SPC管制图做法及应用

常规控制图的作法及其应用

一:管制图的概论

任何产品或事物均有变异存在,即没有任何两件产品是完全相同的,因此如何控制变异使之在我们可以接受的范围内,乃是产品生产过程中的重要品管工作.

管制图是极具有功效的管制工具之一,用以侦测品质变异的原因,然后采取对策以消除其原因,使生产过程恢复正常.

管制图是由三条管制界限,即中心线,上管制界限及下管制界限组成的图形,并将生产过程中所获得的统计量绘入图中,以判定其为管制中抑管制外,如果其状况是属于管制中时,显示生产过程的变异行为掌握在我们的预知中,继续生产.但若其状况是属于管制外,则显示其变异情况已超出我们的控制外,必须控讨其发生的原因,采取对策以矫正之.

为发探讨管制图.必须注意下面三项主要因素:

变异的原因:管制图的目的在于探讨变异的行为及原因,以便消除之,其原因通常可分为机遇原因及非机遇原因.

管制图的设计:即决定管制界限的宽度以给制其上管制界限,中心线及下管制界限.此外尚须决定样本大小及抽样间距.

管制图的讯号:管制图是透过异行为来判定其为管制中或管制外,其发生原因为何,如保采取对策,也是管制图的核心.

1. 所谓管制图:管制图上均包含有中心线(Central line (CL)) 及上下两条管制界线[Uppe r and Lowe r Control

Lim i ts, (UCL)(LCL)]，用以测知制程是否在正常状态。

2. 管制图系于1924 年由美国品管大师W. A . S h e w h a r t 博士发明。

3. 管制图最主要之用途为察觉制程有无产生变异之“ 非机遇原因” ，所谓非机遇原因，就是引起质量大变动之原

因。

4. 管制图与一般统计图不同，因其不仅能将数值以曲线表示出来，以观其变异之趋势，且能显示变异系属于机遇

性或非机遇性者，以指示某种现象是否正常，而备采取适当之措施。

二.管制图原理

1. 变异―机遇及非机遇原因

1.1 量度产品时，如果制程很稳定，则将形成一种固定形状,称为分配。如果制程中，只有机遇原因之变异存在，则

其成品将形成一个很稳定之分布，而且是可以预测的。如果制程中有非机遇原因之变异存在，则其成品将不稳定，而且无法预测。

1.2 机遇原因(Chance causes) 又称为：不可避免之原因、非人为原因、共同原因、偶然原因、一般原因等。

例如：

Δ原料之微小变异。

Δ机械之微小振动。

Δ仪器测定时不十分精确之量法。

Δ气候及环境之变化.

1.3 非机遇原因又称为：可避免之原因、人为原因、特殊原因、异常原因、局部原因等等。

例如:

Δ未遵照操作标准而操作，所发生之变异。

Δ虽然遵照操作标准，但操作标准不完善，以致发生之变异。

Δ机器设备之变动，发生之变异。

Δ操作人员之更动，造成之变异。

Δ原材料之不同，发生之变异。

Δ量具不准确，造成之变异

2.何谓变异性

在生产中变异永远存在.例如:同种原料内的变化,机械的振动,当这些变化量极小时,制程仍可被接受.这些称为机遇原因(chance cause)或一般原因(common cause),称其在管制中(in control)

2.1机遇原因(Chance causes)：又称为不可避免之原因,非人为原因,共同原因,偶然原因,一般原因等若能及早发现可归属原因,则可避免再制造出更多不合格的产品.因此有制程管制的一些方法,如:品管七大手法,管制图,制程能力分析,这些有助于迅速侦测出制程发生变异及找出变异发生的原因.

2.2非机遇原因(Assignable causes)：又称为可避免之原因,人为原因,特殊原因,异常原因,局部原因等

此外,制程中可能有其它变因,如参数调整不当,原料不良,机器故障,这些变异称为可归属原因(assignable cause),或特殊原因(special cause),称为制程失控(out of control).

