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2.3.3向量数量积的坐标运算与度量公式

2.3.3向量数量积的坐标运算与度量公式
2.3.3向量数量积的坐标运算与度量公式

2.3.3向量数量积的坐标运算与度量公式

【知识要点】

1、 平面两向量数量积的坐标表示:

2、 两向量垂直的判定:

两向量共线的判定:

3. 向量的长度、距离和夹角公式

【典型例题】

3.已知 则a 与b 的夹角是多少?

.),1,1(),32,1( (1) 1θ的夹角与求已知例??=+-=.),4,2(),3,2( (2) ()则(已知-?+-=

=1)a b - ,

例2 已知A(1,2),B(2,3),C(-2,5),试判断?ABC 的形状,并给出证明.

设a = (5, -7),b = (-6, -4),求a ?b

已知a = (3, -1),b = (1, 2),求满足x ?a = 9

与x ?b =

-4的向量x

已知a =(1,3),b =(3+1,3-1),则a 与b 的

夹角是多少?

3421a b a mb a b m ==-+⊥- 5.已知 (,),(,),且()(),则实数为何值?

向量的坐标及向量积

龙文教育一对一个性化辅导教案 学生伍靖雯学校第四十一中年级高一次数第 8次 科目数学 教师林泽钦日期2016-4-16时段 10:00-12: 00 课题向量的坐标运算及向量积 教学重点1.平面向量的坐标运算 2.平面向量的夹角公式 教学 难点 1.平面向量与三角函数结合 教学目标1.掌握平面向量的坐标运算 2.掌握向量积公式的应用及与三角函数的综合型问题 教学步骤及教学内容一、错题回顾: 已知() P4,1,F -为抛物线28 y x =的焦点,M为此抛物线上的点,求|MP|+|MF|的值最小,并求此时M点的坐标. 二、内容讲解: 主要知识点1:平面向量的坐标运算 主要知识点2:平面向量的积运算 主要知识点3:平面向量与三角函数结合 三、课堂总结: 1、平面向量的坐标运算 2、平面向量的积运算 四、作业布置: 见讲义

一.错题回顾 已知()P 4,1,F -为抛物线28y x =的焦点,M 为此抛物线上的点,求|MP|+|MF|的值最小,并求此时M 点的坐标. 二、内容讲解 (一)平面向量的坐标运算 (1)已知向量 和实数λ,那么 . (2)已知 则 ,即一个向 量的坐标等于该向量的_______的坐标减去________的坐标. 例1. 若A (2,-1),B (-1,3),则的坐标是( ) A.(1,2) B.(-3,4) C. (3,-4) D. 以上都不对 例2.若a =(2,1),b =(1,0),则3a +2b 的坐标是 A.(5,3) B.(4,3) C.(8,3) D.(0,-1) 管理人员签字: 日期: 年 月 日 作业布置 1、学生上次作业评价: ○ 好 ○ 较好 ○ 一般 ○ 差 备注: 2、本次课后作业: 课堂小结 小结 家长签字: 日期: 年 月 日

平面向量内积的坐标运算

课 题:平面向量数量积的坐标表示 教学目的: ⑴要求学生掌握平面向量数量积的坐标表示 ⑵掌握向量垂直的坐标表示的充要条件,及平面内两点间的距离公式 ⑶能用所学知识解决有关综合问题 教学重点:平面向量数量积的坐标表示 教学难点:平面向量数量积的坐标表示的综合运用 授课类型:新授课 课时安排:1课时 教 具:多媒体、实物投影仪 教学过程: 一、复习引入: 1.两个非零向量夹角的概念 已知非零向量a 与b ,作=a ,OB =b ,则∠A OB =θ(0≤θ≤ π)叫a 与b 的夹角. 2.平面向量数量积(内积)的定义:已知两个非零向量a 与b ,它们的夹角是 θ,则数量|a ||b |c os θ叫a 与b 的数量积,记作a ?b ,即有a ?b = |a ||b |c os θ, (0≤θ≤π).并规定0 与任何向量的数量积为0 3.向量的数量积的几何意义: 数量积a ?b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b |c os θ的乘积 4.两个向量的数量积的性质: 设a 、b 为两个非零向量,e 是与b 同向的单位向量 1?e ?a = a ?e =|a |c os θ;2?a ⊥b ? a ?b = 0 3?当a 与b 同向时,a ?b = |a ||b |;当a 与b 反向时,a ?b = -|a ||b | 特别的a ?a = |a |2或a a a ?=||

4?c os θ =| |||b a b a ? ;5?|a ?b | ≤ |a ||b | 5. 平面向量数量积的运算律 交换律:a ? b = b ? a 数乘结合律:(λa )?b =λ(a ?b ) = a ?(λb ) 分配律:(a + b )?c = a ?c + b ?c 二、讲解新课: ⒈平面两向量数量积的坐标表示 已知两个非零向量),(11y x a = ,),(22y x b = ,试用a 和b 的坐标表示b a ? 设i 是x 轴上的单位向量,j 是y 轴上的单位向量,那么 j y i x a 11+=,j y i x b 22+= 所以))((2211j y i x j y i x b a ++=?2211221221j y y j i y x j i y x i x x +?+?+= 又1=?i i ,1=?j j ,0=?=?i j j i 所以b a ?2121y y x x += 这就是说:两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和 即b a ?2121y y x x += 2.平面内两点间的距离公式 (1)设),(y x a = ,则222||y x a += 或 ||a = (2)如果表示向量a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ,那么221221)()(||y y x x a -+-= (平面内两点间的距离公式) 3.向量垂直的判定 设),(11y x a = ,),(22y x b = ,则b a ⊥ ?02121=+y y x x

