小学五年级奥数知识点分类汇总及解析

小学五年级奥数知识点分类汇总及解析

第1讲平均数(一)

一、知识要点

把几个不相等的数，在总数不变的条件下，通过移多补少，使它们完全相等，求得的相等的数就是平均数。

如何灵活运用平均数的数量关系解答一些稍复杂的问题呢?

下面的数量关系必须牢记：

平均数=总数量÷总份数总数量=平均数×总份数总份数=总数量×平均数

二、精讲精练

【例题1】有4箱水果，已知苹果、梨、橘子平均每箱42个，梨、橘子、桃平均每箱36个，苹果和桃平均每箱37个。一箱苹果多少个?

【思路导航】(1)1箱苹果+1箱梨+1箱橘子=42×3=136(个);

(2)1箱桃+1箱梨+1箱橘子=36×3=108(个)(3)1箱苹果+1箱桃=37×2=72(个)

由(1)(2)两个等式可知：

1箱苹果比1箱桃多126-108=18(个)，再根据等式(3)就可以算出：1箱桃有(74-18)÷2=28(个)，1箱苹果有28+18=46(个)。

1箱苹果和1箱桃共有多少个：37×2=74(个)

1箱苹果比1箱桃多多少个：42×3-36=18(个)

1箱苹果有多少个：28+18=46(个)

练习1：

1.一次考试，甲、乙、丙三人平均分91分，乙、丙、丁三人平均分89分，甲、丁二人平均分95分。问：甲、丁各得多少分?

2.甲、乙、丙、丁四人称体重，乙、丙、丁三人共重120千克，甲、丙、丁三人共重126千克，丙、丁二人的平均体重是40千克。求四人的平均体重是多少千克?

3.甲、乙、丙三个小组的同学去植树，甲、乙两组平均每组植树18棵，甲、丙两组平均每组植树17棵，乙、丙两组平均每组植树19棵。三个小组各植树多少棵?

【例题2】一次数学测验，全班平均分是91.2分，已知女生有21人，平均每人92分;男生平均每人90.5分。求这个班男生有多少人?

【思路导航】女生每人比全班平均分高92-91.2=0.8(分)，而男生每人比全班平均分低91.2-90.5=0.7(分)。全体女生高出全班平均分0.8×21=16.8(分)，应补给每个男生0.7分，16.8里包含有24个0.7，即全班有24个男生。

练习2：

1.两组学生进行跳绳比赛，平均每人跳152下。甲组有6人，平均每人跳140下，乙组平均每人跳160下。乙组有多少人?

2.有两块棉田，平均每亩产量是92.5千克，已知一块地是5亩，平均每亩产量是101.5千克;另一块田平均每亩产量是85千克。这块田是多少亩?

3.把甲级和乙级糖混在一起，平均每千克卖7元，乙知甲级糖有4千克，平均每千克8元;乙级糖有2千克，平均每千克多少元?

【例题3】某3个数的平均数是2.如果把其中一个数改为4，平均数就变成了3。被改的数原来是多少?

【思路导航】原来三个数的和是2×3=6，后来三个数的和是3×3=9，9比6多出了3.是因为把那个数改成了4。因此，原来的数应该是4-3=1。

练习3：

1.已知九个数的平均数是7

2.去掉一个数之后，余下的数的平均数是78。去掉的数是多少?

2.有五个数，平均数是9。如果把其中的一个数改为1.那么这五个数的平均数为8。这个改动的数原

3.甲、乙、丙、丁四位同学，在一次考试中四人的平均分是90分。可是，甲在抄分数时，把自己的分错抄成了87分，因此，算得四人的平均分是88分。求甲在这次考试中得了多少分?

【例题4】五一班同学数学考试平均成绩91.5分，事后复查发现计算成绩时将一位同学的98分误作89分计算了。经重新计算，全班的平均成绩是91.7分，五一班有多少名同学?

【思路导航】98分比89分多9分。多算9分就能使全班平均每人的成绩上升91.7-91.5=0.2(分)。9里面包含有几个0.2.五一班就有几名同学。

练习4：

1.五(1)班有40人，期中数学考试，有2名同学去参加体育比赛而缺考，全班平均分为92分。缺考的两位同学补考均为100分，这次五(1)班同学期中考试的平均分是多少分?

2.某班的一次测验，平均成绩是91.3分。复查时发现把张静的89分误看作97分计算，经重新计算，该班平均成绩是91.1分。问全班有多少同学?

3.五个数的平均数是18，把其中一个数改为6后，这五个数的平均数是16。这个改动的数原来是多少?

【例题5】把五个数从小到大排列，其平均数是38。前三个数的平均数是27，后三个数的平均数是48。中间一个数是多少?

【思路导航】先求出五个数的和：38×5=190，再求出前三个数的和：27×3=81.后三个数的和：48×3=144。用前三个数的和加上后三个数的和，这样，中间的那个数就算了两次，必然比190多，而多出的部分就是所求的中间的一个数。

练习5：

1.甲、乙、丙三人的平均年龄为22岁，如果甲、乙的平均年龄是18岁，乙、丙的平均年龄是25岁，那么乙的年龄是多少岁?

2.十名参赛者的平均分是82分，前6人的平均分是83分，后6人的平均分是80分。那么第5人和第6人的平均分是多少分?

3.下图中的○内有五个数A、B、C、D、E，□内的数表示与它相连的所有○中的平均数。求C是多少?

第2讲平均数

二、精讲精练

【例题1】小明前几次数学测验的平均成绩是84分，这次要考100分，才能把平均成绩提高到86分。问这是他第几次测验?

【思路导航】100分比86分多14分，这14分必须填补到前几次的平均分84分中去，使其平均分成为86分。每次填补86-84=2(分)，14里面有7个2.所以，前面已经测验了7次，这是第8次测验。

练习1：

1.老师带着几个同学在做花，老师做了21朵，同学平均每人做了5朵。如果师生合起来算，正好平均每人做了7朵。求有多少个同学在做花?

2.一位同学在期中测验中，除了数学外，其它几门功课的平均成绩是94分，如果数学算在内，平均每门95分。已知他数学得了100分，问这位同学一共考了多少门功课?

3.两组同学进行跳绳比赛，平均每人跳152次。甲组有6人，平均每人跳140次，如果乙组平均每人跳160次，那么，乙组有多少人?

【例题2】小亮在期末考试中，政治、语文、数学、英语、自然五科的平均成绩是89分，政治、数

【思路导航】因为语文、英语两科平均分84分，即语文+英语=168分，而英语比语文多10分，即英语-语文=10分，所以，语文是(168-10)÷2=79分，英语是79+10=89分。又因为政治、英语两科平均86分，所以政治是86×2-89=83分;而政治、数学两科平均分91.5分，数学是91.5×2-83=100分;最后根据五科的平均成绩是89分可知，自然分是89×5-(79+89+83+100)=94分。

练习2：

1.甲、乙、丙三个数的平均数是8

2.甲、乙两数的平均数是86，乙、丙两数的平均数是77。乙数是多少?甲、丙两个数的平均数是多少?

2.小华的前几次数学测验的平均成绩是80分，这一次得了100分，正好把这几次的平均分提高到85分。这一次是他第几次测验?

3.五个数排一排，平均数是9。如果前四个数的平均数是7，后四个数的平均数是10，那么，第一个数和第五个数的平均数是多少?

【例题3】两地相距360千米，一艘汽艇顺水行全程需要10小时，已知这条河的水流速度为每小时6千米。往返两地的平均速度是每小时多少千米?

【思路导航】用往返的路程除以往返所用的时间就等于往返两地的平均速度。显然，要求往返的平均速度必须先求出逆水行全程时所用的时间。因为360÷10=36(千米)是顺水速度，它是汽艇的静水速度与水流速度的和，所以，此汽艇的静水速度是36-6=30(千米)。而逆水速度=静水速度-水流速度，所以汽艇的逆水速度是30-6=24(千米)。逆水行全程时所用时间是360÷24=15(小时)，往返的平均速度是360×2÷(10+15)=28.8(千米)。

练习3：

1.甲、乙两个码头相距144千米，汽船从乙码头逆水行驶8小时到达甲码头，已知汽船在静水中每小时行驶21千米。求汽船从甲码头顺流行驶几小时到达乙码头?

2.一艘客轮从甲港驶向乙港，全程要行165千米。已知客轮的静水速度是每小时30千米，水速每小时3千米。现在正好是顺流而行，行全程需要几小时?

3.甲船逆水航行300千米，需要15小时，返回原地需要10小时;乙船逆水航行同样的一段水路需要20小时，返回原地需要多少小时?

【例题4】幼儿园小班的20个小朋友和大班的30个小朋友一起分饼干，小班的小朋友每人分10块，大班的小朋友每人比大、小班小朋友的平均数多2块。求一共分掉多少块饼干?

【思路导航】只要知道了大、小班小朋友分得的平均数，再乘(30+20)人就能求出饼干的总块数。因为大班的小朋友每人比大、小班小朋友的平均数多2块，30个小朋友一共多2×30=60(块)，这60块平均分给20个小班的小朋友，每人可得60÷20=3(块)。因此，大、小班小朋友分得平均块数是10+3=13(块)。一共分掉13×(30+20)=650(块)。

练习4：

1.数学兴趣小组里有4名女生和3名男生，在一次数学竞赛中，女生的平均分是90分，男生的平均分比全组的平均分高2分，全组的平均分是多少分?

2.两组同学跳绳，第一组有25人，平均每人跳80下;第二组有20人，平均每人比两组同学跳的平均数多5下，两组同学平均每人跳几下?

3.一个技术工带5个普通工人完成了一项任务，每个普通工人各得120元，这位技术工人的收入比他们6人的平均收入还多20元。问这位技术工得多少元?

【例题5】王强从A地到B地，先骑自行车行完全程的一半，每小时行12千米。剩下的步行，每小时走4千米。王强行完全程的平均速度是每小时多少千米?

【思路导航】求行完全程的平均速度，应该用全程除以行全程所用的时间。由于题中没有告诉我们A 地到B地间的路程，我们可以设全程为24千米(也可以设其他数)，这样，就可以算出行全程所用的时间是12÷12+12÷4=4(小时)，再用24÷4就能得到行全程的平均速度是每小时6千米。

练习5：

1.小明去爬山，上山时每小时行3千米，原路返回时每小时行5千米。求小明往返的平均速度。

整个长跑中的平均速度。

3.把一份书稿平均分给甲、乙二人去打，甲每分钟打30个字，乙每分钟打20个字。打这份书稿平均每分钟打多少个字?

第3讲长方形、正方形的周长

一、知识要点

同学们都知道，长方形的周长=(长+宽)×2.正方形的周长=边长×4。长方形、正方形的周长公式只能用来计算标准的长方形和正方形的周长。如何应用所学知识巧求表面上看起来不是长方形或正方形的图形的周长，还需同学们灵活应用已学知识，掌握转化的思考方法，把复杂的问题转化为标准的图形，以便计算它们的周长。

二、精讲精练

【例题1】有5张同样大小的纸如下图(a)重叠着，每张纸都是边长6厘米的正方形，重叠的部分为边长的一半，求重叠后图形的周长。

【思路导航】根据题意，我们可以把每个正方形的边长的一半同时向左、右、上、下平移(如图b)，转化成一个大正方形，这个大正方形的周长和原来5个小正方形重叠后的图形的周长相等。因此，所求周长是18×4=72厘米。

练习1:

1.下图由8个边长都是2厘米的正方形组成，求这个图形的周长。

2.下图由1个正方形和2个长方形组成，求这个图形的周长。

3.有6块边长是1厘米的正方形，如例题中所说的这样重叠着，求重叠后图形的周长。

【例题2】一块长方形木板，沿着它的长度不同的两条边各截去4厘米，截掉的面积为192平方厘米。现在这块木板的周长是多少厘米?