3.(非)机遇原因之辨别

机遇原因与非机遇原因之辨别

机遇原因之变异非机遇原因之变异

(1).大量之微小原因所引起(1).一个或少数几个较大原因所引起

(2).其个别之变异极为微小(2).可能发生大变异

(3).几个较为代表性; (3).几个较为代表性;

1.原料之微小异常 1.原材群体不良

2.机械之微小震动 2.不完全之机械调整

3.仪器测定时不十分精确之做法 3.新手之作业员

(4).要除去变异原因,是件非常(4).不但可找出原因,并且除去这些

4.数据的分类(Classification of Data)

数据的整理及分析,因数据型态之不同有不同的整理与分析方法,单位产品的质量特性及其衡量方式可归纳为

4.1计数值数据(Attribute Data)

数据均属予以单位计算者,如

PCB上的不良悍点数,

每公尺棉布有几个疵点等特性均为间断性者

4.2.计量值数据(Variable Data)

数据均属由量具实际量测而得.如 长度, 重量, 成分,

厚度等特性均为连续性者 5.管制图种类

计量值管制图(Control Charts for Variables) 平均值与全距管制图(X-R Chart) 平均值标准差管制图(X-sChart) 中位数与全距管制图(Me-R Chart) 个别值与移动全距管制图(X-Rs Chart) 计量值管制图(Control Charts for Attribute) 不良率管制图(P Chart) 不良数管制图(pn Chart) 缺点数管制图(C Chart) 单位缺点数管制图(u Chart) 6.管制图与常态分配

管制图之种类虽然很多,但都是以同样之统计原理为出发点.

假设有群体,其平均值为 μ, 标准差为σ, 如图,抽取一个样本x 时,其值会小于μ-3σ 或大于μ+3σ之机会为0.27% ,x 值在μ+k σ与μ-k σ之间称为机率

当一分配经证实为一常态分配时,则算出此常态分配之标准差σ及平均值μ后，其特性可用下列图表说明：

μ μ+k σ

μ- k σ

管制图是以3个标准差为基础,换言之,只要群体是常态分配,从群体中抽样时, 每10000个当中即有27个会跑出±3σ之外,亦即每1000次中约有3次机会超出±3σ范围,吾人认为此三次是因机遇原因跑出界线而不予计较

7.管制界限之构成

－３σ－２σ－１σ＋１σ＋２σ＋３σ

8.管制图建立步骤：

1.选择质量特性

2.决定管制图之种类

3.决定样本大小,抽样频率和抽样方式

4.收集数据

5.计算管制参数(上,下管制界线等)

6.持续收集数据,利用管制图监视制程

9.管制图之绘制流程

計算Cp,Cpk

三、各类常规控制图的使用场合

1．X-R控制图

用于控制对象为长度、重量、强度、纯度、时间、收率和生产量等计量值的场合。X控制图主要用于观察正态分布的均值的变化，R控制图主要用于观察正态分布分散或变异情况的变化，而X-R控制图则将二者联合运用，用于观察正态分布的变化。

2．X-s控制图

与X-R图相似，只是用标准差（s）图代替极差（R）图而已。

3．Me-R控制图

与X-R图也很相似，只是用中位数（Me）图代替均值（X）。

4．X-Rs控制图

多用于对每一个产品都进行检验，采用自动化检查和测量的场合。

5．p控制图

用于控制对象为不合格品率或合格品率等计数质量指标的场合，使用p图时应选择重要的检查项目作为判断不合格品的依据；它用于控制不合格品率、交货延迟率、缺勤率、差错率等。

6．np控制图

用于控制对象为不合格品数的场合。设n为样本，p为不合格品率，则np为不合格品数。

7．c控制图

用于控制一部机器，一个部件，一定长度，一定面积或任何一定的单位中所出现的不合格数目。

焊接不良数/误记数/错误数/疵点/故障次数

8．u控制图

当上述一定的单位，也即n保持不变时可以应用c控制图，而当n有变化时则应换算为平均每项单位的不合格数后再使用u控制图。

二、应用控制图需要考虑的一些问题

控制图用于何处？对于所确定的控制对象——统计量应能够定量，这样才能够应用计量控制图；如果只有定性的描述而不能够定量，那就只能应用计数控制图。所控制的过程必须具有重复性，即具有统计规律。

