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2014年高考文科数学山东卷真题(word版)

2014年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)

文科数学

本试卷分第I卷和第II 卷两部分,共4页。满分150分,考试用时120分钟。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项:

1. 答题前,考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。

2. 第I 卷每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如果改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号、答案写在试卷上无效。

3. 第II 卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置,不能写在试卷上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不能使用涂改液、胶带纸、修正带,不按以上要求作答的答案无效。

4. 填空题请直接填写答案,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 参考公式:

如果事件A ,B 互斥,那么()()()P A B P A P B +=+

第I卷(共50分)

一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

(1) 已知,,a b R i ∈是虚数单位. 若a i +=2bi -,则2

()a bi +=

(A) 34i -

(B) 34i +

(C) 43i -

(D)

43i +

(2) 设集合2

{|20},{|14}A x x x B x x =-<=≤≤,则A B =

(A) (0,2]

(B) (1,2)

(C) [1,2)

(D)

(1,4)

(3) 函数21

()log 1

f x x =-的定义域为

(A) (0,2)

(B) (0,2]

(C) (2,)+∞

(D)

[2,)+∞

(4) 用反证法证明命题:“设,a b 为实数,则方程3

0x ax b ++=至少有一个实根”时,要做的假设是

(A) 方程3

0x ax b ++=没有实根

(B) 方程3

0x ax b ++=至多有一个实根

(C) 方程3

0x ax b ++=至多有两个实根

(D) 方程3

0x ax b ++=恰好有两个实根

(5) 已知实数,x y 满足(01)x

y

a a a <<<,学科网则下列关系式恒成立的是 (A) 3

3

x y >

(B) sin sin x y >

(C) 2

2

ln(1)ln(1)x y +>+

(D)

22

11

11

x y >++ (6) 已知函数log ()(,0,1)a y x c a c a a =+>≠为常数,其中的图象如右图,则下列结论成立的是

(A) 0,1a c >>

(B) 1,01a c ><<

(C) 01,1a c <<>

(D) 01,01a c <<<<

(7) 已知向量(1,3),(3,)a b m ==. 若向量,a b 的夹角为6

π

,则实数m =

(A) 23

(B)

3

(C) 0

(D) 3-

(8) 为了研究某药品的疗效,选取若干名志愿者进行临床试验,所有志愿者的舒张压数据(单位:kPa )的分组区间为[12,13),[13,14),[14,15),[15,16),[16,17],将其按从左到右的顺序分别编号为第一组,第二组,……,第五组,右图是根据试验数据制成的频率分布直方图。已知第一组与第二组共有20人,第三组中没有疗效的有6人,则第三组中有疗效的人数为

(A) 6 (B) 8 (C) 12

(D) 18

x

E

O

1716

15141312

/kPa 舒张压频率/组距

0.36

0.08

0.160.24

(9) 对于函数()f x ,若存在常数0a ≠,学科网使得x 取定义域内的每一个值,都有()(2)f x f a x =-,则称()f x 为准偶函数,下列函数中是准偶函数的是 (A) ()f x x =

(B) 3

()f x x =

(C) ()tan f x x =

(D) ()cos(1)f x x =+

(10) 已知,x y 满足约束条件10,230,x y x y --≤??--≥?

当目标函数z ax by =+(0,0)a b >>在该约束条件下取

到最小值25时,22

a b +的最小值为

(A) 5 (B) 4 (C)

5

(D) 2

第II 卷(共100分)

二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.

(11) 执行右面的程序框图,若输入的x 的值为1,则输出的n 的值为 . (12) 函数23

sin 2cos 2

y x x =

+的最小正周期为 . (13) 一个六棱锥的体积为23,其底面是边长为2的正六边形,侧棱长都相等,则该六棱锥的侧面积为 。

(14) 圆心在直线20x y -=上的圆C 与y 轴的正半轴相切,圆C 截x 轴所得弦的长为23,则圆C 的标准方程为 。 (15) 已知双曲线

22

221(0,0)x y

a b a b

-=>>的焦距为2c ,右顶点为A ,抛物线2

2(0)x py p =>的焦点为F ,若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c ,且||FA c =,则双曲线的渐近线方程为 。 三、解答题:本大题共6小题,共75分. (16)(本小题满分12分)

海关对同时从A ,B ,C 三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测,从各地区进口此种商品的数量(单位:件)如右表所示. 工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.

地区 A B C 数量

50

150

100

开始 输入x

n =3

430

x x -+≤结束

1x x =+否

输入x 1

n n =+

(I)求这6件样品中来自A ,B ,C 各地区商品的数量;

(II )若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测,求这2件商品来自相同地区的概率.

(17) (本小题满分12分)

ABC ?中,角A ,B ,C 所对的边分别为,,a b c . 已知63,cos ,32

a A B A π==

=+. (I)求b 的值; (II )求ABC ?的面积. (18)(本小题满分12分)

如图,四棱锥P ABCD -中,1

,,,,2

AP PCD AD BC AB BC AD E F ⊥==

平面∥分别为线段,AD PC 的中点.

(I)求证:AP BEF ∥平面; (II )求证:BE PAC ⊥平面. (19) (本小题满分12分)

在等差数列{}n a 中,已知公差12a =,2a 是1a 与4a 的等比中项. (I)求数列{}n a 的通项公式;

(II )设(1)2

n n n b a +=,记1234(1)n

n n T b b b b b =-+-+-+-…,求n T .

(20) (本小题满分13分)

A

D D D D D

D

设函数1

()ln 1

x f x a x x -=+

+ ,其中a 为常数. (I)若0a =,求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程; (II )讨论函数()f x 的单调性. (21)(本小题满分14分)

学科网在平面直角坐标系xOy 中,椭圆2222:1(0)x y C a b a b

+=>>的离心率为3

2,直线y x =被椭

圆C 截得的线段长为

410

5

. (I)求椭圆C 的方程;

(II )过原点的直线与椭圆C 交于A ,B 两点(A ,B 不是椭圆C 的顶点). 点D 在椭圆C 上,且AD AB ⊥,直线BD 与x 轴、y 轴分别交于M ,N 两点.

(i )设直线BD ,AM 的斜率分别为12,k k ,证明存在常数λ使得12k k λ=,并求出λ

的值;

(ii )求OMN ?面积的最大值.

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