【思路导航】把截掉的192平方厘米分成A、B、C三块(如图)，其中AB的面积是192-4×4=176(平方厘米)。把A和B移到一起拼成一个宽4厘米的长方形，而此长方形的长就是这块木板剩下部分的周长的一半。176÷4=44(厘米)，现在这块木板的周长是44×2=88(厘米)。

1.有一个长方形，如果长减少4米，宽减少2米，面积就比原来减少44平方米，且剩下部分正好是一个正方形。求这个正方形的周长。

2.有两个相同的长方形，长是8厘米，宽是3厘米，如果按下图叠放在一起，这个图形的周长是多少?

3.有一块长方形广场，沿着它不同的两条边各划出2米做绿化带，剩下的部分仍是长方形，且周长为280米。求划去的绿化带的面积是多少平方米?

【例题3】已知下图中，甲是正方形，乙是长方形，整个图形的周长是多少?

【思路导航】从图中可以看出，整个图形的周长由六条线段围成，其中三条横着，三条竖着。三条横着的线段和是(a+b)×2.三条竖着的线段和是b×2。所以，整个图形的周长是(a+b)×2+b×2.即2a+4b。

练习3：

1.有一张长40厘米，宽30厘米的硬纸板，在四个角上各剪去一个同样大小的正方形后准备做一个长方体纸盒，求被剪后硬纸板的周长。

2.一个长12厘米，宽2厘米的长方形和两个正方形正好拼成下图(1)所示长方形，求所拼长方形的周长？

3.求下面图形(图2)的周长(单位：厘米)。

【例题4】下图是边长为4厘米的正方形，求正方形中阴影部分的周长。

【思路导航】我们把阴影部分周长中左边的5条线段全部平移到左边，其和正好是4厘米。再把下面的线段全部平移到下面，其和也正好是4厘米。因此，阴影部分的周长与边长是4厘米的正方形的周长是相等的。

1.求下面图形的周长(单位：厘米)。

2.在( )里填上“>”、“<”或“=”。甲的周长( )乙的周长

3.下图中的每一小段的长度都相等，求图形的周长。

【例题5】如下图，阴影部分是正方形，DF=6厘米，AB=9厘米，求最大的长方形的周长。

【思路导航】根据题意可知，最大长方形的宽就是正方形的边长。因为BC=EF，CF=DE，所以，AB+BC+CF=AB+FE+ED=9+6=15(厘米)，这正好是最大长方形周长的一半。因此，最大长方形的周长是(9+6)×2=30(厘米)。

练习5：

1.下面三个正方形的面积相等，剪去阴影部分的面积也相等，求原来正方形的周长发生了什么变化?(单位：厘米)

2.下面是一个零件的平面图，图中每条短线段都是5厘米，零件长35厘米，高30厘米。这个零件的周长是多少厘米?

3.有两个相同的长方形，长7厘米，宽3厘米，如下图重叠着，求重叠图形的周长。

第4讲长方形、正方形的面积

一、知识要点

长方形的面积=长×宽，正方形的面积=边长×边长。掌握并能运用这两个面积公式，就能计算它们的面积。

公式直接求出面积的题目。这就需要我们切实掌握有关概念，利用“割补”、“平移”、“旋转”等方法，使复杂的问题转化为普通的求长方形、正方形面积的问题，从而正确解答。

二、精讲精练

【例题1】已知大正方形比小正方形边长多2厘米，大正方形比小正方形的面积大40平方厘米。求大、小正方形的面积各是多少平方厘米?

【思路导航】从图中可以看出，大正方形的面积比小正方形的面积大出的40平方厘米，可以分成三部分，其中A和B的面积相等。因此，用40平方厘米减去阴影部分的面积，再除以2就能得到长方形A 和B的面积，再用A或B的面积除以2就是小正方形的边长。求到了小正方形的边长，计算大、小正方形的面积就非常简单了。

练习1：

1.有一块长方形草地，长20米，宽15米。在它的四周向外筑一条宽2米的小路，求小路的面积。

2.正方形的一组对边增加30厘米，另一组对边减少18厘米，结果得到一个与原正方形面积相等的长方形。原正方形的面积是多少平方厘米?

3.把一个长方形的长增加5分米，宽增加8分米后，得到一个面积比原长方形多181平方分米的正方形。求这个正方形的边长是多少分米?

【例题2】一个大长方形被两条平行于它的两条边的线段分成四个较小的长方形，其中三个长方形的面积如下图所求，求第四个长方形的面积。

【思路导航】因为AE×CE=6，DE×EB=35，把两个式子相乘AE×CE×DE×EB=35×6，而CE×EB=14，所以AE×DE=35×6÷14=15。

练习2：

1.下图一个长方形被分成四个小长方形，其中三个长方形的面积分别是24平方厘米、30平方厘米和32平方厘米，求阴影部分的面积。

2.下面一个长方形被分成六个小长方形，其中四个长方形的面积如图所示(单位：平方厘米)，求A和B的面积。

3.下图中阴影部分是边长5厘米的正方形，四块完全一样的长方形的宽是8厘米，求整个图形的面积。

【例题3】把20分米长的线段分成两段，并且在每一段上作一正方形，已知两个正方形的面积相差40平方分米，大正方形的面积是多少平方分米?

【思路导航】我们可以把小正方形移至大正方形里面进行分析。两个正方形的面积差40平方分米就是图中的A和B两部分，如图。如果把B移到原来小正方形的上面，不难看出，A和B正好组成一个长方形，此长方形的面积是40平方分米，长20分米，宽是40÷20=2(分米)，即大、小两个正方形的边长相差2分米。因此，大正方形的边长就是(20+2)÷2=11(分米)，面积是11×11=121(平方分米)。

练习3：

1.一块正方形，一边划出1.5米，另一边划出10米搞绿化，剩下的面积比原来减少了1350平方米。这块地原来的面积是多少平方米?

2.一个正方形，如果它的边长增加5厘米，那么，面积就比原来增加95平方厘米。原来正方形的面积是多少平方厘米?

3.有一个正方形草坪，沿草坪四周向外修建一米宽的小路，路面面积是80平方米。求草坪的面积。

【例题4】有一个正方形ABCD如下图，请把这个正方形的面积扩大1倍，并画出来。

【思路导航】由于不知道正方形的边长和面积，所以，也没有办法计算出所画正方形的边长或面积。我们可以利用两个正方形之间的关系进行分析。以正方形的四条边为准，分别作出4个等腰直角三角形，如图中虚线部分，显然，虚线表示的正方形的面积就是原正方形面积的2倍。

练习4：

1.四个完全一样的长方形和一个小正方形组成了一个大正方形，如果大、小正方形的面积分别是49

平方米和4平方米，求其中一个长方形的宽。

2.正图的每条边都垂直于与它相邻的边，并且28条边的长都相等。如果此图的周长是56厘米，那么，这个图形的面积是多少?

3.正图中，正方形ABCD的边长4厘米，求长方形EFGD的面积。

【例题5】有一个周长是72厘米的长方形，它是由三个大小相等的正方形拼成的。一个正方形的面

【思路导航】三个同样大小的正方形拼成的长方形，它的周长是原正方形边长的8倍，正方形的边长为72÷8=9(厘米)，一个正方形的面积就是9×9=81(平方厘米)。

练习5：1.五个同样大小的正方形拼成一个长方形，这个长方形的周长是36厘米，求每个正方形的面积是多少平方厘米?

2.有一张长方形纸，长12厘米，宽10厘米。从这张纸上剪下一个最大的正方形后，剩下部分的周长是多少厘米?

3.有一个小长方形，它和一个正方形拼成了一个大长方形ABCD(如下图)，已知大长方形的面积是35平方厘米，且周长比原来小长方形的周长多10厘米。求原来小长方形的面积。

第5讲分类数图形

一、知识要点

我们在数数的时候，遵循不重复、不遗漏的原则，不能使数出的结果准确。但是在数图形的个数的时候，往往就不容易了。分类数图形的方法能够帮助我们找到图形的规律，从而有秩序、有条理并且正确地数出图形的个数。

二、精讲精练

【例题1】下面图形中有多少个正方形?

【思路导航】图中的正方形的个数可以分类数，如由一个小正方形组成的有6×3=18个，2×2的正方形有5×2=10个，3×3的正方形有4×1=4个。因此图中共有18+10+4=32个正方形。

练习1：

1.下图中共有多少个正方形?

2.下图中共有多少个正方形?

3.下图中共有多少个正方形，多少个三角形?

【例题2】下图中共有多少个三角形?

【思路导航】为了保证不漏数又不重复，我们可以分类来数三角形，然后再把数出的各类三角形的个

(1)图中共有6个小三角形;

(2)由两个小三角形组合的三角形有3个;

(3)由三个小三角形组合的三角形有4个;

(4)由六个小三角形组合的三角形有1个。

所以共有6+3+4+1=14个三角形。

练习2：

1.下面图中共有多少个三角形?

2.数一数，图中共有多少个三角形。

3.数一数，图中共有多少个三角形?

【例题3】数出下图中所有三角形的个数。

【思路导航】和三角形AFG一样形状的三角形有5个;和三角形ABF一样形状的三角形有10个;和三角形ABG一样形状的三角形有5个;和三角形ABE一样形的三角形有5个;和三角形AMD一样形状的三角形有5个，共35个三角形。

练习3：

数出下面图形中分别有多少个三角形。

【例题4】如下图，平面上有12个点，可任意取其中四个点围成一个正方形，这样的正方形有多少个?

【思路导航】把相邻的两点连接起来可以得到下面图形，从图中可以看出：

(2)由4个小正方形组合而成的正方形有2个;

(3)中间还可围成2个正方形。

所以共有6+2+2=10个。

练习4：

1.下图中共有8个点，连接任意四点围成一个长方形，一共能围成多少个长方形?

2.下图中共有6个点，连接其中的三点围成一个三角形，一共能围成多少个三角形?

3.下图中共有9个点，连接其中的四个点围成一个梯形，一共能围成多少个梯形?

【例题5】数一数，下图中共有多少个三角形?

【思路导航】我们可以分类来数：

1.单一的小三角形有16个;

2.两个小三角形组合的有10个;

3.四个小三角形组合的有8个;

4.八个小三角形组合的有2个。

所以，图中一共有16+10+8+2=36个三角形。

练习5：

1.图中共有( )个三角形。

2.图中共有( )个三角形。

3.图中共有( )个正方形。

第6讲尾数和余数

一、知识要点

自然数末位的数字称为自然数的尾数;除法中，被除数减去商与除数积的差叫做余数。尾数和余数在运算时是有规律可寻的，利用这种规律能解决一些看起来无从下手的问题。

二、精讲精练

【例题1】写出除213后余3的全部两位数。

【思路导航】因为213=210+3.把210分解质因数：210=2×3×5×7，所以，符号题目要求的两位数有2×5=10，2×7=14，3×5=15，3×7=21.5×7=35，2×3×5=30，2×3×7=42.一共有7个两位数。

练习1：

1.写出除109后余4的全部两位数。

2.178除以一个两位数后余数是

3.适合条件的两位数有哪些?

3.写出除1290后余3的全部三位数。

(2)(21×26)×(21×26)×……×(21×26)[100个(21×26)]积的尾数是几?

【思路导航】(1)因为个位5乘5，积的个位仍然是5，所以不管多少个125相乘，个位还是5;

(2)每个括号里21乘26积的个位是6，我们只要分析100个6相乘，积的尾数是几就行了。因为个位6乘6，积的个位仍然是6，所以不管多少个(21×26)连乘，积的个位还是6。

练习2：

1.21×21×21×……×21[50个21]积的尾数是几?

2.1.5×1.5×1.5×……×1.5[200个1.5]积的尾数是几?

