin 1- 7.解：令xy u =，x

y v =

；则21≤≤u ，31≤

≤v

v v

u u

v v v u

uv

y y x x J v

u

v u 212221

=-

=

=

∴ 3ln 212

1

3

1

==

=

??

?

?

D

dv v

du d A σ

8.解：令 u y =2，知x u u 42)(-='

由微分公式知：)4(222c dx xe e y u dx

dx +?-?==?-

)4(22c dx xe e

x

x

+-=?-

)2(222c e xe

e

x

x

x

++=--

四.证明题（每题10分，共20分）

1.解：设 2

1a r c s i n a r c t a n )(x x x

x f +-=

2

2

2

2

2

22

111111

11)(x

x x

x

x

x

x

x f ++-

+?

+-

-

+=

' =0

c x f =∴)( +∞<<∞-x

令0=x 0000)0(=∴=-=c f 即：原式成立。

2.解： ],[)(b a x F 在 上连续 且 dt t f a F a

b

?

=

)

(1)(<0,dt t f b F b

a

?

=

)()(>0

故方程0)(=x F 在),(b a 上至少有一个实根.

又 )

(1)()(x f x f x F +

=' 0)(>x f

2)(≥'∴x F

即 )(x F 在区间],[b a 上单调递增

∴)(x F 在区间),(b a 上有且仅有一个实根.

《高等数学》

专业 学号 姓名

一、判断题（对的打√，错的打×；每题2分，共10分）

1.)(x f 在点0x 处有定义是)(x f 在点0x 处连续的必要条件.

2. 若)(x f y =在点0x 不可导，则曲线)(x f y =在))(,(00x f x 处一定没有切线.

3. 若)(x f 在],[b a 上可积，)(x g 在],[b a 上不可积，则)()(x g x f +在],[b a 上必不可积.

4. 方程0=xyz 和02

2

2

=++z y x 在空间直角坐标系中分别表示三个坐标轴和一个点. 5. 设*

y 是一阶线性非齐次微分方程的一个特解，y 是其所对应的齐次方程的通解，则

*y y y +=为一阶线性微分方程的通解.

二、填空题（每题2分，共20分）

1. 设,5)(,

12)3(=+=a f x x f 则=a .

2. 设x

x x f 3arcsin )21ln()(+=

，当=)0(f 时，)(x f 在点0=x 连续.

3. 设xt t t

x x f 2)11(lim )(+=∞

→，则)(x f '' .

4.

已知

)

(x f 在a x =处可导，且A a f =')(，则

=--+→h

h a f h a f h )

3()2(lim

.

5. 若2

)]([cos )(2x f dx

d x x f =，并且1)0(=f ，则)(x f .

6. 若)(),

(x g x f 在点b 左连续，且)()(),

()(x g x f b g b f '>'= )(b x a <<，

则)(x f 与)(x g 大小比较为)(x f ).(x g

7. 若2sin x y =，则=)

(2

x d dy ；

=dx

dy .

8. 设?=x

x tdt x f 2

ln )(，则=')2

1(f . 9. 设y

x e

z 2

=，则=)

1,1(dz

.

10. 累次积分dy y x f dx x R R

)(2

20

2

2

-?

?-化为极坐标下的累次积分为 .

三、计算题（前6题每题5分，后两题每题6分，共42分）

1. ?

?

+→x x t x dt

t

t dt t 0

sin 0

1

sin )1(lim

; 2. 设1

ln

22-=x

x

e

e y ，求y '; 3.

dx x

x x ?

+-2sin 1cos sin ;

4.

?

-20

2

2

4dx x x ; 5. 设2

2

y

x x z +=

, 求

y

x z y

z ?????2

,

.

6. 求由方程)ln()(2y x y x x y --=-所确定的函数)(x y y =的微分dy .

7. 设平面区域D 是由x y x y ==

,

围成，计算dxdy y

y D

??

sin .

8. 求方程0)ln (ln =-+dy y x ydx y 在初始条件e y

x ==1

下的特解.

四、（7分）

已知bx ax x x f ++=2

3)(在1=x 处有极值2-，试确定系数a 、b ，并求出所有的极

大值与极小值.

五、应用题（每题7分，共14分）

1. 一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比. 已知当速度为)/(10h km 时，燃料费为每小时6元，而其它与速度无关的费用为每小时96元. 问轮船的速度为多少时, 每航行km 1所消耗的费用最小？

2. 过点)0,1(向曲线2-=x y 作切线，求：

（1）切线与曲线所围成图形的面积；（2）图形绕y

轴旋转所得旋转体的体积.

六、证明题（7分）

设函数)(x f 在a x <≤0上的二阶导数存在，且0)0(=f , 0)(>''x f . 证明

x

x f x g )()(=

在a x <<0上单调增加.

高等数学参考答案

一、判断题 1.√； 2.×； 3.√ ； 4.× ； 5.√.

二、填空题

1. 36 ；

2.

3

2 ； 3. x

e

x 2)1(4+ ； 4. A 5 ； 5. x sin 1+； 6.<；

7.

2

2

cos 2,

cos x x x ； 8. 2

ln ； 9. dy dx +2 ；

10.?

?

200

)2cos (π

θθR rdr r f d .

三、计算题

1. 原式x

x x

x x

x sin cos )sin 1(lim

sin

1

+=→

e e ==

1

2.2

222222222)

1(2)1(21

2

111-?--?

-?-=

'x

x

x

x

x

x x

x x

e e

e

e

e

e

e

e

e

y

2

2222)

1(221

--?

-=

x

x

x

x

e

e e

e

x

e

211-=

3．原式=dx x x x x ?

+-2

)

cos (sin cos sin

)cos (sin )cos (sin 1

2

x x d x x ++-=?

C x

x ++=

cos sin 1

4．设 t x sin 2= 则tdt dx cos 2=

原式=?

??20

2

cos 2cos 2sin

4π

tdt t t

??=20

2

2

cos sin 16π

tdt t

?

?

-==20

20

2

)4cos 1(22sin 4π

π

dt t tdt

ππ

=-

=20)4sin 4

1(2t t

5．

2

3

2

2

2

2

2

2

)(22y x

xy

y

x

y

x

y x y

z +-

=++?

-=

??

3

22

21

2

2

23

2

2

2

)

(2)(23

)(y x

x

y x

xy y x y y

x z +?+?

-+-

=???

3

2

2

2

232)

()2(y x y

x y y x ++-=

6．两边同时微分得：

)(1)

()ln()(2dy dx y

x y x y x dy dx dx dy ---+--=-

即 )()ln()ln(2dy dx dy y x dx y x dx dy -+---=- 故 dx y x y x dy )

ln(3)ln(2-+-+=

（本题求出导数后，用dx y dy '=解出结果也可）

7．?

?

??

=

10

2

sin sin y y

D

dx y

y dy dxdy y

y

?

-=

10

)sin (sin dy y y y

?