3.1.3-空间向量的数量积运算教案。

3.1.3-空间向量的数量积运算教案。

高二年级数学学 科 课题§3.1.3空间向量的数量积运算 授课时间2012 年 12月 24日第 1 课时授课类型新授课 教学目标知识与技能:①掌握空间向量的数量积公式及向量的夹角公式; ②运用公式解决立体几何中的有关问题。 过程与方法:①比较平面、空间向量,培养学生观察、分析、类比转 化的能力; ②探究空间几何图形,将几何问题代数化,提高分析问题、 解决问题的能力。 情感态度与价值观:①通过师生的合作与交流,体现教师为主导、学生为主 体的教学模式; ②通过空间向量在立体几何中的应用, 提高学生的空间想象力,培养学生探索 精神和创新意识,让学生感受数学,体 会数学美的魅力,激发学生学数学、用 数学的热情。 教学重点空间向量数量积公式及其应用 教学难点 如何将立体几何问题等价转化为向量问题;在此基础上,通过向量运算解决立体几何问题。 板书设计§3.1.3空间向量的数量积运算 1. 两个向量 的夹角 3.数量积的 性质 例 题解答2. 两个向量 的数量积 4.数量积满 足的运算律

教学反思 教学 环节及时间分配 教学过程 (教学内容的呈现及教学方法) 学生活动 (学习活动的设 计) 设计意 图

复习引入3分 合作探究8分 一、回顾平面向量数量积的相关内容: ①平面向量的夹角; ②空间向量的数量积; 二、讲授新课 1)两个向量的夹角的定义 2)两个向量的数量积 > < = ? ? > < b,a cos b a b a .b a b,a b,a cos b a ,b,a 即: 记作 的数量积, 叫做 则 已知两个非零向量 注意: ①两个向量的数量积是数量,而不是向量; ②零向量与任意向量的数量积等于零; 思考:类比平面向量的几何意义,空间中 的几何意思是什么? 答:空间中的几何意义是a的长度|a|与 在b的方向上的投影|b|cos θ的乘积. 学生 口答 类比 平面 向量 的数 量积 的有 关概 念、 计算 方法 和运 算律 推导 出空 间向 以问 题的 形式 引导 学生 回顾 复习 前面 所学 的平 面向 量的 相关 知 识, 为学 习好 空间 向量 做好 铺 垫。 明确 空间 向量 O A B a a b b ? ? ∠ = = b a b a AOB b OB a OA O b a , , , . , 记作: 的夹角, 与 叫做向量 则角 作 , 在空间任取一点 量 如图,已知两个非零向 ? ? ? ? ≤ ? ? ≤ a b b a b a , , , = 被唯一确定了,并且 的夹角就 在这个规定下,两向量 范围:π b a b a b a⊥ = ? ?互相垂直,并记作: 与 则称 如果, 2 , π b a? b a? b a?

《空间向量数量积的运算》的教学反思

《空间向量数量积的运算》教学反思 本节课我讲了选修2-1第三章《空间向量的数量积运算》这个节,这是本章第三节的内容,主要学习的是空间向量的数量积的运算及应用。根据大纲,要求学生能熟练应用空间向量的运算解决简单的立体几何问题,这也是本节课的难点。突破难点的方法是让学生会用已知向量表示相关向量,就是利用三角形法则或多边形法则把未知向量表示出来,进而再求两个向量的数量积、夹角、距离等。 三方面实行整体设计,注重与学生已有知识的联系及相关学科知识的联系(物理学:功),因为本节知识是向量由二维向三维的推广,所以预习平面向量的运算起了一定的作用,使学生体会知识的形成过程和数学中的类比学习方法。在整个教学过程中,我还是沿用知识复习、学生探究、教师例题分析、师生合作归纳小结的主线实行教学,符合学生的认知规律,也易于学生对知识的掌握,在教学方法上,我注重多媒体演示和传统板书教学有效结合,较好地辅助了教学。同时,结合新高考的要求,我注重了数学核心素养的培养,在教学中例题分析与归纳时,我注重了数学思想方法的渗透,如本节课我就渗透了数形结合思想、类比思想等,本节课的核心理念是体现学生在学习中的主体性。但我注重调动学生的主观能动性,最大限度的发挥学生的主体作用,在教学过程中,学生的思维活跃,积极讨论问题,自主解决相关例题。精彩处在于学生积极参与互动,学生评判,教师引导,学生积极归纳知识点,整个课堂热烈有序,张而有驰,整体课多次出现教学高潮,博得了学生与听课专家的热烈掌声,从课后反馈来看,本堂课普片反应学懂了,掌握了知识和解决问题的水平,正在学有所用。 不足之处:在创设情境时,我用的是知识性引课,不够引人入胜,要是能想出更好的引课方式或动画设计,在一开始就抓住学生的眼球,调动起学生学习的积极性,应该效果会更好。其次,在课堂中没有充分发挥学生的主体性,老师由引导者又逐步变成了主导者。另外,难点突破应该在两个例题上,不过前边耽误了时间,导致重点地方没有充足的时间解决,没达到最初的意图。对问题的探究需要时间,课上让学生放开去探究,减少了课堂容量,影响到了例题的分析讲解。应