3.(12×63)×(12×63)×(12×63)×……×(12×63)[1000个(12×63)]积的尾数是几?

【例题3】(1)4×4×4×…×4[50个4]积的个位数是几?

(2)9×9×9×…×9[51个9]积的个位数是几?

【思路导航】(1)我们先列举前几个4的积，看看个位数在怎样变化，1个4个位就是4;4×4的个位是6;4×4×4的个位是4;4×4×4×4的个位是6……由此可见，积的尾数以“4，6”两个数字在不断重复出现。50÷2=25没有余数，说明50个4相乘，积的个位是6。

(2)用上面的方法可以发现，51个9相乘时，积的个位是以“9，1”两个数字不断重复，51÷2=25……1.余数是1.说明51个9本乘积的个位是9。

练习3：

1.24×24×24×…×24[2001个24]，积的尾数是多少?

2.1×2×3×…×98×99，积的尾数是多少?

3.94×94×94×…×94[102个94]-49×49×…×49[101个49]，差的个位是多少?

【例题4】把1/7化成小数，那么小数点后面第100位上的数字是多少?

【思路导航】因为1/7≈0.142857142857……，化成的小数是一个无限循环小数，循环节“142857”共有6个数字。由于100÷6=16……4，所以，小数点后面的第100位是第17个循环节的第4个数字，是8。

练习4：

1.把1/11化成小数，求小数点后面第2001位上的数字。

2.5/7写成循环小数后，小数点后第50个数字是几?

3.有一串数：5、8、13、21、34、55、89……，其中，从第三个数起，每个数恰好是前两个数的和。在这串数中，第1000个数被3除后所得的余数是多少?

【例题5】555…55[2001个5]÷13.当商是整数时，余数是几?

【思路导航】如果用除法硬除显然太麻烦，我们可以先用竖式来除一除，看一看余数在按怎样的规律变化。

从竖式中可以看出，余数是按3、9、4、6、0、5这六个数字不断重复出现。2001÷6=333……3.所以，当商是整数时，余数是4。

练习5：

1.444…4÷6[100个4]，当商是整数时，余数是几?

2.当商是整数时，余数各是几?

(2)444…4÷74[200个4]

(3)888…8÷7[200个8]

(4)111…1÷7[50个1]

第7讲一般应用题(一)

一、知识要点

一般复合应用题往往是有两组或两组以上的数量关系交织在一起，有的已知条件是间接的，数量关系比较复杂，叙述的方式和顺序也比较多样。因此，一般应用题没有明显的结构特征和解题规律可循。解答一般应用题时，可以借助线段图、示意图、直观演示手段帮助分析。在分析应用题的数量关系时，我们可以从条件出发，逐步推出所求问题(综合法);也可以从问题出发，找出必须的两个条件(分析法)。在实际解时，可以根据题中的已知条件，灵活运用这两种方法。

二、精讲精练

【例题1】五年级有六个班，每班人数相等。从每班选16人参加少先队活动，剩下的同学相当于原来4个班的人数。原来每班多少人?

【思路导航】从每班选16人参加少先队活动，6个班共选16×6=96(人)。剩下的同学相当于原来4个班的人数，那么，96人就相当于原来(6-4)个班人人数，所以，原来每班96÷2=48(人)。

练习1：

1.五个同学有同样多的存款，若每人拿出16元捐给“希望工程”后，五位同学剩下的钱正好等于原来3人的存款数。原来每人存款多少?

2.把一堆货物平均分给6个小组运，当每个小组都运了68箱时，正好运走了这堆货物的一半。这堆货物一共有多少箱?

3.老师把一批树苗平均分给四个小队栽，当每队栽了6棵时，发现剩下的树苗正好是原来每队分得的棵数。这批树苗一共有多少棵?

【例题2】某车间按计划每天应加工50个零件，实际每天加工56个零件。这样，不仅提前3天完成原计划加工零件的任务，而且还多加工了120个零件。这个车间实际加工了多少个零件?

【思路导航】如果按原计划的天数加工，加工的零件就会比原计划多56×3+120=288(个)。为什么会多加工288个呢?是因为每天多加工了56-50=6(个)。因此，原计划加工的天数是288÷6=48(天)，实际加工了50×48+120=1520(个)零件。

练习2：

1.汽车从甲地开往乙地，原计划每小时行40千米，实际每小时多行了10千米，这样比原计划提前2小时到达了乙地。甲、乙两地相距多少千米?

2.小明骑车上学，原计划每分钟行200米，正好准时到达学校，有一天因下雨，他每分钟只能行120米，结果迟到了5分钟。他家离学校有多远?

3.加工一批零件，原计划每天加工80个，正好按期完成任务。由于改进了生产技术，实际每天加工100个，这样，不仅提前4天完成加工任务，而且还多加工了100个。他们实际加工零件多少个?

【例题3】甲、乙二人加工零件。甲比乙每天多加工6个零件，乙中途停了15天没有加工。40天后，乙所加工的零件个数正好是甲的一半。这时两人各加工了多少个零件?

【思路导航】甲工作了40天，而乙停止了15天没有加工，乙只加工了25天，所以他加工的零件正好是甲的一半，也就是甲20天加工的零件和乙25天加工的零件同样多。由于甲每天比乙多加工6个，20天一共多加工6×20=120(个)。这120个零件相当于乙25-20=5(天)加工的个数，乙每天加工

120÷(25-20)=24(个)。乙一共加工了24×25=600(个)，甲一共加工了600×2=1200(个) 练习3：

1.甲、乙二人加工一批帽子，甲每天比乙多加工10个。途中乙因事休息了5天，20天后，甲加工的帽子正好是乙加工的2倍，这时两人各加工帽子多少个?

2.甲、乙两车同时从A、B两地相对开出，甲车每小时比乙车多行20千米。途中乙因修车用了2小时，6小时后甲车到达两地中点，而乙车才行了甲车所行路程的一半。A、B两地相距多少千米?

工资和乙4天的工资同样多。求甲、乙每天各分得工资多少元?

【例题4】服装厂要加工一批上衣，原计划20天完成任务。实际每天比计划多加工60件，照这样做了15天，就超过原计划件数350件。原计划加工上衣多少件?

【思路导航】由于每天比计划多加工60件，15天就比原计划的15天多加工60×15=900(件)，这时已超过计划件数350件，900件中去掉这350件，剩下的件数就是原计划(20-15)天中的工作量。所以，原计划每天加工上衣(900-350)÷(20-15)=110(件)，原计划加工110×20=2200(件)。

练习4：

1.用汽车运一堆煤，原计划8小时运完。实际每小时比原计划多运1.5吨，这样运了6小时就比原计划多运了3吨。原计划8小时运多少吨煤?

2.汽车从甲地开往乙地，原计划10小时到达。实际每小时比原计划多行15千米，行了8小时后，发现已超过乙20千米。甲、乙两地相距多少千米?

3.小明看一本书，原计划8天看完。实际每天比原计划少看了4页。这样，用10天才看完了这本书。这本书一共有多少页?

【例题5】王师傅原计划每天做60个零件，实际每天比原计划多做20个，结果提前5在完成任务。王师傅一共做了多少个零件?

【思路导航】按实际做法再做5天，就会超产(60+20)×5=400(个)。为什么会超产400个呢?是因为每天多生产了20个，400里面有几个20，就是原计划生产几天。400÷20=20(天)，因此，王师傅一共做了60×20=1200(个)零件。

练习5：

1.食堂准备了一批煤，原计划每天烧0.8吨，实际每天比原计划节约了0.1吨，这样比原计划多烧了2天。这批煤一共有多少吨?

2.造纸厂生产一批纸，计划每天生产1

3.5吨，实际每天比原计划多生产1.5吨，结果提前2.5天完成了任务。实际用了多少天?

3.机床厂生产一批机床，原计划每天生产15台，实际每天生产18台，这样比原计划提前3天完成了任务。这批机床一共有多少台?

第8讲一般应用题(二)

一、知识要点

较复杂的一般应用题，往往具有两组或两组以上的数量关系交织在一起，但是，再复杂的应用题都可以通过“转化”向基本的问题靠拢。因此，我们在解答一般应用题时要善于分析，把复杂的问题简单化，从而正确解答。

二、精讲精练

【例题1】工程队要铺设一段地下排水管道，用长管子铺需要25根，用短管子铺需要35根。已知这两种管子的长相差2米，这段排水管道长多少米?

【思路导航】因为每根长管子比每根短管子长2米，25根长管子就比25根短管子长50米。而这50米就相当于(35-25)根短管子的长度。因此，每根短管子的长度就是50÷(35-25)=5(米)，这段排水管道的长度应是5×35=175(米)。

练习1：

1.生产一批零件，甲单独生产要用6小时，乙单独生产要用8小时。如果甲每小时比乙多生产10个零件，这批零件一共有多少个?

2.一班的小朋友在操场上做游戏，每组6人。玩了一会儿，他们觉得每组人数太少便重新分组，正好每组9人，这样比原来减少了2组。参加游戏的小朋友一共有多少人?

3.甲、乙二人同时从A地到B地，甲经过10小时到达了B地，比乙多用了4小时。已知二人的速度差是每小时5千米，求甲、乙二人每小时各行多少千米?

【例题2】甲、乙、丙三人拿出同样多的钱买一批苹果，分配时甲、乙都比丙多拿24千克。结帐时，甲和乙都要付给丙24元，每千克苹果多少元?

16千克苹果，所以得到24×2=48元。每千克苹果是48÷16=3(元)。

练习2：

1.甲和乙拿出同样多的钱买相同的铅笔若干支，分铅笔时，甲拿了13支，乙拿了7支，因此，甲又给了乙6角钱。每支铅笔多少钱?

2.春游时小明和小军拿出同样多的钱买了6个面包，中午发现小红没有带食品，结果三人平均分了这些面包，而小红分别给了小明和小军各2.2元钱。每个面包多少元?

3.“六一”儿童节时同学们做纸花，小华买来了7张红纸，小英买来了和红纸同样价格的5张黄纸。老师把这些纸平均分给了小华、小英和另外两名同学，结果另外两名同学共付给老师9元钱。老师把9元钱怎样分给小华和小英?

【例题3】甲城有177吨货物要跑一趟运到乙城。大卡车的载重量是5吨，小卡车的载重量是2吨，大、小卡车跑一趟的耗油量分别是10升和5升。用多少辆大卡车和小卡车来运输时耗油最少?

【思路导航】大汽车一次运5吨，耗油10升，平均运1吨货耗油10÷5=2(升);小汽车一次运2吨，耗油5升，平均运1吨货耗油5÷2=2.5(升)。显然，为耗油量最少应该尽可能用大卡车。177÷5=35(辆) (2)

吨，余下的2吨正好用小卡车运。因此，用35辆大汽车和1辆小汽车运耗油量最少。

练习3：

1.五名选手在一次数学竞赛中共得404分，每人得分互不相同，并且都是整数。如果最高分是90分，那么得分最少的选手至少得多少分?

2.用1元钱买4分、8分、1角的邮票共15张，那么最多可以买1角的邮票多少张?

3.某班有60人，其中42人会游泳，46人会骑车，50人会溜冰，55人会打乒乓球。可以肯定至少有多少人四项都会?

【例题4】有一栋居民楼，每家都订2份不同的报纸，该居民楼共订了三种报纸，其中北京日报34份，江海晚报30份，电视报22份。那么订江海晚报和电视报的共有多少家?

【思路导航】这栋楼共订报纸34+30+22=86(份)，因为每家都订2份不同的报纸，所以一共有86÷2=43家。在这43家居民中，有34家订了北京日报，剩下的9家居民一定是订了江海晚报和电视报。

练习4：

1.五(1)班全体同学每人带2个不同的水果去慰问解放军叔叔，全班共带了三种水果，其中苹果40个，梨32个，桔子26个。那么，带梨和桔子的有多少个同学?

