重庆第二外国语学校高2021届高2018级高三上学期第十一次周考数学试题及参考答案
重庆第二外国语学校高2021高三上第十一次周考
数学试题
一、单项选择题(每小题6分,共36分)
1.已知复数z 满足z (1+2i )=i ,则复数z 在复平面内对应点所在的象限是( ) A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
2.已知(2,1,4),(1,1,2),(7,5,)a b c m =-=--=,若,,a b c 共面,则实数m 的值为( ) A.
607
B.14
C.12
D.
627
3.中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴.一般情况下,折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成,设扇形的面积为1S ,圆面中剩余部分的面积为2S ,当1S 与2S 的比值为51
- 时,扇面看上去形状较为美观,那么此时扇形的圆心角的弧度数为( ) A.(35)π-
B.(51)π-
C.(51)π+
D.(52)π-
4.已知函22()(sin cos )2cos f x x x x =++,,44x ππ??
∈-???
?,则()f x 的最小值为( ) A.22-
B.1
C.0
D.2-
5.在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中,AB ⊥BC ,AB =BC =BB 1=1,M 是AC 的中点,则三棱锥B 1－ABM 的外接球的表面积为( ) A.
3
2
π B.2π
C.
54
π D.98
π
6.数列{}n a 满足：21n n n a a a +++=,11a =,22a =,n S 为其前n 项和,则2019S =( ) A.0
B.1
C.3
D.4
二、多项选择题(每小题6分,共12分,部分选对得3分,全部选对得6分)
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A.月跑步里程最小值出现在2月
B.月跑步里程逐月增加
C.月跑步里程的中位数为5月份对应的里程数
D.1月至5月的月跑步里程相对于6月至11月波动性更小 8.已知正方体1111ABCD A B C D -棱长为2,M 为1
CC 上的动点,
AM ⊥平面α.下面说法正确的是( )
A.直线AB 与平面α所成角的正弦值范围为32,2??
????
B.点M 与点1C 重合时,平面α截正方体所得的截面,其面积越大,周长就越大
C.点M 为1CC 的中点时,若平面α经过点B ,则平面α截正方体所得截面图形是等腰梯形
D.己知N 为1DD 中点,当AM MN +的和最小时,M 为1CC 的中点
三、填空题(每小题6分,共12分)
9.若幂函数()f x 过点()2,8,则满足不等式(3)(1)f a f a -≤-的实数a 的取值范围是 . 10.在△ABC 中,设角A ,B ,C 对应的边分别为,,a b c ,记△ABC 的面积为S ,且22242a b c =+,则2S
a
的最大值为 .
四、解答题(第11题12分,第12、13题各14分)
11.如图,在四棱锥P ABCD -中,已知PC ⊥底面ABCD ,AB AD ⊥,
//AB CD ,2AB =,1AD CD ==,E 是PB 上一点.
(1)求证:平面EAC ⊥平面PBC ；
(2)若E 是PB 的中点,且二面角P AC E --的余弦值是6, 求直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值.
12.已知,,a b c 分别为ABC ?内角,,A B C 的对边,若ABC ?同时满足下列四个条件中的三个：
①6cos B =-
；②2cos 22cos
12A A +=；③6a =；④22b =. (1)满足有解三角形的序号组合有哪些？并简要说明理由； (2)在(1)所有组合中任选一组,并求对应ABC ?的面积. 13.已知函数()ln ()a
f x x x a R x
=++
∈.
(1)若函数()f x 在[1,)+∞上为增函数,求a 的取值范围；
(2)若函数2()()(1)g x xf x a x x =-+-有两个不同的极值点,记作1x ,2x ,且12x x <,证明：23
12x x e >.
参考答案
1-6、DBABBD 7、ACD, 8、AC, 9、(],2-∞,10
、
6
11、(1)证明略；
(2)3.
12、(1)①③④或②③④；
(2)
13、(1)由题意可知,函数()f x 的定义域为()0,+∞,()222
11a x x a
f x x x x
='+-=+-, 因为函数()f x 在[)1,+∞为增函数,所以()0f x '≥在[
)1,+∞上恒成立, 等价于20x x a +-≥在[
)1,+∞上恒成立,即()
2
min
a x x
≤+,
因为2
211224x x x ??+=+-≥ ??
?,所以2a ≤,故a 的取值范围为2a ≤.
(2)可知()()2
2
2
ln 1ln g x x x x a a x x x x ax x a =++-+-=--+,所以()ln 2g x x ax '=-,
因为()g x 有两极值点12,x x ,所以1122ln 2,ln 2x ax x ax ==,
欲证23
12x x e ?>,等价于要证：()
2312ln ln 3x x e ?>=,即12ln 2ln 3x x +>,
所以123
22ax ax +>
,因为120x x <<,所以原式等价于要证明：12
324a x x >+,①
由1122ln 2,ln 2x ax x ax ==,可得()2
211
ln 2x a x x x =-,则有2
121ln
2x x a x x =-（）,② 由①②原式等价于要证明：212112
ln 32x x x x x x >-+,即证()221122112
1
313ln 212x x x x x x x x x x ??
- ?-??>=++, 令21x t x =
,则1t >,上式等价于要证()31ln 12t t t
->+, 令()()
31ln 12t h t t t
-=-+,则()()()()()()()22
3126114111212t t t t h t t t t t +----=-=++' 因为1t >,所以()0h t '>,所以()h t 在()1,+∞上单调递增, 因此当1t >时,()()10h t h >=,即()31ln 12t t t
->
+.所以原不等式成立,即23
12x x e ?>.