-

+-=10

10

10

cos cos cos ydy y y y

1

0sin 1cos 1cos 1y -+-= 1sin 1-=

8．原方程可化为

y

x y

y dy

dx 1ln 1=

+

通解为 ]1[ln 1

ln 1

C dy y

e

e

x dy

y y dy

y y +?

??=?-

]1[ln ln ln ln C dy y

e e

y

y

+?

=?-

]ln 1[ln 1C ydy y

y +=

?

]

)(ln 2

1

[ln 12

C y y +=

y

C y ln ln 2

1+=

e y

x ==1

代入通解得 1=C

故所求特解为： 01ln 2)(ln 2=+-y x y

四、解： b ax x x f ++='23)(2

因为)(x f 在1=x 处有极值2-，所以1=x 必为驻点 故 023)1(=++='b a f 又 21)1(-=++=b a f 解得： 3,

0-==b a

于是 x x x f 3)(3-= )1(3)(2-='x x f x x f 6)(-='' 由0)(='x f 得 1±=x ，从而

6)1(>

=''f ， 在1=x 处有极小值2)1(-=f

06)1(<-=-''f ，在1-=x 处有极大值2)1(=-f

五、1.解：设船速为)/(h km x ，依题意每航行km 1的耗费为

)96(13

+=

kx x

y

又10=x 时，6103=?k 故得006.0=k ， 所以有

)96006.0(13

+=x x

y ，),0(∞+∈x

令 0)8000(012.03

2

=-='x x

y ， 得驻点20=x

由极值第一充分条件检验得20=x 是极小值点.由于在),0(∞+上该函数处处可导，且只有唯一的极值点，当它为极小值点时必为最小值点，所以求得船速为)/(20h km 时，每航行km 1的耗费最少，其值为2.720

9620006.02

min =+

?=y （元）

2.解：（1）设切线与抛物线交点为),(00y x ，则切线的斜率为

1

00-x y ，

又因为22

-=x y 上的切线斜率满足12='?y y ，在),(00y x 上即有120='y y

所以11

2000=-?

x y y ，即1200

-='x y 又因为),(00y x 满足202

0-=x y ，解方程组

?????-=-=2

1

202

0020x y x y 得 ???==1300y x

所以切线方程为 )1(2

1-=

x y

则所围成图形的面积为： 6

1)]12(2[10

2

=

+-+=

?

dy y y S

（2）图形绕x 轴旋转所得旋转体的体积为：

6

)2()1(4

13

2

1

2

π

ππ

=

---=?

?

dx x dx x V

六、证： 2

2

)]

0()([)()

()(])([

x

f x f x f x x

x f x f x x

x f --'=

-'=

'

在],0[x 上，对)(x f 应用拉格朗日中值定理，则存在一点),0(x ∈ξ，使得 )()0()(ξf x f x f '=-

代入上式得 2

)

()(])([

x

f x f x x

x f ξ-'=

'

由假设0)(>''x f 知)(x f '为增函数，又ξ>x ，则)()(ξf x f '>', 于是0)()(>'-'ξf x f ,从而0])([

>'x

x f ，故

x

x f )(在),0(a 内单调增加.

《高等数学》试卷

专业 学号 姓名

一、填空题（每小题1分，共10分）

1．函数22

1arcsin 11y x x

=-+

-的定义域为_______________。

2．函数x y x e =+ 上点（ ０，１ ）处的切线方程是______________。 3．设()f x 在0x 可导且0()f x A '=，则000

(2)(3)

lim

h f x h f x h h

→+--＝ _______。

4．设曲线过(0,1)，且其上任意点(,)x y 的切线斜率为2x ，则该曲线的方程是_________。 5．4

1x dx x

-?

＝_____________。 ６．1lim sin

x x x

→∞

＝___________。

7．设(,)sin f x y xy =，则(,)x f x y ＝____________。 8．累次积分2

2

22

00

()R

R x dx f x y dy -+??

化为极坐标下的累次积分为________。

9．微分方程3

2

2

323()0d y

d y dx x dx

+=的阶数为____________。

10．设级数 1

n n a ∞

=∑发散，则级数

1000

n n a ∞

=∑

_______________。

二、单项选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确的答案，将其码写在题干的（ ）内，（1～10每小题1分，11～17每小题2分，共24分）

1．设函数 1(),()1f x g x x x

==-，则(())f g x ＝ （ ）

①11x

-

②11x

+

③

11x

- ④ｘ

2．0x → 时，1sin 1x x

+ 是 （ ）

①无穷大量 ②无穷小量 ③有界变量 ④无界变量

3．下列说法正确的是 （ ） ①若()f x 在 0x x =连续， 则()f x 在0x x =可导

②若()f x 在0x x =不可导，则()f x 在0x x =不连续 ③若()f x 在 0x x =不可微，则()f x 在0x x =极限不存在 ④若()f x 在 0x x =不连续，则()f x 在0x x =不可导

4．若在(,)a b 内恒有()0,()0f x f x '''<>，则在(,)a b 内曲线弧()y f x =为 （ ）. ①上升的凸弧 ②下降的凸弧 ③上升的凹弧 ④下降的凹弧

5．设()()F x G x ''=，则 （ ） ①()()F x G x + 为常数 ②()()F x G x -为常数 ③()()0F x G x -= ④

()()d

d

F x dx

G x dx dx

dx

=

??ｘ 6．11

x dx -?

＝ （ ）

① ０ ② １ ③ ２ ④ ３

7．方程231x y ==在空间表示的图形是 （ ） ①平行于xOy 面的平面 ②平行于O z 轴的平面 ③过O z 轴的平面 ④直线

8．设332

(,)f x y x y x y =++，则(,)f tx ty = （ ）

①(,)tf x y ②2(,)t f x y ③3

(,)t f x y ④

2

1(,)f x y t

9．设0n a ≥，且1lim

n n n

a a →∞

+ ＝ｐ，则级数 1

n n a ∞

=∑ （ ）

①在1p >时收敛，1p <时发散 ②在1P ≥时收敛，1p <时发散 ③在1p ≤时收敛，1p >时发散 ④在1p <时收敛，1p >时发散

10．方程2

36y xy x y '+=是 （ ） ①一阶线性非齐次微分方程 ②齐次微分方程

③可分离变量的微分方程 ④二阶微分方程

11．下列函数中为偶函数的是 （ ） ①x y e = ②31y x =+ ③3cos y x x = ④ln y x =

12．设()f x 在(,)a b 可导，12a x x b <<<，则至少有一点(,)a b ξ∈使 （ ） ①()()()()f b f a f b a ξ'-=- ②21()()()()f b f a f x x ξ'-=-

③21()()()()f x f x f b a ξ'-=- ④2121()()()()f x f x f x x ξ'-=- 13．设()f x 在 0x x = 的左右导数存在且相等是()f x 在0x x = 可导的 （ ） ①充分必要的条件 ②必要非充分的条件 ③必要且充分的条件 ④既非必要又非充分的条件

14．设2

2()cos [()]d f x x f x dx

=

，则(0)1f =，则()f x = （ ）

①cos x ②2cos x - ③1sin x + ④1sin x -

15．过点（１，２）且切线斜率为 34x 的曲线方程为ｙ＝ （ ） ①ｘ4 ②ｘ4＋ｃ ③ｘ4＋１ ④3

4x

16．设幂级数 0

n

n n a x ∞

=∑在0x （00x ≠）收敛， 则 0

n n n a x ∞

=∑ 在0x x < （ ）

①绝对收敛 ②条件收敛 ③发散 ④收敛性与n a 有关 17．设Ｄ域由2

,y x y x ==所围成，则 sin D

x d x

σ=??