2.在一次庆祝“六一”儿童节活动中，一个方队的同学每人手里都拿两种颜色的气球，共有红、黄、绿三种颜色。其中红色有56只，黄色的有60只，绿色的有46只。那么，手拿红、绿两种气球的有多少个同学?

3.学校开设了音乐、球类和美术三个兴趣小组，第一小队的同学们每人都参加了其中的两个小组，其中9人参加球类小组，6人参加美术小组，7人参加音乐小组的活动。参加美术和音乐小组活动的有多少个同学?

【例题5】一艘轮船发生漏水事故，立即安装两台抽水机向外抽水，此时已进水800桶。一台抽水机每分钟抽水18桶，另一台每分钟抽水14桶，50分钟把水抽完。每分钟进水多少桶?

【思路导航】50分钟内，两台抽水机一共能抽水(18+14)×50=1600(桶)。1600桶水中，有800桶是开始抽之前就漏进的，另800桶是50分钟又漏进的，因此，每分钟漏进水800÷50=16(桶)。

练习5：

1.一个水池能装8吨水，水池里装有一个进水管和一个出水管。两管齐开，20分钟能把一池水放完。已知进水管每分钟往池里进水0.8吨，求出水管每分钟放水多少吨?

2.某工地原有水泥120吨。因工程需要，又派5辆卡车往工地送水泥，平均每辆卡车每天送25吨，3天后工地上共有水泥101吨。这个工地平均每天用水泥多少吨?

3.一堆货物重96吨，甲队用16小时运完，乙队用24小时运完。如果让两队同时合运，几小时运完?

第9讲一般应用题(三)

一、知识要点

1.弄清题意，找出已知条件和所求问题;

2.分析已知条件和所求问题之间的关系，找出解题的途径;

3.拟定解答计划，列出算式，算出得数;

4，检验解答方法是否合理，结果是否正确，最后写出答案。

二、精讲精练

【例题1】甲、乙两工人生产同样的零件，原计划每天共生产700个。由于改进技术，甲每天多生产100个，乙的日产量提高了1倍，这样二人一天共生产1020个。甲、乙原计划每天各生产多少个零件?

【思路导航】二人实际每天比原计划多生产1020-700=320(个)。这320个零件中，有100个是甲多生产的，那么320-100=220(个)就是乙日产量的1倍，即乙原来的日产量，甲原来每天生产

700-220=480(个)。

练习1：

1.工厂里有2个锅炉，原来每月烧煤5.6吨。进行技术改造后，1号锅炉每月节约1吨煤，2号锅炉每月烧煤量减少了一半，现在每月共烧煤3.5吨。原来两个锅炉每月各烧煤多少吨?

2.甲、乙两人生产同样的零件，原计划每天共生产80个。由于更换了机器，甲每天多做40个，乙每天生产的是原来的4倍，这样二人一天共生产零件300个。甲、乙原计划每天各生产多少个零件?

3.甲、乙两队合挖一条水渠，原计划两队每天共挖100米，实际甲队因有人请假，每天比计划少挖15米，而乙队由于增加了人，每天挖的是原计划的2倍，这样两队每天一共挖了150米。求两队原计划每天各挖多少米?

【例题2】把一根竹竿插入水底，竹竿湿了40厘米，然后将竹竿倒转过来插入水底，这时，竹竿湿的部分比它的一半长13厘米。求竹竿的长。

【思路导航】因为竹竿先插了一次，湿了40厘米，倒转过来再插一次又湿了40厘米，所以湿了的部分是40×2=80(厘米)。这时，湿的部分比它的一半长13厘米，说明竹竿的长度是(80-13)×2=134(厘米)。

练习2：

1.有一根铁丝，截去一半多10厘米，剩下的部分正好做一个长8厘米，宽6厘米的长方形框架。这根铁丝原来长多少厘米?

2.有一根竹竿，两头各截去20厘米，剩下部分的长度比截去的4倍少10厘米。这根竹竿原来长多少厘米?

3.两根电线一样长，第一根剪去80米，第二根剪去320米，剩下部分第一根是第二根长度的4倍。两根电线原来各长多少米?

【例题3】将一根电线截成15段。一部分每段长8米，另一部分每段长5米。长8米的总长度比长5米的总长度多3米。这根铁丝全长多少米?

【思路导航】设这15段中有X段是8米长的，则有(15-X)段是5米长的。然后根据“8米的总长度比5米的总长度多3米”列出方程，并进行解答。

练习3：

1.某人过一个小山坡共用了20分钟，他上坡每分钟走80米，下坡每分钟走102米。上坡路比下坡路少220米。这段小坡路全长多少米?

2.食堂里买来15袋大米和面粉，每袋大米25千克，每袋面粉10千克。已知买回的大米比面粉多165千克，求买回大米、面粉各多少千克?

3.老师买回两种笔共16支奖给三好学生，其中铅笔每支0.4元，圆珠笔每支1.2元，买圆珠笔比买铅笔共多用了1.6元。求买这些笔共用去多少钱?

【例题4】甲、乙两名工人加工一批零件，甲先花去2.5小时改装机器，因此前4小时甲比乙少做400个零件。又同时加工4小时后，甲总共加工的零件反而比乙多4200个。甲、乙每小时各加工零件多少个?

【思路导航】(1)在后4小时内，甲一共比乙多加工了4200+400=4600(个)零件，甲每小时比乙多加工4600÷4=1150个零件。

个零件，因此，1725+400=2125个零件就是乙2.5小时的工作量，即乙每小时加工2125÷2.5=850个，甲每小时加工850+1150=2000个。

练习4：

1.甲、乙二人同时从A地去B地，前3小时，甲因修车1小时，因此乙邻先于甲4千米。又经过3小时，甲反而领先了乙17千米。求二人的速度。

2.师徒二人生产同一种零件，徒弟比师傅早2小时开工，当师傅生产了2小时后，发现自己比徒弟少做20个零件。二人又生产了2小时，师傅反而比徒弟多生产了10个。师傅每小时生产多少个零件?

3.甲每小时生产12个零件，乙每小时生产8个零件。一次，二人同时生产同样多的零件，结果甲比乙提前5小时完成了任务。问：甲一共生产了多少个零件?

【例题5】加工一批零件，单给甲加工需10小时，单给乙加工需8小时。已知甲每小时比乙少做3个零件，这批零件一共有多少个?

【思路导航】因为甲每小时比乙少做3个零件，8小时就比乙少做3×8=24(个)零件，所以，24个零件就是甲(10-8)小时的工作量。甲每小时加工24÷(10-8)=12(个)，这批零件一共有12×10=120(个)。

练习5：

1.快、慢两车同时从甲地开往乙地，行完全程快车只用了4小时，而慢车用了6.5小时。已知快车每小时比慢车多行25千米。甲、乙两地相距多少千米?

2.妈妈去买水果，她所带的钱正好能买18千克苹果或25千克的梨。已知每千克梨比每千克苹果便宜0.7元，妈妈一共带了多少钱?

3.师徒二人加工零件，已知师傅6小时加工的零件和徒弟8小时加工的零件相等。如果师傅每小时比徒弟多加工3个零件，那么，徒弟每小时加工多少个零件?

第10讲数阵

一、知识要点

填“幻方”是同学们比较熟悉的一种数学游戏，由幻方演变出来的数阵问题，也是一类比较常见的填数问题。这里，和同学们讨论一些数阵的填法。

解答数阵问题通常用两种方法：一是待定数法，二是试验法。

待定数法就是先用字母(或符号)表示满足条件的数，通过分析、计算来确定这些字母(或符号)应具备的条件，为解答数阵问题提供方向。

试验法就是根据题中所给条件选准突破口，确定填数的可能范围。把分析推理和试验法结合起来，再由填数的可能情况，确定应填的数。

二、精讲精练

【例题1】把5、6、7、8、9五个数分别填入下图的五个方格里，如图a使横行三个数的和与竖行三个数的和都是21。

【思路导航】先把五格方格中的数用字母A、B、C、D、E来表示，根据题意可知：A+B+C+D+E=35，A+E+B+C+E+D=21×2=42。

把两式相比较可知，E=42-35=7，即中间填7。然后再根据5+9=6+8便可把五个数填进方格，如图b。

练习1：

1.把1——10各数填入“六一”的10个空格里，使在同一直线上的各数的和都是12。

2.把1——9各数填入“七一”的9个空格里，使在同一直线上的各数的和都是13。

【例题2】将1——10这十个数填入下图小圆中，使每个大圆上六个数的和是30。

【思路导航】设中间两个圆中的数为a、b，则两个大圆的总和是1+2+3+……+10+a+b=30×2.即55+a+b=60，a+b=5。在1——10这十个数中1+4=5，2+3=5。

当a和b是1和4时，每个大圆上另外四个数分别是(2.6，8，9)和(3.5，7，10);当a和b是2和3时，每个大圆上另外四个数分别为(1.5，9，10)和(4，6，7，8)。

练习2：

1.把1——8八个数分别填入下图的○内，使每个大圆上五个○内数的和相等。

2.把1——10这十个数分别填入下图的○内，使每个四边形顶点的○内四个数的和都相等，且和最大。

3.将1——8八个数填入下图方格里，使上面四格、下面四格、左四格、右四格、中间四格以及对角线四格内四个数的和都是18。

【例题3】将1——6这六个数分别填入下图的圆中，使每条直线上三个圆内数的和相等、且最大。

【思路导航】设中间三个圆内的数是a、b、c。因为计算三条线上的和时，a、b、c都被计算了两次，根据题意可知：1+2+3+4+5+6+(a+b+c)除以3没有余数。1+2+3+4+5+6=21.21÷3=7没有余数，那么a+b+c的和除以3也应该没有余数。在1——6六个数中，只有4+5+6的和最大，且除以3没有余数，因此a、b、c分别为4、5、6。(1+2+3+4+5+6+4+5+6)÷3=12.所以有下面的填法：

练习3：

1.将1——6六个数分别填入下图的○内，使每边上的三个○内数的和相等。

2.将1——9九个数分别填入下图○内，使每边上四个○内数的和都是17。

3.将1——8八个数分别填入下图的○内，使每条安上三个数的和相等。

【例题4】将1——7分别填入下图的7个○内，使每条线段上三个○内数的和相等。

【思路导航】首先要确定中心圆内的数，设中心○内的数是a，那么，三条线段上的总和是

1+2+3+4+5+6+7+2a=28+2a，由于三条线段上的和相等，所以(28+2a)除以3应该没有余数。由于

28÷3=9……1.那么2a除以3应该余2.因此，a可以为1、4或7。当a=1时，(28+2×1)÷3-1=9，即每条线段上其他两数的和是9，因此，有这样的填法。

练习4：

1.将1——9填入下图的○中，使横、竖行五个数相加的和都等于25。

2.将1——11这十一个数分别填进下图的○里，使每条线上3个○内的数的和相等。

3.将1——8这八个数分别填入下图○内，使外圆四个数的和，内圆四个数的和以及横行、竖行上四个数的和都等于18。

【例题5】如下图(a)四个小三角形的顶点处有六个圆圈。如果在这些圆圈中分别填上六个质数，它们的和是20，而且每个小三角形三个顶点上的数的和相等。问这六个质数的积是多少?

【思路导航】设每个小三角形三个顶点处○内数的和为X。因为中间的小三角形顶点处的数在求和时都用了三次，所以，四个小三角形顶点处数的总和是4X=20+2X，解方程得X=10。由此可知，每个小三角形顶点处的三个质数的和是10，这三个质数只能是2、3、5。因此这6个质数的积是2×2×3×3×5×5=900。如图(b)。

练习5：

1.将九个不同的自然数填入下面方格中，使每行、每列、每条对角线上三个数的积都相等。

并且尽可能大。这五个数之和最大是多少?