2021年高中数学3.1.3空间向量的数量积运算学案含解析人教A版选修2_1

3.1.3 空间向量的数量积运算 [目标] 1.掌握空间向量夹角的概念及表示方法,掌握两个向量的数量积概念、性质和计算方法及运算规律.2.掌握两个向量的数量积的主要用途,会用它解决立体几何中一些简单的问题. [重点] 空间向量的数量积运算. [难点] 利用空间向量解决夹角、距离等问题. 知识点一 空间向量的夹角 [填一填] 1.定义: (1)条件:a ,b 是空间的两个非零向量. (2)作法:在空间任取一点O ,作OA → =a ,OB → =b . (3)结论:∠AOB 叫做向量a ,b 的夹角,记作a ,b . 2.范围: a ,b ∈[0,π],其中, (1)当a ,b =0时,a 与b 的方向相同. (2)当a ,b =π时,a 与b 的方向相反. (3)当 a ,b =π 2 时,a 与b 互相垂直,记作a ⊥b . [答一答] 1.若a ,b 是空间的两个非零向量,则-a ,b = a ,- b =a ,b ,对吗? 提示:不对.∵-a 与a ,-b 与b 分别是互为相反向量, ∴ -a ,b = a ,- b =π-a ,b . 知识点二 空间向量的数量积 [填一填] 1.空间向量的数量积 (1)定义: 已知两个非零向量a ,b ,则|a ||b |cos a ,b 叫做a ,b 的数量积,记作a ·b .即a ·b =|a ||b |cos a , b . (2)运算律: ①(λa )·b =λ(a ·b ); ②交换律:a ·b =b ·a ; ③分配律:a ·(b +c )=a ·b +a ·c . 2.空间向量数量积的性质

[答一答] 2.类比平面向量,你能说出a ·b 的几何意义吗? 提示:数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |·cos θ的乘积. 3.对于向量a ,b ,c ,由a ·b =a ·c ,能得到b =c 吗? 提示:不能,若a ,b ,c 是非零向量,则a ·b =a ·c 得到a ·(b -c )=0,即可能有a ⊥(b -c )成立. 4.对于向量a ,b ,若a ·b =k ,能不能写成a =k b ? 提示:不能,向量没有除法,k b 无意义. 5.为什么(a ·b )c =a (b ·c )不一定成立? 提示:由定义得(a ·b )c =(|a ||b |cos a , b ) c ,即(a ·b )c =λ1c ;a (b ·c )= a (| b || c |cos b ,c ),即a (b ·c )=λ2a , 因此,(a ·b )c 表示一个与c 共线的向量,而a (b ·c )表示一个与a 共线的向量,而a 与c 不一定共线,所以(a ·b )c =a (b ·c )不一定成立. 1.求两向量的数量积时,关键是搞清楚两个向量间的夹角,在求两个向量间的夹角时,可用平移向量的方法,把一个向量平移到另一个向量的起点. 2.利用向量的数量积求两点间的距离,可以转化为求向量的模的问题,其基本思路是将此向量表示为几个已知向量的和的形式,求出这几个已知向量的两两之间的夹角以及它们的模,利用公式|a |=a ·a 求解即可. 3.利用空间向量的数量积解决几何中的夹角垂直关系,其思路是将直线的方向向量用已知向量表示,然后进行数量积的运算.

最新向量数量积的坐标运算

向量数量积的坐标运 算

仅供学习与交流,如有侵权请联系网站删除 谢谢5 《向量的数量积的坐标运算与度量公式》预习案 【学习目标】: (1)灵活运用向量数量积的坐标运算公式,夹角余弦的坐标表达式; (2)体会公式中体现的数形结合的思想 【学习重难点】 重点:向量数量积的坐标运算与度量公式 难点:灵活运用公式解决有关问题 【知识链接】 1.两向量数量积定义:?Skip Record If...? 2.向量数量积的性质: 【知识重现】 1. 已知?Skip Record If...?,?Skip Record If...?在?Skip Record If...?方向 上的正射影的数量是3,则?Skip Record If...? 2. 在?Skip Record If...? 中,?Skip Record If...?,则?Skip Record If...? 【知识点梳理】 1.数量积的坐标表达式 ?Skip Record If...? 2、用向量的坐标表示两个向量垂直的条件: (2)与向量?Skip Record If...?垂直的向量可以写成 。

3、向量的长度、距离和夹角公式推导 向量的长度公式: ?Skip Record If...? 距离公式:?Skip Record If...? 两向量夹角余弦公式的坐标表达式: ?Skip Record If...? 自学课本P113--P114例1—例4,完成自学检测 【自学检测】 1.已知?Skip Record If...?则?Skip Record If...?,?Skip Record If...?,?Skip Record If...?,?Skip Record If...? 2.已知?Skip Record If...?则?Skip Record If...? 3.判断下面各对向量是否垂直 (1)?Skip Record If...?(2)?Skip Record If...? 仅供学习与交流,如有侵权请联系网站删除谢谢5