（ ）

①110

sin x

x dx dy x

??

； ②1

0sin y y

x dy dx x

??

；

③1

sin x

x

x dx dy x

??

； ④1

sin x x

x dy dx x

??

.

三、计算题（1～3每小题5分，4～9每小题6分，共51分）

１．设1(3)

x y x x -=

+ 求 y ' .

２．求 2

4

3

sin(916)

lim

34

x x x →-- .

３．计算 2

(1)

x

dx e +?.

４．设10

(cos )arctan ,(sin )arctan t t

x u udu y u udu ==

?

?

，求

d y d x

.

５．求过点 Ａ（２，１，－１），Ｂ（１，１，２）的直线方程.

６．设 sin x y z

u e ++=，求 ｄｕ .

７．计算sin 0

sin x a r drd θθθ??

.

８．求微分方程 2

1()1

y dy dx x +=+的 通解 .

９．将 3()(1)(2)

f x x x =

-+ 展成的幂级数.

四、应用和证明题（共15分）

１．（８分）设一质量为ｍ的物体从高空自由落下，空气阻力正比于速度 （ 比例常数为0k > ）求速度与时间的关系。

２．（７分）借助于函数的单调性证明：当x >1时，123x x

>-

。

高等数学参考答案

一、填空题（每小题1分，共10分）

１．（－１，１） ２．２ｘ－ｙ＋１＝０ ３．５Ａ ４．ｙ＝ｘ2＋１ ５．

2

1arctan 2

x c + ６．１ ７．ｙｃｏｓ（ｘｙ）

８．2

200

()d f r rdr π

π

θ

??

９．三阶 １０．发散

二、单项选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确的答案，将其码写在题干的

（ ）内，1～10每小题1分，11～17每小题2分，共24分）

1．③ 2．③ 3．④ 4．④ 5．② 6．② 7．② 8．⑤ 9．④ 10．③ 11．④ 12．④ 13．⑤ 14．③ 15．③ 16．① 17．②

三、计算题（1～3每小题5分，4～9每小题6分，共51分）

１．解： 1ln [ln(1)ln ln(3)]2

y x x x =

---+

11

1

11(

)21

3

y y x x

x '=

-

-

-+

11

1

11(

)2

(3)1

3

x y x x x x

x -'=

-

-

+-+

２．解： 原式＝ 2

4

3

18cos(916)

lim

3

x x x →-

＝2

4418()cos(9()16)

333

-＝８

３．解： 原式＝2

(1)(1)

x x

x

e e dx e +-+?

＝(1)

x

dx e +?-2

(1)(1)

x

x d e e ++?

＝(1)1x x

x

e e dx

e

+-+?

11x

e

++

＝1ln(1)1x

x

x e c e

-++

++

４．解：因为(cos ),(sin )dx t arctgtdt dy t arctgtdt ==-

(sin )(s )dy t arctgtdt tgt dx

co t arctgtdt

-=

=-

５．解：所求直线的方向数为｛１，０，－３｝ 所求直线方程为

1121

3

x y z ---=

=

-

６．解： sin (sin )x y z

du e

d x y z +

+=++ sin 1(s )2

x y z

e

dx dy co zdz y

++=+

+

７．解：原积分＝sin 2

3

1sin sin 2

a d rdr a

d π

θπθθ

θθ

=??

?

＝2

3

2

20

2sin 3

a

d a π

θθ=

?

８．解：两边同除以 2

(1)y + 得 2

2

(1)

(1)

dy dx y x =

++

两边积分得 2

2

(1)(1)

dy dx

y x =++?

?

亦即所求通解为

11

1

1

c x y -

=++

９．解：分解，得 ()f x ＝

11

12x

x

+

-+

=

11112

12

x x

+

-+

＝00

1

(1)2

2

n n

n

n

n n x x ∞

∞

==+

-∑∑ （ 1x <且

12

x < ）

＝1

1[1(1)]2

n

n

n n x ∞

-=+-∑ （ 1x <） 四、应用和证明题（共１５分）

１．解：设速度为ｕ，则ｕ满足du m m g ku dt

=

=-

解方程得1()kt

u m g ce k -=

-

由ｕ│t=0＝０定出ｃ，得(1)kt

m g u e

k

-=

-

２．证：令()f x 123x x

=+- 则()f x 在区间［１，＋∞］连续

而且当1x >时，2

11()0(1)f x x x

x

'=

-

>>

因此()f x 在［１，＋∞］单调增加 从而当1x >时，()f x (1)f >＝０ 即当1x >时， 123x x

>-

《高等数学》

专业 学号 姓名

一、判断正误（每题2分，共20分）

1. 两个无穷大量之和必定是无穷大量.

2. 初等函数在其定义域内必定为连续函数.

3. ()x f y =在点0x 连续，则()x f y =在点0x 必定可导.

4. 若O x 点为()x f y =的极值点，则必有()0x f '0=.

5. 初等函数在其定义域区间内必定存在原函数.

6. 方程122=+y x 表示一个圆.

7. 若()y x f z ,=在点()000

,y x M

可微，则()y x f z ,=在点()000

,y x M

连续.

8. ()x e x y --='22

是二阶微分方程. 9.

?

-=x

x tdt dx

d 1

1sin sin sin .

10. 若()x f y =为连续函数，则()dt t f x

a

?必定可导.

二、填空题（每题4分，共20分）

1.

___________sin

1=+?x

dx

.

2. _______2sin lim

=∞

→x

x x .

3. 设()1='x f ，且()10=f ，则()___________

=?dx x f .

4. 2

xy z =，则___________

=dz . 5.

____________

sin 2

=?

b

a

x

dx

d .

三、计算题与证明题（共计60分）

1.()n

n n n ??

?

??+-+∞→12lim 1，

（5分）； ()??

?