3.将1——9九个数分别填入下图○内，使外三角形边上○内数之和等于里面三角形边上○内数之和。

第11讲周期问题

一、知识要点

周期问题是指事物在运动变化的发展过程中，某些特征循环往复出现，其连续两次出现所经过的时间叫做周期。在数学上，不仅有专门研究周期现象的分支，而且平时解题时也常常碰到与周期现象有关的问题。这些数学问题只要我们发展某种周期现象，并充分加以利用，把要求的问题和某一周期的等式相对应，就能找到解题关键。

二、精讲精练

【例题1】流水线上生产小木球涂色的次序是：先5个红，再4个黄，再3个绿，再2个黑，再1

个白，然后又依次5红、4黄、3绿、2黑、1白……如此涂下去，到2001个小球该涂什么颜色?

【思路导航】根据题意可知，小木球涂色的次序是5红、4黄、3绿、2黑、1白，即5+4+3+2+1=15个球为一个周期，不断循环。因为2001÷15=133……6，也就是经过133个周期还余6个，每个周期中第6个是黄的，所以第2001个球涂黄色。

练习1：

1.跑道上的彩旗按“三面红、两面绿、一面黄”的规律插下去，第50面该插什么颜色?

2.有一串珠子，按4个红的，3个白的，2个黑的顺序重复排列，第160个是什么颜色?

3.1/7=0.142857142857……，小数点后面第100个数字是多少?

【例题2】有47盏灯，按二盏红灯、四盏蓝灯、三盏黄灯的顺序排列着。最后一盏灯是什么颜色的?三种颜色的灯各占总数的几分之几?

【思路导航】(1)我们把二盏红灯、四盏蓝灯、三盏黄灯这9盏灯看作一组，47÷9=5(组)……2(盏)，余下的两盏是第6组的前两盏灯，是红灯，所以最后一盏灯是红灯;

(2)由于47÷9=5(组)……2(盏)，所以红灯共有2×5+2=12(盏)，占总数的12/47;蓝灯共有4×5=20(盏)，占总数的20/47;黄灯共有3×5=15(盏)，占总数的15/47。

练习2：

1.有68面彩旗，按二面红的、一面绿的、三面黄的排列着，这些彩旗中，红旗占黄旗的几分之几?

2.黑珠和白珠共2000颗，按规律排列着：○●○○○●○○○●○○……，第2000颗珠子是什么颜色的?其中，黑珠共有多少颗?

3.在100米长的跑道两侧每隔2米站着一个同学。这些同学以一端开始，按先两个女生，再一个男生的规律站立着。这些同学中共有多少个女生?

【例题3】2001年10月1日是星期一，那么，2002年1月1日是星期几?

【思路导航】一个星期是7天，因此7天为一个周期。10月1日是星期一，是第一个周期的第一天，再过7天即10月8日也是星期一。计算天数时为了方便，我们采用“算尾不算头”的方法，例如10月8日就用(8-1)÷7=1.没有余数说明8号仍是星期一。题中说从2001年10月1日到2002年1月1日，要经过92天，92÷7=13……1.余1天就是从星期一往后数一天，即星期二。

练习3：

1.2002年1月1日是星期二，2002年的六月一日是星期几?

2.如果今天是星期五，再过80天是星期几?

3.以今天为标准，算一算今年自己的生日是星期几?

五年级数学知识点

五年级数学上学期全部知识点 第一部分:计算 涉及的单元:第一单元小数乘法，第三单元小数除法，第四单元简易方程 一、竖式计算 1、乘法计算方法: (1)算:先按整数乘法列式计算。 (2)看:看看因数中共有几位小数，积就是几位小数。 (3)数:从积的末尾向右数出几位 (4)添:积的位数不够，添0补位。 (5)点:点上小数点，小数末尾的0可以省略。 2、除法计算方法: (1)移:把除数与被除数的小数点同时向右移相同的位数，把除数变成整数。移位时被 除数位数不够，添0补位。 (2)算:先按整数除法计算 (3)点:商与被除数的小数点对齐。 (4)添:除式有余数添0继续除。 二、脱式计算 先乘除，后加减，有括号，先括号，先小括号再中括号。 三、简便运算: 连加式:a +b+c+d 加法交换律和结合律 连减式:a-b-c=a-(b+c) 减法的性质(连续减去2个数等于减去2个数的和) 连乘式:a ×b×c×d 配对 5×2=10，25×4=100，125×8=1000，24×5=120 乘加减式:a ×(b÷c)=a ×b÷a×c 乘法分配律 第二部分:概念 一、小数的乘除法: 1、积随因数变化规律:一个因数不变，另一个因数乘或除以一个数，积就乘或除以相 同的数(0除外)。 2、积不变的规律:一个因数乘一个数，另一个因数除以相同数(0除外)，积不变。 3、商不变的规律:被除数和除数同时乘或除以相同的数(0除外)，商不变。

4、比较大小: a×0.1, a ，a×1, a ，a×1.1, a ，(a÷0) a÷0.1, a，a÷1, a，a÷1.1, a ，(a÷0) 5、小数部分从某一位起，一个数字或者几个数字依次不断地重复出现，这样的小数 叫做循环小数。 小数部分的位数是有限的小数，叫做有限小数。 小数部分的位数是无限的小数，叫做无限小数。 无限小数包括无限循环小数和无限不循环小数。 6、求近似值的方法是“四舍五入”。保留几位小数(或精确到某分位)要多看一位。 解决实际问题还有进一法和去尾法 二、方程: 1、含有未知数的等式叫方程。 使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。求方程的解的过程叫做解方程。 2、等式的两边同时加上或减去同一个数，等式仍然成立。这是等式的性质一。 3、等式的两边同时乘或除以同一个不为0的数，等式仍然成立。这是等式的性质二。 三、对称、平移与旋转 1、将图形沿着一条直线对折，如果直线两侧的部分能够完全重合，这样的图形叫做 轴对称图形。折痕所在的这条直线叫做它的对称轴。 2、长方形有两条对称轴，正方形有四条对称轴，等边三角形有三条对称轴，圆有无 数条对称轴。平行四边形不是轴对称图形。 3、平移图形方法:找关键点，沿着方向，起点不计，逐格数出，连点成图 4、旋转图形90度的方法: 找旋转中心，找关键边，看清旋转方向，水平变竖直，竖直变水平，连边成图。四、多边形的面积计算 (一)多边形的定义: 1、三角形:由三条线段围成的图形。 2、平行四边形:两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 3、梯形:只有一组对边平行的四边形叫做梯形。 4、等腰梯形:两腰相等的梯形叫做等腰梯形。 5、周长:围成图形一周的长度。 6、面积:图形所占平面的大小。

小学奥数知识点归纳和总结

小学奥数知识点归纳和总结 二年级奥数知识点分类： 一、运算符号类 二、规律填数类 三、规律画图类 四、年龄问题类 五、间隔问题类（含植树问题及智力计数） 六、周期问题类 七、有序思考类 八、时钟问题类 九、推理及思维训练类（包含算式类） 十、和差问题类 十一、和倍问题类 十二、差倍问题类 十三、一笔画类 十四、移动变换类 十五、智力趣味类（包含巧切西瓜） 十六、鸡兔同笼类 十七、盈亏问题类 十八、应用类（含数量关系、重叠问题、） 三年级奥数知识点分类： 一、计算类 计算是数学学习的基本知识，也是学好奥数的基础。能否又快又准的算出答案，是历年数学竞赛考察的一个基本点。三年级的计算包括：速算与巧算、数列规律、数列求和、等差数列的和等。 二、应用题类 从三年级起，大量的奥数专题知识都是所有年级所有竞赛考试中必考的重点知识。学生们一定要在各个应用题专题学习的初期打下良好的基础。 (1)和倍、差倍问题： 用线段标识等方法揭示这两类问题中各种数量关系，和倍问题：小数=和÷(倍数+1)。三、差倍问题： 小数=差÷(倍数-1) (2)年龄问题： 教授解决年龄问题的主要方法：和倍、差倍方法;画图线段标示法。 (3)盈亏问题： 介绍盈亏问题的主要形式 (双盈、双亏、一盈一亏) 分配总人数=盈亏总额÷两次分配数之差。 (4)植树问题： 总长、株距、棵树三要素之间的数量关系：总长=株距×段数，封闭图形：棵数=段数不封闭图形：

两头都栽：棵数=段数+1 两头都不栽：棵数=段数-1 一头栽一头不栽：棵数=段数 (5)鸡兔同笼问题： 介绍鸡兔同笼问题的由来和主要形式，揭示鸡兔同笼问题中的数量关系，假设法(6)行程问题： 相遇问题、追及问题等，相遇时间=总路程÷速度和，追及时间=距离÷速度差。 (7)周期问题 (8)还原问题 (9)归一问题 (10)体育比赛中的数学、趣题巧解几何类 三年级学校的学习中就会涉及到一些简单的图形求周长和面积了，那么在奥数中图形问题涉及到的是巧求周长、巧求矩形面积数论类 现在三年级也开始涉及到了数论了，是比较简单的能被2、3、5整除的性质、奇数和偶数、余数与周期问题。 四年级奥数知识点分类： 1.圆周率常取数据 3.14×1＝3.14 3.14×2＝6.28 3.14×3＝9.42 3.14×4＝12.56 3.14×5＝15.7 3.15×6＝18.84 3.14×7＝21.98 3.14×8＝25.12 3.14×9＝28.26 2.常用特殊数的乘积 125×8＝1000 25×4＝100 125×3＝375 625×16＝10000 7×11×13＝1001 25×8＝200 125×4＝500 37×3=111 3.100内质数： 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 4.单位换算： 1米=3尺=3.2808英尺=1.0926码 1公里=1000米=2里 1码=3英尺=36英寸 1海里=1852米=3.704里=1.15英里 1平方公里=1000000平方米=100公顷 =4平方里=0.3861平方英里 1平方米=100平方分米=10000平方厘米

小学五年级数学知识点归纳整理

小学五年级数学知识点归纳 五年级上册 知识点概念总结 1.小数乘整数的意义：求几个相同加数和的简便运算；一个数乘纯小数的意义是求这个数的十分之几、百分之几、千分之几……是多少。 2.小数乘法法则 先按照整数乘法的计算法则算出积，再看因数中共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点；如果位数不够，就用“0”补足。 3.小数除法 小数除法的意义与整数除法的意义相同，就是已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。 4.除数是整数的小数除法计算法则 先按照整数除法的法则去除，商的小数点要和被除数的小数点对齐；如果除到被除数的末尾仍有余数，就在余数后面添“0”，再继续除。 5.除数是小数的除法计算法则 先移动除数的小数点，使它变成整数，除数的小数点也向右移动几位（位数不够的补“0”），然后按照除数是整数的除法法则进行计算。 6.积的近似数： 四舍五入是一种精确度的计数保留法，与其他方法本质相同。但特殊之处在于，采用四舍五入，能使被保留部分的与实际值差值不超过最后一位数量级的二分之一：假如0～9等概率出现的话，对大量的被保留数据，这种保留法的误差总和是最小的。 7.数的互化 （1）小数化成分数 原来有几位小数，就在1的后面写几个零作分母，把原来的小数去掉小数点作分子，能约分的要约分。 （2）分数化成小数 用分母去除分子。能除尽的就化成有限小数，有的不能除尽，不能化成有限小数的，一般保留三位小数。