向量积的运算公式及度量公式

如对您有帮助,请购买打赏,谢谢您! 张喜林制 2.3.2 向量数量积的运算律 2.3.3 向量数量积的坐标运算与度量公式 考点知识清单 1.向量数量积的运算律: (1)交换律: (2)分配律: (3)数乘向量结合律: 2.常用结论: 3.两个向量的数量积等于它们对应坐标乘积的和,即若=a ),,(21a a ),,(21b b b =则=?b a 4.设).,(),,(2121b b b a a a == 如果,b a ⊥则 如果,02211=+b a b a 则 对于任意实数k ,向量),(12b b k -与向量),(21b b 垂直. 5.向量),,(),,(2121b b b a a a ==则=||a ,cos a <>=b 6.若),,(),,(2211y x B y x A 则),,(1212y y x x AB --=所以=||AB 要点核心解读 1.向量数量积的运算律 a b b a ?=?)1((交换律) ; )()())(2(b a b a b a λλλ?=?=?(结合律) ; c b c a c b a ?+?=?+))(3((分配律) . 2.向量数量积的运算律的证明 a b b a ?=?)1((交换律) 证明:,,cos ||||,cos ||||a b a b a b b a b a b a ?>=<>=<=? )()()()2(b a b a b a λλλ?=?=?(结合律) 证明:.,cos ||||)(><=?b a b a b a λλ① 当0>λ时,a λ与a 同向,),,(,b a b a >=<λ 当0=λ时,,00)0()(=?=?=?b b a b a λ

平面向量坐标运算及其数量积习题

平面向量坐标及数量积练习 1. 已知e 1→,e 2→是一组基底,那么下面四组向量中,不能作为一组基底的是( ) A. e 1→, e 1→+e 2→ B. e 1→—2e 2→, e 2→—2e 1→ C. e 1→—2e 2→, 4e 2→—2e 1→ D. e 1→+e 2→, e 1→—e 2→ 2. 若a →,b →不共线且λa →+μb →=0→(λ , μ ∈ R), 则 ( ) A. a →=0→,b →=0→ B. λ=μ=0 C. λ=0, b →=0 D. a →=0→, μ=0 3. 如图1,ΔABC 中,M, N, P 顺次是AB 的四等分点, CB →=e 1→, CA →=e 2→, 则下列正确的是( ) A. CN →=12e 1→+12e 2→, CM →=14e 1→+34e 2→ B. AB →=e 1→—e 2→, CP →=14e 1→+34 e 2→ C. CP →=34e 1→+14e 2→, AM →=14(e 1→+e 2→) D. AM →=14 (e 1→—e 2→), AB →=e 1→+e 2→ 4. 若|a →|=1,|b →|=2,c →=a →+b →且c →⊥a →, 则向量a →与b →的夹角为 ( ) A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 5. 已知单位向量i →与j →的夹角为60°,则2j →—i →与i →的关系为 ( ) A. 相等 B. 垂直 C. 平行 D. 共线 6 下列命题中真命题的个数为 ( ) ①|a →·b →|=|a →|·|b →|;②a →·b →=0 ? a →=0→或b →=0; ③ |λa →|=|λ|·|a →|; ④ λa →=0→ ? λ=0或a →=0→ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 设a →,b →,c →是单位向量,且a →·b →=0,则(a →—c →)·(b →—c →)的最小值为 ( ) A. —2 B. 2—2 C. —1 D. 1— 2 8. 若点A 的坐标是(x 1, y 1),向量AB →的坐标为(x 2, y 2),则点B 的坐标为 ( ) A .(x 1—x 2, y 1—y 2) B .(x 2—x 1, y 2—y 1) C .(x 1+x 2, y 1+y 2) D .(x 2—x 1, y 1—y 2) 9. 已知M(3,—2), N(—5,—1),且MP →=2MN →, 则MP → = ( ) A .(—8,1) B .(—4, 12) C .(—16, 2) D .(8, —1) 10 与a →=(3,4)垂直的单位向量是 ( ) A. (45, 35) B. (—45, —35) C. (45, —35)或(—45, 35) D. (45, 35)或(—45, —35) 11. A(1,2),B(2,3),C(2,0)所以ΔABC 为 ( ) A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.不等边三角形 12.已知A(1,0),B(5,-2),C(8,4),D.(4.6)则四边形ABCD 为 ( ) A.正方形 B.菱形 C.梯形 D. 矩形 13.已知a →=(—3,4),b →=(5,2),c →=(1,—1), 则(a →·b →)·c →等于 ( ) A. —14 B. —7 C. (7,—7) D. (—7,7) 14.已知A(—1,1),B(1,2),C(3, 12) , 则AB →·AC →等于 ( ) A. 52 B. 152 C. —52 D. —152 15已知|m →|=6 ,n →=(cos θ,sin θ), m →·n →=9, 则m →, n →的夹角为 ( ) A.150o B.120 o C.60 o D.30 o 16.若a →=(—2,1)与b →=(—1,—m 5 )互相垂直,则m 的值为 ( ) A. —6 B.8 C. —10 D. 10 17. 已知M(3, —2), N(—5,—1),且MP → = 12 MN →,则P 点的坐标 ( ) A .(—4, 12) B .(—1, —32 ) C .(—1, 32 ) D .(8, —1) 18. 已知a → = (3, —1), b → = (—1, 2), c → = 2a → + b →, 则 c → = ( ) A .(6,—2) B .(5,0) C .(—5,0) D .(0,5) 19. 已知a →=(—6, y ), b →=(—2, 1), 且a →与b →共线,则x = ( ) A .—6 B .6 C .3 D .—3 20. 已知A(2,—1),B(3,1), 与AB →方向相反的向量a →是 ( ) A .a →=(1, 12) B .a →=(—6,—3) C .a →=(—1,2) D .a → =(—4,—8)