如何选择控制对象？一个过程往往具有各种各样的特性，在使用控制图时应选择能够真正代表过程的主要指标作为控制对象。

怎样选择控制图？选择控制图主要考虑以下几点：首先根据所控制质量特性的数据性质来进行选择，如数据为连续值的应选择X-R图，X-s图，X-Rs图等；数据为计件值的应选择p或np图；数据为计点值的应选择c图或u图。最后，还需要考虑其它要求；如样本抽取及测量的难易和费用高低。

如何分析控制图？如果在控制图中点子未出界，同时点子的排列也是随机的，则认为生产过程处于稳定状态或统计控制状态。如果控制图点子出界或界内点排列非随机，就认为生产过程失控。

注：对于应用控制图的方法还不够熟悉的工作人员来说，即使在控制图点子出界的场合，也首先应该从下列几个方面进行检查：样本的抽取是否随机？测量有无差错？数字的读取是否正确？计算有无错误？描点有无差错？然后再来调查过程方面的原因，经验证明这点十分重要。

对于点子出界或违反其它准则的处理。若点子出界或界内点排列非随机，应立即查明原因并采取措施尽量防止它再次出现。

控制图的重新制定。控制图是根据稳态下的条件（人员、设备、原材料、工艺方法、环境、测量，即5M1E）来制定的。如果上述条件变化，控制图也必须重新加以制定；由于控制图是科学管理生产过程的重要依据，所以经过相当时间的使用后应重新抽取数据，进行计算，加以检验。

计量控制图和计数控制图可分为未给定标准值和给定标准值两种情形，两种情形不能混淆。

控制图的保管问题。控制图属于技术资料，应加以妥善保管，这些资料对于今后在产品设计和制定规范方面都是十分有用的。

三、X-R控制图

（一）、X-R控制图的特点：

（1）适用范围广

（2）灵敏度高

（二）、X-R图的作法：

表1-

为了求出估计值，需要收集预备数据如表1- 。从表1- 的数据可求得：

总平均值为：

极差为：

Ri=Xi max-Xi min

平均极差值为：

于是X图的中心线及控制限为：

UCL x =X+A2R

CL x =X

LCL x=X - A2R

式中，，参见表2-

表2- 系数A2

R图的中心线及控制限为：

式中，系数D3、D4分别为：

D3=1-3d3/d2

D4=1+3d3/d2

D3、D4为样本量n有关的系数，参见表3-

注：1．在许多控制图中，正如X-R图，在确定中心线及控制限时，需要抽取多个样本，在标准中，这样的样本也称为子组，因而n也称为子组大小，而m称为子组数。

2．表中的0表示LCL为负值，但R不可能为负，故LCL=0仅表示为R的自然下界，而非下控限。为了更清晰地表示这一点。可将下控制限写成：LCL=—。

在X-R图中，我们应该先作哪一个图？

（1）如果先作X图，则由于这时R图还未判稳，R的数据不可用，故不可行。

（2）如果先作R图，则由于R图中只有R一个数据，可行。等R图判稳后，再作X图。

故作X-R图应倒过来作，先作R图，R图判稳后，再作X图。若R图未判稳，则不能开始作X图。国标GB/T 4091-2001也规定了在X-R图中心须先作R图。不但如此，注意，所有正态分布的控制图都必须倒过来作。

（三）、X-R控制图的操作步骤

步骤1：确定控制对象，或称统计量。

这里要注意下列各点：

（1）选择技术上最重要的控制对象。

（2）若指标之间有因果关系，则宁可取作为因的指标为统计量。

（3）控制对象要明确，并为大家理解与同意。

（4）控制对象要能以数字来表示。

（5）控制对象要选择容易测定并对过程容易采取措施者。

步骤2：取预备数据（Preliminary data）。

（1）取25个子组。

（2）子组大小取为多少？国标推荐样本量为4或5。

（3）合理子组原则。合理子组原则是由休哈特本人提出的，其内容是：“组内差异只由偶因造成，组间差异主要由异因造成”。其中，前一句的目的是保证控制图上、下控制线的间隔距离6σ为最小，从而对异因能够及时发出