（3）化有限小数 一个最简分数，如果分母中除了2和5以外，不含有其他的质因数，这个分数就能化成有限小数；如果分母中含有2和5 以外的质因数，这个分数就不能化成有限小数。 （4）小数化成百分数 只要把小数点向右移动两位，同时在后面添上百分号。 （5）百分数化成小数 把百分数化成小数，只要把百分号去掉，同时把小数点向左移动两位。 （6）分数化成百分数 通常先把分数化成小数（除不尽时，通常保留三位小数)，再把小数化成百分数。 （7）百分数化成小数 先把百分数改写成分数，能约分的要约成最简分数。 8.小数的分类 （1）有限小数：小数部分的数位是有限的小数，叫做有限小数。例如： 41.7 、 25.3 、 0.23 都是有限小数。 （2）无限小数：小数部分的数位是无限的小数，叫做无限小数。例如： 4.33 …… 3.1415926 ……（3）无限不循环小数：一个数的小数部分，数字排列无规律且位数无限，这样的小数叫做无限不循环小数。 （4）循环小数：一个数的小数部分，有一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这个数叫做循环小数。例如： 3.555 …… 0.0333 …… 12.109109 ……；一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字叫做这个循环小数的循环节。例如： 3.99 ……的循环节是“ 9 ”，0.5454 ……的循环节是“ 54 ”。 9. 循环节：如果无限小数的小数点后，从某一位起向右进行到某一位止的一节数字循环出现，首尾衔接，称这种小数为循环小数，这一节数字称为循环节。把循环小数写成个别项与一个无穷等比数列的和的形式后可以化成一个分数。 10.简易方程：方程ax±b=c（a,b,c是常数）叫做简易方程。 11.方程：含有未知数的等式叫做方程。（注意方程是等式，又含有未知数，两者缺一不可） 方程和算术式不同。算术式是一个式子，它由运算符号和已知数组成，它表示未知数。方程是一个等式，在方程里的未知数可以参加运算，并且只有当未知数为特定的数值时，方程才成立。 12.方程的解 使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。

小学五年级上学期数学知识点总结

五年级上册数学知识点 一、小数的乘法 （1）小数乘法计算法则： ①先按整数乘法算出积，再给积点上小数点。 ②看因数中一共有几位小数，就从积的右边起（或个位）数出几位，点上小数点。 ③当乘得的积的小数位数不够时，要在前面用0补足，再点小数点。 （2）一个数（0除外）乘大于1的数时，积比原来的数大。 一个数（0除外）乘小于1的数时，积比原来的数小。 一个因数扩大多少倍，另一个因数缩小相同的倍数，积不变。 一个因数不变，另一个因数扩大（缩小）多少倍，积也扩大（缩小）多少倍。 （3）四舍五入后的数字末尾的0不能去掉。 小数4.7 “四舍五入”前的最大两位小数是4.74，最小是4.65 （4）简便运算：运算定律乘法交换律：a×b=b×a 乘法结合律：(a×b)×c=a×(b×c) 乘法分配律：a×(b+c)=a×b+a×c 25×4=100,125×8=1000 （5）小数的四则运算顺序跟整数是一样的。 先乘除，后加减，有括号，先算括号里面的；连乘，连加按从左到右的顺序计算。 二、小数的除法 （1）小数除以整数的计算方法： ①按整数除法的方法去除。 ②商的小数点要和被除数的小数点对齐；如果整数部分不够除，商0，点上小数点。 ③如果有余数，要添0再除。 （2）一个数除以小数的算理 一看---看除数中一共有几位小数。二移---把除数和被除数的小数点同时向右移动相同的位数，使除数变成整数，当被除数的位数不足时，用“0”补足。三算---按照除数是整数的小数除法的方法计算。， （3）被除数和除数同时扩大（缩小）相同的倍数，商不变。 被除数扩大（缩小）多少倍，除数不变，商扩大（缩小）多少倍。 被除数不变，除数扩大（缩小）多少倍，商缩小（扩大）多少倍。 （4）商的近似数 小数除法所得的商可以根据需要用“四舍五入”法保留一定的小数位数，求商的近似数。

五年级奥数数学行程问题知识点及练习

行程问题 行程问题是小学阶段接触最多、难度比较大的一类应用题，程问题有其基本的解答规律。这一讲所讲的行程问题是比较复杂行程问题，解答这类行程问题时不能生搬硬套关系式，要具体问题具体分析。 基本数量关系式： 速度x时间=路程路程÷时间=速度 路程÷速度=时间 一、专题简析： 我们把研究路程、速度、时间这三者之间关系的问题称为行程问题。行程问题主要包括相遇问题、相背问题和追及问题。这一周我们来学习一些常用的、基本的行程问题。 解答行程问题时，要理清路程、速度和时间之间的关系，紧扣基本数关系“路程=速度×时间”来思考，对具体问题要作仔细分析，弄清出发地点、时间和运动结果。 例1：甲乙两人分别从相距20千米的两地同时出发相向而行，甲每小时走6千米，乙每小时走4千米。两人几小时后相遇？ 练习一 1、甲乙两艘轮船分别从A、B两港同时出发相向而行，甲船每小时行驶18千米，乙船每小时行驶15千米，经过6小时两船在途中相遇。两地间的水路长多少千米？ 2、一辆汽车和一辆摩托车同时分别从相距900千米的甲、乙两地出发，汽车每小时行40千米，摩托车每小时行50千米。8小时后两车相距多少千米？

例2：王欣和陆亮两人同时从相距2000米的两地相向而行，王欣每分钟行110米，陆亮每分钟行90米。如果一只狗与王欣同时同向而行，每分钟行500米，遇到陆亮后，立即回头向王欣跑去；遇到王欣后再回头向陆亮跑去。这样不断来回，直到王欣和陆亮相遇为止，狗共行了多少米？ 练习二 1、甲乙两队学生从相隔18千米的两地同时出发相向而行。一个同学骑自行车以每小时15千米的速度在两队之间不停地往返联络。甲队每小时行5千米，乙队每小时行4千米。两队相遇时，骑自行车的同学共行多少千米？ 2、A、B两地相距400千米，甲、乙两车同时从两地相对开出，甲车每小时行38千米，乙车每小时行42千米。一只燕子以每小时50千米的速度和甲车同时出发向乙车飞去，遇到乙车又折回向甲车飞去。这样一直飞下去，燕子飞了多少千米，两车才能相遇？ 例3：甲每小时行7千米，乙每小时行5千米，两人于相隔18千米的两地同时相背而行，几小时后两人相隔54千米？

小学奥数数论专题知识总结

数论基础知识 小学数论问题，起因于除法算式：被除数÷除数＝商……余数 1.能整除：整除，因数与倍数，奇数与偶数，质数与合数，公因数与公倍数，分解质因数等； 2.不能整除：余数，余数的性质与计算（余数），同余问题（除数），物不知数问题（被除数）。 一、因数与倍数 1、因数与倍数 （1）定义： 定义1：若整数a能够被b整除，a叫做b的倍数，b就叫做a的因数。 定义2：如果非零自然数a、b、c之间存在a×b＝c，或者c÷a＝b，那么称a、b是c的因数，c是a、b 的倍数。 注意：倍数与因数是相互依存关系，缺一不可。（a、b是因数，c是倍数） 一个数的因数个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身。 一个数的倍数个数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。 （2）一个数的因数的特点： ①最小的因数是1，第二小的因数一定是质数； ②最大的因数是它本身，第二大的因数是：原数÷第二小的因数 （3）完全平方数的因数特征： ①完全平方数的因数个数是奇数个，有奇数个因数的数是完全平方数。 ②完全平方数的质因数出现次数都是偶数次； ③1000以内的完全平方数的个数是31个，2000以内的完全平方数的个数是44个，3000以内的完 全平方数的个数是54个。（312=961，442=1936，542=2916） 2、数的整除（数的倍数） （1）定义： 定义1：一般地，三个整数a、b、c，且b≠0，如有a÷b＝c，则我们就说，a能被b整除，或b能整除a，或a能整除以b。 定义2：如果一个整数a，除以一个整数b（b≠0），得到一个整数商c，而且没有余数，那么叫做a能被b整除或b能整除a，记作b|a。（a≥b） （2）整除的性质： 如果a、b能被c整除，那么（a+b）与（a-b）也能被c整除。 如果a能被b整除，c是整数，那么a×c也能被b整除。 如果a能被b整除，b又能被c整除，那么a也能被c整除。 如果a能被b、c整除，那么a也能被b和c的最小公倍数整除。 （3）一些常见数的整除特征（倍数特征）： ①末位判别法 2、5的倍数特征：末位上的数字是2、5的倍数。 4、25的倍数特征：末两位上的数字是4、25的倍数。 8、125的倍数特征：末三位上的数字是8、125的倍数。 ②截断求和法（从右开始截） 9（及其因数3）的倍数特征：一位截断求和 99（及其因数3、9、11、33）的倍数特征：两位截断求和 999（及其因数3、9、27、37、111、333）的倍数特征：三位截断求和 ③截断求差法（从右开始截） 11的倍数特征：一位截断求差 101的倍数特征：两位截断求差 1001（及其因数7、11、13、77、91、143）的倍数特征：三位截断求差

小学奥数知识点汇总基础知识点

小学奥数知识点汇总 1 过两点有且只有一条直线 2 两点之间线段最短 3 同角或等角的补角相等 4 同角或等角的余角相等 5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 7 平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行 9 同位角相等，两直线平行 10 内错角相等，两直线平行 11 同旁内角互补，两直线平行 12两直线平行，同位角相等 13 两直线平行，内错角相等 14 两直线平行，同旁内角互补 15 定理三角形两边的和大于第三边 16 推论三角形两边的差小于第三边 17 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180° 18 推论1 直角三角形的两个锐角互余 19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 21 全等三角形的对应边、对应角相等

22边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 23 角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 24 推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 25 边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等 26 斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上 29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 30 等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等 (即等边对等角） 31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边 32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合 33 推论3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60° 34 等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边） 35 推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形 36 推论 2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形 37 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半 38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半 39 定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等

小学五年级奥数知识点分类汇总及解析

小学五年级奥数知识点分类汇总及解析 第12讲盈亏问题 一、知识要点 盈亏问题又叫盈不足问题，是指把一定数量的物品平均分给固定的对象，如果按某种标准分，则分配后会有剩余(盈);按另一种标准分，分配后又会有不足(亏)，求物品的数量和分配对象的数量。例如：把一代饼干分给小班的小朋友，每人分3块，多12块;如果每人分4块，少8块。小朋友有多少人?饼干有多少块?这种一盈一亏的情况，就是我们通常说的标准的盈亏问题。 盈亏问题的基本数量关系是：(盈+亏)÷两次所分之差=人数;还有一些非标准的盈亏问题，它们被分为四类：1.两盈：两次分配都有多余;2.两不足：两次分配都不够;3.盈适足：一次分配有余，一次分配够分;4，不足适足：一次分配不够，一次分配正好。 一些非标准的盈亏问题都是由标准的盈亏问题演变过 来的。解题时我们可以记住：

1.“两亏”问题的数量关系是：两次亏数的差÷两次分得的差=参与分配对象总数; 2.“两盈”问题的数量关系是：两次盈数的差÷两次分得的差=参与分配对象总数; 3.“一盈一亏”问题的数量关系是：盈与亏的和÷两次分得的差=参与分配对象总数。 二、精讲精练 【例题1】某校乒乓球队有若干名学生，如果少一名女生，增加一名男生，则男生为总数的一半;如果少一名男生，增加一名女生，则男生为女生人数的一半。乒乓球队共有多少名学生? 【思路导航】(1)由“少一个女生，增加一个男生，则男 生为总人数的一半”可知：女生比男生多2人;(2)“少一个男生，增加一个女生”后，女生就比男生多2+2=4人，这时男生为 女生人数的一半，即现在女生有4×2=8人。原来女生有8-1=7人，男生有7-2=5人，共有7+5=12人。