2020高考数学专题复习《平面向量的坐标运算》

平面向量的坐标运算 一、知识精讲 1.平面向量的正交分解 把一个向量分解成两个互相垂直的向量,叫做把向量正交分解. 2.平面向量的坐标表示 (1)向量的坐标表示: 在直角坐标系中,分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i、j 作为基底,对于平面内的一个向量a,由平面向量基本定理知,有且只有一对实数x,y 使得a=xi+yj,则把有序数对(x,y)叫做向量a 的坐标.记作a=(x,y),此式叫做向量的坐标表示. (2)在直角坐标平面中,i=(1,0),j=(0,1),0= (0,0).3.平面向量的坐标运算 设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0.则a∥b?a=λb?x1y2-x2y1=0. [小问题·大思维] 1.与坐标轴平行的向量的坐标有什么特点? 提示:与x 轴平行的向量的纵坐标为0,即a=(x,0);与y 轴平行的向量的横坐标为0,即b=(0,y).

2.已知向量OM =(-1,-2),M 点的坐标与OM 的坐标有什么关系? 提示:坐标相同但写法不同;OM =(-1,-2),而M(-1,-2).3.在基底确定的条件下,给定一个向量.它的坐标是唯一的一对实数,给定一对实数,它表示的向量是否唯一? 提示:不唯一,以这对实数为坐标的向量有无穷多个,这些向量都是相等向量. 4.向量可以平移,平移前后它的坐标发生变化吗? 提示:不发生变化。向量确定以后,它的坐标就被唯一确定,所以向量在平移前后,其坐标不变. 5 x1 y1 .已知a=(x1,y1),b=(x2,y2),若a∥b,是否有=成立? x2 y2 x1 y1 提示:不一定.由于=的意义与x1y2-x2y1=0 的意义不同,前者不 x2 y2 允许x2和y2为零,而后者允许,当x1=x2=0,或y1=y2=0 或x2=y2=0 时,a∥b x1 y1 但=不成立. x2 y2 二、典例精析 例1、如图所示,已知△ABC,A(7,8),B(3,5),C(4,3),M,N,D 分别是AB,AC,BC 的中点,且MN 与AD 交于点F,求DF 的 坐标.

《空间向量的数量积运算》示范教案

3.1.3空间向量的数量积运算 整体设计 教材分析 本节课在平面向量的夹角和向量长度的概念的基础上,引入了空间向量的夹角和向量长度的概念和表示方法,介绍了空间两个向量数量积的概念、计算方法、性质和运算律,并举例说明利用向量的数量积解决问题的基本方法. 通常,按照传统方法解立体几何题,需要有较强的空间想象能力、逻辑推理能力以及作图能力,学生往往由于这些能力的不足造成解题困难.用向量处理立体几何问题,可使学生克服空间想象力的障碍而顺利解题,为研究立体几何提供了新的思想方法和工具,具有相当大的优越性;而且,在丰富学生思维结构的同时,应用数学的能力也得到了锻炼和提高.课时分配 1课时 教学目标 知识与技能 1.掌握空间向量夹角的概念及表示方法; 2.掌握两个向量数量积的概念、性质和计算方法及运算律; 3.掌握两个向量数量积的主要用途,会用它解决立体几何中的一些简单问题. 过程与方法 1.运用类比方法,经历向量的数量积运算由平面向空间推广的过程; 2.引导学生借助空间几何体理解空间向量数量积运算的意义. 情感、态度与价值观 1.培养学生的类比思想、转化思想,培养探究、研讨、综合自学应用能力; 2.培养学生空间向量的应用意识. 重点难点 教学重点: 1.空间向量的数量积运算及其运算律、几何意义; 2.空间向量的数量积运算及其变形在空间几何体中的应用. 教学难点: 1.空间想象能力的培养,思想方法的理解和应用; 2.空间向量的数量积运算及其几何应用和理解. 教学过程 引入新课 提出问题:已知在正方体ABCD—A′B′C′D′中,E为AA′的中点,点F在线段 D′C′上,D′F=1 2FC′,如何确定BE → ,FD → 的夹角?