统计信号。由此我们在取样本组，即子组时应在短间隔内取，以避免异因进入。根据后一句，为了便于发现异

因，在过程不稳，变化激烈时应多抽取样本，而在过程平稳时，则可少抽取样本。

如不遵守上述合理子组原则，则在最坏情况下，可使控制图失去控制的作用。

步骤3：计算Xi，Ri。

步骤4：计算X，R。

步骤5：计算R图控制线并作图。

步骤6：将预备数据点绘在R图中，并对状态进行判断。

若稳，则进行步骤7；若不稳，则除去可查明原因后转入步骤2重新进行判断。

步骤7：计算X图控制线并作图。将预备数据点绘在X图中，对状态进行判断。

若稳，则进行步骤8；若不稳，则除去可查明原因后转入步骤2重新进行判断。

步骤8：计算过程能力指数并检验其是否满足技术要求。

若过程能力指数满足技术要求，则转入步骤9。

步骤9：延长X-R控制图的控制线，作控制用控制图，进行日常管理。

上述步1~步骤8为分析用控制图。

上述步骤9为控制用控制图。

（四）、X-R控制图示例

[例1]某手表厂为了提高手表的质量，应用排列图分析造成手表不合格品的各种原因，发现“停摆”占第一位。为了解决停摆问题，再次应用排列图分析造成停摆的原因，结果发现主要是由于螺栓松动引发的螺栓脱落造成的。为此厂方决定应用控制图对装配作业中的螺栓扭矩进行过程控制。

分析：螺栓扭矩是一计量特性值，故可选用基于正态分布的计量控制图。又由于本例是大量生产，不难取得数据，故决定选用灵敏度高的X-R图。

解：我们按照下列步骤建立X-R图：

步骤1：取预备数据，然后将数据合理分成25个分子组，参见表3- 。

步骤2：计算各组样本的平均数Xi 。例如，第一组样本的平均值为，其余参用表中第（7）栏：

步骤3：计算各级样本的极差R 。例如第一组样本的极差为R1=max{x1j}-min{x1j}=174-154=20

表3- [例1]的数据与X-R 图计算表

X i1（1）

X i2（2）

X i3（3）

X i4（4）

X i5（5）

1154174164166162820164.0202166170162166164828165.683168166160162160816163.284168164170164166832166.465153165162165167812162.4146164158162172168824164.8147167169159175165835167.0168158160162164166810162.089156162164152164798159.61210174162162156174828165.61811168174166160166834166.81412148160162164170804160.82213165159147153151775155.01814164166164170164828165.6615162158154168172814162.81816158162156164152792158.41217151158154181168812162.43018166166172164162830166.01019170170166160160826165.21020168160162154160804160.81421162164165169153813162.61622166160170172158826165.21423172164159167160822164.41324174164166157162823164.61725

151

160

164

158

170

803

160.6

19

R i （8）

观 测 值

序号

X i （7）

步骤4：计算样本总均值X 与平均样本极差R 。由于∑X i =4081.8, ∑R=357,故：

X=163.272，R=14.280

步骤5：计算R 图的参数。

先计算R 图的参数。从本节表3- 可知，当子组大小n=5，D 4=2.114，D 3=0，代入R 图的公式，得到： UCL R =D 4R=2.114х14.280=30.188 CL R =R =14.280 LCL R =D 3R= —

14.280

30.188

图1- [例1]的第一次X-R 图

参见图1-。可见现在R 图判稳。故接着再建立X 图。由于n=5，从表2- 知A 2=0.577,再将X=163.272,R=14.280

代入X 图的公式，得到X 图：

UCLx=X+A 2R=163.272+0.577×14.280≈171.512 CLx=X=163.272

LCLx=X-A 2R=163.272-0.577×14.280≈155.032

因为第13组X 155.00小于UCLx ，故过程的均值失控。经调查其原因后，改进夹具，然后去掉第13组数据，再重新计算R 图与X 图的参数。此时，

代入R 图与X 图的公式，得到R 图：

从表3- 可见，R 图中第17组R=30出界。于是，舍去该组数据，重新计算如下：

R 图：

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25

均值控制图

155．032

163．272

171．512

从表3- 可见，R 图可判稳。于是计算X 图如下： X 图：

将其余23组样本的极差与均值分别打点于R 图与X 图上，见图2- 此时过程的变异与均值均处于稳态。

步骤6：与规范进行比较。

对于给定的质量规范T L =140，T U =180，利用R 和

X 计算C P 。

图2- [例1]的第二次X-R 图

由于X=163.670与容差中心M=160不重合，所以需要计算Cpk 。

可见，统计过程状态下的Cp 为1.16>1,但是由于μ与M 偏离，所以Cpk<1。因此，应根据对手表螺栓扭矩的质量要求，确定当前的统计过程状态是否满足设计的、工艺的和顾客的要求，决定是否以及何时对过程进行调整。若需调整，那么调整数应重新收集数据，绘制X-R 图。