五年级数学知识点整理

第一单元小数除法 1、小数除法的意义: 与整数除法的意义相同,就是已知两个因数的积与其中一个因数,求另个因数的运算。 2、小数除法的计算法则: (1)除数就是整数:①按照整数除法的法则去除;②商的小数点要与被除数的小数点对齐(重点！) ③每一位商都要写在被除数相同数位的上面。④如果除到末尾仍有余数,在被除数的个位数的右边点上小数点,再在被除数的后面添上“0”继续除,直到除尽为止。 ⑤除得的商的哪一数位上不够商,就在那一位上写0占位。 (2)除数就是小数: ①先瞧除数中有几位小数,就把除数与被除数的小数点向右移动相同的位置,使除数变成整数,当被除数数位不够时,用0补足; ②然后按照除数就是整数的小数除法计算。 3、商不变的规律: 被除数扩大a倍(或缩小),除数也扩大(或缩小)a倍,商不变。简言之,被除数与除数同时扩大或者同时缩小相同的倍数,商不变。 4、被除数不变,除数扩大(或缩小)a倍,商缩小(或扩大)a倍。 被除数扩大(或缩小)a倍,除数不变,商扩大(或缩小)a倍。 5、被除数比除数大的,商大于1。被除数比除数小的,商小于1。 6、一个数(0除外)除以1,商等于原来的数。(一个数除以1,还等于这个数) 一个数(0除外)除以大于1的数,商比原来的数小。一个数(0除外)除以小于1的数,商比原来的数大。 0除以一个非零的数还得0 。0不能作除数。 7、 8、近似值相关知识点: (1)求商的近似值:计算时要比保留的小数多一位。 求积的近似值:计算出整个积的值后再去近似值。 (2)取商的近似值的方法:“四舍五入”法、“进一法”与“去尾法” 在解决问题的时候,可以根据实际情况选择“进一法”与“去尾法” 取商的近似值。 (3)保留商的近似值,小数末尾的0不能去掉。 9、循环小数相关知识点: (1)小数分类:可以分为无限小数与有限小数。小数部分的位数就是有限的小数,叫做有限小数。小数部分就是无限的小数叫做无限小数。循环小数就就是无限小数中的一种。 (2)循环小数的定义:一个数的小数部分,从某一位起,一个数字或者几个数字依次不断重复出现,这样的小数叫做循环小数。

小学奥数30个经典知识点汇编大全知识分享

小学奥数知识点汇编大全（含30个经典知识模块） 1．和差倍问题 和差问题和倍问题差倍问题 已知条件几个数的和与差几个数的和与倍数几个数的差与倍数 公式适用范围已知两个数的和，差，倍数关系 公式①(和－差)÷2=较小数 较小数＋差=较大数 和－较小数=较大数 ②(和＋差)÷2=较大数 较大数－差=较小数 和－较大数=较小数 和÷(倍数＋1)=小数 小数×倍数=大数 和－小数=大数 差÷(倍数-1)=小数 小数×倍数=大数 小数＋差=大数 关键问题求出同一条件下的 和与差和与倍数差与倍数 2．年龄问题的三个基本特征： ①两个人的年龄差是不变的； ②两个人的年龄是同时增加或者同时减少的； ③两个人的年龄的倍数是发生变化的； 3．归一问题的基本特点：问题中有一个不变的量，一般是那个“单一量”，题目一般用“照这样的速度”……等词语来表示。 关键问题：根据题目中的条件确定并求出单一量； 4．植树问题 基本类型在直线或者不封闭的曲线上植树，两端都植树在直线或者不封闭的曲线上植树，两端都不植树在直线或者不封闭的曲线上植树，只有一端植树封闭曲线上植树 基本公式棵数=段数＋1 棵距×段数=总长棵数=段数－1 棵距×段数=总长棵数=段数

棵距×段数=总长 关键问题确定所属类型，从而确定棵数与段数的关系 5．鸡兔同笼问题 基本概念：鸡兔同笼问题又称为置换问题、假设问题，就是把假设错的那部分置换出来； 基本思路： ①假设，即假设某种现象存在（甲和乙一样或者乙和甲一样）： ②假设后，发生了和题目条件不同的差，找出这个差是多少； ③每个事物造成的差是固定的，从而找出出现这个差的原因； ④再根据这两个差作适当的调整，消去出现的差。 基本公式： ①把所有鸡假设成兔子：鸡数＝（兔脚数×总头数－总脚数）÷（兔脚数－鸡脚数） ②把所有兔子假设成鸡：兔数＝（总脚数一鸡脚数×总头数）÷（兔脚数一鸡脚数） 关键问题：找出总量的差与单位量的差。 6．盈亏问题 基本概念：一定量的对象，按照某种标准分组，产生一种结果：按照另一种标准分组，又产生一种结果，由于分组的标准不同，造成结果的差异，由它们的关系求对象分组的组数或对象的总量．基本思路：先将两种分配方案进行比较，分析由于标准的差异造成结果的变化，根据这个关系求出参加分配的总份数，然后根据题意求出对象的总量． 基本题型： ①一次有余数，另一次不足； 基本公式：总份数＝（余数＋不足数）÷两次每份数的差 ②当两次都有余数； 基本公式：总份数＝（较大余数一较小余数）÷两次每份数的差 ③当两次都不足； 基本公式：总份数＝（较大不足数一较小不足数）÷两次每份数的差 基本特点：对象总量和总的组数是不变的。 关键问题：确定对象总量和总的组数。 7．牛吃草问题 基本思路：假设每头牛吃草的速度为“1”份，根据两次不同的吃法，求出其中的总草量的差；再找出造成这种差异的原因，即可确定草的生长速度和总草量。 基本特点：原草量和新草生长速度是不变的； 关键问题：确定两个不变的量。 基本公式： 生长量=（较长时间×长时间牛头数-较短时间×短时间牛头数）÷（长时间-短时间）；

人教版小学五年级数学下册知识点归纳总结

一、图形的变换 图形变换的基本方式是平移、对称和旋转。 1、轴对称:如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这 条直线叫做对称轴。 （1）学过的轴对称平面图形：长（正）方形、圆形、等腰三角形、等边三角形、等腰梯形…… 等腰三角形有1条对称轴，等边三角形有3条对称轴，长方形有2条对称轴，正方形有4条对称轴，等腰梯形有1条对称轴，任意梯形和平行四边形不是轴对称图形。 （2）圆有无数条对称轴。 （3）对称点到对称轴的距离相等。 （4）轴对称图形的特征和性质： ①对应点到对称轴的距离相等； ②对应点的连线与对称轴垂直； ③对称轴两边的图形大小、形状完全相同。 3、对称图形包括轴对称图形和中心对称图形。平行四边形（除棱形）属于中心对称图形。 2、旋转：在平面内，一个图形绕着一个顶点旋转一定的角度得到另一个图形的变化较做旋转， 定点O叫做旋转中心，旋转的角度叫做旋转角，原图形上的一点旋转后成为的另一点成为对应点。（1）生活中的旋转：电风扇、车轮、纸风车 （2）旋转三要素;旋转中心、旋转角度和旋转方向。 （3）长方形绕中点旋转180度与原来重合，正方形绕中点旋转90度与原来重合。等边三角形绕中点旋转120度与原来重合。 旋转的性质： （1）图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕某个固定点旋转固定角度的位置移动； （2）其中对应点到旋转中心的距离相等； （3）旋转前后图形的大小和形状没有改变； （4）两组对应点非别与旋转中心的连线所成的角相等，都等于旋转角； （5）旋转中心是唯一不动的点。 3、对称和旋转的画法：旋转要注意：顺时针、逆时针、度数 二、因数和倍数 1、整除：被除数、除数和商都是自然数，并且没有余数。 整数与自然数的关系：整数包括自然数。 2、因数、倍数：大数能被小数整除时，大数是小数的倍数，小数是大数的因数。 例：12是6的倍数，6是12的因数。 （1）数a能被b整除，那么a就是b的倍数，b就是a的因数。因数和倍数是相互依存的，不能单独存在。 （2）一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。

人教版小学数学知识点大全

小学数基础知识点大全一 正整数： 用来表示物体个数的1、2、3、4、5……叫做正整数。相邻的两个正数整数之间相差1。0： 0是一个数，是一个自然数，也是一个整数，但不是正整数或负整数。 0既可以表示“没有”，也可以作为某些数量的界限，如0o C等。 0是一个偶数。0不能作除数，不能作分母，也不能作比的后项。 负整数： 像－l、－2、－3、－4、－5……这样的数就叫做负整数。相邻的两个负整数之间也是相差1。整数：像…，－3，－2，－1，0，1，2，3，…这样的数统称整数。 整数包括负整数、0和正整数。 整数的个数是无限的。自然数是整数的一部分。 自然数：用来表示物体个数的0、l、2、3、4、5、6、7……叫做自然数。自然数包括0和正整数。 正数：正数包括正整数、正分数、正小数、正百分数等。 负数：负数包括负整数、负分数、负小数、负百分数等。负数可以表示相反意义的量。 数对：用数对表示位置时，第一个数表示列，第二个数表示行。 数的读法和写法： 读、写者都要从高位到低位，每一级末尾的0都不读出来，其他数位连续有几个0都只读一个0。不管读和写都要进行分级。如534007000602读作：五千三百四十亿零七百万零六百零二 分数：表示把“单位1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数，叫做分数。表示其 中一份的数叫做分数单位。例如：7 12的分数单位是1 12 ，它有7个这样的分数单位。 真分数：分子比分母小的分数叫真分数。真分数小于1。

假分数：分子大于或等于分母的分数叫做假分数。假分数大于或等于1。 带分数：一个整数(零除外)和一个真分数组合在一起的数，叫做带分数。带分数也是假分数的另一种表示形式，相互之间可以互化。 分数的基本性质： 一个分数的分子、分母同时乘上或除以相同的数(零除外)，分数的大小不变，这叫做分数的基本性质。 小数：小数是分数的一种特殊形式。但是不能说小数就是分数。 循环小数：一个小数，从小数部分的某一位起，一个数字或几个数字依次不断地重复出现，这样的小数叫做循环小数。 纯循环小数：循环节从小数部分第一位开始的循环小数，叫做纯循环小数。例如0.3g、0.24g g 混循环小数：循环节不是从小数部分的第一位开始循环的循环小数，叫混循环小数。例如0.25g、 g g 0.423 有限小数：小数的小数部分的位数是有限的，这样的小数叫做有限小数。 无限小数：小数的小数部分的位数是无限的，这样的小数叫做无限小数。循环小数都是无限小数，无限小数不一定都是循环小数。例如，圆周率 也是无限小数，它是无限不循环小数。小数的基本性质： 小数的末尾添上0或去掉0，小数的大小不变，这叫做小数的基本性质。小数的基本性质与分数的基本性质是一致的。 小学数基础知识点大全二 减法：被减数－减数＝差。减法是加法的逆运算。 乘法：求几个相同加数的和的简便运算，叫做乘法。因数×因数＝积 除法：被除数÷除数＝商。除法是乘法的逆运算。 加、减法的运算定律： 加法交换律：a＋b＝b＋a 加法结合律：a＋b＋c＝a＋(b＋c) 减法的运算定律：a－b－c＝a－(b＋c)

小学五年级奥数知识点须知

小学五年级奥数知识点须知： 1.和差倍问题 和差问题和倍问题差倍问题 已知条件几个数的和与差几个数的和与倍数几个数的差与倍数 公式适用范围已知两个数的和，差，倍数关系 公式①（和-差）÷2=较小数 较小数+差=较大数 和-较小数=较大数 ②（和+差）÷2=较大数 较大数-差=较小数 和-较大数=较小数 和÷（倍数+1）=小数 小数×倍数=大数 和-小数=大数