高一数学优质课比赛 平面向量数量积的坐标表示教案

平面向量数量积的坐标表示 一、本教学设计主要思考的几个问题: 1、 教材的地位和作用是什么? 2、 学生在学习中会遇到什么困难? 3、 如何根据新课程理念,设计教学过程? 4、 如何结合教学内容,指导学生学法、发挥评价作用、发展学生能力? 二、教材分析: 1、 向量是近代数学中最重要的概念之一; 2、 向量的几何形式与代数形式的“双重身份”以及它的一套优良的运算系统使它成为“重要工具” 和“桥梁”; 3、 数量积的坐标表示为解决“形”中的长度、角度等问题带来了方便; 4、 有助于理解和掌握 数形结合的思想方法; 5、 为学习物理等其他学科解决实际问题作准备; 三、教学目标分析: ⒈知识目标:(1)掌握数量积和模的坐标; (2)掌握两向量垂直的充要条件(等价条件)、夹角公式. ⒉能力目标:(1)领悟数形结合的思想方法; (2)培养学生自主学习及提出、分析、解决问题的能力. ⒊情感目标:体验探索的乐趣认识世间事物的联系与转化. 四、教学的重点、难点分析: 重点:数量积坐标表示的推理过程. 难点:公式的建立与应用. 五、学生分析: 知识上:学习过向量加减法坐标运算和数量积定义性质运算等; 方法上:研究过向量加减法坐标运算的推理过程; 思维上:由经验型抽象思维逐渐过渡理论性严谨抽象思维; 能力上:主动迁移、主动重组整合的能力较弱. 六、教学方法和教学手段分析: 1、建构主义学习理论认为:学生的认知结构是通过同化和顺化而不断发展,学习不是对教师所授予的 知识被动接受,而是一个以学生已有的知识和经验为基础的主动的建构过程。学生真正获得知识的消化,是把新的学习内容正确纳入已有的认知结构,使其成为整个认知结构的有机组成部分,所以在教学中,以向量为载体,按照“直观感知----操作确认-----思辩论证”的认识过程展开。通过创设良好的问题情境,不断引导学生观察、实验、思考、探索,通过自己的亲身实践,充分发挥学生学习的主动性,培养学生的自主、合作、探索能力。同时采用电脑课件的教学手段,加强直观性和启发性,提高课堂效益; 2、 运用“导学探究式” 教学方法; 3、 本节课的基调定为,自主探索、民主开放、合作交流、师生对话、分层评价; 4、多媒体信息技术教学手段整合教学过程. 七、学法指导: 1、根据本节课特点及学生的认知心理,把重点放在如何让学生“会学习”这一方面,学生在教师营 造的“可探索”环境里,积极参与、生动活泼地获取知识、善于观察类比、掌握规律、主动发现、积极探索质疑,从而培养学生观察能力、想象能力、探索思维能力,设计转化、分析问题及解决问题的能力; 2、 紧紧围绕数形结合这条主线; 认知主体

空间向量的数量积运算练习题

课时作业(十五) [学业水平层次] 一、选择题 1.设a 、b 、c 是任意的非零平面向量,且它们相互不共线,下列命题:①(a ·b )c -(c ·a )b =0;②|a |=a ·a ;③a 2b =b 2a ;④(3a +2b )·(3a -2b )=9|a |2-4|b |2.其中正确的有( ) A .①② B .②③ C .③④ D .②④ 【解析】 由于数量积不满足结合律,故①不正确,由数量积的性质知②正确,③中|a |2·b =|b |2·a 不一定成立,④运算正确. 【答案】 D 2.已知a +b +c =0,|a |=2,|b |=3,|c |=4,则a 与b 的夹角〈a ,b 〉=( ) A .30° B .45° C .60° D .以上都不对 【解析】 ∵a +b +c =0,∴a +b =-c ,∴(a +b )2=|a |2+|b |2+2a ·b =|c |2,∴a ·b =32,∴cos 〈a ,b 〉=a ·b |a ||b |=14. 【答案】 D 3.已知四边形ABCD 为矩形,P A ⊥平面ABCD ,连结AC ,BD ,PB ,PC ,PD ,则下列各组向量中,数量积不为零的是( ) A.PC →与BD → B.DA →与PB → C.PD →与AB → D.P A →与CD →

【解析】 用排除法,因为P A ⊥平面ABCD ,所以P A ⊥CD ,故P A →·CD → =0,排除D ;因为AD ⊥AB ,P A ⊥AD ,又P A ∩AB =A ,所以AD ⊥平面P AB ,所以AD ⊥PB ,故DA →·PB →=0,排除B ,同理PD →·AB →=0,排除C. 【答案】 A 4. 如图3-1-21,已知空间四边形每条边和对角线都等于a ,点E ,F ,G 分别是AB ,AD ,DC 的中点,则下列向量的数量积等于a 2的是( ) 图3-1-21 A .2BA →·AC → B .2AD →·DB → C .2FG →·AC → D .2EF →·CB → 【解析】 2BA →·AC →=-a 2,故A 错;2AD →·DB →=-a 2,故B 错;2EF →·CB →=-12a 2 ,故D 错;2FG →·AC →=AC →2=a 2,故只有C 正确.

空间向量的数量积运算练习题

课时作业(十五) 一、选择题 1.设a 、b 、c 是任意的非零平面向量,且它们相互不共线,下列命题:①(a ·b )c -(c ·a )b =0;②|a |=a ·a ;③a 2b =b 2a ;④(3a +2b )·(3a -2b )=9|a |2-4|b |2.其中正确的有( ) A .①② B .②③ C .③④ D .②④ 【解析】 由于数量积不满足结合律,故①不正确,由数量积的性质知②正确,③中|a |2·b =|b |2·a 不一定成立,④运算正确. 【答案】 D 2.已知a +b +c =0,|a |=2,|b |=3,|c |=4,则a 与b 的夹角〈a ,b 〉=( ) A .30° B .45° C .60° D .以上都不对 【解析】 ∵a +b +c =0,∴a +b =-c ,∴(a +b )2=|a |2+|b |2+2a ·b =|c |2 ,∴a ·b =32,∴cos 〈a ,b 〉=a ·b |a ||b |=14. 【答案】 D 3.已知四边形ABCD 为矩形,PA ⊥平面ABCD ,连结AC ,BD ,PB ,PC ,PD ,则下列各组向量中,数量积不为零的是( ) 与BD → 与PB → 与AB → 与CD →