步骤7：延长统计过程状态下的X-R 图的控制限，进入控制用控制图阶段，实现对过程的日常控制。

四、X-s 图

[例2]为充分利用子组信息，对[例1]选用X-s 图。

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 极差控制图

0.000 13.435

28.402 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 均值控制图 155．918

163．670 171．422

解：步骤如下：

步骤1：依据合理分组原则，取得25组预备数据，参见表4- 表4- 手表的螺栓扭矩

步骤2：计算各子组的平均值Xi 和标准差Si 。

各子组的平均值见表4- （与表3-相同），而标准差需要利用有关公式计算，例如，第一子组的标准差为：

其余参见表4- 中的标准差栏。

步骤3：计算所有观测值的总平均值X 和平均标准差s 。得到X=163.256 s=5.644 步骤4：计算s 图的控制限，绘制控制图。

先计算s 图的控制限。当子组大小n=5时，B 4=2.089,B 3=0,代入s 图公式，得到：

相应的s 控制图见图3- 。

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25

0.000

5．644 11．790

可见，s 图在第17点超出了上控制限，应查找异常的原因，采取措施加以纠正。为了简单起见，我们将第17子组剔除掉。利用剩下的24个子组来重新计算X-s 控制图的控制限。得到

X=163.292,s=5.370

B4=2.089,B3=0,代入s 图的控制限公式，得到： UCLs=B 4s=2.089×5.370=11.218 CLs=s=5.370 LCLs=B 3s=—

参见图4- 的标准差控制图。可见，标准差s 控制图不存在变差可查明原因的八种模式，那么，可以利用s 来建立X 图。由于子组大小n=5，A 3=1.427，将X=163.292,s=5.370代入X 图的控制限公式，得到：

UCLx=X+A 3s=163.292+1.427×5.370≈170.955 CLx=X=163.292

LCLx=X-A 3s=163.292-1.427×5.370≈155.629 相应的均值控制图见图4- 。

图4- 剔除第17子组后得到的X-s 控制图

由图4- 的均值控制图可知，第13组X 值为155.00小于LCLx ，故过程的均值失控。调查其原因发现是夹具松动造成的，已经很快进行了纠正，在采集第14个子组的数据时，该问题已获解决。故可以去掉第13子组的数据，重新计算S 图与X 图的参数。此时，

X=163.617,s=5.265

代入与s s 图：

UCLs=B 4s=2.089×5.265=10.999 CLs=s=5.265 LCLs=B 3s=—

参见图5- 的标准差控制图。可见，标准差s 控制图不存在变差可查明原因的八种模式，那么，可以利用s 来建立X 图。由于子组大小n=5，从表4- 可知，A 3=1.427,将X=163.617,s=5.265代入X 图的控制限公式，得到：

UCLx=X+A 3s=163.617+1.427×5.265≈171.131 CLx=X=163.617

LCLx=X-A 3s=163.617-1.427×5.265≈156.104 参见图5- 的均值控制图。

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 标准差控制图 0.000

5．370 11．218 均值控制图

155．629

163．292 170．955

标准差控制图

10．999

图5- 再去掉第13个子组后得到的X-s 控制图

由图5- 的均值控制图可知，没有出现变差可查明原因的八种模式。即标准差控制图和均值控制图都没有出现可查明原因的八种模式，说明装配作业中螺栓扭矩的生产过程处于统计控制状态。 步骤5：与容差限比较，计算过程能力指数。

