2014年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)
文科数学
本试卷分第I卷和第II 卷两部分,共4页。满分150分,考试用时120分钟。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项:
1. 答题前,考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。
2. 第I 卷每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如果改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号、答案写在试卷上无效。
3. 第II 卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置,不能写在试卷上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不能使用涂改液、胶带纸、修正带,不按以上要求作答的答案无效。
4. 填空题请直接填写答案,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 参考公式:
如果事件A ,B 互斥,那么()()()P A B P A P B +=+
第I卷(共50分)
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
(1) 已知,,a b R i ∈是虚数单位. 若a i +=2bi -,则2
()a bi +=
(A) 34i -
(B) 34i +
(C) 43i -
(D)
43i +
(2) 设集合2
{|20},{|14}A x x x B x x =-<=≤≤,则A B =
(A) (0,2]
(B) (1,2)
(C) [1,2)
(D)
(1,4)
(3) 函数21
()log 1
f x x =-的定义域为
(A) (0,2)
(B) (0,2]
(C) (2,)+∞
(D)
[2,)+∞
(4) 用反证法证明命题:“设,a b 为实数,则方程3
0x ax b ++=至少有一个实根”时,要做的假设是
(A) 方程3
0x ax b ++=没有实根
(B) 方程3
0x ax b ++=至多有一个实根
(C) 方程3
0x ax b ++=至多有两个实根
(D) 方程3
0x ax b ++=恰好有两个实根
(5) 已知实数,x y 满足(01)x
y
a a a <<<,学科网则下列关系式恒成立的是 (A) 3
3
x y >
(B) sin sin x y >
(C) 2
2
ln(1)ln(1)x y +>+
(D)
22
11
11
x y >++ (6) 已知函数log ()(,0,1)a y x c a c a a =+>≠为常数,其中的图象如右图,则下列结论成立的是
(A) 0,1a c >>
(B) 1,01a c ><<
(C) 01,1a c <<>
(D) 01,01a c <<<<
(7) 已知向量(1,3),(3,)a b m ==. 若向量,a b 的夹角为6
π
,则实数m =
(A) 23
(B)
3
(C) 0
(D) 3-
(8) 为了研究某药品的疗效,选取若干名志愿者进行临床试验,所有志愿者的舒张压数据(单位:kPa )的分组区间为[12,13),[13,14),[14,15),[15,16),[16,17],将其按从左到右的顺序分别编号为第一组,第二组,……,第五组,右图是根据试验数据制成的频率分布直方图。已知第一组与第二组共有20人,第三组中没有疗效的有6人,则第三组中有疗效的人数为
(A) 6 (B) 8 (C) 12
(D) 18
x
E
O
1716
15141312
/kPa 舒张压频率/组距
0.36
0.08
0.160.24
(9) 对于函数()f x ,若存在常数0a ≠,学科网使得x 取定义域内的每一个值,都有()(2)f x f a x =-,则称()f x 为准偶函数,下列函数中是准偶函数的是 (A) ()f x x =
(B) 3
()f x x =
(C) ()tan f x x =
(D) ()cos(1)f x x =+
(10) 已知,x y 满足约束条件10,230,x y x y --≤??--≥?
当目标函数z ax by =+(0,0)a b >>在该约束条件下取
到最小值25时,22
a b +的最小值为
(A) 5 (B) 4 (C)
5
(D) 2
第II 卷(共100分)
二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.
(11) 执行右面的程序框图,若输入的x 的值为1,则输出的n 的值为 . (12) 函数23
sin 2cos 2
y x x =
+的最小正周期为 . (13) 一个六棱锥的体积为23,其底面是边长为2的正六边形,侧棱长都相等,则该六棱锥的侧面积为 。
(14) 圆心在直线20x y -=上的圆C 与y 轴的正半轴相切,圆C 截x 轴所得弦的长为23,则圆C 的标准方程为 。 (15) 已知双曲线
22
221(0,0)x y
a b a b
-=>>的焦距为2c ,右顶点为A ,抛物线2
2(0)x py p =>的焦点为F ,若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c ,且||FA c =,则双曲线的渐近线方程为 。 三、解答题:本大题共6小题,共75分. (16)(本小题满分12分)
海关对同时从A ,B ,C 三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测,从各地区进口此种商品的数量(单位:件)如右表所示. 工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.
地区 A B C 数量
50
150
100
开始 输入x
是
n =3
430
x x -+≤结束
1x x =+否
输入x 1
n n =+
(I)求这6件样品中来自A ,B ,C 各地区商品的数量;
(II )若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测,求这2件商品来自相同地区的概率.
(17) (本小题满分12分)
ABC ?中,角A ,B ,C 所对的边分别为,,a b c . 已知63,cos ,32
a A B A π==
=+. (I)求b 的值; (II )求ABC ?的面积. (18)(本小题满分12分)
如图,四棱锥P ABCD -中,1
,,,,2
AP PCD AD BC AB BC AD E F ⊥==
平面∥分别为线段,AD PC 的中点.
(I)求证:AP BEF ∥平面; (II )求证:BE PAC ⊥平面. (19) (本小题满分12分)
在等差数列{}n a 中,已知公差12a =,2a 是1a 与4a 的等比中项. (I)求数列{}n a 的通项公式;
(II )设(1)2
n n n b a +=,记1234(1)n
n n T b b b b b =-+-+-+-…,求n T .
(20) (本小题满分13分)
A
D D D D D
D
设函数1
()ln 1
x f x a x x -=+
+ ,其中a 为常数. (I)若0a =,求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程; (II )讨论函数()f x 的单调性. (21)(本小题满分14分)
学科网在平面直角坐标系xOy 中,椭圆2222:1(0)x y C a b a b
+=>>的离心率为3
2,直线y x =被椭
圆C 截得的线段长为
410
5
. (I)求椭圆C 的方程;
(II )过原点的直线与椭圆C 交于A ,B 两点(A ,B 不是椭圆C 的顶点). 点D 在椭圆C 上,且AD AB ⊥,直线BD 与x 轴、y 轴分别交于M ,N 两点.
(i )设直线BD ,AM 的斜率分别为12,k k ,证明存在常数λ使得12k k λ=,并求出λ
的值;
(ii )求OMN ?面积的最大值.