??--

→11

1lim 20

x

x e x

，（5分）。 2. 求函数()()

x

x

x x y sin cos cos sin +=的导数。（10分）

高等数学求极限的常用方法附例题和详解

高等数学求极限的14种方法 一、极限的定义 1.极限的保号性很重要：设 A x f x x =→)(lim 0 ， （i ）若A 0>，则有0>δ，使得当δ<-<||00x x 时，0)(>x f ； （ii ）若有,0>δ使得当δ<-<||00x x 时，0A ,0)(≥≥则x f 。 2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为∞→x 时函数的极限和 0x x →的极限。要特别注意判定极限是否存在在： （i ）数列{}的充要条件收敛于a n x 是它的所有子数列均收敛于a 。常用的是其推 论，即“一个数列收敛于a 的充要条件是其奇子列和偶子列都收敛于a ” （ii ） A x x f x A x f x =+∞ →= -∞ →? =∞ →lim lim lim )()( (iii)A x x x x A x f x x =→=→?=→+ - lim lim lim 0 )( (iv)单调有界准则 （v ）两边夹挤准则（夹逼定理/夹逼原理） （vi ）柯西收敛准则（不需要掌握）。极限)(lim 0 x f x x →存在的充分必要条件是： εδεδ<-∈>?>?|)()(|)(,0,021021x f x f x U x x o 时，恒有、使得当 二．解决极限的方法如下： 1.等价无穷小代换。只能在乘除．． 时候使用。例题略。 2.洛必达（L ’hospital ）法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法） 它的使用有严格的使用前提。首先必须是X 趋近，而不是N 趋近，所以面对数列极限时候先要转化成求x 趋近情况下的极限，数列极限的n 当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷。其次,必须是函数的导数要存在，假如告诉f

高等数学专科复习题及答案

高等数学期末试卷 一、填空题（每题2分，共30分） 1．函数1 1 42-+ -= x x y 的定义域是 . 解. ),2[]2,(∞+--∞Y 。 2．若函数52)1(2 -+=+x x x f ，则=)(x f ． 解. 62 -x 3．________________sin lim =-∞→x x x x 答案：1 正确解法：101sin lim 1lim )sin 1(lim sin lim =-=-=-=-∞→∞→∞→∞→x x x x x x x x x x x 4.已知22 lim 2 22=--++→x x b ax x x ，则=a _____, =b _____。 由所给极限存在知, 024=++b a , 得42--=a b , 又由23 4 12lim 2lim 22 22=+=+++=--++→→a x a x x x b ax x x x , 知8,2-==b a 5.已知∞=---→) 1)((lim 0x a x b e x x ，则=a _____, =b _____。 ∞=---→)1)((lim 0x a x b e x x Θ, 即01)1)((lim 0=-=---→b a b e x a x x x , 1,0≠=∴b a 6．函数????? ≥+<=0 1 01sin )(x x x x x x f 的间断点是x = 。 解：由)(x f 是分段函数，0=x 是)(x f 的分段点，考虑函数在0=x 处的连续性。 因为 1)0(1)1(lim 01 sin lim 00 ==+=+-→→f x x x x x 所以函数)(x f 在0=x 处是间断的， 又)(x f 在)0,(-∞和),0(+∞都是连续的，故函数)(x f 的间断点是0=x 。 7. 设()()()n x x x x y -??--=Λ21, 则() =+1n y (1)!n + 8．2 )(x x f =，则__________)1)((=+'x f f 。

高等数学考试题库(附答案)

《高数》试卷1（上） 一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）. 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ( )g x =（C ）()f x x = 和 ( )2 g x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 2．函数( )()2 0ln 10x f x x a x ≠? =+?? =? 在0x =处连续，则a =（ ）. （A ）0 （B ）1 4 （C ）1 （D ）2 3．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（ ）. （A ）1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D ）y x = 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ）. （A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微 5．点0x =是函数4y x =的（ ）. （A ）驻点但非极值点 （B ）拐点 （C ）驻点且是拐点 （D ）驻点且是极值点 6．曲线1 || y x = 的渐近线情况是（ ）. （A ）只有水平渐近线 （B ）只有垂直渐近线 （C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线 （D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 7．211 f dx x x ??' ????的结果是（ ）. （A ）1f C x ??-+ ??? （B ）1f C x ??--+ ??? （C ）1f C x ??+ ??? （D ）1f C x ?? -+ ??? 8．x x dx e e -+? 的结果是（ ）. （A ）arctan x e C + （B ）arctan x e C -+ （C ）x x e e C --+ （D ）ln()x x e e C -++ 9．下列定积分为零的是（ ）. （A ）4 24arctan 1x dx x π π-+? （B ）44 arcsin x x dx ππ-? （C ）112x x e e dx --+? （D ）()121sin x x x dx -+? 10．设() f x 为连续函数，则()1 02f x dx '?等于（ ）. （A ）()()20f f - （B ）()()1 1102f f -????（C ）()()1202 f f -????（D ）()()10f f - 二．填空题（每题4分，共20分） 1．设函数()21 0x e x f x x a x -?-≠?=??=? 在0x =处连续，则a =.

高等数学下册典型例题精选集合.doc

最新高等数学下册典型例题精选集合 第八章 多元函数及其微分法 最大者泄义域,并在平面上画出泄义域的图形。 A - 77 Z[ = J4x_），的定义域是y 2 < 4x z 2二丿 的定义域是 从而z = :）-的定义域是Z]=』4x-护 与z? = / 1 定义域 的公共部分，即 V4x >y>0 x 2 > y>0 例 2 设 z 二 x+y + /(x 一 y),当 y = 0吋 z = ,求 z. 解：代入y = 0时Z = F,得〒=兀+ /（兀），即/（兀）=亍一匕 所以 z = (x- y)2 +2y. 2 2 例3求lim —— >4o J ，+)" +1 _ [ lim(Jx 2 + y 2 +1 +1) = 2 XT O V 尸0 例1求函数z 解：此函数可以看成两个函数Z 严』4x-y2与Z2 =的乘积。 兀-">0,即兀2 >y >0o y>0 lim (* + )(J 兀2 + y2 + ] 4- 1) 解: XT O 原式=厂0 (J 对 + )厂 +1 -1)( J 兀~ + + ] + 1)

法2化为一元函数的极限计算。令衣+八］=(,则当 x —0, y —?0 吋，t ―> 1 o 『2 _1 原式=lim --------- = lim(r +1) = 2。 t —I / — ] i ―I 例 4 求 lim r 兀+厂 ，T() 丿 解:法1用夹逼准则。因为2 | xy \< x 2 2 + y 2,所以 2 9 0<

而lim凶=0,从而lim| |=0 XT O 2 XT O厂 + \厂 〉?T O 〉?T O兀十〉 于是lim「1=0 牙-叮兀.+ y 尸0 丿 法2利用无穷小与有界函数的乘积 是无穷小的性质。 因为2|xy|< x2 + y2所以—^― Q +y =lim( AT O 〉?T O 尢y ?x) = 0 例5研究lim^- :护+y 解：取路径y二二一x + kxSke R± ,则lim 小 = [由k是任意非零 F *+y k yTO 丿 的常数，表明原极限不存在。a, 又limx = 0 XT O 〉T() 所以

高数习题集(附答案)

第一章 函数与极限 §1 函数 必作习题 P16－18 4 (5) (6) (8)，6，8，9，11，16，17 必交习题 一、一列火车以初速度0v ，等加速度a 出站，当速度达到1v 后，火车按等速运动前进；从 出站经过T 时间后，又以等减速度a 2进站，直至停止。 (1) 写出火车速度v 与时间t 的函数关系式； (2) 作出函数)(t v v =的图形。 二、 证明函数1 2+= x x y 在),(+∞-∞内是有界的。