已知手表螺栓扭矩的容差限为：T L =140，Tu=180。利用得到的统计控制状态下的

X=163.617，s=5.265来计算过程能力指数：

由于X=163.617与容差中心M=（Tu-T L ）/2=160不重合，所以，有必要计算有偏移的过程能力指数，

可见，统计控制状态下的过程能力指数为1.19，大于1，但是，由于存在分布中心与容差中心的偏移，故有偏移的过程能力指数不足1。因此，应该根据对手表螺栓扭矩的质量要求，确定当前的统计控制状态是否满足设计的、工艺的、顾客的要求，决定是否以及何时对过程进行调整。若需进行调整，那么调整后，应重新收集数据，绘制X-s 控制图。

由于X-R 控制图以平均极差点R 为σ的估计值，X-s 控制图以平均子组标准差s 为σ的估计值，所以，运用X-R 控制图与运用X-s 控制图分析同一个问题，得到的过程能力指数一般略有不同。因为子组极差R 只利用了子组中的最大值和最小值的信息，而子组标准差s 充分利用了子组中所有的信息，所以，当X-R 控制图与X-s 控制图的分析结果不同时，尽管R 图计算上比s 图简单，但仍建议以X-s 控制图的结果为准。

五、X-Rs 图

[例3]表5- 给出了连续10批脱脂奶粉的样本“水分含量百分比”的实验室分析结果。将一个样本的奶粉作为一批的代表，在实验室对其成分特性进行分析测试，如脂肪、水分、酸度、溶解指数、沉积物、细菌、以及乳清蛋白。希望将该过程的产品水分含量控制在4%以下。由于发现单批内的抽样变差可以忽略，因此决定对每批只抽取一个观测值，并以连续各批的移动极差作为设置控制限的基础。

表5- 连续10批脱脂奶粉样本的水分含量百分比

X=3.45% R=0.38%

移动极差（R ）控制图：

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23

均值控制图

156．104

163．617

171．131

CL=R=0.38

UCL=D 4R=3.367×0.38=1.24

LCL=D 3×0.38(因为n 小于7，故不标出LCL)

系数D 3和D 4的值由表5- 中按n=2行查得，由于该移动极差图已呈现出统计控制状态，于是可进行单值控制图的绘制。

单值X 控制图： CL = X =3.45

UCL = X+E 2R=3.45+(2.66×0.38)=4.46 LCL = X-E 2R=3.45-(2.66×0.38)=2.44

系数E 2的值由表5- 中n=2时的A 3给出。控制图绘制于图6- 中。该控制图表明过程处于统计控制状态。

图6- 表5- 数据的单值X 控制图

六、Me-R 图

[例4] 某机器生产电子盘片。规定的厚度为0.007~0.016cm 。每隔半小时抽取样本量为5的样本（子组），记录其中心厚度（cm ），如表6- 所示。拟建立一个中位数图以达到控制质量的目的。中位数值和极差值也一并在表6- 中给出。