【解析】 用排除法,因为PA ⊥平面ABCD ,所以PA ⊥CD ,故PA →·CD →=0,排除D ;因为AD ⊥AB ,PA ⊥AD ,又PA ∩AB =A ,所 以AD ⊥平面PAB ,所以AD ⊥PB ,故DA →·PB →=0,排除B ,同理PD →·AB →=0,排除C. 【答案】 A 4. 如图3-1-21,已知空间四边形每条边和对角线都等于a ,点E ,F ,G 分别是AB ,AD ,DC 的中点,则下列向量的数量积等于a 2的是( ) 图3-1-21 A .2BA →·AC → B .2AD →·DB → C .2FG →·AC → D .2EF →·CB → 【解析】 2BA →·AC →=-a 2,故A 错;2AD →·DB →=-a 2,故B 错; 2EF →·CB →=-12a 2,故D 错;2FG →·AC →=AC →2=a 2,故只有C 正确. 【答案】 C 二、填空题 5.已知|a |=2,|b |=3,〈a ,b 〉=60°,则|2a -3b |=________. 【解析】 |2a -3b |2=(2a -3b )2=4a 2-12a ·b +9b 2 =4×|a |2+9×|b |2-12×|a |·|b |·cos 60°=61,

高中数学学案平面向量的坐标运算(教\学案)

2. 3.3平面向量的坐标运算 【教学目标】 1.能准确表述向量的加法、减法、实数与向量的积的坐标运算法则,并能进行相关运算,进一步培养学生的运算能力; 2.通过学习向量的坐标表示,使学生进一步了解数形结合思想,认识事物之间的相互联系,培养学生辨证思维能力. 【教学重难点】 教学重点: 平面向量的坐标运算. 教学难点: 对平面向量坐标运算的理解. 【教学过程】 一、〖创设情境〗 以前,我们所讲的向量都是用有向线段表示,即几何的方法表示。向量是否可以用代数的方法,比如用坐标来表示呢?如果可能的话,向量的运算就可以通过坐标运算来完成,那么问题的解决肯定要方便的多。因此,我们有必要探究一下这个问题:平面向量的坐标运算。 二、〖新知探究〗 思考1:设i 、j 是与x 轴、y 轴同向的两个单位向量,若设a =(x 1, y 1) b =(x 2, y 2)则a =x 1i +y 1j ,b =x 2i +y 2j ,根据向量的线性运算性质,向量a +b ,a -b ,λa (λ ∈R )如何分别用基底i 、j 表示? a +b =(x 1+x 2)i +(y 1+y 2)j , a -b =(x 1-x 2)i +(y 1-y 2)j , λa =λx 1i +λy 1j . 思考2:根据向量的坐标表示,向量a +b ,a -b ,λa 的坐标分别如何? a +b =(x 1+x 2,y 1+y 2); a -b =(x 1-x 2,y 1-y 2); λa =(λx 1,λy 1). 两个向量和与差的坐标运算法则: 两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差. 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. 思考3:已知点A(x 1, y 1),B(x 2, y 2),那么向量的坐标如何?

空间向量的数量积运算练习题

空间向量的数量积运算 练习题 Document serial number【KK89K-LLS98YT-SS8CB-SSUT-SST108】

课时作业(十五) 一、选择题 1.设a 、b 、c 是任意的非零平面向量,且它们相互不共线,下列命题:①(a ·b )c -(c ·a )b =0;②|a |=a ·a ;③a 2b =b 2a ;④(3a +2b )·(3a -2b )=9|a |2-4|b |2.其中正确的有( ) A .①② B .②③ C .③④ D .②④ 【解析】 由于数量积不满足结合律,故①不正确,由数量积的性质知②正确,③中|a |2·b =|b |2·a 不一定成立,④运算正确. 【答案】 D 2.已知a +b +c =0,|a |=2,|b |=3,|c |=4,则a 与b 的夹角〈a ,b 〉=( ) A .30° B .45° C .60° D .以上都不对 【解析】 ∵a +b +c =0,∴a +b =-c ,∴(a +b )2=|a |2+|b |2 +2a ·b =|c |2 ,∴a ·b =32,∴cos 〈a ,b 〉=a ·b |a ||b |=1 4 . 【答案】 D 3.已知四边形ABCD 为矩形,PA ⊥平面ABCD ,连结AC ,BD , PB ,PC ,PD ,则下列各组向量中,数量积不为零的是( ) A.PC →与BD → B.DA →与PB → C.PD →与AB → D.PA →与CD → 【解析】 用排除法,因为PA ⊥平面ABCD ,所以PA ⊥CD ,故PA →·CD → =0,排除D ;因为AD ⊥AB ,PA ⊥AD ,又PA ∩AB =A ,所以AD