三、判断下列函数的奇偶性： (1)x x x f 1sin )(2= ； (2)1 212)(+-=x x x f ； (3))1ln()(2++=x x x f 。 四、 证明：若)(x f 为奇函数，且在0=x 有定义，则0)0(=f 。

§2 初等函数 必作习题 P31－33 1，8，9，10，16，17 必交习题 一、 设)(x f 的定义域是]1,0[，求下列函数的定义域： (1))(x e f ； (2))(ln x f ； (3))(arcsin x f ； (4))(cos x f 。 二、(1)设)1ln()(2x x x f +=，求)(x e f -； (2)设23)1(2+-=+x x x f ，求)(x f ； (3)设x x f -= 11)(，求)]([x f f ，})(1{x f f 。)1,0(≠≠x x

三、设)(x f 是x 的二次函数，且1)0(=f ，x x f x f 2)()1(=-+，求)(x f 。 四、设???>+≤-=0, 20, 2)(x x x x x f ，???>-≤=0, 0,)(2x x x x x g ，求)]([x g f 。

高等数学试题及答案91398

《高等数学》 一.选择题 1. 当0→x 时，)1ln(x y +=与下列那个函数不是等价的 （ ） A)、x y = B)、x y sin = C)、x y cos 1-= D)、1-=x e y 2. 函数f(x)在点x 0极限存在是函数在该点连续的（ ） A )、必要条件 B )、充分条件 C )、充要条件 D )、无关条件 3. 下列各组函数中，)(x f 和)(x g 不是同一函数的原函数的有（ ）. A)、()()() 222 1 ,21)(x x x x e e x g e e x f ---=-= B) 、(( )) ()ln ,ln f x x g x x ==- C)、()()x x g x x f --=-=1arcsin 23,12arcsin )( D)、()2 tan ,sec csc )(x x g x x x f =+= 4. 下列各式正确的是（ ） A ）、2ln 2x x x dx C =+? B ）、sin cos tdt t C =-+? C ）、 2arctan 1dx dx x x =+? D ）、2 11 ()dx C x x -=-+? 5. 下列等式不正确的是（ ）. A ）、()()x f dx x f dx d b a =??????? B ）、()()()[]()x b x b f dt x f dx d x b a '=??????? C ）、()()x f dx x f dx d x a =??????? D ）、()()x F dt t F dx d x a '=???? ??'? 6. ln(1)lim x x t dt x →+=?（ ） A ）、0 B ）、1 C ）、2 D ）、4 7. 设bx x f sin )(=，则=''?dx x f x )(（ ） A ）、 C bx bx b x +-sin cos B ） 、C bx bx b x +-cos cos C ）、C bx bx bx +-sin cos D ）、C bx b bx bx +-cos sin

高等数学练习题附答案

第一章 自测题 一、填空题（每小题3分，共18分） 1. () 3 lim sin tan ln 12x x x x →=-+ . 2. 1 x →= . 3.已知212lim 31 x x ax b x →-++=+，其中为b a ,常数，则a = ，b = . 4. 若()2sin 2e 1 ,0 ,0ax x x f x x a x ?+-≠?=? ?=? 在()+∞∞-,上连续，则a = . 5. 曲线2 1 ()43 x f x x x -= -+的水平渐近线是 ，铅直渐近线是 . 6. 曲线() 121e x y x =-的斜渐近线方程为 . 二、单项选择题（每小题3分，共18分） 1. “对任意给定的()1,0∈ε，总存在整数N ，当N n ≥时，恒有ε2≤-a x n ” 是数列{}n x 收敛于a 的 . A. 充分条件但非必要条件 B. 必要条件但非充分条件 C. 充分必要条件 D. 既非充分也非必要条件

2. 设()2,0 2,0x x g x x x -≤?=?+>?，()2,0 , x x f x x x ?<=? -≥?则()g f x =???? . A. 22,02,0x x x x ?+

高等数学练习题(附答案)

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------《高等数学》 专业 年级 学号 姓名 一、判断题. 将√或×填入相应的括号内.（每题2分，共20分） （ ）1. 收敛的数列必有界. （ ）2. 无穷大量与有界量之积是无穷大量. （ ）3. 闭区间上的间断函数必无界. （ ）4. 单调函数的导函数也是单调函数. （ ）5. 若)(x f 在0x 点可导，则)(x f 也在0x 点可导. （ ）6. 若连续函数)(x f y =在0x 点不可导，则曲线)(x f y =在))(,(00x f x 点没有切线. （ ）7. 若)(x f 在[b a ,]上可积，则)(x f 在[b a ,]上连续. （ ）8. 若),(y x f z =在（00,y x ）处的两个一阶偏导数存在，则函数),(y x f z =在（00,y x ）处可微. （ ）9. 微分方程的含有任意常数的解是该微分方程的通解. （ ）10. 设偶函数)(x f 在区间)1,1(-内具有二阶导数，且 1)0()0(+'=''f f , 则 )0(f 为)(x f 的一个极小值. 二、填空题.（每题2分，共20分） 1. 设2 )1(x x f =-，则=+)1(x f . 2. 若1 212)(11+-= x x x f ，则=+→0 lim x . 3. 设单调可微函数)(x f 的反函数为)(x g , 6)3(,2)1(,3)1(=''='=f f f 则

大一高等数学试题及答案

期末总复习题 一、填空题 1、已知向量2a i j k =+-r r r r ，2b i j k =-+r r r r ，则a b ?r r = -1 。 2、曲线2x z =绕z 轴旋转所得曲面方程为 z=x 2 + y 2 。 3、级数1113n n n ∞=?? + ???∑的敛散性为 发散 。 4、设L 是上半圆周222a y x =+（0≥y ），则曲线积分221L ds x y +?= a π 5．交换二重积分的积分次序：??--012 1),(y dx y x f dy ＝dy y x dx ),(f 0x -121?? 6．级数∑∞=+1)1(1 n n n 的和为 1 。 二、选择题 1、平面0)1(3)1(=+++-z y x 和平面02)1()2(=+--+z y x 的关系 （ B ） A 、重合 B 、平行但不重合 C 、一般斜交 D 、垂直 2. 下列曲面中为母线平行于z 轴的柱面的是 （ C ） A 、2221x z += B 、2221y z += C 、2221x y += D 、22221x y z ++= 3. 设)0(4:22>≤+y y x D ,则32222ln(1) 1D x x y dxdy x y ++=++??（ A ）

A 、2π B 、0 C 、1 D 、4π 4、设)0(4:22>≤+y y x D ，则??=D dxdy （ A ） A 、π16 B 、π4 C 、π8 D 、π2 5、函数22504z x y =--在点（1，-2）处取得最大方向导数的方向是 （ A ） A 、216i j -+ B 、216i j -- C 、216i j + D 、216i j - 6、微分方程222()()0y y y '''+-=的阶数为 （ B ） A 、1 B 、2 C 、4 D 、6 7．下列表达式中，微分方程430y y y ''-+=的通解为 （ D ） A 、3x x y e e C =++ B 、3x x y e Ce =+ C 、3x x y Ce e =+ D 、312x x y C e C e =+ 8．lim 0n n u →∞=为无穷级数1 n n u ∞=∑收敛的 （ B ） A 、充要条件 B 、 必要条件 C 、充分条件 D 、什么也不是 三、已知1=a ?，3=b ?，b a ??⊥，求b a ??+与b a ? ?-的夹角.P7