表6- 云母片厚度的控制数据 单位0.001cm

水分含量 百分比X

5 4．

4 3．3 2．2

UCL=4.46

X=3.45

LCL=2.44

移动极差R

1.41.21 0.80.60.4

UCL=1.24

LCL=0.38

批号

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

子组的中位数平均值和极差平均值计算如下：

极差图计算如下： R 图：

CL = R =5.73

UCL = D 4R=2.114×5.73=12.11

LCL = D 3R=0×5.73（由于n 小于7；故不标出LCL ）

系数D 3和D 4的值可从计量控制图系数表中查得n=5。由于该极差图已呈现出统计控制状态，于是能按此求出中位数控制图的控制了限。

中位数控制图： CL = Me =11.47

4R=11.47+（0.69×5.73）=15.42 LCL = Me-A 4R=11.47-（0.69×5.73）=7.52

系数A 4=m 3A 2，其值由计量控制图系数表中查得n=5，中位数图如图7- 所示，从图中显然可见，该过程呈现了统计控制状态。

11 9 中位数 Me

UCL=15.42

Me=11.47

图7- 表6- 数据的Ｍe 图与R 图

七、p 图

（一） p 控制图的统计控制状态是指过程的不合格品率为一常数p ，且各个产品的生产是独立的。p 图的统计基础是二

项分布。

若过程的参数P 未知，则需对其估计由第一章知

（公式一）

式中m 是子组数，ni 是第I 个子组的大小，di 为第I 个样本的不合格数，P

为P 的估计值，P 为样本不合格品率的平均值。

于是P 控制图的控制线为：

（公式二）

（二） 关于ni 的两点说明

（1）

公式一中，若每个子组大小ni 都相等，将其记为n ，若P 0（给定标准值）或p （未给定标准值）很小，则要选样本量充分大，使得每个子组平均有一个不合格品，通常取

（公式三）

（2）

公式一中，若ni 不全相等，则p 控制图的LCLp 和UCLp 是凹凸状，对此GB/T4091-2001给出两种解决方法。

方法 1 如果ni 变化不大，则采用单一的等于平均子组大小的一组控制线。实际上，当ni 变化在其目标值20%以内，

极差R

14 12 10 8 6 4 2

子组号

1 3 5 7 9 11 13 15 UCL=12.11

R=5.73

可采用该方法。

方法 2 当ni变化较大时，可采用标准化变量的方法。例如不点绘p值，而改为点绘标准化Zi值，当给定标准值p0时：

（公式四）

而当未给定标准时：（公式五）

这样，中心线和控制线与ni无关，即：UCL =3

CL =0

LCL =-3 （公式六）

后一种方法与国内所用的通用控制图在指导思想和结果的表达形式上是一致的。

[例5]在一个生产收音机晶体管的制造公司，决定建立不合格品率p图。已经收集和分析了1个月的数据。每天生产结束后，在当天的产品中随机抽取一个样本，并检验其不合格数。数据如表7- 所示。

表7- 收音机晶体管的p图（初始数据）

表7- 给出了每个子组的不合格品率。月平均不合格率计算如下：

由于子组大小各不相同，故对每个子组根据下式分别计算其UCL和LCL：

式中：ni 为子组大小。

表7- 也给出了这些数值。可以看出，为每个子组标绘其UCL 和LCL 是相当耗时的工作。但是，从表7- 中能观察到，子组号17和26的不合格品率已超出了相应的上控制限。应当将这两个子组从数据据中剔除，并及时查找导致这两组数据值偏大的原因，以便采取纠正措施防止其再次发生。此后根据保留下来的24个子组计算出修正后的平均不合格品率：

利用修正后的P 值，计算每个子组的修正后的UCL 和LCL 值，于是可以发现，所有的不合格品率都位于其相应的控制限以内。因此，修正后的P 值就可作为建立控制图的标准不合格品率。即P0=0.054。

正如上面所提及的，对子组大小各异的每个子组标绘其上、下控制限的是费时而枯燥的过程。但是由于各子组大小对平均子组大小的偏离并非很大，而平均子组大小为150，所以可以用子组大小n=150作为平均子组大小，来标绘修正后的P 图（用P0=0.054）的上控制限。

于是，修正后的P 图控制线计算如下：

由于LCL 不可能为负数，故不标出。修正后的P 图见图8-

图8- 表7- 数据修正后P 图

八、c 图

[例6] 一录像带制造商希望控制录像带中的不合格疵点数。录像带按4000m 的长度生产，连续对来自某个过程的20卷录像带（每卷长350m ）进行表面检查，得出不合格疵点数的数据。对此生产过程的一个终端进行了研究。

为了控制该生产过程，打算用c 图点绘不合格疵点数。表8- 给出20 卷录像带的有关数据，作为建立c 图的预备数据。 表8- 录像带的预备数据

2 4 6 8 10 12 14 16 19 21 2

3 25 不合格率

0.1 0

子组号

UCL=0.109

P 0=0.054

下面计算中心线和控制限，并将结果标绘于图9- 中。

图9- 表8- 的数据的c 图

（由于下控制限不可能为负值，故不标出下控制限。）

九、u 图

[例7] 在某轮胎生产厂，每半小时抽检15个轮胎，记录下总不合格数和单位产品不合格数。决定建立u 图（单位产品不合格数图）来研究过程的控制状态。表9- 给出了有关数据。

表9-

轮胎厂的单位产品不合格数（每个子组检查的单位产品数n=15）

根据表

9- ，按以下方式计算u 值的平均值。

用总不合格数（表9- 中c 值行）除以被检产品总数（如14×

15）：

（由于下控制限不可能为负数，故不标出下控制限。）

不合格品数 10 8 6 4 2 0

盘号

UCL=8.9

c=3.4