平面向量数量积的坐标表示

§5.7平面向量数量积的坐标表示 教学目的:要求学生掌握平面向量数量积的坐标表示,掌握向量垂直的坐标表示的充要条件。 教学重点:平面向量数量积的坐标表示及由其推出的重要公式 教学难点:向量数量积坐标表示在处理有关长度、角度、垂直问题中的应用 教学方法; 启发式 教学过程: 一、复习引入 1.两平面向量垂直的充要条件。2.两向量共线的坐标表示: 二、新课讲解: 1.x 轴上单位向量i ,y 轴上单位向量j ,则:i ?i = 1,j ?j = 1,i ?j = j ?i = 0 2.设a = (x 1, y 1),b = (x 2, y 2) 则 ∵a = x 1i + y 1j , b = x 2i + y 2j ∴a ?b = (x 1i + y 1j )(x 2i + y 2j ) = x 1x 2i 2 + x 1y 1i ?j + x 2y 1i ?j + y 1y 2j 2 = x 1x 2 + y 1y 2.从而获得公式:a ?b = x 1x 2 + y 1y 2 3.长度、夹角、垂直的坐标表示 1?长度:a = (x , y ) ? |a|2 = x 2 + y 2 ? |a | =22y x + 2?两点间的距离公式:若A = (x 1, y 1),B = (x 2, y 2),则=221221)()(y y x x -+- 3? 夹角:co s θ =||||b a b a ??222221212 121y x y x y y x x +++= 4?垂直的充要条件:∵a ⊥b ? a ?b =0即x 1x 2 + y 1y 2 = 0(注意与向量共线的坐标表示的区别) 4、阅读课本120页例1与例2.完成课本121页练习。 三、例与练习 例1、如图,以原点和A (5, 2)为顶点作等腰直角△OAB ,使∠B = 90?, 求点B 和向量的坐标。

平面向量数量积运算专题(附答案解析)

平面向量数量积运算 题型一 平面向量数量积的基本运算 例1 (1)(2014·天津)已知菱形ABCD 的边长为2,∠BAD =120°,点E ,F 分别在边BC , DC 上,BC =3BE ,DC =λDF .若AE →·AF → =1,则λ的值为________. (2)已知圆O 的半径为1,PA ,PB 为该圆的两条切线,A ,B 为切点,那么PA →·PB → 的最小值为( ) A.-4+ 2 B.-3+2 C.-4+2 2 D.-3+22 变式训练1 (2015·湖北)已知向量OA →⊥AB →,|OA →|=3,则OA →·OB → =________. 题型二 利用平面向量数量积求两向量夹角 例2 (1)(2015·重庆)若非零向量a ,b 满足|a |=22 3|b |,且(a -b )⊥(3a +2b ),则a 与b 的夹角为( ) D.π (2)若平面向量a 与平面向量b 的夹角等于π 3,|a |=2,|b |=3,则2a -b 与a +2b 的夹 角的余弦值等于( ) B.-1 26 D.-112 变式训练2 (2014·课标全国Ⅰ)已知A ,B ,C 为圆O 上的三点,若AO →=12(AB →+AC → ),则 AB →与AC → 的夹角为________.

题型三 利用数量积求向量的模 例3 (1)已知平面向量a 和b ,|a |=1,|b |=2,且a 与b 的夹角为120°,则|2a +b |等于( ) (2)已知直角梯形ABCD 中,AD ∥BC ,∠ADC =90°,AD =2,BC =1,P 是腰DC 上的动点,则|PA →+3PB → |的最小值为________. 变式训练3 (2015·浙江)已知e 1,e 2是平面单位向量,且e 1·e 2=1 2 .若平面向量b 满足 b ·e 1=b ·e 2=1,则|b |=________. 高考题型精练 1.(2015·山东)已知菱形ABCD 的边长为a ,∠ABC =60°,则BD →·CD → 等于( ) A.-32 a 2 B.-34 a 2 a 2 a 2 2.(2014·浙江)记max{x ,y }=? ?? ?? x ,x ≥y , y ,x

第八讲向量的坐标表示及其运算

第八讲向量的坐标表示及其运算 一、知识点 (一)向量及其表示: 1.平面向量的有关概念: (1)向量的定义:既有大小又有方向的量叫做向量. (2)表示方法:用有向线段来表示向量.有向线段的长度表示向量的大小,用箭头所指的方向表示向量的方向.用字母a ,b ,…或用AB ,BC ,…表示. (3)模:向量的长度叫向量的模,记作|a |或|AB |. (4)零向量:长度为零的向量叫做零向量,记作0;零向量的方向不确定. (5)单位向量:长度为1个长度单位的向量叫做单位向量. (6)共线向量:方向相同或相反的向量叫共线向量,规定零向量与任何向量共线. (7)相等的向量:长度相等且方向相同的向量叫相等的向量. 2向量坐标的有关概念 (1)基本单位向量 (2)位置向量 (3)向量的正交分解 3.向量的坐标运算:设 ),(),(),(),,(112 1212211y x a y y x x b a y x b y x a λλλλ=±±=±?∈==ρρρρρ ,, 4.向量的摸:22y x a += ρ (二)向量平行的充要条件: 1向量共线定理:向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且仅有一个实数λ,使得b =λa ,即b ∥a ?b =λa (a ≠0). 2设a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2)则b ∥a ?1221y x y x = (三)定比分点公式: 1线段的定比分点是研究共线的三点P 1,P ,P 2坐标间的关系.应注意:(1)点P 是不同于P 1,P 2的直线P 1P 2上的点;(2)实数λ是P 分有向线段21P P 所成的比,即P 1→P ,P →P 2的顺序,不能搞错;(3)定比 分点的坐标公式??? ??? ? ++=++=λλλλ112121y y y x x x ,(λ≠-1). 2中点坐标公式 3三角形重心坐标公式 二、典型例题 例1若向量b a ,. 满足.b a b a -=+,则b a 与所成角的大小为多少? 例2 下列哪些是向量?哪些是标量? (1)浓度 (2)年龄 (3)风力 (4) 面积 (5)位移 (6)人造卫星速度 (7)向心力 (8)电量 (9)盈利 (10)动量

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