高等数学练习题库及答案

高等数学练习题库及答 案 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】

《高等数学》练习测试题库及答案 一．选择题 1.函数y= 1 1 2 +x 是（ ） A.偶函数 B.奇函数 C 单调函数 D 无界函数 2.设f(sin 2 x )=cosx+1,则f(x)为（ ） A 2x 2－2 B 2－2x 2 C 1＋x 2 D 1－x 2 3．下列数列为单调递增数列的有（ ） A ． ，，， B ． 23 ，32，45，54 C ．{f(n)},其中f(n)=?????-+为偶数，为奇数n n n n n n 1,1 D. {n n 21 2+} 4.数列有界是数列收敛的（ ） A ．充分条件 B. 必要条件 C.充要条件 D 既非充分也非必要 5．下列命题正确的是（ ） A ．发散数列必无界 B ．两无界数列之和必无界 C ．两发散数列之和必发散 D ．两收敛数列之和必收敛 6．=--→1 ) 1sin(lim 21x x x （ ） .0 C 2 7．设=+∞→x x x k )1(lim e 6 则k=( ) .2 C 6 8.当x →1时，下列与无穷小（x-1）等价的无穷小是（ ） 2 B. x 3-1 C.(x-1)2 (x-1) (x)在点x=x 0处有定义是f(x)在x=x 0处连续的（ ）

A.必要条件 B.充分条件 C.充分必要条件 D.无关条件 10、当|x|<1时，y= （） A、是连续的 B、无界函数 C、有最大值与最小值 D、无最小值 11、设函数f（x）=（1-x）cotx要使f（x）在点：x=0连续，则应补充定义f（0）为（） A、B、e C、-e D、-e-1 12、下列有跳跃间断点x=0的函数为（） A、 xarctan1/x B、arctan1/x C、tan1/x D、cos1/x 13、设f(x)在点x 0连续，g(x)在点x 不连续，则下列结论成立是（） A、f(x)+g(x)在点x 必不连续 B、f(x)×g(x)在点x 必不连续须有 C、复合函数f[g(x)]在点x 必不连续 D、在点x0必不连续 f(x)= 在区间(- ∞,+ ∞)上连续，且f(x)=0，则a,b 14、设 满足（） A、a＞0,b＞0 B、a＞0,b＜0 C、a＜0,b＞0 D、a＜0,b＜0 15、若函数f(x)在点x 0连续，则下列复合函数在x 也连续的有（） A、 B、

高数典型例题解析

第一章函数及其图形 例1：（）. A. {x | x>3} B. {x | x<-2} C. {x |-2< x ≤1} D. {x | x≤1} 注意，单选题的解答，有其技巧和方法，可参考本课件“应试指南”中的文章《高等数学（一）单项选择题的解题策略与技巧》，这里为说明解题相关的知识点，都采用直接法。 例2：函数的定义域为（）. 解：由于对数函数lnx的定义域为x>0，同时由分母不能为零知lnx≠0，即x≠1。由根式内要非负可知即要有x>0、x≠1与同时成立，从而其定义域为，即应选C。 例3：下列各组函数中，表示相同函数的是（） 解：A中的两个函数是不同的，因为两函数的对应关系不同，当|x|>1时，两函数取得不同的值。 B中的函数是相同的。因为对一切实数x都成立，故应选B。 C中的两个函数是不同的。因为的定义域为x≠-1，而y=x的定义域为（-∞，+∞）。 D中的两个函数也是不同的，因为它们的定义域依次为（-∞，0）∪（0，+∞）和（0，+∞）。例4：设

解：在令t=cosx-1，得 又因为-1≤cosx≤1，所以有-2≤cosx-1≤0，即-2≤t≤0，从而有 。 5： 例 f(2)没有定义。 注意，求分段函数的函数值，要把自变量代到相应区间的表达式中。 例6：函数是（）。 A．偶函数 B．有界函数 C．单调函数 D ．周期函数 解：由于，可知函数为一个奇函数而不是偶函数，即（A）不正确。 由函数在x=0，1，2点处的值分别为0，1，4/5，可知函数也不是单调函数；该函数显然也不是一个周期函数，因此，只能考虑该函数为有界函数。 事实上，对任意的x，由，可得，从而有。可见，对于任意的x，有 。 因此，所给函数是有界的，即应选择B。 例7：若函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y),则f(x)是（）。 A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数Ｄ．奇偶性不确定

(完整)高等数学练习题(附答案)

《高等数学》 专业 年级 学号 姓名 一、判断题. 将√或×填入相应的括号内.（每题2分，共20分） （ ）1. 收敛的数列必有界. （ ）2. 无穷大量与有界量之积是无穷大量. （ ）3. 闭区间上的间断函数必无界. （ ）4. 单调函数的导函数也是单调函数. （ ）5. 若)(x f 在0x 点可导，则)(x f 也在0x 点可导. （ ）6. 若连续函数)(x f y =在0x 点不可导，则曲线)(x f y =在))(,(00x f x 点没有切线. （ ）7. 若)(x f 在[b a ,]上可积，则)(x f 在[b a ,]上连续. （ ）8. 若),(y x f z =在（00,y x ）处的两个一阶偏导数存在，则函数),(y x f z =在（00,y x ）处可微. （ ）9. 微分方程的含有任意常数的解是该微分方程的通解. （ ）10. 设偶函数)(x f 在区间)1,1(-内具有二阶导数，且 1)0()0(+'=''f f , 则 )0(f 为)(x f 的一个极小值. 二、填空题.（每题2分，共20分） 1. 设2 )1(x x f =-，则=+)1(x f . 2. 若1 212)(11+-= x x x f ，则=+→0 lim x . 3. 设单调可微函数)(x f 的反函数为)(x g , 6)3(,2)1(,3)1(=''='=f f f 则 =')3(g . 4. 设y x xy u + =, 则=du .

5. 曲线3 26y y x -=在)2,2(-点切线的斜率为 . 6. 设)(x f 为可导函数,)()1()(,1)1(2 x f x f x F f +==',则=')1(F . 7. 若 ),1(2)(0 2x x dt t x f +=? 则=)2(f . 8. x x x f 2)(+=在[0,4]上的最大值为 . 9. 广义积分 =-+∞? dx e x 20 . 10. 设D 为圆形区域=+≤+??dxdy x y y x D 5 2 2 1, 1 . 三、计算题（每题5分，共40分） 1. 计算)) 2(1 )1(11(lim 222n n n n ++++∞→Λ. 2. 求10 3 2 )10()3()2)(1(++++=x x x x y ΛΛ在（0，+∞）内的导数. 3. 求不定积分 dx x x ? -) 1(1. 4. 计算定积分 dx x x ? -π 53sin sin . 5. 求函数2 2 3 24),(y xy x x y x f -+-=的极值. 6. 设平面区域D 是由x y x y == ,围成，计算dxdy y y D ?? sin . 7. 计算由曲线x y x y xy xy 3,,2,1====围成的平面图形在第一象限的面积. 8. 求微分方程y x y y 2- ='的通解. 四、证明题（每题10分，共20分） 1. 证明：tan arc x = )(+∞<<-∞x .