差÷（倍数-1）=小数 小数×倍数=大数 小数+差=大数 关键问题求出同一条件下的 和与差和与倍数差与倍数 2.年龄问题的三个基本特征： ①两个人的年龄差是不变的; ②两个人的年龄是同时增加或者同时减少的; ③两个人的年龄的倍数是发生变化的; 3.归一问题的基本特点：问题中有一个不变的量，一般是那个“单一量”，题目一般用“照这样的速度”……等词语来表示。 关键问题：根据题目中的条件确定并求出单一量; 4.植树问题 基本类型在直线或者不封闭的曲线上植树，两端都植树在直线或者不封闭的曲线上植树，两端都不植树在直线或者不封闭的曲线上植树，只有一端植树封闭曲线上植树

基本公式棵数=段数+1 棵距×段数=总长棵数=段数-1 棵距×段数=总长棵数=段数 棵距×段数=总长 关键问题确定所属类型，从而确定棵数与段数的关系 5.鸡兔同笼问题 基本概念：鸡兔同笼问题又称为置换问题、假设问题，就是把假设错的那部分置换出来; 基本思路： ①假设，即假设某种现象存在（甲和乙一样或者乙和甲一样）： ②假设后，发生了和题目条件不同的差，找出这个差是多少; ③每个事物造成的差是固定的，从而找出出现这个差的原因; ④再根据这两个差作适当的调整，消去出现的差。 基本公式：

五年级下册奥数知识点：数阵图练习题

练习1、将1、2、3、4、5这5个自然数分别填入右图中的5 个方格中，使图中横行3个数的和与竖行3个数的和都是10。 2、把1～10这10个自然数填入下图“六一”的10个空格里，使在同一条直线上的各数和都 是12。 练习1、将1、2、3、4、5、6这6个自然数分别 填入右图的○内，使三角形每边上的3数之 和为11。

2、把1～920. 练习1、将1～6这6个自然数分别填入下图中两圆的 ○内，使每个圆上4个数的和相等，两圆交点上的 两个○内的数有几种填法？

例4、将1～10这10个自然数填入右图中的○内，使图中 每条线段上的数之和都相等。请写出各种填法。 3、下面一列数是按一定规律排列的，那么括号中的数是（）。 1，4，7，28，5，20，（），12… 4、王明参加一次数学竞赛，全卷共20道竞赛题，做对一道得5分，做错一道倒扣3分，王明20道题都做了，共得76分，他做对了（）题。 5、同学们站成3层空心方阵，最外层每边站20人，一共有学生（）人。 6、小明的邮票比小红多15张，小明的邮票张数是小红的4倍，小红有（）张邮票

7、一条小青虫，它的身长每天延长1倍，长到第10天的时候身长是20厘米，请问，在身长是10厘米的时候，它已经生长了（）天。 8、士兵排成一个实心方阵，最外一层一周的人数为80人，问方阵外层每边有（）人。这个方阵共有（）个士兵。 9、长方形的长是20厘米，截去一个最大的正方形后，余下一个长方形，这个长方形的周长是（）厘米。 10、植树节到了，同学们在一条90米长的小路的一旁植树，每隔3米种一棵。（1）如果两端都各栽一棵，需要（）棵树。（2）如果只有一端栽树，需要（）棵树。（3）如果两端都不栽树，需要（）棵树。 11、甲班和乙班共有图书480本，甲班的图书本数是乙班的3倍，甲班有图书（）本，乙班有图书（）本。 13、小明买科技书和文艺书共34本，科技书比文艺书多6本。小明买科技书（）本，文艺书（）本。 14、在一次活动中，老师把学生组成一个正方形方队，其中有两行、两列都是男生，男生共有20人，其余是女生，问参加组成这个方队的学生共有（）人

小学奥数知识总结手册

小学（数学）奥数知识总结手册 目录 1、和差倍问题 2、年龄问题的三个基本特征： 3、归一问题的基本特点： 4、鸡兔同笼问题 5、植树问题 6、盈亏问题 7、牛吃草问题 8、周期循环与数表规律 9、平均数 9、抽屉原理 10、定义新运算 11、加法乘法原理和几何计数 12、数列求和 13、二进制及其应用 14、质数与合数 15、约数与倍数 16、余数及其应用 17、余数、同余与周期 18、数的整除 19、分数与百分数的应用 20、分数拆分 21、分数大小的比较 22、完全平方数 23、比和比例 24、综合行程 25、工程问题 26、逻辑推理 27、立体图形 28、几何面积 29、时钟问题—快慢表问题

30、时钟问题—钟面追及 31、浓度与配比 32、经济问题 33、简单方程 34、不定方程 35、循环小数 1、和差倍问题 2、年龄问题的三个基本特征： ①两个人的年龄差是不变的； ②两个人的年龄是同时增加或者同时减少的； ③两个人的年龄的倍数是发生变化的； 3、归一问题的基本特点： 问题中有一个不变的量，一般是那个“单一量”，题目一般用“照这样的速度”……等词语来表示。关键问题：根据题目中的条件确定并求出单一量； 4、鸡兔同笼问题 基本概念：鸡兔同笼问题又称为置换问题、假设问题，就是把假设错的那部分置换出来；

基本思路： ①假设，即假设某种现象存在（甲和乙一样或者乙和甲一样）： ②假设后，发生了和题目条件不同的差，找出这个差是多少； ③每个事物造成的差是固定的，从而找出出现这个差的原因； ④再根据这两个差作适当的调整，消去出现的差。 基本公式： ①把所有鸡假设成兔子：鸡数＝（兔脚数×总头数－总脚数）÷（兔脚数－鸡脚数） ②把所有兔子假设成鸡：兔数＝（总脚数一鸡脚数×总头数）÷（兔脚数一鸡脚数） 关键问题：找出总量的差与单位量的差。 5、植树问题 6、盈亏问题 基本概念：一定量的对象，按照某种标准分组，产生一种结果：按照另一种标准分组，又产生一种结果，由于分组的标准不同，造成结果的差异，由它们的关系求对象分组的组数或对象的总量． 基本思路：先将两种分配方案进行比较，分析由于标准的差异造成结果的变化，根据这个关系求出参加分配的总份数，然后根据题意求出对象的总量． 基本题型： ①一次有余数，另一次不足； 基本公式：总份数＝（余数＋不足数）÷两次每份数的差 ②当两次都有余数； 基本公式：总份数＝（较大余数一较小余数）÷两次每份数的差 ③当两次都不足； 基本公式：总份数＝（较大不足数一较小不足数）÷两次每份数的差 基本特点：对象总量和总的组数是不变的。 关键问题：确定对象总量和总的组数。

【小学数学】小学奥数所有知识点大汇总(最全)

1．和差倍问题 和差问题和倍问题差倍问题已知条件几个数的和与差几个数的和与倍数几个数的差与倍数一、和差倍问题 （一）和差问题：已知两个数的和及两个数的差 ;求这两个数。 方法① ：（和－差）÷2= 较小数 ;和 -较小数 =较大数 方法② ：（和+ 差）÷2=较大数 ;和- 较大数 =较小数 例如：两个数的和是 15;差是 5; 求这两个数。方法：（15-5）÷2=5 （; 15+5）÷2=10 . （二）和倍问题：已知两个数的和及这两个数的倍数关系;求这两个数。 方法：和÷（倍数 +1）=1 倍数（较小数） 1 倍数（较小数）×倍数 = 几倍数（较大数） 或和 -1 倍数（较小数） = 几倍数（较大数） 例如：两个数的和为 50;大数是小数的 4 倍 ;求这两个数。 方法： 50÷（ 4+1） =10 10×4=40 （三）差倍问题：已知两个数的差及两个数的倍数关系 ;求这两个数。 方法：差÷（倍数 -1 ）=1 倍数（较小数） 1 倍数（较小数）×倍数 = 几倍数（较大数） 或和 -倍数（较小数） =几倍数（较大数） 例如：两个数的差为 80;大数是小数的 5 倍 ;求这两个数。 方法： 80÷（ 5-1）=20 20×5=100 和与差和与倍数差与倍数 2．年龄问题的三个基本特征： ①两个人的年龄差是不变的 ; ②两个人的年龄是同时增加或者同时减少的 ;

③两个人的年龄的倍数是发生变化的 ; 两人年龄的倍数关系是变化的量 ; 解答年龄问题的一般方法是： 几年后年龄 =大小年龄差÷倍数差 -小年龄 ; 几年前年龄 =小年龄 -大小年龄差÷倍数差． 3．归一问题的基本特点：问题中有一个不变的量 ;一般是那个“单一量”题;目一般用“照这样的速度”??等词语来表示。 关键问题：根据题目中的条件确定并求出单一量 ; 4．植树问题 基本类型在直线或者不封闭的曲线上植树;两端都植树在直线或者不封闭的曲线上植 树 两端都不植树在直线或者不封闭的曲线上植树;只有一端植树封闭曲线上植树 三、植树问题 （一）不封闭型（直线）植树问题 1、直线两端植树：棵数 =段数 +1=全长÷株距+1 ; 全长=株距×（棵数-1 ）; 株距=全长÷（棵数-1 ）; 2、直线一端植树：全长=株距×棵数; 棵数 =全长÷株距 ; 株距 =全长÷棵数 ; 3 、直线两端都不植树：棵数 =段数-1= 全长÷株距 -1 ; 株距=全长÷（棵数 +1 ） （二）封闭型（圆、三角形、多边形等）植树问题 棵数 =总距离÷棵距; 总距离 =棵数×棵距;

小学五年级上册数学知识点(分类)梳理汇总

小学五年级数学上册知识点总结 （一）负数的初步认识 负数的初步认识（一） 正负数及零的意义：像+20，+8848，+3260 这样的数都是正数（正数前面的“+”可以省略不写），像-20，-155，-422 这样的数都是负数。 0 是正数和负数的分界线，0 既不是正数也不是负数。 负数的初步认识（二） 1.生活中具有相反意义的数量：像零℃以上与零℃以下，海平面以上和海平面以下，地面以上和地面以下，存入和取出，比赛的得分和失分，股价的上涨和下跌等等都是由相反意义的量，都可以用正负数来表示。 2.初步认识数轴：（1）0右边的数都是正数，0左边的数都是负数。 （2）-2和2到0的距离相等。 （3）正数都大于0，负数都小于0。 （二）多边形的面积 平行四边形的面积 1.公式推导：沿着平行四边形任意一条边上的高，将平行四边形分成两部分，再经过平移或者旋转，可以将平行四边形转化成长方形。通过观察发现，长方形的长是原平行四边形的底，长方形的宽是原平行四边形的高。

通过长方形的面积公式，我们可以得到平行四边形的面积公式，如果用S表示 平行四边形的面积，用a和h分别表示平行四边形的底和高，可以得到平行四 边形的面积为：S=a×h。 2.平行四边形拉伸和平移问题： （1）把一个长方形框拉成平行四边形，周长不变，高变小，面积也变小；同理，把平行四边形框拉成长方形，周长不变，高变大了，面积也变大。 （2）把一个平行四边形拼成长方形，面积不变，宽变小了，周长也变小。 3.两平行四边形之间的关系：等底等高的两平行四边形面积一定相等，但面积相 等的两个平行四边形形状不一定相同； 三角形的面积： 1.公式推导：用两个完全相同的三角形，可以拼成一个平行四边形。三角形的面 积等于拼成的平行四边形的一半。观察可以发现，平行四边形的底和三角形的底 相同，平行四边形的高和三角形的高相同。 通过平行四边形的面积公式，可以推导出三角形的面积公式。如果S表示三角形 的面积，用a和h分别表示三角形的底和高，三角形的面积公式为：S=a×h÷2。 2.两三角形之间的关系：等底等高的两三角形面积一定相等，但面积相等的两个 三角形形状不一定相同； 3.三角形与平行四边形之间的关系： （1）一个平行四边形能分割成两个完全相同的三角形；两个完全相同的三角形