高等数学试题库

高等数学试题库 第二章 导数和微分 一．判断题 2-1-1 设物体的运动方程为S=S(t),则该物体在时刻t 0的瞬时速度 v=lim lim ()()??????t t s t s t t s t t →→=+-0000与 ?t 有关. ( ) 2-1-2 连续函数在连续点都有切线. ( ) 2-1-3 函数y=|x|在x=0处的导数为0. ( ) 2-1-4 可导的偶函数的导数为非奇非偶函数. ( ) 2-1-5 函数f(x)在点x 0处的导数f '(x 0)=∞ ,说明函数f(x)的曲线在x 0点处的切 线与x 轴垂直. ( ) 2-1-6 周期函数的导数仍是周期函数. ( ) 2-1-7 函数f(x)在点x 0处可导,则该函数在x 0点的微分一定存在. ( ) 2-1-8 若对任意x ∈(a,b),都有f '(x)=0,则在(a,b)内f(x)恒为常数. ( ) 2-1-9 设f(x)=lnx.因为f(e)=1,所以f '(e)=0. ( ) 2-1-10(ln )ln (ln )'ln x x x x x x x x x 2224 3 21 '=-=- ( ) 2-1-11 已知y= 3x 3 +3x 2 +x+1,求x=2时的二阶导数: y '=9x 2 +6x+1 , y '|x=2=49 所以 y"=(y ')'=(49)'=0. ( ) 二．填空题 2-2-1 若函数y=lnx 的x 从1变到100,则自变量x 的增量 ?x=_______,函数增量 ?y=________. 2-2-2 设物体运动方程为s(t)=at 2 +bt+c,(a,b,c 为常数且a 不为0),当t=-b/2a 时, 物体的速度为____________,加速度为________________. 2-2-3 反函数的导数,等于原来函数___________. 2-2-4 若曲线方程为y=f(x),并且该曲线在p(x 0,y 0)有切线,则该曲线在 p(x 0,y 0) 点的切线方程为____________. 2-2-5 若 lim ()() x a f x f a x a →-- 存在,则lim ()x a f x →=______________. 2-2-6 若y=f(x)在点x 0处的导数f '(x)=0,则曲线y=f(x)在[x 0,f(x 0)]处有 __________的切线.若f '(x)= ∞ ,则曲线y=f(x)在[x 0,f(x 0)]处有 _____________的切线. 2-2-7 曲线y=f(x)由方程y=x+lny 所确定,则在任意点(x,y)的切线斜率为 ___________在点(e-1,e)处的切线方程为_____________. 2-2-8 函数

大学高等数学上习题(附答案)

《高数》习题1（上） 一．选择题 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ( )g x =（C ）()f x x = 和 ( )2 g x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ）. （A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微 7． 211 f dx x x ??' ???? 的结果是（ ）. （A ）1f C x ?? - + ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ?? + ??? （D ）1f C x ?? -+ ??? 10．设()f x 为连续函数，则()10 2f x dx '?等于（ ）. （A ）()()20f f - （B ）()()11102f f -????（C ）()()1 202f f -??? ?（D ）()()10f f - 二．填空题 1．设函数()21 00x e x f x x a x -?-≠? =??=? 在0x =处连续，则a = . 2．已知曲线()y f x =在2x =处的切线的倾斜角为5 6 π，则()2f '=. 3． ()21ln dx x x = +?. 三．计算 1．求极限 ①21lim x x x x →∞+?? ??? ②() 20sin 1 lim x x x x x e →-- 2．求曲线()ln y x y =+所确定的隐函数的导数x y '. 3．求不定积分x xe dx -?

(完整版)高等数学测试题一(极限、连续)答案

高等数学测试题（一）极限、连续部分（答案） 一、选择题（每小题4分，共20分） 1、 当0x →+时，（A ）无穷小量。 A 1sin x x B 1 x e C ln x D 1 sin x x 2、点1x =是函数31 1()1131x x f x x x x -? 的（C ）。 A 连续点 B 第一类非可去间断点 C 可去间断点 D 第二类间断点 3、函数()f x 在点0x 处有定义是其在0x 处极限存在的（D ）。 A 充分非必要条件 B 必要非充分条件 C 充要条件 D 无关条件 4、已知极限22 lim()0x x ax x →∞++=，则常数a 等于（A ）。 A -1 B 0 C 1 D 2 5、极限2 01 lim cos 1 x x e x →--等于（D ）。 A ∞ B 2 C 0 D -2 二、填空题（每小题4分，共20分） 1、21lim(1)x x x →∞ -=2 e - 2、 当0x →+时，无穷小ln(1)Ax α=+与无穷小sin 3x β=等价，则常 数A=3 3、 已知函数()f x 在点0x =处连续，且当0x ≠时，函数2 1()2 x f x -=， 则函数值(0)f =0 4、 111lim[ ]1223(1) n n n →∞+++??+L =1

5、 若lim ()x f x π →存在，且sin ()2lim ()x x f x f x x ππ →= +-，则lim ()x f x π→=1 二、解答题 1、（7分）计算极限 222111 lim(1)(1)(1)23n n →∞- --L 解：原式=132411111 lim()()()lim 223322 n n n n n n n n →∞→∞-++???=?=L 2、（7分）计算极限 3 0tan sin lim x x x x →- 解：原式=2 322000sin 1sin 1cos 1cos 2lim lim lim cos cos 2 x x x x x x x x x x x x x →→→--=== 3、（7分）计算极限 1 23lim()21 x x x x +→∞++ 解：原式= 11 122 11 22 21lim(1)lim(1)1212 11lim(1)lim(1)11 22 x x x x x x x x x e x x +++→∞→∞+→∞→∞+=+++ =+?+=++ 4、（7分）计算极限 1 x e →-解：原式=201 sin 12lim 2 x x x x →= 5、（7分）设3214 lim 1 x x ax x x →---++ 具有极限l ，求,a l 的值 解：因为1 lim(1)0x x →-+=，所以 3 2 1 lim(4)0x x ax x →---+=， 因此 4a = 并将其代入原式 321144(1)(1)(4) lim lim 1011 x x x x x x x x l x x →-→---++--===++

高等数学练习题附答案

高等数学练习题附答案文件编码（008-TTIG-UTITD-GKBTT-PUUTI-WYTUI-8256）

《高等数学 》 专业年级学号姓名 一、判断题.将√或×填入相应的括号内.（每题2分，共20分） （）1.收敛的数列必有界. （）2.无穷大量与有界量之积是无穷大量. （）3.闭区间上的间断函数必无界. （）4.单调函数的导函数也是单调函数. （）5.若)(x f 在0x 点可导，则)(x f 也在0x 点可导. （）6.若连续函数)(x f y =在0x 点不可导，则曲线)(x f y =在))(,(00x f x 点没有切线. （）7.若)(x f 在[b a ,]上可积，则)(x f 在[b a ,]上连续. （）8.若),(y x f z =在（00,y x ）处的两个一阶偏导数存在，则函数),(y x f z =在（00,y x ）处可微. （）9.微分方程的含有任意常数的解是该微分方程的通解. （）10.设偶函数)(x f 在区间)1,1(-内具有二阶导数，且1)0()0(+'=''f f ,则 )0(f 为)(x f 的一个极小值. 二、填空题.（每题2分，共20分） 1.设2)1(x x f =-，则=+)1(x f . 2.若1 212)(11+-= x x x f ，则=+ →0lim x . 3.设单调可微函数)(x f 的反函数为)(x g ,6)3(,2)1(,3)1(=''='=f f f 则=')3(g . 4.设y x xy u + =,则=du . 5.曲线326y y x -=在)2,2(-点切线的斜率为. 6.设)(x f 为可导函数,)()1()(,1)1(2x f x f x F f +==',则=')1(F .

高等数学试题及答案(广东工业大学)

《高等数学-广东工业大学》 一.选择题 1. 当0→x 时，)1ln(x y +=与下列那个函数不是等价的 （ ） A)、x y = B)、x y sin = C)、x y cos 1-= D)、1-=x e y 2. 函数f(x)在点x 0极限存在是函数在该点连续的（ ） A )、必要条件 B )、充分条件 C )、充要条件 D )、无关条件 3. 下列各组函数中，)(x f 和)(x g 不是同一函数的原函数的有（ ）. A)、()()() 222 1 ,21)(x x x x e e x g e e x f ---=-= B) 、(( )) ()ln ,ln f x x g x x ==- C)、()()x x g x x f --=-=1arcsin 23,12arcsin )( D)、()2 tan ,sec csc )(x x g x x x f =+= 4. 下列各式正确的是（ ） A ）、2l n 2x x x dx C =+? B ）、s i n c o s t d t t C =-+ ? C ）、 2a r c t a n 1dx dx x x =+? D ）、211 ()dx C x x - =-+? 5. 下列等式不正确的是（ ）. A ）、 ()()x f dx x f dx d b a =??????? B ）、()()()[]()x b x b f dt x f dx d x b a '=????? ?? C ）、()()x f dx x f dx d x a =??????? D ）、()()x F dt t F dx d x a '=???? ??'? 6. 0 ln(1)lim x x t dt x →+=?（ ） A ）、0 B ）、1 C ）、2 D ）、4 7. 设bx x f sin )(=，则=''?dx x f x )(（ ） A ）、 C bx bx b x +-sin cos B ）、C bx bx b x +-cos cos C ）、C bx bx bx +-sin cos D ）、C bx b bx bx +-cos sin

关于同济版高等数学下册练习题附答案

第八章 测 验 题 一、选择题： 1、若a → ，b → 为共线的单位向量，则它们的数量积 a b →→ ?= ( ). (A) 1； (B)-1； (C) 0； (D)cos(,)a b →→ . 向量a b → → ?与二向量a → 及b → 的位置关系是( ). 共面； (B)共线； (C) 垂直； (D)斜交 . 3、设向量Q → 与三轴正向夹角依次为,,αβγ，当 cos 0β=时，有( ) 5、2()αβ→→ ±=( ) (A)2 2 αβ→→±； (B)2 2 2ααββ→→→ →±+； (C)2 2 ααββ→→→ →±+； (D)2 2 2ααββ→→→ →±+. 6、设平面方程为0Bx Cz D ++=，且,,0B C D ≠， 则 平面( ). (A) 平行于轴；x ；(B) y 平行于轴； (C) y 经过轴；(D) 经过轴y . 7、设直线方程为1111220 A x B y C z D B y D +++=?? +=?且 111122,,,,,0A B C D B D ≠,则直线( ). (A) 过原点； (B)x 平行于轴； (C)y 平行于轴； (D)x 平行于轴. 8、曲面250z xy yz x +--=与直线 5 13 x y -= - 10 7 z -=的交点是( ). (A)(1,2,3),(2,1,4)--；(B)(1,2,3)； (C)(2,3,4)； (D)(2,1,4).-- 9、已知球面经过(0,3,1)-且与xoy 面交成圆周 2216 0x y z ?+=?=? ，则此球面的方程是( ). (A)2226160x y z z ++++=； (B)222160x y z z ++-=； (C)2226160x y z z ++-+=； (D)2226160x y z z +++-=. 10、下列方程中所示曲面是双叶旋转双曲面的是 ( ). (A)2221x y z ++=； (B)224x y z +=； (C)22 2 14y x z -+=； (D) 2221916 x y z +-=-. 二、已知向量,a b r r 的夹角等于3 π，且2,5a b →→==， 求(2)(3)a b a b →→→→ -?+ . 三、求向量{4,3,4}a → =-在向量{2,2,1}b → =上的投影 . 四、设平行四边形二边为向量 {1,3,1};{2,1,3}a b → → =-=-{}2,1,3b =-，求其面积 . 五、已知,,a b →→ 为两非零不共线向量，求证：

(完整版)高等数学试题及答案

《高等数学》试题30 考试日期：2004年7月14日 星期三 考试时间：120 分钟 一.选择题 1. 当0→x 时，)1ln(x y +=与下列那个函数不是等价的 （ ） A)、x y = B)、x y sin = C)、x y cos 1-= D)、1-=x e y 2. 函数f(x)在点x 0极限存在是函数在该点连续的（ ） A )、必要条件 B )、充分条件 C )、充要条件 D )、无关条件 3. 下列各组函数中，)(x f 和)(x g 不是同一函数的原函数的有（ ）. A)、()()() 222 1 ,21)(x x x x e e x g e e x f ---=-= B) 、(( )) ()ln ,ln f x x g x x ==- C)、()()x x g x x f --=-=1arcsin 23,12arcsin )( D)、()2 tan ,sec csc )(x x g x x x f =+= 4. 下列各式正确的是（ ） A ）、2ln 2x x x dx C =+? B ）、sin cos tdt t C =-+? C ）、 2arctan 1dx dx x x =+? D ）、2 11 ()dx C x x -=-+? 5. 下列等式不正确的是（ ）. A ）、 ()()x f dx x f dx d b a =??????? B ）、()()()[]()x b x b f dt x f dx d x b a '=??????? C ）、()()x f dx x f dx d x a =??????? D ）、()()x F dt t F dx d x a '=???? ??'? 6. 0 ln(1)lim x x t dt x →+=?（ ） A ）、0 B ）、1 C ）、2 D ）、4 7. 设bx x f sin )(=，则=''?dx x f x )(（ ） A ）、 C bx bx b x +-sin cos B ） 、C bx bx b x +-cos cos C ）、C bx bx bx +-sin cos D ）、C bx b bx bx +-cos sin